พีระมิด (เรขาคณิต)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา
ปิรามิดฐานปกติ
พีระมิดสแควร์
สัญกรณ์คอนเวย์รูปทรงหลายเหลี่ยม Y n
สัญลักษณ์ Schläfli () ∨ { n }
ใบหน้า n สามเหลี่ยม ,
1 n -gon
ขอบ 2 n
จุดยอด n + 1
กลุ่มสมมาตร C n v , [1, n ], (* nn ), สั่งซื้อ 2 n
กลุ่มการหมุน C n , [1, n ] + , ( nn ) ลำดับn
รูปทรงหลายเหลี่ยมคู่ ตนเองคู่
คุณสมบัติ นูน
1- โครงกระดูกของปิรามิดเป็นกราฟวงล้อ

ในรูปทรงเรขาคณิตเป็นปิรามิด (จากกรีก : πυραμίς PYRAMIS ) [1] [2]เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดขึ้นจากการเชื่อมต่อเหลี่ยมฐานและเป็นจุดที่เรียกว่าเอเพ็กซ์ขอบแต่ละฐานและรูปแบบของปลายสามเหลี่ยมเรียกว่าใบหน้าด้านข้างเป็นทรงกรวยที่มีฐานเหลี่ยม พีระมิดที่มีnฐานด้านเดียวมีn + 1จุด, n + 1ใบหน้าและ 2 nขอบ ปิรามิดทั้งหมดอยู่ในตัวเองคู่

พีระมิดขวามีปลายตรงเหนือเซนทรอยด์ของฐาน ปิรามิด Nonright จะเรียกว่าปิรามิดเฉียง พีระมิดปกติมีเหลี่ยมปกติฐานและมักจะบอกเป็นนัย ๆ ว่าจะเป็นปิรามิดที่เหมาะสม [3] [4]

เมื่อไม่ได้ระบุ ปิรามิดมักจะถือว่าเป็นพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติ เช่นเดียวกับโครงสร้างปิรามิดทางกายภาพ สามเหลี่ยม -based พีระมิดมากขึ้นมักจะเรียกว่าจัตุรมุข

ในบรรดาปิรามิดเฉียง เช่นสามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมมุมฉากพีระมิดสามารถเรียกได้ว่าเฉียบพลันถ้ายอดของมันอยู่เหนือด้านในของฐานและป้านหากยอดของมันอยู่เหนือด้านนอกของฐาน พีระมิดมุมฉากมีปลายด้านบนขอบหรือจุดสุดยอดของฐาน ในจัตุรมุข รอบคัดเลือกเหล่านี้จะเปลี่ยนไปตามใบหน้าที่ถือว่าเป็นฐาน

ปิรามิดเป็นชั้นของการprismatoids ปิรามิดสามารถเพิ่มเป็นสองเท่าเป็นbipyramids ได้โดยการเพิ่มจุดชดเชยที่สองที่อีกด้านหนึ่งของระนาบฐาน

ปิรามิดที่เหมาะสมกับฐานปกติ

พีระมิดที่ถูกต้องกับฐานปกติมีด้านหน้าจั่วสามเหลี่ยมสมมาตรคือ C nวีหรือ [1, n ] คำสั่ง 2 n สามารถกำหนดสัญลักษณ์ชลาฟลีแบบขยาย( ) ∨ { n } แทนจุด ( ) ต่อ (ออฟเซ็ตมุมฉาก) กับรูปหลายเหลี่ยมปกติ {n} การดำเนินการเข้าร่วมจะสร้างขอบใหม่ระหว่างจุดยอดคู่ทั้งหมดของตัวเลขทั้งสองที่เชื่อมกัน [5]

