Spline (คณิตศาสตร์)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา
นอตเดี่ยวที่ 1/3 และ 2/3 สร้าง spline ของพหุนามลูกบาศก์สามตัวที่พบกับความต่อเนื่องของC 2 นอตสามจุดที่ปลายทั้งสองของช่วงเวลาเพื่อให้แน่ใจว่าเส้นโค้งสอดแทรกจุดสิ้นสุด

ในวิชาคณิตศาสตร์splineเป็นฟังก์ชันพิเศษที่กำหนด ทีละ ส่วนโดยพหุนาม ในปัญหาการ ประมาณค่า การ แก้ไขsplineมักนิยมมากกว่าการแก้ไขพหุนามเพราะมันให้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกัน แม้ว่าจะใช้พหุนามที่มีดีกรีต่ำ ในขณะที่หลีกเลี่ยงปรากฏการณ์ของ Rungeสำหรับดีกรีที่สูงกว่า

ในสาขาย่อยวิทยาการคอมพิวเตอร์ของการออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยและคอมพิวเตอร์กราฟิกคำว่า spline มักหมายถึงเส้นโค้ง พหุนาม ที ละส่วน (parametric) Splines เป็นเส้นโค้งที่ได้รับความนิยมในฟิลด์ย่อยเหล่านี้เนื่องจากความเรียบง่ายของการก่อสร้าง ความง่ายและความแม่นยำในการประเมิน และความสามารถในการประมาณรูปร่างที่ซับซ้อนผ่าน การปรับให้พอดีส่วน โค้งและการออกแบบเส้นโค้งเชิงโต้ตอบ

คำว่า spline มาจาก อุปกรณ์ spline ที่ยืดหยุ่น ซึ่งช่างต่อเรือและช่างเขียนแบบร่างใช้ในการวาดรูปทรงที่เรียบ

บทนำ

คำว่า "spline" ใช้เพื่ออ้างถึงฟังก์ชันระดับกว้างๆ ที่ใช้ในแอปพลิเคชันที่ต้องการการแก้ไขข้อมูลและ/หรือการปรับให้เรียบ ข้อมูลอาจเป็นหนึ่งมิติหรือหลายมิติก็ได้ โดยปกติ ฟังก์ชัน Spline สำหรับการประมาณค่าจะถูกกำหนดเป็นตัวย่อของการวัดความหยาบที่เหมาะสม (เช่น ความโค้งของอินทิกรัลรวม) ขึ้นอยู่กับข้อจำกัดของการประมาณค่า เส้นโค้งที่ปรับให้เรียบอาจถูกมองว่าเป็นลักษณะทั่วไปของเส้นโค้งการแก้ไข โดยที่ฟังก์ชันถูกกำหนดเพื่อลดการรวมถ่วงน้ำหนักของข้อผิดพลาดการประมาณค่ากำลังสองเฉลี่ยเหนือข้อมูลที่สังเกตได้และการวัดความหยาบ สำหรับคำจำกัดความที่มีความหมายของการวัดความหยาบจำนวนหนึ่ง ฟังก์ชัน spline จะพบว่ามีมิติจำกัดในธรรมชาติ ซึ่งเป็นเหตุผลหลักสำหรับอรรถประโยชน์ในการคำนวณและการแทนค่า

คำจำกัดความ

เราเริ่มต้นด้วยการจำกัดการสนทนาของเราเป็นพหุนามในตัวแปรเดียว ในกรณีนี้ spline คือฟังก์ชัน พหุนาม แบบแยก ส่วน ฟังก์ชันนี้เรียกว่าSรับค่าจากช่วง [ a , b ] และจับคู่ค่าเหล่านั้นกับ, เซตของจำนวนจริง ,

เราต้องการให้Sถูกกำหนดเป็นชิ้นๆ เพื่อให้บรรลุสิ่งนี้ ให้ช่วงเวลา [ a , b ] ถูกครอบคลุมโดยkลำดับ, ช่วงเวลาย่อยที่ ไม่ต่อเนื่องกัน

ในแต่ละk "pieces" ของ [ a , b ] เราต้องการนิยามพหุนามเรียกมันว่าP i

.

