Polytope

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา
ดาวดวงแรกของ octahedron.png ดาวดวงแรกของ dodecahedron.png ดาวดวงที่สองของ dodecahedron.png ดวงที่สามของ dodecahedron.png ดาวที่สิบหกของ icosahedron.png ดาวดวงแรกของ icosahedron.png
รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นโพลิโทปสามมิติ
รูปหลายเหลี่ยมคือโพลิโทป 2 มิติ รูปหลายเหลี่ยมสามารถกำหนดลักษณะตามเกณฑ์ต่างๆ ตัวอย่างบางส่วน ได้แก่ เปิด (ไม่รวมขอบเขต) วงจรที่มีขอบเขตเท่านั้น (ละเว้นภายใน) ปิด (รวมทั้งขอบเขตและภายใน) และตัดตัวเองด้วยความหนาแน่นที่แตกต่างกันของภูมิภาคต่างๆ

ใน เรขาคณิตเบื้องต้น โพ ลิโท ป คือวัตถุเรขาคณิตที่มี ด้าน แบน ( หน้า ) มันเป็นลักษณะทั่วไปในมิติจำนวนเท่าใดก็ได้ของรูปทรงหลายเหลี่ยม สาม มิติ โพลิโทป อาจมีอยู่ในจำนวนทั่วไปของมิติnเป็น โพลิโทป nมิติ หรือn -โพ ลิโทในบริบทนี้ "ด้านแบน" หมายความว่าด้านข้างของ a ( k +1) -polytope ประกอบด้วยk -polytopes ที่อาจมี ( k -1) -polytopes เหมือนกัน ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมสองมิติคือ 2-โพลิโทป และรูปทรงหลายเหลี่ยมสามมิติคือโพลีโทปสามมิติ

บางทฤษฎีสรุปแนวคิดเพิ่มเติมเพื่อรวมวัตถุเช่นapeirotopesและtessellations ที่ไม่มีขอบเขต การสลายตัวหรือการเรียงซ้อนของ manifoldsโค้งรวมถึงpolyhedra ทรงกลม และ polytopes นามธรรม set -theoretic

Polytopes ที่มีมากกว่าสามมิติถูกค้นพบครั้งแรกโดยLudwig Schläfliก่อนปี 1853 ซึ่งเรียกรูปทรงดังกล่าวว่าpolyschem [1]คำว่าpolytop ใน ภาษาเยอรมันได้รับการประกาศเกียรติคุณจากนักคณิตศาสตร์Reinhold Hoppeและได้รับการแนะนำให้รู้จักกับนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษในชื่อpolytope โดย Alicia Boole Stott

แนวทางสู่คำนิยาม

ทุกวันนี้ คำว่า โพลิ โท ป เป็นคำกว้างๆ ที่ครอบคลุมวัตถุหลายประเภท และคำจำกัดความต่างๆ ปรากฏในวรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ คำจำกัดความเหล่านี้จำนวนมากไม่เท่ากัน ส่งผลให้ชุดอ็อบเจ็กต์ที่ทับซ้อนกันต่างกันถูกเรียกว่า โพลิ โทพวกเขาแสดงวิธีการที่แตกต่างกันในการสรุปภาพรวมของโพลิโทปนูนเพื่อรวมวัตถุอื่นที่มีคุณสมบัติคล้ายคลึงกัน

วิธีการดั้งเดิมตามมาด้วยลุดวิกชลาฟลี, ธอ โรลด์ กอสเซ็ ต และคนอื่นๆ อย่างกว้างๆ เริ่มต้นด้วยการขยายความคล้ายคลึงกันออกเป็นสี่มิติหรือมากกว่า ของแนวคิดเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมและรูปทรงหลายเหลี่ยมตามลำดับในสองและสามมิติ [2]

