เรเดียน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา

เรเดียน
ระบบหน่วยหน่วยที่ได้รับ SI
หน่วยของมุม
เครื่องหมายrad,  c  หรือ r
ในหน่วยไม่มีมิติด้วยความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมี เช่น 1 NS/NS
การแปลง
1 rad ใน ...... เท่ากับ ...
   ชาวมิลเรเดียน   1,000 mrad
   เปลี่ยน   1/2 π เปลี่ยน
   องศา   180/พาย ≈ 57.296°
   ไล่ระดับ   200/พาย≈ 63.662 ก.
ส่วนโค้งของวงกลมที่มีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมนั้นจะมีมุม 1 เรเดียน เส้นรอบวงกำหนดมุม 2 πเรเดียน

เรเดียน , เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์เป็นหน่วย SIสำหรับการวัดมุมและเป็นหน่วยมาตรฐานของการวัดเชิงมุมใช้ในหลายพื้นที่ของคณิตศาสตร์ หน่วยเคยเป็นหน่วยเสริม SI (ก่อนประเภทที่ถูกยกเลิกในปี 1995) และเรเดียนตอนนี้เป็นมาหน่วยเอสไอ [1] เรเดียนถูกกำหนดไว้ใน SI ว่าเป็นค่าไร้มิติ และสัญลักษณ์ของเรเดียนจึงมักถูกละเว้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการเขียนทางคณิตศาสตร์

คำนิยาม

หนึ่งเรเดียนถูกกำหนดให้เป็นมุมที่ลดทอนจากจุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งตัดส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม[2]โดยทั่วไปแล้วขนาดเป็นเรเดียนของมุมที่ถูกลดทอนจะเท่ากับอัตราส่วนของความยาวส่วนโค้งต่อรัศมีของวงกลม นั่นคือθ = s / rโดยที่θคือมุมย่อยในหน่วยเรเดียนsคือความยาวส่วนโค้ง และrคือรัศมี ในทางกลับกัน ความยาวของส่วนโค้งที่ถูกสกัดกั้นจะเท่ากับรัศมีคูณด้วยขนาดของมุมในหน่วยเรเดียน นั่นคือs = .

เป็นอัตราส่วนของความยาวสองเรเดียนเป็นจำนวนบริสุทธิ์ [เป็น]ใน SI เรเดียนถูกกำหนดให้เป็นมีมูลค่า1 [6]ด้วยเหตุนี้ ในการเขียนทางคณิตศาสตร์ สัญลักษณ์ "rad" มักถูกละไว้ เมื่อหาปริมาณของมุมโดยที่ไม่มีสัญลักษณ์ใด ๆ เรเดียนจะถูกถือว่า และเมื่อหมายถึงองศา เครื่องหมาย องศาจะถูกใช้

การปฏิวัติที่สมบูรณ์คือ 2 πเรเดียน (แสดงที่นี่ด้วยวงกลมรัศมี 1 และด้วยเส้นรอบวง 2 π )

ตามด้วยขนาดเป็นเรเดียนของการหมุนรอบหนึ่งรอบ (360 องศา) คือความยาวของเส้นรอบวงทั้งหมดหารด้วยรัศมี หรือ2 π r / rหรือ 2 π . ดังนั้น 2 πเรเดียนจึงเท่ากับ 360 องศา หมายความว่าหนึ่งเรเดียนเท่ากับ 180/ π57.29577 95130 82320 876องศา [7]

ความสัมพันธ์2 πเรเดียน = 360 °สามารถจะได้มาโดยใช้สูตรสำหรับความยาวส่วนโค้ง หาสูตรความยาวส่วนโค้งหรือ. สมมติว่าวงกลมหนึ่งหน่วย รัศมีจึงเป็น 1 เนื่องจากเรเดียนคือการวัดมุมที่โค้งงอของความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม. สิ่งนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นไปอีกเพื่อ. คูณทั้งสองข้างด้วย 360 °ให้360 ° = 2 πเรเดียน

ประวัติศาสตร์

แนวความคิดของการวัดเรเดียน ตรงข้ามกับองศาของมุม โดยปกติให้เครดิตกับRoger Cotesในปี ค.ศ. 1714 [8] [9]เขาอธิบายเรเดียนในทุกสิ่งยกเว้นชื่อ และรับรู้ความเป็นธรรมชาติของมันว่าเป็นหน่วยของการวัดเชิงมุม ก่อนที่ระยะเรเดียนจะแพร่หลาย หน่วยนี้มักถูกเรียกว่าหน่วยวัดมุมวงกลม [10]

นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ได้ใช้แนวคิดในการวัดมุมด้วยความยาวของส่วนโค้งแล้ว ตัวอย่างเช่นal-Kashi (c. 1400) ใช้ชิ้นส่วนเส้นผ่านศูนย์กลางที่เรียกว่าหน่วยโดยที่ส่วนเส้นผ่านศูนย์กลางหนึ่งคือ1/60เรเดียน. พวกเขายังใช้หน่วยย่อย sexagesimal ของส่วนเส้นผ่านศูนย์กลาง (11)

คำเรเดียนปรากฏตัวครั้งแรกในการพิมพ์ที่ 5 มิถุนายน 1873 ในการตรวจสอบคำถามที่กำหนดโดยเจมส์ทอมสัน (น้องชายของลอร์ดเคลวิน ) ที่วิทยาลัยควีน , เบลฟัสต์เขาได้ใช้คำว่าเป็นช่วงต้นปี 1871 ขณะที่ในปี 1869 โทมัสมูเยอร์แล้วของUniversity of St Andrews , ก้ำกึ่งระหว่างข้อกำหนดrad , รัศมีและเรเดียนใน 1874 หลังจากการปรึกษาหารือกับเจมส์ทอมสันมูเยอร์นำมาใช้เรเดียน [12] [13] [14]ชื่อเรเดียนไม่ได้รับการยอมรับในระดับสากลมาระยะหนึ่งหลังจากนี้ ตรีโกณมิติของโรงเรียนลองแมนยังคงเรียกการวัดวงกลมเรเดียนเมื่อตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2433 [15]

สัญลักษณ์หน่วย

ระหว่างประเทศสำนักชั่งตวงวัด[16]และองค์การระหว่างประเทศเพื่อการมาตรฐาน[17]ระบุRADเป็นสัญลักษณ์สำหรับเรเดียนที่ สัญลักษณ์ทางเลือกที่ใช้เมื่อ 100 ปีที่แล้วคือc (ตัวยก c สำหรับ "การวัดแบบวงกลม") ตัวอักษร r หรือ superscript R , [18]แต่ตัวแปรเหล่านี้มักใช้ไม่บ่อยนัก เนื่องจากอาจเข้าใจผิดว่าเป็นสัญลักษณ์องศา ( °) หรือรัศมี (r) ดังนั้นค่า 1.2 เรเดียนจึงมักเขียนเป็น 1.2 rad; สัญลักษณ์อื่น ๆ รวมถึง 1.2 R 1.2 RAD 1.2 หรือ 1.2 R

การแปลง

แผนภูมิสำหรับแปลงระหว่างองศาและเรเดียน
การแปลงมุมทั่วไป
เปลี่ยน เรเดียน องศา Gradiansหรือ gons
0 เทิร์น 0 rad 0 ° 0 กรัม
1/24 เปลี่ยน /24ราด[b] พาย/12 rad 15° 16+2/3NS
1/16 เปลี่ยน /16 rad พาย/8 rad 22.5° 25 กรัม
1/12 เปลี่ยน /12 rad พาย/6 rad 30° 33+1/3NS
1/10 เปลี่ยน /10 rad พาย/5 rad 36° 40 กรัม
1/8 เปลี่ยน /8 rad พาย/4 rad 45 ° 50 กรัม
1/2 π เปลี่ยน 1 rad ค. 57.3° ค. 63.7 กรัม
1/6 เปลี่ยน /6 rad พาย/3 rad 60° 66+2/3NS
1/5 เปลี่ยน /5 rad 2 π/5 rad 72° 80 กรัม
1/4 เปลี่ยน /4 rad พาย/2 rad 90° 100 กรัม
1/3 เปลี่ยน /3 rad 2 π/3 rad 120 ° 133+1/3NS
2/5 เปลี่ยน 2𝜏/5 rad 4 π/5 rad 144° 160 กรัม
1/2 เปลี่ยน /2 rad π rad 180° 200 กรัม
3/4 เปลี่ยน 3𝜏/4 rad 3 π/2 rad 270° 300 กรัม
1 เทิร์น 𝜏 ราด 2 π rad 360° 400 กรัม
  1. ^ ในขณะที่เรเดียนปกติถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของความยาวสองส่วน (เป็น "จำนวนบริสุทธิ์") Mohr และ Phillips [3]และอื่น ๆ [4] [5]ชี้ให้เห็นว่าปัญหาอาจเกิดขึ้นได้หากกำหนดมุมให้ไม่มีมิติ .
  2. ^ ในตารางนี้ 𝜏 หมายถึง2 π .