บนช่วง ย่อยที่ iของ [ a , b ], SถูกกำหนดโดยP i ,

k+1คะแนนt i ที่ กำหนดเรียกว่านอต เวกเตอร์ เรียกว่าเวกเตอร์ปมสำหรับเส้นโค้ง ถ้านอตมีการกระจายอย่างเท่าเทียมกันในช่วงเวลา [ a , b ] เราบอกว่าเส้นโค้งมีความสม่ำเสมอไม่เช่นนั้นเราจะบอกว่าไม่เท่ากัน

หากพหุนามพหุนามP iแต่ละตัวมีดีกรีอยู่ที่n มากที่สุด แสดงว่าเส้นโค้งนั้นมีค่าดีกรี (หรือของ คำสั่ง n+1 )

ถ้าในละแวกใกล้เคียงของt iจากนั้น spline จะถูกกล่าวว่ามีความราบรื่น (อย่างน้อย)ที่ทีฉัน . นั่นคือ ที่t ผมพหุนามพหุนามสองส่วนP i-1และP iมีค่าอนุพันธ์ร่วมกันจากอนุพันธ์ของลำดับ 0 (ค่าฟังก์ชัน) จนถึงอนุพันธ์ของลำดับr i (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ พหุนามสองส่วนที่อยู่ติดกัน เชื่อมต่อกับ การสูญเสีย ความ เรียบมากสุดn - ri )

.

เวกเตอร์ เพื่อให้เส้นโค้งมีความเรียบที่t i forเรียกว่าเวกเตอร์ความเรียบของเส้นโค้ง

ให้เวกเตอร์ปม, องศาn , และเวกเตอร์ความเรียบสำหรับเราสามารถพิจารณาชุดของ splines ของดีกรีทั้งหมดได้มีเวกเตอร์ปม และเวกเตอร์ความเรียบเนียน. พร้อมกับการดำเนินการของการเพิ่มสองฟังก์ชัน (การบวกตามจุด) และการคูณของฟังก์ชันจริง ชุดนี้กลายเป็นสเปซเวกเตอร์จริง พื้นที่เส้นโค้งนี้มักแสดงโดย.

ในการศึกษาทางคณิตศาสตร์ของพหุนาม splines คำถามว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อนอตสองนอต พูดt iและti +1ถูกย้ายเข้าด้วยกันมีคำตอบง่ายๆ พหุนามพหุนาม P i ( t ) หายไป และหมาก P i -1 ( t ) และP i +1 ( t ) จะรวมเข้ากับผลรวมของการสูญเสียความต่อเนื่อง ของt iและt i +1 นั่นคือ,

ที่ไหน

สิ่งนี้นำไปสู่ความเข้าใจทั่วไปของเวกเตอร์ปมมากขึ้น การสูญเสียความต่อเนื่อง ณ จุดใดๆ ถือได้ว่าเป็นผลจาก นอตหลายนอตที่จุดนั้น และประเภทเส้นโค้งสามารถระบุได้อย่างสมบูรณ์ด้วยดีกรีnและเวกเตอร์ปม ที่ ขยาย

โดยที่t ฉันซ้ำj ฉันครั้งสำหรับ.

