สามเหลี่ยม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา

สามเหลี่ยมด้านเท่า
รูปหลายเหลี่ยมปกติ 3 มีหมายเหตุประกอบ.svg
สามเหลี่ยมปกติ
พิมพ์รูปหลายเหลี่ยมปกติ
ขอบและจุดยอด3
สัญลักษณ์ Schläfli{3}
แผนภาพ Coxeterโหนด CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
กลุ่มสมมาตรDihedral (D 3 ) คำสั่ง 2×3
มุมภายใน ( องศา )60°
รูปหลายเหลี่ยมคู่ตัวเอง
คุณสมบัตินูน , วัฏจักร , ด้านเท่ากันหมด , isogonal , isotoxal
สามเหลี่ยม
สามเหลี่ยม illustration.svg
สามเหลี่ยม
ขอบและจุดยอด3
สัญลักษณ์ Schläfli{3} (สำหรับด้านเท่ากันหมด)
พื้นที่วิธีการต่างๆ
ดูด้านล่าง
มุมภายใน ( องศา )60° (สำหรับด้านเท่ากันหมด)
สามเหลี่ยม ไตร สาม มุม
สามเหลี่ยม = ไตร (สาม) + มุม

สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามขอบและสามจุด มันเป็นหนึ่งในขั้นพื้นฐานรูปทรงในรูปทรงเรขาคณิต สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดA , BและCแทนค่า.

ในเรขาคณิตแบบยุคลิดจุดสามจุดใดๆ เมื่อไม่เป็นแนวร่วมให้กำหนดสามเหลี่ยมที่ไม่ซ้ำใครและระนาบที่ไม่ซ้ำกันพร้อมกัน(เช่นปริภูมิแบบยุคลิดสองมิติ) กล่าวอีกนัยหนึ่ง มีระนาบเดียวที่มีรูปสามเหลี่ยมนั้น และสามเหลี่ยมทุกรูปอยู่ในระนาบบางอัน หากเรขาคณิตทั้งหมดเป็นเพียงระนาบแบบยุคลิดจะมีระนาบเดียวและสามเหลี่ยมทั้งหมดอยู่ในนั้น อย่างไรก็ตาม ในช่องว่างแบบยุคลิดมิติที่สูงกว่า สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงอีกต่อไป บทความนี้เกี่ยวกับสามเหลี่ยมในเรขาคณิตแบบยุคลิด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ระนาบแบบยุคลิด เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

ประเภทของสามเหลี่ยม

แผนภาพออยเลอร์ของประเภทสามเหลี่ยม โดยใช้คำจำกัดความว่าสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีด้านเท่ากันอย่างน้อย 2 ด้าน (กล่าวคือ สามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นหน้าจั่ว)

คำศัพท์สำหรับการจัดหมวดหมู่สามเหลี่ยมเก่ากว่าสองพันกว่าปีที่ได้รับการกำหนดไว้ในหน้าแรกของEuclid 's องค์ประกอบ ชื่อที่ใช้สำหรับการจำแนกประเภทสมัยใหม่อาจเป็นการทับศัพท์โดยตรงของภาษากรีกของยุคลิดหรือการแปลเป็นภาษาละติน

ตามความยาวของด้าน

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกEuclid ได้กำหนดรูปสามเหลี่ยมสามประเภทตามความยาวของด้าน: [1] [2]

กรีก : τῶνδὲτριπλεύρωνσχημάτωνἰσόπλευρονμὲντρίγωνόνἐστι τὸτὰςτρεῖςἴσαςἔχονπλευράς , ἰσοσκελὲςδὲτὸτὰςδύομόναςἴσαςἔχον πλευράς , σκαληνὸνδὲτὸτὰςτρεῖςἀνίσουςἔχονπλευράς , สว่าง 'ของตัวเลขไตรภาคีเป็นisopleuron [สามเหลี่ยมด้านเท่า] สามเหลี่ยมคือสิ่งที่มีสามด้านเท่ากับเป็นหน้าจั่วที่มีสองด้านคนเดียวเท่ากันและด้านไม่เท่าที่มีสามด้านข้างไม่เท่ากัน. [3]

  • สามเหลี่ยมด้านเท่า ( กรีก : ἰσόπλευρον , romanizedisópleuron , สว่าง 'ด้านเท่ากัน) มีสามด้านของความยาวเดียวกัน สามเหลี่ยมด้านเท่ายังเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีมุมทั้งหมด 60° [4]
  • หน้าจั่วสามเหลี่ยม ( กรีก : ἰσοσκελὲς , romanizedisoskelés , สว่าง 'ขาเท่ากัน) มีสองด้านยาวเท่ากัน[หมายเหตุ 1] [5]สามเหลี่ยมหน้าจั่วก็มีมุมสองมุมที่มีขนาดเท่ากัน นั่นคือมุมตรงข้ามกับทั้งสองด้านที่มีความยาวเท่ากัน ความจริงเรื่องนี้เป็นเนื้อหาของทฤษฎีบทหน้าจั่วสามเหลี่ยมซึ่งเป็นที่รู้จักโดยEuclidนักคณิตศาสตร์บางคนกำหนดสามเหลี่ยมหน้าจั่วให้มีด้านเท่ากันสองด้าน ขณะที่คนอื่นๆ นิยามสามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้านเป็นอย่างน้อย[5]คำจำกัดความหลังจะทำให้สามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว สามเหลี่ยมมุมฉาก 45–45–90 ซึ่งปรากฏในการปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมเตตรากิส คือหน้าจั่ว
  • ย้วยสามเหลี่ยม ( กรีก : σκαληνὸν , romanizedskalinón , สว่าง 'ไม่เท่ากัน) มีด้านข้างทั้งหมดของความยาวที่แตกต่างกัน [6]เท่ากันทุกประการมีมุมวัดต่างกัน

เครื่องหมายฟักหรือที่เรียกว่า เครื่องหมายถูก ใช้ในไดอะแกรมของสามเหลี่ยมและรูปทรงเรขาคณิตอื่น ๆ เพื่อระบุด้านที่มีความยาวเท่ากัน ด้านข้างสามารถทำเครื่องหมายด้วยรูปแบบของ "เห็บ" ส่วนของเส้นสั้นในรูปแบบของเครื่องหมายนับ ; สองข้างมีความยาวเท่ากัน ถ้าทั้งสองข้างถูกทำเครื่องหมายด้วยลวดลายเดียวกัน ในรูปสามเหลี่ยม รูปแบบมักจะไม่เกิน 3 ขีด สามเหลี่ยมด้านเท่ามีรูปแบบเหมือนกันทั้ง 3 ด้าน สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีรูปแบบเดียวกันเพียง 2 ด้าน และสามเหลี่ยมด้านเท่ามีรูปแบบที่แตกต่างกันทุกด้านเนื่องจากไม่มีด้านใดเท่ากัน

ในทำนองเดียวกัน รูปแบบของส่วนโค้งศูนย์กลาง 1, 2 หรือ 3 ภายในมุมจะใช้เพื่อระบุมุมที่เท่ากัน: สามเหลี่ยมด้านเท่ามีรูปแบบเหมือนกันทั้ง 3 มุม สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีรูปแบบเดียวกันเพียง 2 มุม และสามเหลี่ยมมุมฉาก มีรูปแบบที่แตกต่างกันในทุกมุม เนื่องจากไม่มีมุมใดเท่ากัน

โดยมุมภายใน

หน้าแรกของEuclid's Elementsจากฉบับพิมพ์ครั้งแรกของโลก (ค.ศ. 1482) แสดงส่วน "คำจำกัดความ" ของหนังสือเล่มที่ 1 สามเหลี่ยมมุมฉากมีชื่อว่า " orthogonius " และสองมุมที่แสดงคือ "acutus" และ "angulus obtusus" .

สามเหลี่ยมยังสามารถจำแนกตามพวกเขามุมภายในวัดที่นี่ในองศา

  • สามเหลี่ยมขวา (หรือสามเหลี่ยมขวามุมเดิมที่เรียกว่าสามเหลี่ยม rectangled ) มีหนึ่งของมุมภายในขนาด 90 ° (กมุมขวา ) ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยม อีกสองข้างเรียกว่าขาหรือcatheti [7] (เอกพจน์: cathetus ) ของรูปสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส : ผลรวมของกำลังสองของความยาวของขาทั้งสองข้างเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก: a 2 + b 2 = c 2โดยที่aและbคือความยาวของขา และcคือความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก สามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษคือสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ทำให้การคำนวณที่เกี่ยวข้องง่ายขึ้น หนึ่งในสองที่มีชื่อเสียงที่สุดคือสามเหลี่ยมมุมฉาก 3-4–5 โดยที่3 2 + 4 2 = 5 2 . สามเหลี่ยม 3-4–5 เรียกอีกอย่างว่าสามเหลี่ยมอียิปต์ [8]ในสถานการณ์เช่นนี้, 3, 4, 5 และเป็นพีทาโกรัสสาม อีกรูปหนึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มี 2 มุมวัดได้ 45 องศา (สามเหลี่ยม 45–45–90)
    • รูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้มีมุมขนาด 90 °จะเรียกว่าสามเหลี่ยมเฉียง
  • สามเหลี่ยมกับทุกมุมภายในวัดน้อยกว่า 90 °เป็นรูปสามเหลี่ยมรุนแรงหรือรุนแรงมุมสามเหลี่ยม [2]ถ้าcคือความยาวของด้านที่ยาวที่สุด ดังนั้นa 2 + b 2 > c 2โดยที่aและbคือความยาวของด้านอื่นๆ
  • สามเหลี่ยมมุมหนึ่งภายในวัดกว่า 90 °เป็นสามเหลี่ยมป้านหรือสามเหลี่ยมป้านมุม [2]ถ้าcคือความยาวของด้านที่ยาวที่สุด ดังนั้นa 2 + b 2 < c 2โดยที่aและbคือความยาวของด้านอื่นๆ
  • สามเหลี่ยมที่มีมุมภายในของ 180 องศา (และcollinearจุด) เป็นคนเลว สามเหลี่ยมเสื่อมโทรมด้านขวามีจุดยอด collinear ซึ่งสองอันเกิดขึ้นพร้อมกัน

สามเหลี่ยมที่มีมุมสองมุมที่มีขนาดเท่ากันก็มีด้านสองด้านที่มีความยาวเท่ากัน ดังนั้นจึงเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ต่อมาในรูปสามเหลี่ยมที่มุมทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน ด้านทั้งสามมีความยาวเท่ากัน ดังนั้นจึงมีด้านเท่ากันหมด

สามเหลี่ยมมุมฉาก สามเหลี่ยมป้าน สามเหลี่ยมเฉียบพลัน
ถูกต้อง ป้าน เฉียบพลัน
 
  เฉียง

ข้อเท็จจริงพื้นฐาน

รูปสามเหลี่ยมแสดงมุมภายนอก ง.