การแปลงระหว่างเรเดียนและองศา

ตามที่ระบุไว้ หนึ่งเรเดียนเท่ากับ . ดังนั้น หากต้องการแปลงจากเรเดียนเป็นองศา ให้คูณด้วย.

ตัวอย่างเช่น:

ในทางกลับกัน เมื่อต้องการแปลงจากองศาเป็นเรเดียน ให้คูณด้วย .

ตัวอย่างเช่น:

เรเดียนสามารถแปลงเป็นรอบ ( รอบสมบูรณ์) ได้โดยหารจำนวนเรเดียนด้วย 2 π .

เรเดียนถึงดีกรีการแปลงอนุพันธ์

ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมถูกกำหนดโดย , ที่ไหน คือรัศมีของวงกลม

ดังนั้นความสัมพันธ์ที่เท่ากันต่อไปนี้จึงเป็นจริง:

 [ตั้งแต่อา จำเป็นต้องกวาดเพื่อวาดวงกลมเต็ม]

ตามคำจำกัดความของเรเดียน วงกลมเต็มหมายถึง:

รวมความสัมพันธ์ทั้งสองข้างต้น:

การแปลงระหว่างเรเดียนและเกรเดียน

เรเดียนเท่ากับหนึ่งเปิดซึ่งเป็นตามคำนิยาม 400 Gradians (400 gonsหรือ 400 กรัม ) ดังนั้น หากต้องการแปลงจากเรเดียนเป็นเกรเดียน คูณด้วยและการแปลงจาก gradian เป็นเรเดียน คูณด้วย . ตัวอย่างเช่น,

ข้อดีของการวัดเป็นเรเดียน

มุมทั่วไปบางมุม วัดเป็นเรเดียน ทุกรูปหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่ในแผนภาพนี้มีรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ในแคลคูลัสและสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ ส่วนใหญ่นอกเหนือจากเรขาคณิตเชิงปฏิบัติมุมจะถูกวัดในระดับสากลเป็นเรเดียน เนื่องจากเรเดียนมี "ความเป็นธรรมชาติ" ทางคณิตศาสตร์ที่นำไปสู่การกำหนดผลลัพธ์ที่สำคัญจำนวนหนึ่งที่หรูหรายิ่งขึ้น

ที่โดดเด่นที่สุด ผลลัพธ์ในการวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถระบุได้อย่างสวยงาม เมื่ออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันแสดงเป็นเรเดียน ตัวอย่างเช่น การใช้เรเดียนนำไปสู่สูตร จำกัดอย่างง่าย

ซึ่งเป็นพื้นฐานของอัตลักษณ์อื่นๆ มากมายในวิชาคณิตศาสตร์ รวมทั้ง

[7]

เนื่องจากคุณสมบัติเหล่านี้และคุณสมบัติอื่นๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิติจึงปรากฏในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ไม่เกี่ยวข้องกับความหมายเชิงเรขาคณิตของฟังก์ชันอย่างชัดเจน (เช่น คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ , การประเมินปริพันธ์ และอื่นๆ) ในกรณีดังกล่าวทั้งหมด พบว่าอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเขียนได้อย่างเป็นธรรมชาติที่สุดในรูปแบบที่สอดคล้องกับการวัดมุมเรเดียนในบริบททางเรขาคณิต

ฟังก์ชันตรีโกณมิติยังมีการขยายอนุกรมที่เรียบง่ายและสง่างามเมื่อใช้เรเดียน ตัวอย่างเช่น เมื่อxอยู่ในหน่วยเรเดียนอนุกรมเทย์เลอร์สำหรับ sin  xจะกลายเป็น:

ถ้าxแสดงเป็นองศา อนุกรมจะมีตัวประกอบยุ่งเกี่ยวกับกำลังของπ /180: ถ้าxคือจำนวนองศา จำนวนเรเดียนคือy = π x / 180ดังนั้น