เส้นโค้งพาราเมตริกบนช่วง [ a , b ]

เป็นเส้นโค้งเส้นโค้งถ้าทั้งXและYเป็นฟังก์ชันเส้นโค้งที่มีระดับเดียวกันกับเวกเตอร์ปมที่ขยายเหมือนกันในช่วงเวลานั้น

ตัวอย่าง

สมมติว่าช่วงเวลา [ a , b ] คือ [0,3] และช่วงย่อยคือ [0,1], [1,2] และ [2,3] สมมติว่าพหุนามมีดีกรี 2 และชิ้นส่วนบน [0,1] และ [1,2] ต้องเชื่อมกันในมูลค่าและอนุพันธ์อันดับแรก (ที่t =1) ในขณะที่ชิ้นส่วนบน [1,2] และ [ 2,3] เข้าร่วมอย่างง่ายในมูลค่า (ที่t = 2) สิ่งนี้จะกำหนดประเภทของ spline S ( t ) ซึ่ง

จะเป็นสมาชิกประเภทนั้นและด้วย

จะเป็นสมาชิกประเภทนั้น (หมายเหตุ: ในขณะที่พหุนามพหุนาม 2 tไม่ใช่กำลังสอง ผลลัพธ์ยังคงเรียกว่า spline กำลังสอง นี่แสดงให้เห็นว่าดีกรีของเส้นโค้งคือระดับสูงสุดของส่วนพหุนามของมัน) เวกเตอร์ปมที่ขยายสำหรับ spline ประเภทนี้จะ เป็น (0, 1, 2, 2, 3)

เส้นโค้งที่ง่ายที่สุดมีระดับ 0 เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันขั้นตอน เส้นโค้งที่ง่ายที่สุดถัดไปมีดีกรี 1 ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าspline เชิงเส้น เส้นโค้งเชิงเส้นแบบปิด (เช่น นอตแรกและอันสุดท้ายเหมือนกัน) ในระนาบเป็นเพียง รูป หลาย เหลี่ยม

เส้นโค้งทั่วไปคือเส้นโค้งลูกบาศก์ธรรมชาติของดีกรี 3 ที่มีความต่อเนื่องC 2 คำว่า "ธรรมชาติ" หมายความว่าอนุพันธ์อันดับสองของพหุนาม spline มีค่าเท่ากับศูนย์ที่จุดสิ้นสุดของช่วงการประมาณค่า

สิ่งนี้บังคับให้เส้นโค้งเป็นเส้นตรงนอกช่วงเวลา โดยจะไม่กระทบต่อความเรียบของเส้นโค้ง

อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณเส้นโค้งลูกบาศก์ธรรมชาติ

คิวบิก splines อยู่ในรูปแบบ.
กำหนดชุดพิกัดเราต้องการหาชุดของเส้นโค้งสำหรับ

สิ่งเหล่านี้จะต้องตอบสนอง:

  • .

ให้เรากำหนดหนึ่งลูกบาศก์ splineเป็น 5-tupleที่ไหนและสอดคล้องกับค่าสัมประสิทธิ์ในรูปแบบที่แสดงไว้ก่อนหน้านี้และเท่ากับ

อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณ Natural Cubic Splines:
อินพุต: ชุดของพิกัด, กับ
เอาท์พุต: ตั้งค่า splines ซึ่งประกอบด้วยn 5-tuples

  1. สร้างอาร์เรย์ใหม่ขนาดn + 1และสำหรับชุด
  2. สร้างอาร์เรย์ใหม่bและdแต่ละขนาดn
  3. สร้างอาร์เรย์ใหม่hขนาดnและ forชุด
  4. สร้างอาร์เรย์ใหม่αขนาดnและ forชุด.
  5. สร้างอาร์เรย์ใหม่c , l , μและzแต่ละขนาด.
  6. ชุด
  7. สำหรับ
    1. ชุด .
    2. ชุด.
    3. ชุด.
  8. ชุด
  9. สำหรับ
    1. ชุด
    2. ชุด
    3. ชุด
  10. สร้าง Splines ชุดใหม่และเรียกมันว่า output_set เติมด้วยn splines S
  11. สำหรับ
    1. ตั้งค่าS ผม , a = a i
    2. ตั้งค่าS ผม , b = ผม
    3. ตั้งค่าS ผม , c = c ผม
    4. ตั้งค่าS ผม , d = d ผม
    5. ตั้งค่าS ผม , x = x i
  12. เอาต์พุต output_set

