伯努利数

伯努利数B^±
_n

n	分数	十进制
0	1	+1.000000000
1	± ⁠1/2⁠	±0.500000000
2	⁠1/6⁠	+0.166666666
3	0	+0.000000000
4	− ⁠1/三十⁠	−0.033333333
5	0	+0.000000000
6	⁠1/四十二⁠	+0.023809523
7	0	+0.000000000
8	− ⁠1/三十⁠	−0.033333333
9	0	+0.000000000
10	⁠5/66⁠	+0.075757575
11	0	+0.000000000
12	− ⁠691/2730⁠	−0.253113553
十三	0	+0.000000000
14	⁠7/6⁠	+1.166666666
15	0	+0.000000000
16	− ⁠3617/510⁠	−7.092156862
17	0	+0.000000000
18	⁠43867/798⁠	+54.97117794
19	0	+0.000000000
20	− ⁠174611/330⁠	−529.1242424

在数学中，伯努利数 B _n是分析中经常出现的有理数序列。伯努利数出现在（并可由其定义）正切和双曲正切函数的泰勒级数展开式中、在Faulhaber 公式中（前n 个正整数的m次方之和）、在欧拉-麦克劳林公式中以及在黎曼 zeta 函数的某些值的表达式中。

前 20 个伯努利数的值列于下表。文献中使用了两种约定，在此用和表示；它们仅在n = 1时有所不同，其中和。对于每个奇数n > 1，B _n = 0。对于每个偶数n > 0，如果n能被 4 整除，则B _n为负数，否则为正数。伯努利数是伯努利多项式的特殊值，其中和。^[1]${\displaystyle B_{n}^{-{}}}$${\displaystyle B_{n}^{+{}}}$${\displaystyle B_{1}^{-{}}=-1/2}$${\displaystyle B_{1}^{+{}}=+1/2}$ ${\displaystyle B_{n}(x)}$${\displaystyle B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)}$${\displaystyle B_{n}^{+}=B_{n}(1)}$

伯努利数是在大约同一时间由瑞士数学家雅各布·伯努利发现的，并以他的名字命名，日本数学家关孝一也独立发现了伯努利数。关孝一的发现发表在他过世后的 1712 年的著作《胜洋三方》中^{[2] [3] [4]}；伯努利的发现也发表在他过世后的1713 年的 《猜想的艺术》中。阿达·洛夫莱斯1842 年在《分析机》上的笔记《G》描述了一种用巴贝奇的机器生成伯努利数的算法； ^[5]关于该算法是洛夫莱斯还是巴贝奇开发的还存在争议。因此，伯努利数是第一个发表的复杂计算机程序的主题。

本文使用的上标±区分了伯努利数的两种符号约定。只有n = 1项受到影响：

• 乙⁻
  _n 与B⁻
  ₁= − ⁠1/2⁠ （ OEIS：A027641 / OEIS：A027642 ）是NIST和大多数现代教科书规定的符号约定^{。 [6]}
• 乙⁺
  _n与B⁺
  ₁= +1/2⁠ （ OEIS : A164555 / OEIS : A027642）在较早的文献中使用过， ^[1]并且（自 2022 年起）由Donald Knuth ^[7]在 Peter Luschny 的“伯努利宣言”之后使用。 ^[8]

在下面的公式中，可以使用关系从一种符号约定切换到另一种符号约定，或者对于整数n = 2 或更大，简单地忽略它。 ${\displaystyle B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}}$

由于对于所有奇数n > 1 ， B _n = 0，并且许多公式仅涉及偶数指标伯努利数，因此一些作者写为“ B _n ”而不是B _{2 n}。本文不遵循该符号。  

伯努利数的根源在于整数幂和的计算的早期历史，自古以来，它就一直受到数学家们的兴趣。

计算前n 个正整数之和、前n 个正整数的平方和和立方和的方法已经为人所知，但没有真正的“公式”，只有完全用文字给出的描述。考虑过这个问题的古代伟大数学家包括毕达哥拉斯（约公元前 572-497 年，希腊）、阿基米德（公元前287-212 年，意大利）、阿亚波多（生于 476 年，印度）、阿布·巴克尔·卡拉吉（卒于 1019 年，波斯）和阿布·阿里·哈桑·伊本·哈桑·伊本·海赛姆（965-1039 年，伊拉克）。

十六世纪末十七世纪初，数学家取得了长足进步，西方数学家如英国数学家托马斯·哈里奥特（1560-1621）、德国数学家约翰·冯哈伯（1580-1635）、皮埃尔·德·费马（1601-1665）和法国数学家布莱斯·帕斯卡（1623-1662）等都发挥了重要作用。

托马斯·哈里奥特 (Thomas Harriot) 似乎是第一个使用符号表示法推导并写出幂和公式的人，但即使是他也只计算了四次方和。约翰·冯哈伯 (Johann Faulhaber) 在其 1631 年的《代数学》中给出了 17 次方和公式，比他之前的任何人都高得多，但他没有给出通用公式。

布莱斯·帕斯卡 (Blaise Pascal) 于 1654 年证明了帕斯卡恒等式，将( n +1) ^{k +1}与前n 个正整数的p次方和联系起来，其中p = 0, 1, 2, ..., k。

瑞士数学家雅各布·伯努利（1654-1705）首次认识到存在一个常数序列B ₀，B ₁，B ₂，...，它为所有幂和提供了统一的公式。^[9]

伯努利偶然发现了一种模式，可以快速轻松地计算出任意正整数c的c次方和公式的系数，从他的评论中可以看出他当时的喜悦。他写道：

“借助这张表格，我只花了不到半刻钟的时间就发现，前 1000 个数字的十次方相加的和是 91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500。”

伯努利的结果于 1713 年 在《推测之术》中发表。关孝一独立发现了伯努利数，他的结果于一年前的 1712 年发表，也是在他死后。^[2]然而，关孝一并没有将他的方法呈现为基于常数序列的公式。