ความพยายามที่จะสรุปลักษณะ เฉพาะของ ออยเลอร์ของรูปทรงหลายเหลี่ยมไปจนถึงโพลิโทปที่มีมิติที่สูงกว่า นำไปสู่การพัฒนาโทโพโลยีและการบำบัดการสลายตัวหรือCW-complexที่คล้ายคลึงกับโพลิโทป [3]ในแนวทางนี้ โพลิโทปอาจถูกมองว่าเป็นเทสเซลเลชันหรือการสลายตัวของท่อร่วมที่ ให้ มา บางส่วน ตัวอย่างของวิธีการนี้กำหนดโพลิโทปเป็นชุดของจุดที่ยอมรับการสลายตัวแบบ ง่าย ในคำจำกัดความนี้ โพลิโทปคือการรวมกันของความเรียบง่าย มากมายด้วยคุณสมบัติเพิ่มเติมที่สำหรับสองซิมเพล็กซ์ใดๆ ที่มีทางแยกที่ไม่ว่างเปล่า ทางแยกของพวกมันคือจุดยอด ขอบ หรือด้านที่มีมิติสูงกว่าของทั้งสอง [4]อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้ไม่อนุญาตให้ดาวฤกษ์ที่มีโครงสร้างภายใน และถูกจำกัดไว้เฉพาะบางพื้นที่ของคณิตศาสตร์

การค้นพบรูปทรงหลายเหลี่ยมของดาวและโครงสร้างที่ไม่ธรรมดาอื่นๆ นำไปสู่แนวคิดที่ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นพื้นผิวที่มีขอบ โดยไม่สนใจภายใน [5]ในแสงนี้ โพลิโทปนูนนูนในp -space เทียบเท่ากับการ ปูกระเบื้อง ของ ( p -1 ) -sphere ในขณะที่ส่วนอื่นๆ อาจเป็นการปูกระเบื้องของพื้นผิวอื่น ๆ ที่เป็น รูปไข่แบน หรือtoroidal ( p -1) - ดูการปูกระเบื้องรูปไข่และ รูปทรงหลาย เหลี่ยมtoroidal รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นพื้นผิวที่มีใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยม4-polytopeเป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซที่มีด้าน (เซลล์ ) เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม และอื่นๆ

แนวคิดในการสร้างโพลิโทปที่สูงขึ้นจากมิติที่ต่ำกว่านั้นบางครั้งก็ขยายลงมาในมิติด้วย ( edge ) ถูกมองว่าเป็น1-polytope ที่ล้อมรอบด้วยจุดคู่ และจุดหรือจุดยอดเป็น 0-polytope วิธีนี้ใช้เป็นตัวอย่างในทฤษฎีนามธรรมโพลิโท

ในสาขาคณิตศาสตร์บางสาขา คำว่า "โพลีโทป" และ "รูปทรงหลายเหลี่ยม" ถูกใช้ในความหมายที่ต่างออกไป: รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นวัตถุทั่วไปในทุกมิติ (เรียกว่าโพลิโทปในบทความนี้) และ โพลิ โท ป หมายถึงรูปทรงหลายเหลี่ยม ที่มี ขอบเขต [6]คำศัพท์นี้มักจะจำกัดเฉพาะโพลิโทปและโพ ลิเฮ ดรา ที่ นูน ด้วยคำศัพท์นี้ รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนคือจุดตัดของจำนวนฮาล์ฟสเปซ จำนวนจำกัด และถูกกำหนดโดยด้านข้างในขณะที่โพลิโทปนูนคือเปลือกนูนของจุดจำนวนจำกัดและถูกกำหนดโดยจุดยอดของมัน

Polytopes ในจำนวนที่ต่ำกว่ามีชื่อมาตรฐาน:

มิติ
ของโพลีโทป
คำอธิบาย[7]
-1 นูลลิโทป
0 โมนอน
1 ดิออน
2 รูปหลายเหลี่ยม
3 รูปทรงหลายเหลี่ยม
4 Polychoron