หมายเหตุ

อาจมีคนถามถึงความหมาย ของ นอตหลายๆ นอตในเวกเตอร์นอต เพราะสิ่งนี้จะนำไปสู่ความต่อเนื่องเช่น

ณ ที่ตั้งของความหลากหลายอันสูงส่งนี้ ตามแบบแผน สถานการณ์ดังกล่าวบ่งชี้ถึงความไม่ต่อเนื่องกันอย่างง่ายระหว่างพหุนามสองส่วนที่อยู่ติดกัน ซึ่งหมายความว่าหากปมt ฉันปรากฏมากกว่าn + 1 ครั้งในเวกเตอร์ปมแบบขยาย อินสแตนซ์ทั้งหมดที่เกิน ( n + 1)th สามารถลบออกได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนลักษณะของเส้นโค้ง เนื่องจากหลายหลากทั้งหมดn +1, n + 2, n + 3 เป็นต้น มีความหมายเหมือนกัน โดยทั่วไปสันนิษฐานว่าเวกเตอร์ปมใดๆ ที่กำหนดเส้นโค้งประเภทใดก็ตาม ถูกคัดออกในลักษณะนี้

ประเภท spline คลาสสิกของดีกรีnที่ใช้ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขมีความต่อเนื่อง

ซึ่งหมายความว่าทุก ๆ สองส่วนพหุนามที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากันและอนุพันธ์n - 1 ตัวแรกที่แต่ละปม เส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ที่จำลองอย่างใกล้ชิดที่สุดของspline แบบแบนคือลูกบาศก์ ( n = 3), อนุพันธ์ที่ต่อเนื่องกันสองครั้ง ( C 2 ), spline ธรรมชาติ ซึ่งเป็น spline ของประเภทคลาสสิกนี้โดยมีเงื่อนไขเพิ่มเติมที่กำหนดที่จุดปลาย aและb

Spline อีกประเภทหนึ่งที่ใช้กันมากในกราฟิก เช่น ในโปรแกรมวาดภาพเช่นAdobe IllustratorจากAdobe Systemsมีชิ้นส่วนที่เป็นลูกบาศก์ แต่มีความต่อเนื่องมากที่สุดเท่านั้น

ประเภท spline นี้ยังใช้ในPostScriptเช่นเดียวกับในคำจำกัดความของแบบอักษรสำหรับคอมพิวเตอร์บางตัว

ระบบการออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยจำนวนมากที่ออกแบบมาสำหรับกราฟิกและแอนิเมชั่นระดับไฮเอนด์ใช้เวกเตอร์ปมแบบขยาย เช่นAutodesk Maya ระบบการออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยมักใช้แนวคิดเพิ่มเติมของ spline ที่รู้จักกันในชื่อNonuniform rational B-spline (NURBS)

หากมีข้อมูลที่สุ่มตัวอย่างจากฟังก์ชันหรือวัตถุทางกายภาพ การแก้ไข splineเป็นแนวทางในการสร้าง spline ที่ประมาณข้อมูลนั้น

นิพจน์ทั่วไปสำหรับC 2 Interpolating Cubic Spline

นิพจน์ทั่วไปสำหรับi th C 2 การ แก้ไขเส้นโค้งลูกบาศก์ที่จุดxที่มีสภาพธรรมชาติสามารถพบได้โดยใช้สูตร

