ลูกน้ำพีทาโกรัส

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา
ลูกน้ำพีทาโกรัส (531441:524288) บน C Playความไอคอนลำโพงเสียง 
เครื่องหมายจุลภาคพีทาโกรัสบน C โดยใช้ สัญกรณ์ ของBen Johnston โน้ตที่เขียนว่าต่ำกว่าบนไม้เท้า (B +++ ) จะสูงขึ้นเล็กน้อยในระดับเสียง (มากกว่า C )
เครื่องหมายจุลภาคพีทาโกรัส ( PC ) ที่กำหนดในการปรับจูนพีทาโกรัสเป็นความแตกต่างระหว่างเซมิโทน (A1 – m2) หรือช่วงเวลาระหว่าง โน้ตที่ เทียบเท่ากัน อย่างประสานกัน (จาก D ถึง C ) วินาที ที่ลดลงมีความกว้างเท่ากันแต่มีทิศทางตรงกันข้าม (จาก ถึง C ถึง D )

ในการปรับเสียงดนตรี เครื่องหมายจุลภาค ปีทาโกรัส (หรือเครื่องหมายจุลภาคไดโทนิก[a] ) ซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์และปราชญ์ในสมัยโบราณพีทาโกรัสเป็นช่วง สั้นๆ (หรือจุลภาค ) ที่มีอยู่ในการปรับเสียงพีทาโกรัสระหว่างโน้ตสองตัว ที่ เทียบเคียง ได้อย่างลงตัว เช่น C และ B ( เล่น ) หรือ D และC [1]เท่ากับอัตราส่วนความถี่(1.5) 122 7 =ไอคอนลำโพงเสียง  531441524288 1.01364 หรือประมาณ 23.46เซ็นต์ประมาณหนึ่งในสี่ของครึ่งเสียง (ระหว่าง 75:74 ถึง 74:73 [2] ) เครื่องหมายจุลภาคที่อารมณ์ทางดนตรีมักอ้างถึงการแบ่งเบาบรรเทาคือลูกน้ำพีทาโกรัส [3]

เครื่องหมายจุลภาคพีทาโกรัสยังสามารถกำหนดเป็นความแตกต่างระหว่างอะโพโทมพีทาโกรัสและลิมมาพีทาโกรัส[4] (กล่าวคือ ระหว่างเซมิ โทนสีและไดอะ โท นิก ตามที่กำหนดไว้ในการจูนพีทาโกรัส) หรือความแตกต่างระหว่างสิบสองในห้าที่สมบูรณ์แบบและ เจ็ดอ็อกเทฟหรือความแตกต่างระหว่างไดโทนพีทาโกรัสสามไดโทนกับหนึ่งอ็อกเทฟ (นี่คือสาเหตุที่เครื่องหมายจุลภาคพีทาโกรัสเรียกอีกอย่างว่าไดโทนิกคอมม่า )

วินาที ที่ลดลงในการจูนพีทาโกรัสถูกกำหนดให้เป็นความแตกต่างระหว่างลิมมาและอะโพโทม มันจึงเกิดขึ้นพร้อมกัน ดังนั้น ตรงข้ามกับลูกน้ำปีทาโกรัส และถือได้ว่าเป็น ลูกน้ำปีทาโกรัส จากมากไปน้อย (เช่น จาก C ถึง D ) เท่ากับประมาณ −23.46 เซ็นต์

ที่มา

ตามที่อธิบายไว้ในบทนำ เครื่องหมายจุลภาคพีทาโกรัสสามารถหามาได้หลายวิธี:

อันดับที่ 5 ที่สมบูรณ์แบบที่สุดมีอัตราส่วนความถี่ 3:2 มันถูกใช้ในการจูนพีทาโกรัส ร่วมกับอ็อกเทฟ เป็นปทัฏฐานเพื่อกำหนด อัตราส่วนความถี่ของโน้ตอื่น ๆ เมื่อเทียบกับโน้ตเริ่มต้นที่กำหนด

