เส้น (เรขาคณิต)

ดูคำบรรยาย
เส้นสีแดงใกล้จุดกำเนิด บน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติ

ในเรขาคณิตเส้นตรงซึ่งมักจะใช้อักษรย่อ เป็นวัตถุที่ยาวเป็น อนันต์โดยไม่มีความกว้าง ความลึก หรือความโค้งถือเป็นอุดมคติของวัตถุทางกายภาพ เช่น เส้น ตรง เส้นตึง หรือรังสีแสง เส้นคือช่องว่างมิติหนึ่งซึ่งอาจฝัง อยู่ ในช่องว่างมิติสอง สาม หรือสูงกว่าก็ได้ ในชีวิตประจำวัน คำว่าเส้นอาจหมายถึงส่วนของเส้นตรงซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของเส้นที่คั่นด้วยจุดสองจุด ( จุดสิ้นสุด )

องค์ประกอบของยุคลิดให้คำจำกัดความของเส้นตรงว่าเป็น "ความยาวกว้าง" ซึ่ง "วางเท่าๆ กันด้วยความเคารพต่อจุดบนตัวมันเอง" และเสนอสมมุติฐาน หลายประการ ว่าเป็นคุณสมบัติพื้นฐานที่พิสูจน์ไม่ได้ซึ่งเป็นที่มาของเรขาคณิตส่วนที่เหลือ เส้นแบบ ยุคลิดและเรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นคำศัพท์ที่ใช้เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับลักษณะทั่วไปที่นำมาใช้ตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 19 เช่นเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดฉายภาพและ เรขาคณิต แบบ สัมพันธ์

คุณสมบัติ

ในเรขาคณิตนิรนัยภาษากรีก ของ องค์ประกอบของยุคลิดเส้นทั่วไป(ปัจจุบันเรียกว่าเส้นโค้ง ) ถูกกำหนดให้เป็น "ความยาวกว้าง" และเส้นตรง (ปัจจุบันเรียกว่าส่วนของเส้นตรง ) ถูกกำหนดให้เป็นเส้น "ซึ่งอยู่เท่าๆ กันกับจุด ในตัวมันเอง" [1] : 291 คำจำกัดความเหล่านี้ดึงดูดประสบการณ์ทางกายภาพของผู้อ่าน โดยอาศัยคำศัพท์ที่ไม่ได้นิยามไว้ และคำจำกัดความจะไม่ถูกอ้างอิงอย่างชัดเจนในส่วนที่เหลือของข้อความ ในเรขาคณิตสมัยใหม่ เส้นตรงมักจะถือเป็นแนวคิดดั้งเดิม โดยมีคุณสมบัติ ที่กำหนดโดยสัจพจน์[1] : 95 หรืออย่างอื่นที่กำหนดให้เป็นเซตของจุดที่เป็นไปตามความสัมพันธ์เชิงเส้น เช่น เมื่อจำนวนจริงถูกมองว่าเป็นจำนวนดั้งเดิมและเรขาคณิต ได้รับการกำหนดเชิงวิเคราะห์ในแง่ของพิกัดเชิง ตัวเลข

ในการกำหนดสัจพจน์ของเรขาคณิตยุคลิด เช่นของฮิลแบร์ต (นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ได้เพิ่มสัจพจน์ดั้งเดิมของยุคลิดเพื่อเติมเต็มช่องว่างเชิงตรรกะที่รับรู้) [1] : 108 เส้นหนึ่งถูกระบุว่ามีคุณสมบัติบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับเส้นและจุด อื่น ๆ ตัวอย่างเช่น สำหรับจุดที่แตกต่างกันสองจุดใดๆ จะมีเส้นเฉพาะหนึ่งเส้นบรรจุจุดเหล่านั้น และเส้นที่แตกต่างกันสองเส้นใดๆ จะตัดกันมากที่สุดที่จุดเดียว [1] : 300 ในสองมิติ (เช่นระนาบ ยูคลิด) เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ตัดกันเรียกว่าเส้นขนาน ในมิติที่สูงกว่า เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ตัดกันจะขนานกันหากอยู่ในระนาบหรือหากไม่ ตัดกัน จะเอียง

บนระนาบแบบยุคลิดเส้นสามารถแสดงเป็นขอบเขตระหว่างสองภูมิภาคได้ [2] : 104 การรวมตัวกันของเส้นจำนวนจำกัดหลายๆ เส้นจะแบ่งระนาบให้เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน (อาจไม่มีขอบเขต) พาร์ติชันนี้เรียกว่าการ จัดเรียงเส้น

