รูปหลายเหลี่ยม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา

รูปหลายเหลี่ยมบางประเภทที่แตกต่างกัน: เปิด (ไม่รวมขอบเขต) เฉพาะขอบเขต (ไม่รวมภายใน) ปิด (รวมทั้งขอบเขตและภายใน) และตัดกันในตัวเอง

ในเรขาคณิตรูปหลายเหลี่ยม ( / ˈ p ɒ l ɪ ɡ ɒ n / ) เป็นตัวเลขระนาบ ที่อธิบายโดยส่วนของ เส้นตรงจำนวนจำกัด ที่เชื่อมต่อกันเพื่อสร้าง ห่วงโซ่รูปหลายเหลี่ยมปิด(หรือวงจรหลายเหลี่ยม ) บริเวณระนาบที่มีขอบเขต วงจรที่ล้อมรอบ หรือทั้งสองรวมกันอาจเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม

ส่วนของวงจรรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าขอบหรือด้านข้าง จุดที่ขอบทั้งสองมาบรรจบกันคือจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม(เอกพจน์: จุดยอด) หรือมุม ด้านในของรูปหลายเหลี่ยมทึบบางครั้งเรียกว่าร่างกาย n -gonเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มี ด้าน n ; ตัวอย่างเช่นสามเหลี่ยมเป็น 3 เหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมธรรมดาคือรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ตัดกัน นักคณิตศาสตร์มักกังวลเฉพาะกับกลุ่มของรูปหลายเหลี่ยมที่มีขอบเขตของรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาเท่านั้น และพวกเขามักจะกำหนดรูปหลายเหลี่ยมตามลำดับ ขอบเขตของรูปหลายเหลี่ยมอาจได้รับอนุญาตให้ตัดผ่านตัวเองได้ ทำให้เกิดรูปดาวหลายเหลี่ยมและ รูปหลาย เหลี่ยมที่ตัดกันในตัวเอง อื่น ๆ

รูปหลายเหลี่ยมเป็นตัวอย่าง 2 มิติของโพลิโทปทั่วไปในหลายมิติ มี การกำหนด ลักษณะทั่วไปของรูปหลายเหลี่ยม จำนวนมากขึ้น เพื่อวัตถุประสงค์ที่แตกต่างกัน

นิรุกติศาสตร์

คำว่ารูปหลายเหลี่ยมมาจาก คำคุณศัพท์ ภาษากรีก πολύς ( polús ) 'มาก', 'มากมาย' และ γωνία ( gōnía ) 'มุม' หรือ 'มุม' มีคนแนะนำว่า "เข่า" ของ γόνυ ( gónu ) อาจเป็นที่มาของอน [1]

การจำแนกประเภท

รูปหลายเหลี่ยมบางประเภท

จำนวนด้าน

รูปหลายเหลี่ยมถูกจำแนกตามจำนวนด้านเป็นหลัก ดูตารางด้านล่าง

ความนูนและทางแยก

รูปหลายเหลี่ยมอาจมีลักษณะนูนหรือลักษณะไม่นูน:

  • นูน : เส้นใดๆ ที่ลากผ่านรูปหลายเหลี่ยม (และไม่ได้สัมผัสกับขอบหรือมุม) ตรงกับขอบเขตสองครั้งพอดี ด้วยเหตุนี้ มุมภายในทั้งหมดจึงน้อยกว่า 180° ในทำนองเดียวกัน ส่วนของเส้นตรงใดๆ ที่มีจุดปลายบนขอบเขตจะผ่านเฉพาะจุดภายในระหว่างจุดปลายเท่านั้น
  • ไม่นูน: อาจพบเส้นตรงที่เกินขอบเขตมากกว่าสองครั้ง ในทำนองเดียวกัน มีส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดขอบเขตสองจุดที่ผ่านนอกรูปหลายเหลี่ยม
  • ง่าย : ขอบของรูปหลายเหลี่ยมไม่ตัดกัน รูปหลายเหลี่ยมนูนทั้งหมดเป็นแบบเรียบง่าย
  • เว้า : ไม่นูนและเรียบง่าย มีมุมภายในอย่างน้อยหนึ่งมุมที่มากกว่า 180°
  • รูปดาว : ภายในทั้งหมดสามารถมองเห็นได้จากจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดโดยไม่มีขอบใด ๆ รูปหลายเหลี่ยมต้องเรียบง่ายและอาจนูนหรือเว้า รูปหลายเหลี่ยมนูนทั้งหมดเป็นรูปดาว
  • ตัดเอง : ขอบเขตของรูปหลายเหลี่ยมตัดผ่านตัวมันเอง คำว่าซับซ้อนบางครั้งใช้ตรงกันข้ามกับ คำว่า ง่ายแต่การใช้งานนี้เสี่ยงต่อความสับสนกับแนวคิดของรูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนซึ่งมีอยู่ใน ระนาบ ฮิลเบิ ร์ตที่ซับซ้อน ซึ่งประกอบด้วย มิติ ที่ซับซ้อน สอง มิติ
  • รูปหลายเหลี่ยมรูปดาว : รูปหลายเหลี่ยมที่ตัดตัวเองอย่างสม่ำเสมอ รูปหลายเหลี่ยมไม่สามารถเป็นได้ทั้งรูปดาวและรูปดาว

ความเสมอภาคและความสมมาตร

คุณสมบัติของความสม่ำเสมอสามารถกำหนดได้ด้วยวิธีอื่น: รูปหลายเหลี่ยมเป็นค่าปกติก็ต่อเมื่อมันเป็นทั้งแบบไอโซกอนและไอโซทอกซอลหรือเท่ากันว่าเป็นทั้งแบบวงกลมและด้านเท่ากันหมด รูปหลายเหลี่ยมธรรมดาที่ไม่นูนเรียกว่า รูปหลาย เหลี่ยม รูปดาวปกติ

เบ็ดเตล็ด

  • เส้นตรง : ด้านของรูปหลายเหลี่ยมบรรจบกันเป็นมุมฉาก กล่าวคือ มุมภายในทั้งหมดมีขนาด 90 หรือ 270 องศา
  • เสียงเดียวเทียบกับเส้นที่กำหนดL : ทุกเส้นตั้งฉากกับ L ตัดกันรูปหลายเหลี่ยมไม่เกินสองครั้ง

คุณสมบัติและสูตร

แบ่งn -gon เป็นn − 2รูปสามเหลี่ยม

สมมุติฐาน เรขาคณิตแบบยุคลิดตลอด

มุม

รูปหลายเหลี่ยมใดๆ จะมีมุมมากเท่ากับที่มีด้าน แต่ละมุมมีหลายมุม สองสิ่งที่สำคัญที่สุดคือ:

  • มุมภายใน – ผลรวมของมุมภายในของ n -gon ธรรมดาคือ ( n − 2) π เรเดียนหรือ ( n − 2 ) × 180 องศา นี่เป็นเพราะว่า n -gonธรรมดาใดๆ ( มี nด้าน ) ถือได้ว่าประกอบด้วย สามเหลี่ยม ( n - 2)สามเหลี่ยม ซึ่งแต่ละรูปมีผลรวมมุมเท่ากับ π เรเดียน หรือ 180 องศา การวัดมุมภายในใดๆ ของส่วนนูนปกติ n -gon isเรเดียนหรือองศา Poinsot ศึกษา มุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมดาว ปกติ ในกระดาษฉบับเดียวกันซึ่งเขาอธิบายรูปทรงหลายเหลี่ยมดาวปกติ สี่ดวง : สำหรับปกติ-gon (a p -gon ที่มีความหนาแน่นตรงกลางq ) แต่ละมุมภายใน isเรเดียนหรือองศา [2]
  • มุมภายนอก – มุมภายนอกคือมุมเสริมของมุมภายใน การติดตามรอบนูน n -gon มุม "หัน" ที่มุมหนึ่งเป็นมุมภายนอกหรือมุมภายนอก การติดตามไปรอบ ๆ รูปหลายเหลี่ยมจะทำให้ครบหนึ่งรอบดังนั้นผลรวมของมุมภายนอกจะต้องเท่ากับ 360° อาร์กิวเมนต์นี้สามารถสรุปให้เป็นรูปหลายเหลี่ยมแบบเว้าได้ ถ้ามุมภายนอกที่หมุนไปในทิศทางตรงกันข้ามถูกลบออกจากผลรวมของการหมุน การติดตามรอบ n -gon โดยทั่วไป ผลรวมของมุมภายนอก (จำนวนรวมที่หมุนที่จุดยอด) สามารถเป็นจำนวนเต็มคูณ dของ 360° ได้ เช่น 720° สำหรับรูปดาวห้าแฉกและ 0° สำหรับ "eight" เชิงมุม หรือสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยที่dคือความหนาแน่นหรือจำนวนการหมุนของรูปหลายเหลี่ยม ดูเพิ่มเติมที่วงโคจร (ไดนามิก )