สามเหลี่ยมหรือพีระมิดสามเหลี่ยมกับทุกรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าใบหน้ากลายเป็นปกติ จัตุรมุขหนึ่งของฉันมิตรแข็งกรณีสมมาตรที่ต่ำกว่าของพีระมิดสามเหลี่ยมคือ C 3vซึ่งมีฐานสามเหลี่ยมด้านเท่า และ 3 ด้านสามเหลี่ยมหน้าจั่วเหมือนกัน ปิรามิดตารางและห้าเหลี่ยมนอกจากนี้ยังสามารถประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมนูนปกติซึ่งในกรณีที่พวกเขาจะมีจอห์นสันของแข็ง

หากขอบทั้งหมดของพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส (หรือรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใดๆ) สัมผัสกับทรงกลมโดยที่ตำแหน่งเฉลี่ยของจุดสัมผัสอยู่ที่ศูนย์กลางของทรงกลม แสดงว่าปิรามิดเป็นCanonicalและมีรูปร่างเป็นครึ่งหนึ่งของแปดด้านปกติ.

พีระมิดที่มีฐานหกเหลี่ยมหรือสูงกว่าจะต้องประกอบด้วยสามเหลี่ยมหน้าจั่ว พีระมิดหกเหลี่ยมที่มีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจะเป็นรูปที่แบนราบทั้งหมด และรูปหกเหลี่ยมหรือสูงกว่าจะไม่มีรูปสามเหลี่ยมมาบรรจบกันเลย

ปิรามิดธรรมดา
Digonal สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม หกเหลี่ยม แปดเหลี่ยม Enneagonal เหลี่ยม...
ไม่เหมาะสม ปกติ ด้านเท่ากันหมด หน้าจั่ว
ปิรามิดทรงเหลี่ยม1.png จัตุรมุข.svg พีระมิดสี่เหลี่ยม.png พีระมิดห้าเหลี่ยม.png พีระมิดหกเหลี่ยม.png พีระมิดหกเหลี่ยม1.png พีระมิดแปดเหลี่ยม1.png ปิรามิด Enneagonal1.png พีระมิดทศนิยม1.png
พีระมิดในแนวทแยงทรงกลม.png พีระมิดตรีโกณมิติทรงกลม.png พีระมิดสี่เหลี่ยมทรงกลม.png พีระมิดห้าเหลี่ยมทรงกลม.png พีระมิดหกเหลี่ยมทรงกลม.png พีระมิดทรงกลมหกเหลี่ยม.png พีระมิดทรงกลมแปดเหลี่ยม.png พีระมิดทรงกลม enneagonal.png พีระมิดฐานสิบแปดเหลี่ยม.png

ปิรามิดดาวขวา

ปิรามิดที่เหมาะสมกับรูปหลายเหลี่ยมดาวประจำฐานที่เรียกว่าปิรามิดดาว [6]ตัวอย่างเช่น พีระมิดรูปดาวห้าแฉกมีฐานรูปดาวห้าแฉกและด้านสามเหลี่ยมที่ตัดกัน 5 ด้าน

Pentagram pyramid.png

ปิรามิดด้านขวาที่มีฐานไม่ปกติ

ตัวอย่างปิรามิดด้านขวาทั่วไปที่มียอดเหนือเซนทรอยด์ของรูปหลายเหลี่ยมฐาน

ปิรามิดที่เหมาะสมสามารถตั้งชื่อเป็น () ∨Pที่ () เป็นจุดปลาย∨เป็นผู้ประกอบการเข้าร่วมและ P เป็นรูปหลายเหลี่ยมฐาน

หน้าจั่วสามเหลี่ยมจัตุรมุขขวาสามารถเขียนเป็น () ∨ [() ∨ {}] ในขณะที่เข้าร่วมของจุดไปยังหน้าจั่วสามเหลี่ยมฐานเป็น [() ∨ ()] ∨ {} หรือ {} ∨ {} เป็น รวม (ออฟเซ็ตมุมฉาก) ของสองเซ็กเมนต์มุมฉาก, disphenoid แนวทแยง , ที่มี 4 ใบหน้าสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีความสมมาตรC 1vจากการวางแนวปลายฐานสองแบบที่แตกต่างกัน และ C 2vในสมมาตรแบบเต็ม