ในมิติที่สูงกว่า

ในปริภูมิสามมิติสมการระดับหนึ่งในตัวแปรx , yและzกำหนดระนาบ ดังนั้นสมการสองสมการดังกล่าว หากระนาบที่พวกมันทำให้เกิดไม่ขนานกัน ให้กำหนดเส้นตรงที่เป็นจุดตัดของระนาบ โดยทั่วไปแล้ว ในปริภูมิn มิติ n −1 สมการระดับแรกในตัวแปรพิกัดn จะกำหนดเส้นตรงภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม

ใน ปริภูมิแบบยุคลิดทั่วไป, R n (และคล้ายคลึงกันในทุกปริภูมิอัฟฟิน อื่นๆ ) เส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดที่แตกต่างกันaและbคือเซตย่อย

ทิศทาง ของเส้น ตรงจากจุดอ้างอิงa ( t = 0) ไปยังอีกจุดหนึ่งb ( t = 1) หรืออีกนัยหนึ่งคือไปในทิศทางของเวกเตอร์b  −  a ตัวเลือกaและb ที่ต่างกัน สามารถให้ผลลัพธ์เป็นเส้นเดียวกันได้

จุดคอลลิเนียร์

ว่ากันว่าจุดสามจุดจะเรียงกันหากอยู่บนเส้นเดียวกัน โดยปกติแล้วจุดสามจุดจะกำหนดระนาบแต่ในกรณีของจุดสามจุดแนวเส้นตรง สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น

ในพิกัดความสัมพันธ์ใน ปริภูมิ nมิติ จุดX = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), Y = ( y 1 , y 2 , ..., y n ) และZ = ( z 1 , z 2 , ..., z n ) เป็นเส้นตรงถ้าเป็นเมทริกซ์

มีอันดับน้อยกว่า 3 โดยเฉพาะ สำหรับจุดสามจุดในระนาบ ( n = 2) เมทริกซ์ด้านบนจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส และจุดจะอยู่ในแนวเดียวกันก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ ของมัน คือศูนย์ เท่านั้น

เทียบเท่ากับจุดสามจุดในระนาบ จุดต่างๆ จะเรียงกันก็ต่อเมื่อความชันระหว่างจุดคู่หนึ่งเท่ากับความชันระหว่างจุดคู่อื่นๆ (ในกรณีนี้ ความชันระหว่างจุดคู่ที่เหลือจะเท่ากับความชันอื่นๆ) . จากการขยาย จุด kในระนาบจะอยู่ในระนาบเดียวกัน ก็ต่อเมื่อจุด ( k –1) คู่ใดมีความชันเป็นคู่เท่ากัน

ในเรขาคณิตแบบยุคลิดระยะแบบยุคลิด d ( a , b ) ระหว่างจุดสองจุดaและbอาจถูกนำมาใช้เพื่อแสดงความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างจุดสามจุดโดย: [3] [4]

จุดa , bและcเป็นเส้นตรงก็ต่อเมื่อd ( x , a ) = d ( c , a ) และd ( x , b ) = d ( c , b ) หมายถึงx = c

อย่างไรก็ตาม มีแนวคิดอื่นๆ เกี่ยวกับระยะทาง (เช่นระยะทางในแมนฮัตตัน ) ซึ่งคุณสมบัตินี้ไม่เป็นความจริง

ในรูปทรงเรขาคณิตที่แนวคิดเรื่องเส้นตรงเป็นแนวคิดดั้งเดิมเช่นเดียวกับในกรณีของเรขาคณิตสังเคราะห์ บางรูปแบบ ก็จำเป็นต้องใช้วิธีอื่นในการกำหนดความเป็นเส้นตรง

ประเภท

ดูคำบรรยาย
สัมผัสกันเป็นเส้นโค้ง เส้นสีแดงเป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดที่ทำเครื่องหมายด้วยจุดสีแดง

ในแง่หนึ่ง[a]เส้นทุกเส้นในเรขาคณิตแบบยุคลิดมีค่าเท่ากัน หากไม่มีพิกัด เราก็ไม่สามารถแยกเส้นเหล่านั้นออกจากกันได้ อย่างไรก็ตาม เส้นอาจมีบทบาทพิเศษเกี่ยวกับวัตถุอื่นๆ ในเรขาคณิต และแบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ ตามความสัมพันธ์นั้น ตัวอย่างเช่น เมื่อเทียบกับรูปกรวย ( วงกลม , วงรี , พาราโบลาหรือไฮเปอร์โบลา ) เส้นสามารถเป็น:

  • เส้นสัมผัสกันซึ่งสัมผัสกรวยที่จุดเดียว
  • เส้นตัดขวางซึ่งตัดกรวยที่จุดสองจุดและผ่านเข้าไปด้านใน [5]
  • เส้นด้านนอกซึ่งไม่บรรจบกับทรงกรวย ณ จุดใดๆ ของระนาบยูคลิด หรือ
  • ไดเรกตริกซ์ซึ่งระยะห่างจากจุดหนึ่งช่วยพิจารณาว่าจุดนั้นอยู่บนทรงกรวยหรือไม่
  • เส้นพิกัดมิติพิกัดเชิงเส้น

ในบริบทของการพิจารณาความขนานในเรขาคณิตแบบยุคลิด เส้นตัดขวางคือเส้นที่ตัดกับเส้นอีกสองเส้นที่อาจขนานกันหรือไม่ก็ได้

สำหรับ เส้นโค้งพีชคณิตทั่วไปเส้นอาจเป็น:

  • เส้นตัด ของ iพบกับเส้นโค้งใน หน่วย iที่นับโดยไม่มีหลายหลาก หรือ
  • เส้นกำกับซึ่งเส้นโค้งเข้าใกล้โดยพลการโดยไม่ต้องสัมผัส [6]

ด้วยความเคารพต่อรูปสามเหลี่ยมเรามี:

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูน ที่มีด้านขนานกันมากที่สุด 2 ด้าน เส้นนิวตันคือเส้นที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม 2 เส้น [7]

สำหรับรูปหกเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่บนทรงกรวย เรามีเส้นปาสคาลและในกรณีพิเศษที่ทรงกรวยเป็นเส้นคู่ เราก็มีเส้น ปาปปุส

เส้นขนานคือเส้นในระนาบเดียวกันที่ไม่เคยตัดกัน เส้นที่ตัดกันมีจุดเดียวที่เหมือนกัน เส้นที่บังเอิญเกิดขึ้นพร้อมกัน ทุกจุดที่อยู่บนจุดใดจุดหนึ่งก็จะอยู่อีกด้านหนึ่งด้วย

เส้นตั้งฉากคือเส้นที่ตัดกันเป็นมุมฉาก [8]

ในปริภูมิสามมิติเส้นเบ้คือเส้นที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน จึงไม่ตัดกัน

ในระบบสัจพจน์

แนวคิดเรื่องเส้นตรงมักถูกพิจารณาในเรขาคณิตว่าเป็นแนวคิดดั้งเดิมในระบบสัจพจน์[1] : 95 หมายความว่ามันไม่ได้ถูกกำหนดโดยแนวคิดอื่น [9]ในสถานการณ์เหล่านั้นที่เส้นเป็นแนวคิดที่กำหนดไว้ เช่นเดียวกับในเรขาคณิตพิกัดแนวคิดพื้นฐานอื่นๆ บางอย่างจะถือเป็นแนวคิดดั้งเดิม เมื่อแนวคิดเรื่องเส้นเป็นแบบดึกดำบรรพ์ คุณสมบัติของเส้นจะถูกกำหนดโดยสัจพจน์ที่ต้องปฏิบัติตาม

ในการรักษาเรขาคณิตแบบไม่มีสัจพจน์หรือแบบเรียบง่าย แนวคิดของแนวคิดดั้งเดิมอาจเป็นนามธรรมเกินกว่าจะจัดการได้ ในสถานการณ์เช่นนี้ มีความเป็นไปได้ที่จะให้คำอธิบายหรือภาพทางจิตของแนวคิดดั้งเดิม เพื่อเป็นรากฐานในการสร้างแนวคิดซึ่งอย่างเป็นทางการจะมีพื้นฐานอยู่บนสัจพจน์ (ไม่ได้ระบุ) ผู้เขียนบางคนอาจเรียกคำอธิบายประเภทนี้ว่าเป็นคำจำกัดความในรูปแบบการนำเสนอที่ไม่เป็นทางการ สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่คำจำกัดความที่แท้จริง และไม่สามารถใช้ในการพิสูจน์ข้อความที่เป็นทางการได้ "คำจำกัดความ" ของเส้นในองค์ประกอบของยุคลิดจัดอยู่ในหมวดหมู่นี้ [1] : 95 แม้ในกรณีที่กำลังพิจารณาเรขาคณิตเฉพาะเจาะจง (เช่นเรขาคณิตแบบยุคลิด ) ก็ยังไม่มีข้อตกลงที่ยอมรับกันโดยทั่วไประหว่างผู้เขียนว่าคำอธิบายที่ไม่เป็นทางการของเส้นควรเป็นอย่างไร เมื่อวัตถุไม่ได้รับการปฏิบัติ อย่างเป็นทางการ