พื้นที่

พิกัดของรูปห้าเหลี่ยมที่ไม่นูน

ในส่วนนี้ จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมที่พิจารณาจะเป็นตามลำดับ เพื่อความสะดวกในบางสูตร ระบบจะใช้เครื่องหมาย( x n , y n ) = ( x 0 , y 0 )

รูปหลายเหลี่ยมอย่างง่าย

หากรูปหลายเหลี่ยมไม่ตัดกัน (นั่นคือsimple ) พื้นที่ ที่มีเครื่องหมาย คือ

หรือใช้ดีเทอร์มิแน นต์

ที่ไหนคือระยะห่างกำลังสองระหว่างและ[3] [4]

พื้นที่ที่ลงนามขึ้นอยู่กับลำดับของจุดยอดและทิศทางของระนาบ โดยทั่วไป ทิศทางเชิงบวกถูกกำหนดโดยการหมุน (ทวนเข็มนาฬิกา) ที่จับคู่ แกน x บวกกับ แกนyบวก ถ้าจุดยอดถูกเรียงลำดับทวนเข็มนาฬิกา (นั่นคือ ตามการวางแนวบวก) พื้นที่ที่ลงนามจะเป็นค่าบวก มิฉะนั้นจะเป็นลบ ไม่ว่าในกรณีใด สูตรพื้นที่จะถูกต้องในค่าสัมบูรณ์ โดยทั่วไปเรียกว่าสูตรเชือกผูกรองเท้าหรือ สูตร นักสำรวจ [5]

พื้นที่Aของรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาสามารถคำนวณได้ถ้าทราบความยาวของด้านa 1 , 2 , ... , a nและมุมภายนอก , θ 1 , θ 2 , ... , θ nจาก:

สูตรนี้อธิบายโดย Lopshits ในปี 1963 [6]

หากสามารถวาดรูปหลายเหลี่ยมบนเส้นตารางที่มีระยะห่างเท่ากัน โดยที่จุดยอดทั้งหมดเป็นจุดกริดทฤษฎีบทของ Pickจะให้สูตรง่ายๆ สำหรับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมโดยพิจารณาจากตัวเลขของจุดกริดภายในและเส้นเขตแดน: ตัวเลขเดิมบวกครึ่งหลัง ตัวเลข ลบ 1

ในทุกรูปหลายเหลี่ยมที่มีเส้นรอบรูปpและพื้นที่A , ความไม่เท่าเทียมกัน ของไอโซเพอริเมตริก ถือ [7]

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากันทฤษฎีบท Bolyai–Gerwienยืนยันว่ารูปแรกสามารถตัดเป็นชิ้นรูปหลายเหลี่ยมซึ่งสามารถประกอบใหม่เพื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยมที่สองได้

