พื้นที่เวกเตอร์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
การบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์: เพิ่มเวกเตอร์v (สีน้ำเงิน) ให้กับเวกเตอร์w อีกหนึ่งตัว (สีแดง, ภาพประกอบด้านบน) ด้านล่างwยืดออกด้วยค่า 2 ซึ่งให้ผลรวมเป็นv + 2 w

ในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ปริภูมิเวกเตอร์ ( เรียกอีกอย่างว่าปริภูมิเชิงเส้น ) คือเซตที่มีองค์ประกอบซึ่งมักเรียกว่าเวกเตอร์อาจนำมาบวกกันและคูณ ("มาตราส่วน") ด้วยตัวเลขที่เรียกว่าสเกลาร์ สเกลาร์มักจะเป็นจำนวนจริงแต่สามารถเป็น จำนวนเชิงซ้อนหรือโดยทั่วไปแล้ว เป็นองค์ประกอบของฟิลด์ ใด ก็ได้ การดำเนินการของการบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์ต้องเป็นไปตามข้อกำหนดบางประการ ซึ่งเรียกว่าสัจพจน์ของเวกเตอร์ คำว่าปริภูมิเวกเตอร์จริงและปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนมักใช้เพื่อระบุลักษณะของสเกลาร์: พื้นที่พิกัดจริงหรือ พื้นที่ พิกัด เชิงซ้อน

ปริภูมิเวกเตอร์ทำให้เวกเตอร์แบบยุคลิด มี ลักษณะทั่วไปซึ่งทำให้สามารถสร้างแบบจำลองของปริมาณทางกายภาพเช่นแรงและความเร็วที่ไม่เพียงแต่มีขนาดเท่านั้น แต่ยังมีทิศทางด้วย แนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์เป็นพื้นฐานสำหรับพีชคณิตเชิงเส้นร่วมกับแนวคิดของเมทริกซ์ซึ่งทำให้สามารถคำนวณในปริภูมิเวกเตอร์ได้ นี่เป็นวิธีการที่กระชับและสังเคราะห์ในการจัดการและศึกษาระบบสมการเชิงเส้น

ช่องว่างเวกเตอร์มีลักษณะเฉพาะตามขนาดซึ่งพูดอย่างคร่าว ๆ จะระบุจำนวนทิศทางอิสระในอวกาศ ซึ่งหมายความว่า สำหรับสเปซเวกเตอร์สองอันที่มีมิติเท่ากัน คุณสมบัติที่ขึ้นอยู่กับโครงสร้างสเปซเวกเตอร์เท่านั้นจะเหมือนกันทุกประการ (ในทางเทคนิค สเปซเวกเตอร์คือ ไอ โซมอร์ฟิค ) ปริภูมิเวกเตอร์มีมิติจำกัดหากขนาดของมันเป็นจำนวนธรรมชาติ มิฉะนั้น จะเป็นอนันต์มิติและมิติของมันคือคาร์ดินัลอนันต์ ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีขอบเขตจำกัดเกิดขึ้นตามธรรมชาติในรูปทรงเรขาคณิตและพื้นที่ที่เกี่ยวข้อง ปริภูมิเวกเตอร์ไม่จำกัดมิติเกิดขึ้นในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น,วงแหวนพหุนามเป็นปริภูมิเวคเตอร์ที่มีมิติไม่จำกัดจำนวนนับได้ และปริภูมิฟังก์ชันจำนวนมากมีคาร์ดินัลลิตี้ของความต่อเนื่องเป็นมิติ

ช่องว่างเวกเตอร์จำนวนมากที่พิจารณาในวิชาคณิตศาสตร์ยังมีโครงสร้าง อื่นๆ อีก ด้วย นี่เป็นกรณีของพีชคณิตซึ่งรวมถึงส่วนขยายของฟิลด์วงแหวนพหุนามพีชคณิตเชื่อมโยงและพีชคณิตโกหก นี่เป็นกรณีของ ทอพอ โลยีเวกเตอร์เปซึ่งรวมถึงฟังก์ชัน ส เปพื้นที่ผลิตภัณฑ์ภายใน

ความหมายและคุณสมบัติพื้นฐาน

ในบทความนี้ เวกเตอร์จะแสดงเป็นตัวหนาเพื่อแยกความแตกต่างจากสเกลาร์ [nb 1]

สเปซเวกเตอร์บนฟิลด์ Fคือเซต Vร่วมกับการดำเนินการไบนารี สองรายการ ที่ตรงตามสัจพจน์แปดรายการด้านล่าง ในบริบทนี้ องค์ประกอบของVมักเรียกว่าเวกเตอร์และองค์ประกอบของ  Fเรียกว่าสเกลาร์

  • การดำเนินการแรก เรียกว่าการบวกเวกเตอร์หรือเพียงแค่การบวกจะกำหนดเวกเตอร์สองตัว  vและwในVให้กับเวกเตอร์ตัวที่สามในVซึ่งเขียนโดยทั่วไปว่าv + wและเรียกผลรวมของเวกเตอร์สองตัวนี้
  • การดำเนินการที่สอง เรียกว่าการคูณสเกลาร์กำหนดให้สเกลาร์  aในFและเวกเตอร์  v ใดๆ ในVเวกเตอร์อื่นในVซึ่งแทน  ค่าa v [nb 2]

สำหรับการมีปริภูมิเวกเตอร์สัจพจน์ แปดข้อต่อไปนี้ จะต้องสอดคล้องกันสำหรับทุกๆu , vและwในVและaและbในF [1]

สัจพจน์ ความหมาย
ความ สัมพันธ์ของการบวกเวกเตอร์ คุณ + ( v + w ) = ( คุณ + v ) + w
การ สลับที่ของการบวกเวกเตอร์ คุณ + v = v + คุณ
องค์ประกอบเอกลักษณ์ของการบวกเวกเตอร์ มีองค์ประกอบ0Vอยู่ เรียกว่าเวกเตอร์ศูนย์เช่นนั้นv + 0 = vสำหรับvVทั้งหมด
องค์ประกอบผกผันของการบวกเวกเตอร์ สำหรับทุกๆvVมีองค์ประกอบvVอยู่ เรียกว่าการบวกผกผันของvในลักษณะที่v + (− v ) = 0
ความเข้ากันได้ของการคูณสเกลาร์กับการคูณฟิลด์ a ( b v ) = ( ab ) v [nb 3]
องค์ประกอบเอกลักษณ์ของการคูณสเกลาร์ 1 v = vโดยที่1หมายถึงเอกลักษณ์ การคูณในF
การกระจายของการคูณสเกลาร์เกี่ยวกับการบวกเวกเตอร์   a ( u + v ) = a u + a v
การกระจายของการคูณสเกลาร์ในส่วนที่เกี่ยวกับการเพิ่มฟิลด์ ( a + b ) v = a v + b v

เมื่อสนามสเกลาร์เป็นจำนวนจริงปริภูมิเวกเตอร์เรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์จริง เมื่อฟิลด์สเกลาร์เป็นจำนวนเชิงซ้อนปริภูมิเวกเตอร์จะเรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน ทั้งสองกรณีนี้เป็นกรณีที่พบบ่อยที่สุด แต่เวคเตอร์สเปซที่มีสเกลาร์ในเขตข้อมูลF ตามอำเภอใจ ก็ได้รับการพิจารณาโดยทั่วไปเช่นกัน ปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์ F หรือปริภูมิ เวก เตอร์เหนือF

สามารถให้คำจำกัดความที่เทียบเท่ากันของปริภูมิเวกเตอร์ได้ ซึ่งกระชับกว่ามากแต่มีพื้นฐานน้อยกว่า สัจพจน์สี่ข้อแรก (ที่เกี่ยวข้องกับการบวกเวกเตอร์) บอกว่าปริภูมิเวกเตอร์เป็นกลุ่มอาเบ ลเลียน ภายใต้การบวก และสัจพจน์ที่เหลืออีกสี่ข้อ (เกี่ยวข้องกับ การคูณสเกลาร์) กล่าวว่าการดำเนินการนี้กำหนดวงแหวนโฮโมมอร์ฟิซึ่มจากสนามFเข้าสู่วงแหวนเอนโดม อร์ฟิซึ่ มของกลุ่มนี้

การลบเวกเตอร์สองตัวสามารถกำหนดเป็น

ผลโดยตรงของสัจพจน์รวมถึงสิ่งนั้นสำหรับทุกๆและหนึ่งมี

  • หมายถึงหรือ

แนวคิดและคุณสมบัติที่เกี่ยวข้อง

เวกเตอร์vในR 2 (สีน้ำเงิน) แสดงในรูปของฐานต่างๆ โดยใช้ฐานมาตรฐานของR 2 : v = x e 1 + y e 2 (สีดำ) และใช้ฐานอื่นที่ไม่ใช่มุมฉาก : v = f 1 + f 2 (สีแดง)
การรวมกันเชิงเส้น
กำหนดชุดGขององค์ประกอบF - เวกเตอร สเปซ Vการรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบGเป็นองค์ประกอบของVของรูปแบบ
ที่ไหนและสเกลาร์เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้น
ความเป็นอิสระเชิงเส้น
องค์ประกอบของเซตย่อยGของF -เวกเตอร สเปซ Vถูกกล่าวว่าเป็นอิสระเชิงเส้นถ้าไม่มีองค์ประกอบของGสามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบอื่นๆของG อย่างเท่าเทียมกัน พวกมันเป็นอิสระเชิงเส้นหากการผสมเชิงเส้นสองส่วนขององค์ประกอบGกำหนดองค์ประกอบเดียวกันของVก็ต่อเมื่อพวกมันมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน ในทำนองเดียวกัน พวกมันเป็นอิสระเชิงเส้นหากผลรวมเชิงเส้นเป็นเวกเตอร์ศูนย์ ก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นศูนย์
ปริภูมิเชิงเส้น
ปริภูมิย่อย เชิงเส้นหรือปริภูมิย่อยเวกเตอร์ Wของปริภูมิเวกเตอร์Vเป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของVที่ถูกปิดภายใต้การบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์ นั่นคือผลรวมของสององค์ประกอบของWและผลคูณขององค์ประกอบVโดยสเกลาร์เป็นของW นี่หมายความว่าการรวมกันเชิงเส้นขององค์ประกอบWเป็นของW ปริภูมิย่อยเชิงเส้นคือปริภูมิเวกเตอร์สำหรับการบวกแบบเหนี่ยวนำและการคูณแบบสเกลาร์ นี่หมายความว่าคุณสมบัติการปิดหมายความว่าสัจพจน์ของปริภูมิเวกเตอร์เป็นที่พอใจ
คุณสมบัติการปิดก็หมายความว่าทุกการ ตัดกันของปริภูมิย่อยเชิงเส้นคือปริภูมิย่อยเชิงเส้น
ช่วงเชิงเส้น
กำหนดเซตย่อยGของปริภูมิเวกเตอร์Vส แปน เชิงเส้นหรือเพียงแค่สแปนของGคือสเปซย่อยเชิงเส้นที่เล็กที่สุดของVที่มีGในแง่ที่ว่ามันคือจุดตัดของปริภูมิย่อยเชิงเส้นทั้งหมดที่มีG สแปนของGยังเป็นเซตของผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดขององค์ประกอบของG
ถ้าWคือสแปนของGใครบอกว่าG ส แป น หรือสร้าง WและGคือสแปนนิ่งเซ็ตหรือ aสร้างชุดของW .
พื้นฐานและมิติ
เซตย่อยของปริภูมิเวกเตอร์เป็นฐานหากองค์ประกอบของปริภูมิเป็นอิสระเชิงเส้นและขยายปริภูมิเวกเตอร์ ปริภูมิเวกเตอร์ทุกปริภูมิมีฐานอย่างน้อยหนึ่งฐาน โดยทั่วไปมีมาก (ดูพื้นฐาน (พีชคณิตเชิงเส้น) § การพิสูจน์ว่าปริภูมิเวกเตอร์ทุกปริภูมิมีฐาน ) ยิ่งกว่านั้น ฐานทั้งหมดของปริภูมิเวกเตอร์มีจำนวนการนับเท่ากันซึ่งเรียกว่ามิติของปริภูมิเวกเตอร์ (ดูทฤษฎีบทมิติสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ ) นี่คือคุณสมบัติพื้นฐานของสเปซเวกเตอร์ ซึ่งมีรายละเอียดในส่วนที่เหลือของส่วนนี้

ฐานเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำหรับการศึกษาปริภูมิเวกเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมิติมีขอบเขตจำกัด ในกรณีอนันต์มิติ การมีอยู่ของฐานไม่สิ้นสุด ซึ่งมักเรียกว่าฐานฮาเมลขึ้นอยู่กับสัจพจน์ที่เลือก ตามนั้น โดยทั่วไปแล้วไม่สามารถอธิบายฐานได้อย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่นจำนวนจริงสร้างปริภูมิเวกเตอร์ที่ไม่มีขอบเขตจำกัดเหนือจำนวนตรรกยะซึ่งไม่ทราบพื้นฐานเฉพาะเจาะจง

พิจารณาเป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์VของมิติnบนสนามF คำจำกัดความของพื้นฐานหมายความว่าทุกๆอาจจะเขียน

กับในFและการสลายตัวนี้มีลักษณะเฉพาะ สเกลาร์เรียกว่าพิกัดของvบนพื้นฐาน นอกจากนี้ยังกล่าวว่าเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของการสลายตัวของvบนพื้นฐาน มีใครบอกด้วยว่าn - tupleของพิกัดคือเวกเตอร์พิกัดของvบนพื้นฐาน เนื่องจากเซตของn -tuples ขององค์ประกอบFคือปริภูมิเวกเตอร์สำหรับการ เพิ่ม ส่วนประกอบและการคูณสเกลาร์ ซึ่งมีขนาด n

ความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเวกเตอร์และเวกเตอร์พิกัดของพวกมันแมปการบวกเวกเตอร์กับการบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์กับการคูณสเกลาร์ ดังนั้นจึงเป็นเวกเตอร์สเปซมอร์ฟิซึ่ม ซึ่งอนุญาตให้แปลเหตุผลและการคำนวณบนเวกเตอร์เป็นเหตุผลและการคำนวณบนพิกัดของมัน ถ้าในทางกลับกัน พิกัดเหล่านี้ถูกจัดเรียงเป็นเมทริกซ์การให้เหตุผลและการคำนวณบนพิกัดเหล่านี้สามารถแสดงได้อย่างรวบรัดว่าเป็นการให้เหตุผลและการคำนวณบนเมทริกซ์ ยิ่งไปกว่านั้นสมการเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์สามารถขยายเป็นระบบสมการเชิงเส้นได้ และในทางกลับกัน ทุกระบบดังกล่าวสามารถกระชับเป็นสมการเชิงเส้นบนเมทริกซ์ได้

โดยสรุป พีชคณิตเชิงเส้นจำกัดมิติอาจแสดงในภาษาที่เทียบเท่ากันสามภาษา:

  • ช่องว่างเวกเตอร์ซึ่งให้คำสั่งที่กระชับและไม่มีการประสานงาน
  • เมทริกซ์ซึ่งสะดวกสำหรับการแสดงการคำนวณที่ชัดเจนอย่างรัดกุม
  • ระบบสมการเชิงเส้นซึ่งให้สูตรพื้นฐานเพิ่มเติม

ประวัติ

ปริภูมิเวกเตอร์เกิดจากเรขาคณิต ที่ใกล้เคียง กัน โดยการนำพิกัดในระนาบหรือปริภูมิสามมิติ ประมาณปี 1636 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสRené DescartesและPierre de Fermat ได้ ก่อตั้งเรขาคณิตวิเคราะห์โดยการระบุคำตอบของสมการของตัวแปรสองตัวด้วยจุดบนเส้นโค้งระนาบ [2]เพื่อให้ได้คำตอบทางเรขาคณิตโดยไม่ต้องใช้พิกัดโบลซาโนได้แนะนำการดำเนินการบางอย่างบนจุด เส้น และระนาบ ซึ่งเป็นการดำเนินการก่อนหน้าของเวกเตอร์ในปี ค.ศ. 1804 [3] โมบิอุส (ค.ศ. 1827)ได้แนะนำแนวคิดเรื่องพิกัดbarycentric เบลลาวิติส (1833)นำเสนอแนวคิดของ bipoint กล่าวคือ ส่วนที่มุ่งเน้นซึ่งส่วนใดส่วนหนึ่งเป็นจุดกำเนิดและอีกส่วนเป็นเป้าหมาย เวกเตอร์ได้รับการพิจารณาใหม่ด้วยการนำเสนอจำนวนเชิงซ้อนโดย Argand และ Hamilton และการเริ่มต้นของquaternionsโดยรุ่นหลัง [5]เป็นองค์ประกอบในR 2และR 4 ; การจัดการโดยใช้ชุดค่าผสมเชิงเส้นย้อนกลับไปที่ ลา แกร์ในปี พ.ศ. 2410 ซึ่งเป็นผู้กำหนดระบบสมการเชิงเส้นด้วย

ในปี พ.ศ. 2400 Cayleyได้แนะนำสัญลักษณ์เมทริกซ์ซึ่งช่วยให้แผนที่เชิงเส้น มีความสอดคล้องกันและทำให้ง่าย ขึ้น ในช่วงเวลาเดียวกันGrassmannได้ศึกษาแคลคูลัส barycentric ที่ริเริ่มโดย Möbius เขามองเห็นชุดของวัตถุนามธรรมที่กอปรด้วยการดำเนินการ [6]ในงานของเขา แนวคิดของความเป็นอิสระเชิงเส้นและมิติตลอดจนผลิตภัณฑ์สเกลาร์มีอยู่ในปัจจุบัน จริงๆ แล้ว งานของ Grassmann ในปี 1844 เกินขอบเขตของสเปซเวกเตอร์ เนื่องจากการพิจารณาการคูณของเขาก็นำเขาไปสู่สิ่งที่เรียกว่าพีชคณิต ใน ปัจจุบัน พีอาโนนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีเป็นคนแรกที่ให้คำจำกัดความที่ทันสมัยของปริภูมิเวกเตอร์และแผนที่เชิงเส้นในปี พ.ศ. 2431 [7]แม้ว่าเขาจะเรียกมันว่า "ระบบเชิงเส้น" [8]

การพัฒนาที่สำคัญของปริภูมิเวกเตอร์เกิดจากการสร้างปริภูมิฟังก์ชันโดยHenri Lebesgue ต่อมาได้รับการทำให้เป็นทางการโดยBanachและHilbertประมาณปี 1920 [9]ในเวลานั้นพีชคณิตและสาขาใหม่ของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันเริ่มมีปฏิสัมพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับแนวคิดหลัก เช่นช่องว่างของ ฟังก์ชัน p -integrableและ ช่องว่าง ของHilbert [10]นอกจากนี้ ในเวลานี้ การศึกษาครั้งแรกเกี่ยวกับปริภูมิเวกเตอร์แบบไม่จำกัดมิติได้เสร็จสิ้นลงแล้ว

ตัวอย่าง

ลูกศรในระนาบ

ตัวอย่างแรกของสเปซเวกเตอร์ประกอบด้วยลูกศรในระนาบ คงที่ เริ่มต้นที่จุดคงที่หนึ่งจุด สิ่งนี้ใช้ในฟิสิกส์เพื่ออธิบายแรงหรือความเร็ว เมื่อพิจารณาจากลูกศรสองตัว เช่นvและwสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ลูกศรทั้งสองนี้ทอดยาวจะมีลูกศรทแยงมุมหนึ่งอันที่เริ่มต้นที่จุดกำเนิดเช่นกัน ลูกศรใหม่นี้เรียกว่าผลรวมของลูกศรทั้งสอง และเขียนแทนด้วยv + w. ในกรณีพิเศษของลูกศรสองลูกบนเส้นเดียวกัน ผลรวมของลูกศรคือลูกศรบนเส้นนี้ ซึ่งความยาวคือผลรวมหรือผลต่างของความยาว ขึ้นอยู่กับว่าลูกศรมีทิศทางเดียวกันหรือไม่ การดำเนินการอื่นที่สามารถทำได้ด้วยลูกศรคือการปรับขนาด: ให้จำนวนจริงที่ เป็นบวกใดๆ aลูกศรที่มีทิศทางเดียวกับvแต่ขยายหรือหดโดยการคูณความยาวด้วยa เรียกว่าการคูณvด้วยa มัน เขียน แทนa v เมื่อa เป็นค่าลบvจะถูกกำหนดให้เป็นลูกศรที่ชี้ไปในทิศทางตรงกันข้ามแทน

ต่อไปนี้แสดงตัวอย่างบางส่วน: ถ้าa = 2เวกเตอร์ผลลัพธ์a wจะมีทิศทางเดียวกับwแต่ยืดออกไปเป็นสองเท่าของw (ภาพขวาด้านล่าง) อย่างเท่าเทียมกัน2 w คือผลรวมw + w นอกจากนี้(−1) v = − vมีทิศทางตรงกันข้ามและยาวเท่ากับv (เวกเตอร์สีน้ำเงินชี้ลงในภาพขวา)

การบวกเวกเตอร์: ผลรวม v + w (สีดำ) ของเวกเตอร์ v (สีน้ำเงิน) และ w (สีแดง) แสดงขึ้น การคูณสเกลาร์: ทวีคูณ −v และ 2w จะแสดงขึ้น