伯努利幂和公式是迄今为止最有用和最通用的公式。伯努利公式中的系数现在称为伯努利数，这是亚伯拉罕·棣莫弗 (Abraham de Moivre)的建议。

伯努利公式有时也被称为冯哈伯公式，以纪念约翰·冯哈伯，他发现了计算幂和的非凡方法，但从未提出过伯努利公式。根据克努斯^{[9]的说法，}卡尔·雅可比于 1834 年首次发表了冯哈伯公式的严格证明。^[10]克努斯对冯哈伯公式的深入研究得出结论（LHS 上的非标准符号将在后面进一步解释）：

“冯哈伯从未发现伯努利数；也就是说，他从未意识到常数B ₀、B ₁、B ₂ …… 的单个序列会提供一个均匀的

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

对于所有幂和，他从未提及这样一个事实：当他将Σ n ^m 的公式从N多项式转换为n多项式后，几乎有一半的系数都为零。” ^[11]

在上面的 Knuth 的意思是；而是使用公式来避免减法： ${\displaystyle B_{1}^{-}}$${\displaystyle B_{1}^{+}}$

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right).}$

伯努利数OEIS : A164555 (n)/ OEIS : A027642 (n) 由雅各布·伯努利在他死后出版的 1713 年《猜想艺术》一书中引入，第 97 页。主要公式可以在相应传真件的后半部分看到。伯努利将常数系数A、B、C和D映射到现在流行的符号A = B ₂、B = B ₄、C = B ₆、D = B ₈。表达式c · c −1· c −2· c −3表示c ·( c −1)·( c −2)·( c −3) – 小点用作分组符号。用今天的术语来说，这些表达式是下降的阶乘幂 c ^k。阶乘符号k !作为1 × 2 × ... × k的简写直到 100 年后才被引入。左侧的积分符号可以追溯到1675 年的戈特弗里德·威廉·莱布尼茨，他将其用作长字母S，表示“summa”（和）。^[b]左侧的字母n不是求和的指标，而是给出求和范围的上限，应理解为1, 2, ..., n。综合考虑，对于正c，今天的数学家可能会将伯努利公式写为：

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.}$

此公式建议设置B ₁ = ⁠1/2⁠当从所谓的“古老”枚举（仅使用偶数索引 2、4、6...）切换到现代形式时（下一段将详细介绍不同的约定）。在这种情况下，最引人注目的是，当k = 0时，下降阶乘 c ^{k −1 的}值是⁠1/c + 1⁠。 ^[12]因此，伯努利公式可以写成

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}}$

如果B ₁ = 1/2，则重新获取伯努利在该位置赋予系数的值。

上述伯努利引文前半部分的公式的最后一项有错误；它应该是而不是。 ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}}$${\displaystyle -{\tfrac {3}{20}}n^{2}}$${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}n^{2}}$

在过去 300 年中，人们发现了伯努利数的许多特征，每个特征都可以用来介绍这些数字。这里只提到了其中最有用的四个：

• 递归方程，
• 一个明确的公式，
• 生成函数，
• 一个积分表达式。

证明了四种方法的等价性。 ^[13]

伯努利数遵循求和公式^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{aligned}}}$

其中，δ表示克罗内克δ。 ${\displaystyle m=0,1,2...}$

其中第一个有时写为^[14]公式（对于m > 1）， 其中幂使用二项式定理正式展开并替换为。 $${\displaystyle (B+1)^{m}-B_{m}=0,}$$${\displaystyle B^{k}}$${\displaystyle B_{k}}$

求解得到递归公式^[15]${\displaystyle B_{m}^{\mp {}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}}$

1893 年，路易斯·萨尔舒茨 (Louis Saalschütz)列出了伯努利数的 38 个显式公式^[16] ，这些公式通常在旧文献中提供一些参考。其中之一是（对于）： ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}j^{m}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{m}.\end{aligned}}}$

指数生成函数是

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\\{\frac {te^{t}}{e^{t}-1}}={\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{alignedat}}}$

其中替代为。两个生成函数仅相差t。 ${\displaystyle t\to -t}$

(普通)生成函数

${\displaystyle z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m}}$

是一个渐近级数。它包含三角函数 ψ ₁。

从上面的生成函数可以得到偶数伯努利数的下列积分公式：

${\displaystyle B_{2n}=4n(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n-1}}{e^{2\pi t}-1}}\mathrm {d} t}$

伯努利数可以用黎曼 zeta 函数来表示：

乙⁺
_n= − n ζ (1 − n )，           其中n ≥ 1  。

这里 zeta 函数的自变量为0或负数。正如负偶数（平凡零点）为零一样，如果n>1为奇数，则为零。 ${\displaystyle \zeta (k)}$${\displaystyle \zeta (1-n)}$

利用zeta函数方程和gamma反射公式，可以得到以下关系：^[17]

${\displaystyle B_{2n}={\frac {(-1)^{n+1}2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n)\quad }$其中n ≥ 1  。

现在，zeta 函数的参数为​​正。

然后根据ζ → 1 ( n → ∞ ) 和斯特林公式得出

${\displaystyle |B_{2n}|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}\quad }$其中n → ∞  。

在某些应用中，能够计算伯努利数B ₀到B _{p − 3}模p（其中p是素数）是很有用的；例如，为了测试范迪弗猜想对p是否成立，或者仅仅为了确定p是否为不规则素数。使用上述递归公式进行这样的计算是不可行的，因为至少需要进行p ^{2 次（常数倍）算术运算。幸运的是，已经开发出更快的方法[18]}，仅需要O ( p (log p ) ² ) 次运算（参见大O符号）。

David Harvey ^[19]描述了一种计算伯努利数的算法，该算法通过计算B _n对许多小素数p取模p，然后通过中国剩余定理重建B _n。Harvey 写道，这种算法的渐近时间复杂度为O ( n ² log( n ) ^{2 + ε} )，并声称这种实现比基于其他方法的实现要快得多。使用这种实现，Harvey 计算了n = 10 ⁸时的B _n 。Harvey 的实现从 3.1 版开始就包含在SageMath中。在此之前，Bernd Kellner ^[20]于 2002 年 12 月计算了n = 10 ⁶时的全精度B _n，Oleksandr Pavlyk ^[21]于 2008 年 4 月使用Mathematica计算了n = 10 ^{7 时的}全精度 B n 。