สี่เหลี่ยมปิรามิดที่ถูกต้องเขียนเป็น () ∨ [{} × {}] และขนมเปียกปูนปิรามิดเป็น () ∨ [{} + {}] ทั้งสองมีความสมมาตร C 2V

ปิรามิดที่ถูกต้อง
พีระมิดขวาสี่เหลี่ยม.png ปิรามิดขวาขนมเปียกปูน.png
พีระมิดสี่เหลี่ยม ปิรามิดขนมเปียกปูน

ปริมาณ

ปริมาณของปิรามิด (ยังกรวยใด ๆ ) เป็นโดยที่bคือพื้นที่ของฐานและhความสูงจากฐานถึงยอด วิธีนี้ใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ปกติหรือไม่ปกติ และตำแหน่งใดๆ ของยอด โดยมีเงื่อนไขว่าhถูกวัดเป็นระยะห่างในแนวตั้งฉากจากระนาบที่มีฐาน ใน 499 AD Aryabhataเป็นนักคณิตศาสตร์ - นักดาราศาสตร์จากยุคคลาสสิกของคณิตศาสตร์อินเดียและอินเดียดาราศาสตร์ใช้วิธีการนี้ในAryabhatiya (มาตรา 2.6)

สูตรสามารถพิสูจน์ได้อย่างเป็นทางการโดยใช้แคลคูลัส โดยความคล้ายคลึงกันมิติเชิงเส้นของหน้าตัดที่ขนานกับฐานจะเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากยอดถึงฐาน ปัจจัยมาตราส่วน (ปัจจัยสัดส่วน) คือ, หรือ โดยที่hคือความสูง และyคือระยะทางตั้งฉากจากระนาบของฐานถึงส่วนตัดขวาง เนื่องจากพื้นที่ของภาคตัดขวางใดๆ เป็นสัดส่วนกับกำลังสองของตัวประกอบมาตราส่วนของรูปร่างพื้นที่ของภาคตัดขวางที่ความสูงyคือหรือเนื่องจากทั้งbและhเป็นค่าคงที่. ปริมาตรถูกกำหนดโดยปริพันธ์

สมการเดียวกันคือ ,ยังยึดกรวยกับฐานใดๆ สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยข้อโต้แย้งที่คล้ายกับข้อข้างต้น ดูปริมาณของกรวย

ตัวอย่างเช่น ปริมาตรของปิรามิดที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติด้านn ที่มีความยาวด้านsและความสูงเป็นhคือ

สามารถหาสูตรนี้ได้โดยไม่ต้องมีแคลคูลัสสำหรับปิรามิดที่มีฐานสี่เหลี่ยม พิจารณาลูกบาศก์หน่วย. ลากเส้นจากจุดศูนย์กลางของลูกบาศก์ไปยังจุดยอดทั้ง 8 จุด แบ่งลูกบาศก์ออกเป็นปิรามิดสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเท่าๆ กัน 6 อันที่มีพื้นที่ฐาน 1 และสูง 1/2 ปิรามิดแต่ละอันมีปริมาตร 1/6 อย่างชัดเจน จากนี้เราอนุมานปริมาตรปิรามิดนั้น = ความสูง × พื้นที่ฐาน / 3

ถัดไปขยายลูกบาศก์สม่ำเสมอในสามทิศทางโดยจำนวนเงินที่เท่ากันเพื่อให้เกิดขอบแข็งสี่เหลี่ยมมี, BและCมีปริมาณของแข็งabc ปิรามิดทั้ง 6 อันภายในก็ขยายออกเช่นเดียวกัน และปิรามิดแต่ละตัวมีปริมาตรabc /6 เท่ากัน เนื่องจากปิรามิดคู่มีความสูงa /2, b /2 และc /2 เราจะเห็นปริมาตรปิรามิด = ความสูง × พื้นที่ฐาน / 3 อีกครั้ง

