ロジスティック関数

ロジスティック関数またはロジスティック曲線は、次の式で表される 一般的なS字曲線（シグモイド曲線）である。

${\displaystyle f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}}$

どこ

${\displaystyle L}$は収容力、関数の値の上限です。

${\displaystyle k}$ロジスティック成長率、曲線の急勾配、そして

${\displaystyle x_{0}}$関数の中点の値である。 ^[1]${\displaystyle x}$

ロジスティック関数の定義域は実数、 の極限は 0、 の極限はです。 ${\displaystyle x\to -\infty }$${\displaystyle x\to +\infty }$${\displaystyle L}$

右に示す標準ロジスティック関数は、次の式で表される。 ${\displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$

シグモイド関数と呼ばれることもあります。^[2]また、ロジット関数の逆関数であるため、エクスピット関数と呼ばれることもあります。^{[3] [4]}

ロジスティック関数は、生物学（特に生態学）、生物数学、化学、人口統計学、経済学、地球科学、数理心理学、確率論、社会学、政治学、言語学、統計学、人工ニューラルネットワークなど、さまざまな分野で応用されています。分野に応じてさまざまな一般化があります。

ロジスティック関数は、1838年から1847年にかけてピエール・フランソワ・ヴェルフルストが発表した3本の論文で導入された。ヴェルフルストは、アドルフ・ケトレの指導の下、指数関数的成長モデルを調整することで人口増加のモデルとしてロジスティック関数を考案した。^[5]ヴェルフルストは1830年代半ばにこの関数を初めて考案し、1838年に短いメモを発表し、^[1]その後、1844年に拡張分析を発表して関数に名前を付けた（1845年に出版）。^{[a] [6]} 3本目の論文では、ベルギーの人口増加モデルの補正項を調整した。^[7]

成長の初期段階はほぼ指数関数的（幾何的）です。その後、飽和が始まると、成長は線形（算術的）に減速し、成熟時には、成長は初期段階の逆のように、指数関数的に減少するギャップで限界に近づきます。

フェルフルストは「ロジスティック」（フランス語： logistique ）という用語を選んだ理由を説明していないが、これはおそらく対数曲線と対照的であり、^{[8] [b]}算術的および幾何的との類推によるものである。彼の成長モデルの前に算術的成長と幾何的成長（彼はその曲線を現代の用語である指数曲線ではなく対数曲線と呼んでいる）についての議論があり、したがって「ロジスティック成長」はおそらく類推によって名付けられ、ロジスティックは古代ギリシャ語：λογῐστῐκός（ローマ字：  logistikós ）から来ており、これはギリシャ数学の伝統的な分野である。^[c]

古代ギリシャの数学的用語に由来する単語であるため、^[9] この機能の名前は軍事および管理用語のロジスティクスとは無関係であり、これはフランス語のlogis「宿泊施設」に由来しています。[ ^10]ただし、ギリシャ語の用語もロジスティクスに影響を与えたと考える人もいます。^[9]詳細については、 ロジスティクス§起源を参照してください。

の標準ロジスティック関数は、パラメータ、、を持つロジスティック関数であり、次の式が得られます。 ${\displaystyle k=1}$${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle L=1}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {e^{x/2}}{e^{x/2}+e^{-x/2}}}.}$$

実際には、指数関数 の性質上、飽和値 0 と 1 に非常に近い値にすぐに収束するため、[−6, +6] に含まれる範囲などの実数の小さな範囲では標準ロジスティック関数を計算すれば十分な場合が多くあります。 ${\displaystyle e^{-x}}$${\displaystyle x}$

ロジスティック関数は対称性を持ち、

$${\displaystyle 1-f(x)=f(-x).}$$

これは、が小さいときの0からの成長が、が大きいときのギャップの限界(1)への減少と対称的であることを反映している。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