电脑	年	n	数字*
J·伯努利	~1689	10	1
L. 欧拉	1748	三十	8
JC亚当斯	1878	62	三十六
DE Knuth，TJ Buckholtz	1967	1,672​	3 330
G. Fee、S. Plouffe	1996	10 000	27,677​
G. Fee、S. Plouffe	1996	100 000	376，755​
卑诗凯尔纳	2002	1 000 000	4 767 529
O. 帕夫利克	2008	10 000 000	57 675 260
D·哈维	2008	100 000 000	676 752 569

*当B _n以规范化的科学计数法写为实数时，数字应理解为 10 的指数。

可以说，伯努利数在数学中最重要的应用是它们在欧拉-麦克劳林公式中的应用。假设f是一个足够多次可微的函数，欧拉-麦克劳林公式可以写成^[22]

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).}$

这个公式假设惯例B⁻
₁= − ⁠1/2⁠ . 使用约定B⁺
₁= +1/2公式变成

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).}$

这里（即的零阶导数就是）。此外，设表示的反导数。根据微积分基本定理， ${\displaystyle f^{(0)}=f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{(-1)}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).}$

因此，最后一个公式可以进一步简化为以下简洁的欧拉-麦克劳林公式形式

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).}$

例如，这种形式是 zeta 函数重要的欧拉-麦克劳林展开式的来源

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}}$

这里，s ^k表示上升阶乘幂。^[23]

伯努利数也经常用于其他类型的渐近展开式。以下示例是双伽马函数 ψ的经典庞加莱型渐近展开式。

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}}$

伯努利数在前n 个正整数的m次方之和的闭式表达式中占有突出地位。对于m , n ≥ 0定义

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.}$

此表达式始终可以重写为m + 1次的n多项式。这些多项式的系数通过伯努利公式与伯努利数相关：

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},}$

在哪里（^{米+ 1}
_千)表示二项式系数。

例如，取m为 1 给出三角数 0, 1, 3, 6, ... OEIS : A000217。

${\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

取m为 2 可得出平方金字塔数 0, 1, 5, 14, ... OEIS : A000330。

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={\tfrac {1}{3}}\left(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\right).}$

一些作者使用伯努利数的替代约定，并按以下方式陈述伯努利公式：

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.}$

伯努利公式有时也被称为冯哈伯公式，以约翰·冯哈伯的名字命名，他也发现了计算幂和的非凡方法。

冯哈伯公式被 V. Guo 和 J. Zeng 推广为q -类似物。^[24]

伯努利数出现在许多三角函数和双曲函数的泰勒级数展开式中。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\\\cot x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\\\tanh x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&|x|<{\frac {\pi }{2}}.\\\coth x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

伯努利数出现在以下洛朗级数中：^[25]

双伽马函数：${\displaystyle \psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}}$

可平行化流形边界奇异(4 n − 1)球面微分同胚类的循环群的阶的Kervaire –Milnor 公式涉及伯努利数。设ES _n为n ≥ 2 时奇异球面的数量，则

${\displaystyle {\textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})\operatorname {Numerator} \left({\frac {B_{4n}}{4n}}\right).}$

维度为4n的光滑定向闭流形的L属的Hirzebruch特征定理也涉及伯努利数。

伯努利数与各种组合数的联系是基于有限差分的经典理论以及伯努利数的组合解释，即包含-排斥原理的一个基本组合原理的例子。

接下来要用到的定义是由 Julius Worpitzky 于 1883 年提出的。除了初等算术之外，只使用了阶乘函数n !和幂函数k ^m。无符号 Worpitzky 数定义为

${\displaystyle W_{n,k}=\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{\frac {k!}{v!(k-v)!}}.}$

它们也可以通过第二类斯特林数来表示

${\displaystyle W_{n,k}=k!\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}.}$

然后引入伯努利数作为 Worpitzky 数的包含-排斥和，以谐波序列1 为权重，  ⁠1/2⁠，  ⁠1/3⁠，...

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {W_{n,k}}{k+1}}\ =\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .}$

乙₀ =1

B1 = ₁ −1/2⁠

B2 ₌ 1 −3/2+​​2/3⁠

B3 ₌ 1 −7/2+​​12/3⁠ − ⁠6/4⁠

B4 ₌ 1 −15/2+​​50/3⁠ − ⁠60/4+​​24/5⁠

B5 ₌ 1 −31/2+​​180/3⁠ − ⁠390/4+​​360/5⁠ − ⁠120/6⁠

B6 ₌ 1 −63/2+​​602/3⁠ − ⁠2100/4+​​3360/5⁠ − ⁠2520/6+​​720/7⁠

这种表示有B⁺
₁= +1/2⁠。

考虑序列s _n , n ≥ 0。从 Worpitzky 数OEIS : A028246 , OEIS : A163626应用于s ₀ , s ₀ , s ₁ , s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...与应用于s _{n 的}Akiyama–Tanigawa 变换相同（参见与第一类斯特林数的联系）。这可以通过表格看到：

Worpitzky 表示的恒等式和 Akiyama–Tanigawa 变换

1						0	1					0	0	1				0	0	0	1			0	0	0	0	1
1	−1					0	2	−2				0	0	3	−3			0	0	0	4	−4
1	−3	2				0	4	−10	6			0	0	9	−21	12
1	−7	12	−6			0	8	−38	54	−24
1	−15	50	−60	24

第一行代表s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₃ , s ₄。

因此，对于第二分数欧拉数OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 )：

E0 ₌ 1

E1 ₌ 1 −1/2⁠

E2 ₌ 1 −3/2+​​2/4⁠

E3 ₌ 1 −7/2+​​12/4⁠ − ⁠6/8⁠

E4 ₌ 1 −15/2+​​50/4⁠ − ⁠60/8+​​24/16⁠

E5 ₌ 1 −31/2+​​180/4⁠ − ⁠390/8+​​360/16⁠ − ⁠120/三十二⁠

E6 ₌ 1 −63/2+​​602/4⁠ − ⁠2100/8+​​3360/16⁠ − ⁠2520/三十二+​​720/64⁠

用 Worpitzky 数表示伯努利数的第二个公式是当n ≥ 1 时

${\displaystyle B_{n}={\frac {n}{2^{n+1}-2}}\sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k}\,W_{n-1,k}.}$