ตัวอย่างที่สอง: คู่ของตัวเลขที่เรียงลำดับ

ตัวอย่างหลักที่สองของปริภูมิเวกเตอร์มีให้โดยคู่ของจำนวนจริงxและy (ลำดับของส่วนประกอบxและyมีความสำคัญ ดังนั้นคู่ดังกล่าวจึงเรียกอีกอย่างว่าคู่ที่เรียงลำดับ ) คู่ดังกล่าวเขียนเป็น( x , y ) ผลรวมของสองคู่ดังกล่าวและการคูณของคู่ที่มีตัวเลขถูกกำหนดดังนี้:

และ

ตัวอย่างแรกข้างต้นลดขนาดลงเหลือตัวอย่างนี้ ถ้าลูกศรแสดงด้วยพิกัดคาร์ทีเซียน คู่ ของจุดสิ้นสุด

พื้นที่พิกัด

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของสเปซเวกเตอร์บนฟิลด์Fคือฟิลด์Fเอง (เนื่องจากเป็นกลุ่มอาเบ ลเลียน สำหรับการบวก ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของข้อกำหนดในการเป็นฟิลด์ ) พร้อมกับการบวก (มันจะกลายเป็นการบวกเวกเตอร์) และการคูณ (กลายเป็นการคูณแบบสเกลาร์). โดยทั่วไปแล้ว ทั้งหมดn -สิ่ง อันดับ (ลำดับของความยาวn )

ขององค์ประกอบa iของFสร้างปริภูมิเวกเตอร์ที่ปกติเขียนแทนด้วยF nและเรียกว่าปริภูมิพิกัด [11] กรณีn = 1เป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดที่กล่าวถึงข้างต้น ซึ่งฟิลด์Fยังถือเป็นสเปซเวกเตอร์เหนือตัวมันเองด้วย กรณีF = Rและn = 2 (ดังนั้นR 2 ) ถูกกล่าวถึงในบทนำข้างต้น

จำนวนเชิงซ้อนและส่วนขยายฟิลด์อื่นๆ

เซตของจำนวนเชิงซ้อน Cนั่นคือ ตัวเลขที่สามารถเขียนในรูปแบบx + iyสำหรับจำนวนจริง xและyโดยที่iเป็นหน่วยจินตภาพสร้างสเปซเวกเตอร์บนจำนวนจริงด้วยการบวกและการคูณตามปกติ: ( x + iy ) + ( a + ib ) = ( x + a ) + i ( y + b )และc ⋅ ( x + iy ) = ( cx ) + i ( cy )สำหรับจำนวนจริงx , y , a , bและc สัจพจน์ต่างๆ ของปริภูมิเวกเตอร์เกิดขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่ากฎเดียวกันกับเลขคณิตจำนวนเชิงซ้อน

อันที่จริง ตัวอย่างของจำนวนเชิงซ้อนโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับ (นั่นคือ มันคือไอโซมอร์ฟิคกับ) สเปซเวกเตอร์ของคู่อันดับของจำนวนจริงที่กล่าวถึงข้างต้น: หากเราคิดว่าจำนวนเชิงซ้อนx + i yเป็นตัวแทนของคู่อันดับ( x , y )ในระนาบเชิงซ้อนเราจะเห็นว่ากฎสำหรับการบวกและการคูณสเกลาร์ตรงกับกฎในตัวอย่างก่อนหน้านี้ทุกประการ

โดยทั่วไปแล้วส่วนขยายของฟิลด์ให้ตัวอย่างอีกประเภทหนึ่งของปริภูมิเวกเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตและทฤษฎีจำนวนเกี่ยวกับพีชคณิต : ฟิลด์Fที่มี ฟิลด์ E ที่ เล็กกว่า คือE -เวคเตอร์สเปซ โดยการดำเนินการคูณและการบวกที่กำหนดของF [12]ตัวอย่างเช่น จำนวนเชิงซ้อนคือปริภูมิเวกเตอร์บนRและส่วนขยายของฟิลด์เป็นสเปซเวกเตอร์เหนือ Q

พื้นที่ฟังก์ชัน

การบวกของฟังก์ชัน: ผลรวมของไซน์และฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลคือกับ

ฟังก์ชันจากเซตคงที่Ωไปยังฟิลด์Fยังสร้างสเปซเวกเตอร์ด้วยการบวกและการคูณสเกลาร์ตามจุดต่างๆ นั่นคือผลรวมของสองฟังก์ชันfและgคือฟังก์ชันมอบให้โดย

และในทำนองเดียวกันสำหรับการคูณ ปริภูมิฟังก์ชันดังกล่าวเกิดขึ้นในหลายๆ สถานการณ์ทางเรขาคณิต เมื่อΩเป็นเส้นจริงหรือช่วงหรือเซตย่อย อื่น ๆของR แนวคิดมากมายในโทโพโลยีและการวิเคราะห์ เช่นความต่อเนื่อง การรวม เข้าด้วยกัน หรือ ความ สามารถ ในการหา อนุพันธ์มีพฤติกรรมที่ดีเกี่ยวกับความเป็นเส้นตรง: ผลคูณและผลคูณของสเกลาร์ของฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติดังกล่าวยังคงมีคุณสมบัตินั้นอยู่ [13] ดังนั้น เซตของฟังก์ชันดังกล่าวจึงเป็นสเปซเวกเตอร์ ซึ่งการศึกษานี้เป็นของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

สมการเชิงเส้น

ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์เชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับปริภูมิเวกเตอร์ [14]ตัวอย่างเช่น คำตอบของ

มอบให้โดยสามเท่าโดยพลการ และพวกมันก่อตัวเป็นปริภูมิเวกเตอร์: ผลบวกและผลคูณสเกลาร์ของสามเท่าดังกล่าวยังคงเป็นไปตามอัตราส่วนเดียวกันของตัวแปรทั้งสามตัว ดังนั้นจึงเป็นวิธีแก้ปัญหาด้วย สามารถใช้ เมทริกซ์ เพื่อย่อสมการเชิงเส้นหลายสมการข้างต้นให้เป็นสมการเวกเตอร์เดียว กล่าวคือ

ที่ไหนคือเมทริกซ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของสมการที่กำหนดเป็นเวกเตอร์ หมายถึงผลิตภัณฑ์เมทริกซ์และเป็นเวกเตอร์ศูนย์ ในทำนองเดียวกัน คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ที่เป็นเนื้อเดียวกันจะ สร้างปริภูมิเวกเตอร์ ตัวอย่างเช่น,

ผลตอบแทนที่ไหนและเป็นค่าคงที่โดยพลการและเป็นฟังก์ชันเอกซ์โป เนนเชียลตาม ธรรมชาติ

แผนที่เชิงเส้นและเมทริกซ์

ความสัมพันธ์ของสเปซเวกเตอร์สองอันสามารถแสดงได้ด้วยแผนที่ เชิงเส้น หรือการแปลงเชิงเส้น เป็นฟังก์ชันที่สะท้อนถึงโครงสร้างสเปซเวกเตอร์ นั่นคือ รักษาผลรวมและการคูณสเกลาร์:

เพื่อทุกสิ่งและในทั้งหมดใน[15]

มอร์ฟิซึ่มเป็นแผนที่เชิงเส้นf  : VWในลักษณะที่มีแผนที่ผกผัน g  : WVซึ่งเป็นแผนที่ที่ทำให้องค์ประกอบที่เป็นไปได้สององค์ประกอบ fg  : WWและgf  : VVคือแผนที่ประจำตัว อย่างเท่าเทียมกันfเป็นทั้งหนึ่งต่อหนึ่ง ( ฉีด ) และบน ( Surjective ) [16] หากมีมอร์ฟิซึมระหว่างV และ W ช่องว่างทั้งสองจะถูกกล่าวว่าเป็นไอโซมอร์ฟิก จากนั้นพวกมันจะเหมือนกันโดยพื้นฐานแล้วเป็นเวคเตอร์สเปซ เนื่องจากตัวตนทั้งหมดที่อยู่ในVจะถูกส่งผ่านfไปยังสิ่งที่คล้ายกันในWและในทางกลับกันโดยผ่าน g

การอธิบายเวกเตอร์ลูกศรvด้วยพิกัดxและyทำให้ได้ค่า isomorphism ของปริภูมิเวกเตอร์

ตัวอย่างเช่น ช่องว่างเวกเตอร์ "ลูกศรในระนาบ" และ "คู่ของตัวเลขที่เรียงลำดับ" ในบทนำเป็นแบบไอโซมอร์ฟิค: ลูกศรระนาบvที่ออกจากจุดกำเนิด ของ ระบบพิกัด (คงที่) บางส่วนสามารถแสดงเป็นคู่ที่เรียงลำดับได้โดยพิจารณาจากx - และy - ส่วนประกอบของลูกศร ดังที่แสดงในภาพด้านขวา ในทางกลับกัน ให้คู่( x , y )ลูกศรที่ไปตามxไปทางขวา (หรือไปทางซ้าย ถ้าxเป็นลบ) และyขึ้น (ลง ถ้าyเป็นลบ) จะย้อนลูกศร v

แผนที่เชิงเส้นVWระหว่างสเปซเวกเตอร์สองอันสร้างสเปซเวกเตอร์Hom F ( V , W )ซึ่งเขียนแทนด้วยL ( V , W )หรือ𝓛( V , W ) [17]สเปซของแผนที่เชิงเส้นจากVถึงFเรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์คู่ ซึ่งเขียนแทนด้วยV [18]ผ่านแผนที่ธรรมชาติVV ∗∗, สเปซเวกเตอร์ใดๆ สามารถฝังลงในคู่ของมันได้ ; แผนที่เป็นแบบมอร์ฟิซึ่มก็ต่อเมื่อพื้นที่นั้นมีขอบเขตจำกัด [19]