องค์ประกอบ

โพลิโทปประกอบด้วยองค์ประกอบที่มีมิติต่างกัน เช่น จุดยอด ขอบ ใบหน้า เซลล์ และอื่นๆ คำศัพท์สำหรับสิ่งเหล่านี้ไม่สอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์ในผู้เขียนหลายคน ตัวอย่างเช่น ผู้เขียนบางคนใช้ใบหน้าเพื่ออ้างถึง องค์ประกอบมิติ ( n - 1) ในขณะที่คนอื่นใช้ ใบหน้าเพื่อแสดงถึง 2 ใบหน้าโดยเฉพาะ ผู้เขียนอาจใช้j -face หรือj -facet เพื่อระบุองค์ประกอบของมิติj บางคนใช้ขอบเพื่ออ้างถึงสันเขา ในขณะที่HSM Coxeterใช้เซลล์เพื่อแสดง องค์ประกอบมิติ ( n − 1) [8] [ ต้องการการอ้างอิง ]

ข้อกำหนดที่ใช้ในบทความนี้มีอยู่ในตารางด้านล่าง:

มิติ
ขององค์ประกอบ
เทอม
(ในn -polytope)
-1 โมฆะ (จำเป็นใน ทฤษฎี นามธรรม ) [7]
0 จุดสุดยอด
1 ขอบ
2 ใบหน้า
3 เซลล์
 
เจ j -face – องค์ประกอบของอันดับj = -1, 0, 1, 2, 3, ..., n
 
n − 3 พีค – ( n − 3)-face
n − 2 สันหรือส่วนย่อย – ( n − 2)-face
n − 1 Facet – ( n − 1)-face
โพลิโทปนั่นเอง

โพลิโทป nมิติล้อมรอบด้วยหลายมิติ ( n 1  ) มิติ ด้านเหล่านี้คือโพลิโทปซึ่งมีด้านเป็นแนวสันเขา ( n  - 2) มิติของโพลิโทปดั้งเดิม สันเขาทุกอันเกิดขึ้นเป็นจุดตัดของสองด้าน (แต่จุดตัดของสองด้านไม่จำเป็นต้องเป็นสัน) แนวสันเป็นโพลิโทปอีกครั้งที่มีด้านทำให้เกิดขอบเขต ( n  - 3) มิติของโพลิโทปดั้งเดิม และอื่นๆ โพลีโทปย่อยที่มีขอบเขตเหล่านี้อาจเรียกว่าfacesหรือเฉพาะ ใบหน้า j -dimensional หรือj -faces ใบหน้า 0 มิติเรียกว่าจุดยอดและประกอบด้วยจุดเดียว ใบหน้า 1 มิติเรียกว่าขอบและประกอบด้วยส่วนของเส้น ใบหน้า 2 มิติประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมและใบหน้า 3 มิติ ซึ่งบางครั้งเรียกว่าเซลล์ประกอบด้วย รูปทรง หลาย เหลี่ยม

คลาสสำคัญของโพลิโทป

โพลิโทปนูน

โพลิ โทปอาจนูนได้ โพลิโทปนูนเป็นโพลิโทปชนิดที่ง่ายที่สุด และเป็นพื้นฐานสำหรับการสรุปแนวคิดของโพลิโทปในลักษณะทั่วไปที่แตกต่างกันหลายประการ โพลิโทปนูนบางครั้งถูกกำหนดให้เป็นจุดตัดของชุดของช่องว่างครึ่งหนึ่ง คำจำกัดความนี้อนุญาตให้โพลิโทปไม่มีขอบเขตหรือจำกัด Polytopes ถูกกำหนดในลักษณะนี้ เช่น ในการโปรแกรมเชิงเส้น โพลิ โทปมีขอบเขตหากมีลูกบอลรัศมีจำกัดที่บรรจุมันไว้ กล่าวกันว่าโพลิโทปจะชี้ ขึ้น หากมีจุดยอดอย่างน้อยหนึ่งจุด โพลิโทปที่ไม่ว่างเปล่าที่มีขอบเขตทุกอันจะแหลม ตัวอย่างของโพลิโทปที่ไม่มีปลายแหลมคือ set. โพลิ โทปมีขอบเขตถ้าถูกกำหนดในแง่ของจำนวนจำกัดของวัตถุ เช่น เป็นจุดตัดของจำนวนจำกัดของระนาบ-ครึ่ง เป็น โพลิโทป อินทิกรัลถ้าจุดยอดทั้งหมดมีพิกัดเป็นจำนวนเต็ม

