地图投影

中世纪对大地的描绘（1482 年，雕刻家约翰内斯·施尼策尔），根据托勒密地理书中的坐标绘制，并使用了他的第二种地图投影

在制图学中，地图投影是一组广泛的变换中的一种，用于在平面上表示地球的弯曲二维表面。[1] [2] [3]在地图投影中，地球表面位置的坐标（通常以纬度和经度表示）被转换为平面坐标。[4] [5] 投影是创建二维地图的必要步骤，也是制图学的基本要素之一。

球体在平面上的所有投影必然会以某种方式扭曲表面。[6]根据地图的用途，某些扭曲是可以接受的，而其他则不能；因此，存在不同的地图投影，以便以牺牲其他属性为代价来保留球体的一些属性。地图投影的研究主要在于表征其扭曲。可能的地图投影数量没有限制。[7] : 1  更一般地说，投影在纯数学的几个领域中被考虑，包括微分几何、射影几何和流形。然而，“地图投影”一词特指制图投影。

尽管名称的字面意思如此，但投影并不局限于透视投影，例如在屏幕上投射阴影所产生的投影，或针孔相机在平面胶片板上产生的直线图像。相反，任何将坐标从曲面清晰平滑地转换为平面的数学函数都是投影。实际应用中很少有投影是透视的。[需要引用]

本文的大部分内容假设要绘制的表面是球体。地球和其他大型天体通常更适合用扁球体建模，而小行星等小物体通常具有不规则的形状。即使行星体的表面太不规则而无法用球体或椭圆体很好地建模，也可以绘制其表面。[8]因此，更一般地说，地图投影是将连续曲面展平到平面上的任何方法。[需要引用]

最著名的地图投影是墨卡托投影。[7] : 45 这种地图投影具有保角的特性。 然而，整个 20 世纪，它因扩大赤道以外地区的面积而受到批评。[7] : 156–157 相比之下，等面积投影（如正弦投影和高尔-彼得斯投影）显示了各个国家相对于彼此的正确大小，但会扭曲角度。国家地理学会和大多数地图集都倾向于在面积和角度失真之间妥协的地图投影，例如罗宾逊投影和温克尔三重投影。[7] [9]

地图的度量特性

阿尔伯斯投影可以准确地显示区域，但会扭曲形状。

地球表面的许多特性都可以独立于其地理位置进行测量：

可以构建地图投影来保留其中的一些属性，但牺牲其他属性。由于地球的曲面并不等距于平面，因此形状的保留不可避免地需要可变的比例，从而导致面积的呈现不成比例。同样，面积保留投影不能是保角的，导致地图大部分地方的形状和方位扭曲。每个投影都以不同的方式保留、损害或近似基本度量属性。地图的用途决定了哪种投影应成为地图的基础。由于地图有许多不同的用途，因此已经创建了多种投影来满足这些用途。

在配置投影时，另一个要考虑的因素是它与地图上要使用的数据集的兼容性。数据集是地理信息；它们的收集取决于所选的地球基准（模型）。不同的基准为同一位置分配的坐标略有不同，因此在大比例尺地图（例如来自国家测绘系统的地图）中，将基准与投影匹配非常重要。不同基准之间坐标分配的细微差异不是世界地图或大区域地图的问题，因为这些差异被减小到难以察觉的程度。

失真

卡尔·弗里德里希·高斯的“大地定理” 证​​明，球体表面无法在平面上不失真地表示出来。这同样适用于用作地球模型的其他参考表面，例如扁球体、椭圆体和大地水准面。由于任何地图投影都是这些表面之一在平面上的表示，因此所有地图投影都会失真。[5]

蒂索关于墨卡托投影的指标

显示投影固有畸变的经典方式是使用蒂索指标线。对于给定点，使用沿子午线的比例因子h 、沿纬线的比例因子k以及它们之间的角度θ ′， Nicolas Tissot描述了如何构建一个椭圆来说明畸变分量的数量和方向。[7] : 147–149  [10] : 24 通过沿经线和纬线有规律地间隔开椭圆，指标线网络显示了畸变在整个地图上的变化情况。

其他失真指标

已经描述了许多其他显示投影扭曲的方法。[11] [12]像蒂索的指示线一样，戈德堡 - 戈特指示线基于无穷小量，并描绘屈曲和倾斜（弯曲和不平衡）扭曲。[13]