คำนิยาม

สมการเชิงเส้น

y = –x + 5 (ลดลง) และ y = 0.5x + 2 (เพิ่มขึ้นช้าลง)
กราฟเส้นของสมการเชิงเส้นบนระนาบคาร์ทีเซียน

เส้นในระนาบคาร์ทีเซียนหรือโดยทั่วไปในพิกัดอัฟฟิน มีลักษณะเฉพาะด้วยสมการเชิงเส้น แม่นยำยิ่งขึ้น ทุกเส้น(รวมถึงเส้นแนวตั้ง) คือเซตของจุดทั้งหมดที่มีพิกัด ( x , y ) เป็นไปตามสมการเชิงเส้น นั่นคือ,

โดยที่a , bและcเป็นจำนวนจริงคง ที่ (เรียกว่าสัมประสิทธิ์ ) โดยที่aและbไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่ เมื่อใช้แบบฟอร์มนี้ เส้นแนวตั้งจะสัมพันธ์กับสมการที่มีb = 0

เราสามารถสมมติได้อีกว่าc = 1หรือc = 0โดยการหารทุกอย่างด้วยcถ้ามันไม่ใช่ศูนย์

มีหลายวิธีในการเขียนสมการของเส้นตรงซึ่งสามารถแปลงจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่งได้โดยการยักย้ายพีชคณิต แบบฟอร์มข้างต้นบางครั้งเรียกว่าแบบฟอร์มมาตรฐาน หากใส่เทอมคงที่ไว้ทางซ้าย สมการจะกลายเป็น

และบางครั้งเรียกว่ารูปแบบทั่วไปของสมการ อย่างไรก็ตาม คำศัพท์นี้ไม่เป็นที่ยอมรับในระดับสากล และผู้เขียนหลายคนไม่ได้แยกแยะทั้งสองรูปแบบนี้

โดยทั่วไปแบบฟอร์มเหล่านี้จะตั้งชื่อตามประเภทของข้อมูล (ข้อมูล) เกี่ยวกับบรรทัดที่จำเป็นในการเขียนแบบฟอร์ม ข้อมูลที่สำคัญบางส่วนของเส้นตรงคือความชัน ค่าตัดแกน xจุดที่ทราบบนเส้นตรง และค่าตัดแกน y

สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดที่แตกต่างกันและอาจเขียนได้เป็น

ถ้าx 0x 1สมการนี้อาจเขียนใหม่เป็น
หรือ
ในสองมิติ สมการสำหรับเส้นที่ไม่ใช่แนวตั้งมักจะได้รับในรูปแบบความชัน–จุดตัดแกน :

ที่ไหน:

ความชันของเส้นตรงผ่านจุดและเมื่อกำหนดโดยและสามารถเขียนสมการของเส้นนี้ได้

โปรดทราบว่าเส้นในสามมิติอาจอธิบายได้ว่าเป็นคำตอบของสมการเชิงเส้นสองสมการ พร้อมกัน

เช่นนั้นและไม่เป็นสัดส่วน (ความสัมพันธ์บอกเป็นนัย) สิ่งนี้ตามมาเนื่องจากในสามมิติ สมการเชิงเส้นเดี่ยวมักจะอธิบายระนาบและเส้นคือสิ่งที่เหมือนกันในระนาบที่ตัดกันสองอันที่แตกต่างกัน

สมการพาราเมตริก

สมการพาราเมตริกยังใช้ในการระบุเส้น โดยเฉพาะในสามมิติขึ้นไป เนื่องจากเส้นมากกว่าสองมิติไม่สามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงเส้นเส้นเดียว

ในเส้นสามมิติมักอธิบายด้วยสมการพาราเมตริก:

ที่ไหน:
  • x , yและzเป็นฟังก์ชันทั้งหมดของตัวแปรอิสระtซึ่งมีช่วงมากกว่าจำนวนจริง
  • ( x 0 , y 0 , z 0 ) คือจุดใดๆ บนเส้นตรง
  • a , b , และcสัมพันธ์กับความชันของเส้นตรง โดยที่เวกเตอร์ ทิศทาง ( a , b , c ) ขนานกับเส้นตรง

สมการพาราเมตริกสำหรับเส้นในมิติที่สูงกว่าจะคล้ายกันตรงที่สมการอิงตามข้อกำหนดของจุดหนึ่งบนเส้นและเวกเตอร์ทิศทาง

เฮสเซ่ฟอร์มปกติ

ระยะทางจากจุดกำเนิด O ถึงเส้น E คำนวณด้วยรูปแบบปกติของเฮสส์ เวกเตอร์ปกติเป็นสีแดง เส้นเป็นสีเขียว จุด O แสดงเป็นสีน้ำเงิน