第二伯努利数的简化第二代 Worpitzky 表示为：

OEIS：A164555 ( n + 1 ) / OEIS：A027642 ( n + 1 ) = ⁠n + 1/2n ⁺ 2−2^​⁠ × OEIS：A198631（ n）/ OEIS：A006519（ n + 1）

将第二个伯努利数与第二个分数欧拉数联系起来。开头是：

⁠1/2⁠，⁠1/6⁠，0，−⁠1/三十⁠，0，⁠1/四十二⁠，... =（⁠1/2⁠，⁠1/3⁠，⁠3/14⁠，⁠2/15⁠，⁠5/62⁠，⁠1/21⁠，...）×（1，⁠1/2⁠，0，−⁠1/4⁠，0，⁠1/2⁠，...）

第一个括号内的分子是OEIS：A111701（参见与第一类斯特林数的联系）。

_如果将伯努利多项式 Bk ( j )定义为：^[26]

${\displaystyle B_{k}(j)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {j}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}}$

其中，B _k ( k = 0, 1, 2,...)是伯努利数，S(k,m)是第二类斯特林数。

对于伯努利多项式，还有以下结论：^[26]

${\displaystyle B_{k}(j)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}j^{k-n}.}$

j的系数（^jm
_{+ 1}）是​（−1）^米/米+1⁠。

比较伯努利多项式两个表达式中 j的系数，可得：

${\displaystyle B_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k-1,m)}$

（导致B ₁ = + ⁠1/2⁠）是伯努利数的显式公式，可以用来证明冯·施陶德·克劳森定理。 ^{[27] [28] [29]}

与第一类 无符号斯特林数相关的两个主要公式[^纳米
_​]转换为伯努利数（ B ₁ = + ⁠1/2⁠）是

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{k}={\frac {1}{m+1}},}$

以及此和的逆（对于n ≥ 0 , m ≥ 0）

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.}$

这里，A _{n , m}是有理秋山-谷川数，其中前几个数显示在下表中。

秋山–谷川数

米 n	0	1	2	3	4
0	1	⁠1/2⁠	⁠1/3⁠	⁠1/4⁠	⁠1/5⁠
1	⁠1/2⁠	⁠1/3⁠	⁠1/4⁠	⁠1/5⁠	...
2	⁠1/6⁠	⁠1/6⁠	⁠3/20⁠	...	...
3	0	⁠1/三十⁠	...	...	...
4	− ⁠1/三十⁠	...	...	...	...

秋山-谷川数满足一个简单的递归关系，可以利用该关系迭代计算伯努利数。这导致了上面“算法描述”部分中所示的算法。参见OEIS：A051714 / OEIS：A051715。

自序列是其逆二项式变换等于有符号序列的序列。如果主对角线为零 = OEIS : A000004，则该自序列为第一类。例如：OEIS : A000045，斐波那契数。如果主对角线是第一个上对角线乘以 2 ，则它为第二种。例如：OEIS : A164555 / OEIS : A027642，第二个伯努利数（参见OEIS : A190339）。将 Akiyama–Tanigawa 变换应用于2 ^{− n} = 1/ OEIS : A000079可得到OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A06519 ( n + 1)。因此：

第二欧拉数的秋山–谷川变换

米 n	0	1	2	3	4
0	1	⁠1/2⁠	⁠1/4⁠	⁠1/8⁠	⁠1/16⁠
1	⁠1/2⁠	⁠1/2⁠	⁠3/8⁠	⁠1/4⁠	...
2	0	⁠1/4⁠	⁠3/8⁠	...	...
3	− ⁠1/4⁠	− ⁠1/4⁠	...	...	...
4	0	...	...	...	...

参见OEIS : A209308和OEIS : A227577。OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ) 是第二类（分数）欧拉数和第二类自序列。

（​OEIS：A164555 ( n + 2 )/OEIS：A027642（ n + 2）⁠ = ⁠1/6⁠，0，−⁠1/三十⁠，0，⁠1/四十二⁠，...）×（ ⁠2n ⁺ 3−2^​/n + 2= 3，​14/3⁠，⁠15/2⁠，⁠62/5⁠，21，...）= ⁠OEIS：A198631（ n + 1）/OEIS：A006519（ n + 2）⁠ = ⁠1/2⁠，0，−⁠1/4⁠，0，⁠1/2⁠， ...。

对于OEIS : A027641 / OEIS : A027642也很有用（参见与 Worpitzky 数的联系）。

有一些公式将帕斯卡三角形与伯努利数联系起来^[c]

${\displaystyle B_{n}^{+}={\frac {|A_{n}|}{(n+1)!}}~~~}$

其中是 n×n Hessenberg 矩阵的行列式，它是帕斯卡三角形的一部分，其元素为：${\displaystyle |A_{n}|}$${\displaystyle a_{i,k}={\begin{cases}0&{\text{if }}k>1+i\\{i+1 \choose k-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

例子：

${\displaystyle B_{6}^{+}={\frac {\det {\begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0\\1&4&6&4&0&0\\1&5&10&10&5&0\\1&6&15&20&15&6\\1&7&21&35&35&21\end{pmatrix}}}{7!}}={\frac {120}{5040}}={\frac {1}{42}}}$

有连接欧拉数的公式 ⟨^纳米
_​⟩为伯努利数：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle &=2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}},\\\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {\binom {n}{m}}^{-1}&=(n+1)B_{n}.\end{aligned}}}$

如果B ₁设置为⁠，则两个公式对n ≥ 0均有效1/2⁠ . 如果B ₁设置为 − ⁠1/2⁠它们仅分别对n ≥ 1和n ≥ 2有效。

斯特林多项式σ _n ( x )与伯努利数的关系为B _n = n ! σ _n (1) 。SC Woon 描述了一种用二叉树计算σ _n (1) 的算法： ^[30]