さらに、は奇関数です。 ${\displaystyle x\mapsto f(x)-1/2}$

ロジスティック関数と垂直軸周りの反射の和は 、${\displaystyle f(-x)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-x}}}+{\frac {1}{1+e^{-(-x)}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}+{\frac {1}{e^{x}+1}}=1.}$$

したがってロジスティック関数は点(0, 1/2)を中心に回転対称となる。^[11]

ロジスティック関数は自然ロジット関数 の逆関数である。

${\displaystyle \operatorname {logit} p=\log {\frac {p}{1-p}}{\text{ }}0<p<1} の場合$

そして、オッズの対数を確率に変換します。2つの選択肢の対数尤度比からの変換もロジスティック曲線の形をとります。

ロジスティック関数はオフセットとスケールが付けられた双曲正接関数である。 または $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right),}$$$${\displaystyle \tanh(x)=2f(2x)-1.}$$

これは、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(x)&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}=2f(2x)-1.\end{aligned}}}$$

双曲正接の関係により、ロジスティック関数の導関数は別の形式になります。

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right),}$$

これはロジスティック関数をロジスティック分布に結び付けます。

幾何学的には、双曲正接関数は単位双曲線上の双曲角で、 として因数分解されるため、 ⁠ ⁠と⁠ ⁠ で原点を通る直線に漸近線が描かれ、 ⁠ ⁠に頂点があり、 tanh の値域と中点 ( ⁠ ⁠ ) に対応します。同様に、ロジスティック関数は、 上の双曲角と見なすことができ、 ⁠ ⁠ ⁠ で因数分解されるため、 ⁠ ⁠ ⁠と⁠ ⁠で原点を通る直線に漸近線が描かれ、 ⁠ ⁠ ⁠に頂点があり、ロジスティック関数の 値域と中点 ( ⁠ ⁠ ) に対応します。 ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$${\displaystyle (x+y)(x-y)=1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle {1}}$${\displaystyle xy-y^{2}=1}$${\displaystyle y(x-y)=1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle (2,1)}$${\displaystyle 1/2}$

パラメトリックに、双曲線余弦と双曲線正弦は単位双曲線上の座標^[d] を与え、その商は双曲線正接です。同様に、 は双曲線 をパラメトリック化し、その商はロジスティック関数です。これらは、パラメトリック化を伴う双曲線の線形変換(およびパラメトリック化の再スケーリング)に対応します。ロジスティック関数に対する双曲線のパラメトリック化はおよび線形変換に対応し、単位双曲線 (双曲線正接の場合) のパラメトリック化は線形変換 に対応します。 ${\displaystyle \left((e^{t}+e^{-t})/2,(e^{t}-e^{-t})/2\right)}$${\displaystyle {\bigl (}e^{t/2}+e^{-t/2},e^{t/2}{\bigr )}}$${\displaystyle xy-y^{2}=1}$${\displaystyle xy=1}$${\displaystyle (e^{-t},e^{t})}$${\displaystyle t/2}$${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\-1&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$

標準的なロジスティック関数には簡単に計算できる導関数があります。この導関数はロジスティック分布の密度として知られています。

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)&={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\\&={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\\&=\left({\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\left({\frac {1}{1+e^{x}}}\right)\\&=\left({\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\left(1-{\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\\&=f(x)\left(1-f(x)\right)\end{aligned}}}$$そこからすべての高次導関数を代数的に導くことができます。たとえば、。 ${\displaystyle f''=(1-2f)(1-f)f}$

ロジスティック分布は位置とスケールの族であり、ロジスティック関数のパラメータに対応します。⁠ ⁠ が${\displaystyle L=1}$固定されている場合、中点⁠ ⁠ が${\displaystyle x_{0}}$位置であり、傾き⁠ ⁠${\displaystyle k}$がスケールです。

逆に、その不定積分はを代入する ことで計算できる。 ${\displaystyle u=1+e^{x}}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}},}$$