สามเหลี่ยมจะถือว่าเป็นรูป ระนาบสองมิติเว้นแต่บริบทจะระบุเป็นอย่างอื่น (ดูสามเหลี่ยมไม่มีระนาบด้านล่าง) ในการรักษาอย่างเข้มงวด สามเหลี่ยมจึงเรียกว่า2- simplex (ดูPolytope ) ข้อเท็จจริงเบื้องต้นเกี่ยวกับสามเหลี่ยมถูกนำเสนอโดยEuclidในเล่มที่ 1-4 ขององค์ประกอบของเขาซึ่งเขียนเมื่อประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล

การวัดมุมภายในของสามเหลี่ยมมักจะรวมกันได้ 180 องศา (สีเดียวกันเพื่อชี้ให้เห็นว่าเท่ากัน)

ผลรวมของมาตรการของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมในพื้นที่ Euclideanอยู่เสมอ 180 องศา[9] [2]ความเป็นจริงนี้จะเทียบเท่ากับของ Euclid ขนานสมมุติวิธีนี้ช่วยให้สามารถกำหนดการวัดมุมที่สามของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ก็ได้ โดยพิจารณาจากการวัดสองมุมมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมคือมุมที่เป็นคู่เชิงเส้น (และด้วยเหตุนี้เสริม ) เพื่อมุมตกแต่งภายใน การวัดมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมนั้นเท่ากับผลรวมของการวัดมุมภายในสองมุมที่ไม่อยู่ประชิดมุมนั้น นี่คือทฤษฎีบทมุมภายนอก. ผลรวมของการวัดมุมภายนอกสามมุม (หนึ่งมุมสำหรับแต่ละจุดยอด) ของสามเหลี่ยมใดๆ คือ 360 องศา [โน้ต 2]

ความเหมือนและความสอดคล้อง

สามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่าคล้ายคลึงกันถ้าทุกมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งมีขนาดเท่ากันกับมุมที่สอดคล้องกันในอีกรูปหนึ่ง ด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันมีความยาวในสัดส่วนที่เท่ากัน และคุณสมบัตินี้ก็เพียงพอที่จะสร้างความคล้ายคลึงกัน

ทฤษฎีพื้นฐานบางประการเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ได้แก่

  • หากคู่ของมุมภายในของสามเหลี่ยมสองรูปสองรูปมีหน่วยวัดเท่ากัน และอีกคู่หนึ่งมีหน่วยวัดเหมือนกันด้วย สามเหลี่ยมนั้นก็จะคล้ายกัน
  • หากคู่ของด้านที่สัมพันธ์กันของสามเหลี่ยมสองรูปคู่หนึ่งคู่อยู่ในสัดส่วนเดียวกันกับคู่ของด้านที่สัมพันธ์กันอีกคู่หนึ่ง และมุมที่รวมของด้านนั้นมีขนาดเท่ากัน สามเหลี่ยมนั้นก็จะคล้ายกัน ( มุมที่รวมไว้สำหรับสองด้านใดๆ ของรูปหลายเหลี่ยมคือมุมภายในระหว่างสองด้านนั้น)
  • หากด้านที่สอดคล้องกันสามคู่ของสามเหลี่ยมสองรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดอยู่ในสัดส่วนเดียวกัน สามเหลี่ยมนั้นก็จะคล้ายกัน [หมายเหตุ 3]

สามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการมีขนาดและรูปร่างเหมือนกันทุกประการ[หมายเหตุ 4]มุมภายในที่สอดคล้องกันทุกคู่มีขนาดเท่ากัน และด้านที่สัมพันธ์กันทุกคู่มีความยาวเท่ากัน (นี่คือความเท่าเทียมกันทั้งหมดหกประการ แต่มักจะเพียงพอสามข้อที่จะพิสูจน์ความสอดคล้องกัน)

บางคนเป็นรายบุคคลเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับคู่ของรูปสามเหลี่ยมที่จะสอดคล้องกันคือ:

  • สมมุติฐาน SAS: ด้านสองด้านในสามเหลี่ยมมีความยาวเท่ากับสองด้านในอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง และมุมที่รวมไว้จะมีขนาดเท่ากัน
  • ASA: มุมภายในสองมุมและด้านที่รวมอยู่ในรูปสามเหลี่ยมมีขนาดและความยาวเท่ากัน ตามลำดับ เช่นเดียวกับในสามเหลี่ยมอีกรูป ( ด้านที่รวมไว้สำหรับมุมหนึ่งคู่คือด้านที่ใช้ร่วมกับมุมปกติ)
  • SSS: แต่ละด้านของสามเหลี่ยมมีความยาวเท่ากันกับด้านที่สัมพันธ์กันของอีกรูปสามเหลี่ยมอีกรูป
  • AAS: มุมสองมุมและด้านที่สอดคล้องกัน (ไม่รวม) ในรูปสามเหลี่ยมมีหน่วยวัดและความยาวเท่ากัน ตามลำดับ เช่นเดียวกับในสามเหลี่ยมอีกรูป (บางครั้งเรียกว่าAAcorrSแล้วรวม ASA ด้านบนด้วย)

เงื่อนไขที่เพียงพอบางประการคือ:

  • ทฤษฎีบทด้านตรงข้ามมุมฉาก-ขา (HL): ด้านตรงข้ามมุมฉากและขาในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีความยาวเท่ากันกับในสามเหลี่ยมมุมฉากอีกอัน นี่เรียกอีกอย่างว่า RHS (มุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้าน)
  • ทฤษฎีบทด้านตรงข้ามมุมฉาก-มุม: ด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมในสามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งมีความยาวและการวัดเท่ากัน ตามลำดับ เช่นเดียวกับในสามเหลี่ยมมุมฉากอีกรูป นี่เป็นเพียงกรณีพิเศษของทฤษฎีบท AAS

เงื่อนไขที่สำคัญคือ:

  • เงื่อนไข Side-Side-Angle (หรือ Angle-Side-Side) เงื่อนไข: หากด้านสองด้านและมุมที่ไม่รวมอยู่ในรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันนั้นมีความยาวและการวัดเท่ากัน ตามลำดับ เช่นเดียวกับในสามเหลี่ยมอื่น ก็ไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์ ความสอดคล้อง; แต่ถ้ามุมที่ให้ไว้ตรงข้ามกับด้านที่ยาวกว่าของทั้งสองข้าง สามเหลี่ยมนั้นก็จะเท่ากันหมด ทฤษฎีบทด้านตรงข้ามมุมฉาก-ขาเป็นกรณีเฉพาะของเกณฑ์นี้ เงื่อนไข Side-Side-Angle ไม่ได้รับประกันโดยตัวมันเองว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันเพราะสามเหลี่ยมหนึ่งอาจมีมุมป้านและอีกรูปเป็นมุมแหลม

การใช้สามเหลี่ยมมุมฉากและแนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงกันสามารถกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์ได้ เหล่านี้เป็นฟังก์ชั่นของมุมที่มีการสอบสวนในตรีโกณมิติ

สามเหลี่ยมมุมฉาก

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทกลางคือ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งระบุในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของอีกสองด้าน ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากมีความยาวcและขามีความยาวaและbทฤษฎีบทระบุว่า

สนทนาเป็นจริง: ถ้าความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมที่ตอบสนองสมการข้างต้นแล้วรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมขวาด้านตรงข้าม

ข้อเท็จจริงอื่นๆ บางประการเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉาก:

  • มุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากประกอบกัน
  • ถ้าขาของสามเหลี่ยมมุมฉากมีความยาวเท่ากัน มุมตรงข้ามกับขาเหล่านั้นจะมีขนาดเท่ากัน เนื่องจากมุมเหล่านี้ประกอบกันจึงทำให้แต่ละมุมวัดได้ 45 องศา ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือความยาวของขาคูณ √ 2 .
  • ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมแหลมที่วัดได้ 30 และ 60 องศา ด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีความยาวเป็นสองเท่าของด้านที่สั้นกว่า และด้านที่ยาวกว่าจะเท่ากับความยาวของด้านที่สั้นกว่าคูณด้วย √ 3 :

สำหรับสามเหลี่ยมทั้งหมด มุมและด้านสัมพันธ์กันโดยกฎของโคไซน์และกฎของไซน์ (เรียกอีกอย่างว่ากฎโคไซน์และกฎไซน์ )

การดำรงอยู่ของรูปสามเหลี่ยม

สภาพด้านข้าง

สามเหลี่ยมความไม่เท่าเทียมกันระบุว่าผลรวมของความยาวของสองด้านของสามเหลี่ยมจะต้องมากกว่าหรือเท่ากับความยาวของด้านที่สาม ผลรวมนั้นสามารถเท่ากับความยาวของด้านที่สามได้เฉพาะในกรณีของสามเหลี่ยมเสื่อม อันหนึ่งที่มีจุดยอดคอลิเนียร์ เป็นไปไม่ได้ที่ผลรวมนั้นจะน้อยกว่าความยาวของด้านที่สาม สามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านบวกที่กำหนดสามอันจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อความยาวด้านเหล่านั้นเป็นไปตามอสมการสามเหลี่ยม

เงื่อนไขของมุม

มุมที่กำหนดสามมุมจะทำให้เกิดสามเหลี่ยมที่ไม่เสื่อม (และแน่นอนเป็นอนันต์ของพวกมัน) หากเงื่อนไขทั้งสองนี้คงอยู่: (a) แต่ละมุมเป็นค่าบวก และ (b) มุมรวมเป็น 180° หากอนุญาตให้ใช้รูปสามเหลี่ยมเสื่อม อนุญาตให้ทำมุม 0 °

เงื่อนไขตรีโกณมิติ

มุมบวกสามมุมα , βและγซึ่งแต่ละมุมมีค่าน้อยกว่า 180° เป็นมุมของสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้ถืออยู่:

[10]
[10]
(11)

ความเท่าเทียมกันสุดท้ายจะใช้ก็ต่อเมื่อไม่มีมุมใดอยู่ที่ 90° (ดังนั้น ค่าของฟังก์ชันแทนเจนต์จึงมีขอบเขตจำกัดเสมอ)

จุด เส้น และวงกลมที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยม

มีสิ่งปลูกสร้างหลายพันแบบที่พบจุดพิเศษที่เกี่ยวข้องกับ (และมักจะอยู่ภายใน) สามเหลี่ยม ซึ่งมีคุณสมบัติพิเศษบางอย่างที่น่าพึงพอใจ: ดูบทความสารานุกรมของ Triangle Centersสำหรับแคตตาล็อกของพวกเขา บ่อยครั้งพวกมันถูกสร้างขึ้นโดยการหาเส้นสามเส้นที่เกี่ยวข้องกันในลักษณะสมมาตรกับด้านทั้งสาม (หรือจุดยอด) จากนั้นพิสูจน์ว่าเส้นทั้งสามมาบรรจบกันในจุดเดียว: เครื่องมือสำคัญในการพิสูจน์การมีอยู่ของสิ่งเหล่านี้คือทฤษฎีบทของ Cevaซึ่งให้ เกณฑ์ในการพิจารณาเมื่อสามบรรทัดดังกล่าวจะเกิดขึ้นพร้อมกันในทำนองเดียวกัน เส้นที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมมักถูกสร้างขึ้นโดยพิสูจน์ว่าจุดที่สร้างแบบสมมาตรสามจุดเป็นเส้นตรง : ที่นี่ทฤษฎีบทของ Menelausให้เกณฑ์ทั่วไปที่เป็นประโยชน์ ในส่วนนี้จะอธิบายโครงสร้างที่พบได้บ่อยที่สุดบางส่วน

วงล้อมเป็นศูนย์กลางของวงกลมผ่านผ่านสามจุดของรูปสามเหลี่ยม

bisector ตั้งฉากของด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็นเส้นตรงผ่านจุดกึ่งกลางของด้านข้างและเป็นแนวตั้งฉากกับมันคือทำมุมฉากกับมัน สาม bisectors ตั้งฉากพบกันในจุดเดียวของรูปสามเหลี่ยมวงล้อมมักจะแสดงโดยโอ ; จุดนี้เป็นศูนย์กลางของcircumcircleที่วงกลมผ่านทั้งสามจุด เส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมนี้เรียกว่าcircumdiameterสามารถพบได้จากกฎแห่งไซนส์ที่กล่าวข้างต้น รัศมีของวงกลมเรียกว่า เซอร์คัมเรเดีย

ทฤษฎีบทของทาเลสบอกเป็นนัยว่าหากจุดศูนย์กลางอยู่ที่ด้านข้างของสามเหลี่ยม มุมตรงข้ามจะเป็นมุมขวา ถ้าเส้นรอบวงอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นแหลมคม ถ้าเส้นรอบวงอยู่นอกรูปสามเหลี่ยม แสดงว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นมีลักษณะป้าน

จุดตัดของระดับความสูงเป็นorthocenter

ระดับความสูงของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นตรงผ่านจุดสุดยอดและตั้งฉากกับ (เช่นทำมุมฉากกับ) ฝั่งตรงข้าม ด้านตรงข้ามนี้เรียกว่าฐานของระดับความสูง และจุดที่ระดับความสูงตัดกับฐาน (หรือส่วนต่อขยาย) เรียกว่าเชิงระดับความสูง ความยาวของความสูงคือระยะห่างระหว่างฐานกับจุดยอด ทั้งสามระดับความสูงจะตัดกันที่จุดเดียวที่เรียกว่าorthocenterของรูปสามเหลี่ยมที่มักจะแสดงโดยH ออร์โธเซ็นเตอร์อยู่ภายในสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อสามเหลี่ยมนั้นแหลมเท่านั้น

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุมที่เป็นศูนย์กลางของวงกลมแนบ

เส้นแบ่งครึ่งมุมของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นตรงที่ตัดผ่านจุดยอดซึ่งตัดมุมที่สอดคล้องกันออกครึ่งหนึ่ง สามเส้นแบ่งครึ่งมุมตัดกันที่จุดเดียวที่incenterมักจะแสดงโดยผมซึ่งเป็นศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมที่incircle วงกลมคือวงกลมที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมและสัมผัสทั้งสามด้าน รัศมีของมันถูกเรียกว่าinradius . มีวงกลมที่สำคัญอีกสามวงคือexcircle ; พวกมันอยู่นอกสามเหลี่ยมแล้วสัมผัสด้านหนึ่งและส่วนต่อของอีกสองส่วน ศูนย์ของในและ excircles รูปแบบระบบ orthocentric

จุดตัดของมีเดียเป็นเซนทรอยด์

เฉลี่ยของรูปสามเหลี่ยมเป็นเส้นตรงผ่านจุดสุดยอดและจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามและแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนเท่ากัน สามมีเดียจะตัดกันที่จุดเดียวของรูปสามเหลี่ยมเซนทรอยด์หรือเรขาคณิต barycenter มักจะแสดงโดยจีเซนทรอยด์ของวัตถุสามเหลี่ยมแข็ง (ตัดจากแผ่นบางที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ) ก็เป็นจุดศูนย์กลางมวลเช่นกัน วัตถุสามารถปรับสมดุลบนเซนทรอยด์ในสนามโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ เซนทรอยด์ตัดทุกค่ามัธยฐานในอัตราส่วน 2:1 กล่าวคือ ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับเซนทรอยด์เป็นสองเท่าของระยะห่างระหว่างเซนทรอยด์กับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

วงกลมเก้าจุดแสดงให้เห็นถึงความสมมาตรโดยที่จุดหกจุดอยู่บนขอบของสามเหลี่ยม

จุดกึ่งกลางของทั้งสามด้านและเท้าของทั้งสามระดับความสูงทั้งหมดอยู่ในวงกลมเดียวของรูปสามเหลี่ยมวงกลมเก้าจุด ส่วนที่เหลืออีกสามจุดที่มันเป็นชื่อที่ตั้งอยู่กึ่งกลางของส่วนหนึ่งของความสูงระหว่างจุดและที่orthocenter รัศมีของวงกลมเก้าจุดคือครึ่งหนึ่งของวงกลม มันสัมผัสวงกลมแนบ (ที่จุด Feuerbach ) และสามexcircles

เส้นออยเลอร์เป็นเส้นตรงผ่านออร์โธเซ็นเตอร์ (สีน้ำเงิน) ศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (สีแดง) เซนทรอยด์ (สีส้ม) และเส้นรอบวง (สีเขียว)

ออร์โธเซนเตอร์ (จุดสีน้ำเงิน) ศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (สีแดง) เซนทรอยด์ (สีส้ม) และ circumcenter (สีเขียว) ทั้งหมดอยู่ในบรรทัดเดียว เรียกว่าเส้นออยเลอร์ (เส้นสีแดง) จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดอยู่ที่จุดกึ่งกลางระหว่างศูนย์กลางออร์โธและศูนย์กลาง และระยะห่างระหว่างเซนทรอยด์กับศูนย์กลางวงรอบคือครึ่งหนึ่งระหว่างเซนทรอยด์กับศูนย์กลางออร์โธเซ็นเตอร์

ศูนย์กลางของวงกลมทั่วไปไม่ได้อยู่บนเส้นของออยเลอร์

หากหนึ่งสะท้อนให้เห็นถึงเฉลี่ยใน bisector มุมที่ผ่านจุดสุดยอดเหมือนกันคนหนึ่งได้symmedian ซิมมีเดียนทั้งสามตัดกันเป็นจุดเดียว นั่นคือจุดซิมมีเดียนของสามเหลี่ยม

การคำนวณด้านและมุม

มีหลายวิธีมาตรฐานในการคำนวณความยาวของด้านหรือการวัดมุม วิธีการบางอย่างเหมาะกับการคำนวณค่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อาจต้องใช้วิธีการที่ซับซ้อนกว่านี้ในสถานการณ์อื่น

อัตราส่วนตรีโกณมิติในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมขวาเสมอรวมถึง 90 ° (π / 2 เรเดียน) มุมที่นี่มีป้ายซีมุม A และ B อาจแตกต่างกัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติระบุความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านและมุมภายในของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สามารถใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์เพื่อค้นหามุมที่ไม่รู้จักและความยาวของด้านที่ไม่รู้จัก ด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็นที่รู้จักกันดังนี้:

  • ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉากหรือกำหนดเป็นด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉากในกรณีนี้เอช
  • ฝั่งตรงข้ามเป็นตรงข้ามทางด้านมุมที่เรามีความสนใจในกรณีนี้
  • ด้านที่อยู่ติดกันคือด้านที่อยู่ในการติดต่อกับมุมที่เราสนใจและมุมขวาเพราะฉะนั้นชื่อของมัน ในกรณีนี้ทางด้านที่อยู่ติดกัน

ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามกับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ในกรณีของเรา

อัตราส่วนนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปสามเหลี่ยมที่เหมาะสมโดยเฉพาะอย่างยิ่งได้รับการแต่งตั้งตราบเท่าที่มันมีมุมตั้งแต่สามเหลี่ยมทั้งหมดเหล่านี้จะคล้ายกัน

โคไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของความยาวของด้านที่อยู่ติดกันกับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ในกรณีของเรา

แทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามกับความยาวของด้านที่อยู่ติดกัน ในกรณีของเรา

ตัวย่อ " SOH-CAH-TOA " เป็นคำช่วยจำที่มีประโยชน์สำหรับอัตราส่วนเหล่านี้

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันตรีโกณมิติสามารถนำมาใช้ในการคำนวณมุมภายในรูปสามเหลี่ยมมุมขวาที่มีความยาวของทั้งสองฝ่าย

อาร์กซินสามารถใช้คำนวณมุมจากความยาวของด้านตรงข้ามและความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

Arccos สามารถใช้คำนวณมุมจากความยาวของด้านประชิดและความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

