ความซับซ้อน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา
แบบธรรมดา 3 แบบ

ในวิชาคณิตศาสตร์คอมเพล็กซ์แบบ ง่าย คือเซต ที่ ประกอบด้วยจุดส่วน ของ เส้นตรงสามเหลี่ยมและ ส่วนที่ เหมือน กัน nมิติ (ดูภาพประกอบ) ไม่ควรสับสนระหว่างสารเชิงซ้อนแบบง่ายกับแนวคิดที่เป็นนามธรรมมากขึ้นของเซตแบบง่ายที่ปรากฏในทฤษฎี homotopy แบบ ง่าย สมัยใหม่ องค์ประกอบเชิงซ้อนเชิงซ้อนล้วนๆกับเชิงซ้อนแบบง่ายคือเชิงซ้อนเชิงนามธรรม เชิงนามธรรม

คำจำกัดความ

คอมเพล็กซ์ที่เรียบง่าย เป็นชุดของความเรียบง่ายที่เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1. ทุกหน้าของซิมเพล็กซ์จากยังอยู่ใน.
2. จุดตัด ที่ไม่ว่าง ของสองความง่ายเป็นใบหน้าของทั้งคู่และ.

ดูเพิ่มเติมที่คำจำกัดความของabstract simplicial complexซึ่งถ้าพูดแบบหลวมๆ ก็คือ simplicial complex ที่ไม่มีเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกัน

อย่างง่ายk -complex เป็นคอมเพล็กซ์แบบง่ายที่มีมิติที่ใหญ่ที่สุดของซิมเพล็กซ์ใด ๆ ในเท่ากับk _ ตัวอย่างเช่น คอมเพล็กซ์ 2 แบบธรรมดาต้องมีสามเหลี่ยมอย่างน้อยหนึ่งรูป และต้องไม่มีจัตุรมุขหรือมิติที่สูงกว่า

k -complex . เรียบง่ายบริสุทธิ์หรือเป็นเนื้อเดียวกันเป็นความซับซ้อนเชิงซ้อน โดยที่ทุกด้านของมิติน้อยกว่าkเป็นหน้าของซิมเพล็กซ์ของมิติตรงk . อย่างไม่เป็นทางการ "ลักษณะ" เชิงซ้อน 1 อันล้วนๆ ที่ดูเหมือนสร้างจากเส้นหลายเส้น "ลักษณะ" ที่ซับซ้อน 2 อัน เหมือนสร้างจากรูปสามเหลี่ยมหลายรูป เป็นต้น ตัวอย่างของสารเชิงซ้อนที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันคือสามเหลี่ยมที่มีส่วนของเส้นตรงติดกับจุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง สารเชิงซ้อนแบบธรรมดาสามารถคิดได้ว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมและให้คำจำกัดความของ โพลิ โท

ด้าน คือ ด้าน เดียว ในคอมเพล็กซ์ที่ไม่ใช่หน้าของซิมเพล็กซ์ที่ใหญ่กว่า (สังเกตความแตกต่างจาก "ใบหน้า" ของซิมเพล็กซ์) คอมเพล็กซ์เรียบง่ายบริสุทธิ์ถือได้ว่าเป็นคอมเพล็กซ์โดยที่ทุกแง่มุมมีมิติเท่ากัน

บางครั้งคำว่าfaceใช้เพื่ออ้างถึง simplex ของความซับซ้อน เพื่อไม่ให้สับสนกับ face of a simplex

สำหรับความซับซ้อนแบบง่ายที่ฝังอยู่ในสเป ซ kมิติ บางครั้ง k -faces ถูกเรียกว่าเซลล์ของ มัน คำว่าเซลล์บางครั้งใช้ในความหมายที่กว้างกว่าเพื่อแสดงถึงชุดโฮมโมมอร์ฟิคเป็นซิมเพล็กซ์ ซึ่งนำไปสู่คำจำกัดความของเซลล์ เชิงซ้อน

พื้นที่พื้นฐานซึ่งบางครั้งเรียกว่าพาหะของความซับซ้อนแบบง่าย ๆ คือการรวมกันของความเรียบง่าย

ปิด ติดดาว และลิงก์

ให้Kเป็นจำนวนเชิงซ้อนเชิงซ้อน และให้Sเป็นชุดของเชิงซ้อนใน K

การปิดของS (ระบุ) เป็นคอมเพล็กซ์ย่อยแบบง่ายที่เล็กที่สุดของKที่มีแต่ละซิม เพล็กซ์ใน Sได้มาจากการเพิ่มSแต่ละหน้าของทุกด้านในSซ้ำๆ

ดาวของS (แสดงว่า) คือการรวมกันของดวงดาวของแต่ละซิ มเพล็ กซ์ ใน S สำหรับ simplex s เดียว star of sคือเซตของsimplicesที่มีsเป็นใบหน้า โดยทั่วไปแล้ว ดาวของSนั้นไม่ใช่ตัวเชิงซ้อน ดังนั้นผู้เขียนบางคนจึงนิยามดาวปิดของ S (แทน) เช่นการปิดดาวของเอส