ที่ไหน

  • คือค่าของอนุพันธ์อันดับสองที่ปม ที่ i
  • คือค่าของฟังก์ชันที่ปม ที่ i

การเป็นตัวแทนและชื่อ

สำหรับช่วงเวลาที่กำหนด [ a , b ] และเวกเตอร์ปมที่ขยายให้ในช่วงเวลานั้น เส้นโค้งของดีกรีnจะสร้างช่องว่างเวกเตอร์ โดยสังเขปนี้หมายความว่าการเพิ่มสอง spline ของประเภทที่กำหนดจะสร้าง spline ของประเภทที่กำหนดและการคูณ spline ของประเภทที่กำหนดด้วยค่าคงที่ใดๆ จะสร้าง spline ของประเภทที่กำหนดนั้น ขนาดของช่องว่างที่มีเส้นโค้งทั้งหมดบางชนิดสามารถนับได้จากเวกเตอร์ปมแบบขยาย:

มิติข้อมูลเท่ากับผลรวมของดีกรีบวกคูณหาร

หากประเภทของ spline มีเงื่อนไขเชิงเส้นเพิ่มเติมที่กำหนดไว้ spline ที่เป็นผลลัพธ์จะอยู่ใน subspace พื้นที่ของเส้นโค้งลูกบาศก์ธรรมชาติทั้งหมด เช่น เป็นสเปซย่อยของพื้นที่ของเส้นโค้ง ลูกบาศก์ C 2 ทั้งหมด

เอกสารเกี่ยวกับ splines ประกอบไปด้วยชื่อสำหรับ splines ชนิดพิเศษ ชื่อเหล่านี้เกี่ยวข้องกับ:

  • ตัวเลือกที่ใช้แทน spline เช่น
  • ตัวเลือกที่ทำขึ้นในการสร้างเวกเตอร์ปมแบบขยาย ตัวอย่างเช่น:
    • ใช้นอตเดี่ยวเพื่อ ความต่อเนื่องของ C n -1และเว้นระยะห่างระหว่างนอตเหล่านี้เท่าๆ กันบน [ a , b ] (ให้เส้นโค้งที่สม่ำเสมอ แก่เรา )
    • ใช้นอตโดยไม่มีข้อ จำกัด ในการเว้นวรรค (ให้splines ไม่สม่ำเสมอ )
  • เงื่อนไขพิเศษใดๆ ที่กำหนดไว้บน spline เช่น:
    • บังคับใช้อนุพันธ์ศูนย์วินาทีที่aและb (ให้เส้นโค้งธรรมชาติ แก่เรา )
    • กำหนดให้ค่าข้อมูลที่กำหนดให้อยู่ใน spline (ทำให้เราinterpolating splines )

บ่อยครั้งที่มีการเลือกชื่อพิเศษสำหรับประเภทของ spline ที่ตรงกับรายการหลักสองรายการขึ้นไปด้านบน ตัวอย่างเช่นเส้นโค้ง Hermiteเป็น spline ที่แสดงโดยใช้พหุนาม Hermite เพื่อเป็นตัวแทนของพหุนามแต่ละส่วน สิ่งเหล่านี้มักใช้กับn = 3; นั่นคือเส้นโค้งลูกบาศก์เฮอร์ไมต์ ในระดับนี้ พวกเขายังสามารถเลือกเพิ่มเติมให้เป็นเพียงสัมผัสต่อเนื่อง ( C 1 ); ซึ่งหมายความว่านอตภายในทั้งหมดเป็นสองเท่า มีการคิดค้นวิธีการหลายวิธีเพื่อให้พอดีกับเส้นโค้งดังกล่าวกับจุดข้อมูลที่กำหนด นั่นคือ เพื่อทำให้พวกมันเป็น splines สอดแทรก และทำโดยการประมาณค่าแทนเจนต์ที่เป็นไปได้โดยที่แต่ละส่วนพหุนามมาบรรจบกัน (ทำให้เราได้Cardinal splinesCatmull-Rom splinesและKochanek-Bartels splinesขึ้นอยู่กับวิธีการที่ใช้)