一些视觉方法并不像蒂索的指示线那样使用原始的（放大的）无穷小圆，而是投射跨越地图一部分的有限形状。例如，半径固定（如 15 度角半径）的小圆。 [14]有时也会使用球面三角形。 [需要引用] 在 20 世纪上半叶，将人头投影到不同的投影上是很常见的，以显示一个投影与另一个投影相比的失真程度如何变化。[15] 在动态媒体中，可以将熟悉的海岸线和边界的形状拖动到交互式地图上，以显示投影如何根据地图上的位置扭曲大小和形状。[16]

另一种可视化局部变形的方式是通过灰度或颜色渐变，其深浅代表角度变形或面积膨胀的程度。有时，通过混合两种颜色来同时显示两者，以创建双变量图。[17]

要测量整个区域的变形，而不是只测量单个点的变形，就必须选择优先事项以达成妥协。有些方案使用距离变形作为角变形和面积膨胀组合的代理；此类方法任意选择要测量的路径以及如何加权它们以产生单一结果。已有许多描述。[13] [18] [19] [20] [21]

设计和施工

地图投影的创建涉及两个步骤：

  1. 选择地球或行星体形状的模型（通常在球体或椭圆体之间选择）。由于地球的实际形状不规则，因此在此步骤中会丢失信息。
  2. 将地理坐标（经度和纬度）转换为笛卡尔（x，y）或极坐标（r，θ ）平面坐标。在大比例尺地图中，笛卡尔坐标通常与东距和北距有简单的关系，东距和北距定义为投影上的叠加网格。在小比例尺地图中，东距和北距没有意义，网格不叠加。

一些最简单的地图投影是字面投影，通过将光源放置在相对于地球的某个确定点并将其特征投影到指定表面上而获得。虽然大多数投影不是以这种方式定义的，但描绘光源-地球模型有助于理解地图投影的基本概念。

选择投影表面

米勒圆柱投影将地球映射到圆柱体上。

可以展开或铺展成平面或薄片而不会拉伸、撕裂或收缩的曲面称为可展曲面。圆柱、圆锥和平面都是可展曲面。球体和椭圆体没有可展曲面，因此将它们投影到平面上必然会扭曲图像。（相比之下，如果不撕裂和扭曲橘皮，就无法将其展平。）

描述投影的一种方法是先从地球表面投影到可展开曲面（如圆柱或圆锥），然后将曲面展开为平面。虽然第一步不可避免地会扭曲地球的一些特性，但可展开曲面可以展开而不会进一步扭曲。

投影的方面

这种横轴墨卡托投影在数学上与标准墨卡托投影相同，但围绕不同的轴定向。

一旦选择投影到圆柱、圆锥或平面上，就必须指定形状的方位。方位描述了可展开表面相对于地球的位置：它可以是垂直的（这样表面的对称轴与地球轴重合）、横向的（与地球轴成直角）或倾斜的（两者之间的任何角度）。

值得注意的台词

正切和正割圆柱、圆锥和方位地图投影的比较，其中标准纬线以红色显示

可展曲面也可以与球体或椭圆体相切或相割。相切意味着曲面与球体接触但不切开；相割意味着曲面切开球体。将可展曲面移离球体不会保留或优化度量属性，因此这里不再讨论这种可能性。

切线和割线（标准线）以不失真的方式表示。如果这些线是纬线，如圆锥投影中的纬线，则称为标准纬线。中央子午线是地球在投影前旋转到的子午线。中央子午线（通常写为λ 0）和原点纬线（通常写为φ 0）通常用于定义地图投影的原点。[22] [23]

规模

地球仪是唯一能够在整个地图上 以恒定比例表示地球的方法。地图无法在任何区域实现这一特性，无论区域多小。但是，它可以沿着特定的线实现恒定的比例。

一些可能的属性是：

  • 比例尺取决于位置，而不取决于方向。这相当于角度的保持，这是保角映射的定义特征。
  • 沿任何平行线方向的比例都是恒定的。这适用于任何法向圆柱投影或伪圆柱投影。
  • 以上内容的组合：比例尺仅取决于纬度，而不取决于经度或方向。这适用于标准方位的墨卡托投影。
  • 沿从特定地理位置辐射的所有直线的比例是恒定的。这是等距投影（例如方位等距投影）的定义特征。还有一些投影（Maurer 的两点等距投影，关闭）可以保留两点的真实距离。 [7] : 234 