โดยทั่วไป ความยาวของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมไม่ได้กำหนดพื้นที่ของมัน [8]อย่างไรก็ตาม หากรูปหลายเหลี่ยมเป็นวงกลมธรรมดา ด้านจะเป็นตัวกำหนดพื้นที่ [9] จากทั้งหมดn -gons ที่มีความยาวด้านที่กำหนด พื้นที่ที่ใหญ่ที่สุดคือวงกลม จากn -gons ทั้งหมดที่มีปริมณฑลที่กำหนด อันที่มีพื้นที่ที่ใหญ่ที่สุดเป็นแบบปกติ (และดังนั้นจึงเป็นวัฏจักร) [10]

รูปหลายเหลี่ยมปกติ

สูตรเฉพาะจำนวนมากนำไปใช้กับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติกำหนดเป็นรัศมีrของวงกลมที่จารึกไว้และปริมณฑลpโดย

รัศมีนี้เรียกอีกอย่างว่าระยะตั้งฉาก และมักแสดงเป็น

พื้นที่ของn -gon ปกติในแง่ของรัศมีRของวงกลมที่ล้อมรอบ มัน สามารถแสดงเป็นตรีโกณมิติได้ดังนี้[11] [12]

พื้นที่ของn -gon ปกติที่จารึกไว้ในวงกลมหนึ่งหน่วยรัศมีโดยมีด้านsและมุมภายในนอกจากนี้ยังสามารถแสดงตรีโกณมิติเป็น:

ตัดกันเอง

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่ตัดกันตัวเองสามารถกำหนดได้สองวิธี โดยให้คำตอบต่างกัน:

  • การใช้สูตรสำหรับรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่าย เราอนุญาตให้บริเวณเฉพาะภายในรูปหลายเหลี่ยมอาจมีพื้นที่คูณด้วยปัจจัยที่เราเรียกว่าความหนาแน่นของพื้นที่นั้น ตัวอย่างเช่น รูปห้าเหลี่ยมนูนตรงกลางที่อยู่ตรงกลางของรูปดาวห้าแฉกมีความหนาแน่น 2 บริเวณรูปสามเหลี่ยมสองรูปของสี่เหลี่ยมจตุรัสกากบาท (เช่น รูปที่ 8) มีความหนาแน่นที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน และการเพิ่มพื้นที่รวมกันจะทำให้พื้นที่ทั้งหมดเป็นศูนย์ สำหรับทั้งร่าง [13]
  • เมื่อพิจารณาบริเวณที่ปิดล้อมเป็นชุดจุด เราสามารถหาพื้นที่ของชุดจุดที่ปิดล้อมได้ ซึ่งสอดคล้องกับพื้นที่ของระนาบที่ปกคลุมด้วยรูปหลายเหลี่ยมหรือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมแบบง่ายตั้งแต่หนึ่งรูปขึ้นไปที่มีโครงร่างเดียวกันกับรูปหลายเหลี่ยมที่ตัดกันในตัวเอง ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จะถือว่าเป็นสามเหลี่ยมธรรมดาสองรูป [ ต้องการการอ้างอิง ]

Centroid

โดยใช้แบบแผนเดียวกันสำหรับพิกัดจุดยอดเช่นเดียวกับในส่วนก่อนหน้า พิกัดของเซนทรอยด์ของรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาทึบคือ

ในสูตรเหล่านี้ ค่าลงนามของพื้นที่จะต้องใช้

สำหรับรูปสามเหลี่ยม ( n = 3 ) เซนทรอยด์ของจุดยอดและรูปทรงทึบจะเหมือนกัน แต่โดยทั่วไป จะไม่เป็นจริงสำหรับn > 3 จุดศูนย์กลางของชุดจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุด ยอด nจุดมีพิกัด

ลักษณะทั่วไป

แนวคิดเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมมีนัยทั่วไปในลักษณะต่างๆ สิ่งที่สำคัญกว่านั้นได้แก่:

  • รูปหลายเหลี่ยมทรงกลมคือวงจรของส่วนโค้งของวงกลมขนาดใหญ่ (ด้าน) และจุดยอดบนพื้นผิวของทรงกลม อนุญาตให้มีdigonซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีเพียงสองด้านและสองมุม ซึ่งเป็นไปไม่ได้ในระนาบเรียบ รูปหลายเหลี่ยมทรงกลมมีบทบาทสำคัญใน การ ทำแผนที่ (การทำแผนที่) และใน การสร้าง รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสม่ำเสมอของWythoff
  • รูปหลายเหลี่ยมเบ้ไม่ได้อยู่ในระนาบเรียบ แต่ซิกแซกในสามมิติ (หรือมากกว่า) รูปหลายเหลี่ยม Petrieของโพลิโทปปกติเป็นตัวอย่างที่รู้จักกันดี
  • apeirogon เป็น ลำดับอนันต์ของด้านและมุม ซึ่งไม่ปิดแต่ไม่มีปลาย เพราะมันขยายออกไปทั้งสองทิศทางอย่างไม่มีกำหนด
  • apeirogon เอียงเป็นลำดับอนันต์ของด้านและมุมที่ไม่อยู่ในระนาบเรียบ
  • รูปหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนคือโครงแบบ ที่ คล้ายคลึงกับรูปหลายเหลี่ยมทั่วไป ซึ่งมีอยู่ในระนาบเชิงซ้อนของสอง มิติ จริงและสองมิติจินตภาพ
  • รูปหลายเหลี่ยมนามธรรมคือชุดพีชคณิตที่เรียงลำดับบางส่วนซึ่งแสดงถึงองค์ประกอบต่างๆ (ด้าน จุดยอด ฯลฯ) และการเชื่อมต่อ กล่าวกันว่ารูปหลายเหลี่ยมเรขาคณิตจริงเป็นการทำให้เกิดรูปหลายเหลี่ยมนามธรรมที่เกี่ยวข้องกัน การวางนัยทั่วไปทั้งหมดที่อธิบายไว้ที่นี่สามารถรับรู้ได้ขึ้นอยู่กับการทำแผนที่
  • รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นของแข็งสามมิติที่ล้อมรอบด้วยใบหน้าหลายเหลี่ยมแบนราบ คล้ายกับรูปหลายเหลี่ยมในสองมิติ รูปร่างที่สอดคล้องกันในสี่มิติขึ้นไปเรียกว่า โพลิ โท[14] (ในอนุสัญญาอื่น ๆ คำว่าpolyhedronและpolytopeถูกใช้ในมิติใด ๆ โดยมีความแตกต่างระหว่างทั้งสองที่จำเป็นต้องผูก polytope [15] )

การตั้งชื่อ

คำว่ารูปหลายเหลี่ยมมาจากภาษาละตินตอนปลาย polygōnum (คำนาม) จากภาษากรีก πολύγωνον ( polygōnon/polugōnon ) คำนามที่ใช้ตัวกลางของ πολύγωνος ( polygōnos/polugōnos , คำคุณศัพท์เพศชาย) หมายถึง "หลายมุม" แต่ละรูปหลายเหลี่ยมมีชื่อ (และบางครั้งจำแนก) ตามจำนวนด้าน ผสมคำนำหน้าตัวเลข ที่ ได้มา จาก ภาษากรีกกับส่วนต่อท้าย-gonเช่นpentagon , dodecagon สามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมและnonagon เป็นข้อยกเว้น

นอกเหนือจากรูปหลายเหลี่ยม (10 เหลี่ยม) และสิบสองเหลี่ยม (12 เหลี่ยม) นักคณิตศาสตร์มักใช้เครื่องหมายตัวเลข เช่น 17-gon และ 257-gon [16]

มีข้อยกเว้นสำหรับการนับข้างที่แสดงออกอย่างง่ายในรูปแบบวาจา (เช่น 20 และ 30) หรือถูกใช้โดยผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ รูปหลายเหลี่ยมพิเศษบางรูปก็มีชื่อของตัวเองเช่นกัน ตัวอย่างเช่นรูปห้าเหลี่ยมรูปดาวปกติ เรียกอีกอย่างว่ารูป ดาวห้าแฉก

