เบอร์จริง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา
สัญลักษณ์แทนเซตของจำนวนจริง

ในวิชาคณิตศาสตร์จำนวนจริงคือค่าของปริมาณ ต่อเนื่องที่ สามารถแสดงระยะทางตามแนวเส้น คำคุณศัพท์ที่แท้จริงในบริบทนี้ถูกนำมาใช้ในศตวรรษที่ 17 โดยRené Descartesผู้แยกแยะความแตกต่างระหว่างรากศัพท์ จริงและ จินตภาพของพหุนาม จำนวนจริงประกอบด้วยจำนวนตรรกยะทั้งหมดเช่นจำนวนเต็ม -5 และเศษส่วน 4/3 และจำนวนอตรรกยะทั้งหมดเช่น (1.41421356..., รากที่สองของ 2 , จำนวนพีชคณิต อตรรกยะ ) รวมอยู่ในจำนวนอตรรกยะคือ จำนวนอตรรกยะที่แท้จริงเช่นπ (3.14159265...) [1] นอกจากการวัดระยะทางแล้ว ตัวเลขจริงยังสามารถใช้เพื่อวัดปริมาณเช่นเวลามวลพลังงานความเร็วและอื่นๆ อีกมากมาย ชุดของจำนวนจริงแสดงโดยใช้สัญลักษณ์Rหรือ[2]และบางครั้งเรียกว่า "ของจริง" [3]

จำนวนจริงสามารถคิดได้ว่าเป็นจุดบนเส้น ยาวอนันต์ ที่เรียกว่าเส้นจำนวนหรือ เส้น จริงโดยจุดที่ตรงกับจำนวนเต็มจะมีระยะห่างเท่ากัน จำนวนจริงใดๆ สามารถกำหนดได้โดยการแทนค่าทศนิยม แบบอนันต์ เช่น 8.632 โดยที่แต่ละหลักต่อเนื่องกันจะถูกวัดในหน่วยหนึ่งในสิบของขนาดของตัวเลขก่อนหน้า เส้นจริงสามารถคิดเป็นส่วนหนึ่งของระนาบเชิงซ้อนและจำนวนจริงสามารถคิดได้เป็นส่วนหนึ่งของ จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนจริงสามารถคิดได้ว่าเป็นจุดบนเส้นจำนวนยาวอนันต์

คำอธิบายของจำนวนจริงเหล่านี้ไม่เข้มงวดเพียงพอตามมาตรฐานสมัยใหม่ของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ การค้นพบคำจำกัดความที่เข้มงวดอย่างเหมาะสมของจำนวนจริง—อันที่จริง การตระหนักว่าจำเป็นต้องมีคำจำกัดความที่ดีกว่า—ถือเป็นหนึ่งในพัฒนาการที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 19 คำจำกัดความเชิงสัจพจน์มาตรฐานในปัจจุบันคือ จำนวนจริงสร้างฟิลด์ลำดับ ที่ไม่ซ้ำ Dedekind-complete (  ; + ; · ; <) จนถึงisomorphism [ a ]ในขณะที่คำจำกัดความเชิงสร้างสรรค์ที่เป็นที่นิยมของจำนวนจริงนั้นรวมถึงการประกาศให้เป็นคลาสสมมูลของลำดับ Cauchy (ของจำนวนตรรกยะ) การตัด Dedekind หรือการ แทนค่าทศนิยมอนันต์พร้อมกับการตีความที่แม่นยำสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และ ความสัมพันธ์ของคำสั่ง คำจำกัดความทั้งหมดเหล่านี้เป็นไปตามคำจำกัดความเชิงสัจพจน์และเทียบเท่ากัน

เซตของจำนวนจริงทั้งหมดนับไม่ได้ในแง่ที่ว่าทั้งเซตของจำนวนจริงทั้งหมดและเซตของจำนวนจริงทั้งหมดเป็นเซตอนันต์แต่ไม่มีฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่งจากจำนวนจริงถึงจำนวนธรรมชาติ . อันที่จริงจำนวนนับของเซตของจำนวนจริงทั้งหมด แทนด้วยและเรียกว่าคาร์ดินัลลิตี้ของคอนตินิวอัมโดยเคร่งครัดกว่าคาร์ดินัลลิตี้ของเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด (แสดงว่า, 'ไม่เป็นไร' ).

ข้อความว่าไม่มีสับเซตของจำนวนจริงที่มีจำนวนเชิงการนับมากกว่าและเล็กกว่า .อย่างเคร่งครัดเรียกว่าสมมติฐานต่อเนื่อง (CH) ไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้โดยใช้สัจพจน์ของ ทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkelรวมถึงสัจพจน์ทางเลือก (ZFC) ซึ่งเป็นรากฐานมาตรฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ อันที่จริง ZFC บางรุ่นตอบสนอง CH ในขณะที่บางรุ่นละเมิด

ประวัติ

ตัวเลขจริงรวมจำนวนตรรกยะซึ่งรวมถึงจำนวนเต็มซึ่งรวมถึงจำนวนธรรมชาติ

ชาวอียิปต์ใช้เศษส่วนอย่างง่ายประมาณ 1,000 ปีก่อนคริสตกาล พระเวท " Shulba Sutras " ("กฎของคอร์ด") ในค. 600 ปีก่อนคริสตกาลรวมถึงสิ่งที่อาจเป็น "การใช้" ครั้งแรกของจำนวนอตรรกยะ แนวคิดเรื่องความไร้เหตุผลเป็นที่ยอมรับโดยปริยายโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย ยุคแรก ๆ เช่น มานาวา ( ค. 750–690 ปีก่อนคริสตกาล)ซึ่งทราบดีว่าราก ที่สอง ของตัวเลขบางจำนวน เช่น 2 และ 61 ไม่สามารถระบุได้อย่างแม่นยำ [4]ประมาณ 500 ปีก่อนคริสตกาลนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกนำโดยพีทาโกรัสตระหนักถึงความจำเป็นของจำนวนอตรรกยะ โดยเฉพาะอย่างยิ่งความไม่ลงตัวของรากที่สองของ 2 .