选择适合身体形状的模型

投影构造还受到地球或行星体形状的近似方法的影响。在以下关于投影类别的部分中，为了简化讨论，地球被视为球体。然而，地球的实际形状更接近于扁椭圆体。无论是球形还是椭圆形，所讨论的原理都适用，且不失一般性。

选择地球形状的模型需要在球体和椭圆体之间做出选择，以权衡二者的优缺点。球面模型适用于小比例尺地图，例如世界地图集和地球仪，因为这种比例尺下的误差通常不明显，也不足以证明使用更复杂的椭圆体是合理的。椭圆体模型通常用于绘制地形图和其他需要准确描绘陆地表面的大中比例尺地图。辅助纬度通常用于投影椭圆体。

第三个模型是大地水准面，它是地球形状的更复杂和精确的表示，与没有风、潮汐或陆地时的平均海平面相一致。与最佳拟合的椭球体相比，大地水准面模型会改变距离、保形性和等价性等重要特性的表征。因此，在保留这些特性的大地水准面投影中，映射的经纬网将偏离映射的椭球体的经纬网。然而，通常大地水准面不用作投影的地球模型，因为地球的形状非常规则，在 630 万米的地球半径中，大地水准面的起伏不超过 100 米。然而，对于小行星等不规则行星体，有时会使用类似于大地水准面的模型来投影地图。[24] [25] [26] [27] [28]

其他正多面体有时被用作较小天体的大地水准面等效物的概括。例如，木卫一更适合用三轴椭球体或偏心率较小的长椭球体来建模。鸟神星的形状是雅可比椭球体，其长轴是其短轴的两倍，中轴是其短轴的 1.5 倍。有关更多信息，请参阅三轴椭球体的地图投影。

分类

对地图投影进行分类的一种方法是基于将地球投影到的表面类型。在该方案中，投影过程被描述为将一个与所需研究区域大小相同的假想投影表面与地球的一部分接触，将地球表面的特征转移到投影表面上，然后将投影表面展开并缩放为平面地图。最常见的投影表面是圆柱面（例如墨卡托）、圆锥面（例如阿尔伯斯）和平面（例如立体投影）。然而，许多数学投影并不完全适合这三种投影方法中的任何一种。因此，文献中描述了其他同等类别，例如伪圆锥面、伪圆柱面、伪方位角、逆方位角和多圆锥面。

对投影进行分类的另一种方法是根据它们保留的模型的属性。一些更常见的类别是：

  • 保持方向（方位角或天顶角），这种特性只可能从一个或两个点到另一个点[10] : 192 
  • 局部保持形状（保形或正交）
  • 保留面积（等面积或等面积或等值或等积）
  • 保持距离（等距），这是仅在一个或两个点与其他每个点之间可能存在的特性
  • 保留最短路线，这是只有心球投影才能保留的特性

由于球面不是可展曲面，因此不可能构造既等积又保角的地图投影。

表面投影

三个可展开曲面（平面、圆柱、圆锥）为理解、描述和开发地图投影提供了有用的模型。然而，这些模型在两个基本方面受到限制。首先，大多数世界投影不属于任何这些类别。另一方面，即使大多数属于这些类别的投影也无法通过物理投影自然实现。正如LP Lee指出的那样，

上述定义中没有提到圆柱、圆锥或平面。这些投影被称为圆柱投影或圆锥投影，因为它们可以看作是在圆柱或圆锥上展开的，视具体情况而定，但最好不要画圆柱和圆锥，因为它们已经引起了很多误解。对于具有两条标准纬线的圆锥投影尤其如此：它们可能被认为是在圆锥上展开的，但它们是与球面没有简单关系的圆锥。事实上，圆柱和圆锥为我们提供了方便的描述术语，但仅此而已。[29]

Lee 的反对意见指的是地图投影领域中术语“圆柱”、“圆锥”和“平面（方位角）”的抽象方式。如果地图投影的方式就像光线穿过地球仪照射到可展开表面上一样，那么平行线的间距将遵循一组非常有限的可能性。例如，这样的圆柱投影是：

  1. 是矩形的；
  2. 具有笔直的垂直经线，间距均匀；
  3. 有沿赤道对称放置的直纬线；
  4. 当光线穿过球体照射到圆柱体上时，平行线会被限制在它们落下的位置，光源位于本初子午线与赤道交点以及球体中心形成的线上的某个位置。