เมื่อเลือกพื้นฐานของVแล้ว แผนที่เชิงเส้นf  : VWจะถูกกำหนดโดยสมบูรณ์โดยการระบุภาพของเวกเตอร์พื้นฐาน เนื่องจากองค์ประกอบใดๆ ของVจะแสดงออกมาอย่างเป็นเอกลักษณ์โดยเป็นผลรวมเชิงเส้นของพวกมัน [20]ถ้าหรี่V = สลัวWความสอดคล้องกันแบบ 1 ต่อ 1ระหว่างฐานคงที่ของVและWทำให้เกิดแผนที่เชิงเส้นที่จับคู่องค์ประกอบพื้นฐานใดๆ ของVกับองค์ประกอบพื้นฐานที่สอดคล้องกันของW มันเป็นมอร์ฟิซึ่มตามคำจำกัดความของมัน [21]ดังนั้น สเปซเวกเตอร์สองอันจะเป็นไอโซมอร์ฟิคหากขนาดตรงกันและในทางกลับกัน อีกวิธีในการแสดงสิ่งนี้คือปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ ถูกจัดประเภทอย่างสมบูรณ์ ( จนถึง isomorphism) ตามมิติของมันเป็นตัวเลขเดียว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริภูมิF -เวกเตอร์ nมิติใดๆVคือไอโซมอร์ฟิคของF n อย่างไรก็ตาม ไม่มีคำว่า "บัญญัติ" หรือมอร์ฟิซึ่มที่ต้องการ อันที่จริง isomorphism φ  : F nVเทียบเท่ากับการเลือกฐานของVโดยการแมปฐานมาตรฐานของF nกับVผ่านφ. อิสระในการเลือกพื้นฐานที่สะดวกมีประโยชน์อย่างยิ่งในบริบทที่ไม่มีขอบเขต ดูด้านล่าง [ ต้องการคำชี้แจง ]

เมทริกซ์

เมทริกซ์ทั่วไป

เมทริกซ์เป็นแนวคิดที่มีประโยชน์ในการเข้ารหัสแผนที่เชิงเส้น [22] พวกมันถูกเขียนเป็นอาร์เรย์สเกลาร์สี่เหลี่ยมตามภาพด้านขวา เมทริกซ์m -by -nใดๆก่อให้เกิดแผนที่เชิงเส้นจากFnถึงFmโดยต่อไปนี้

ที่ไหนหมายถึงผลรวมหรือ ใช้เมทริกซ์คูณเมทริกซ์ด้วยเวกเตอร์พิกัด

ยิ่งกว่านั้น หลังจากเลือกฐานของVและWแล้วแผนที่เชิงเส้นใดๆf  : VWจะถูกแทนด้วยเมทริกซ์ที่ไม่ซ้ำกันผ่านการกำหนดนี้ [23]

ปริมาตรของเส้นขนาน นี้ คือค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 คูณ 3 ที่เกิดจากเวกเตอร์r 1 , r 2และr 3

ดีเท อร์มิแน น ต์เดต ( A )ของเมทริกซ์จัตุรัส Aเป็นสเกลาร์ที่บอกว่าแผนที่ที่เกี่ยวข้องนั้นเป็นมอร์ฟิซึมหรือไม่: เพื่อให้ดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ก็เพียงพอและจำเป็น [24]การแปลงเชิงเส้นของR nที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ n -by-n จริงคือการวางแนวคงไว้หากดีเทอร์มีแนนต์เป็นบวกเท่านั้น

ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

Endomorphismsแผนที่เชิงเส้นf  : VVมีความสำคัญเป็นพิเศษ เนื่องจากในกรณีนี้ เวกเตอร์vสามารถเปรียบเทียบได้กับภาพภายใต้f , f ( v ) เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์v ใดๆ ที่ น่าพอใจλ v = f ( v )โดยที่λเป็นสเกลาร์ เรียกว่าเวกเตอร์ ลักษณะเฉพาะ ของfที่มีค่าลักษณะเฉพาะ λ [nb 4] [25]เท่ากับvเป็นองค์ประกอบของเคอร์เนลของความแตกต่างfλ · Id (โดยที่ Id คือแผนที่ตัว ตนVV ) ถ้าVเป็นมิติจำกัด สามารถใช้ถ้อยคำนี้ใหม่ได้โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์: f มีค่าลักษณะเฉพาะλเท่ากับ

โดยการสะกดคำนิยามของดีเทอร์มิแนนต์ นิพจน์ทางด้านซ้ายมือจะเห็นได้ว่าเป็นฟังก์ชันพหุนามในλซึ่งเรียกว่าพหุนามคุณลักษณะของf [26] ถ้าฟิลด์Fมีขนาดใหญ่พอที่จะมีศูนย์ของพหุนามนี้ (ซึ่งเกิดขึ้นโดยอัตโนมัติสำหรับF ทางพีชคณิตที่ปิด เช่นF = C ) แผนที่เชิงเส้นใดๆ จะมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งตัว ปริภูมิเวกเตอร์Vอาจมีหรือไม่มีเกณฑ์ลักษณะเฉพาะ ฐานที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ปรากฏการณ์นี้อยู่ภายใต้ รูปแบบมาตรฐาน ของแผนที่จอร์แดน [27][nb 5]เซตของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั้งหมดที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะของ fจะสร้างปริภูมิเวกเตอร์ที่เรียกว่าปริภูมิลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ (และ f ) ที่เป็นปัญหา เพื่อให้บรรลุทฤษฎีบทสเปกตรัมข้อความที่เกี่ยวข้องในกรณีอนันต์มิติ จำเป็นต้องมีเครื่องจักรในการวิเคราะห์การทำงาน ดูด้านล่าง [ ต้องการคำชี้แจง ]

โครงสร้างพื้นฐาน

นอกจากตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมข้างต้นแล้ว ยังมีโครงสร้างเชิงพีชคณิตเชิงเส้นมาตรฐานจำนวนหนึ่งที่ให้พื้นที่เวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่ที่กำหนด นอกจากคำจำกัดความที่ให้ไว้ด้านล่างแล้ว ยังมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติสากลซึ่งกำหนดวัตถุโดยระบุแผนที่เชิงเส้นจากไปยังสเปซเวกเตอร์อื่น

ปริภูมิย่อยและปริภูมิผลหาร

เส้นที่ผ่านจุดกำเนิด (สีน้ำเงิน หนา) ในR 3เป็นพื้นที่ย่อยเชิงเส้น เป็นจุดตัดของระนาบสองระนาบ (สีเขียวและสีเหลือง)

ชุดย่อย ที่ไม่ว่างเปล่า ของปริภูมิเวกเตอร์ที่ถูกปิดภายใต้การบวกและการคูณสเกลาร์ (และดังนั้นจึงมี-เวกเตอร์ของ) เรียกว่าปริภูมิย่อยเชิงเส้นของหรือเพียงแค่พื้นที่ย่อยของเมื่อปริภูมิแวดล้อมเป็นพื้นที่เวกเตอร์อย่างชัดเจน [28] [nb 6]พื้นที่ย่อยของเป็นสเปซเวกเตอร์ (เหนือช่องเดียวกัน) ในสิทธิ์ของมันเอง จุดตัดของพื้นที่ย่อยทั้งหมดที่มีชุดที่กำหนดของเวกเตอร์เรียกว่า ส แปน และมันคือซับสเปซที่เล็กที่สุดของประกอบด้วยชุดแสดงในแง่ขององค์ประกอบ สแปนคือสเปซย่อยที่ประกอบด้วยชุดค่าผสมเชิงเส้น ทั้งหมดของอิลิเมนต์ ของ[29]

ปริภูมิย่อยเชิงเส้นของมิติ 1 เป็นเส้นเวกเตอร์ ปริภูมิย่อยเชิงเส้นของมิติ 2 เป็นระนาบเวกเตอร์ พื้นที่ย่อยเชิงเส้นที่มีองค์ประกอบทั้งหมด แต่หนึ่งในพื้นฐานของพื้นที่โดยรอบคือเวกเตอร์ไฮเปอร์เพลในปริภูมิเวกเตอร์ที่มีขนาดจำกัดไฮเปอร์เพลนเวกเตอร์จึงเป็นพื้นที่ย่อยของมิติ

คู่ของสเปซย่อยคือปริภูมิเวกเตอร์ผลหาร [30]กำหนดพื้นที่ย่อยใดๆพื้นที่เชาวน์(" โมดูโล ") กำหนดดังนี้ เป็นเซตประกอบด้วยที่ไหนเป็นเวกเตอร์โดยพลการในผลรวมของสององค์ประกอบดังกล่าวและเป็นและการคูณสเกลาร์จะได้รับจากประเด็นสำคัญในคำจำกัดความนี้คือ ถ้าและถ้าความแตกต่างของและอยู่ใน[nb 7]ด้วยวิธีนี้ พื้นที่ผลหาร "ลืม" ข้อมูลที่มีอยู่ในพื้นที่ย่อย

เคอร์เนล _ ของแผนที่เชิงเส้นประกอบด้วยเวกเตอร์ที่แมปกับใน[31]เคอร์เนลและอิมเมจ เป็นพื้นที่ย่อยของและตามลำดับ [32]การมีอยู่ของเมล็ดพืชและรูปภาพเป็นส่วนหนึ่งของคำแถลงที่ว่าหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์ (บนฟิลด์คงที่) เป็นหมวดหมู่ ของอาเบเลียน นั่นคือคลังของวัตถุทางคณิตศาสตร์และแผนที่ที่รักษาโครงสร้างระหว่างวัตถุทั้งสอง ( หมวดหมู่ ) ซึ่งมีลักษณะการทำงานเหมือนกับหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน [33]ด้วยเหตุนี้ ข้อความจำนวนมาก เช่นทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมแรก (เรียกอีกอย่างว่าอันดับ–ทฤษฎีบทโมฆะในแง่ที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์)

และทฤษฎีบทมอร์ฟิซึ่มที่สองและสามสามารถกำหนดและพิสูจน์ในลักษณะที่คล้ายกับข้อความที่เกี่ยวข้องสำหรับ กลุ่ม

ตัวอย่างที่สำคัญคือเคอร์เนลของแผนที่เชิงเส้นสำหรับเมทริกซ์คงที่บางตัวดังกล่าวข้างต้น [ ต้องการคำชี้แจง ]เคอร์เนลของแผนที่นี้คือพื้นที่ย่อยของเวกเตอร์ดังนั้นซึ่งเป็นเซตของคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ที่เป็นของแนวคิดนี้ยังขยายไปถึงสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นด้วย

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์เป็นฟังก์ชั่นในด้วย. ในแผนที่ตรงกัน
อนุพันธ์ ของฟังก์ชันปรากฏเป็นเส้นตรง (ตรงข้ามกับตัวอย่างเช่น). เนื่องจากความแตกต่างเป็นขั้นตอนเชิงเส้น (นั่นคือและสำหรับค่าคงที่) การกำหนดนี้เป็นเชิงเส้น เรียกว่า ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สร้างปริภูมิเวกเตอร์ (เหนือRหรือC )

ผลคูณโดยตรงและผลรวมโดยตรง

ผลคูณโดยตรงของปริภูมิเวกเตอร์และผลรวมโดยตรงของปริภูมิเวกเตอร์เป็นสองวิธีในการรวมตระกูลของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีการจัดทำดัชนีเข้าในปริภูมิเวกเตอร์ใหม่