โพลิโทป นูนบางคลาสเป็นโพลิโทปสะท้อน แสง อินทิกรัล-polytope จะสะท้อนกลับถ้าสำหรับเมทริกซ์อินทิกรัล บางตัว ,, ที่ไหนหมายถึงเวกเตอร์ของทุกตัว และความเหลื่อมล้ำนั้นหมายถึงองค์ประกอบ จากนิยามนี้ว่าจะสะท้อนกลับก็ต่อเมื่อเพื่อทุกสิ่ง. กล่าวอีกนัยหนึ่ง a-ขยายของแตกต่างกันในแง่ของจุดขัดแตะจำนวนเต็มจาก-ขยายของโดยจุดขัดแตะที่ได้รับบนขอบเขตเท่านั้น อย่างเท่าเทียมกันจะสะท้อนแสงได้ก็ต่อเมื่อโพลีโทปคู่ เป็นโพลิโทปอินทิกรัล [9]

โพลิโทปปกติ

โพลิโทป ปกติมีระดับความสมมาตรสูงสุดของโพลิโทปทั้งหมด กลุ่มสมมาตรของโพลิโทปปกติทำหน้าที่ถ่ายทอดบนธง ดังนั้น โพลิโทปคู่ของโพลิโทปปกติก็เป็นปกติเช่นกัน

polytope ปกติมีสามประเภทหลักซึ่งเกิดขึ้นในหลายมิติ:

มิติที่สอง สาม และสี่รวมถึงตัวเลขปกติที่มีความสมมาตรห้าเท่าและบางส่วนเป็นดาวฤกษ์ที่ไม่นูน และในสองมิติมีรูปหลายเหลี่ยมปกติ จำนวนไม่สิ้นสุด ของสมมาตรn เท่า ทั้งแบบนูนและ (สำหรับ n ≥ 5) ดาว แต่ในมิติที่สูงกว่านั้นไม่มีโพลิโทปปกติอื่นๆ [2]

ในสามมิติ มวลสารPlatonic ที่นูนออกมานั้นรวมถึง dodecahedronที่สมมาตรห้าเท่าและicosahedronและยังมีรูปทรงหลายเหลี่ยม Kepler-Poinsot สี่ดาวที่ มีความสมมาตรห้าเท่า ทำให้รวมเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเก้าแบบ

ในสี่มิตินั้น4-polytopes ปกติรวมถึงของแข็งนูนเพิ่มเติมหนึ่งอันที่มีความสมมาตรสี่เท่าและอีกสองอันที่มีสมมาตรห้าเท่า มี4-polytopes Schläfli-Hess 4-polytopes สิบดาว โดยทั้งหมดมีความสมมาตรห้าเท่า โดยให้ 4-polytopes ปกติทั้งหมดสิบหกชิ้น

โพลิโทปดาว

โพลิโทปที่ไม่นูนอาจตัดกันในตัวเอง โพลิ โทปในคลาสนี้รวมถึงโพ ลิโท รูปดาว โพลิโทปปกติบางตัวเป็นดาว [2]

คุณสมบัติ

ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์

ตั้งแต่ (เติม) นูน polytope Pในขนาดหดตัวถึงจุดหนึ่งลักษณะออยเลอร์ ของขอบเขต ∂P ถูกกำหนดโดยผลรวมสลับกัน:

, ที่ไหนคือจำนวน- ใบหน้ามีมิติ

สรุปสูตรของออยเลอร์สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยม [10]

มุมภายใน

ทฤษฎีบทแกรมออยเลอร์สรุปผลรวมสลับกันของมุมภายใน ในทำนองเดียวกัน สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนไปจนถึงโพลิโทปที่มีมิติสูงกว่า: [10]