（如果在投影之前旋转地球仪，那么平行线和经线不一定仍然是直线。出于分类的目的，通常会忽略旋转。）

光源沿着最后一条约束中描述的线发出的位置是导致各种“自然”圆柱投影之间差异的原因。但在地图投影领域使用的术语“圆柱”完全放宽了最后一条约束。相反，可以根据设计师决定的任何适合地图需要的算法来放置平行线。著名的墨卡托投影中，平行线的放置不是由投影产生的；相反，平行线的放置方式是根据需要的，以满足恒定方位的路线始终绘制为直线的属性。

圆柱形

普通圆柱

墨卡托投影将恒向航线显示为直线。恒向航线是恒定方位的航线。方位是运动的罗盘方向。

正常圆柱投影是将经线映射到等距垂直线并将纬度圆（纬线）映射到水平线的任何投影。

子午线到垂直线的映射可以通过想象一个圆柱体来直观地展示，圆柱体的轴线与地球的自转轴重合。这个圆柱体环绕地球，投影到地球上，然后展开。

根据其构造几何，圆柱投影会向东西方向延伸。所有圆柱投影的延伸量在任何选定纬度上都是相同的，并且由纬度的正割值给出，是赤道比例的倍数。各种圆柱投影之间的唯一区别在于它们的南北延伸（其中纬度由φ给出）：

  • 南北拉伸等于东西拉伸 ( sec φ )：东西尺度与南北尺度相匹配：等角圆柱或墨卡托；这会过度扭曲高纬度地区的区域。
  • 南北拉伸随纬度的增长速度比东西拉伸（sec2φ）更快： 圆柱透视（或中央圆柱）投影；不合适，因为失真比墨卡托投影更严重。
  • 南北拉伸随纬度增加而增大，但速度不如东西拉伸快：例如米勒圆柱投影（sec ⁠4/5⁠φ ）。
  • 南北距离既不拉伸也不压缩（1）：等距矩形投影或“矩形投影”。
  • 南北压缩等于纬度的余弦（东西拉伸的倒数）：等积圆柱投影。此投影有许多命名的特殊化投影，仅在缩放常数上有所不同，例如Gall-Peters或 Gall 正交投影（在 45° 纬线处不变形）、Behrmann（在 30° 纬线处不变形）和Lambert 圆柱等积投影（在赤道处不变形）。由于此投影按东西拉伸的倒数缩放南北距离，因此它以牺牲形状为代价来保留面积。

在第一种情况下（墨卡托），东西比例尺始终等于南北比例尺。在第二种情况下（中央圆柱），在远离赤道的地方，南北比例尺都超过东西比例尺。其余每种情况都有一对割线——一对符号相反的相同纬度（或赤道），东西比例尺与南北比例尺相匹配。

普通圆柱投影将整个地球映射为一个有限的矩形，但前两种情况除外，在前两种情况下，矩形的高度无限延伸，而宽度保持不变。

横置圆柱

横轴圆柱投影是一种在切线情况下使用沿子午线的大圆作为圆柱接触线的圆柱投影。

参见：横轴墨卡托投影。

斜圆柱

斜向圆柱等积投影

斜圆柱投影与大圆对齐，但不与赤道和子午线对齐。

假圆柱形

正弦投影可以准确显示相对大小，但会严重扭曲形状。可以通过“中断”地图来减少扭曲。

伪圆柱投影将中央 子午线表示为直线段。其他子午线比中央子午线长，并向外弯曲，远离中央子午线。伪圆柱投影将纬线映射为直线。沿着纬线，表面上的每个点都映射到与中央子午线的距离，该距离与其与中央子午线的经度差成比例。因此，子午线沿给定的纬线等距分布。在伪圆柱地图上，任何距离赤道比其他点远的点都比另一点纬度高，从而保持南北关系。此特性在说明依赖于纬度的现象（例如气候）时很有用。伪圆柱投影的示例包括：

  • 正弦投影，这是第一个开发的伪圆柱投影。在地图上，就像在现实中一样，每条平行线的长度与纬度的余弦成正比。[30]任何地区的面积都是真实的。
  • 科利尼翁投影，其最常见的形式是将每条经线表示为两条直线段，分别从两极到赤道。

杂交种

HEALPix投影将赤道地区的等面积圆柱投影与极地地区的 科利尼翁投影相结合。

锥

阿尔伯斯圆锥投影

“圆锥投影”一词用于指代将经线映射到从顶点向外辐射的等距线并且将纬度圆（平行线）映射到以顶点为中心的圆弧的任何投影。[31]