ผลิตภัณฑ์โดยตรง ของครอบครัวเวกเตอร์สเปซประกอบด้วยเซตของทูเพิลทั้งหมดที่กำหนดสำหรับแต่ละดัชนีในชุดดัชนีบางชุด องค์ประกอบของ[34]การบวกและการคูณแบบสเกลาร์จะดำเนินการตามส่วนประกอบ ความแตกต่างของการก่อสร้างนี้คือผลรวมโดยตรง (เรียกอีกอย่างว่าcoproductและแสดงว่า) ซึ่งอนุญาตเฉพาะทูเพิลที่มีเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์จำนวนจำกัด ถ้าดัชนีกำหนดมีขอบเขตจำกัด โครงสร้างทั้งสองเห็นพ้องต้องกัน แต่โดยทั่วไปแล้วจะแตกต่างกัน

ผลิตภัณฑ์เทนเซอร์

ผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ หรือเพียงแค่ของปริภูมิเวกเตอร์สองตัวและเป็นหนึ่งในแนวคิดหลักของพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งเกี่ยวข้องกับการขยายแนวคิด เช่น แผนที่เชิงเส้นไปยังตัวแปรหลายตัว แผนที่จากผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน เรียกว่าbilinearถ้าเป็นเชิงเส้นในตัวแปรทั้งสองและ กล่าวคือสำหรับการแก้ไขแผนที่เป็นเชิงเส้นในความหมายข้างต้นและเหมือนกันสำหรับค่าคงที่

แผนภาพ การสลับ ที่แสดงถึงคุณสมบัติสากลของผลิตภัณฑ์เทนเซอร์

ผลคูณของเทนเซอร์คือสเปซเวกเตอร์เฉพาะที่เป็นผู้รับสากล ของแผนที่ทวิเนียร์ดังนี้. มันถูกกำหนดให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยผลรวมจำกัด (เป็นทางการ) ของสัญลักษณ์ที่เรียกว่าเท นเซอร์

ภายใต้กฎเกณฑ์[35]
กฎเหล่านี้ทำให้มั่นใจได้ว่าแผนที่จากถึงที่จับคู่ทูเพิล ถึงเป็นไบลิเนียร์ ความเป็นสากลระบุว่าให้พื้นที่เวกเตอร์ใดๆและแผนที่ทวิเนียร์ใดๆมีแผนที่เฉพาะอยู่แสดงในแผนภาพด้วยลูกศรประซึ่งมีองค์ประกอบด้วยเท่ากับ [36]สิ่งนี้เรียกว่าคุณสมบัติสากลของผลคูณของเทนเซอร์ ซึ่งเป็นตัวอย่างของวิธีการ ซึ่งใช้มากในพีชคณิตนามธรรมขั้นสูง เพื่อกำหนดวัตถุโดยอ้อมโดยการระบุแผนที่จากหรือไปยังวัตถุนี้

สเปซเวกเตอร์ที่มีโครงสร้างเพิ่มเติม

จากมุมมองของพีชคณิตเชิงเส้น ปริภูมิเวกเตอร์สามารถเข้าใจได้อย่างสมบูรณ์ ตราบเท่าที่สเปซเวกเตอร์ใดๆ มีลักษณะเฉพาะตัว ไปจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมตามมิติของมัน อย่างไรก็ตาม ช่องว่างของเวกเตอร์ไม่ได้เสนอกรอบงานเพื่อจัดการกับคำถาม—สำคัญต่อการวิเคราะห์—ไม่ว่าลำดับของฟังก์ชัน จะ บรรจบกับฟังก์ชันอื่นหรือไม่ ในทำนองเดียวกัน พีชคณิตเชิงเส้นไม่ได้ถูกดัดแปลงให้จัดการกับอนุกรมอนันต์เนื่องจากการดำเนินการบวกอนุญาตให้เพิ่มเงื่อนไขจำนวนจำกัดเท่านั้น ดังนั้นความต้องการในการวิเคราะห์เชิงหน้าที่จึงต้องพิจารณาโครงสร้างเพิ่มเติม

ปริภูมิเวกเตอร์อาจได้รับคำสั่งบางส่วน ซึ่งสามารถเปรียบเทียบเวกเตอร์บางตัวได้ [37]ตัวอย่างเช่น- มิติของพื้นที่จริงสามารถสั่งซื้อได้โดยการเปรียบเทียบส่วนประกอบของเวกเตอร์ ปริภูมิเวกเตอร์ที่ได้รับคำสั่งเช่นปริภูมิ Rieszเป็นพื้นฐานของการรวม Lebesgueซึ่งอาศัยความสามารถในการแสดงฟังก์ชันเป็นความแตกต่างของฟังก์ชันบวกสองฟังก์ชัน

ที่ไหนหมายถึงส่วนบวกของและส่วนที่เป็นลบ [38]

ปริภูมิเวกเตอร์บรรทัดฐานและปริภูมิผลคูณภายใน

เวกเตอร์ "การวัด" ทำได้โดยการระบุบรรทัดฐานซึ่งเป็น Datum ที่วัดความยาวของเวกเตอร์ หรือโดยผลคูณภายในซึ่งวัดมุมระหว่างเวกเตอร์ บรรทัดฐานและผลิตภัณฑ์ภายในแสดงไว้และตามลำดับ Datum ของผลิตภัณฑ์ภายในระบุว่าความยาวของเวกเตอร์สามารถกำหนดได้เช่นกัน โดยการกำหนดบรรทัดฐานที่เกี่ยวข้องเวคเตอร์สเปซที่บรรจุข้อมูลดังกล่าวเรียกว่านอร์มเวคเตอร์ สเปซ และ สเปซ ผลคูณภายในตามลำดับ [39]

พิกัดพื้นที่สามารถติดตั้งผลิตภัณฑ์ dot มาตรฐาน :

ในสิ่งนี้สะท้อนถึงแนวคิดทั่วไปของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวและตามกฎของโคไซน์ :
ด้วยเหตุนี้ เวกเตอร์สองตัวจึงพอใจเรียกว่ามุมฉาก ตัวแปรที่สำคัญของผลิตภัณฑ์ดอทมาตรฐานถูกใช้ในพื้นที่ Minkowski :กอปรด้วยผลิตภัณฑ์ Lorentz [40]
ตรงกันข้ามกับดอทโปรดักต์มาตรฐาน มันไม่แน่นอนในเชิงบวก :ยังรับค่าลบเช่นสำหรับการแยกแยะพิกัดที่สี่ซึ่งสอดคล้องกับเวลาตรงข้ามกับมิติอวกาศสามมิติ ทำให้มีประโยชน์สำหรับการรักษาทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี

คำถามเกี่ยวกับการบรรจบกันได้รับการปฏิบัติโดยพิจารณาจากปริภูมิเวกเตอร์ดำเนินการโทโพโลยี ที่เข้ากันได้ ซึ่งเป็นโครงสร้างที่ช่วยให้สามารถพูดคุยเกี่ยวกับองค์ประกอบที่อยู่ใกล้กัน [41] [42]เข้ากันได้ที่นี่หมายความว่าการบวกและการคูณสเกลาร์ต้องเป็นแผนที่ต่อเนื่อง ประมาณว่าถ้าและในและในแปรผันตามจำนวนที่จำกัด จากนั้นจึงเป็นเช่นนั้นและ[nb 8]เพื่อให้เข้าใจถึงการระบุจำนวนการเปลี่ยนแปลงสเกลาร์ ฟิลด์จะต้องมีโทโพโลยีในบริบทนี้ด้วย ตัวเลือกทั่วไปคือจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน

ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเราสามารถพิจารณาชุดของเวกเตอร์ได้ ผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุด

หมายถึงขีดจำกัดของผลบวกบางส่วนจำกัดที่สอดคล้องกันของลำดับขององค์ประกอบของตัวอย่างเช่น,อาจเป็นฟังก์ชัน (จริงหรือซับซ้อน) ที่เป็นของพื้นที่ฟังก์ชัน บางส่วน ซึ่งในกรณีนี้ ซีรีส์คือ ซี รี ส์ฟังก์ชัน โหมดของการบรรจบกันของซีรีส์ขึ้นอยู่กับโทโพโลยีที่กำหนดในพื้นที่ฟังก์ชัน ในกรณีเช่นนี้ การบรรจบกัน ของจุด และ การบรรจบกันใน เครื่องแบบเป็นสองตัวอย่างที่เด่นชัด

หน่วย "ทรงกลม"ในประกอบด้วยเวกเตอร์ระนาบของบรรทัดฐาน 1 ภาพเป็นหน่วยทรงกลมที่แตกต่างกัน-บรรทัดฐานสำหรับและเพชรที่ใหญ่กว่าแสดงถึงจุดที่ 1-norm เท่ากับ 2

วิธีที่จะรับประกันการมีอยู่ของขีดจำกัดของอนุกรมอนันต์บางอย่างคือการจำกัดความสนใจไปที่ช่องว่างที่ลำดับ Cauchy ใด ๆ มีขีดจำกัด ปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่าสมบูรณ์ . โดยคร่าว ปริภูมิเวกเตอร์จะเสร็จสมบูรณ์โดยมีข้อจำกัดที่จำเป็นทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเวกเตอร์ของพหุนามบนช่วงหน่วยพร้อมกับโทโพโลยีของการบรรจบกันของเครื่องแบบไม่สมบูรณ์เพราะฟังก์ชั่นต่อเนื่องบนสามารถประมาณค่าได้อย่างสม่ำเสมอโดยลำดับของพหุนาม โดยทฤษฎีบทการประมาณ แบบไวเออร์ชตรา ส [43] ตรงกันข้าม ช่องว่างของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด เปิดอยู่ด้วยโทโพโลยีเดียวกันเสร็จสมบูรณ์ [44]บรรทัดฐานก่อให้เกิดโทโพโลยีโดยกำหนดลำดับของเวกเตอร์นั้นบรรจบกับถ้าและถ้า

ปริภูมิ Banach และ Hilbert เป็นปริภูมิเวคเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบสมบูรณ์ซึ่งโทโพโลยีกำหนดขึ้นตามลำดับ โดยบรรทัดฐานและผลคูณภายใน การศึกษาของพวกเขาซึ่งเป็นส่วนสำคัญของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันมุ่งเน้นไปที่ปริภูมิเวคเตอร์แบบไม่จำกัดมิติ เนื่องจากบรรทัดฐานทั้งหมดบนปริภูมิเวคเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบจำกัดมิติก่อให้เกิดแนวคิดเดียวกันเกี่ยวกับการบรรจบกัน [45]ภาพด้านขวาแสดงค่าสมมูลของ-บรรทัดฐานและ- บรรทัดฐานบนเมื่อหน่วย "ลูก" ล้อมรอบกัน ลำดับจะบรรจบกันเป็นศูนย์ในบรรทัดฐานหนึ่งหากเป็นเช่นนั้นในบรรทัดฐานอื่น อย่างไรก็ตาม ในกรณีอนันต์มิติ โดยทั่วไปจะมีโทโพโลยีที่ไม่เท่ากัน ซึ่งทำให้การศึกษาสเปซเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีสมบูรณ์กว่าสเปซเวกเตอร์ที่ไม่มีข้อมูลเพิ่มเติม