ยุคกลางทำให้เกิดการยอมรับศูนย์ , ตัวเลขติดลบ , จำนวนเต็ม และ ตัวเลข เศษส่วนโดยครั้งแรกโดย นักคณิตศาสตร์ ชาวอินเดียและจีนและจากนั้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับซึ่งเป็นคนแรกที่ถือว่าจำนวนอตรรกยะเป็นวัตถุเกี่ยวกับพีชคณิต โดยการพัฒนาพีชคณิต) [5]นักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับผสมผสานแนวคิดของ " จำนวน " และ " ขนาด " เข้าเป็นแนวคิดทั่วไปของจำนวนจริง [6]นักคณิตศาสตร์ชาวอียิปต์Abu Kāmil Shuja ibn Aslam ( ค. 850–930)เป็นคนแรกที่ยอมรับจำนวนอตรรกยะเป็นคำตอบของสมการกำลังสองหรือเป็นสัมประสิทธิ์ในสมการ (มักอยู่ในรูปของราก ที่ สอง ราก ที่สาม และรากที่สี่ ) [7]

ในศตวรรษที่ 16 ไซม่อน สตีวินได้สร้างพื้นฐานสำหรับ เครื่องหมาย ทศนิยม สมัยใหม่ และยืนยันว่าไม่มีความแตกต่างระหว่างจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะในเรื่องนี้

ในศตวรรษที่ 17 เดส์ การตส์ แนะนำคำว่า "ของจริง" เพื่ออธิบายรากของพหุนาม โดยแยกความแตกต่างจากคำว่า "จินตภาพ"

ในศตวรรษที่ 18 และ 19 มีงานมากมายเกี่ยวกับจำนวนอตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ โยฮันน์ ไฮน์ริช แลมเบิร์ต (ค.ศ. 1761) ให้ข้อพิสูจน์ที่มีข้อบกพร่องประการแรกว่าπไม่มีเหตุผล Adrien-Marie Legendre (1794) ได้เสร็จสิ้นการพิสูจน์[8]และแสดงให้เห็นว่าπไม่ใช่รากที่สองของจำนวนตรรกยะ [9] Paolo Ruffini (1799) และNiels Henrik Abel (1842) ต่างก็สร้างข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบท Abel–Ruffini : ว่า สมการ quintic ทั่วไป หรือสมการที่สูงกว่าไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยสูตรทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และรากเท่านั้น

Évariste Galois (1832) ได้พัฒนาเทคนิคในการพิจารณาว่าสมการที่กำหนดสามารถแก้ไขได้โดยอนุมูลหรือไม่ ซึ่งก่อให้เกิดภาคสนามของทฤษฎีกาลัวส์ Joseph Liouville (1840) แสดงให้เห็นว่าทั้งeและe 2ไม่สามารถเป็นรากของสมการกำลังสอง จำนวนเต็ม ได้ และจากนั้นจึงกำหนดจำนวนการมีอยู่ของจำนวนอนันต์ Georg Cantor (1873) ขยายขอบเขตและทำให้ข้อพิสูจน์นี้ง่ายขึ้นอย่างมาก [10] Charles Hermite (1873) พิสูจน์ครั้งแรกว่าeเหนือธรรมชาติ และFerdinand von Lindemann (1882) แสดงให้เห็นว่าπเป็นเลิศ การพิสูจน์ของลินเดมันน์นั้นเรียบง่ายมากโดย Weierstrass (1885) ยิ่งไปกว่านั้นโดยDavid Hilbert (1893) และในที่สุดก็ได้รับการทำให้เป็นขั้นต้นโดยAdolf Hurwitz [11]และPaul Gordan (12)

การพัฒนาแคลคูลัสในศตวรรษที่ 18 ใช้ชุดของจำนวนจริงทั้งหมดโดยไม่ได้กำหนดอย่างเข้มงวด คำจำกัดความที่เข้มงวดครั้งแรกเผยแพร่โดยGeorg Cantorในปี 1871 ในปี 1874 เขาแสดงให้เห็นว่าเซตของจำนวนจริงทั้งหมดนั้น ไม่มีที่ สิ้นสุดอย่างนับไม่ถ้วนแต่เซตของตัวเลขพีชคณิตทั้งหมดนั้นนับได้ ไม่สิ้นสุด ตรงกันข้ามกับความเชื่อที่แพร่หลาย วิธีแรกของเขาไม่ใช่การโต้แย้งแนวทแยง ที่โด่งดัง ซึ่งเขาตีพิมพ์ในปี 1891 สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูที่ หลักฐานการนับไม่ได้ครั้งแรกของคันทอร์

คำจำกัดความ

ระบบจำนวนจริงสามารถกำหนดตามสัจพจน์จนถึงisomorphismซึ่งจะอธิบายต่อจากนี้ มีหลายวิธีในการสร้าง "ระบบจำนวนจริง" และวิธีการที่นิยมเกี่ยวข้องกับการเริ่มจากจำนวนธรรมชาติ จากนั้นกำหนดจำนวนตรรกยะเชิงพีชคณิต และสุดท้ายกำหนดจำนวนจริงเป็นคลาสสมมูลของลำดับ โคชี หรือการตัดแบบเดเดคินด์ ซึ่งแน่นอน เซตย่อยของจำนวนตรรกยะ อีกวิธีหนึ่งคือการเริ่มต้นจากการทำให้เป็นจริงของเรขาคณิตแบบยุคลิดอย่างเข้มงวด (พูดถึงฮิลเบิร์ตหรือTarski ) แล้วกำหนดระบบจำนวนจริงในเชิงเรขาคณิต โครงสร้างทั้งหมดของจำนวนจริงเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าเท่ากัน ในแง่ที่ว่าระบบตัวเลขที่ได้คือ ไอ โซมอร์ฟิ

วิธีการเชิงสัจพจน์

ปล่อยแทนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด แล้ว:

  • ชุดเป็นฟิลด์หมายความว่า การ บวกและการคูณถูกกำหนดและมีคุณสมบัติตามปกติ
  • สนามถูกเรียงลำดับ หมายความว่ามีลำดับทั้งหมด ≥ ซึ่งสำหรับจำนวนจริงทั้งหมดx , yและz :
    • ถ้าxyแล้วx + zy + z ;
    • ถ้าx ≥ 0 และy ≥ 0 แล้วxy ≥ 0
  • ลำดับคือ Dedekind-complete หมายความว่าทุกเซตย่อยที่ไม่ว่างSของที่มีขอบเขตบนในมีขอบบนที่น้อยที่สุด (aka, สูงสุด) ใน.