Arctan สามารถใช้คำนวณมุมจากความยาวของด้านตรงข้ามและความยาวของด้านประชิด

ในวิชาเรขาคณิตเบื้องต้นและตรีโกณมิติ สัญกรณ์ sin -1 , cos -1ฯลฯ มักใช้แทน arcsin, arccos ฯลฯ อย่างไรก็ตาม arcsin, arccos ฯลฯ สัญกรณ์เป็นมาตรฐานในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูงที่มีตรีโกณมิติ ฟังก์ชั่นที่มีการยกกันทั่วไปเพื่ออำนาจเช่นนี้หลีกเลี่ยงความสับสนระหว่างผกผันและผกผัน compositional

กฎไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์

สามเหลี่ยมที่มีด้านยาว a, b และ c และมุมของ α, β และ γ ตามลำดับ

กฎหมายของไซนส์หรือกฎไซน์[12]ระบุว่าอัตราส่วนของความยาวของด้านไซน์ของมุมตรงข้ามที่สอดคล้องกันที่จะคงที่นั่นคือ

อัตราส่วนนี้เท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบของสามเหลี่ยมที่กำหนด การตีความอีกประการหนึ่งของทฤษฎีบทนี้คือสามเหลี่ยมทุกรูปที่มีมุม α, β และ γ คล้ายกับสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเท่ากับ sin α, sin β และ sin γ สามเหลี่ยมนี้สามารถสร้างขึ้นได้โดยการสร้างวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1 ก่อน และเขียนมุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมไว้ในนั้น ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมนั้นจะเป็น sin α, sin β และ sin γ ด้านที่มีความยาวเป็นบาป α อยู่ตรงข้ามกับมุมที่มีขนาดเท่ากับ α เป็นต้น

กฎของโคไซน์หรือกฎโคไซน์เชื่อมต่อความยาวของด้านที่ไม่รู้จักของรูปสามเหลี่ยมกับความยาวของด้านอื่น ๆ และตรงข้ามมุมไปทางด้านที่ไม่รู้จัก (12)ตามกฎหมายว่า

สำหรับรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านa , b , cและมุมของ α, β, γ ตามลำดับ ให้ความยาวที่ทราบกันของรูปสามเหลี่ยมaและbสองด้าน และมุมระหว่างด้านที่ทราบทั้งสองด้าน γ (หรือมุมตรงข้ามกับด้านที่ไม่ทราบค่า ด้านc ) ในการคำนวณด้านที่สามcสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

หากทราบความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมใดๆ ก็สามารถคำนวณมุมทั้งสามได้:

กฎหมายของเสียบ้างหรือกฎสัมผัสสามารถใช้ในการหาด้านข้างหรือมุมเมื่อทั้งสองด้านและมุมหรือสองมุมและด้านข้างเป็นที่รู้จักกัน ระบุว่า: [13]

คำตอบของสามเหลี่ยม

"คำตอบของรูปสามเหลี่ยม" เป็นปัญหาตรีโกณมิติหลัก: เพื่อค้นหาคุณลักษณะที่ขาดหายไปของรูปสามเหลี่ยม (สามมุม ความยาวของทั้งสามด้าน ฯลฯ) เมื่อให้คุณลักษณะเหล่านี้อย่างน้อยสามอย่าง สามเหลี่ยมสามารถตั้งอยู่บนเครื่องบินหรือในรูปทรงกลม ปัญหานี้มักจะเกิดขึ้นในการใช้งานเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติต่างๆเช่นมาตร , ดาราศาสตร์ , การก่อสร้าง , ลูกศรฯลฯ

การคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยม

สามารถแสดงพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมได้ ตัวอย่างเช่น โดยความสอดคล้องของสามเหลี่ยมเป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีความยาวและความสูงฐานเท่ากัน
ที่มากราฟิกของสูตร ที่หลีกเลี่ยงขั้นตอนปกติในการเพิ่มพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเป็นสองเท่าแล้วลดขนาดลงครึ่งหนึ่ง

การคำนวณพื้นที่Tของสามเหลี่ยมเป็นปัญหาเบื้องต้นที่พบได้บ่อยในสถานการณ์ต่างๆ มากมาย สูตรที่รู้จักกันดีและง่ายที่สุดคือ:

โดยที่bคือความยาวของฐานของรูปสามเหลี่ยม และhคือความสูงหรือความสูงของรูปสามเหลี่ยม คำว่า "ฐาน" หมายถึงด้านใด ๆ และ "ความสูง" หมายถึงความยาวของเส้นตั้งฉากจากจุดยอดตรงข้ามฐานบนเส้นที่มีฐาน ในปี ค.ศ. 499 อารยภาตา ใช้วิธีการแสดงภาพประกอบนี้ในอารยภัฏยะ (ข้อ 2.6) [14]

แม้ว่าจะเรียบง่าย แต่สูตรนี้จะมีประโยชน์ก็ต่อเมื่อสามารถค้นหาความสูงได้ทันท่วงที ซึ่งไม่ใช่กรณีเสมอไป ตัวอย่างเช่น นักสำรวจสนามสามเหลี่ยมอาจพบว่าการวัดความยาวของแต่ละด้านค่อนข้างง่าย แต่การสร้าง 'ความสูง' ค่อนข้างยาก ในทางปฏิบัติอาจใช้วิธีต่างๆ ได้ ขึ้นอยู่กับสิ่งที่ทราบเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม ต่อไปนี้คือการเลือกสูตรที่ใช้บ่อยสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยม [15]

การใช้ตรีโกณมิติ

การประยุกต์ใช้ตรีโกณมิติเพื่อหาระดับความสูงชั่วโมง

ความสูงของรูปสามเหลี่ยมสามารถพบได้ผ่านแอพลิเคชันของตรีโกณมิติ

รู้จัก SAS : ใช้ป้ายกำกับในภาพด้านขวา ความสูงคือh = a sin. แทนค่านี้ในสูตร จากข้างต้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถแสดงได้ดังนี้

(โดยที่ α คือมุมภายในที่A , β คือมุมภายในที่B ,คือมุมภายในที่Cและcคือเส้นAB )

นอกจากนี้ เนื่องจากบาป α = บาป ( π − α) = บาป (β +) และในทำนองเดียวกันสำหรับอีกสองมุมที่เหลือ:

รู้จัก AAS :

และ analogously ถ้าด้านที่รู้จักกันเป็นหรือ

รู้จัก ASA : [1]

และ analogously ถ้าด้านที่รู้จักกันเป็นหรือ

การใช้สูตรของนกกระสา

รูปร่างของสามเหลี่ยมถูกกำหนดโดยความยาวของด้าน ดังนั้นพื้นที่จึงสามารถหาได้จากความยาวของด้าน ตามสูตรของนกกระสา :

ที่ไหน เป็นsemiperimeterหรือครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม

อีกสามวิธีที่เทียบเท่ากันในการเขียนสูตรของนกกระสาคือ

การใช้เวกเตอร์

พื้นที่การให้สี่เหลี่ยมด้านขนานฝังอยู่ในสามมิติพื้นที่ Euclideanสามารถคำนวณโดยใช้เวกเตอร์ ขอให้พาหะABและACจุดตามลำดับจากไปBและจากเพื่อC พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานABCCเท่ากับ

ซึ่งเป็นขนาดของสินค้าข้ามของเวกเตอร์ABและAC พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC เท่ากับครึ่งหนึ่งของสิ่งนี้

พื้นที่ของสามเหลี่ยมABCสามารถแสดงในรูปของดอทโปรดัคได้ดังนี้:

ในปริภูมิแบบยุคลิดสองมิติ แสดงเวกเตอร์ABเป็นเวคเตอร์อิสระในปริภูมิคาร์ทีเซียนเท่ากับ ( x 1 , y 1 ) และACเป็น ( x 2 , y 2 ) สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

การใช้พิกัด

หากจุดยอดAอยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดของจุดยอดอีกสองจุดนั้นถูกกำหนดโดยB = ( x B , y B )และC = ( x C , y C )แล้ว พื้นที่สามารถคำนวณได้เป็น1 / 2ครั้งค่าสัมบูรณ์ของปัจจัย

สำหรับจุดยอดทั่วไปสามจุด สมการคือ:

ซึ่งสามารถเขียนได้เป็น

หากจุดต่างๆ มีป้ายกำกับตามลำดับในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา นิพจน์ดีเทอร์มิแนนต์ด้านบนจะเป็นค่าบวก และสามารถละเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ออกได้ [16]สูตรข้างต้นเรียกว่าสูตรเชือกผูกรองเท้าหรือสูตรนักรังวัด

หากเราหาจุดยอดในระนาบเชิงซ้อนและแสดงมันในลำดับทวนเข็มนาฬิกาเป็นa = x A + y A i , b = x B + y B iและc = x C + y C iและแสดงว่าคอนจูเกตเชิงซ้อนของพวกมันเป็น, , และ แล้วสูตร

เทียบเท่าสูตรเชือกผูกรองเท้า

ในสามมิติ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั่วไปA = ( x A , y A , z A ) , B = ( x B , y B , z B )และC = ( x C , y C , z C ) คือผลรวมพีทาโกรัสของพื้นที่ของการฉายภาพตามลำดับบนระนาบหลักสามระนาบ (เช่นx = 0, y = 0 และz = 0):

การใช้อินทิกรัลเส้น

พื้นที่ภายในโค้งปิดใด ๆ เช่นรูปสามเหลี่ยมจะได้รับจากหนึ่งเส้นรอบโค้งของระยะทางพีชคณิตหรือลงนามของจุดบนเส้นโค้งจากพลเชิงเส้นตรงLจุดทางด้านขวาของLตามทิศทางจะถูกนำไปที่ระยะห่างเชิงลบจากLในขณะที่น้ำหนักสำหรับอินทิกรัลจะถูกนำมาเป็นส่วนประกอบของความยาวส่วนโค้งที่ขนานกับLแทนที่จะเป็นความยาวส่วนโค้ง

วิธีนี้จะเหมาะกับการคำนวณพื้นที่ของพลรูปหลายเหลี่ยมกำหนดให้Lเป็นแกนxเส้นอินทิกรัลระหว่างจุดยอดต่อเนื่องกัน ( x i , y i ) และ ( x i +1 , y i +1 ) ถูกกำหนดโดยฐานคูณความสูงเฉลี่ย กล่าวคือ( x i +1x ผม )( y ผม + y ผม +1 )/2. เครื่องหมายของพื้นที่เป็นตัวบ่งชี้โดยรวมของทิศทางการข้าม โดยพื้นที่เชิงลบแสดงการข้ามทวนเข็มนาฬิกา พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมแล้วตกลงมาเหมือนกับกรณีของรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้าน