したがって（積分定数を省略）

$${\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\ln u=\ln(1+e^{x}).}$$

人工ニューラル ネットワークでは、これはソフトプラス関数として知られており、(スケーリングされた)ランプ関数の滑らかな近似であり、ロジスティック関数 (スケーリングされた) がヘビサイド ステップ関数の滑らかな近似であるのと同じです。

唯一の標準ロジスティック関数は、単純な1次非線形常微分方程式の解である。

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x){\big (}1-f(x){\big )}}$$

境界条件 を伴う。この方程式はロジスティック写像の連続バージョンである。逆ロジスティック関数は単純な1次線形常微分方程式の解であることに注意すること。^[12]${\displaystyle f(0)=1/2}$

定性的な動作は、位相線の観点から簡単に理解できます。関数が 1 のとき、導関数は 0 です。導関数は、0 と 1 の間では正で、1 より大きいか 0 より小さい場合は負です (ただし、負の集団は一般に物理モデルと一致しません)。これにより、0 では不安定な平衡、1 では安定した平衡が生成され、したがって、0 より大きく 1 より小さい関数値はすべて 1 に成長します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

ロジスティック方程式はベルヌーイ微分方程式の特殊なケースであり、次の解を持ちます。

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+C}}.}$$

積分定数を選択すると、ロジスティック曲線の定義のもう 1 つのよく知られた形式が得られます。 ${\displaystyle C=1}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{1+e^{-x}}}.}$$

より定量的に言えば、解析解からわかるように、ロジスティック曲線は負の引数に対して初期に指数関数的増加を示し、引数が 0 に近い場合は傾き 1/4 の線形増加に達し、その後指数関数的に減少するギャップで 1 に近づきます。

上で導出された微分方程式は、シグモイド関数のみをモデル化する一般微分方程式の特殊なケースです。多くのモデリングアプリケーションでは、より一般的な形式^[13] が望ましい場合があります。その解は、シフトされスケールされたシグモイドです。 ${\displaystyle x>0}$ $${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {k}{a}}f(x){\big (}a-f(x){\big )},\quad f(0)={\frac {a}{1+e^{kr}}}}$$${\displaystyle aS{\big (}k(x-r){\big )}}$

容量が の場合、ロジスティック関数の値は⁠ ⁠ の範囲内にあり、確率pとして解釈できます。^[e]より詳しくは、p は2 つの選択肢のうちの 1 つの確率（ベルヌーイ分布のパラメータ）として解釈できます。^[f] 2 つの選択肢は補完的であるため、もう 1 つの選択肢の確率はおよびです。2 つの選択肢は 1 と 0 としてコード化され、限界値は として対応しています。 ${\displaystyle L=1}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle q=1-p}$${\displaystyle p+q=1}$${\displaystyle x\to \pm \infty }$

この解釈では、入力xは最初の選択肢のログオッズ（他の選択肢に対する相対値）で、「ロジスティック単位」（またはロジット）で測定され、⁠ ⁠ は${\displaystyle e^{x}}$最初のイベントのオッズ（2 番目のイベントに対する相対値）であり、 ⁠ ⁠ に対する のオッズ（⁠ ⁠ 1に対して）が与えられていることを思い出すと、確率は ⁠ を ⁠ に対して （ ⁠ ⁠ プラスに対して）比で表すことから、 は最初の選択肢の確率であることがわかります。逆に、 xは2 番目の選択肢に対するログオッズ、 ⁠ ⁠は 2 番目の選択肢のログオッズ、は 2 番目の選択肢のオッズ、 は2 番目の選択肢の確率です。 ${\displaystyle O=O:1}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O/(O+1)}$${\displaystyle e^{x}/(e^{x}+1)=1/(1+e^{-x})=p}$${\displaystyle -x}$${\displaystyle e^{-x}}$${\displaystyle e^{-x}/(e^{-x}+1)=1/(1+e^{x})=q}$