คุณสมบัติสุดท้ายคือสิ่งที่แยกความแตกต่างของจำนวนจริงจากจำนวนตรรกยะ (และจากฟิลด์ที่เรียงลำดับแปลกใหม่อื่น ๆ ) ตัวอย่างเช่น,มีขอบเขตบนที่มีเหตุผล (เช่น 1.42) แต่ไม่มี ขอบเขตบนที่มีเหตุผล น้อยที่สุดเพราะไม่สมเหตุสมผล

คุณสมบัติเหล่านี้บอกเป็นนัยถึงคุณสมบัติของอา ร์คิมีดีน (ซึ่งไม่ได้หมายความถึงความสมบูรณ์อื่นใด) ซึ่งระบุว่าเซตของจำนวนเต็มไม่มีขอบเขตบนในจำนวนจริง อันที่จริง หากเป็นเท็จ จำนวนเต็มจะมีขอบเขตบนที่น้อยที่สุดN ; ดังนั้นN – 1 จะไม่เป็นขอบเขตบนและจะมีจำนวนเต็มnที่n > N – 1และด้วยเหตุนี้n + 1 > Nซึ่งขัดแย้งกับคุณสมบัติขอบเขตบนของ N

จำนวนจริงถูกระบุโดยคุณสมบัติข้างต้นอย่างไม่ซ้ำกัน แม่นยำยิ่งขึ้นโดยให้ฟิลด์ที่สั่งซื้อ Dedekind สมบูรณ์สองช่องและมีisomorphism ฟิลด์ที่ไม่ซ้ำกัน จากถึง. เอกลักษณ์นี้ทำให้เราสามารถคิดว่ามันเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์เดียวกันโดยพื้นฐานแล้ว

สำหรับสัจพจน์ของดูสัจพจน์ของ Tarski เกี่ยวกับความจริง

การสร้างจากจำนวนตรรกยะ

จำนวนจริงสามารถสร้างเป็นผลสำเร็จของจำนวนตรรกยะ ในลักษณะที่ลำดับที่กำหนดโดยการขยายทศนิยมหรือไบนารีเช่น (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...) มาบรรจบกันเป็นจำนวนจริงที่ไม่ซ้ำกัน —ในกรณีนี้π . สำหรับรายละเอียดและโครงสร้างอื่นๆ ของจำนวนจริง โปรดดูการสร้างจำนวนจริง

คุณสมบัติ

คุณสมบัติพื้นฐาน

  • จำนวนจริงใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ จะเป็น ค่าลบหรือค่าบวก
  • ผลรวมและผลคูณของจำนวนจริงที่ไม่ติดลบสองตัวนั้นเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ นั่นคือ พวกมันถูกปิดภายใต้การดำเนินการเหล่านี้ และเกิดรูปกรวยบวกทำให้เกิดลำดับเชิงเส้นของจำนวนจริงตามจำนวน ไลน์.
  • จำนวนจริงประกอบขึ้นเป็นชุดของจำนวนอนันต์ที่ไม่สามารถ แมป แบบฉีดเข้าไปในเซตของจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุด กล่าวคือ มีจำนวนจริงจำนวนมากที่นับไม่ถ้วน ในขณะที่จำนวนธรรมชาติเรียกว่าอนันต์ ที่นับ ได้ สิ่งนี้กำหนดว่าในบางแง่ มี จำนวนจริง มากกว่าองค์ประกอบในชุดที่นับได้
  • มีลำดับชั้นของชุดย่อยอนันต์ที่นับได้ของจำนวนจริง เช่น จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ ตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิตและตัวเลขที่คำนวณได้แต่ละชุดเป็นชุดย่อยที่เหมาะสมของชุดถัดไปในลำดับ การเติมเต็มของเซตเหล่านี้ (จำนวนจริงอตรรกยะ เหนือธรรมชาติ และคำนวณไม่ได้) ในชุดจำนวนจริงล้วนเป็นเซตที่นับไม่ถ้วนทั้งหมด
  • ตัวเลขจริงสามารถใช้เพื่อแสดงการวัดปริมาณต่อเนื่อง อาจแสดงเป็นทศนิยมส่วนใหญ่มีลำดับอนันต์ทางด้านขวาของจุดทศนิยม เหล่านี้มักจะแสดงเช่น 324.823122147... โดยที่จุดไข่ปลา (สามจุด) บ่งชี้ว่ายังคงมีตัวเลขมากขึ้นที่จะมา สิ่งนี้ชี้ให้เห็นถึงความจริงที่ว่าเราสามารถระบุจำนวนจริงที่เลือกได้อย่างแม่นยำเพียงไม่กี่จำนวนที่มีสัญลักษณ์มากมาย

อย่างเป็นทางการกว่านั้น จำนวนจริงมีคุณสมบัติพื้นฐานสองประการของการเป็นฟิลด์ที่เรียงลำดับ และมีคุณสมบัติขอบบนที่น้อยที่สุด อย่างแรกกล่าวว่าจำนวนจริงประกอบด้วยเขตข้อมูลโดยมีการบวกและการคูณ รวมถึงการหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งสามารถเรียงลำดับได้ทั้งหมดบนเส้นจำนวนในลักษณะที่เข้ากันได้กับการบวกและการคูณ ข้อที่สองบอกว่าถ้าชุดจำนวนจริงที่ไม่ว่างมีขอบเขตบนมันก็มีขอบเขตบนที่น้อยที่สุด จริง. เงื่อนไขที่สองแยกจำนวนจริงออกจากจำนวนตรรกยะ: ตัวอย่างเช่น ชุดของจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองน้อยกว่า 2 เป็นเซตที่มีขอบเขตบน (เช่น 1.5) แต่ไม่มีขอบเขตบนที่น้อยที่สุด (ตรรกยะ): ดังนั้น จำนวนตรรกยะ ไม่เป็นไปตามคุณสมบัติขอบบนที่น้อยที่สุด

ความสมบูรณ์

เหตุผลหลักในการใช้จำนวนจริงคือลำดับจำนวนมากมีขีดจำกัด อย่างเป็นทางการมากขึ้น จำนวนจริงเสร็จสมบูรณ์ (ในแง่ของช่องว่างเมตริกหรือช่องว่างที่เหมือนกันซึ่งเป็นความหมายที่แตกต่างจากความสมบูรณ์ของคำสั่ง Dedekind ในส่วนก่อนหน้า):

ลำดับ( x n ) ของจำนวนจริงเรียกว่าลำดับCauchyหากε > 0 ใดๆ มีเลขจำนวนเต็มN (อาจขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่งระยะทาง| x nx m | น้อยกว่า ε สำหรับnและm ทั้งหมด ที่มากกว่าN คำจำกัดความนี้ แต่เดิมจัดทำโดยCauchyทำให้ความจริงที่ว่าx nมาและยังคงอยู่ใกล้กันโดยพลการ

ลำดับ ( x n ) มาบรรจบกันที่ขีด จำกัด xถ้าในที่สุดองค์ประกอบของมันมาและยังคงอยู่ใกล้กับx โดยพลการ นั่นคือถ้าสำหรับε > 0จะมีจำนวนเต็มN (อาจขึ้นอยู่กับ ε) ซึ่งระยะทาง| x nx | น้อยกว่า ε สำหรับ nมากกว่าN

ทุกลำดับการบรรจบกันเป็นลำดับ Cauchy และคอนเวิร์จเป็นจริงสำหรับจำนวนจริง และนี่หมายความว่าปริภูมิทอพอโลยีของจำนวนจริงนั้นสมบูรณ์

เซตของจำนวนตรรกยะไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ลำดับ (1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; 1.41421; ...) โดยที่แต่ละพจน์จะเพิ่มตัวเลขของการขยายทศนิยมของราก ที่สองที่เป็นบวก ของ 2 คือ Cauchy แต่ไม่มาบรรจบกันกับ จำนวนตรรกยะ (ในทางตรงกันข้าม จำนวนจริงจะบรรจบกับราก ที่สองที่เป็นบวก ของ 2)

คุณสมบัติความสมบูรณ์ของจำนวนจริงเป็นพื้นฐานในการคำนวณหาแคลคูลัสและโดยทั่วไปแล้วการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จะถูกสร้างขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การทดสอบว่าซีเควนซ์เป็นซีเควนซ์ Cauchy ช่วยให้พิสูจน์ได้ว่าซีเควนซ์นั้นมีขีดจำกัด โดยไม่ต้องคำนวณ และแม้จะไม่รู้ตัวก็ตาม

ตัวอย่างเช่น อนุกรมมาตรฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

มาบรรจบกันเป็นจำนวนจริงสำหรับทุก ๆxเพราะผลรวม

สามารถทำให้มีขนาดเล็กตามอำเภอใจ (ไม่ขึ้นกับM ) โดยเลือกNขนาดใหญ่เพียงพอ นี่เป็นการพิสูจน์ว่าซีเควนซ์เป็น Cauchy และมาบรรจบกัน แสดงว่าถูกกำหนดไว้อย่างดีสำหรับทุกx

"ช่องที่สั่งสมบูรณ์"

ตัวเลขจริงมักถูกอธิบายว่าเป็น "ช่องลำดับที่สมบูรณ์" ซึ่งเป็นวลีที่สามารถตีความได้หลายวิธี

ขั้นแรก คำสั่งสามารถขัดแตะให้สมบูรณ์ได้ ง่ายที่จะเห็นว่าไม่มีฟิลด์ที่เรียงลำดับใดสามารถเติมเต็มตาข่ายได้ เนื่องจากไม่มีองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด (เนื่องจากองค์ประกอบใดๆz , z + 1จะใหญ่กว่า)

นอกจากนี้ คำสั่งสามารถทำให้สมบูรณ์ได้ โปรดดู§ Axiomatic approach ผลลัพธ์ที่เป็นเอกลักษณ์ที่ส่วนท้ายของส่วนนั้นใช้คำว่า "the" ในวลี "สมบูรณ์ตามคำสั่งฟิลด์" เมื่อนี่คือความหมายของ "สมบูรณ์" ที่มีความหมาย ความรู้สึกถึงความสมบูรณ์นี้เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดที่สุดกับการสร้างของจริงจากการตัดของ Dedekind เนื่องจากการก่อสร้างนั้นเริ่มต้นจากฟิลด์ที่ได้รับคำสั่ง (เหตุผล) และจากนั้นสร้าง Dedekind-complement ของมันในลักษณะมาตรฐาน

แนวคิดเรื่องความสมบูรณ์ทั้งสองนี้ละเว้นโครงสร้างสนาม อย่างไรก็ตามกลุ่มที่ได้รับคำสั่ง (ในกรณีนี้ กลุ่มเพิ่มเติมของฟิลด์) กำหนด โครงสร้าง แบบสม่ำเสมอและโครงสร้างแบบสม่ำเสมอมีแนวคิดของความสมบูรณ์ คำอธิบายใน§ ความสมบูรณ์เป็นกรณีพิเศษ (เราอ้างถึงแนวคิดเรื่องความสมบูรณ์ในช่องว่างที่สม่ำเสมอมากกว่าแนวคิดที่เกี่ยวข้องและรู้จักกันดีสำหรับปริภูมิเมตริกเนื่องจากคำจำกัดความของปริภูมิเมตริกอาศัยการมีลักษณะของจำนวนจริงอยู่แล้ว) ไม่เป็นความจริงที่เป็นสนามที่มีระเบียบ สมบูรณ์ เพียงสนามเดียว แต่เป็น สนามอาร์ คิมีดีนที่สมบูรณ์เพียงสนามเดียว และแน่นอน เรามักจะได้ยินวลี "เขตอาร์คิมีดีนที่สมบูรณ์" แทนที่จะเป็น "ฟิลด์ที่สั่งสมบูรณ์" ฟิลด์อาร์คิมีดีนที่สมบูรณ์ทุกฟิลด์จะต้องสมบูรณ์ด้วยเดเดคินด์ (และในทางกลับกัน) โดยให้เหตุผลโดยใช้ "the" ในวลี "ฟิลด์อาร์คิมีดีนที่สมบูรณ์" ความรู้สึกถึงความสมบูรณ์นี้สัมพันธ์อย่างใกล้ชิดที่สุดกับการสร้างของจริงจากลำดับ Cauchy (การก่อสร้างที่ดำเนินการอย่างครบถ้วนในบทความนี้) เนื่องจากมันเริ่มต้นด้วยเขตข้อมูลอาร์คิมีดีน (เหตุผล) และสร้างความสมบูรณ์ของมันในมาตรฐาน ทาง.

แต่การใช้วลีเดิมคือ "เขตข้อมูลอาร์คิมีดีนที่สมบูรณ์" โดยDavid Hilbertผู้ซึ่งหมายถึงอย่างอื่นด้วย เขาหมายถึงว่าจำนวนจริงสร้าง สนามอาร์คิมีดีน ที่ใหญ่ที่สุดในแง่ที่ว่าทุกฟิลด์อาร์คิมีดีนเป็นฟิลด์ย่อยของ. ดังนั้นคือ "สมบูรณ์" ในแง่ที่ว่าไม่มีอะไรเพิ่มเติมเข้าไปได้โดยไม่ทำให้ไม่เป็นสนามอาร์คิมีดีนอีกต่อไป ความรู้สึกสมบูรณ์นี้เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดที่สุดกับการสร้างจำนวนจริงจากจำนวนเซอร์เรียลเนื่องจากการสร้างนั้นเริ่มต้นด้วยคลาสที่เหมาะสมซึ่งมีฟิลด์ที่เรียงลำดับทุกฟิลด์ (เซอร์เรียล) จากนั้นเลือกฟิลด์ย่อยที่ใหญ่ที่สุดของอาร์คิมีดีน