绘制圆锥地图时，地图绘制者会任意选取两条标准纬线。这些标准纬线可视为圆锥与地球相交处的割线，或者，如果地图绘制者两次选择同一条纬线，则视为圆锥与地球相切处的切线。生成的圆锥地图在这些标准纬线附近的比例、形状和面积失真程度较低。两条标准纬线以北或以南的纬线沿线的距离被拉伸；标准纬线之间的纬线沿线的距离被压缩。使用一条标准纬线时，所有其他纬线沿线的距离都会被拉伸。

常用的圆锥投影有：

  • 等距圆锥曲线，使纬线沿经线均匀分布，以保持沿每条经线的距离比例恒定，通常与沿标准纬线的比例相同或相似。
  • 阿尔伯斯圆锥投影，它调整非标准纬线之间的南北距离，以补偿东西向的拉伸或压缩，从而给出等面积地图。
  • 兰伯特等角圆锥投影，将非标准纬线之间的南北距离调整为与东西延伸相等，从而得到等角地图。

伪圆锥

方位角（投影到平面上）

方位等距投影可以准确地显示从中心点开始的距离和方向，但会扭曲其他地方的形状和大小。

方位投影具有保留中心点方向的特性，因此通过中心点的大圆在地图上用直线表示。这些投影在比例尺上也具有径向对称性，因此在变形方面也具有径向对称性：地图上与中心点的距离由真实距离d的函数r ( d )计算，与角度无关；相应地，以中心点为中心的圆被映射为以地图上的中心点为中心的圆。

我们可以通过想象一个与地球相切的平面，以中心点为切点，来直观地了解径向线的映射。

径向尺度为r′ ( d )，横向尺度为r ( d )/( R  sin  ⁠d/R⁠ ) 其中R是地球半径。

一些方位投影是真正的透视投影；也就是说，它们可以通过机械方式构造，通过从透视点延伸线（沿着通过切点和切点的对映点的无限线）到平面上来 投影地球表面：

  • 球心投影将大圆显示为直线。可以使用地球中心的透视点来构建。r ( d ) = c  tan  ⁠d/R⁠；因此即使只是一个半球，其范围也已经是无限的。[32] [33]
  • 正交投影将地球上的每个点映射到平面上最近的点。可以从距离切点无限远的透视点构建；r ( d ) = c  sin  ⁠d/R⁠。[34]最多可以显示有限圆上的半球。从足够远的地方（例如月球）拍摄的地球照片近似于这种视角。
  • 近侧透视投影，模拟从有限距离的太空看到的景象，因此显示的不是完整的半球，例如在《蓝色弹珠》 2012 年使用的方法）。[35]
  • 通用透视投影可通过使用地球外的透视点来构建。地球的照片（例如来自国际空间站的照片）给出了这种透视。它是近侧透视投影的概括，允许倾斜。
  • 立体投影是等角的，可以使用切点的对映点作为透视点来构造。r ( d ) = c tan  ⁠ d/2 R⁠；比例为c /(2 R  cos 2  ⁠d/2 R⁠）。[36]可以在有限的圆上显示几乎整个球体的表面。球体的整个表面需要无限映射。

其他方位投影不是真正的透视投影：

  • 等距方位角：r ( d ) = cd ；业余无线电操作员使用它来了解将天线指向某个点的方向并查看到该点的距离。地图上切点的距离与地球表面距离成正比（；[37]对于切点是北极的情况，请参见联合国国旗）
  • 兰伯特方位等积投影。地图上切点的距离与穿过地球的直线距离成正比：r ( d ) = c  sin  ⁠d/2 R⁠ [38]
  • 对数方位角的构造使得每个点与地图中心的距离是其与地球切点距离的对数。r ( d ) = c  ln  ⁠d/0​⁠）；距离小于常数d 0 的距离的位置未显示。[39]
以北纬 90° 为中心的同一比例的一些方位投影比较，按地球半径的投影高度排序。（单击查看详情）