これは、2 つの入力⁠ ⁠${\displaystyle x_{0}}$と⁠ ⁠ という${\displaystyle x_{1}}$形でより対称的に表現することができ、自然に 3 つ以上の選択肢に一般化されます。2 つの実数入力⁠ ⁠${\displaystyle x_{0}}$と⁠ ⁠がロジットとして解釈されると、それらの${\displaystyle x_{1}}$差 はオプション 1 のログオッズ (オプション 0に対するログオッズ)であり、はオッズ、 はオプション 1 の確率、同様にオプション 0 の確率です。 ${\displaystyle x_{1}-x_{0}}$${\displaystyle e^{x_{1}-x_{0}}}$${\displaystyle e^{x_{1}-x_{0}}/(e^{x_{1}-x_{0}}+1)=1/\left(1+e^{-(x_{1}-x_{0})}\right)=e^{x_{1}}/(e^{x_{0}}+e^{x_{1}})}$${\displaystyle e^{x_{0}}/(e^{x_{0}}+e^{x_{1}})}$

この形式は、 i番目の座標が であるベクトル値関数であるソフトマックス関数として、より多くの選択肢にすぐに一般化されます。 ${\textstyle e^{x_{i}}/\sum _{i=0}^{n}e^{x_{i}}}$

さらに微妙なことに、対称形式は、入力x をと解釈し、したがって何らかの参照点、つまり暗黙的に と相対的に解釈することを強調しています。特に、ソフトマックス関数は、すべてのロジット に定数を追加しても不変であり、これは、差がオプションjのオプションiに対するログオッズであるが、個々のロジットはそれ自体ではログオッズではないことに対応しています。多くの場合、オプションの 1 つが参照 (「ピボット」) として使用され、その値は0に固定されるため、他のロジットはこの参照に対するオッズとして解釈されます。これは通常、最初の選択肢で行われるため、番号付けが選択されます。、そして はオプションiのオプション0に対するログオッズです。 であるため、これはロジスティック関数と一般化の多くの式で項をもたらします。^[g]${\displaystyle x_{1}-x_{0}}$${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x_{i}=x_{i}-x_{0}}$${\displaystyle e^{0}=1}$${\displaystyle +1}$

成長モデルには、一般化ロジスティック曲線、ゴンペルツ関数、シフトされたゴンペルツ分布の累積分布関数、タイプ I の双曲線関数など、多数の一般化が存在します。

統計学では、ロジスティック関数は 2 つの選択肢のうちの 1 つの選択肢の確率として解釈されますが、3 つ以上の選択肢への一般化はソフトマックス関数であり、これは各選択肢の確率を与えるベクトル値です。

ロジスティック方程式の典型的な応用例は、人口増加の一般的なモデルである（人口動態も参照）。これはもともと1838年にピエール＝フランソワ・ヴェルフルストが考案したもので、他のすべての条件が同じであれば、再生産率は既存の人口と利用可能な資源の量の両方に比例する。ヴェルフルスト方程式は、単純な（制約のない）指数関数的増加というマルサスの成長モデルを説明したトーマス・マルサスの『人口論』をヴェルフルストが読んだ後に発表された。ヴェルフルストは、生物集団の自己制限的成長を説明するためにロジスティック方程式を導出した。この方程式は1911年にAGマッケンドリックが培養液中の細菌の成長について再発見し、非線形パラメータ推定の手法を使用して実験的にテストされた。^[14]この式は、1920年にジョンズホプキンス大学のレイモンド・パール（1879-1940）とローウェル・リード（1888-1966）によって再発見されたため、フェルフルスト・パール式と呼ばれることもあります。^[15]別の科学者であるアルフレッド・J・ロトカは1925年にこの式を再び導き出し、人口増加の法則と呼びました。

が個体群の大きさ（生態学では が代わりによく使われる）を表し、が時間を表すとすると、このモデルは微分方程式によって形式化されます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle N}$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),}$$

