ฟังก์ชันมูลค่าจริง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา
มวลที่วัด เป็น กรัมเป็นฟังก์ชันจากการรวบรวมน้ำหนักนี้ไปจนถึงจำนวนจริง ที่ เป็นบวก คำว่า " ฟังก์ชันน้ำหนัก " ซึ่งเป็นการพาดพิงถึงตัวอย่างนี้ ใช้ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันค่า จริงคือฟังก์ชันที่มีค่าเป็นจำนวนจริง กล่าวอีกนัยหนึ่ง เป็นฟังก์ชันที่กำหนดจำนวนจริงให้กับสมาชิกแต่ละคนของ โดเมน

ฟังก์ชัน ค่าจริงของตัวแปรจริง (โดยทั่วไปเรียกว่าฟังก์ชันจริง ) และฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงหลายตัวเป็นเป้าหมายหลักของการศึกษาแคลคูลัสและโดยทั่วไปคือการวิเคราะห์จริง โดยเฉพาะอย่างยิ่งพื้นที่ฟังก์ชัน จำนวนมาก ประกอบด้วยฟังก์ชันที่มีมูลค่าจริง

โครงสร้างพีชคณิต

ปล่อยเป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดตั้งแต่เซต Xถึงจำนวนจริง. เพราะเป็นสนาม _อาจเปลี่ยนเป็นปริภูมิเวกเตอร์และพีชคณิตการสลับที่บนจำนวนจริงด้วยการดำเนินการต่อไปนี้:

การดำเนินการเหล่านี้ขยายไปยังฟังก์ชันบางส่วนจากXถึงโดยมีข้อจำกัดว่าฟังก์ชันบางส่วนf + gและf gถูกกำหนดก็ต่อเมื่อโดเมนของfและgมีทางแยกที่ไม่ว่างเปล่า ในกรณีนี้ โดเมนของมันคือจุดตัดของโดเมนของ fและg

นอกจากนี้ตั้งแต่เป็นชุดคำสั่งมีคำสั่งบางส่วน

บนซึ่งทำให้แหวนสั่งทำบางส่วน.

วัดผลได้

σ-algebraของเซต Borel เป็นโครงสร้างที่สำคัญ ของจำนวนจริง ถ้าXมี σ-algebra และฟังก์ชันfเป็นเช่นนั้นpreimage f −1 ( B )ของ Borel เซตB ใดๆ อยู่ใน σ-algebra นั้น จึงถือว่าf สามารถ วัดได้ ฟังก์ชันที่วัดได้ยังสร้างสเปซเวกเตอร์และพีชคณิตตามที่อธิบายไว้ข้างต้นใน§ โครงสร้างพีชคณิต

ยิ่งไปกว่านั้น ชุด (ตระกูล) ของฟังก์ชันค่าจริงบนXสามารถกำหนด σ-พีชคณิตบนX ที่ สร้างขึ้นโดยพรีอิมเมจทั้งหมดของชุดโบเรลทั้งหมด (หรือ เฉพาะ ช่วงเท่านั้น ซึ่งไม่สำคัญ) นี่คือวิธีที่ σ-algebras เกิดขึ้นในทฤษฎีความน่าจะ เป็น ( ของ Kolmogorov ) โดยที่ฟังก์ชันที่มีค่าจริงบนพื้นที่ตัวอย่างΩเป็นตัวแปรสุ่มที่ มีค่า จริง

ต่อเนื่อง

จำนวนจริงสร้างสเป ซ ทอพอโลยีและสเป ซ เมตริก ที่ สมบูรณ์ ฟังก์ชันที่มีค่าจริง อย่างต่อเนื่อง (ซึ่งแสดงว่าXเป็นปริภูมิทอพอโลยี) มีความสำคัญในทฤษฎีของปริภูมิทอพอโลยีและปริภูมิเมตริก ทฤษฎีบทค่าสุดโต่งระบุว่าสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องจริงใดๆ บนพื้นที่กะทัดรัด จะมี ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดทั่วโลกอยู่

แนวคิดของสเป ซ เมตริกนั้นถูกกำหนดด้วยฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรสอง ตัว ซึ่งก็คือ เมตริกซึ่งเป็นค่าต่อเนื่อง พื้นที่ของฟังก์ชันต่อเนื่องบนพื้นที่ขนาดกะทัดรัดของ Hausdorffมีความสำคัญเป็นพิเศษ ลำดับคอนเวอร์เจนต์สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีมูลค่าจริงบนสเปซทอพอโลยีพิเศษ