多面体

巴克敏斯特·富勒的 Dymaxion 地图

多面体地图投影使用多面体将地球细分为面，然后将每个面投影到地球上。最著名的多面体地图投影是巴克敏斯特·富勒的Dymaxion 地图。

通过保留度量属性进行投影

立体投影是等角和透视的，但不等面积或等距。

保形

保角或正交地图投影在局部保留角度，这意味着它们将地球上任何地方的恒定大小的无限小圆映射到地图上大小不一的无限小圆。相反，非保角的映射会将大多数这样的小圆扭曲成扭曲的椭圆。保角的一个重要结果是地图上每个点的相对角度都是正确的，并且任何一个点周围每个方向的局部比例（尽管在整个地图上有所不同）都是恒定的。以下是一些保角投影：

等面积

等面积摩尔维特投影

等面积地图保留了面积测量，通常会扭曲形状以保留面积。等面积地图也称为等值或等积。以下是一些保留面积的投影：

等距离

欧亚大陆的两点等距投影

如果连接平面上两个投影点的线段长度与地球上两个未投影点之间的测地线（最短表面）距离成比例，那么我们说这两点之间的距离得到了保留。等距投影保留了一个或两个特殊点到所有其他点的距离。投影时，特殊点可能会被拉伸成直线或曲线段。在这种情况下，必须使用距离测量点最近的直线或曲线段上的点来测量距离。

日晷

日晷投影被认为是最古老的地图投影，由泰勒斯于公元前 6 世纪发明

大圆显示为直线：

逆方位角

到固定位置 B 的方向（最短路线的起始位置 A 处的方位）对应于地图上从 A 到 B 的方向：

妥协预测

罗宾逊投影法最早于 1988 年被《国家地理》杂志采用，但在 1997 年左右被弃用，转而采用温克尔三重投影法。

折衷投影放弃了完美保留度量属性的想法，而是寻求在扭曲之间取得平衡，或者只是让事情看起来正确。大多数此类投影对极地区域形状的扭曲程度比赤道区域更大。以下是一些折衷投影：

预测是否适合应用

投影数学不允许任何特定的地图投影对所有事物都适用。[39]总会有一些东西被扭曲。因此，存在许多投影来满足地图的多种用途及其广泛的比例范围。

现代国家制图系统通常采用横轴墨卡托投影或近距墨卡托投影来绘制大比例尺地图，以保持小区域内保形性和较小的比例变化。对于小比例尺地图（例如横跨各大洲或整个世界的地图），根据其适用性，许多投影法都得到广泛使用，例如温克尔三重投影法、罗宾逊投影法和摩尔维特投影法。[40] 世界参考地图通常采用折衷投影法。由于任何世界地图都存在固有的扭曲，因此投影法的选择在很大程度上取决于美观程度。

专题地图通常需要等面积投影，以便以正确的比例显示单位面积上的现象。[41] 然而，与许多非等面积地图相比，正确表示面积比必然会扭曲形状。

为航海目的而开发的墨卡托投影经常用于绘制世界地图，而其他投影可能更合适。[42] [43] [44] [45]这个问题早已被专业圈子之外的人认识到。例如，1943 年《纽约时报》的一篇社论指出：

是时候抛弃 [墨卡托] 了，用一种更能准确表示大陆和方向的方法来代替它……尽管它的使用……已经减少……但它作为挂图仍然非常受欢迎，部分原因显然是因为作为一张矩形地图，它能用更多的地图填充矩形墙壁空间，也显然是因为它为人所熟知，因此更受欢迎。[7] : 166 

20 世纪 80 年代有关彼得斯地图的争议促使美国制图协会 (现为制图和地理信息学会) 制作了一系列小册子 (包括《哪张地图最好》[46] )，旨在教育公众了解地图投影和地图失真。1989 年和 1990 年，经过一些内部辩论，七个北美地理组织通过了一项决议，建议不要使用任何矩形投影 (包括墨卡托和高尔-彼得斯) 作为世界参考地图。[47] [48]

参见

参考

引用

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  • 地图投影和失真的彩色图像（Mapthematics.com）。
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  • 地图投影（MathWorld）。
  • MapRef：欧洲地图投影和参考系统的互联网集合
  • PROJ.4—地图投影库。
  • 所有常见投影的示例和属性的投影参考表（RadicalCartography.net）。
  • “了解地图投影” （PDF）。 (1.70 MB)，梅丽塔·肯尼迪 ( Esri )。
  • 世界地图投影，Stephen Wolfram基于 Yu-Sung Chang（Wolfram 演示项目）的工作。
  • 比较地图投影
  • “真实大小”页面显示没有墨卡托投影扭曲的国家大小
取自“https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Map_projection&oldid=1246447225#Cylindrical”