ここで、定数は成長率を定義し、は収容力です。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle K}$

この方程式では、初期の妨げのない成長率は、第 1 項 でモデル化されます。成長率の値は、1 単位時間あたりの人口の比例増加を表します。その後、人口が増加すると、第 2 項の係数 (乗算すると) は、第 1 項とほぼ同じ大きさになります。これは、人口の一部のメンバーが、食料や居住スペースなどの重要なリソースをめぐって競争し、互いに干渉するためです。この拮抗効果はボトルネックと呼ばれ、パラメータ の値でモデル化されます。競争により、合計成長率は減少し、 の値が増加しなくなるまで続きます (これを人口の成熟と呼びます)。方程式の解 ( は初期人口) は次のとおりです。 ${\displaystyle +rP}$${\displaystyle r}$${\displaystyle P}$${\displaystyle -rP^{2}/K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{0}}$

$${\displaystyle P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}\right)e^{-rt}}},}$$

どこ

$${\displaystyle \lim _{t\to \infty }P(t)=K,}$$

ここで、は の極限値、つまり、与えられた無限の時間の中で個体群が到達できる（または有限の時間内で到達に近づく）最高値です。収容力は、初期値 とは無関係に漸近的に到達します。また、 の場合にも となります。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P(0)>0}$${\displaystyle P(0)>K}$

生態学では、種は、その生涯戦略を形作った選択プロセスに応じて、 -戦略主義者または-戦略主義者と呼ばれることがあります。 が収容力の単位で個体数を測定し、 が時間の単位で時間を測定するように変数の次元を選択すると、無次元微分方程式が得られます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle 1/r}$

$${\displaystyle {\frac {dn}{d\tau }}=n(1-n).}$$

ロジスティック関数の生態学的形式の不定積分は、置換 によって計算できる。${\displaystyle u=K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}$${\displaystyle du=rP_{0}e^{rt}dt}$

$${\displaystyle \int {\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}\,dt=\int {\frac {K}{r}}{\frac {1}{u}}\,du={\frac {K}{r}}\ln u+C={\frac {K}{r}}\ln \left(K+P_{0}(e^{rt}-1)\right)+C}$$

環境条件は収容力に影響を与えるため、結果として収容力は時間とともに変化し、次の数学モデルが導かれます。 ${\displaystyle K(t)>0}$

$${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\cdot \left(1-{\frac {P}{K(t)}}\right).}$$

特に重要なケースは、期間に応じて周期的に変化する収容力の場合です。 ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle K(t+T)=K(t).}$$

^[16]によれば、このような場合には、初期値とは独立に、周期が である唯一の周期解 に近づくことが示されています。 ${\displaystyle P(0)>0}$${\displaystyle P(t)}$${\displaystyle P_{*}(t)}$${\displaystyle T}$

の典型的な値は1 年です。このような場合、気象条件の周期的な変動が反映される可能性があります。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle K(t)}$

もう一つの興味深い一般化は、収容力が以前の個体群の関数であり、個体群が環境を変更する方法の遅延を捉えていると考えることです。これはロジスティック遅延方程式につながり、^[17]は非常に豊富な動作を持ち、あるパラメータ範囲での双安定性、ゼロへの単調な減少、滑らかな指数関数的成長、断続的な無制限の成長 (つまり、複数の S 字型)、定常レベルへの断続的な成長または変化、定常レベルへの振動的な接近、持続可能な振動、有限時間の特異点、および有限時間の死があります。 ${\displaystyle K(t)}$

ロジスティック関数は、統計学においてさまざまな役割で使用されます。たとえば、ロジスティック分布族の累積分布関数であり、少し簡略化すると、チェス プレイヤーがElo レーティング システムで対戦相手に勝つ可能性をモデル化するために使用されます。次に、より具体的な例を示します。