Woon 的递归算法（对于n ≥ 1）首先分配给根节点N = [1,2]。给定树的一个节点N = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ] ，该节点的左孩子为L ( N ) = [− a ₁ , a ₂ + 1, a ₃ , ..., a _k ]，右孩子为R ( N ) = [ a ₁ , 2, a ₂ , ..., a _k ]。节点N = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ]在上述树的初始部分写为±[ a ₂ , ..., a _k ]，其中 ± 表示a ₁的符号。

给定一个节点N，N的阶乘定义为

${\displaystyle N!=a_{1}\prod _{k=2}^{\operatorname {length} (N)}a_{k}!.}$

限制为固定树级 n 的节点N ，总和⁠1/否！⁠为σ _n (1)，因此

${\displaystyle B_{n}=\sum _{\stackrel {N{\text{ node of}}}{{\text{ tree-level }}n}}{\frac {n!}{N!}}.}$

例如：

B ₁ = 1！（1/2！⁠）

B ₂ = 2!( −1/3！+​​1/2！2！⁠）

B3 ₌ 3！（1/4！⁠ − ⁠1/2！3！⁠ − ⁠1/3！2！+​​1/2！2！2！⁠）

积分​

${\displaystyle b(s)=2e^{si\pi /2}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}={\frac {s!}{2^{s-1}}}{\frac {\zeta (s)}{{}\pi ^{s}{}}}(-i)^{s}={\frac {2s!\zeta (s)}{(2\pi i)^{s}}}}$

对于n > 0 ，具有特殊值b (2 n ) = B _{2 n}。

例如，b（3）=3/2⁠ ζ (3) π ⁻³ i和b (5) = − ⁠15/2⁠ ζ (5) π ⁻⁵ i。其中， ζ是黎曼 zeta 函数， i是虚数单位。莱昂哈德·欧拉（ Opera Omnia，第 1 辑，第 10 卷，第 351 页）考虑了这些数字，并计算出

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {3}{2\pi ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \right)=0.0581522\ldots \\q&={\frac {15}{2\pi ^{5}}}\left(1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \right)=0.0254132\ldots \end{aligned}}}$

另一个类似的积分表示是

${\displaystyle b(s)=-{\frac {e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{\sinh \pi t}}{\frac {dt}{t}}={\frac {2e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{\pi t}st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}.}$

欧拉数是与伯努利数密切相关的整数序列。比较伯努利数和欧拉数的渐近展开式可知，欧拉数E _{2 n}的大小约为⁠2/π⁠比伯努利数B _{2 n}大(4 ^{2 n} − 2 ^{2 n} )倍。因此：

${\displaystyle \pi \sim 2(2^{2n}-4^{2n}){\frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.}$

这个渐近方程表明π位于伯努利数和欧拉数的共同根中。事实上π可以通过这些有理近似计算出来。

伯努利数可以用欧拉数来表示，反之亦然。因为对于奇数n，B _n = En = 0 （ B ₁除外），_所以只需考虑n为偶数的 情况即可。

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{4^{n}-2^{n}}}E_{k}&n&=2,4,6,\ldots \\[6pt]E_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}{\frac {2^{k}-4^{k}}{k}}B_{k}&n&=2,4,6,\ldots \end{aligned}}}$

这些转换公式表达了伯努利数和欧拉数之间的联系。但更重要的是，这两种数有一个共同的深层算术根，可以通过更基本的数列来表示，也与π密切相关。这些数在n≥1时定义为^[31] [ ^32]

${\displaystyle S_{n}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kn}}{(2k+1)^{n}}}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\lim _{K\to \infty }\sum _{k=-K}^{K}(4k+1)^{-n}.}$

这些数字的神奇之处在于它们实际上是有理数。莱昂哈德·欧拉在一篇具有里程碑意义的论文《论倒数列的和》中首次证明了这一点，从那以后数学家们就对此着迷不已。^[33]这些数字中的前几个是

${\displaystyle S_{n}=1,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {5}{24}},{\frac {2}{15}},{\frac {61}{720}},{\frac {17}{315}},{\frac {277}{8064}},{\frac {62}{2835}},\ldots }$（OEIS：A099612 / OEIS：A099617）

这些是sec x + tan x展开式中的系数。

伯努利数和欧拉数可以理解为这些数的特殊视图，从序列S _n中选择出来并缩放以用于特殊的应用。

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n!}{2^{n}-4^{n}}}\,S_{n}\ ,&n&=2,3,\ldots \\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]n!\,S_{n+1}&n&=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

如果n为偶数，则表达式 [ n even] 的值为 1 ，否则为 0（艾弗森括号）。

这些恒等式表明，本节开头的伯努利数与欧拉数的商正是R _n = ⁠的特殊情况2氮_​/n _{+ 1}⁠当n为偶数时。R _n是π的有理近似值，两个连续项始终包含π的真实值。从 n = 1 开始，序列开始( OEIS : A132049 / OEIS : A132050 )：

${\displaystyle 2,4,3,{\frac {16}{5}},{\frac {25}{8}},{\frac {192}{61}},{\frac {427}{136}},{\frac {4352}{1385}},{\frac {12465}{3968}},{\frac {158720}{50521}},\ldots \quad \longrightarrow \pi .}$

这些有理数也出现在上述欧拉论文的最后一段中。

考虑序列OEIS : A046978 ( n + 2 ) / OEIS : A016116 ( n + 1 ) 的 Akiyama–Tanigawa 变换：

0	1	⁠1/2⁠	0	− ⁠1/4⁠	− ⁠1/4⁠	− ⁠1/8⁠	0
1	⁠1/2⁠	1	⁠3/4⁠	0	− ⁠5/8⁠	− ⁠3/4⁠
2	− ⁠1/2⁠	⁠1/2⁠	⁠9/4⁠	⁠5/2⁠	⁠5/8⁠
3	−1	− ⁠7/2⁠	− ⁠3/4⁠	⁠15/2⁠
4	⁠5/2⁠	− ⁠11/2⁠	− ⁠99/4⁠
5	8	⁠77/2⁠
6	− ⁠61/2⁠