เมื่อสามเหลี่ยมด้านเท่าด้านเท่า สูตรของปริมาตรคือ

สูตรนี้ใช้กับn = 2, 3, 4 และ 5 เท่านั้น และยังครอบคลุมกรณีn = 6 ซึ่งปริมาตรเท่ากับศูนย์ (กล่าวคือ ความสูงของปิรามิดเป็นศูนย์) [ ต้องการการอ้างอิง ]

พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวของพีระมิดคือโดยที่Bคือพื้นที่ฐานPคือปริมณฑลฐานและความสูงเอียง โดยที่hคือความสูงของปิรามิดและrคือรัศมีของฐาน

เซนทรอยด์

เซนทรอยด์ของพีระมิดตั้งอยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อปลายเพื่อเซนทรอยด์ของฐาน สำหรับพีระมิดที่เป็นของแข็ง จุดเซนทรอยด์คือ 1/4 ของระยะห่างจากฐานถึงยอด

พีระมิดnมิติ

พีระมิด 2 มิติเป็นรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นจากขอบฐานที่เชื่อมต่อไปยังจุดที่ noncolinear เรียกว่าเอเพ็กซ์

พีระมิด 4 มิติเรียกว่าพีระมิดรูปทรงหลายหน้าซึ่งสร้างโดยรูปทรงหลายเหลี่ยมในไฮเปอร์เพลน 3 ช่องว่างของ 4 สเปซ โดยมีอีกจุดหนึ่งอยู่นอกไฮเปอร์เพลนนั้น

ปิรามิดมิติสูงถูกสร้างขึ้นในทำนองเดียวกัน

ครอบครัวของsimplicesเป็นตัวแทนของปิรามิดในมิติใด ๆ ที่เพิ่มขึ้นจากรูปสามเหลี่ยม , จัตุรมุข , 5-cell , 5-simplexฯลฯซิมเพล็กซ์ n มิติมีจุดยอดต่ำสุดn+1 โดย จุดยอดทุกคู่เชื่อมต่อกันด้วยขอบทั้งสามทั้งหมด ของจุดยอดที่กำหนดใบหน้า จุดสี่เท่าทั้งหมดที่กำหนดเซลล์จัตุรมุขเป็นต้น

พีระมิดทรงเหลี่ยม

ใน 4 มิติเรขาคณิตเป็นปิรามิด polyhedralเป็น4 polytopeสร้างฐานรูปทรงหลายเหลี่ยมมือถือและปลายจุด ด้านข้างแง่มุมที่เป็นเซลล์พีระมิดแต่ละสร้างโดยหนึ่งใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมฐานและปลาย จุดยอดและขอบของพีระมิดรูปทรงหลายหน้าเป็นตัวอย่างของกราฟยอด กราฟที่เกิดขึ้นจากการเพิ่มจุดยอดหนึ่งจุด (ยอด) ลงในกราฟระนาบ (กราฟของฐาน)

ปกติ5 เซลล์ (หรือ 4- Simplex ) เป็นตัวอย่างของหนึ่งพีระมิด tetrahedral รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มี circumradii น้อยกว่า 1 สามารถสร้างพีระมิดหลายหน้าที่มีด้านจัตุรมุขปกติได้ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดvขอบeและหน้าfสามารถเป็นฐานบนพีระมิดหลายหน้าที่มีจุดยอดv+1 , ขอบe+v , ใบหน้าf+eและเซลล์ 1+f

พีระมิดรูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติที่มีความสมมาตรตามแนวแกนสามารถมองเห็นได้ในรูปแบบ 3 มิติด้วยไดอะแกรม Schlegelซึ่งเป็นการฉายภาพ 3 มิติที่วางปลายยอดไว้ที่กึ่งกลางของรูปทรงหลายเหลี่ยมฐาน