ในทำนองเดียวกัน ความสัมพันธ์ที่สำคัญทางคณิตศาสตร์ระหว่างฟังก์ชันไซน์และโคไซน์และฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (ดู ตัวอย่างเช่นสูตรของออยเลอร์ ) สามารถระบุได้อย่างสวยงามเมื่ออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันอยู่ในหน่วยเรเดียน (และไม่เป็นระเบียบ)

การวิเคราะห์มิติ

แม้ว่าเรเดียนเป็นหน่วยของการวัดก็เป็นปริมาณมิติ สามารถเห็นได้จากคำจำกัดความที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้: มุมที่ลดทอนลงที่ศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งวัดเป็นเรเดียน เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของส่วนโค้งที่ล้อมรอบกับความยาวของรัศมีของวงกลม เนื่องจากหน่วยการวัดถูกยกเลิก อัตราส่วนนี้จึงไม่มีมิติ

แม้ว่าพิกัดเชิงขั้วและทรงกลมจะใช้เรเดียนในการอธิบายพิกัดในสองและสามมิติ หน่วยนั้นได้มาจากพิกัดรัศมี ดังนั้นการวัดมุมจึงยังคงไม่มีมิติ (19)

ใช้ในวิชาฟิสิกส์

เรเดียนใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาฟิสิกส์เมื่อจำเป็นต้องมีการวัดเชิงมุม ตัวอย่างเช่นความเร็วเชิงมุมโดยทั่วไปวัดเป็นเรเดียนต่อวินาที (rad/s) หนึ่งรอบต่อวินาที เท่ากับ 2 πเรเดียนต่อวินาที

ในทำนองเดียวกันความเร่งเชิงมุมมักวัดเป็นเรเดียนต่อวินาทีต่อวินาที (rad/s 2 )

สำหรับวัตถุประสงค์ของการวิเคราะห์เชิงมิติ หน่วยของความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมคือ s -1และ s -2ตามลำดับ

ในทำนองเดียวกัน ความแตกต่างของเฟสของคลื่นสองคลื่นสามารถวัดเป็นเรเดียนได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น หากผลต่างเฟสของคลื่นสองคลื่นคือ ( k ⋅2 π ) เรเดียน โดยที่kเป็นจำนวนเต็ม จะพิจารณาเป็นเฟสในขณะที่หากความต่างเฟสของคลื่นสองคลื่นคือ ( k ⋅2 π + π ) โดยที่kเป็นจำนวนเต็มซึ่งถือเป็นแอนติเฟส

SI ทวีคูณ

คำนำหน้าเมตริกมีการจำกัดการใช้กับเรเดียน และไม่มีในวิชาคณิตศาสตร์ milliradian (mrad) เป็นพันเรเดียนและ microradian (μrad) เป็นล้านของเรเดียนกล่าวคือ1 RAD = 10 3 mrad = 10 6 μrad

มี 2 π × 1,000 milliradians (≈ 6283.185 mrad) ในวงกลม ดังนั้น milliradian ก็อยู่ต่ำกว่า1/6283ของมุมที่หักด้วยวงกลมเต็ม หน่วยวัดเชิงมุมของวงกลม "ของจริง" นี้ถูกใช้โดยผู้ผลิตกล้องส่องทางไกลโดยใช้ระยะ(stadiametric)ในเรติเคิความแตกต่างของลำแสงเลเซอร์มักจะวัดเป็นมิลลิเรเดียนเช่นกัน

ประมาณของ milliradian (0.001 RAD) จะถูกใช้โดยนาโตและองค์กรทางทหารอื่น ๆ ในการยิงปืนใหญ่และการกำหนดเป้าหมาย mil เชิงมุมแต่ละอันแสดงถึง1/6400 ของวงกลมและ is 15/8% หรือ 1.875% น้อยกว่ามิลลิเรเดียน สำหรับมุมเล็กๆ ที่มักพบในงานกำหนดเป้าหมาย ความสะดวกในการใช้หมายเลข 6400 ในการคำนวณนั้นมีค่ามากกว่าข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์เล็กน้อยที่แนะนำ ในอดีต ระบบปืนใหญ่อื่นๆ ได้ใช้การประมาณการที่แตกต่างกันถึง1/2000 π; เช่น สวีเดนใช้ the1/6300 streckและสหภาพโซเวียตใช้1/6000. โดยยึดตามมิลลิเรเดียน ค่ามิลลิเรเดียนของ NATO ให้ค่าประมาณ 1 ม. ที่พิสัย 1,000 ม. (ที่มุมเล็กๆ เช่นนั้น ความโค้งจะเล็กน้อย)