ロジスティック関数はロジスティック回帰において、ある事象の確率が1つ以上の説明変数によってどのように影響を受けるかをモデル化するために使用されます。例としては、次のようなモデルが挙げられます。 ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle p=f(a+bx),}$$

ここで、は説明変数、は適合するモデルパラメータ、は標準ロジスティック関数です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f}$

ロジスティック回帰やその他の対数線形モデルも機械学習でよく使用されます。ロジスティック関数を複数の入力に一般化したものには、多項ロジスティック回帰で使用されるソフトマックス活性化関数があります。

ロジスティック関数の別の応用は、項目反応理論で使用されるラッシュモデルです。特に、ラッシュモデルは、カテゴリデータのコレクションに基づいて、連続体上の物体または人物の位置を最大尤度で推定するための基礎を形成します。たとえば、連続体上の人物の能力は、正解と不正解に分類された応答に基づいて推定されます。

ロジスティック関数は、モデルに非線形性を導入するため、または指定された間隔内に信号を固定するために、人工ニューラル ネットワークでよく使用されます。一般的なニューラル ネット要素は、入力信号の線形結合を計算し、その結果に活性化関数として制限付きロジスティック関数を適用します。このモデルは、従来のしきい値ニューロンの「平滑化された」変形として考えることができます。

活性化関数または「圧縮」関数の一般的な選択肢は、ニューラルネットワークの応答を制限された状態に保つために大きな振幅を切り取るために使用される^[18]である。

$${\displaystyle g(h)={\frac {1}{1+e^{-2\beta h}}},}$$

これはロジスティック関数です。

これらの関係により、人工ニューロンを使用した人工ニューラルネットワークの実装が簡素化されます。実践者は、バックプロパゲーションを使用してネットワークをトレーニングする場合、原点を中心に反対称なシグモイド関数（例：双曲正接）を使用すると収束が速くなると警告しています。^[19]

ロジスティック関数自体は、別の提案された活性化関数であるソフトプラスの導関数です。

ロジスティック曲線のもう一つの応用は医学であり、ロジスティック微分方程式は腫瘍の成長をモデル化するために用いられる。この応用は、生態学の枠組みにおける上記の応用の拡張とみなすことができる（より多くのパラメータを許容する一般化ロジスティック曲線も参照のこと）。腫瘍の大きさを時間 で表すと、そのダイナミクスは次のように決まる。 ${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X,}$$

これは、

$${\displaystyle X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,}$$

ここで腫瘍の増殖率です。 ${\displaystyle F(X)}$

対数殺傷効果で化学療法が開始された場合、式は次のように修正される可能性がある。

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X,}$$

ここで、は治療誘発死亡率である。非常に長い治療の理想的なケースでは、は周期関数（周期）または（持続注入療法の場合）定数関数としてモデル化することができ、 ${\displaystyle c(t)}$${\displaystyle c(t)}$${\displaystyle T}$

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}c(t)\,dt>r\to \lim _{t\to +\infty }x(t)=0,}$$

つまり、治療による死亡率の平均がベースラインの増殖率よりも高ければ、病気は根絶されていることになります。もちろん、これは増殖と治療の両方を単純化しすぎたモデルです（たとえば、クローン耐性の現象は考慮されていません）。

集団が免疫を持たない新しい感染性病原体は、感受性のある個体が豊富な間は、通常、初期段階で指数関数的に広がります。COVID -19を引き起こすSARS-CoV-2ウイルスは、2020年初頭にいくつかの国で感染の初期段階で指数関数的な増加を示しました。^[20]感受性のある宿主の不足（集団免疫の閾値を超えるまで感染が拡大し続けることによる）や、物理的な距離を置く措置による潜在的宿主へのアクセスの減少などの要因により、指数関数的に見える流行曲線が最初に線形化し（上記のように、ピエール・フランソワ・ヴェルフルストが最初に指摘した「対数」から「ロジスティック」への移行を再現する）、次に最大限度に達する可能性があります。^[21]