Apotome และ limma เป็นเซมิ โทนสองประเภทที่กำหนดไว้ในการปรับจูนพีทาโกรัส กล่าวคือ อะโพโทม (ประมาณ 113.69 เซ็นต์ เช่น จาก C ถึง C ) เป็นเซมิโทนแบบสีหรือแบบรวม (A1) ในขณะที่ลิมา (ประมาณ 90.23 เซ็นต์ เช่น จาก C ถึง D ) เป็นเซมิโทนไดอะโทนิกหรือไมเนอร์ วินาที (m2)

ไดโทน (หรือเมเจอร์ที่สาม ) คือช่วงที่เกิดจาก โทนเสียงหลัก สองโทน ในการจูนแบบพีทาโกรัส โทนเสียงหลักจะมีขนาดประมาณ 203.9 เซ็นต์ (อัตราส่วนความถี่ 9:8) ดังนั้นไดโทนของพีทาโกรัสจึงอยู่ที่ประมาณ 407.8 เซ็นต์

อ็อกเทฟ (7 × 1200 = 8400) กับส่วนที่ห้า (12 × 701.96 = 8423.52) ซึ่งแสดงร่วมกับแท่ง Cuisenaire (สีแดง (2) ใช้สำหรับ 1200 สีดำ (7) ใช้สำหรับ 701.96)
อ็อกเทฟ (1 × 1200 = 1200) เทียบกับไดโทน (3 × 407.82 = 1223.46) ซึ่งแสดงร่วมกับแท่ง Cuisenaire (สีแดง (2) ใช้สำหรับ 1200, สีม่วงแดง (4) ใช้สำหรับ 407.82)

ขนาด

ขนาดของลูกน้ำพีทาโกรัส วัด เป็น เซ็นต์คือ

หรือมากกว่านั้นในแง่ของอัตราส่วนความถี่ :

เครื่องหมายจุลภาคพีทาโกรัสแสดงเป็นช่องว่าง (ทางด้านขวา) ซึ่งทำให้ดาว 12 แฉกไม่สามารถปิดได้ ซึ่งดาวแสดงถึงมาตราส่วนพีทาโกรัส แต่ละบรรทัดเป็นตัวแทนของห้าที่สมบูรณ์แบบ ช่องว่างนั้นมีมุมศูนย์กลาง 7.038 องศา ซึ่งเท่ากับ 23.46% ของ 30 องศา

วงกลมที่ห้าและการเปลี่ยนแปลงที่ลงตัว

เครื่องหมายจุลภาคพีทาโกรัสเป็นสิบสองส่วนที่ปรับให้เหมาะสมอย่างเที่ยงธรรมในรูปแบบ Ben Johnston

เครื่องหมายจุลภาคพีทาโกรัสยังถือได้ว่าเป็นความคลาดเคลื่อนระหว่างสิบสองส่วน ห้าที่สมบูรณ์แบบ (อัตราส่วน 3:2) ( เล่น ) และเจ็ดอ็อกเทฟ (อัตราส่วน 2:1): ไอคอนลำโพงเสียง 

ขึ้นโดยลำดับที่ห้าที่สมบูรณ์แบบ
บันทึก ที่ห้า อัตราส่วนความถี่ อัตราส่วนทศนิยม
0 1 : 1   1
จี 1 3 : 2   1.5
ดี 2 9 : 4   2.25
อา 3 27 : 8   3.375
อี 4 81 : 16   5.0625
บี 5 243 : 32   7.59375
เอ ฟ 6 729 : 64   11.390625
ซี 7 2187 : 128   17.0859375
จี 8 6561 : 256   25.62890625
ดี 9 2526 : 512   38.443359375
เอ 10 59049 : 1024   57.6650390625
อี 11 177147 : 2048   86.49755859375
บี (≈ ค) 12 531441 : 4096   129.746337890625
จากน้อยไปมากโดยอ็อกเทฟ
บันทึก อ็อกเทฟ อัตราส่วนความถี่
0 1 : 1
1 2 : 1
2 4 : 1
3 8 : 1
4 16 : 1
5 32 : 1
6 64 : 1
7 128 : 1