หน่วยที่เล็กกว่า เช่น ไมโครเรเดียน (μrad) และนาโนเรเดียน (nrad) ถูกใช้ในทางดาราศาสตร์ และยังสามารถใช้วัดคุณภาพลำแสงของเลเซอร์ด้วยไดเวอร์เจนซ์ที่ต่ำมาก ที่พบบ่อยมากขึ้นคือarc secondซึ่งก็คือพาย/648,000 rad (ประมาณ 4.8481 ไมโครเรเดียน) ในทำนองเดียวกัน คำนำหน้าที่มีขนาดเล็กกว่ามิลลิวินาทีอาจมีประโยชน์ในการวัดมุมที่เล็กมาก

ดูสิ่งนี้ด้วย

หมายเหตุ

อ้างอิง

  1. ^ "การแก้ปัญหา 8 ของ CGPM ที่ 20 ของการประชุม (1995)" สำนักงานระหว่างประเทศ des Poids et Mesures เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2018-12-25 . สืบค้นเมื่อ2014-09-23 .
  2. ^ พ็อตเตอร์ เมอร์เรย์ เอช.; Morrey, Charles B. , Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (ฉบับที่ 2), Reading: Addison-Wesley , p. APP-4, LCCN 76087042 
  3. ^ มอร์ เจซี; ฟิลลิปส์, WD (2015). "หน่วยไร้มิติใน SI". มาตรวิทยา . 52 (1): 40–47. arXiv : 1409.2794 . Bibcode : 2015Metro..52...40M . ดอย : 10.1088/0026-1394/52/1/40 . S2CID 3328342 . 
  4. ^ มิลส์ IM (2016). "ในหน่วยเรเดียนและวนรอบสำหรับมุมระนาบปริมาณ" มาตรวิทยา . 53 (3): 991–997. Bibcode : 2016Metro..53..991M . ดอย : 10.1088/0026-1394/53/3/991 .
  5. ^ "หน่วย SI ต้องปฏิรูปไปสู่ความสับสนหลีกเลี่ยง" กองบรรณาธิการ ธรรมชาติ . 548 (7666): 135. 7 สิงหาคม 2554. ดอย : 10.1038/548135b . PMID 28796224 . 
  6. ^ ISO 80000-3:2006
  7. อรรถเป็น บี ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เรเดียน" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-31 .
  8. ^ โอคอนเนอร์ เจเจ; โรเบิร์ตสัน, EF (กุมภาพันธ์ 2548) "ชีวประวัติของโรเจอร์ โคตส์" . ประวัติความเป็นมา MacTutor คณิตศาสตร์
  9. ^ โรเจอร์ Cotes เสียชีวิตในปี 1716. 1722 โดยญาติของเขาโรเบิร์ตสมิ ธ ได้เก็บรวบรวมและตีพิมพ์งานเขียนทางคณิตศาสตร์ Cotes' ในหนังสือฮาร์โม mensurarum ... ในบทบรรณาธิการแสดงความคิดเห็นโดย Smith เขาให้ค่าหนึ่งเรเดียนเป็นองศาเป็นครั้งแรก ดู: โรเจอร์ Cotes กับโรเบิร์ตสมิ ธ เอ็ด.ฮาร์โม mensurarum ... (เคมบริดจ์อังกฤษ: 1722) บท: Editoris notæโฆษณา Harmoniam mensurarum,ด้านบนของหน้า 95จากหน้า 95: หลังจากที่ระบุว่า 180° สอดคล้องกับความยาว π (3.14159…) ตามวงกลมหนึ่งหน่วย (เช่น πเรเดียน) Smith เขียนว่า: "Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57.2957795130 &c." (เมื่อหน่วยวัดตรีโกณมิติ 57.2957795130… [องศาต่อเรเดียน] จะปรากฏขึ้น)
  10. ^ ไอแซก Todhunter,เครื่องบินตรีโกณมิติ: สำหรับการใช้งานของวิทยาลัยและโรงเรียน ,พี 10 , เคมบริดจ์และลอนดอน: MacMillan, 1864 OCLC 500022958 