คุณสมบัติขั้นสูง

ของจริงนับไม่ได้ ; นั่นคือมีจำนวนจริงมากกว่าจำนวนธรรมชาติอย่างเคร่งครัดแม้ว่าทั้งสองชุดจะไม่มีที่สิ้นสุด อันที่จริง คาร์ ดินาลิ ตี้ของจำนวนจริงเท่ากับเซตของเซตย่อย (เช่น เซตกำลัง) ของจำนวนธรรมชาติ และอาร์กิวเมนต์ในแนวทแยงของแกนทอร์ระบุว่าคาร์ดินัลลิตี้ของเซตหลังนั้นมากกว่าคาร์ดินัลลิตี้ของ. เนื่องจากเซตของเลขพีชคณิตสามารถนับได้ จำนวน จริง เกือบทั้งหมดจึงเป็นอนิจจัง การไม่มีอยู่จริงของเซตย่อยของจำนวนจริงที่มีจำนวนเชิงการนับอย่างเคร่งครัดระหว่างจำนวนเต็มและจำนวนจริงนั้นเรียกว่าสมมติฐาน แบบต่อ เนื่อง สมมติฐานต่อเนื่องไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้ มันเป็นอิสระจากสัจพจน์ของทฤษฎีเซต

ในฐานะที่เป็นพื้นที่ทอพอโลยี จำนวนจริงสามารถแยกออกได้ นี่เป็นเพราะว่าเซตของตรรกยะซึ่งนับได้นั้นหนาแน่นในจำนวนจริง จำนวนอตรรกยะก็หนาแน่นในจำนวนจริงเช่นกัน อย่างไรก็ตาม พวกมันนับไม่ได้และมีคาร์ดินาลลิตี้เหมือนกันกับจำนวนจริง

จำนวนจริงสร้างช่องว่างเมตริก : ระยะห่างระหว่างxและyถูกกำหนดเป็นค่าสัมบูรณ์ | xy | . โดยอาศัยอำนาจเป็นชุดที่ได้รับคำสั่งโดยสิ้นเชิง พวกเขายังดำเนินการโทโพโลยีลำดับด้วย โทโพ โลยีที่เกิดขึ้นจากเมตริกและอันที่เกิดจากลำดับนั้นเหมือนกัน แต่ให้ผลลัพธ์การนำเสนอที่แตกต่างกันสำหรับโทโพโลยี—ในโทโพโลยีลำดับตามช่วงเวลาที่มีคำสั่ง ในโทโพโลยีเมทริกเป็นเอปซิลอน-บอล โครงสร้างแบบตัดของ Dedekind ใช้การนำเสนอโทโพโลยีแบบออร์เดอร์ ในขณะที่การสร้างซีเควนซ์ของ Cauchy ใช้การนำเสนอโทโพโลยีแบบเมตริก เรียลสร้างสัญญา ได้ (ดังนั้นเชื่อมต่อและเชื่อม ต่อกันอย่างง่ายดาย ) พื้นที่เมตริกที่แยกออกได้และสมบูรณ์ ของ มิติ Hausdorff  1 ตัวเลขจริงมีขนาดกะทัดรัดแต่ไม่กะทัดรัด มีคุณสมบัติต่าง ๆ ที่ระบุไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น โทโพโลยีลำดับ ที่ ไม่มีขอบเขต เชื่อมต่อ และแยกออกได้ทั้งหมดนั้นจำเป็นต้องเป็นโฮโมมอร์ฟิคกับจำนวนจริง

จำนวนจริงไม่ติดลบทุกจำนวนมีราก ที่สอง ในแม้ว่าจะไม่มีจำนวนลบก็ตาม นี่แสดงว่าคำสั่งบนถูกกำหนดโดยโครงสร้างพีชคณิต นอกจากนี้ ทุกพหุนามของดีกรีคี่ยอมรับอย่างน้อยหนึ่งรูตจริง: คุณสมบัติทั้งสองนี้ทำให้ตัวอย่างชั้นนำของสนามปิดจริง การพิสูจน์ว่านี่เป็นการพิสูจน์ครึ่งแรกของหนึ่งบทพิสูจน์ ทฤษฎีบทพื้นฐาน ของ พีชคณิต

จำนวนจริงมีการ วัดตามบัญญัติ, การวัด Lebesgueซึ่งเป็นการวัด Haarบนโครงสร้างของพวกเขาในฐานะกลุ่มทอพอโลยีที่ทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ช่วงหน่วย [0;1] มีการวัด 1 มีชุดของจำนวนจริงที่ไม่สามารถวัดได้ Lebesgue เช่นชุด Vitali

สัจพจน์สูงสุดของจำนวนจริงหมายถึงส่วนย่อยของจำนวนจริงและดังนั้นจึงเป็นคำสั่งเชิงตรรกะอันดับสอง เป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายลักษณะเฉพาะของจำนวนจริงด้วยตรรกะอันดับหนึ่งเพียงอย่างเดียว: ทฤษฎีบทโลเวนไฮม์–สโกเลมบอกเป็นนัยว่ามีเซตย่อยหนาแน่นที่นับได้ของจำนวนจริงที่ตอบสนองประโยคเดียวกันในลอจิกอันดับหนึ่งเหมือนกับจำนวนจริงที่มีอยู่จริง ชุดของจำนวนไฮเปอร์เรียลตอบสนองประโยคลำดับแรกเหมือนกันเช่น. ช่องที่เรียงลำดับซึ่งตรงกับประโยคลำดับที่หนึ่งเดียวกันกับเรียกว่าโมเดลที่ไม่เป็นมาตรฐานของ. นี่คือสิ่งที่ทำให้การวิเคราะห์ที่ไม่ได้มาตรฐานทำงาน โดยการพิสูจน์คำสั่งลำดับแรกในรูปแบบที่ไม่เป็นมาตรฐาน (ซึ่งอาจง่ายกว่าการพิสูจน์ใน) เรารู้ว่าข้อความเดียวกันนี้ก็ต้องเป็นจริงของ .ด้วย.