ลักษณะทั่วไปของโพลิโทป

โพลิโทปอนันต์

ไม่ใช่ท่อร่วมทั้งหมดที่มีขอบเขตจำกัด ในกรณีที่เข้าใจว่าโพลิโทปเป็นการปูกระเบื้องหรือการสลายตัวของท่อร่วม แนวคิดนี้อาจขยายไปสู่ท่อร่วมที่ไม่มีที่สิ้นสุด การปูกระเบื้อง ระนาบการเติมช่องว่าง ( รังผึ้ง ) และ การปูกระเบื้อง แบบไฮเพ อร์โบลิก อยู่ในความหมายนี้ โพลิโทป และบางครั้งเรียกว่าapeirotopesเนื่องจากมีหลายเซลล์อย่างไม่สิ้นสุด

ในบรรดาสิ่งเหล่านี้ มีรูปแบบปกติรวมถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมเอียงปกติและชุดกระเบื้องที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งแสดงโดยapeirogon ปกติ การ ปูกระเบื้องสี่เหลี่ยม รังผึ้งลูกบาศก์ และอื่น ๆ

โพลิโทปนามธรรม

ทฤษฎีของ โพลิโทป นามธรรมพยายามที่จะแยกโพลิโทปออกจากพื้นที่ที่มีโพลิโทปอยู่ โดยพิจารณาจากคุณสมบัติเชิงผสมผสานล้วนๆ ซึ่งช่วยให้คำจำกัดความของคำศัพท์ขยายออกไปเพื่อรวมอ็อบเจ็กต์ที่ยากต่อการกำหนดพื้นที่พื้นฐานที่เข้าใจ ได้ ง่าย เช่น11 เซลล์

โพลิโทป นามธรรมคือชุดขององค์ประกอบหรือสมาชิกที่ได้รับคำสั่งบางส่วน ซึ่งเป็นไปตามกฎเกณฑ์บางประการ เป็นโครงสร้างเชิงพีชคณิตล้วนๆ และทฤษฎีได้รับการพัฒนาเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาบางอย่างที่ทำให้ยากต่อการกระทบยอดคลาสเรขาคณิตต่างๆ ภายในกรอบทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกัน กล่าวกันว่าโพลิโทปเรขาคณิตเป็นการตระหนักในพื้นที่จริงของโพลิโทปนามธรรมที่เกี่ยวข้อง (11)

โพลิโทปที่ซับซ้อน

โครงสร้างที่คล้ายคลึงกับโพลิโทปมีอยู่ในช่องว่างที่ซับซ้อนของฮิลแบร์ต โดยที่nมิติจริงจะมาพร้อมกับมิติจินตภาพn รายการ โพลิโทป ที่ซับซ้อนปกติได้รับการปฏิบัติอย่างเหมาะสมกว่าใน รูป แบบการกำหนดค่า (12)

ความเป็นคู่

n -polytope ทุกอันมีโครงสร้างคู่ ได้มาจากการแลกเปลี่ยนจุดยอดสำหรับด้าน ขอบสำหรับสันเขา และอื่นๆ โดยทั่วไปแล้วการแลกเปลี่ยนองค์ประกอบมิติ ( j  − 1) ขององค์ประกอบสำหรับ ( n  −  j ) องค์ประกอบมิติ (สำหรับj  = 1 ถึงn  - 1) ในขณะที่ยังคงการเชื่อมต่อหรืออุบัติการณ์ระหว่างองค์ประกอบ

สำหรับโพลิโทปที่เป็นนามธรรม สิ่งนี้เป็นการย้อนกลับลำดับของชุด การกลับรายการนี้มีให้เห็นในสัญลักษณ์ Schläfliสำหรับโพลิโทปปกติ โดยที่สัญลักษณ์สำหรับโพลิโทปคู่เป็นเพียงส่วนกลับของของเดิม ตัวอย่างเช่น {4, 3, 3} เป็นสองเท่าของ {3, 3, 4}

ในกรณีของโพลิโทปเรขาคณิต กฎเรขาคณิตบางอย่างสำหรับการทำให้เป็นคู่เป็นสิ่งที่จำเป็น ดูตัวอย่างกฎที่อธิบายไว้สำหรับ โพลิเฮ ดราคู่ รูปคู่อาจเป็นหรือไม่ก็ได้ก็ได้ ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ [13]