从第二行开始，第一列的分子是欧拉公式的分母。第一列是 − ⁠1/2⁠ × OEIS：A163982。

序列S _n具有另一个意想不到但又很重要的属性： S _{n +1}的分母可以整除阶乘​​ n !。换句话说：数字T _n  =  S _{n + 1} n !（有时称为欧拉锯齿形数）是整数。

${\displaystyle T_{n}=1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0,1,2,3,\ldots }$（OEIS：A000111）。参见（OEIS：A253671）。

它们的指数生成函数是正割函数与正切函数之和。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)=\sec x+\tan x}$。

因此，上述伯努利数和欧拉数的表示可以根据该序列重写为

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n}{2^{n}-4^{n}}}\,T_{n-1}\ &n&\geq 2\\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]T_{n}&n&\geq 0\end{aligned}}}$

这些恒等式使得计算伯努利数和欧拉数变得容易：欧拉数E _{2 n}由T _{2 n}直接给出，而伯努利数B _{2 n}是通过一些简单的移位从T _{2 n - 1}获得的分数，从而避免了有理算术。

剩下的就是找到一种方便的方法来计算T _n。然而，早在 1877 年，Philipp Ludwig von Seidel就发表了一种巧妙的算法，使计算T _n变得简单。^[34]

1. 首先将 1 放在第 0 行，并让k表示当前正在填充的行号
2. 如果k为奇数，则将第k − 1行左端的数字放在第k行的第一个位置，并从左到右填充该行，每个条目都是左侧数字与上方数字之和
3. 在行末复制最后一个数字。
4. 如果k为偶数，则按另一个方向进行类似操作。

Seidel 算法实际上更为通用（参见 Dominique Dumont 的阐述^[35]），并且在此后被多次重新发现。

与赛德尔的方法类似，DE Knuth 和 TJ Buckholtz 给出了数字T _{2 n}的递归方程，并推荐使用这种方法“在电子计算机上仅使用简单的整数运算”来计算B _{2 n}和E _{2 n} ^{。 [36]}

VI Arnold ^[37]重新发现了赛德尔算法，后来米勒、斯隆和杨将赛德尔算法推广为牛耕式变换算法。

三角形形式：

						1
					1		1
				2		2		1
			2		4		5		5
		16		16		14		10		5
	16		三十二		四十六		56		61		61
272		272		256		224		178		122		61

OEIS 中 只有OEIS : A000657（有一个 1）和OEIS : A214267 （有两个 1）。

在以下行中分布一个补充 1 和一个 0：

						1
					0		1
				−1		−1		0
			0		−1		−2		−2
		5		5		4		2		0
	0		5		10		14		16		16
−61		−61		−56		−46		−32		−16		0

这是OEIS : A239005 ，是OEIS : A008280的有符号版本。主对角线是OEIS : A122045。主对角线是OEIS : A155585。中间列是OEIS : A099023。行总和：1、1、−2、−5、16、61.... 参见OEIS : A163747。参见下面以 1、1、0、−2、0、16、0 开头的数组。

将 Akiyama–Tanikawa 算法应用于OEIS : A046978 ( n + 1 ) / OEIS : A016116 ( n ) 得出：

1	1	⁠1/2⁠	0	− ⁠1/4⁠	− ⁠1/4⁠	− ⁠1/8⁠
0	1	⁠3/2⁠	1	0	− ⁠3/4⁠
−1	−1	⁠3/2⁠	4	⁠15/4⁠
0	−5	− ⁠15/2⁠	1
5	5	− ⁠51/2⁠
0	61
−61

1.第一列是OEIS : A122045。其二项式变换可得出：

1	1	0	−2	0	16	0
0	−1	−2	2	16	−16
−1	−1	4	14	−32
0	5	10	−46
5	5	−56
0	−61
−61

该数组的第一行是OEIS : A155585。增加的反对角线的绝对值是OEIS : A008280。反对角线的总和是− OEIS : A163747 ( n + 1 )。

2.第二列为1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385...。其二项式变换得出：

1	2	2	−4	−16	三十二	272
1	0	−6	−12	四十八	240
−1	−6	−6	60	192
−5	0	66	三十二
5	66	66
61	0
−61

这个数组的第一行是1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584...。第二次二分的绝对值是第一次二分的绝对值的两倍。

考虑应用于OEIS的 Akiyama-Tanikawa 算法：A046978 ( n ) / ( OEIS : A158780 ( n + 1 ) = abs( OEIS : A117575 ( n )) + 1 = 1, 2, 2, ⁠3/2⁠，1，⁠3/4⁠，⁠3/4⁠，⁠7/8⁠，1，⁠17/16⁠，⁠17/16⁠，⁠33/三十二⁠ ...。

1	2	2	⁠3/2⁠	1	⁠3/4⁠	⁠3/4⁠
−1	0	⁠3/2⁠	2	⁠5/4⁠	0
−1	−3	− ⁠3/2⁠	3	⁠二十五/4⁠
2	−3	− ⁠二十七/2⁠	−13
5	21	− ⁠3/2⁠
−16	四十五
−61

第一列的绝对值为OEIS : A000111可能是三角函数的分子。

OEIS : A163747是第一类自序列（主对角线为OEIS : A000004）。对应的数组为：

0	−1	−1	2	5	−16	−61
−1	0	3	3	−21	−45
1	3	0	−24	−24
2	−3	−24	0
−5	−21	24
−16	四十五
−61

前两个上对角线为−1 3 −24 402... = (−1) ^{n + 1}  ×  OEIS : A002832。反对角线之和为0 −2 0 10... = 2 ×  OEIS : A122045 ( n  + 1)。

− OEIS : A163982是第二类自序列，例如OEIS : A164555 / OEIS : A027642。因此数组：

2	1	−1	−2	5	16	−61
−1	−2	−1	7	11	−77
−1	1	8	4	−88
2	7	−4	−92
5	−11	−88
−16	−77
−61

主对角线，此处为2 −2 8 −92...，是第一条上对角线的两倍，此处为OEIS : A099023。反对角线之和为2 0 −4 0... = 2 ×  OEIS : A155585 ( n + 1 )。OEIS : A163747 −  OEIS  : A163982 = 2 ×  OEIS : A122045。