สำหรับแต่ละการนำเสนอ ต้องหาวิธีการประเมินบางอย่างเพื่อให้ค่าของ spline สามารถผลิตได้ตามความต้องการ สำหรับการแทนค่าที่แสดงพหุนามแต่ละส่วนP i ( t ) ในแง่ของพื้นฐานบางอย่างสำหรับ พหุนามดีกรี nนี่เป็นแนวคิดที่ตรงไปตรงมา:

  • สำหรับค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์tให้ค้นหาช่วงเวลาที่มันอยู่
  • ค้นหาฐานพหุนามที่เลือกสำหรับช่วงเวลานั้น
  • หาค่าของพหุนามฐานแต่ละตัวที่t :
  • ค้นหาสัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้นของพหุนามฐานที่ให้ spline ในช่วงเวลานั้นc 0 , ..., c k -2
  • บวกผลรวมเชิงเส้นของค่าพหุนามฐานเพื่อให้ได้ค่าของเส้นโค้งที่t :

อย่างไรก็ตาม ขั้นตอนการประเมินและการรวมมักจะรวมกันอย่างชาญฉลาด ตัวอย่างเช่น พหุนามของ Bernstein เป็นพื้นฐานสำหรับพหุนามที่สามารถประเมินในชุดค่าผสมเชิงเส้นได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำแบบพิเศษ นี่คือแก่นแท้ของอัลกอริทึมของ De Casteljauซึ่งมีเส้นโค้งเบ ซิเยร์ และ เส้นโค้ง เบซิเย ร์ )

อย่างไรก็ตาม สำหรับการแสดงที่กำหนด spline เป็นการรวมเชิงเส้นของ spline พื้นฐาน จำเป็นต้องมีบางสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้ อัลก อริทึม de Boorเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการประเมินB -splines

ประวัติ

ก่อนใช้คอมพิวเตอร์ การคำนวณเชิงตัวเลขต้องทำด้วยมือ แม้ว่าจะใช้ฟังก์ชันที่กำหนดทีละส่วน เช่น ฟังก์ชันเครื่องหมายหรือ ฟังก์ชัน ขั้นตอนแต่โดยทั่วไปแล้วพหุนามมักนิยมใช้เนื่องจากใช้งานได้ง่ายกว่า ผ่านการถือกำเนิดของเส้นโค้งคอมพิวเตอร์ได้รับความสำคัญ เป็นครั้งแรกที่ใช้แทนพหุนามในการประมาณค่า จากนั้นเป็นเครื่องมือในการสร้างรูปร่างที่ราบรื่นและยืดหยุ่นในคอมพิวเตอร์กราฟิก

เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าการอ้างอิงทางคณิตศาสตร์ครั้งแรกกับ splines คือกระดาษปี 1946 โดยSchoenbergซึ่งอาจเป็นที่แรกที่ใช้คำว่า "spline" ในการเชื่อมต่อกับการประมาณพหุนามทีละชิ้นที่ราบรื่น อย่างไรก็ตาม แนวคิดเหล่านี้มีรากฐานมาจากอุตสาหกรรมอากาศยานและการต่อเรือ ในคำนำของ (Bartels et al., 1987) โรบิน ฟอเรสต์อธิบายถึง " การ ลอยตัว " ซึ่งเป็นเทคนิคที่ใช้ในอุตสาหกรรมอากาศยานของอังกฤษในช่วงสงครามโลกครั้งที่ 2เพื่อสร้างแม่แบบสำหรับเครื่องบินโดยส่งแผ่นไม้บางๆ (เรียกว่า " splines )สิ่งนี้ทำให้เกิด "การยกทรงรูปกรวย" ซึ่งใช้ส่วนทรงกรวยเพื่อจำลองตำแหน่งของส่วนโค้งระหว่างเป็ด Conic lofting ถูกแทนที่ด้วยสิ่งที่เราเรียกว่า splines ในช่วงต้นทศวรรษ 1960 ตามงานโดยJC Fergusonที่Boeing และ (หลังจาก นั้น ) โดยMA Sabinที่British Aircraft Corporation