ロジスティック関数やそれに関連する関数（ゴンペルツ関数など）は、初期の指数関数的な増加だけでなく、集団免疫が形成されるにつれてパンデミックが最終的に横ばいになることにもよく当てはまるため、通常は記述的または現象論的な方法で使用されます。これは、パンデミックのダイナミクス（接触率、潜伏期間、社会的距離など）に基づいて説明を定式化しようとする実際のパンデミックモデルとは対照的です。ただし、ロジスティック解を生み出すいくつかの単純なモデルが開発されています。^{[22] [23] [24]}

一般化ロジスティック関数（リチャーズ成長曲線とも呼ばれる）は、 COVID-19の発生初期段階をモデル化するために適用されている。^{[25]著者らは、一般化ロジスティック関数を感染者累積数（ここでは}感染軌跡と呼ぶ）に当てはめている。文献には 一般化ロジスティック関数のさまざまなパラメータ化が見られる。よく使われる形式の一つは

$${\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{[1+\xi \exp(-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3}))]^{1/\xi }}}}$$

ここで、は実数、 は正の実数です。曲線の柔軟性は、パラメータ によるものです。(i) の場合、曲線はロジスティック関数 に縮小し、(ii) がゼロに近づくにつれて、曲線はゴンペルツ関数に収束します。疫学的モデリングでは、、、はそれぞれ最終的な流行の規模、感染率、およびラグフェーズを表します。 がに設定されている場合の感染経路の例については、右のパネルを参照してください。 ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi =1}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \theta _{3}}$${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}$${\displaystyle (10000,0.2,40)}$

疫学的モデリングにおいて一般化ロジスティック関数などの成長関数を使用する利点の 1 つは、異なる地理的地域の情報をまとめてプールできる マルチレベル モデルフレームワークへの適用が比較的容易なことです。

自己触媒反応における反応物と生成物の濃度はロジスティック関数に従います。燃料電池カソードにおける白金族金属フリー（PGMフリー）酸素還元反応（ORR）触媒の劣化はロジスティック減衰関数に従い、^[26]自己触媒劣化メカニズムを示唆しています。

ロジスティック関数は、熱平衡にあるシステムのエネルギー状態におけるフェルミオンの統計的分布を決定します。特に、フェルミ・ディラック統計に従って、各可能なエネルギーレベルがフェルミオンによって占有される確率の分布です。

ロジスティック関数は光学、特に蜃気楼などの現象のモデル化にも応用されています。温度勾配や拡散による濃度勾配、重力とのバランスなど、特定の条件下ではロジスティック曲線の挙動が現れることがあります。^{[27] [28]}

蜃気楼は、距離に応じて物質の密度/濃度に関連する屈折率を変化させる温度勾配から生じ、濃度勾配による屈折率勾配を持つ流体を使用してモデル化できます。このメカニズムは、集中領域が重力との平衡を求めながら低濃度領域に拡散しようとする限界人口増加モデルに相当し、ロジスティック関数曲線を生み出します。^[27]

拡散接合を参照してください。

言語学では、ロジスティック関数は言語の変化をモデル化するために使用できます。^[29]最初は限界的であった革新は、時間の経過とともにより急速に広がり始め、より普遍的に採用されるようになるとよりゆっくりと広がります。

ロジスティック S 曲線は、成長因子の変化に対する作物の反応をモデル化するために使用できます。反応関数には、 正の成長曲線 と負の成長曲線の 2 種類があります。たとえば、作物の収穫量は、成長因子の値が一定レベルまで増加すると増加する可能性があります(正関数)。または、成長因子の値が増えると収穫量は減少する可能性があります(負の成長因子による負の関数)。この状況では、逆S 曲線が必要になります。