1880 年左右，即赛德尔算法发表三年后，德西雷·安德烈证明了组合分析的一个经典结果。^{[38] [39]通过研究}三角函数 tan x和sec x的泰勒展开式的第一个项，安德烈有了惊人的发现。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=x+{\frac {2x^{3}}{3!}}+{\frac {16x^{5}}{5!}}+{\frac {272x^{7}}{7!}}+{\frac {7936x^{9}}{9!}}+\cdots \\[6pt]\sec x&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {5x^{4}}{4!}}+{\frac {61x^{6}}{6!}}+{\frac {1385x^{8}}{8!}}+{\frac {50521x^{10}}{10!}}+\cdots \end{aligned}}}$

系数分别是奇数和偶数指标的欧拉数。因此，tan x + sec x的普通展开式的系数为有理数S _n。

${\displaystyle \tan x+\sec x=1+x+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots }$

安德烈随后通过递归论证成功证明，奇数大小的交替排列由奇数指标的欧拉数（也称为正切数）枚举，偶数大小的交替排列由偶数指标的欧拉数（也称为割线数）枚举。

第一个和第二个伯努利数的算术平均值是相关的伯努利数： B ₀ = 1，B ₁ = 0，B ₂ = ⁠1/6⁠， B3 ₌ 0， B4 = −⁠_​1/三十⁠， OEIS : A176327 / OEIS : A027642。通过其逆秋山-谷川变换的第二行OEIS : A177427，它们得到巴尔末系OEIS : A061037 / OEIS : A061038。

将 Akiyama–Tanigawa 算法应用于OEIS：A060819 ( n + 4 ) / OEIS：A145979 ( n ) 会得出不包含B 1_{的伯努利数}OEIS：A027641 / OEIS：A027642、OEIS：A164555 / OEIS：A027642或OEIS：A176327 OEIS：A176289，称为内在伯努利数B _i ( n )。

1	⁠5/6⁠	⁠3/4⁠	⁠7/10⁠	⁠2/3⁠
⁠1/6⁠	⁠1/6⁠	⁠3/20⁠	⁠2/15⁠	⁠5/四十二⁠
0	⁠1/三十⁠	⁠1/20⁠	⁠2/三十五⁠	⁠5/84⁠
− ⁠1/三十⁠	− ⁠1/三十⁠	− ⁠3/140⁠	− ⁠1/105⁠	0
0	− ⁠1/四十二⁠	− ⁠1/二十八⁠	− ⁠4/105⁠	− ⁠1/二十八⁠

因此，通过OEIS，内在伯努利数和巴尔末系之间又建立了另一个联系：A145979 ( n )。

OEIS：A145979 ( n − 2 ) = 0, 2, 1, 6,... 是非负数的排列。

第一行的项为 f(n) = ⁠1/2+​​1/n + 2⁠ . 2，f(n) 是第二类自序列。3/2，f(n) 通过其逆二项式变换得到 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + log 2。

假设 g(n) = 1/2 – 1 / (n+2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3。Akiyama-Tanagiwa 变换得出：

0	⁠1/6⁠	⁠1/4⁠	⁠3/10⁠	⁠1/3⁠	⁠5/14⁠	...
− ⁠1/6⁠	− ⁠1/6⁠	− ⁠3/20⁠	− ⁠2/15⁠	− ⁠5/四十二⁠	− ⁠3/二十八⁠	...
0	− ⁠1/三十⁠	− ⁠1/20⁠	− ⁠2/三十五⁠	− ⁠5/84⁠	− ⁠5/84⁠	...
⁠1/三十⁠	⁠1/三十⁠	⁠3/140⁠	⁠1/105⁠	0	− ⁠1/140⁠	...

0，g（n），是第二类自序列。

欧拉OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ) 无第二项 ( ⁠1/2⁠ ) 是分数固有欧拉数E _i ( n ) = 1, 0, − ⁠1/4⁠，0，⁠1/2⁠，0，−⁠17/8⁠ , 0, ...相应的 Akiyama 变换为：

1	1	⁠7/8⁠	⁠3/4⁠	⁠21/三十二⁠
0	⁠1/4⁠	⁠3/8⁠	⁠3/8⁠	⁠5/16⁠
− ⁠1/4⁠	− ⁠1/4⁠	0	⁠1/4⁠	⁠二十五/64⁠
0	− ⁠1/2⁠	− ⁠3/4⁠	− ⁠9/16⁠	− ⁠5/三十二⁠
⁠1/2⁠	⁠1/2⁠	− ⁠9/16⁠	− ⁠十三/8⁠	− ⁠125/64⁠

第一行是Eu ( n )。Eu ( n )前面有一个零，是第一类自序列。它与奥雷斯姆数有关。第二行的分子是OEIS : A069834前面有一个 0。差分表如下：

0	1	1	⁠7/8⁠	⁠3/4⁠	⁠21/三十二⁠	⁠19/三十二⁠
1	0	− ⁠1/8⁠	− ⁠1/8⁠	− ⁠3/三十二⁠	− ⁠1/16⁠	− ⁠5/128⁠
−1	− ⁠1/8⁠	0	⁠1/三十二⁠	⁠1/三十二⁠	⁠3/128⁠	⁠1/64⁠

伯努利数可以用黎曼 zeta 函数表示为B _n = − nζ (1 − n ) ，其中n ≥ 0为整数，如果n = 0，表达式− nζ (1 − n )被理解为极限值，并且约定B ₁ = ⁠1/2⁠被使用。这将它们与负整数处的 zeta 函数值紧密联系起来。因此，它们可以具有并且确实具有深刻的算术属性。例如， Agoh-Giuga 猜想假定p是素数当且仅当pB _{p − 1}与 −1 模p全等。伯努利数的整除性通过 Kummer 定理及其在Herbrand-Ribet 定理中的加强与圆分域的理想类群相关联，并通过Ankeny-Artin-Chowla与实二次域的类数相关联。