จากมุมมองของแนวคิด แนวคิดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับสเปซเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีควรตรงกับโทโพโลยี ตัวอย่างเช่น แทนที่จะพิจารณาแผนที่เชิงเส้นทั้งหมด (เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชัน )แผนที่ระหว่างช่องว่างเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีจะต้องต่อเนื่องกัน [46]โดยเฉพาะอย่างยิ่งพื้นที่คู่ (ทอพอโลยี)ประกอบด้วยฟังก์ชันต่อเนื่อง(หรือถึง). ทฤษฎีบท พื้นฐานของฮาห์น-บานาคเกี่ยวข้องกับการแยกสเปซย่อยของสเปซเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่เหมาะสมด้วยฟังก์ชันต่อเนื่อง [47]

ช่องว่าง Banach

สเปซ Banachนำเสนอโดย Stefan Banach เป็นส เปซเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานสมบูรณ์ [48]

ตัวอย่างแรกคือปริภูมิเวกเตอร์ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดพร้อมรายการจริง ของใคร-บรรทัดฐาน มอบให้โดย

โทโพโลยีบนปริภูมิไร้ขอบเขตไม่เท่ากันสำหรับที่แตกต่างกันตัวอย่างเช่น ลำดับของเวกเตอร์ซึ่งในครั้งแรกส่วนประกอบคือและต่อไปนี้คือลู่เข้าหาเวกเตอร์ศูนย์สำหรับแต่ไม่ได้สำหรับ

แต่

โดยทั่วไปมากกว่าลำดับของจำนวนจริง ฟังก์ชันได้รับมาตรฐานที่แทนที่ผลรวมข้างต้นด้วยปริพันธ์ Lebesgue

พื้นที่ของฟังก์ชันอินทิเกร ต บนโดเมน ที่กำหนด (เช่น ช่วงเวลา) น่าพอใจและติดตั้งบรรทัดฐานนี้เรียกว่าช่องว่าง Lebesgueซึ่งแสดงแทน[nb 9]

พื้นที่เหล่านี้เสร็จสมบูรณ์ [49] (ถ้าใครใช้Riemann integralแทน พื้นที่จะไม่สมบูรณ์ ซึ่งอาจถูกมองว่าเป็นเหตุผลสำหรับทฤษฎีอินทิเกรตของ Lebesgue [nb 10] ) นี่หมายความว่าสำหรับลำดับใดๆ ของฟังก์ชัน Lebesgue-integrableกับเป็นไปตามเงื่อนไข

มีฟังก์ชั่นอยู่อยู่ในปริภูมิเวกเตอร์ดังนั้น

การกำหนดเงื่อนไขขอบเขตไม่เพียง แต่ในฟังก์ชั่นเท่านั้น แต่ยังรวมถึงอนุพันธ์ ด้วย ทำให้เกิดช่องว่าง Sobolev . [50]

ช่องว่างของฮิลแบร์ต

สแนปช็อตที่ตามมาแสดงผลรวมของพจน์ 1 ถึง 5 ในการประมาณฟังก์ชันคาบ (สีน้ำเงิน) โดยผลรวมจำกัดของฟังก์ชันไซน์ (สีแดง)

พื้นที่ผลิตภัณฑ์ภายในที่สมบูรณ์เรียกว่าHilbert spacesเพื่อเป็นเกียรติแก่David Hilbert [51]พื้นที่ฮิลแบร์ตด้วยสินค้าวงในที่มอบให้โดย

ที่ไหนหมายถึงคอนจูเกตที่ซับซ้อนของ[52] [nb 11]เป็นกรณีสำคัญ

ตามคำนิยาม ในพื้นที่ Hilbert ลำดับ Cauchy ใดๆ จะบรรจบกันจนถึงขีดจำกัด ในทางกลับกัน การหาลำดับของฟังก์ชันด้วยคุณสมบัติที่ต้องการซึ่งใกล้เคียงกับฟังก์ชันลิมิตที่กำหนด มีความสำคัญเท่าเทียมกัน การวิเคราะห์ในช่วงต้นโดยใช้หน้ากากของการประมาณเทย์เลอร์สร้างการประมาณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ โดยพหุนาม [53]โดยทฤษฎีบทสโตน–ไวเออ ร์ชตรา ส ฟังก์ชันต่อเนื่องทุกฟังก์ชันเปิดอยู่สามารถประมาณได้ใกล้เคียงกับที่ต้องการโดยพหุนาม [54]เทคนิคการประมาณที่คล้ายกันโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติเรียกกันทั่วไปว่าการขยายตัวของฟูเรียร์และมีการนำไปใช้มากในด้านวิศวกรรม ดูด้านล่าง [ ต้องการคำชี้แจง ]โดยทั่วไปและในเชิงแนวคิด ทฤษฎีบทให้คำอธิบายง่ายๆ ว่า "ฟังก์ชันพื้นฐาน" ใด หรือในปริภูมิฮิลแบร์ตที่เป็นนามธรรม เวกเตอร์พื้นฐานใดที่เพียงพอในการสร้างปริภูมิฮิลแบร์ตในแง่ที่ว่าการปิดช่วงของพวกมัน (นั่นคือ ชุดค่าผสมเชิงเส้นจำกัดและลิมิตของพวกมัน) คือพื้นที่ทั้งหมด ชุดของฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าพื้นฐานของจำนวนสมาชิกของมันเรียกว่ามิติอวกาศของฮิลแบร์[nb 12]ทฤษฎีบทนี้ไม่เพียงแต่แสดงฟังก์ชันพื้นฐานที่เหมาะสมเพียงพอสำหรับจุดประสงค์ในการประมาณเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกระบวนการแกรม-ชมิดต์ด้วย ซึ่งทำให้สามารถสร้างพื้นฐานของเวกเตอร์มุมฉากได้ [55]ฐานมุมฉากดังกล่าวเป็นลักษณะทั่วไปของปริภูมิฮิลแบร์ตของแกนพิกัดในปริภูมิยุคลิดที่ มีขอบเขตจำกัด

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ ต่างๆ สามารถตีความได้ในรูปของปริภูมิฮิลแบร์ต ตัวอย่างเช่น สาขาวิชาฟิสิกส์และวิศวกรรมจำนวนมากนำไปสู่สมการดังกล่าว และบ่อยครั้งคำตอบที่มีสมบัติทางกายภาพเฉพาะจะถูกใช้เป็นฟังก์ชันพื้นฐาน ซึ่งมักจะเป็นรูปมุมฉาก [56]ดังตัวอย่างจากฟิสิกส์สมการช โรดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลา ในกลศาสตร์ควอนตัมอธิบายการเปลี่ยนแปลงของคุณสมบัติทางกายภาพในเวลาโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยซึ่งคำตอบของคำตอบเรียกว่าฟังก์ชันคลื่น [57]ค่ากำหนดสำหรับคุณสมบัติทางกายภาพ เช่น พลังงาน หรือโมเมนตัม สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะของค่าหนึ่ง (เชิงเส้น)ตัวดำเนินการ เชิงอนุพันธ์ และฟังก์ชันคลื่นที่เกี่ยวข้องเรียกว่าeigenstates ทฤษฎีบทสเปกตรัม แยกตัว ดำเนินการคอมแพคเชิงเส้นที่ทำหน้าที่เกี่ยวกับฟังก์ชันในรูปของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันเหล่านี้ [58]

พีชคณิตเหนือฟิลด์

ไฮเปอร์โบลา ที่กำหนดโดยสมการวงแหวนพิกัดของฟังก์ชันบนไฮเพอร์โบลานี้กำหนดโดยปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติไม่สิ้นสุด

ปริภูมิเวกเตอร์ทั่วไปไม่มีการคูณระหว่างเวกเตอร์ ปริภูมิเวกเตอร์ที่ติดตั้งตัวดำเนินการแบบทวิเนียร์เพิ่มเติมซึ่งกำหนดการคูณของเวกเตอร์สองตัวคือ พีชคณิต บนสนาม [59]พีชคณิตจำนวนมากเกิดจากฟังก์ชันบนวัตถุทางเรขาคณิตบางอย่าง เนื่องจากฟังก์ชันที่มีค่าในฟิลด์ที่กำหนดสามารถคูณตามจุดได้ เอนทิตีเหล่านี้จึงก่อตัวเป็นพีชคณิต ยกตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบท Stone–Weierstrass อาศัยพีชคณิตของ Banachซึ่งเป็นทั้งปริภูมิ Banach และพีชคณิต

พีชคณิตเชิงสับเปลี่ยนใช้ประโยชน์จากวงแหวนของพหุนามในตัวแปรหนึ่งหรือหลายตัวแปร ดังที่ กล่าว ไว้ข้างต้น [ ต้องการคำชี้แจง ]การคูณมีทั้งแบบสลับ ที่ และแบบเชื่อมโยง วงแหวนและผลหาร เหล่านี้ เป็นพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเนื่องจากเป็นวงแหวนของฟังก์ชันของวัตถุเชิงพีชคณิต [60]

ตัวอย่างที่สำคัญอีกตัวอย่างหนึ่งคือLie algebrasซึ่งไม่มีทั้งการสลับที่หรือเชื่อมโยง แต่การไม่เป็นเช่นนั้นถูกจำกัดโดยข้อจำกัด (หมายถึงผลิตภัณฑ์ของและ):

ตัวอย่าง ได้แก่ สเปซเวกเตอร์ของ-โดย-เมทริกซ์ด้วยการสับเปลี่ยนของสองเมทริกซ์ และมอบให้กับผลิตภัณฑ์ ข้าม

พีชคณิตเทนเซอร์ เป็นวิธีอย่างเป็นทางการในการเพิ่มผลิตภัณฑ์ลงในพื้นที่เวกเตอร์เพื่อให้ได้พีชคณิต [62]ในฐานะที่เป็นปริภูมิเวกเตอร์ มันถูกขยายด้วยสัญลักษณ์ เรียกว่าเท นเซอร์อย่างง่าย

ระดับ ไหน แตกต่างกันไป การคูณทำได้โดยการเชื่อมสัญลักษณ์ดังกล่าวเข้าด้วยกัน บังคับใช้กฎหมายการกระจายภายใต้การบวก และกำหนดให้การคูณสเกลาร์สลับกับผลคูณเทนเซอร์ ⊗ ในลักษณะเดียวกับผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์สองตัวที่แนะนำข้างต้น [ จำเป็นต้องชี้แจง ]โดยทั่วไป ไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างและการบังคับให้สององค์ประกอบดังกล่าวเท่ากันจะนำไปสู่พีชคณิตสมมาตรในขณะที่การบังคับให้ผลพีชคณิตภายนอก [63]

เมื่อฟิลด์,ระบุไว้อย่างชัดเจน คำที่ใช้กันทั่วไปคือ-พีชคณิต.