ชื่อรูปหลายเหลี่ยมและคุณสมบัติเบ็ดเตล็ด
ชื่อ ข้าง คุณสมบัติ
โมโนกอน 1 ไม่รู้จักโดยทั่วไปว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยม[17]แม้ว่าบางสาขาวิชาเช่น ทฤษฎีกราฟ จะใช้คำนี้ในบางครั้ง [18]
ดิกอน 2 โดยทั่วไปไม่เป็นที่รู้จักในฐานะรูปหลายเหลี่ยมในระนาบแบบยุคลิด แม้ว่าจะอยู่ในรูปหลายเหลี่ยมทรงกลมก็ตาม (19)
สามเหลี่ยม (หรือตรีโกณมิติ) 3 รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดซึ่งมีอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ปูกระเบื้องเครื่องบิน ได้
รูปสี่เหลี่ยม (หรือ tetragon) 4 รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดซึ่งสามารถตัดขวางตัวเองได้ รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดซึ่งสามารถเว้าได้ รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดซึ่งสามารถไม่เป็นวงกลมได้ ปูกระเบื้องเครื่องบิน ได้
รูปห้าเหลี่ยม 5 [20]รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดซึ่งสามารถดำรงอยู่ได้เป็นดาวฤกษ์ปกติ รูปห้าเหลี่ยมรูปดาวเรียกว่ารูปดาวห้าแฉกหรือ
หกเหลี่ยม 6 (20)ปูกระเบื้องเครื่องบิน ได้
หกเหลี่ยม (หรือเซ็ปตากอน) 7 [20]รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดซึ่งรูปแบบปกติไม่สามารถสร้าง ได้ ด้วยเข็มทิศและเส้นตรง อย่างไรก็ตาม มันสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้โครงสร้าง ประสาท
แปดเหลี่ยม 8 (20)
nonagon (หรือ enneagon) 9 [20] "Nonagon" ผสมภาษาละติน [ novem = 9] กับกรีก; "enneagon" เป็นภาษากรีกบริสุทธิ์
รูปหลายเหลี่ยม 10 (20)
รูปหกเหลี่ยม (หรือ undecagon ) 11 [20]รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดจนไม่สามารถสร้างรูปแบบปกติด้วยเข็มทิศ เส้นตรง และสามเหลี่ยมมุมฉากได้ อย่างไรก็ตาม มันสามารถสร้างขึ้นได้ด้วยโรคประสาท (21)
สิบสองเหลี่ยม (หรือ duodecagon ) 12 (20)
tridecagon (หรือ triskaidecagon) 13 (20)
เตตราไกเดคากอน (หรือ tetrakaidecagon) 14 (20)
รูปห้าเหลี่ยม (หรือรูปห้าเหลี่ยม) 15 (20)
หก เหลี่ยม (หรือ hexakaidecagon ) 16 (20)
heptakaidecagon (หรือ heptakaidecagon) 17 รูปหลายเหลี่ยมที่สร้างได้[16]
รูปแปดเหลี่ยม (หรือ octakaidecagon ) 18 (20)
eneadecagon (หรือ enneakaidecagon) 19 (20)
icosagon 20 (20)
icositrigon (หรือ icosikaitrigon) 23 รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดจนไม่สามารถสร้างรูปแบบปกติได้ด้วยneusis [22] [21]
icositetragon (หรือ icosikaitetragon) 24 (20)
icosipentagon (หรือ icosikaipentagon) 25 รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดโดยที่ไม่รู้ว่ารูปแบบปกติสามารถสร้างด้วยนิวซิสได้หรือไม่ [22] [21]
ไตรคอนตากอน 30 (20)
เตตระคอนตากอน (หรือ เทสซาราคอนตากอน) 40 (20) [23]
เพนตาคอนตากอน (หรือเพนเทคอนตากอน) 50 (20) [23]
hexacontagon (หรือ hexacontagon) 60 (20) [23]
heptacontagon (หรือ hebdomecontagon) 70 (20) [23]
รูปแปดเหลี่ยม (หรือ ogdoëcontagon) 80 (20) [23]
eneacontagon (หรือ enecontagon) 90 (20) [23]
เฮกโตกอน (หรือ เฮกโตกอน) [24] 100 (20)
257-กอน 257 รูปหลายเหลี่ยมที่สร้างได้[16]
พริกขี้หนู 1000 นักปรัชญารวมทั้งRené Descartes , [25] Immanuel Kant , [26] David Hume , [27]ได้ใช้พริกชี้ฟ้าเป็นตัวอย่างในการอภิปราย
หลายเหลี่ยม 10,000 ใช้เป็นตัวอย่างในการอภิปรายเชิงปรัชญา เช่น ใน Descartes's Meditations on First Philosophy
65537-กอน 65,537 รูปหลายเหลี่ยมที่สร้างได้[16]
เมก้ากอน[28] [29] [30] 1,000,000 เช่นเดียวกับตัวอย่างของพริกชี้ฟ้าของRené Descartes รูปหลายเหลี่ยมล้านด้านถูกใช้เป็นตัวอย่างของแนวคิดที่กำหนดไว้อย่างดีซึ่งไม่สามารถมองเห็นได้ [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37]เมกากอนยังใช้เป็นภาพประกอบของการบรรจบกันของรูปหลายเหลี่ยมปกติกับวงกลม [38]
apeirogon รูปหลายเหลี่ยมเสื่อมโทรมของหลายด้านอนันต์

