弦（几何）

圆的弦（源于拉丁语chorda，意为“弓弦”）是一条直线段，其两个端点都位于圆弧上。如果将弦无限延伸为一条直线，则该物体为割线。通过弦中点的垂直线称为sagitta（拉丁语意为“箭头”）。

更一般地，弦是连接任意曲线（例如椭圆）上两点的线段。通过圆心的弦就是圆的直径。

圆的弦的性质如下：

1. 当且仅当弦的长度相等时，弦与中心的距离才相等。
2. 相等弦是由从圆心出发的相等角度所张的。
3. 经过圆心的弦称为直径，是该特定圆的最长弦。
4. 若弦 AB、CD 的延长线（割线）交于点 P，则它们的长度满足 AP·PB = CP·PD （点的幂定理）。

圆锥曲线的一组平行弦的中点共线（圆锥曲线中点定理）。^[1]

在三角学的早期发展中，弦函数被广泛使用。第一个已知的三角函数表是由希帕恰斯在公元前 2 世纪编纂的，虽然已不复存在，但它列出了每⁠7的弦函数值+1/2⁠ 度。公元 2 世纪，托勒密在他的天文学著作中编纂了更为详尽的弦表，给出了弦值，范围从⁠1/2⁠至 180 度，增量为⁠1/2⁠度。托勒密使用直径为 120 的圆，并给出精确到整数部分后两位六十进制（基数为六十）数字的弦长。 ^[2]

弦函数的几何定义如图所示。角的弦是单位圆上以该中心角分隔的两点之间的弦长。角θ取正值，且必须位于区间0 < θ ≤ π （弧度测量）内。弦函数可以与现代正弦函数相关联，取其中一个点为 (1,0)，另一个点为 ( cos θ , sin θ )，然后使用勾股定理计算弦长：^[2]

${\displaystyle \operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$ ^[3]

最后一步使用半角公式。就像现代三角学建立在正弦函数上一样，古代三角学建立在弦函数上。据称，希帕恰斯曾写过一本十二卷的弦学著作，现在都已失传，因此可以推测，人们对弦学了解颇多。在下表中（其中c是弦长，D是圆的直径），可以证明弦函数满足许多类似于众所周知的现代恒等式的恒等式：

姓名	基于正弦	基于和弦
毕达哥拉斯	${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}$	${\displaystyle \operatorname {crd} ^{2}\theta +\operatorname {crd} ^{2}(\pi -\theta )=4\,}$
半角	${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {crd} \ {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {2-\operatorname {crd} (\pi -\theta )}}\,}$
边心律（a）	${\displaystyle c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$	${\displaystyle c={\sqrt {D^{2}-4a^{2}}}$
角度 ( θ )	${\displaystyle c=2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$	${\displaystyle c={\frac {D}{2}}\operatorname {crd} \ \theta }$

反函数也存在：^[4]

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\frac {c}{2r}}}$

• 圆弧段——扇形去掉由圆心与边界上的圆弧两个端点所构成的三角形后剩下的部分。
• 和弦音阶
• 托勒密和弦表
• 霍尔迪奇定理，针对凸闭曲线中旋转的弦
• 圆形图
• 过切线和过切线
• 正矢和半正矢- ( )${\displaystyle \operatorname {crd} \theta =2{\sqrt {\operatorname {haversin} \theta }}}$
• 辛德勒曲线（封闭且简单的曲线，其中将弧长分成两半的所有弦的长度相同）
• 伯特兰悖论（概率）弦长平均悖论

维基共享资源中有与弦（几何）相关的媒体。

• 三角学史大纲
• 三角函数 2017-03-10 存档于Wayback Machine，重点关注历史
• 圆的弦 带有交互式动画