  11. ^ ลัคกี้ พอล (1953) [แปลหนังสือ 1424]. Siggel, A. (บรรณาธิการ). Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid ข. Mas'ud al-Kasi [ บทความเกี่ยวกับเส้นรอบวงของ al-Kashi ]. เบอร์ลิน: อคาเดมี แวร์ลาก. NS. 40.
  12. ^ Cajori, Florian (1929) ประวัติสัญกรณ์คณิตศาสตร์ . 2 . สิ่งพิมพ์โดเวอร์. น.  147–148 . ISBN 0-486-67766-4.
  13. ^ มูเยอร์ ธอส (1910). "คำว่า "เรเดียน" ในตรีโกณมิติ" . ธรรมชาติ . 83 (2110): 156. Bibcode : 1910Natur..83..156M . ดอย : 10.1038/083156a0 . S2CID 3958702 . ทอมสัน, เจมส์ (1910). "คำว่า "เรเดียน" ในตรีโกณมิติ" . ธรรมชาติ . 83 (2112): 217. Bibcode : 1910Natur..83..217T . ดอย : 10.1038/083217c0 . S2CID  3980250 .มัวร์, ธอส. (1910). "คำว่า "เรเดียน" ในตรีโกณมิติ" . ธรรมชาติ . 83 (2120): 459–460. Bibcode : 1910Natur..83..459M . ดอย : 10.1038/083459d0 . S2CID  3971449 .
  14. ^ มิลเลอร์ เจฟฟ์ (23 พ.ย. 2552) "การใช้คำศัพท์คณิตศาสตร์บางคำที่รู้จักเร็วที่สุด" . สืบค้นเมื่อ30 ก.ย. 2554 .
  15. เฟรเดอริก สปาร์คส์, Longmans' School Trigonometry , p. 6 ลอนดอน: Longmans, Green and Co. , 1890 OCLC 877238863 (ฉบับ 1891) 
  16. ^ โบรชัวร์ BIPM ปี 2019
  17. ^ ISO 80000-3:2006 ปริมาณและหน่วย - อวกาศและเวลา
  18. ฮอลล์ อาร์เธอร์ เกรแฮม; ฟริงค์, เฟร็ด กู๊ดริช (มกราคม 2452) "บทที่ 7 มุมทั่วไป [55] สัญญาณและข้อจำกัดในมูลค่า การใช้สิทธิ XV". เขียนที่ Ann Arbor รัฐมิชิแกน สหรัฐอเมริกา ตรีโกณมิติ ส่วนที่ 1: ตรีโกณมิติระนาบ นิวยอร์ก สหรัฐอเมริกา: Henry Holt and Company / Norwood Press / JS Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA NS. 73 . สืบค้นเมื่อ2017-08-12 .
  19. ^ สำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับความหมายนี้และการใช้งาน โปรดดูที่: Brownstein, KR (1997) "มุม - มาปฏิบัติต่อพวกเขาอย่างตรงไปตรงมา" วารสารฟิสิกส์อเมริกัน . 65 (7): 605–614. Bibcode : 1997AmJPh..65..605B . ดอย : 10.1119/1.18616 ., Romain, JE (1962). "มุมเป็นปริมาณพื้นฐานที่สี่" . วารสาร วิจัย ของ สํานัก มาตรฐาน แห่ง ชาติ ส่วน ข . 66B (3): 97. ดอย : 10.6028/jres.066B.012 ., LéVy-Leblond, Jean-Marc (1998). "มุมมิติและค่าคงที่สากล". วารสารฟิสิกส์อเมริกัน . 66 (9): 814–815. Bibcode : 1998AmJPh..6..814L . ดอย : 10.1119/1.18964 .และโรเมอร์, โรเบิร์ต เอช. (1999). "หน่วย—SI-Only หรือความหลากหลายทางวัฒนธรรม?" วารสารฟิสิกส์อเมริกัน . 67 (1): 13–16. Bibcode : 1999AmJPh..67...13R . ดอย : 10.1119/1.19185 .

ลิงค์ภายนอก

  • สื่อเกี่ยวกับRadianที่วิกิมีเดียคอมมอนส์