หากกลับด้านคู่ โพลิโทปเดิมก็จะกลับคืนมา ดังนั้น polytopes จึงมีอยู่ในคู่คู่

โพลิโทปคู่ตัวเอง

5-cell (4-simplex) เป็นแบบ self-dual โดยมีจุดยอด 5 จุดและเซลล์ทรงสี่เหลี่ยม 5 เซลล์

ถ้าโพลิโทปมีจำนวนจุดยอดเท่ากันกับด้าน ของขอบเท่าสันเขา และอื่นๆ และมีจุดเชื่อมต่อเหมือนกัน ตัวเลขคู่จะคล้ายกับของเดิมและโพลิโทปจะเป็นแบบ self-dual

โพลิโทปแบบ self-dual ทั่วไปบางตัวรวมถึง:

ประวัติ

รูปหลายเหลี่ยมและรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นที่รู้จักมาตั้งแต่สมัยโบราณ

คำใบ้เบื้องต้นของมิติที่สูงกว่าเกิดขึ้นในปี พ.ศ. 2370 เมื่อเดือนสิงหาคม เฟอร์ดินานด์ โมบิอุสค้นพบว่าของแข็งของภาพสะท้อนในกระจกสองภาพสามารถซ้อนทับได้โดยการหมุนหนึ่งในนั้นผ่านมิติทางคณิตศาสตร์ที่สี่ ในช่วงทศวรรษที่ 1850 นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ไม่กี่คน เช่นArthur CayleyและHermann Grassmannได้พิจารณามิติที่สูงกว่าเช่นกัน

Ludwig Schläfliเป็นคนแรกที่พิจารณาความคล้ายคลึงของรูปหลายเหลี่ยมและรูปทรงหลายเหลี่ยมในพื้นที่ที่สูงขึ้นเหล่านี้ เขาอธิบายสี่แฉกปกติ 4-polytopesในปีพ. ศ. 2395 แต่งานของเขาไม่ได้รับการตีพิมพ์จนถึงปีพ. ศ. 2444 หกปีหลังจากที่เขาเสียชีวิต ในปี 1854 HabilitationsschriftของBernhard Riemannได้สร้างรูปทรงเรขาคณิตของมิติที่สูงกว่าอย่างมั่นคง และด้วยเหตุนี้แนวคิดของ โพลิโทป nมิติจึงเป็นที่ยอมรับ โพลิโทปของ Schläfli ถูกค้นพบซ้ำหลายครั้งในทศวรรษต่อมา แม้กระทั่งในช่วงชีวิตของเขา

ในปีพ.ศ. 2425 ไรน์ โฮลด์ ฮอป เป การเขียนภาษาเยอรมันได้บัญญัติศัพท์คำว่าpolytopเพื่ออ้างถึงแนวคิดทั่วไปของรูปหลายเหลี่ยมและรูปทรงหลายเหลี่ยม ในช่วงเวลาที่เหมาะสมAlicia Boole StottลูกสาวของGeorge Boole นักตรรกวิทยา ได้แนะนำ polytope anglicised เป็นภาษาอังกฤษ [2] : vi 

ในปี ค.ศ. 1895 Thorold Gossetไม่เพียงแต่ค้นพบโพลิโทปปกติของ Schläfli แต่ยังตรวจสอบแนวคิดของ โพลิโทป แบบกึ่ง ปกติและ เทสเซล เลชัน แบบเติมพื้นที่ในมิติที่สูงขึ้นด้วย Polytopes ก็เริ่มมีการศึกษาในช่องว่างที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเช่นพื้นที่ไฮเปอร์โบลิก

เหตุการณ์สำคัญมาถึงในปี 1948 ด้วยหนังสือRegular Polytopes ของ HSM Coxeterซึ่งสรุปงานจนถึงปัจจุบัน และเพิ่มการค้นพบใหม่ๆ ของเขาเอง