แม้ว่าวิธีการอินทิกรัลเส้นจะเหมือนกันกับวิธีการอื่นๆ ที่ใช้พิกัดเชิงพิกัด การเลือกระบบพิกัดตามอำเภอใจ ซึ่งแตกต่างจากวิธีอื่นๆ วิธีนี้ทำให้ไม่มีการเลือกจุดยอดของสามเหลี่ยมเป็นจุดเริ่มต้นหรือด้านเป็นฐานโดยอำเภอใจ นอกจากนี้ ทางเลือกของระบบพิกัดที่กำหนดโดยLให้อิสระเพียงสององศาแทนที่จะเป็นสามระดับปกติ เนื่องจากน้ำหนักคือระยะทางในพื้นที่ (เช่นx i +1x iในข้างต้น) ดังนั้นวิธีการจึงไม่จำเป็นต้องเลือก แกนปกติที่จะL

เมื่อทำงานในพิกัดเชิงขั้วไม่จำเป็นต้องแปลงเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนเพื่อใช้การรวมเส้น เนื่องจากอินทิกรัลเส้นระหว่างจุดยอดที่ต่อเนื่องกัน ( r ii ) และ ( r i +1i +1 ) ของรูปหลายเหลี่ยมจะได้รับ โดยตรงโดยr i r i +1 sin(θ i +1 − θ i )/2. ค่านี้ใช้ได้กับค่า θ ทั้งหมด โดยมีความแม่นยำเชิงตัวเลขลดลงเมื่อ |θ| เป็นลำดับของขนาดที่มากกว่า π จำนวนมาก เมื่อใช้สูตรนี้ พื้นที่เชิงลบจะระบุการเคลื่อนตัวตามเข็มนาฬิกา ซึ่งควรคำนึงถึงเมื่อผสมพิกัดเชิงขั้วและคาร์ทีเซียน เช่นเดียวกับตัวเลือกของแกนy ( x = 0 ) นั้นไม่มีสาระสำคัญสำหรับการรวมเส้นในพิกัดคาร์ทีเซียน การเลือกหัวเรื่องเป็นศูนย์ ( θ = 0 ) ไม่มีสาระสำคัญในที่นี้

สูตรที่คล้ายสูตรของนกกระสา

สามสูตรมีโครงสร้างเหมือนกับสูตรของนกกระสา แต่แสดงในรูปของตัวแปรต่างๆ ขั้นแรก แทนค่ามัธยฐานจากด้านa , bและcตามลำดับเป็นm a , m bและm cและผลรวมกึ่งของพวกมัน( m a + m b + m c )/2เป็น σ เรามี[17]

ถัดไป แสดงถึงความสูงจากด้านa , bและcตามลำดับเป็นh a , h bและh cและแสดงถึงผลรวมกึ่งของส่วนกลับของความสูงเป็นเรามี[18]

และแทนผลบวกกึ่งหนึ่งของไซน์ของมุมเป็นS = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2 , เรามี[19]

โดยที่Dคือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม:

การใช้ทฤษฎีบทของ Pick

ดูทฤษฎีบทของ Pickสำหรับเทคนิคในการค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมขัดแตะตามอำเภอใจ(ภาพที่วาดบนตารางที่มีจุดขัดแตะในแนวตั้งและแนวนอนที่ระยะทางเท่ากัน และจุดยอดบนจุดขัดแตะ)

ทฤษฎีบทกล่าวว่า:

ที่ไหน คือจำนวนจุดแลตทิซภายใน และBคือจำนวนจุดแลตทิซที่วางอยู่บนขอบของรูปหลายเหลี่ยม

สูตรพื้นที่อื่นๆ

มีสูตรพื้นที่อื่น ๆ มากมายเช่น

โดยที่rคือinradiusและsคือเซมิปริมิเตอร์ (อันที่จริง สูตรนี้ใช้สำหรับรูปหลายเหลี่ยมในแนวสัมผัสทั้งหมด ) และ[20] : บท 2 

ที่ไหน คือรัศมีของวงกลมนอกแทนเจนต์กับด้านa, b, cตามลำดับ

เราก็มี

และ[21]

สำหรับเส้นรอบวงD ; และ[22]

สำหรับมุม α ≠ 90°

พื้นที่ยังสามารถแสดงเป็น[23]

ในปี พ.ศ. 2428 เบเคอร์[24]ได้รวบรวมสูตรพื้นที่ที่แตกต่างกันกว่าร้อยสูตรสำหรับรูปสามเหลี่ยม ซึ่งรวมถึง:

สำหรับ circumradius (รัศมีของ circumcircle) Rและ

ขอบเขตบนของพื้นที่

พื้นที่Tของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ กับปริมณฑลพีน่าพอใจ

โดยมีความเสมอภาคกันก็ต่อเมื่อสามเหลี่ยมด้านเท่า [25] [26] : 657 

ขอบเขตบนอื่น ๆ ในพื้นที่Tกำหนดโดย[27] : p.290 

และ

ทั้งสองถืออีกครั้งก็ต่อเมื่อสามเหลี่ยมด้านเท่า

แบ่งพื้นที่

มีหลายอย่างมากมายเป็นเส้นที่แบ่งครึ่งพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม (28)สามในนั้นคือค่ามัธยฐาน ซึ่งเป็นตัวแบ่งครึ่งพื้นที่เดียวที่ผ่านเซนทรอยด์ เส้นแบ่งครึ่งพื้นที่อีกสามเส้นขนานกับด้านของสามเหลี่ยม

เส้นใดๆ ที่ลากผ่านรูปสามเหลี่ยมที่แยกทั้งพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและเส้นรอบรูปครึ่งวงกลมจะต้องผ่านตรงกลางของรูปสามเหลี่ยม สามารถมีได้หนึ่ง สอง หรือสามอันสำหรับรูปสามเหลี่ยมใดๆ

สูตรเพิ่มเติมสำหรับสามเหลี่ยมยุคลิดทั่วไป

สูตรในส่วนนี้เป็นจริงสำหรับสามเหลี่ยมยุคลิดทั้งหมด

ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่งมุม เส้นแบ่งครึ่งด้านตั้งฉาก และระดับความสูง

ค่ามัธยฐานและด้านสัมพันธ์กันโดย[29] : p.70 

และ

,

และเท่าสำหรับและม.

สำหรับมุม A ด้านตรงข้ามaความยาวของเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในถูกกำหนดโดย[30]

สำหรับเซมิปริมิเตอร์sโดยที่ความยาวของเส้นแบ่งครึ่งวัดจากจุดยอดไปยังตำแหน่งที่บรรจบกับด้านตรงข้าม

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากภายในกำหนดโดย

ด้านไหน และพื้นที่คือ [31] : Thm 2 

ความสูงจาก ตัวอย่างเช่น ด้านของความยาวa is

Circumradius และ inradius

สูตรต่อไปนี้เกี่ยวข้องกับ circumradius Rและ inradius r :

โดยที่h aเป็นต้น คือระดับความสูงของด้านที่ห้อยลงมา [29] : น.79 

(11)

และ

.

ผลคูณของสองด้านของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับความสูงของด้านที่สามคูณเส้นผ่านศูนย์กลางDของวงกลม: [29] : p.64 

สามเหลี่ยมที่อยู่ติดกัน

สมมติว่าสามเหลี่ยมสองรูปที่อยู่ติดกันแต่ไม่ทับซ้อนกันมีด้านยาวเท่ากันfและใช้วงกลมเดียวกัน ดังนั้นด้านของความยาวfเป็นคอร์ดของวงกลมและสามเหลี่ยมนั้นมีความยาวด้าน ( a , b , f ) และ ( c , d , f ) โดยที่สามเหลี่ยมสองรูปเข้าด้วยกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมโดยมีความยาวด้านเป็นลำดับ ( a , b , c , d ). จากนั้น[32] : 84 

Centroid

ให้Gเป็นเซนทรอยด์ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดA , BและCและให้Pเป็นจุดภายในใดๆ จากนั้นระยะทางระหว่างจุดจะสัมพันธ์กันด้วย[32] : 174 

ผลรวมของกำลังสองของด้านของสามเหลี่ยมเท่ากับสามเท่าของผลรวมของระยะกำลังสองของเซนทรอยด์จากจุดยอด:

[33]

ให้คิว , Q และQ cเป็นระยะทางจากเซนทรอยด์ไปที่ด้านข้างของความยาวที่, และ จากนั้น[32] : 173 

และ

สำหรับพื้นที่T

Circumcenter, incenter และ orthocenter

ทฤษฎีบทของการ์โนต์ระบุว่าผลรวมของระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงด้านทั้งสามเท่ากับผลรวมของเซอร์คัมเรเดียสและรัศมี [29] : หน้า 83 ใน ที่นี้ความยาวของส่วนจะถือเป็นลบก็ต่อเมื่อส่วนนั้นอยู่นอกสามเหลี่ยมทั้งหมด วิธีนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในการอนุมานคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่เป็นนามธรรมมากขึ้น เช่นพีชคณิตที่เกิดจากLieซึ่งมีคุณสมบัติเหมือนกับสามเหลี่ยมปกติ

ทฤษฎีบทของออยเลอร์ระบุว่าระยะห่างdระหว่างเส้นรอบวงกับจุดศูนย์กลางถูกกำหนดโดย[29] : p.85 

หรือเทียบเท่า

โดยที่Rคือ circumradius และrคือ inradius ดังนั้นสำหรับสามเหลี่ยมทั้งหมดR ≥ 2 rโดยมีความเท่าเทียมกันสำหรับสามเหลี่ยมด้านเท่า

ถ้าเราแสดงว่า orthocenter แบ่งระดับความสูงหนึ่งเป็นส่วนของความยาวUและV , ความสูงความยาวส่วนอีกWและxและระดับความสูงที่สามเข้ามาในส่วนของความยาวYและZแล้วuv = wx = YZ [29] : น.94 

ระยะทางจากด้านหนึ่งไปยังศูนย์กลางวงรอบเท่ากับครึ่งหนึ่งของระยะทางจากจุดยอดตรงข้ามถึงศูนย์กลางออร์โธเซ็นเตอร์ [29] : น.99 

ผลรวมของระยะกำลังสองจากจุดยอดถึงศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์H บวกผลรวมของกำลังสองของด้านต่างๆ เท่ากับสิบสองเท่าของกำลังสองของเซอร์คัมเรเดียส: [29] : p.102 