รูปแบบปกติ (เรียกอีกอย่างว่ารูปแบบปกติของเฮสส์[10]ตามชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันลุดวิก ออตโต เฮสส์ ) มีพื้นฐานอยู่บนส่วนปกติของเส้นตรงที่กำหนด ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดกำเนิดตั้งฉากกับเส้นตรง . ส่วนนี้จะรวมจุดเริ่มต้นด้วยจุดที่ใกล้เคียงที่สุดบนเส้นกับจุดเริ่มต้น รูปแบบปกติของสมการเส้นตรงบนระนาบได้มาจาก:

โดยที่คือมุมเอียงของส่วนปกติ (มุมเชิงจากเวกเตอร์หน่วยของ แกน xไปยังส่วนนี้) และpคือความยาว (บวก) ของส่วนปกติ รูปแบบปกติสามารถหาได้จากรูปแบบมาตรฐานโดยการหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย

แบบฟอร์มนี้สามารถแทนเส้นใดๆ ก็ได้ แต่ต้องใช้พารามิเตอร์จำกัดเพียง 2 ตัวเท่านั้นและต้องระบุp ต่างจากรูปแบบจุดตัดความชันและจุดตัดแกน ถ้าp > 0แสดงว่า โมดูโล 2 πถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ ในทางกลับกัน หากเส้นผ่านจุดกำเนิด ( c = p = 0 ) เส้นหนึ่งจะปล่อยc /| | ระยะเวลาในการคำนวณและและเป็นไปตามที่กำหนดเฉพาะโมดูโล π

การแสดงอื่นๆ

เวกเตอร์

สมการเวกเตอร์ของเส้นตรงผ่านจุด A และ B กำหนดโดย(โดยที่ แล คือสเกลาร์ )

ถ้าaเป็นเวกเตอร์OAและbเป็นเวกเตอร์OBสมการของเส้นก็สามารถเขียนได้:

รังสีที่เริ่มต้นที่จุดAอธิบายโดยการจำกัด แล จะได้รังสีหนึ่งเส้นถ้า แลมบ์ดา ≥ 0 และรังสีตรงข้ามมาจาก แลมบ์ดา ≤ 0

พิกัดเชิงขั้ว

ดูคำบรรยาย
เส้นบนพิกัดเชิงขั้วโดยไม่ผ่านจุดกำเนิด โดยมีสมการพาราเมตริกทั่วไปเขียนไว้ด้านบน

ในระนาบคาร์ทีเซียนพิกัดเชิงขั้ว ( r , θ )สัมพันธ์กับพิกัดคาร์ทีเซียนโดยสมการพาราเมตริก: [11]

ในพิกัดเชิงขั้ว สามารถเขียนสม การของเส้นตรงที่ไม่ผ่านจุดกำเนิดจุดที่มีพิกัด(0, 0) ได้

โดยที่r > 0และตรงนี้pคือความยาว (บวก) ของส่วนของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นและคั่นด้วยจุดกำเนิดและเส้น และเป็นมุม (เชิง) จาก แกน xถึงส่วนนี้

อาจเป็นประโยชน์ในการแสดงสมการในรูปของมุมระหว่าง แกน xกับเส้นตรง ในกรณีนี้สมการจะกลายเป็น

ด้วยr > 0และ

สมการเหล่านี้ได้มาจากรูปแบบปกติของสมการเส้นตรงโดยการตั้งค่าแล้วใช้เอกลักษณ์ผลต่างของมุมสำหรับไซน์หรือโคไซน์

สมการเหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้ในเชิงเรขาคณิตด้วยการใช้คำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ของสามเหลี่ยมมุมฉากกับสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีจุดของเส้นและจุดกำเนิดเป็นจุดยอด และใช้เส้นและตั้งฉากผ่านจุดกำเนิดเป็นด้าน

รูปแบบก่อนหน้านี้ใช้ไม่ได้กับเส้นที่ผ่านจุดกำเนิด แต่สามารถเขียนสูตรที่ง่ายกว่าได้: พิกัดเชิงขั้วของจุดของเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดและสร้างมุมกับแกนxเป็นคู่ดังกล่าว ที่