ในขณะเดียวกัน นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อHenri Poincaréได้พัฒนา แนวคิด เชิงทอพอโลยีของโพลิโทปเป็นการสลายตัวทีละชิ้น (เช่นCW-complex ) ของท่อต่างๆ Branko Grünbaumตีพิมพ์ผลงานที่ทรงอิทธิพลของเขาเกี่ยวกับConvex Polytopesในปี 1967

ในปีพ.ศ. 2495 เจฟฟรีย์ โคลิน เชพพาร์ ดได้สรุปแนวคิดนี้ว่าเป็น โพลิโทปที่ ซับซ้อนในพื้นที่ซับซ้อน โดยที่แต่ละมิติจริงมีมิติจินตภาพที่เกี่ยวข้องกัน Coxeter พัฒนาทฤษฎีต่อไป

ประเด็นเชิงแนวคิดที่เกิดจากโพลิโทปที่ซับซ้อน ความไม่นูน ความเป็นคู่ และปรากฏการณ์อื่นๆ ทำให้ Grünbaum และคนอื่นๆ ศึกษาคุณสมบัติทั่วไปเชิงนามธรรมที่เกี่ยวข้องกับจุดยอด ขอบ ใบหน้า และอื่นๆ แนวคิดที่เกี่ยวข้องกันคือแนวคิดของอุบัติการณ์เชิงซ้อน ซึ่งศึกษาอุบัติการณ์หรือความเชื่อมโยงขององค์ประกอบต่างๆ กับอีกองค์ประกอบหนึ่ง การพัฒนาเหล่านี้นำไปสู่ทฤษฎีของ โพลิโทปที่เป็น นามธรรม ในท้ายที่สุดใน ฐานะเซตที่เรียงลำดับบางส่วนหรือโพเซทขององค์ประกอบดังกล่าว Peter McMullenและ Egon Schulte ตีพิมพ์หนังสือAbstract Regular Polytopesในปี 2545

การแจกแจงรูปทรงโพลิโทปที่สม่ำเสมอนูนและไม่นูน ในสี่มิติขึ้นไปยังคงเป็นปัญหาที่โดดเด่น

ในยุคปัจจุบัน โพลิโทปและแนวคิดที่เกี่ยวข้องได้ค้นพบการใช้งานที่สำคัญหลายอย่างในสาขาต่างๆ เช่นคอมพิวเตอร์กราฟิกการเพิ่มประสิทธิภาพเครื่องมือค้นหาจักรวาลวิทยากลศาสตร์วอนตัมและสาขาอื่นๆ อีกมากมาย ในปี 2013 แอมพลิทูเฮดรอนถูกค้นพบว่าเป็นโครงสร้างที่ง่ายขึ้นในการคำนวณทางฟิสิกส์เชิงทฤษฎีบางอย่าง

แอปพลิเคชัน

ในด้านของ การปรับให้ เหมาะสมที่สุดการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจะศึกษาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันเชิงเส้น ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดเหล่านี้เกิดขึ้นที่ขอบของ โพลิโทป nมิติ ในโปรแกรมเชิงเส้นตรง โพลิโทปเกิดขึ้นในการใช้พิกัดแบรีเซนทริคทั่วไปและ ตัวแปรหย่อน

ใน ทฤษฎีทวิสเตอร์ ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของฟิสิกส์เชิงทฤษฎีโพลิโทปที่เรียกว่า แอมพลิ ทูเฮดรอนถูกใช้ในการคำนวณแอมพลิจูดการกระเจิงของอนุภาคย่อยเมื่อชนกัน โครงสร้างนี้เป็นทฤษฎีล้วนๆ โดยไม่มีการแสดงอาการทางกายภาพที่เป็นที่รู้จัก แต่กล่าวกันว่าช่วยให้การคำนวณบางอย่างง่ายขึ้นอย่างมาก [14]