มุม

นอกเหนือจากกฎของไซน์ , กฎของโคไซน์ , กฎของแทนเจนต์ , และเงื่อนไขการดำรงอยู่ตรีโกณมิติที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้สำหรับรูปสามเหลี่ยมใดๆ

ทฤษฎีบทตรีภาคของมอร์ลีย์

สามเหลี่ยมมอร์ลี่ย์ ที่เกิดจากสามเสี้ยวของมุมภายในแต่ละมุม นี่คือตัวอย่างของหนึ่งกฎแบ่ง จำกัด

ทฤษฎีบทไตรเซกเตอร์ของมอร์ลีย์ระบุว่าในสามเหลี่ยมใดๆ จุดตัดสามจุดของสามส่วนมุมที่อยู่ติดกันจะก่อรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เรียกว่า สามเหลี่ยมมอร์ลีย์

ตัวเลขที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม

Conics

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น สามเหลี่ยมทุกรูปจะมีวงกลมที่สลักไว้เฉพาะ (วงกลม) ซึ่งอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสกันทั้งสามด้าน

สามเหลี่ยมทุกรูปจะมีวงรี Steiner ที่ไม่ซ้ำกันซึ่งอยู่ภายในสามเหลี่ยมและสัมผัสกันที่จุดกึ่งกลางของด้านข้าง ทฤษฎีบทของ Mardenแสดงวิธีหาจุดโฟกัสของวงรีนี้ [34]วงรีนี้มีพื้นที่มากที่สุดของวงรีใด ๆ แทนเจนต์ทั้งสามด้านของรูปสามเหลี่ยม

inellipse Mandartของรูปสามเหลี่ยมเป็นรูปวงรีจารึกไว้ภายในสัมผัสสามเหลี่ยมด้านข้างที่จุดติดต่อของ excircles ของมัน

สำหรับวงรีใด ๆ ที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมABCให้จุดโฟกัสจะPและQ แล้ว[35]

รูปหลายเหลี่ยมนูน

ทุกรูปหลายเหลี่ยมนูนมีพื้นที่Tสามารถถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมของพื้นที่ที่มากที่สุดเท่ากับ 2 T ความเท่าเทียมกันถือ (เฉพาะ) สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน (36)

หกเหลี่ยม

Lemoine หกเหลี่ยมเป็นรูปหกเหลี่ยมวงกลมที่มีจุดที่กำหนดโดยหกแยกของด้านของรูปสามเหลี่ยมที่มีสามเส้นที่ขนานกับด้านข้างและที่ผ่านไปผ่านจุด symmedian ในรูปแบบที่เรียบง่ายหรือแบบตัดกันหกเหลี่ยม Lemoine อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดสองจุดในแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม

สี่เหลี่ยม

สามเหลี่ยมมุมแหลมทุกรูปจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสสลักอยู่สามช่อง (สี่เหลี่ยมด้านในนั้นจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งสี่ด้านจะอยู่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันจึงอยู่ด้านเดียวกัน ดังนั้นด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงประจวบกับส่วนหนึ่งของด้าน ของรูปสามเหลี่ยม) ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปติดกันและมีจุดยอดอยู่ที่มุมฉากของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นสามเหลี่ยมมุมฉากจึงมีเพียงสองช่องที่สลักไว้อย่างชัดเจนสามเหลี่ยมมุมป้านมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้เพียงอันเดียว โดยมีด้านประจวบกับส่วนหนึ่งของด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยม ภายในสามเหลี่ยมที่กำหนด ด้านร่วมที่ยาวกว่าจะสัมพันธ์กับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเล็กกว่า ถ้าสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้มีด้านยาวq aและสามเหลี่ยมนั้นมีความยาวด้านa, ส่วนหนึ่งของด้านที่ตรงกับด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส จากนั้นq a , a , ความสูงh aจากด้านa , และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมTสัมพันธ์กันตาม[37] [38]

อัตราส่วนที่เป็นไปได้ที่ใหญ่ที่สุดของพื้นที่ของตารางจารึกไปยังพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เป็น 1/2 ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ2 = 2 T , Q = / 2และระดับความสูงของรูปสามเหลี่ยมจากฐานของความยาวคือ เท่ากับ . อัตราส่วนที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้ของด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้กับอีกด้านของอีกด้านในสามเหลี่ยมมุมป้านเดียวกันคือ[38]กรณีสุดโต่งทั้งสองกรณีนี้เกิดขึ้นกับสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

สามเหลี่ยม

จากจุดภายในของสามเหลี่ยมอ้างอิง จุดที่ใกล้ที่สุดบนทั้งสามด้านทำหน้าที่เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมเหยียบของจุดนั้น ถ้าจุดภายในเป็นจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมอ้างอิง จุดยอดของสามเหลี่ยมเหยียบคือจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสามเหลี่ยมอ้างอิง ดังนั้นสามเหลี่ยมเหยียบจึงเรียกว่าสามเหลี่ยมจุดกึ่งกลางหรือสามเหลี่ยมอยู่ตรงกลาง สามเหลี่ยมจุดกึ่งกลางแบ่งย่อยสามเหลี่ยมอ้างอิงออกเป็นสามเหลี่ยมที่เท่ากันสี่รูปซึ่งคล้ายกับสามเหลี่ยมอ้างอิง

Gergonne สามเหลี่ยมหรือสามเหลี่ยมอินทัชของสามเหลี่ยมอ้างอิงมีจุดที่สามจุดของวงของด้านสามเหลี่ยมอ้างอิงกับ incircle ของมัน สามเหลี่ยม extouchของสามเหลี่ยมอ้างอิงมีจุดที่จุดที่วงของ excircles สามเหลี่ยมอ้างอิงกับด้านข้าง (ไม่ใช่ขยาย)

ตัวเลขที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมวงของสามเหลี่ยมอ้างอิง (นอกเหนือจากสามเหลี่ยมขวา) เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านบนเส้นสัมผัสเพื่อ circumcircle สามเหลี่ยมอ้างอิงที่จุดของมัน

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น สามเหลี่ยมทุกรูปจะมีวงกลมที่มีลักษณะเฉพาะ ซึ่งเป็นวงกลมที่ผ่านจุดยอดทั้งสามซึ่งมีจุดศูนย์กลางเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้านของสามเหลี่ยม

นอกจากนี้ สามเหลี่ยมทุกรูปยังมีSteiner circumellipse ที่ไม่ซ้ำกันซึ่งผ่านจุดยอดของสามเหลี่ยมและมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่เซนทรอยด์ของสามเหลี่ยม จากวงรีทั้งหมดที่ผ่านจุดยอดของสามเหลี่ยม มันมีพื้นที่ที่เล็กที่สุด

Kiepert hyperbolaเป็นที่ไม่ซ้ำกันมีรูปกรวยที่ผ่านสามเหลี่ยมสามจุด centroid ของตนและวงล้อมของมัน

จากสามเหลี่ยมทั้งหมดที่อยู่ในรูปหลายเหลี่ยมนูนที่กำหนด มีรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่สูงสุดซึ่งมีจุดยอดทั้งหมดเป็นจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด [39]

การระบุตำแหน่งของจุดในรูปสามเหลี่ยม

วิธีหนึ่งในการระบุตำแหน่งของจุดใน (หรือภายนอก) ของสามเหลี่ยมคือการวางสามเหลี่ยมในตำแหน่งและการวางแนวตามอำเภอใจในระนาบคาร์ทีเซียนและใช้พิกัดคาร์ทีเซียน แม้ว่าจะสะดวกสำหรับวัตถุประสงค์หลายอย่าง วิธีการนี้มีข้อเสียของค่าพิกัดของจุดทั้งหมดซึ่งขึ้นอยู่กับการจัดวางโดยพลการในระนาบ

สองระบบหลีกเลี่ยงคุณลักษณะนั้น เพื่อไม่ให้พิกัดของจุดได้รับผลกระทบจากการเคลื่อนสามเหลี่ยม หมุน หรือสะท้อนแสงเหมือนในกระจก ซึ่งให้สามเหลี่ยมที่เท่ากัน หรือแม้กระทั่งโดยการปรับมาตราส่วนให้เป็นสามเหลี่ยมที่คล้ายคลึงกัน :

  • พิกัด Trilinearระบุระยะทางสัมพัทธ์ของจุดจากด้านข้าง ดังนั้นพิกัด แสดงว่าอัตราส่วนของระยะห่างของจุดจากด้านแรกกับระยะห่างจากด้านที่สองคือ ฯลฯ
  • พิกัดแบรีเซนทริคของแบบฟอร์ม ระบุตำแหน่งของจุดโดยใช้น้ำหนักสัมพัทธ์ที่จะต้องวางบนจุดยอดทั้งสาม เพื่อสร้างสมดุลให้กับสามเหลี่ยมไร้น้ำหนักในจุดที่กำหนด

สามเหลี่ยมไม่ระนาบ

สามเหลี่ยมไม่มีระนาบคือรูปสามเหลี่ยมที่ไม่มีอยู่ในระนาบ (แบน) ตัวอย่างบางส่วนของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่ภาพถ่ายในรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเป็นทรงกลมสามเหลี่ยมในรูปทรงกลมรูปทรงเรขาคณิตและการผ่อนชำระสามเหลี่ยมในการผ่อนชำระเรขาคณิต

ในขณะที่การวัดมุมภายในในรูปสามเหลี่ยมระนาบจะรวมเป็น 180° เสมอ สามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกจะมีการวัดมุมที่รวมกันน้อยกว่า 180° และสามเหลี่ยมทรงกลมมีการวัดมุมที่รวมกันมากกว่า 180° สามเหลี่ยมผ่อนชำระสามารถหาได้โดยการวาดภาพบนพื้นผิวโค้งเชิงลบเช่นพื้นผิวอานและทรงกลมเหลี่ยมสามารถหาได้โดยการวาดภาพบนพื้นผิวโค้งบวกเช่นทรงกลม ดังนั้น หากเราวาดสามเหลี่ยมขนาดยักษ์บนพื้นผิวโลก เราจะพบว่าผลรวมของการวัดมุมของมันนั้นมากกว่า 180°; อันที่จริงมันจะอยู่ระหว่าง 180 °ถึง 540 ° [40] โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นไปได้ที่จะวาดรูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมโดยที่การวัดมุมภายในแต่ละมุมมีค่าเท่ากับ 90° รวมกันได้เป็น 270 องศา