สนาม_ ของจำนวนจริงเป็นช่องขยายของสนามของจำนวนตรรกยะ และจึงสามารถมองได้ว่าเป็นสเปซเวกเตอร์ทับ. เซตทฤษฎี Zermelo–Fraenkelกับสัจพจน์ทางเลือกรับประกันการมีอยู่ของฐานของสเปซเวกเตอร์นี้: มีเซตBของจำนวนจริงอยู่ ซึ่งจำนวนจริงทุกตัวสามารถเขียนได้อย่างเฉพาะเจาะจงเป็นการรวมองค์ประกอบเชิงเส้นจำกัดของเซตนี้ โดยใช้ สัมประสิทธิ์ที่เป็นตรรกยะเท่านั้น และไม่มีองค์ประกอบของBที่เป็นผลรวมเชิงเส้นที่เป็นตรรกยะขององค์ประกอบอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทการดำรงอยู่นี้เป็นเพียงทฤษฎีเท่านั้น เนื่องจากฐานดังกล่าวไม่เคยมีการอธิบายอย่างชัดเจนมาก่อน

ทฤษฎีบท ที่มีการ จัดลำดับดีบอกเป็นนัยว่าจำนวนจริงสามารถจัดลำดับได้ดีหากสมมติสัจพจน์ของการเลือก: มีการเรียงลำดับทั้งหมดบนด้วยคุณสมบัติที่ทุกเซตย่อยไม่ว่าง ของมีองค์ประกอบน้อยที่สุดในลำดับนี้ (การเรียงลำดับมาตรฐาน ≤ ของจำนวนจริงไม่ใช่การเรียงลำดับที่ดี เนื่องจาก เช่นช่วงเปิดไม่มีองค์ประกอบที่น้อยที่สุดในการเรียงลำดับนี้) อีกครั้ง การมีอยู่ของการเรียงลำดับอย่างดีนั้นเป็นทฤษฎีล้วนๆ อย่างที่ไม่เคยมีมาก่อน อธิบายไว้อย่างชัดเจน หาก ถือว่า V=Lเพิ่มเติมจากสัจพจน์ของ ZF การเรียงลำดับของจำนวนจริงที่ดีสามารถแสดงให้กำหนดได้อย่างชัดเจนโดยสูตร [13]

จำนวนจริงอาจ คำนวณได้ หรือคำนวณ ไม่ได้ อัลกอริธึมสุ่มหรือไม่ และสุ่มเลขคณิตหรือไม่ก็ได้

แอปพลิเคชันและการเชื่อมต่อกับพื้นที่อื่นๆ

จำนวนจริงและตรรกะ

จำนวนจริงมักถูกทำให้เป็นทางการโดยใช้ สัจพจน์ของเซอร์เมโล –เฟรน เคิล ของทฤษฎีเซต แต่นักคณิตศาสตร์บางคนศึกษาตัวเลขจริงด้วยพื้นฐานทางตรรกะอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนจริงยังได้รับการศึกษาในคณิตศาสตร์ย้อนกลับและ คณิตศาสตร์ เชิงสร้างสรรค์ [14]

จำนวนไฮเปอร์ เรียล ที่พัฒนาโดยเอ็ดวิน ฮิววิตต์อับราฮัม โรบินสันและคนอื่นๆ ขยายเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มจำนวนอนันต์และอนันต์ ซึ่งช่วยให้สร้างแคลคูลัสน้อยได้ใกล้เคียงกับสัญชาตญาณดั้งเดิมของไลบนิซอยเลอร์คอชีและอื่น ๆ

ทฤษฎีเซตภายในของเอ็ดเวิร์ด เนลสัน ทำให้ทฤษฎีเซต ของเซอร์เมโล–เฟรนเคิลสมบูรณ์ขึ้นโดยใช้รูปแบบวากยสัมพันธ์โดยการแนะนำ "มาตรฐาน" ที่เป็นเอกภาค ในแนวทางนี้ อนันต์คือองค์ประกอบ (ไม่ใช่ "มาตรฐาน") ของเซตของจำนวนจริง (แทนที่จะเป็นองค์ประกอบของการขยายมัน ดังในทฤษฎีของโรบินสัน)

สมมติฐานแบบต่อเนื่องระบุว่าคาร์ดินาลิตี้ของเซตของจำนวนจริงคือ; คือจำนวนนับอนันต์ที่เล็กที่สุดหลัง, การนับจำนวนเต็มของจำนวนเต็ม พอล โคเฮนพิสูจน์ในปี 1963 ว่ามันเป็นสัจพจน์ที่ไม่ขึ้นกับสัจพจน์อื่นๆ ของทฤษฎีเซต นั่นคือ: เราอาจเลือกสมมติฐานแบบต่อเนื่องหรือการปฏิเสธเป็นสัจพจน์ของทฤษฎีเซตโดยไม่มีข้อขัดแย้ง

ในวิชาฟิสิกส์

ในวิทยาศาสตร์กายภาพ ค่าคงที่ทางกายภาพส่วนใหญ่ เช่น ค่าคงที่โน้มถ่วงสากล และตัวแปรทางกายภาพ เช่น ตำแหน่ง มวล ความเร็ว และประจุไฟฟ้า ถูกจำลองโดยใช้จำนวนจริง อันที่จริง ทฤษฎีฟิสิกส์พื้นฐาน เช่นกลศาสตร์คลาสสิกแม่เหล็กไฟฟ้า กลศาสตร์ ควอนตัมทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและแบบจำลองมาตรฐานอธิบายโดยใช้โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ ปกติแล้วท่อร่วมเรียบหรือช่องว่างของฮิลแบร์ตที่อิงจากจำนวนจริง แม้ว่าการวัดปริมาณทางกายภาพจริง มี ความถูกต้องแม่นยำ และ แม่นยำ

นักฟิสิกส์แนะนำเป็นครั้งคราวว่าทฤษฎีพื้นฐานมากกว่าจะแทนที่จำนวนจริงด้วยปริมาณที่ไม่ก่อให้เกิดความต่อเนื่อง แต่ข้อเสนอดังกล่าวยังคงเป็นการเก็งกำไร [15]

ในการคำนวณ

ด้วยข้อยกเว้น บางประการ เครื่องคิดเลขส่วนใหญ่ไม่ทำงานกับตัวเลขจริง แต่จะทำงานกับค่าประมาณที่มีความแม่นยำจำกัดซึ่งเรียกว่าตัวเลขทศนิยมแทน อันที่จริงการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ ส่วนใหญ่ ใช้เลขทศนิยม จำนวนจริงเป็นไปตามกฎปกติของเลขคณิตแต่ตัวเลขทศนิยมไม่ เป็น ไป ตามกฎ

คอมพิวเตอร์ไม่สามารถเก็บตัวเลขจริงตามอำเภอใจได้โดยตรงด้วยตัวเลขจำนวนมากเป็นอนันต์ ความแม่นยำที่ทำได้ถูกจำกัดด้วยจำนวนบิตที่จัดสรรให้เก็บตัวเลข ไม่ว่าจะเป็นตัวเลขทศนิยมหรือ ตัวเลขความ แม่นยำตามอำเภอใจ อย่างไรก็ตามระบบพีชคณิตของคอมพิวเตอร์สามารถทำงานกับปริมาณที่ไม่ลงตัวได้อย่างแม่นยำโดยการจัดการสูตรสำหรับพวกมัน (เช่น หรือ) มากกว่าการประมาณที่เป็นเหตุเป็นผลหรือทศนิยม [16]โดยทั่วไปเป็นไปไม่ได้ที่จะระบุได้ว่านิพจน์สองนิพจน์นั้นเท่ากันหรือไม่ ( ปัญหาคงที่ )