โครงสร้างที่เกี่ยวข้อง

กลุ่มเวกเตอร์

แถบ Möbius ในพื้นที่ดูเหมือน ว่าU × R

บันเดิ ลเวกเตอร์คือกลุ่มของเวคเตอร์สเปซที่มีพาราเมตริกอย่างต่อเนื่องโดยทอพอโลยี สเปซX [64]อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น กลุ่มเวกเตอร์บนXคือสเปซทอพอโลยีEที่มีแผนที่ต่อเนื่อง

ดังนั้นสำหรับทุกๆxในXเส้นใยπ −1 ( x ) เป็นปริภูมิเวกเตอร์ กรณี dim V = 1เรียกว่าline bundle สำหรับปริภูมิเวกเตอร์VการฉายภาพX × VXทำให้ผลคูณX × Vเป็นกลุ่มเวกเตอร์ "เล็กน้อย " การรวมกลุ่มเวกเตอร์บนXจำเป็นต้องเป็นผลิตภัณฑ์ของX ใน พื้นที่และสเปซเวกเตอร์ (คงที่) บางตัวV : สำหรับทุก ๆxในXมีย่าน Uของxที่ข้อจำกัดของ π ถึง π −1 ( U ) เป็นไอโซมอร์ฟิก[nb 13] ถึงบันเดิ ลเล็กน้อยU × VU แม้จะมีลักษณะที่ไม่สำคัญเฉพาะที่ การรวมกลุ่มของเวกเตอร์อาจ (ขึ้นอยู่กับรูปร่างของพื้นที่ X ที่อยู่ข้างใต้)จะ "บิดเป็นเกลียว" ในขนาดใหญ่ (นั่นคือ การรวมกลุ่มไม่จำเป็นต้องเป็น ตัวอย่างเช่นแถบโมบิอุ ส สามารถเห็นเป็นกลุ่มเส้นเหนือวงกลมS 1 (byระบุช่วงเวลาเปิดด้วยเส้นจริง ) อย่างไรก็ตาม มันแตกต่างจากทรงกระบอก S 1 × Rเพราะอันหลังนั้นปรับทิศทาง ได้ ในขณะที่อันแรกไม่ได้ [65]

คุณสมบัติของเวกเตอร์บันเดิลให้ข้อมูลเกี่ยวกับโทโพโลยีสเปซพื้นฐาน ตัวอย่างเช่นบันเดิลแทนเจนต์ประกอบด้วยคอลเลกชั่นของปริภูมิแทนเจนต์ที่ถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยจุดของท่อร่วมที่หาอนุพันธ์ได้ บันเดิลแทนเจนต์ของวงกลมS 1เป็นแบบไอโซมอร์ฟิกโดยรวมกับS 1 × Rเนื่องจากมีฟิลด์เวกเตอร์ที่ ไม่ใช่ศูนย์ บนS 1 [nb 14]ตรงกันข้าม โดยทฤษฎีบทขนปุยไม่มีสนามเวกเตอร์ (แทนเจนต์) บนทรงกลม S 2ซึ่งทุกที่ไม่เป็นศูนย์ [66] ทฤษฎีเคศึกษาคลาสมอร์ฟิซึ่มของชุดเวกเตอร์ทั้งหมดในพื้นที่ทอพอโลยี [67]นอกเหนือจากการเจาะลึกโทโพโลยีและเรขาคณิตเชิงลึกแล้ว ยังมีผลลัพธ์ทางพีชคณิตอย่างหมดจด เช่น การจำแนกพีชคณิตการหาร จริงแบบจำกัดมิติ : R , C , ค วอเทอร์ เนียน Hและออคตัน ไอออน O

บันเดิ ลโคแทนเจนต์ของท่อร่วมที่มีอนุพันธ์ได้ประกอบด้วย ที่ทุกจุดของท่อร่วม ของคู่ของปริภูมิแทนเจนต์ปริภูมิโคแทนเจนต์ ส่วนต่างๆ ของบันเดิลนั้นเรียกว่าดิ ฟเฟอเร นเชียลรูปแบบเดียว

โมดูล

โมดูลจะกำหนดว่าเวคเตอร์สเปซใดเป็นฟิลด์: สัจพจน์เดียวกัน นำไปใช้กับวงแหวนR แทนฟิลด์Fโมดูลผลผลิต [68]ทฤษฎีของโมดูล เมื่อเทียบกับของเวคเตอร์สเปซ มีความซับซ้อนโดยการมีอยู่ขององค์ประกอบวงแหวนที่ไม่มีผลคูณผกผัน ตัวอย่างเช่น โมดูลไม่จำเป็นต้องมีฐานตามที่Z -module (นั่นคือabelian group ) Z /2 Zแสดง; โมดูลเหล่านั้นที่ทำ (รวมถึงเวคเตอร์สเปซทั้งหมด) เรียกว่าโมดูลฟรี อย่างไรก็ตาม สเปซเวกเตอร์สามารถกำหนดอย่างกะทัดรัดเป็นโมดูลบนวงแหวน ได้ซึ่งเป็นเขตข้อมูลโดยมีองค์ประกอบที่เรียกว่าเวกเตอร์ ผู้เขียนบางคนใช้คำว่าvector spaceเพื่อหมายถึงโมดูลบนวงแหวนหาร [69] การตีความเชิงพีชคณิต-เรขาคณิตของวงแหวนการสลับที่ผ่านสเปกตรัมทำให้สามารถพัฒนาแนวคิดต่างๆ เช่นโมดูลอิสระในเครื่อง , พีชคณิตคู่กับกลุ่มเวกเตอร์

พื้นที่ใกล้เคียงและฉายภาพ

ระนาบใกล้เคียง(สีฟ้าอ่อน) ในR 3 มันคือสเปซย่อยสองมิติที่ถูกเลื่อนโดยเวกเตอร์x (สีแดง)

โดยคร่าว ๆ สเปซใกล้เคียงคือสเปซเวกเตอร์ที่ไม่ได้ระบุจุดกำเนิด [70]ให้แม่นยำยิ่งขึ้น สเปซที่ใกล้เคียงคือเซตที่มีแอคชั่น สเปซ เวกเตอร์สกรรมกริยาอิสระ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สเปซเวกเตอร์คือสเปซที่อยู่ติดกับตัวมันเองตามแผนที่

ถ้าWเป็นสเปซเวกเตอร์ สเปซย่อยใกล้เคียงกันคือเซตย่อยของW ที่ ได้จากการแปลสเปซย่อยเชิงเส้นVโดยเวกเตอร์คงที่xW ; พื้นที่นี้เขียนแทนด้วยx + V (เป็นโคเซตของVในW ) และประกอบด้วยเวกเตอร์ทั้งหมดในรูปแบบx + vสำหรับvV ตัวอย่างที่สำคัญคือปริภูมิของคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นไม่เท่ากัน
สรุปกรณีที่เป็นเนื้อเดียวกันข้างต้นซึ่งสามารถพบได้โดยการตั้งค่าในสมการนี้ [ ต้องการคำชี้แจง ] [71]สเปซของคำตอบคือสเปซย่อย ใกล้เคียง x + Vโดยที่xคือคำตอบเฉพาะของสมการ และVคือสเปซของคำตอบของสมการเอกพันธ์ ( สเปซ ว่างของA )

ชุดของสเปซย่อยหนึ่งมิติของสเปซเวกเตอร์มิติจำกัดคงที่Vเรียกว่า สเปซ ฉายภาพ ; อาจใช้เพื่อทำให้แนวคิดของเส้นขนานตัดกันที่ระยะอนันต์ [72] Grassmanniansและธงต่างๆ สรุปสิ่งนี้โดย parametrizing เชิงเส้น subspaces ของมิติคงที่kและธงของ subspaces ตามลำดับ

แนวคิดที่เกี่ยวข้อง

เวกเตอร์เฉพาะในปริภูมิเวกเตอร์
เวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เฉพาะ
  • เวกเตอร์คอลัมน์เมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เดียว เวกเตอร์คอลัมน์ที่มีจำนวนแถวคงที่สร้างสเปซเวกเตอร์
  • เวกเตอร์แถวเมทริกซ์ที่มีแถวเดียว เวกเตอร์แถวที่มีจำนวนคอลัมน์คงที่สร้างสเปซเวกเตอร์
  • เวกเตอร์พิกัด , n -tupleของพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานขององค์ประกอบn ตัว สำหรับสเปซเวกเตอร์เหนือสนาม F n -tuples เหล่านี้สร้างสเปซเวกเตอร์(ซึ่งการดำเนินการคือการบวกแบบจุดและการคูณแบบสเกลาร์)
  • เวกเตอร์การ กระจัด , เวกเตอร์ที่ระบุการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับตำแหน่งก่อนหน้า เวกเตอร์การกระจัดอยู่ในปริภูมิเวกเตอร์ของการแปล
  • เวกเตอร์ตำแหน่งของจุด เวกเตอร์การกระจัดจากจุดอ้างอิง (เรียกว่าจุดกำเนิด ) ไปยังจุดนั้น เวกเตอร์ตำแหน่งแทนตำแหน่งของจุดในปริภูมิแบบยุคลิดหรือปริภูมิใกล้เคียง
  • เวกเตอร์ความเร็วอนุพันธ์ตามเวลาของเวกเตอร์ตำแหน่ง มันไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกของต้นทาง ดังนั้นจึงเป็นของเวคเตอร์สเปซของการแปล
  • ซูโดเวคเตอร์เรียกอีกอย่างว่าเวกเตอร์ตามแนวแกน
  • โค เวกเตอร์ องค์ประกอบของคู่ของปริภูมิเวกเตอร์ ในพื้นที่ผลิตภัณฑ์ภายใน ผลิตภัณฑ์ภายในกำหนด isomorphism ระหว่างช่องว่างและคู่ของมัน ซึ่งอาจทำให้แยกแยะโคเวคเตอร์จากเวกเตอร์ได้ยาก ความแตกต่างจะชัดเจนเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงพิกัด
  • เวกเตอร์แทนเจนต์ , องค์ประกอบของปริภูมิสัมผัสของเส้นโค้ง , พื้นผิวหรือโดยทั่วไปแล้ว คือ ความแตกต่างที่หลากหลายณ จุดที่กำหนด (ปริภูมิสัมผัสเหล่านี้มีโครงสร้างของปริภูมิเวกเตอร์โดยธรรมชาติ)
  • เวกเตอร์ปกติหรือแค่ปกติในปริภูมิแบบยุคลิดหรือมากกว่านั้น ในปริภูมิผลคูณภายใน คือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับปริภูมิสัมผัส ณ จุดหนึ่ง
  • เกร เดียนท์ เวกเตอร์พิกัดของอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรจริงหลายตัว ในปริภูมิแบบยุคลิด การไล่ระดับสีจะแสดงขนาดและทิศทางของการเพิ่มสูงสุดของสนามสเกลาร์ การไล่ระดับสีเป็นโคเวคเตอร์ที่เป็นเส้นโค้งระดับปกติ
  • สี่เวกเตอร์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์จริงสี่มิติเรียกว่า ปริภูมิมินโคว์ส กี้