ลักษณะทั่วไปของเส้นยูคลิด

ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เมื่อพิจารณาจากรูปทรงเรขาคณิตจำนวนมาก แนวคิดของเส้นตรงมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับวิธีการอธิบายเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น ในเรขาคณิตวิเคราะห์เส้นในระนาบมักถูกกำหนดให้เป็นเซตของจุดซึ่งมีพิกัดที่เป็นไปตามสมการเชิงเส้น ที่กำหนด แต่ในการตั้งค่าที่เป็นนามธรรมมากกว่า เช่นเรขาคณิตตกกระทบเส้นอาจเป็นวัตถุอิสระ แตกต่างจาก ชุดของจุดที่อยู่บนนั้น

เมื่อเรขาคณิตถูกอธิบายโดยชุดของสัจพจน์แนวความคิดของเส้นมักจะไม่ได้ถูกกำหนดไว้ (สิ่งที่เรียกว่า วัตถุ ดึกดำบรรพ์ ) คุณสมบัติของเส้นนั้นถูกกำหนดโดยสัจพจน์ที่อ้างถึงเส้นเหล่านั้น ข้อดีประการหนึ่งของแนวทางนี้คือความยืดหยุ่นที่มอบให้กับผู้ใช้รูปทรงเรขาคณิต ดังนั้นในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เส้นตรงอาจถูกตีความได้ว่าเป็นจีโอเดสิก (เส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุด) ในขณะที่เรขาคณิตที่ฉายภาพ บาง เส้น เส้นตรงคือปริภูมิเวกเตอร์ 2 มิติ (ผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดของเวกเตอร์อิสระสองตัว) ความยืดหยุ่นนี้ยังขยายไปไกลกว่าคณิตศาสตร์ด้วย ตัวอย่างเช่น ช่วยให้นักฟิสิกส์คิดว่าเส้นทางของรังสีแสงเป็นเส้นตรง

เรขาคณิตแบบฉายภาพ

วงกลมใหญ่แบ่งทรงกลมออกเป็นสองซีกโลกเท่าๆ กัน ขณะเดียวกันก็เป็นไปตามคุณสมบัติ "ไม่มีความโค้ง" อีกด้วย

ในแบบจำลองหลายรูปแบบของเรขาคณิตฉายภาพ การแสดงเส้นตรงไม่ค่อยสอดคล้องกับแนวคิดเรื่อง "เส้นโค้งตรง" ตามที่แสดงให้เห็นในเรขาคณิตแบบยุคลิด ในเรขาคณิตรูปไข่เราเห็นตัวอย่างทั่วไปของสิ่งนี้ [1] : 108 ในการแสดงรูปทรงกลมของเรขาคณิตทรงรี เส้นจะถูกแสดงด้วยวงกลมใหญ่ของทรงกลมซึ่งมีจุดที่อยู่ตรงข้ามกันในเส้นทแยงมุม ในแบบจำลองเรขาคณิตรูปไข่ที่แตกต่างกัน เส้นจะถูกแสดงด้วยระนาบ แบบยุคลิด ที่ผ่านจุดกำเนิด แม้ว่าการนำเสนอเหล่านี้จะมองเห็นได้ชัดเจน แต่ก็เป็นไปตามคุณสมบัติทั้งหมด (เช่น จุดสองจุดที่กำหนดเส้นที่ไม่ซ้ำใคร) ซึ่งทำให้เป็นตัวแทนที่เหมาะสมสำหรับเส้นในเรขาคณิตนี้

"ความสั้น" และ "ความ ตรง " ของเส้น ซึ่งตีความว่าเป็นคุณสมบัติที่ทำให้ระยะห่างตามแนวเส้นระหว่างจุดสองจุดใดๆ ลดลง (ดูความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ) สามารถสรุปได้ทั่วไปและนำไปสู่แนวคิดเรื่องธรณีวิทยาในปริภูมิเมตริก

ส่วนขยาย

เรย์

เรย์
รังสีที่มีจุดสิ้นสุดที่ A โดยมีจุด B และ C อยู่ทางด้านขวา 2 จุด

เมื่อพิจารณาจากเส้นตรงและจุดA ใดๆ บนเส้นนั้น เราอาจถือว่าAแยกเส้นนี้ออกเป็นสองส่วน แต่ละส่วนดังกล่าวเรียกว่ารังสีและจุดAเรียกว่าจุดเริ่มต้น มีชื่อเรียกอีกอย่างว่า half - line หรือ half-spaceหนึ่งมิติ จุด A ถือเป็นสมาชิกของรังสี [b]ตามหลักสัญชาตญาณแล้ว รังสีประกอบด้วยจุดเหล่านั้นบนเส้นที่ลากผ่านAและดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด เริ่มต้นที่Aในทิศทางเดียวตามเส้นตรงเท่านั้น อย่างไรก็ตาม เพื่อที่จะใช้แนวคิดเรื่องรังสีนี้ในการพิสูจน์ จำเป็นต้องมีคำจำกัดความที่ชัดเจนยิ่งขึ้น