ดูเพิ่มเติม

อ้างอิง

การอ้างอิง

  1. ^ Coxeter 1973 , pp. 141–144, §7-x. ข้อสังเกตทางประวัติศาสตร์
  2. อรรถเป็น c d ค็อกซีเตอร์ (1973)
  3. ^ Richeson, D. (2008) อัญมณีของออยเลอร์: สูตรรูปทรงหลายเหลี่ยมและการกำเนิดของโทโพโลยี สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน.
  4. ^ กรุนบอม (2003)
  5. ครอมเวลล์, พี.; รูปทรงหลายเหลี่ยม , CUP (ppbk 1999) หน้า 205 ff.
  6. ↑ Nemhauser and Wolsey, "Integer and Combinatorial Optimization" 1999, ISBN 978-0471359432 , คำจำกัดความ 2.2 
  7. อรรถเป็น จอห์นสัน นอร์แมน ดับเบิลยู.; เรขาคณิตและการเปลี่ยนแปลง , Cambridge University Press, 2018, p.224.
  8. ^ โพลิโทปปกติ, พี. 127ส่วนของโพลีโทปที่อยู่ในไฮเปอร์เพลนตัวใดตัวหนึ่งเรียกว่าเซลล์
  9. เบ็ค แมทเธียส; Robins, Sinai (2007), Computing the Continuous Discretely: Integer-point enumeration in polyhedra , Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-29139-0 , MR 2271992 
  10. อรรถเป็น M. A. Perles และ GC Shephard พ.ศ. 2510 "ผลรวมมุมของโพลิโทปนูน". คณิตศาสตร์. Scandinavica , Vol 21, No 2 มีนาคม 1967. pp. 199–218.
  11. ^ แมคมูลเลน ปีเตอร์ ; Schulte, Egon (ธันวาคม 2002), Abstract Regular Polytopes (ฉบับที่ 1), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81496-0
  12. ^ ค็อกซีเตอร์ HSM; โพลิโทป คอมเพล็กซ์ปกติ , 1974
  13. ^ เวนนิงเกอร์ ม.; รุ่นคู่ , CUP (1983).
  14. อาร์คานี-ฮาเหม็ด, นิมา; Trnka, ยาโรสลาฟ (2013). "แอมพลิทูเฮดรอน". วารสารฟิสิกส์พลังงานสูง . 2014 . arXiv : 1312.2007 . Bibcode : 2014JHEP...10..030A . ดอย : 10.1007/JHEP10(2014)030 .

บรรณานุกรม

ดูเพิ่มเติม

Schläfli Orthoscheme

ลิงค์ภายนอก

ตระกูล _ บีน_ ฉัน2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 หนุ_
รูปหลายเหลี่ยมปกติ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม p-gon หกเหลี่ยม เพนตากอน
รูปทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ จัตุรมุข รูปแปดด้านCube เดมิคิวบ์ สิบ สองหน้า • Icosahedron
ชุดโพลีโครอน Pentachoron 16 เซลล์Tesseract Demitesseract 24 เซลล์ 120 เซลล์600 เซลล์
เครื่องแบบ 5-polytope 5-ซิมเพล็กซ์ 5-ออร์โธเพล็กซ์5-cube 5-เดมิคิวบ์
เครื่องแบบ 6-polytope 6-ซิมเพล็กซ์ 6-ออร์โธเพล็กซ์6-cube 6-เดมิคิวบ์ 1 222 21
เครื่องแบบ 7-polytope 7-ซิมเพล็กซ์ 7-ออร์โธเพล็กซ์7-cube 7-เดมิคิวบ์ 1 322 313 21
เครื่องแบบ 8-polytope 8-ซิมเพล็กซ์ 8-ออร์โธเพล็กซ์8-cube 8-เดมิคิวบ์ 1 422 414 21
ชุด 9-polytope 9-simplex 9-ออร์โธเพล็กซ์9-cube 9-เดมิคิวบ์
เครื่องแบบ 10-polytope 10-ซิมเพล็กซ์ 10 ออร์โธเพล็กซ์10 คิวบ์ 10-เดมิคิวบ์
เครื่องแบบn - polytope n - simplex n - orthoplexn - cube n - เดมิคิวบ์ 1 k22 k1k 21 n - โพลิโทปห้าเหลี่ยม
หัวข้อ: ตระกูล โพลิโทป • โพลิโทป ปกติรายชื่อโพลิโทปและสารประกอบทั่วไป