จำนวนจริงเรียกว่าคำนวณได้หากมีอัลกอริทึมที่ให้ตัวเลข เนื่องจากมีอัลกอริธึม ที่ นับ ได้จำนวนมากเท่านั้น [17]แต่มีจำนวนจริงที่นับไม่ได้ จำนวนจริงเกือบทั้งหมดจึงไม่สามารถคำนวณได้ นอกจากนี้ ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่คำนวณได้สองตัวยังเป็นปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ คอน สตรัคติ วิสต์ บางคนยอมรับการมีอยู่ของจำนวนจริงที่คำนวณได้เท่านั้น ชุดตัวเลขที่กำหนดได้กว้างกว่า แต่ยังนับได้เท่านั้น

"ความจริง" ในทฤษฎีเซต

ในทฤษฎีเซต ทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาโดยเฉพาะ สเปBaireถูกใช้เป็นตัวแทนสำหรับจำนวนจริงเนื่องจากหลังมีคุณสมบัติทอพอโลยีบางอย่าง (ความเชื่อมโยง) ที่เป็นความไม่สะดวกทางเทคนิค องค์ประกอบของพื้นที่แบร์เรียกว่า "ของจริง"

คำศัพท์และสัญกรณ์

นักคณิตศาสตร์ใช้สัญลักษณ์Rหรืออีกทางหนึ่งตัวอักษร "R" เป็นตัวหนา ของกระดานดำ (เข้ารหัสในUnicodeเป็นU+211D DOUBLE-STRUCK CAPITAL R (HTML  · ℝ, ℝ )) เพื่อแสดงชุดของจำนวนจริงทั้งหมด เนื่องจากชุดนี้ประกอบด้วยโครงสร้างของฟิลด์ โดยธรรมชาติ ฟิลด์ นิพจน์ของจำนวนจริงจึงมักถูกใช้เมื่อพิจารณาคุณสมบัติเกี่ยวกับพีชคณิต  

เซตของจำนวนจริงบวกและจำนวนจริงติดลบมักถูกบันทึกไว้และ, [18]ตามลำดับ;และยังใช้. [19]สามารถสังเกตจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบได้แต่มักเห็นชุดนี้ตั้งข้อสังเกต[18]ในวิชาคณิตศาสตร์ภาษาฝรั่งเศสจำนวนจริงบวกและ จำนวน จริงติดลบมักจะรวมศูนย์และเซตเหล่านี้จะถูกบันทึกไว้ตามลำดับและ[19]ในความเข้าใจนี้ ชุดตามลำดับที่ไม่มีศูนย์เรียกว่าจำนวนจริงบวกอย่างเคร่งครัดและจำนวนจริงเชิงลบอย่างเคร่งครัดและจะถูกบันทึกไว้และ(19)

สัญกรณ์หมายถึงเซตของn -tuplesขององค์ประกอบของซึ่งสามารถระบุผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของnสำเนาของมันคือพื้นที่เวกเตอร์ n มิติบน สนามของจำนวนจริง มักเรียกว่าพื้นที่พิกัดของมิติn ; พื้นที่นี้อาจถูกระบุไปยังสเป ซ ยูคลิดn มิติทันทีที่ มีการเลือก ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนในภายหลัง ในการระบุนี้จุดของอวกาศแบบยุคลิดจะถูกระบุด้วยทูเพิลของพิกัดคาร์ทีเซียน

ในวิชาคณิตศาสตร์ ค่า จริงถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ หมายความว่าเขตข้อมูลที่เป็นเขตข้อมูลของจำนวนจริง (หรือเขตข้อมูลจริง ) ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์จริงพหุนามจริงและพีชคณิตจริง คำนี้ยังใช้เป็นคำนามหมายถึงจำนวนจริง (เช่นใน "เซตของจำนวนจริงทั้งหมด")

ลักษณะทั่วไปและส่วนขยาย

จำนวนจริงสามารถสรุปและขยายได้ในหลายทิศทาง:

  • จำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยคำตอบของสมการพหุนามทั้งหมด และด้วยเหตุนี้จึงเป็นสนามปิดเชิงพีชคณิตไม่เหมือนกับจำนวนจริง อย่างไรก็ตาม จำนวนเชิงซ้อนไม่ใช่ฟิลด์ที่เรียงลำดับ
  • ระบบจำนวนจริงที่ขยายความสัมพันธ์ จะเพิ่ม สององค์ประกอบ+∞และ−∞ เป็น พื้นที่ ขนาดกะทัดรัด มันไม่ใช่ฟิลด์ หรือแม้แต่กลุ่มเพิ่มเติม แต่ยังคงมีใบสั่งทั้งหมด นอกจากนี้ยังเป็นโครงตาข่าย ที่ สมบูรณ์
  • เส้นโปรเจกทีฟจริงเพิ่มเพียงหนึ่งค่านอกจากนี้ยังเป็นพื้นที่ขนาดกะทัดรัด อีกครั้ง มันไม่ใช่ฟิลด์ หรือแม้แต่กลุ่มเพิ่มเติม อย่างไรก็ตาม อนุญาตให้แบ่งองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ด้วยศูนย์ได้ มีลำดับวัฏจักรอธิบายโดย ความสัมพันธ์ การแยก
  • เส้นจริงยาววางรวมกัน1 * + ℵ 1ชุดของเส้นจริงบวกจุดเดียว (ในที่นี้1 *หมายถึงการเรียงลำดับกลับกันของ1 ) เพื่อสร้างชุดลำดับที่ "ในเครื่อง" เหมือนกันกับจำนวนจริง แต่อย่างใดอีกต่อไป; ตัวอย่างเช่น มีการฝัง1 เพื่อรักษาลำดับ ในเส้นจริงยาวแต่ไม่ฝังในจำนวนจริง เส้นจริงที่ยาวคือชุดคำสั่งที่ใหญ่ที่สุดที่เสร็จสมบูรณ์และอยู่ในกลุ่มอาร์คิมีดีน เช่นเดียวกับสองตัวอย่างก่อนหน้านี้ ชุดนี้ไม่ใช่ฟิลด์หรือกลุ่มเพิ่มเติมอีกต่อไป
  • ฟิลด์ที่เรียงลำดับซึ่งขยายจำนวนจริงคือจำนวนไฮเปอร์เรียลและ ตัวเลข เซอร์ เรียล ทั้งสองมีจำนวนน้อยมากและมีจำนวนไม่สิ้นสุด ดังนั้นจึงเป็นฟิลด์ที่ไม่ได้รับคำสั่งจากอาร์คิมีดี
  • โอเปอเรเตอร์ที่อยู่ติดกันในสเป ซ ของฮิลเบิ ร์ต (เช่น เมทริกซ์เชิงซ้อนกำลังสองที่ติดกันตัวเอง) ให้ค่าจำนวนจริงทั่วไปในหลาย ๆ ด้าน: สามารถสั่งได้ (แต่ไม่ได้เรียงทั้งหมด) สมบูรณ์ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเป็นจริงและก่อตัวเป็นพีชคณิตเชื่อมโยงจริง ตัวดำเนินการที่เป็น บวกแน่นอนจะสอดคล้องกับจำนวนจริงที่เป็นบวกและตัวดำเนินการปกติจะสอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อน