โดยเฉพาะบนทรงกลม ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ

180° × (1 + 4 ),

โดยที่fคือเศษส่วนของพื้นที่ทรงกลมที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยม ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเราวาดรูปสามเหลี่ยมบนพื้นผิวของโลกที่มีจุดที่ขั้วโลกเหนือที่จุดบนเส้นศูนย์สูตรที่0 °เส้นแวงและจุดบนเส้นศูนย์สูตรที่90 องศาเส้นแวงตะวันตกวงกลมเส้นแบ่งระหว่างความหลังสองจุดคือเส้นศูนย์สูตรและเส้นวงกลมที่ดีระหว่างทั้งสองจุดเหล่านั้นและขั้วโลกเหนือเป็นสายของลองจิจูด; จึงมีมุมฉากที่จุดสองจุดบนเส้นศูนย์สูตร นอกจากนี้ มุมที่ขั้วโลกเหนือยังเป็น 90° เนื่องจากอีกสองจุดยอดต่างกันด้วยเส้นแวง 90° ผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมนี้คือ90° + 90° + 90° = 270°. สามเหลี่ยมล้อมรอบ 1/4 ของซีกโลกเหนือ (90°/360° เมื่อมองจากขั้วโลกเหนือ) และดังนั้น 1/8 ของพื้นผิวโลก ดังนั้นในสูตรf = 1/8 ; ดังนั้นสูตรจึงให้ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเป็น 270 องศาได้อย่างถูกต้อง

จากสูตรผลรวมมุมด้านบน เราจะเห็นได้ด้วยว่าพื้นผิวโลกแบนเฉพาะที่ หากเราวาดสามเหลี่ยมขนาดเล็กตามอำเภอใจในบริเวณใกล้เคียงของจุดหนึ่งบนพื้นผิวโลก เศษfของพื้นผิวโลกที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมจะ เข้าใกล้ศูนย์โดยพลการ ในกรณีนี้ สูตรผลรวมมุมลดความซับซ้อนเป็น 180° ซึ่งเรารู้ว่าเรขาคณิตแบบยุคลิดบอกอะไรเราสำหรับรูปสามเหลี่ยมบนพื้นผิวเรียบ

สามเหลี่ยมในการก่อสร้าง

อาคารเหล็กในนิวยอร์กมีรูปร่างเหมือนปริซึมสามเหลี่ยม

สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นรูปแบบทางเรขาคณิตที่นิยมใช้กันมากที่สุดสำหรับอาคาร เนื่องจากรูปทรงนั้นง่ายต่อการซ้อนและจัดระเบียบ ตามมาตรฐานแล้ว การออกแบบเฟอร์นิเจอร์และอุปกรณ์ตกแต่งให้เข้ากับอาคารรูปทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ง่าย แต่รูปสามเหลี่ยม แม้จะยากต่อการใช้แนวคิด แต่ก็ให้ความแข็งแกร่งอย่างมาก เนื่องจากเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ช่วยให้สถาปนิกออกแบบอาคารใหม่ๆ ได้อย่างสร้างสรรค์ รูปทรงสามเหลี่ยมจึงกลายเป็นที่แพร่หลายมากขึ้นในฐานะส่วนหนึ่งของอาคารและเป็นรูปทรงหลักสำหรับตึกระฟ้าบางประเภทรวมถึงวัสดุก่อสร้าง ในโตเกียวในปี 1989 สถาปนิกสงสัยว่าเป็นไปได้ไหมที่จะสร้างหอคอย 500 ชั้นเพื่อให้พื้นที่สำนักงานราคาไม่แพงสำหรับเมืองที่มีผู้คนหนาแน่นแห่งนี้ แต่ด้วยอันตรายต่ออาคารจากแผ่นดินไหวสถาปนิกพิจารณาว่าจะต้องสร้างรูปทรงสามเหลี่ยมหากจะสร้างอาคารดังกล่าว[41]

ในมหานครนิวยอร์กในขณะที่บรอดเวย์ตัดผ่านถนนสายสำคัญๆ บล็อกที่เกิดขึ้นจะถูกตัดออกเหมือนสามเหลี่ยม และอาคารต่างๆ ก็ถูกสร้างขึ้นด้วยรูปทรงเหล่านี้ หนึ่งในอาคารดังกล่าวคืออาคารFlatironรูปทรงสามเหลี่ยมซึ่งผู้คนด้านอสังหาริมทรัพย์ยอมรับว่ามี "พื้นที่ที่น่าอึดอัดใจซึ่งไม่รองรับเฟอร์นิเจอร์สำนักงานที่ทันสมัยอย่างง่ายดาย" แต่ก็ไม่ได้ทำให้โครงสร้างนี้กลายเป็นสัญลักษณ์หลัก[42]นักออกแบบได้สร้างบ้านในนอร์เวย์โดยใช้รูปสามเหลี่ยม[43]รูปทรงสามเหลี่ยมปรากฏในโบสถ์[44]เช่นเดียวกับอาคารสาธารณะรวมทั้งวิทยาลัย[45]เช่นเดียวกับการสนับสนุนการออกแบบบ้านที่เป็นนวัตกรรมใหม่[46]

สามเหลี่ยมมีความทนทาน ในขณะที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถยุบเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานจากความดันให้เป็นหนึ่งในจุดของรูปสามเหลี่ยมมีความแข็งแรงตามธรรมชาติซึ่งสนับสนุนโครงสร้างกับแรงกดดันด้านข้าง สามเหลี่ยมจะไม่เปลี่ยนรูปร่างเว้นแต่ด้านข้างจะงอหรือยืดหรือหักหรือถ้าข้อต่อหัก โดยพื้นฐานแล้วทั้งสามด้านรองรับอีกสองด้าน ในทางตรงกันข้าม รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขึ้นอยู่กับความแข็งแรงของข้อต่อในความหมายเชิงโครงสร้างมากกว่า นักออกแบบที่มีนวัตกรรมบางคนเสนอให้สร้างอิฐไม่ใช่จากสี่เหลี่ยม แต่มีรูปทรงสามเหลี่ยมซึ่งสามารถรวมกันเป็นสามมิติได้[47]มีแนวโน้มว่าจะใช้รูปสามเหลี่ยมมากขึ้นในรูปแบบใหม่เมื่อสถาปัตยกรรมมีความซับซ้อนเพิ่มขึ้น สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่ารูปสามเหลี่ยมมีความแข็งแรงในแง่ของความแข็งแกร่ง แต่ในขณะที่บรรจุอยู่ในรูปสามเหลี่ยมการจัดเรียงแบบเทสเซลเลตนั้นจะไม่แข็งแรงเท่ากับรูปหกเหลี่ยมภายใต้การบีบอัด (ดังนั้น ความชุกของรูปหกเหลี่ยมในธรรมชาติ ) สามเหลี่ยม Tessellated ยังคงรักษาความแข็งแกร่งที่เหนือกว่าสำหรับcantileveringแต่นี้และเป็นพื้นฐานสำหรับการอย่างใดอย่างหนึ่งที่มนุษย์สร้างขึ้นที่แข็งแกร่งโครงสร้างที่tetrahedral นั่งร้าน

ดูสิ่งนี้ด้วย

หมายเหตุ

  1. ^ ยู คลิดกำหนดสามเหลี่ยมหน้าจั่วตามจำนวนด้านเท่ากัน กล่าวคือมีเพียงสองด้านเท่ากันเท่านั้น วิธีการกำหนดทางเลือกหน้าจั่วสามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่ใช้ร่วมกันเช่นด้านเท่ากันหมดสามเหลี่ยมเป็นกรณีพิเศษของหน้าจั่วสามเหลี่ยม wikt:สามเหลี่ยมหน้าจั่ว
  2. ^ nมุมภายนอกใด ๆ nด้านเดียวนูนรูปหลายเหลี่ยมเพิ่มขึ้นถึง 360 องศา
  3. ^ อีกครั้ง ในทุกกรณี "ภาพสะท้อนในกระจก" ก็คล้ายกันเช่นกัน
  4. ^ รูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกคู่ก็คล้ายกันเช่นกัน แต่รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันบางคู่ไม่เท่ากันทุกคู่