เมื่อพิจารณาจากจุดAและB ที่แตกต่างกัน พวกมันจะกำหนดรังสีเอกซ์ด้วยจุดเริ่มต้นA เนื่องจากจุดสองจุดกำหนดเส้นตรงที่ไม่ซ้ำกัน รังสี นี้จึงประกอบด้วยจุดทั้งหมดระหว่างAและB (รวมทั้งAและB ) และจุดC ทั้งหมด บนเส้นตรงผ่านAและBโดยที่Bอยู่ระหว่างAและC [12]บางครั้ง แสดงเป็นเซตของจุดC ทั้งหมด บนเส้นที่กำหนดโดยA และ B โดยที่Aไม่ได้อยู่ระหว่างBและC [13]จุดDบนเส้นที่กำหนดโดยAและBแต่ไม่อยู่ในรังสีที่มีจุดเริ่มต้นAที่กำหนดโดยBจะกำหนดรังสีอื่นที่มีจุดเริ่มต้นA สำหรับรังสีAB นั้น รังสี ADเรียกว่ารังสี ตรงข้าม

ดังนั้น เราจะบอกว่าจุดที่แตกต่างกันสองจุดAและBกำหนดเส้นตรงและการสลายตัวของเส้นนี้ให้เป็นการรวมกัน ของส่วน ที่แยกจากกันของส่วนเปิด( A ,  B )และรังสีสองดวงBCและAD (จุดDไม่ได้ถูกวาดขึ้นมา ในแผนภาพ แต่อยู่ทางด้านซ้ายของAบนเส้นAB ) รังสีเหล่านี้ไม่ใช่รังสีที่ตรงกันข้ามเนื่องจากมีจุดเริ่มต้นต่างกัน

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด รังสีสองเส้นที่มีจุดสิ้นสุดร่วมจะก่อรูปเป็นมุม [14]

คำจำกัดความของรังสีขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องความระหว่างจุดบนเส้นตรง ตามมาด้วยว่ารังสีมีอยู่เฉพาะในเรขาคณิตที่มีแนวคิดนี้อยู่เท่านั้น โดยทั่วไปคือเรขาคณิตแบบยุคลิดหรือเรขาคณิตแบบแอ ฟฟิน เหนือ สนาม ที่ได้รับคำสั่ง ในทางกลับกัน รังสีไม่มีอยู่ในเรขาคณิตฉายภาพ หรือ เรขาคณิต เหนือสนามที่ไม่เรียงลำดับ เช่นจำนวนเชิงซ้อนหรือสนามจำกัด ใดๆ

ส่วนของเส้น

ดูคำบรรยาย
การวาดส่วนของเส้นตรง "AB" บนเส้น "a"

ส่วนของเส้นตรงเป็นส่วนหนึ่งของเส้นที่ล้อมรอบด้วยจุดสิ้นสุดที่แตกต่างกันสองจุด และมีทุกจุดบนเส้นระหว่างจุดสิ้นสุด ขึ้นอยู่กับวิธีการกำหนดส่วนของเส้นตรง จุดปลายอย่างใดอย่างหนึ่งจากสองจุดอาจหรืออาจไม่เป็นส่วนหนึ่งของส่วนของเส้นตรงก็ได้ ส่วน ของเส้นตรงตั้งแต่สองเส้นขึ้นไปอาจมีความสัมพันธ์บางอย่างเหมือนกับเส้นต่างๆ เช่น ขนานกัน ตัดกัน หรือเอียง แต่ไม่เหมือนกับเส้นตรงตรงที่อาจไม่มีสิ่งเหล่านี้เลย หากเป็นเส้นระนาบเดียวกันและไม่ตัดกันหรือเป็นเส้นตรง

เส้นจำนวน

ดูคำบรรยาย
เส้นจำนวน โดยมีตัวแปร x ทางด้านซ้ายและ y ทางด้านขวา ดังนั้น x จึงน้อยกว่า y

จุดบนเส้นจำนวนสอดคล้องกับจำนวนจริงและในทางกลับกัน [15]โดยปกติแล้วจำนวนเต็มจะเว้นระยะห่างเท่าๆ กันบนเส้นตรง โดยมีเลขบวกอยู่ทางขวา และเลขลบอยู่ทางซ้าย เพื่อเป็นส่วนขยายของแนวคิดนี้เส้นจินตภาพที่แทนจำนวนจินตภาพสามารถวาดตั้งฉากกับเส้นจำนวนที่ศูนย์ได้ [16]เส้นทั้งสองประกอบกันเป็นระนาบ เชิงซ้อนซึ่งเป็นการแสดงทางเรขาคณิตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน

ดูสิ่งนี้ด้วย

หมายเหตุ

  1. ในทางเทคนิคกลุ่มการเปรียบเทียบจะทำหน้าที่แบบส่งผ่านบนเซตของเส้น
  2. ในบางครั้ง เราอาจพิจารณารังสีที่ไม่มีจุดเริ่มต้น รังสีดังกล่าวเรียกว่า รังสี เปิดตรงกันข้ามกับรังสีทั่วไปที่กล่าวกันว่าเป็นรังสีปิด

อ้างอิง

  1. ↑ abcdefg Faber, Richard L. (1983), รากฐานของเรขาคณิตแบบยุคลิดและไม่ใช่แบบยุคลิด , นิวยอร์ก: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
  2. ฟอสเตอร์, โคลิน (2010) แหล่งข้อมูลสำหรับการสอนคณิตศาสตร์, 14-16. นิวยอร์ก: ผับนานาชาติต่อเนื่อง. กลุ่ม. ไอเอสบีเอ็น 978-1-4411-3724-1. โอซีแอลซี  747274805.
  3. ปาโดอา, อเลสซานโดร (1900) Un nouveau système de définitions pour la géométrie euclidienne (ในภาษาฝรั่งเศส) การประชุมนักคณิตศาสตร์นานาชาติ
  4. รัสเซลล์, เบอร์ทรานด์ . หลักคณิตศาสตร์ . พี 410.
  5. พรอตเตอร์, เมอร์เรย์ เอช. ; Protter, Philip E. (1988), Calculus with Analytic Geometry, Jones & Bartlett Learning, p. 62, ไอเอสบีเอ็น 9780867200935.
  6. Nunemacher, Jeffrey (1999), "Asymptotes, Cubic Curves, and the Projective Plane", นิตยสารคณิตศาสตร์ , 72 (3): 183–192, CiteSeerX 10.1.1.502.72 , doi :10.2307/2690881, JSTOR  2690881 
  7. อัลซินา, คลอเดีย; เนลเซ่น, โรเจอร์ บี. (2010) ข้อพิสูจน์ที่มีเสน่ห์ : การเดินทางสู่คณิตศาสตร์อันสง่างาม แมสซาชูเซตส์ หน้า 108–109. ไอเอสบีเอ็น 9780883853481.( สำเนาออนไลน์หน้า 108 ที่Google Books )
  8. Kay, David C. (1969), College Geometry , New York: Holt, Rinehart and Winston , p. 114, ไอเอสบีเอ็น 978-0030731006, LCCN  69-12075, OCLC  47870
  9. Coxeter, HSM (1969), Introduction to Geometry (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2), นิวยอร์ก: John Wiley & Sons, p. 4, ไอเอสบีเอ็น 0-471-18283-4
  10. Bôcher, Maxime (1915), เรขาคณิตวิเคราะห์เครื่องบิน: ด้วยบทเบื้องต้นเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์, H. Holt, p. 44, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 13-05-2016.
  11. ทอร์เรนซ์, บรูซ เอฟ.; ทอร์เรนซ์, อีฟ เอ. (29 ม.ค. 2552) บทนำของนักเรียนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์: คู่มือสำหรับพรีแคลคูลัส แคลคูลัส และพีชคณิตเชิงเส้น สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . พี 314. ไอเอสบีเอ็น 9781139473736.
  12. Wylie Jr., CR (1964), รากฐานของเรขาคณิต , นิวยอร์ก: McGraw-Hill, p. 59 คำจำกัดความ 3 ISBN 0-07-072191-2
  13. Pedoe, Dan (1988), เรขาคณิต: หลักสูตรที่ครอบคลุม , Mineola, NY: Dover, p. 2, ไอเอสบีเอ็น 0-486-65812-0
  14. Sidorov, LA (2001) [1994], "Angle", สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
  15. สจ๊วต, เจมส์ บี. ; เรดลิน, โลธาร์; วัตสัน, ซาลีม (2008) พีชคณิตวิทยาลัย (ฉบับที่ 5) บรูคส์ โคล . หน้า 13–19. ไอเอสบีเอ็น 978-0-495-56521-5.
  16. แพตเตอร์สัน, บริติชโคลัมเบีย (1941), "The Inversive Plane", The American Mathematical Monthly , 48 (9): 589–599, doi :10.2307/2303867, JSTOR  2303867, MR  0006034.

ลิงค์ภายนอก

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Line_(geometry)&oldid=1191914707#Ray"