ในตารางสเกลดนตรีในวงกลมที่ห้า ต่อไป นี้ เครื่องหมายจุลภาคพีทาโกรัสสามารถมองเห็นเป็นช่วงเล็ก ๆ ระหว่าง เช่น F และ G

มาตราส่วน 6 และ 6 * ไม่เหมือนกัน - แม้ว่าจะอยู่บนคีย์บอร์ดเปียโน ก็ตาม - แต่ สเกล จะต่ำกว่าลูกน้ำพีทาโกรัสหนึ่งลูกน้ำ การไม่คำนึงถึงความแตกต่างนี้จะนำไปสู่การเปลี่ยนแปลง ที่ประสาน กัน

คลี่วงกลมของส่วนที่ห้าออก pythagorean comma.svg

* มาตราส่วน 7 และ 5 ตามลำดับ 5 และ 7 แตกต่างกันในลักษณะเดียวกันด้วยเครื่องหมายจุลภาคพีทาโกรัสหนึ่งลูก ไม่ค่อยได้ใช้ ตาชั่งที่มีอุบัติเหตุเจ็ดครั้งเนื่องจากเครื่องชั่งแบบประสานเสียงที่มีอุบัติเหตุห้าครั้งจะถือว่าเทียบเท่ากัน

ช่วงเวลานี้มีนัยยะสำคัญสำหรับ รูปแบบ การปรับแต่ง ต่างๆ ของมาตราส่วนสีเพราะในดนตรีตะวันตก12 ในห้าที่สมบูรณ์แบบและเจ็ดอ็อกเทฟจะถือว่าเป็นช่วงเวลาเดียวกัน อารมณ์ที่เท่าเทียมกันทุกวันนี้ ระบบการปรับเสียงที่ใช้กันทั่วไปในชาติตะวันตก กระทบยอดนี้โดยทำให้แบนทุก ๆ ห้าด้วยลูกน้ำพีทาโกรัสหนึ่งในสิบสอง (ประมาณ 2 เซ็นต์) ทำให้เกิดอ็อกเทฟที่สมบูรณ์แบบ

อีกวิธีในการแสดงสิ่งนี้คือความถี่ที่ห้าเท่านั้นมีอัตราส่วนความถี่ (เทียบกับยาชูกำลัง) ที่ 3:2 หรือ 1.5 ต่อ 1 ในขณะที่เซมิโทนที่เจ็ด (อิงจากการแบ่งลอการิทึมที่เท่ากัน 12 ส่วนของอ็อกเทฟ) คือกำลังที่เจ็ดของรากที่สิบสองของสองหรือ 1.4983... ถึง 1 ซึ่งไม่เหมือนกัน (ออกประมาณ 0.1%) นำกำลังห้ายกกำลังสิบสอง จากนั้นลบเจ็ดอ็อกเทฟ แล้วคุณจะได้ลูกน้ำปีทาโกรัส (ส่วนต่างประมาณ 1.4%)

ประวัติ

คนแรกที่กล่าวถึงสัดส่วนของเครื่องหมายจุลภาคที่ 531441:524288 คือEuclidซึ่งใช้โทนเสียงทั้งหมดของการปรับจูนของพีทาโกรัสด้วยอัตราส่วน 9:8 อ็อกเทฟที่มีอัตราส่วน 2:1 และตัวเลข A = 262144 เขาสรุปว่าการเพิ่มจำนวนนี้ด้วยโทนเสียงทั้งหมดหกโทนทำให้ได้ค่า G ซึ่งมากกว่าค่าที่ได้โดยการเพิ่มด้วยอ็อกเทฟ (สองเท่า A) เขาให้ G เป็น 531441 [5]การคำนวณที่จำเป็นอ่าน:

การคำนวณ G:

การคำนวณสองเท่าของ A:

นักคณิตศาสตร์ชาวจีนได้ทราบเกี่ยวกับเครื่องหมายจุลภาคพีทาโกรัสตั้งแต่ 122 ปีก่อนคริสตกาล (การคำนวณมีรายละเอียดอยู่ในHuainanzi ) และประมาณ 50 ปีก่อนคริสตกาลChing Fangค้นพบว่าหากวัฏจักรของเศษส่วนที่ห้าสมบูรณ์ยังคงดำเนินต่อไปเกิน 12 ไปจนถึง 53 ความแตกต่างระหว่างระยะที่ 53 และระยะเริ่มต้นจะน้อยกว่าลูกน้ำพีทาโกรัสมาก ช่วงเวลาที่มีขนาดเล็กกว่านี้มากถูกตั้งชื่อว่าลูกน้ำของ Mercator ใน ภายหลัง ( ดู: ประวัติ 53 อารมณ์เท่ากัน )

ใน แนวคิด Lydian Chromatic Concept of Tonal Organisation (1953) ของ จอร์จ รัสเซลล์ขั้นตอนครึ่งขั้นระหว่าง Lydian Tonic และ 2 ในสเกลสีน้ำเงินเข้ม Altered Major และ Minor Auxiliary Diminished Blues ในทางทฤษฎีนั้นอิงตามช่วงเวลาของลูกน้ำพีทาโกรัส [6]

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

  1. ^ อย่าให้สับสนกับเครื่องหมายจุลภาค diatonicหรือที่รู้จักกันดีในชื่อ syntonic commaเท่ากับอัตราส่วนความถี่ 81:80 หรือประมาณ 21.51 เซ็นต์ ดู: จอห์นสตัน บี. (2006). "ความชัดเจนสูงสุด" และงานเขียนอื่น ๆ เกี่ยวกับดนตรีแก้ไขโดย Bob Gilmore Urbana: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอิลลินอยส์. ไอ 0-252-03098-2 .

อ้างอิง

  1. อาเพล, วิลลี (1969). พจนานุกรมดนตรีฮาร์วาร์ด , น.188. ไอ978-0-674-37501-7 . "...ความแตกต่างระหว่างสองเสียงครึ่งเสียงของมาตราส่วนพีทาโกรัส..." 
  2. กินส์บวร์ก, เจคูธีล (2003). สคริปตา มาเท มาติกา , p.287. ไอ978-0-7661-3835-3 . 
  3. คอยน์, ริชาร์ด (2010). The Tuning of Place: Sociable Spaces and Pervasive Digital Media , หน้า 45. ไอ978-0-262-01391-8 . 
  4. ค็อตทิก, เอ็ดเวิร์ด แอล. (1992). The Harpsichord Owner's Guide , p.151. ไอเอสบีเอ็น0-8078-4388-1 . 
  5. ↑ ยู คลิด: Katatome kanonos (lat. Sectio canonis ). อังกฤษ แปล ใน: Andrew Barker (Ed.): Greek Musical Writings. ฉบับที่ 2: Harmonic and Acoustic Theory , Cambridge Mass.: Cambridge University Press, 2004, pp. 190–208, here: p. 199.
  6. ^ รัสเซลล์ จอร์จ (2001) [1953]. แนวคิดสีลิเดียนของจอร์จ รัสเซลล์วรรณยุกต์ เล่มที่หนึ่ง: ศิลปะและวิทยาศาสตร์ของแรงโน้มถ่วงของวรรณยุกต์ (สี่ (การพิมพ์ครั้งที่สอง, แก้ไข, 2008) ed.) บรุกไลน์ รัฐแมสซาชูเซตส์: Concept Publishing Company น. 17, 57-59. ไอเอสบีเอ็น0-9703739-0-2 .