ฟังก์ชันต่อเนื่องยังสร้างปริภูมิเวกเตอร์และพีชคณิตตามที่อธิบายไว้ข้างต้นใน§ โครงสร้างพีชคณิตและเป็นคลาสย่อยของฟังก์ชันที่วัดได้เนื่องจากปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆ มี σ-พีชคณิตที่สร้างโดยเซตเปิด (หรือปิด)

ราบรื่น

จำนวนจริงใช้เป็นโคโดเมนเพื่อกำหนดฟังก์ชันที่ราบรื่น โดเมนของฟังก์ชันสมูทจริงอาจเป็นสเป ซ โคออร์ดิเนตจริง (ซึ่งให้ฟังก์ชันหลายตัวแปรจริง ) สเปซ เวกเตอร์เชิงทอพอ โลยี[1]เซตย่อยเปิดของพวกมัน หรือ ท่อ ร่วม เรียบ

สเปซของ ฟังก์ชันเรียบยังเป็นสเปซเวกเตอร์และพีชคณิตตามที่อธิบายข้างต้นใน§ โครงสร้างพีชคณิตและเป็นสเปซย่อยของสเปซของฟังก์ชันต่อเนื่อง

ปรากฏในทฤษฎีการวัด

การวัดบนเซตเป็น ฟังก์ชันที่มีมูลค่าจริง ที่ไม่เป็นลบบน σ-algebra ของเซตย่อย [2] ปริภูมิL pบนเซตที่มีหน่วยวัดถูกกำหนดจากฟังก์ชันวัดค่าตามจริงที่ กล่าวถึงข้างต้น แม้ว่าแท้จริงแล้วจะเป็นปริภูมิเชาวน์ก็ตาม อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น ในขณะที่ฟังก์ชันที่เป็นไปตามเงื่อนไข การรวมที่เหมาะสม กำหนดองค์ประกอบของปริภูมิ L pในทิศทางตรงกันข้ามสำหรับค่าf ∈ L p ( X )และxXที่ไม่ใช่อะตอมค่าf( x )ไม่ได้กำหนด แม้ว่า ช่องว่างL p ที่มีมูลค่าจริงยังคงมีโครงสร้างบางส่วนที่อธิบายไว้ข้าง ต้น ใน § โครงสร้างพีชคณิต ปริภูมิ L p แต่ละตัว เป็นปริภูมิเวกเตอร์และมีลำดับบางส่วน และมีการคูณ "ฟังก์ชัน" ตามจุดซึ่งเปลี่ยนpกล่าวคือ

ตัวอย่างเช่น ผลคูณของฟังก์ชัน L 2 สองฟังก์ชันเป็น ของ L 1

ลักษณะอื่นๆ

บริบทอื่นๆ ที่ใช้ฟังก์ชันมูลค่าจริงและคุณสมบัติพิเศษของฟังก์ชัน ได้แก่ฟังก์ชันโมโนโท นิก (ในชุดคำสั่ง ) ฟังก์ชันนูน (บนเวคเตอร์และ ส เปซแอฟไฟน์ ) ฟังก์ชัน ฮาร์มอนิกและซับ ฮาร์โมนิก (บนท่อร่วม Riemannian ) ฟังก์ชันวิเคราะห์ (โดยปกติจะเป็นหนึ่งหรือมากกว่า ตัวแปรจำนวนจริง) ฟังก์ชันพีชคณิต (ในพีชคณิต จำนวนจริง ) และพหุนาม (ของตัวแปรจริงหนึ่งตัวหรือมากกว่า)

ดูเพิ่มเติม

เชิงอรรถ

  1. คำจำกัดความของอนุพันธ์มีแตกต่างกันโดยทั่วไป แต่สำหรับมิติ จำกัด ผลลัพธ์ที่ได้คือคำจำกัดความที่เทียบเท่าของคลาสของฟังก์ชันเรียบ
  2. ^ ที่จริง หน่วยวัดอาจมีค่าเป็น [0, +∞] : ดูบรรทัดจำนวนจริงที่ขยาย

อ้างอิง

  • อัครทูต, ทอม เอ็ม. (1974). การ วิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (ครั้งที่ 2). แอดดิสัน-เวสลีย์ ไอเอสบีเอ็น 978-0-201-00288-1.
  • เจอรัลด์ ฟอลแลนด์ , Real Analysis: Modern Techniques and their Applications , Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 
  • รูดิน, วอลเตอร์ (1976). หลักการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (พิมพ์ครั้งที่ 3). นิวยอร์ก: McGraw-Hill ไอเอสบีเอ็น 978-0-07-054235-8.

ลิงค์ภายนอก

Weisstein, Eric W. "หน้าที่ที่แท้จริง" . โลกคณิตศาสตร์