อ้างอิง

  1. อรรถเป็น Weisstein, Eric W. "สามเหลี่ยม" . คณิตศาสตร์โลก.
  2. อรรถa b c d "สามเหลี่ยม - ด้านเท่า หน้าจั่ว และสเกล" . www.mathsisfun.com . สืบค้นเมื่อ1 กันยายน 2020 .
  3. ^ Euclid Elements Book I คำจำกัดความ 20
  4. ^ Weisstein เอริควชิร "ด้านเท่ากันหมดเหลี่ยม" คณิตศาสตร์โลก.
  5. อรรถเป็น Weisstein, Eric W. "สามเหลี่ยมหน้าจั่ว" . คณิตศาสตร์โลก.
  6. ^ Weisstein, Eric W. "สามเหลี่ยมสเกล" . คณิตศาสตร์โลก.
  7. ^ Zeidler, Eberhard (2004) คู่มือผู้ใช้งานฟอร์ดคณิตศาสตร์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด . NS. 729 . ISBN 978-0-19-850763-5.
  8. ^ Gullberg มกราคมคณิตศาสตร์จากการเกิดของเบอร์ NS. 393. ISBN 9780393040029.
  9. ^ "องค์ประกอบของยุคลิด เล่ม 1 ข้อเสนอ 32" .
  10. ^ วา Verdiyan และแดเนียลโปส Salas "แทนตรีโกณมิติง่ายที่มีผลในวงกว้าง" คณิตศาสตร์สะท้อนที่ 6 2007
  11. ^ Longuet ฮิกกินส์, ไมเคิลเอส "ในอัตราส่วนของ inradius เพื่อ circumradius ของรูปสามเหลี่ยมที่" คณิตศาสตร์ราชกิจจานุเบกษา 87 มีนาคม 2003 119-120
  12. ^ a b ศ. เดวิด อี. จอยซ์. "กฎของโคไซน์และไซน์" . มหาวิทยาลัยคลาร์ก. สืบค้นเมื่อ1 พฤศจิกายน 2551 .
  13. ^ Weisstein เอริควชิร "กฎหมายของเสียบ้าง" วุลแฟรมแม ธ เวิลด์ สืบค้นเมื่อ26 กรกฎาคม 2555 .
  14. ^ Aryabhatiyaโดย Aryabhata (แปลเป็นภาษาอังกฤษโดยวอลเตอร์ยูคลาร์ก , 1930) เป็นเจ้าภาพออนไลน์โดยอินเทอร์เน็ตเอกสารเก่า
  15. ^ Weisstein เอริควชิรพื้นที่ "เหลี่ยม" คณิตศาสตร์โลก.
  16. ^ Bart Braden (1986) "สูตรพื้นที่ผู้รังวัด" (PDF) . วารสารคณิตศาสตร์วิทยาลัย . 17 (4): 326–337. ดอย : 10.2307/2686282 . JSTOR 2686282  
  17. ^ Benyi, Arpad "สูตรนกกระสาชนิดสำหรับรูปสามเหลี่ยม"คณิตศาสตร์ราชกิจจานุเบกษา" 87 กรกฏาคม 2003 324-326
  18. มิตเชลล์, ดักลาส ดับเบิลยู., "สูตรแบบนกกระสาสำหรับพื้นที่ส่วนกลับของสามเหลี่ยม"ราชกิจจานุเบกษา 89, พฤศจิกายน 2548, 494
  19. มิตเชลล์ ดักลาส ดับเบิลยู. "สูตรพื้นที่ประเภทนกกระสาในแง่ของไซน์"ราชกิจจานุเบกษา 93 มีนาคม 2552 108–109
  20. ^ Sa ndor Nagydobai จูบ "เป็นระยะทางทรัพย์สินของ Feuerbach จุดและขยาย" ฟอรั่ม Geometricorum 16 2016, 283-290
  21. ^ "เซอร์คัมเรเดียส" . AoPSWiki . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 20 มิถุนายน 2556 . สืบค้นเมื่อ26 กรกฎาคม 2555 .
  22. ^ มิตเชลล์ ดักลาส ดับเบิลยู "พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม"ราชกิจจานุเบกษา 93 กรกฎาคม 2552 306–309
  23. ^ ปาทาน, อเล็กซ์และโทนี่ Collyer "คุณสมบัติพื้นที่สามเหลี่ยมเยือน"คณิตศาสตร์ราชกิจจานุเบกษา 89 พฤศจิกายน 2005 495-497
  24. ^ Baker, Marcus, "ชุดสูตรสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยมระนาบ" Annals of Mathematics , ตอนที่ 1 ใน vol. 1(6) มกราคม 2428, 134–138; ตอนที่ 2 ในเล่ม 2(1) กันยายน 2428, 11–18. สูตรที่ระบุในที่นี้คือ #9, #39a, #39b, #42 และ #49 ผู้อ่านขอแนะนำว่าหลายสูตรในแหล่งข้อมูลนี้ไม่ถูกต้อง
  25. ^ Chakerian, GD "มุมมองทางเรขาคณิตที่บิดเบี้ยว" ช. 7 ใน Mathematical Plums (R. Honsberger บรรณาธิการ) วอชิงตัน ดีซี: สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา 1979: 147
  26. ^ โรเซนเบิร์กสตีเว่น; สปิลเลน, ไมเคิล; และ Wulf, Daniel B. "Heron triangles and moduli spaces", Mathematics Teacher 101, พฤษภาคม 2008, 656–663
  27. ^ Posamentier อัลเฟรดเอสและมาห์อิงมาร์เบิร์ก,ความลับของสามเหลี่ยม , โพรหนังสือ 2012
  28. Dunn, JA, and Pretty, JE, "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, May 1972, 105–108.
  29. ^ เอช Altshiller ศาลนาธาน, วิทยาลัยเรขาคณิตโดเวอร์ 2007
  30. ^ อ็อกซ์แมน, วิคเตอร์. "ในการมีอยู่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านหนึ่งและสองเสี้ยวครึ่งมุมที่อยู่ติดกัน", Forum Geometricorum 4, 2004, 215–218
  31. ^ มิทเชลดักลาสดับบลิว (2013), "ตั้งฉาก bisectors ของสามเหลี่ยมด้าน"ฟอรั่ม Geometricorum 13, 53-59
  32. a b c Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. Co., 2007
  33. ^ Altshiller ศาล (1925 , PP. 70-71)
  34. ^ คาลมาน, แดน. "หลักฐานเบื้องต้นของทฤษฎีบทของมาร์เดน " , 2008, American Mathematical Monthly 115, 330–338.
  35. ^ อัลแลร์, แพทริเซี R .; โจว, จุนมิน; และเหยาไห่เซิน"พิสูจน์อัตลักษณ์วงรีในศตวรรษที่สิบเก้า", Mathematical Gazette 96, มีนาคม 2012, 161–165
  36. ^ Weisstein เอริควชิร"สามเหลี่ยม circumscribing" วุลแฟรมคณิตศาสตร์โลก
  37. ^ เบลีย์เฮอร์เบิร์และ DeTemple ดวน "สแควร์ถูกจารึกไว้ในมุมสามเหลี่ยม"คณิตศาสตร์นิตยสาร 71 (4), ปี 1998 278-284
  38. ^ วิกเตอร์ Oxman และ Moshe Stupel "ทำไมด้านความยาวของสี่เหลี่ยมจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมเพื่อให้ใกล้กัน?" ฟอรั่ม Geometricorum 13 (2013) 113-115
  39. ^ -, คริสตอส. "พื้นที่จุดตัดของรูปหลายเหลี่ยมนูนนูนเสมอหรือไม่" . คณิตศาสตร์ Stack แลกเปลี่ยนCS1 maint: numeric names: authors list (link)
  40. ^ Watkins, Matthew,สูตรทางคณิตศาสตร์และกายภาพที่มีประโยชน์ , Walker and Co., 2000.
  41. ^ "Tokyo Designers Envision 500-Story Tower" . Los Angeles Times ข่าวที่เกี่ยวข้อง. 10 พฤศจิกายน 1989 . สืบค้นเมื่อ5 มีนาคม 2554 . บริษัทก่อสร้างแห่งหนึ่งกล่าวเมื่อวันพฤหัสบดีว่า ได้ออกแบบตึกระฟ้าสูง 500 ชั้นสำหรับโตเกียว ... อาคารมีรูปร่างเหมือนสามเหลี่ยม มีขนาดเล็กลงที่ด้านบนเพื่อช่วยดูดซับคลื่นกระแทก มันจะมีอุโมงค์จำนวนหนึ่งเพื่อให้ลมพายุไต้ฝุ่นพัดผ่านแทนที่จะกระแทกตัวอาคารอย่างเต็มกำลัง
  42. ^ Stapinski เอลีน (26 พฤษภาคม 2010) "อาคารแปลกตาที่ดึงดูดผู้เช่า" เดอะนิวยอร์กไทม์ส. สืบค้นเมื่อ5 มีนาคม 2554 . แม้จะกำหนดพื้นที่สำนักงานเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ยากก็ตาม
  43. ^ Jodidio ฟิลิป (2009) "บ้านสามเหลี่ยมในนอร์เวย์" . สัปดาห์สถาปัตยกรรม. สืบค้นเมื่อ5 มีนาคม 2554 . ข้อจำกัดการแบ่งเขตในท้องถิ่นกำหนดทั้งแบบแปลนและความสูงของบ้านสามเหลี่ยมใน Nesodden ประเทศนอร์เวย์ ซึ่งให้ทัศนียภาพของทะเลผ่านป่าสนที่ล้อมรอบ
  44. ^ ซ์เทรซี่ (กรกฎาคม 2009) "โบสถ์แห่งมัคนายกแห่งรอยยี" . บันทึกทางสถาปัตยกรรม. สืบค้นเมื่อ5 มีนาคม 2554 . การทำงานแบบคลาสสิกของคริสตจักรในรูปแบบบริสุทธิ์สองรูปแบบ: สามเหลี่ยมกระจกอันสิ้นเชิง และภายในโบสถ์มีโครงสร้างทรงกลมคล้ายไข่ที่ทำจากไม้
  45. ^ Deborah Snoonian, PE (5 มีนาคม 2011). "เทคกางเกง: เทคโนโลยีกรอบแผ่นดินไหวและช่วยเมื่อเทียบกับสมาร์ทวิทยาลัยชุมชนแคลิฟอร์เนีย" บันทึกทางสถาปัตยกรรม. สืบค้นเมื่อ5 มีนาคม 2554 . มีความแข็งแรงมากขึ้น ใช้วัสดุน้อยลง ... พวกเขาใช้ภาษาวัสดุทั่วไปของโครงสร้างเหล็ก กระจก และแผ่นโลหะ และกาบปูน; ปริมาตรเชิงมุมไดนามิก แผ่นหลังคาพับ และรูปสามเหลี่ยมมีไว้เพื่อแนะนำการแปรสัณฐานของแผ่นเปลือกโลกของระนาบพื้นขยับที่พวกเขานั่ง
  46. ^ Sarah Amelar (พฤศจิกายน 2549) "Prairie Ridge Ecostation เพื่อสัตว์ป่าและการเรียนรู้" . บันทึกทางสถาปัตยกรรม. สืบค้นเมื่อ5 มีนาคม 2554 . โครงสร้างมูลค่า 300,000 ดอลลาร์ตั้งอยู่อย่างสบายๆ บนภูมิประเทศ มีลักษณะเหมือนบ้านต้นไม้ ปล่อยให้แผ่นดินไหลเบื้องล่าง อาคารส่วนใหญ่วางอยู่บนโครงไม้หนักรูปสามเหลี่ยมสามอันบนแผ่นคอนกรีต
  47. ^ โจชัวรอ ธ แมน (13 มีนาคม 2011) "สร้างอิฐที่ดีกว่า" . บอสตันโกลบ. สืบค้นเมื่อ5 มีนาคม 2554 . อิฐเป็นวัสดุก่อสร้างที่เก่าแก่ที่สุดในโลก โดยชิ้นแรกถูกใช้เมื่อนานมาแล้วเมื่อ 7,500 ปีก่อนคริสตกาล ... ข้อเสนอที่สวยงามโดยเฉพาะอย่างยิ่งโดย Rizal Muslimin ที่สถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์เข้ามาเป็นรอง: BeadBricks เป็นอิฐทรงสามเหลี่ยมแบนที่ สามารถรวมกันเป็นสามมิติได้ (แทนที่จะเป็นสองมิติปกติ)

ลิงค์ภายนอก