พีระมิดฐานรูปทรงหลายเหลี่ยมด้านเท่ากันหมด ( แผนภาพชเลเกล )
สมมาตร [1,1,4] [1,2,3] [1,3,3] [1,4,3] [1,5,3]
ชื่อ พีระมิดสี่เหลี่ยมจตุรัส พีระมิดปริซึมสามเหลี่ยม ปิรามิดทรงสี่เหลี่ยม ปิรามิดลูกบาศก์ พีระมิดแปดด้าน ปิรามิดไอโคซาเฮดรัล

ดัชนีSegmentochora [7]
K4.4 K4.7 K4.1 K4.26.1 K4.3 K4.84
ส่วนสูง 0.707107 0.790569 0.790569 0.500000 0.707107 0.309017
รูปภาพ
(ฐาน)
พีระมิดสี่เหลี่ยมพีระมิด.png ปริซึมสามเหลี่ยมพีระมิด.png Schlegel wireframe 5-cell.png ลูกบาศก์พีระมิด.png พีระมิดแปดด้าน.png ปิรามิด Icosahedral.png
ฐาน
พีระมิดสี่เหลี่ยม

ปริซึมสามเหลี่ยม
จัตุรมุข คิวบ์ รูปแปดด้าน ไอโคซาเฮดรอน

4-polytope นูนใด ๆ สามารถแบ่งออกเป็นปิรามิดรูปทรงหลายหน้าโดยการเพิ่มจุดภายในและสร้างหนึ่งปิรามิดจากแต่ละด้านไปยังจุดศูนย์กลาง สิ่งนี้มีประโยชน์สำหรับการคำนวณปริมาณ

ไฮเปอร์โวลูม 4 มิติของพีระมิดที่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมคือ 1/4 ของปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมฐานคูณด้วยความสูงตั้งฉาก เมื่อเทียบกับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาว 1/2 ของฐานคูณความสูงและปริมาตรของพีระมิด คือ 1/3 ของพื้นที่ฐานคูณความสูง

ปริมาตรพื้นผิวสามมิติของพีระมิดรูปทรงหลายหน้าคือโดยที่BคือปริมาตรฐานAคือพื้นที่ผิวฐาน และ L คือความสูงเอียง (ความสูงของเซลล์เสี้ยมด้านข้าง)โดยที่hคือความสูงและrคือรัศมี

ดูเพิ่มเติม

อ้างอิง

  1. ^ πυραμίςเฮนรีจอร์จ Liddell, โรเบิร์ตสกอตต์กรีกพจนานุกรมอังกฤษในห้องสมุดดิจิตอลเซอุส
  2. คำว่า "เค้กข้าวสาลีอบที่หมักน้ำผึ้ง"; ปิรามิดอียิปต์ได้รับการตั้งชื่อตามรูปแบบของมัน ( RSP Beekes , Etymological Dictionary of Greek , Brill, 2009, p. 1261).
  3. William F. Kern, James R Bland, Solid Mensuration with proofs , 1938, น. 46
  4. ^ พ็อกเก็ตบุ๊คของวิศวกรโยธา: หนังสืออ้างอิงสำหรับวิศวกรที่ เก็บถาวร 2018-02-25 ที่ Wayback Machine
  5. ^ NW Johnson :เรขาคณิตและการเปลี่ยนแปลง , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5บทที่ 11:กลุ่มสมมาตรจำกัด , 11.3 พีระมิด ปริซึม และแอนติปริซึม
  6. ^ Wenninger แมกนัสเจ (1974) รูปทรงหลายเหลี่ยมรุ่นมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์พี 50, ISBN 978-0-521-09859-5, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2013-12-11.
  7. ^ นูน Segmentochora เก็บไว้ 2014/04/19 ที่ Wayback เครื่องดร. ริชาร์ด Klitzing สมมาตร: วัฒนธรรมและวิทยาศาสตร์ฉบับ 11, Nos. 1-4, 139–181, 2000

ลิงค์ภายนอก