คำว่า " spline " เดิมเป็นภาษาถิ่นของ อังกฤษ

การใช้เส้นโค้งเพื่อสร้างแบบจำลองตัวถังรถยนต์ดูเหมือนจะมีจุดเริ่มต้นที่เป็นอิสระหลายประการ เครดิตถูกอ้างสิทธิ์ในนามของde Casteljauที่Citroën , Pierre Bézierที่RenaultและBirkhoff , Garabedianและde Boorที่General Motors (ดู Birkhoff และ de Boor, 1965) ทั้งหมดสำหรับงานที่เกิดขึ้นในช่วงต้นทศวรรษ 1960 หรือปลายทศวรรษ 1950 อย่างน้อยหนึ่งในเอกสารของ de Casteljau ได้รับการตีพิมพ์ แต่ไม่แพร่หลายในปี 1959 งานของ De Boor ที่General Motorsส่งผลให้มีการเผยแพร่เอกสารจำนวนหนึ่งในช่วงต้นทศวรรษ 1960 รวมถึงงานพื้นฐานบางส่วนเกี่ยวกับB -splines

งานยังถูกทำให้เสร็จที่ Pratt & Whitney Aircraft ซึ่งมีผู้แต่งสองคน (Ahlberg et al., 1967) - การรักษา splines ที่มีความยาวหนังสือครั้งแรก - ถูกใช้และDavid Taylor Model Basinโดย Feodor Theilheimer งานที่General Motorsมีรายละเอียดที่ดีใน (Birkhoff, 1990) และ (Young, 1997) Davis (1997) สรุปเนื้อหาบางส่วนนี้

อ้างอิง

  • Ferguson, James C, การประมาณค่าเส้นโค้งหลายตัวแปร, J. ACM, vol. 11 ไม่ใช่ 2 หน้า 221-228 เม.ย. 2507
  • Ahlberg, Nielson, and Walsh, The Theory of Splines and their Applications, 1967.
  • Birkhoff พลศาสตร์ของไหล การคำนวณเครื่องปฏิกรณ์ และการแสดงพื้นผิว ใน: Steve Nash (ed.), A History of Scientific Computation , 1990.
  • Bartels, Beatty และ Barsky บทนำเกี่ยวกับ Splines สำหรับใช้ในคอมพิวเตอร์กราฟิกและการสร้างแบบจำลองทางเรขาคณิต, 1987
  • Birkhoff and de Boor, การประมาณค่าพหุนามแบบทีละหน่วยและการประมาณ, ใน: HL Garabedian (ed.), Proc. General Motors Symposium ปี 1964หน้า 164–190 เอลส์เวียร์ นิวยอร์ก และอัมสเตอร์ดัม ค.ศ. 1965
  • Davis, B-splines and Geometric design , SIAM News,เล่มที่. 29 ไม่มี 5, 1997.
  • Epperson, History of Splines , NA Digestฉบับที่. 98 หมายเลข 26, 1998.
  • Stoer & Bulirsch บทนำสู่การวิเคราะห์เชิงตัวเลข สปริงเกอร์-แวร์แล็ก. หน้า 93-106. ไอเอสบีเอ็น 0387904204
  • Schoenberg, การมีส่วนร่วมของปัญหาการประมาณข้อมูลที่เท่ากันโดยฟังก์ชันการวิเคราะห์, Quart. แอปพลิเค คณิต.,เล่ม. 4, หน้า 45–99 และ 112–141, 1946.
  • Young, Garrett Birkhoff และคณิตศาสตร์ประยุกต์, Notices of the AMS, vol. 44, เลขที่ 11, หน้า 1446–1449, 1997.
  • Chapra, Canale "วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับวิศวกร" ครั้งที่ 5

ลิงค์ภายนอก

ทฤษฎี

ฟังก์ชัน Excel

สาธารณูปโภคออนไลน์

รหัสคอมพิวเตอร์