ดูเพิ่มเติม

ระบบตัวเลข
ซับซ้อน
จริง
มีเหตุผล
จำนวนเต็ม
เป็นธรรมชาติ
ศูนย์ : 0
หนึ่ง : 1
จำนวนเฉพาะ
ตัวเลขประกอบ
จำนวนเต็มลบ
เศษส่วน
ทศนิยมจำกัด
Dyadic (ไบนารี จำกัด)
ทศนิยมซ้ำ
ไม่มีเหตุผล
พีชคณิตไม่ลงตัว
ยอดเยี่ยม
จินตนาการ

หมายเหตุ

  1. ให้แม่นยำยิ่งขึ้น เมื่อพิจารณาฟิลด์ที่มีการจัดลำดับอย่างสมบูรณ์สองฟิลด์ มีisomorphismที่ไม่ซ้ำกัน ระหว่างฟิลด์เหล่านี้ นี่หมายความว่าตัวตนเป็นลักษณะอัตโนมัติของสนามที่ไม่เหมือนใครซึ่งเข้ากันได้กับการสั่งซื้อ

อ้างอิง

การอ้างอิง

  1. ^ "จำนวนจริง | คณิตศาสตร์" . สารานุกรมบริแทนนิกา. สืบค้นเมื่อ2020-08-11 .
  2. ↑ Weisstein , Eric W. "จำนวนจริง" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-11 .
  3. ^ Oxford English Dictionaryรุ่นที่ 3, 2008, sv 'real', n.2 , B.4 : " Mathematics. Aจำนวนจริง.
  4. ↑ TK Puttaswamy , "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11. ใน: Selin, Helaine ; ดัมโบรซิโอ, อุบิราตัน , สหพันธ์. (2000), คณิตศาสตร์ข้ามวัฒนธรรม: ประวัติคณิตศาสตร์ที่ไม่ใช่ตะวันตก , สปริงเกอร์ , ISBN 978-1-4020-0260-1.
  5. โอคอนเนอร์ จอห์น เจ. ; Robertson, Edmund F. (1999), "คณิตศาสตร์อารบิก: ลืมความฉลาด?" , MacTutor History of Mathematics archive , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรู
  6. ^ Matvievskaya, Galina (1987), "Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences , 500 (1): 253–77 [254] Bibcode : 1987NYASA.500..253M , ดอย : 10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x , S2CID 121416910 
  7. ↑ Jacques Sesiano , "คณิตศาสตร์อิสลาม", น. 148 ในเซลิน เฮเลน; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics , Springer , ISBN 978-1-4020-0260-1
  8. เบ็คมันน์, ปีเตอร์ (1993), A History of Pi , Dorset Classic Reprints, Barnes & Noble Publishing, p. 170, ISBN 978-0-88029-418-8, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2016-05-04 , เรียกข้อมูล2015-11-15.
  9. ^ Arndt, ยอร์ก; Haenel, Christoph (2001), Pi Unleashed , สปริงเกอร์, พี. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2016-05-21 , ดึงข้อมูล2015-11-15.
  10. Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue , Princeton University Press, p. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2015-05-14 , ดึงข้อมูล2015-02-17 , คันทอร์พบทางลัดที่โดดเด่นในการบรรลุข้อสรุปของ Liouville ด้วยเศษเสี้ยวของงาน
  11. เฮอร์วิทซ์, อดอล์ฟ (1893). "Beweis der Transendenz der Zahl e". Mathematische Annalen (43): 134–35.
  12. ^ กอร์แดน, พอล (1893). "Transcendence von e und π" . Mathematische แอนนาเลน . 43 (2–3): 222–224. ดอย : 10.1007/bf01443647 . S2CID 123203471 . 
  13. ↑ Moschovakis , Yiannis N. (1980), "Descriptive setทฤษฎี" , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics , Amsterdam; นิวยอร์ก: North-Holland Publishing Co., vol. 100, หน้า  xii, 637 , ISBN 978-0-444-85305-9, บทที่ V.
  14. ^ บิชอป เออร์เร็ตต์; Bridges, Douglas (1985), การวิเคราะห์เชิงสร้างสรรค์, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 279, เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-15066-4, บทที่ 2.
  15. วีลเลอร์, จอห์น อาร์ชิบอลด์ (1986). "Hermann Weyl and the Unity of Knowledge: ในความเชื่อมโยงของความลึกลับสี่ประการ - "ที่มา" ของการดำรงอยู่ เวลา ความต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์ และการใช่หรือไม่ใช่ของฟิสิกส์ควอนตัมที่ไม่ต่อเนื่อง - อาจเป็นกุญแจสำคัญในการทำความเข้าใจใหม่อย่างลึกซึ้ง ". นักวิทยาศาสตร์อเมริกัน . 74 (4): 366–75. Bibcode : 1986AmSci..74..366W . JSTOR 27854250 . 
    Bengtsson, Ingemar (2017). "ตัวเลขเบื้องหลัง SIC-POVM ที่ง่ายที่สุด" รากฐานของฟิสิกส์ . 47 (8): 1031–41. arXiv : 1611.9087 . Bibcode : 2017FoPh...47.1031B . ดอย : 10.1007/s10701-017-0078-3 . S2CID  118954904 .
  16. โคเฮน, โจเอล เอส. (2002), พีชคณิตคอมพิวเตอร์และการคำนวณเชิงสัญลักษณ์: อัลกอริธึมเบื้องต้น , เล่มที่. 1, เอเค ปีเตอร์ส, พี. 32, ISBN 978-1-56881-158-1
  17. Hein, James L. (2010), "14.1.1", Discrete Structures, Logic, and Computability (3 ed.), Sudbury, MA: Jones and Bartlett Publishers, ISBN 97-80763772062, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2016-06-17 , ดึงข้อมูล2015-11-15
  18. ↑ ขชู มัคเกอร์ 1996 , pp. 114–15
  19. a b c École Normale Supérieure of Paris , " Nombres réels " ("Real numbers") Archived 2014-05-08 at the Wayback Machine , p. 6

ที่มา

ลิงค์ภายนอก