ลิงค์ของS ( ระบุ) เท่ากับ. มันคือดาวปิดของSลบดาวของทุกหน้าของ S

โทโพโลยีเชิงพีชคณิต

ในโทโพโลยีเกี่ยวกับพีชคณิตคอมเพล็กซ์แบบง่ายมักมีประโยชน์สำหรับการคำนวณที่เป็นรูปธรรม สำหรับคำจำกัดความของกลุ่มความคล้ายคลึงกันของความซับซ้อนแบบง่าย เราสามารถอ่านความซับซ้อนของสายโซ่ที่ สอดคล้องกัน ได้โดยตรง โดยมีเงื่อนไขว่าการวางแนวที่สอดคล้องกันถูกสร้างขึ้นจากความง่ายทั้งหมด ข้อกำหนดของทฤษฎี homotopyนำไปสู่การใช้ช่องว่างทั่วไปมากขึ้นคอมเพล็กซ์CW คอมเพล็กซ์อนันต์เป็นเครื่องมือทางเทคนิคพื้นฐานในโทโพโลยีเกี่ยวกับพีชคณิต ดูการอภิปรายที่Polytopeของเชิงซ้อนเชิงซ้อนในฐานะสเปซย่อยของสเปซแบบยุคลิดที่ประกอบด้วยเซตย่อย ซึ่งแต่ละอันเป็นซิ มเพล็ กซ์ แนวคิดที่ค่อนข้างเป็นรูปธรรมมากขึ้นนั้นมาจากอเล็กซานดรอฟ. ความซับซ้อนแบบจำกัดใดๆ ในแง่ที่กล่าวถึงในที่นี้ สามารถฝังตัวเป็นโพลิโทปในแง่นั้นได้ ในมิติจำนวนมาก ในโทโพโลยีเกี่ยวกับพีชคณิตพื้นที่ทอพอโลยีแบบกะทัดรัด ซึ่งมีลักษณะเป็นโฮมมอร์ฟิคเพื่อให้เกิดผลทางเรขาคณิตของความซับซ้อนแบบจำกัดง่ายมักเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยม (ดูSpanier 1966 , Maunder 1996 , Hilton & Wylie 1967 )

คอมบิเนทอริก

นัก ผสมผสานมักศึกษาf -vectorของ d-complex แบบง่าย Δ ซึ่งเป็นลำดับจำนวนเต็มโดยที่f iคือจำนวนของ ( i -1) - ใบหน้ามิติของ Δ (ตามแบบแผนf 0  = 1 เว้นแต่ Δ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ว่างเปล่า) ตัวอย่างเช่น ถ้า Δ เป็นขอบเขตของรูปแปดด้านดังนั้นf -vector ของมันคือ (1, 6, 12, 8) และถ้า Δ เป็นจำนวนเชิงซ้อนเชิงซ้อนตัวแรกที่แสดงด้านบนf -vector ของมันคือ (1, 18, 23 , 8, 1). การหาลักษณะที่สมบูรณ์ของf -vectors ที่เป็นไปได้ของเชิงซ้อนแบบง่ายนั้นกำหนดโดยทฤษฎีบท Kruskal–Katona

โดยใช้f -vector ของ d -complex แบบง่ายΔ เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ในสองตัวอย่างข้างต้นf -พหุนามจะเป็นและตามลำดับ

นักผสมผสานมักสนใจh-vectorของ simplicial complex Δ ซึ่งเป็นลำดับของสัมประสิทธิ์ของพหุนามซึ่งเป็นผลมาจากการแทนค่าx  − 1 ลงในf -พหุนาม ของ Δ อย่างเป็นทางการ หากเราเขียนF Δ ( x ) เพื่อหมายถึงf -polynomial ของ Δ ดังนั้นh-polynomialของ Δ คือ

และh - เวกเตอร์ของ Δ is

เราคำนวณ h-vector ของขอบแปดด้าน (ตัวอย่างแรกของเรา) ดังนี้:

ดังนั้นh -เวกเตอร์ของขอบของรูปแปดด้านคือ (1, 3, 3, 1) มันไม่ใช่อุบัติเหตุh -vector นี้สมมาตร อันที่จริง สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่ Δ เป็นขอบเขตของ โพลิ โท ปธรรมดา (นี่คือสมการDehn–Sommerville ) อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วh -vector ของเชิงซ้อนธรรมดาไม่จำเป็นต้องเป็นบวกด้วยซ้ำ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราหา Δ เป็นเชิงซ้อน 2 อันจากสามเหลี่ยมสองรูปที่ตัดกันที่จุดยอดร่วมเท่านั้น ผลลัพธ์h -vector จะเป็น (1, 3, −2)

การหาลักษณะที่สมบูรณ์ของ polytope h -vectors แบบง่ายทั้งหมดถูกกำหนดโดยทฤษฎีบท g ที่มีชื่อเสียง ของStanley , Billera และ Lee

สารเชิงซ้อนแบบง่ายจะเห็นได้ว่ามีโครงสร้างทางเรขาคณิตแบบเดียวกับกราฟสัมผัสของรูปทรงกลม (กราฟที่จุดยอดเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมและขอบ ถ้าองค์ประกอบการอัดตัวที่สัมพันธ์กันสัมผัสกัน) และสามารถใช้กำหนดลักษณะดังกล่าวเพื่อกำหนด การรวมตัวของการบรรจุทรงกลมเช่นจำนวนของคู่สัมผัส (1-simplices), triplets สัมผัส (2-simplices) และสี่เท่า (3-simplices) ในการบรรจุทรงกลม

ดูเพิ่มเติม

อ้างอิง

  • Spanier, Edwin H. (1966), โทโพโลยีเกี่ยวกับพีชคณิต , Springer, ISBN 0-387-94426-5
  • แมนเดอร์, Charles RF (1996), โทโพโลยีเกี่ยวกับพีชคณิต (พิมพ์ซ้ำในปี 1980 เอ็ด.), Mineola, นิวยอร์ก: โดเวอร์, ISBN 0-486-69131-4, MR  1402473
  • ฮิลตัน, ปีเตอร์ เจ. ; Wylie, Shaun (1967), Homology Theory , นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ , ISBN 0-521-09422-4, มร.  0115161

ลิงค์ภายนอก