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

  1. ^ นอกจากนี้ยังเป็นเรื่องปกติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวิชาฟิสิกส์ เพื่อแสดงเวกเตอร์ที่มีลูกศรอยู่ด้านบน:เป็นเรื่องปกติเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูง ที่จะไม่ใช้วิธีการพิมพ์ใดๆ ในการแยกแยะเวกเตอร์จากวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ
  2. ^ อย่าสับสนกับการคูณสเกลาร์ กับผลคูณสเกลาร์ ซึ่งเป็นการดำเนินการเพิ่มเติมบนปริภูมิเวกเตอร์เฉพาะบางค่า เรียกว่าผลคูณภายใน การคูณส เกลาร์เป็นการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ที่สร้างเวกเตอร์ ในขณะที่ผลคูณสเกลาร์คือการคูณของเวกเตอร์สองตัวที่สร้างสเกลาร์
  3. สัจพจน์นี้ไม่ใช่คุณสมบัติที่เชื่อมโยงเนื่องจากมันอ้างถึงการดำเนินการที่แตกต่างกันสองแบบ การคูณสเกลาร์และการคูณฟิลด์ ดังนั้นจึงเป็นอิสระจากการเชื่อมโยงของการคูณภาคสนามซึ่งสันนิษฐานโดยสัจพจน์ของสนาม
  4. ^ ระบบการตั้งชื่อมาจากภาษาเยอรมัน " eigen " ซึ่งแปลว่าเป็นเจ้าของหรือเหมาะสม
  5. ดูการสลายตัวของจอร์แดน–เชอแวลลีย์ด้วย
  6. ^ โดยทั่วไปจะเป็นกรณีนี้เมื่อสเปซเวกเตอร์ถูกพิจารณาว่าเป็น เป ซใกล้เคียง ในกรณีนี้ ซับสเปซเชิงเส้นมีเวกเตอร์เป็นศูนย์ในขณะที่สเปซย่อย affine ไม่จำเป็นต้องมีอยู่
  7. ^ ผู้แต่งบางคน (เช่น Roman  2005 ) เลือกที่จะเริ่มต้นด้วยความสัมพันธ์สมมูล นี้ และได้รูปธรรมของจากนี้.
  8. ^ ข้อกำหนดนี้บอกเป็นนัยว่าโทโพโลยีก่อให้เกิดโครงสร้างที่เหมือนกัน Bourbaki  1989 , ch. ครั้งที่สอง
  9. ^ อสมการรูปสามเหลี่ยมสำหรับจัดทำโดยอสมการMinkowski ด้วยเหตุผลทางเทคนิค ในบริบทของฟังก์ชัน เราต้องระบุฟังก์ชันที่เห็นด้วยเกือบทุกที่เพื่อให้ได้บรรทัดฐาน ไม่ใช่เฉพาะเซมินอร์ม
  10. ^ "ฟังก์ชั่นมากมายในของการวัด Lebesgue ซึ่งไม่มีขอบเขต ไม่สามารถรวมเข้ากับอินทิกรัล Riemann แบบคลาสสิกได้ ดังนั้นช่องว่างของฟังก์ชันบูรณาการของ Riemann จึงไม่สมบูรณ์ในบรรทัดฐานและการสลายตัวแบบมุมฉากจะไม่นำไปใช้กับสิ่งเหล่านี้ นี่แสดงให้เห็นข้อดีประการหนึ่งของการบูรณาการ Lebesgue", Dudley  1989 , §5.3, p. 125
  11. ^ สำหรับ ไม่ใช่พื้นที่ของฮิลแบร์ต
  12. ^ พื้นฐานของปริภูมิฮิลแบร์ตไม่เหมือนกับพื้นฐานในแง่ของพีชคณิตเชิงเส้นข้างต้น [ จำเป็นต้องชี้แจง ] เพื่อความแตกต่าง เราจะเรียกสิ่งหลังนี้ว่าพื้นฐานฮาเมล
  13. นั่นคือ มีโฮมีโอม อร์ฟิซึม ตั้งแต่ π −1 ( U ) ถึง V × Uซึ่งจำกัดเฉพาะมอร์ฟิซึมเชิงเส้นระหว่างเส้นใย
  14. มัดเส้น เช่น มัดแทนเจนต์ของ S 1นั้นไม่สำคัญหากมีส่วนที่ไม่หายไป ดู Husemoller  1994 , Corollary 8.3 ส่วนของบันเดิลแทนเจนต์เป็นเพียงฟิลด์เวกเตอร์

การอ้างอิง

  1. ^ โรมัน  2005 , ch. 1 หน้า 27
  2. บู  ร์บากิ 1969 , ch. "Algèbre linéaire et algèbre multilinéaire", หน้า 78–91
  3. โบลซาโน  1804 .
  4. ^ ดอเรียร์ (1995)
  5. ^ แฮมิล ตัน 2396
  6. ^ กราสมัน น์  2000 .
  7. พีโน  1888 , ch. ทรงเครื่อง
  8. ↑ กัว, หงหยู ( 2021-06-16 ). เทนเซอร์คืออะไรกันแน่? . โลกวิทยาศาสตร์. ไอเอสบีเอ็น 978-981-12-4103-1.
  9. ^ บา นัค  2465 .
  10. ดอเรี  ยร์ 1995 , มัว ร์ 1995
  11. ^ หรั่ง  1987 , น. I.1
  12. ^ หรั่ง  2545น. V.1
  13. ^ หรั่ง  2536น. XII.3. หน้า 335
  14. ^ หรั่ง  1987 , น. VI.3.
  15. ^ โรมัน  2005 , ch. 2 หน้า 45
  16. ^ หรั่ง  1987 , น. IV.4, ข้อโต้แย้ง, p. 106
  17. ^ Lang  1987ตัวอย่าง IV.2.6
  18. ^ หรั่ง  1987 , น. VI.6
  19. ฮัลม  อส 1974 , p. 28, เช่น 9
  20. ^ Lang  1987 , ทฤษฎีบท IV.2.1, p. 95
  21. ^ โรมัน  2548 , น. 2.5 และ 2.6 หน้า 49
  22. ^ หรั่ง  1987 , น. V.1
  23. ^ หรั่ง  1987 , น. V.3., ข้อโต้แย้ง, p. 106
  24. ^ Lang  1987 , ทฤษฎีบท VII.9.8, p. 198
  25. ^ โรมัน  2005 , ch. 8 หน้า 135–156
  26. ^ หรั่ง  1987 , น. IX.4
  27. ^ โรมัน  2005 , ch. 8 หน้า 140.
  28. ^ โรมัน  2005 , ch. 1 หน้า 29
  29. ^ โรมัน  2005 , ch. 1 หน้า 35
  30. ^ โรมัน  2005 , ch. 3 หน้า 64
  31. ^ หรั่ง  1987 , น. IV.3.
  32. ^ โรมัน  2005 , ch. 2 หน้า 48
  33. ^ แมคเลน  2541
  34. ^ โรมัน  2005 , ch. 1 หน้า 31–32
  35. ^ หรั่ง  2545น. XVI.1
  36. ^ โรมัน  2548 , น. 14.3. ดู Yoneda lemmaด้วย
  37. Schaefer & Wolff  1999 , หน้า 204–205
  38. บู  ร์บากิ 2004 , ch. 2 หน้า 48
  39. ^ โรมัน  2005 , ch. 9
  40. ^ นา เบอร์  2003 , ch. 1.2
  41. ^ ทรีฟส์  2510
  42. บูร์บากี  1987
  43. ^ เครย์ซิก 1989 , §4.11-5
  44. ^ เครย์ซิก 1989 , §1.5-5
  45. ↑  โชเกต์ 1966 , ข้อเสนอ III.7.2
  46. ทรีฟส์  1967 , p. 34–36
  47. ^ หลัง  1983คร. 4.1.2 หน้า 69
  48. ^ ทรีฟส์  1967 , ch. 11
  49. ^ Treves  1967ทฤษฎีบท 11.2 หน้า 102
  50. ^ อีแวนส์  1998 , ch. 5
  51. ^ ทรีฟส์  1967 , ch. 12
  52. ↑ เดนเนอรี & ไครวิ  กกี 1996 , p.190
  53. ^ หรั่ง  2536 , ธ. XIII.6 หน้า 349
  54. ^ หรั่ง  2536 , ธ. III.1.1
  55. ↑  โชเกต์ 1966 , เล็มมา III.16.11
  56. เครย์ ซิก  1999บทที่ 11
  57. ^ Griffiths  1995บทที่ 1
  58. ^ หรั่ง  2536น. XVII.3
  59. ^ หรั่ง  2545น. III.1 หน้า 121
  60. ^ Eisenbud  1995 , ch. 1.6
  61. ^ วรดาราาจารย์  2517
  62. ^ หรั่ง  2545น. XVI.7
  63. ^ หรั่ง  2545น. XVI.8
  64. ^ Spivak  1999 , ch. 3
  65. ↑ เครย์ ซิก  1991 , §34 , p. 108
  66. ^ ไอเซนเบิร์ก & กาย  2522
  67. ^ อติยาห์  2532
  68. ^ อาร์ติน  1991 , ch. 12
  69. กริลเล็ต, ปิแอร์ อองตวน. พีชคณิตนามธรรม ฉบับ 242. Springer Science & Business Media, 2007.
  70. ^ เมเยอร์  2000ตัวอย่าง 5.13.5 หน้า 436
  71. ^ เมเยอร์  2000แบบฝึกหัด 5.13.15–17 หน้า 442
  72. ^ คอซีเตอร์  1987
  73. อรรถเป็น ไวส์สไตน์ เอริก ดับเบิลยู. "เวกเตอร์" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-19 .

อ้างอิง

พีชคณิต

บทวิเคราะห์

ข้อมูลอ้างอิงทางประวัติศาสตร์

ข้อมูลอ้างอิงเพิ่มเติม

ลิงค์ภายนอก