ロジスティック関数は、イノベーションのライフサイクルを通じて の普及の進行状況を示すために使用できます。

ガブリエル・タルドは『模倣の法則』（1890年）で、模倣の連鎖を通じて新しいアイデアが生まれ、広まっていく様子を描いています。特に、タルドはイノベーションが広まる3つの主な段階を特定しています。最初の段階は困難な始まりに相当し、その間、アイデアは相反する習慣や信念に満ちた敵対的な環境の中で奮闘しなければなりません。2番目の段階はアイデアが適切に指数関数的に広がる段階であり、 です。最後に、3番目の段階は対数的であり、 で、アイデアの勢いが徐々に弱まる一方で、同時に新しい対抗するアイデアが現れる時期に相当します。その後の状況によってイノベーションの進行が停止または安定し、漸近線に近づきます。 ${\displaystyle f(x)=2^{x}}$${\displaystyle f(x)=\log(x)}$

主権国家では、地方自治体（構成州または都市）は、プロジェクトの資金調達にローンを利用できる。しかし、この資金源は通常、厳格な法的規則と、特に銀行が貸し出せる資源（自己資本またはバーゼル規制による）などの経済的な希少性の制約を受ける。飽和レベルを表すこれらの制約と、金銭獲得のための経済競争の急激な増加により、公的資金による信用要請の拡散が生じ、国家全体の反応はシグモイド曲線を描く。^[32]

歴史的に、新製品が導入されると、徹底的な研究開発が行われ、品質の劇的な向上とコストの削減につながります。これにより、業界は急成長します。有名な例としては、鉄道、白熱電球、電化、自動車、航空旅行などがあります。最終的には、劇的な改善とコスト削減の機会が尽き、製品またはプロセスが広く使用されるようになり、潜在的な新規顧客はほとんど残らず、市場は飽和状態になります。

ロジスティック分析は、国際応用システム分析研究所（IIASA）の研究者数名による論文で使用されました。これらの論文は、さまざまなイノベーション、インフラ、エネルギー源の代替の普及、経済における仕事の役割、および長期経済サイクルを扱っています。長期経済サイクルは、ロバート・エアーズ（1989）によって調査されました。^[33]チェーザレ・マルケッティは、長期経済サイクルとイノベーションの普及について出版しました。^{[34] [35]}アルヌルフ・グルブラー（1990）の本は、運河、鉄道、高速道路、航空会社などのインフラの普及について詳細に説明しており、それらの普及がロジスティック形状の曲線をたどることを示しました。^[36]

カルロタ・ペレスはロジスティック曲線を用いて長期（コンドラチェフ）ビジネスサイクルを次のように表現した。技術時代の始まりを突発、上昇を熱狂、急速な発展を相乗効果、そして完成を成熟と表現した。^[37]

ロジスティック成長回帰は、成長プロセスの変曲点付近までのデータしか利用できない場合、大きな不確実性を伴います。このような状況では、変曲点が発生する高さを推定すると、システムの収容力 (K) に匹敵する不確実性が生じる可能性があります。

この不確実性を軽減する方法としては、代替ロジスティック成長プロセスの収容力を基準点として使用する方法があります。^[38]この制約を組み込むことで、Kが2倍以内の推定値であっても回帰が安定し、精度が向上し、予測パラメータの不確実性が低減します。このアプローチは、類似の代替システムや集団が分析に利用できる経済学や生物学などの分野に適用できます。

リンク^[39]は、ワルドの逐次解析理論を、正または負の境界に最初に等しいかそれを超えるまでランダム変数を分布なしで蓄積するという拡張を生み出しました。リンク^[40]は、最初に正の境界に等しいかそれを超える確率をロジスティック関数として導出します。これは、ロジスティック関数が確率過程を基礎としている可能性があることを示す最初の証明です。リンク^[41]は、1世紀にわたる「ロジスティック」実​​験結果の例と、この確率と境界での吸収時間との間に新たに導出された関係を示しています。 ${\displaystyle 1/(1+e^{-\theta A})}$