伯努利数与费马大定理（FLT）有库默尔定理^[40]的关联，该定理指出：

如果奇素数p不能整除伯努利数B ₂ , B ₄ , ..., B _{p − 3}中的任何分子，则x ^p + y ^p + z ^p = 0没有非零整数解。

具有此性质的素数称为正素数。库默尔的另一个经典结果是下列同余。^[41]

假设p为奇素数，b为偶数，且p  − 1不能整除b。则对于任意非负整数k

${\displaystyle {\frac {B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b}}\equiv {\frac {B_{b}}{b}}{\pmod {p}}.}$

这些一致性的概括被称为p -adic 连续性。

如果b、m和n是正整数，并且m和n不能被p − 1整除且m ≡ n (mod p ^{b − 1} ( p − 1))，则

${\displaystyle (1-p^{m-1}){\frac {B_{m}}{m}}\equiv (1-p^{n-1}){\frac {B_{n}}{n}}{\pmod {p^{b}}}.}$

由于B _n = − nζ (1 − n )，因此也可以写成

${\displaystyle \left(1-p^{-u}\right)\zeta (u)\equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta (v){\pmod {p^{b}}},}$

其中u = 1 − m且v = 1 − n，因此u和v为非正数，且不等于 1 模p − 1。这告诉我们，从欧拉乘积公式中取出1 − p ^{− s}后，黎曼 zeta 函数在p进制奇数负整数上连续，且模p − 1等于特定的a ≢ 1 mod ( p − 1 )，因此可以扩展为对所有p进制整数的连续函数ζ _p ( s ) ，即p进制 zeta函数。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$

以下关系式是由拉马努金提出的，它提供了一种计算伯努利数的方法，比其原始递归定义给出的方法更有效：

${\displaystyle {\binom {m+3}{m}}B_{m}={\begin{cases}{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 0{\pmod {6}};\\{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-2}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 2{\pmod {6}};\\-{\frac {m+3}{6}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-4}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 4{\pmod {6}}.\end{cases}}}$

von Staudt-Clausen 定理由Karl Georg Christian von Staudt ^[42]和Thomas Clausen ^[43]于 1840 年独立给出。该定理指出，对于每个n > 0，

${\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)\,\mid \,2n}{\frac {1}{p}}}$

是整数。和扩展到所有素数 p，其中p − 1能整除2 n。

由此得出的结果是， B _{2 n}的分母由所有素数p的乘积给出，其中p − 1能整除2 n。具体而言，这些分母是无平方数的，能被 6 整除。

总和

${\displaystyle \varphi _{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}i^{k}-{\frac {n^{k}}{2}}}$

可以对指标n的负值进行求值。这样做将表明，对于k的偶数值，它是一个奇函数，这意味着和只有奇数指标的项。这和伯努利和的公式意味着，当m为偶数且_{2 k + 1 −} m > 1时， B 2 k + 1 − _m为 0 ；并且B ₁的项通过减法取消。冯·施陶德-克劳森定理与沃皮茨基的表示相结合也给出了这个问题的组合答案（对n > 1 有效）。

根据冯·施陶德-克劳森定理，对于奇数n > 1，数字2 B _n是整数。如果事先知道所讨论的整数为零，这似乎很简单。然而，通过应用 Worpitzky 的表示，可以得到

${\displaystyle 2B_{n}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\frac {2}{m+1}}m!\left\{{n+1 \atop m+1}\right\}=0\quad (n>1{\text{ is odd}})}$

作为整数之和，这并非微不足道。这里浮现出一个组合事实，它解释了伯努利数在奇数指标处消失的原因。设S _{n , m}是从{1, 2, ..., n } 到{1, 2, ..., m }的全射映射数，则S _{n , m} = m ! {^纳米
_​}。最后一个等式只有在以下情况下才能成立

${\displaystyle \sum _{{\text{odd }}m=1}^{n-1}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}=\sum _{{\text{even }}m=2}^{n}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}\quad (n>2{\text{ is even}}).}$

这个等式可以用归纳法证明。这个等式的前两个例子是

n = 4：2 + 8 = 7 + 3，

n = 6：2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40。

因此，伯努利数在奇数指标处消失，因为一些非明显的组合恒等式体现在伯努利数中。

伯努利数和黎曼 zeta 函数之间的联系非常紧密，足以提供仅使用伯努利数的黎曼假设(RH) 的另一种表述。事实上，Marcel Riesz证明了 RH 等同于以下断言：^[44]

对于每个ε > ⁠1/4⁠存在一个常数C _ε > 0（取决于ε），使得当x → ∞时| R ( x ) | < C _ε x ^ε。

这里R ( x )是Riesz 函数

${\displaystyle R(x)=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\left({\frac {B_{2k}}{2k}}\right)}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\beta _{2k}}}.}$

n ^k表示DE Knuth符号中的上升阶乘幂。数字β _n = ⁠硼_​/n⁠在 zeta 函数研究中经常出现，并且非常重要，因为β _n是素数p的p整数，其中p − 1不能整除n。 β _n被称为整除伯努利数。

广义伯努利数是某些代数数，其定义与伯努利数类似，与狄利克雷L函数的特殊值相关，就像伯努利数与黎曼 zeta 函数的特殊值相关一样。

令χ为模f 的狄利克雷特征。与χ相关的广义伯努利数定义为

${\displaystyle \sum _{a=1}^{f}\chi (a){\frac {te^{at}}{e^{ft}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k,\chi }{\frac {t^{k}}{k!}}.}$

除了例外的B _1,1 = ⁠1/2⁠，对于任何狄利克雷特征χ，若χ (−1) ≠ (−1) ^k ，则B _{k , χ} = 0。

推广伯努利数与黎曼 zeta 函数在非正整数处的值之间的关系，对于所有整数k ≥ 1有：

${\displaystyle L(1-k,\chi )=-{\frac {B_{k,\chi }}{k}},}$

其中L ( s , χ )是χ的狄利克雷L函数。^[45]

艾森斯坦-克罗内克数是虚二次场中广义伯努利数的类似物。^{[46] [47]它们与}赫克特征的临界L值有关。^[47]

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