ในการสร้างชื่อของรูปหลายเหลี่ยมที่มีขอบมากกว่า 20 และน้อยกว่า 100 ให้รวมคำนำหน้าดังนี้ [20]คำว่า "ไก่" ใช้กับ 13-gons ขึ้นไปและถูกใช้โดยKeplerและสนับสนุนโดยJohn H. Conwayเพื่อความชัดเจนของหมายเลขนำหน้าที่ต่อกันในการตั้งชื่อ รูปทรงหลายเหลี่ยม หลายเหลี่ยม[24]แม้ว่าแหล่งที่มาทั้งหมดจะไม่ใช้ก็ตาม .

สิบ และ คน คำต่อท้ายสุดท้าย
-ไก่- 1 -เฮน่า- -gon
20 icosi- (icosa- เมื่ออยู่คนเดียว) 2 -ได-
30 triaconta- (หรือ triconta-) 3 -ไตร-
40 tetraconta- (หรือ tessaraconta-) 4 -เตตร้า-
50 pentaconta- (หรือ penteconta-) 5 -เพนตา-
60 hexaconta- (หรือ hexaconta-) 6 -เฮกซ่า-
70 heptaconta- (หรือ hebdomeconta-) 7 -เฮปต้า-
80 octaconta- (หรือogdoëconta-) 8 -octa-
90 eneaconta- (หรือ eneneconta-) 9 -เอนเนีย-

ประวัติศาสตร์

ภาพประวัติศาสตร์ของรูปหลายเหลี่ยม (1699)

รูปหลายเหลี่ยมเป็นที่รู้จักมาตั้งแต่สมัยโบราณ รูปหลายเหลี่ยมปกติเป็นที่รู้จักในหมู่ชาวกรีกโบราณ โดยมีรูปดาวห้าแฉกซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่ไม่นูน (รูปหลายเหลี่ยมรูปดาว ) ซึ่งปรากฏเร็วเท่าศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสตกาลบนช่องแคบของอริส โตเฟ นส์ ซึ่งพบที่เมืองCaereและปัจจุบันอยู่ในพิพิธภัณฑ์Capitoline [39] [40]

การศึกษาอย่างเป็นระบบครั้งแรกของรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนโดยทั่วไปเกิดขึ้นโดยThomas Bradwardineในศตวรรษที่ 14 [41]

ในปีพ.ศ. 2495 เจฟฟรีย์ คอลิน เชพพาร์ดได้ สรุปแนวคิดเรื่องรูปหลายเหลี่ยมกับระนาบเชิงซ้อน โดยที่แต่ละมิติจริง จะมาพร้อมกับมิติ จินตภาพเพื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อน [42]

ในธรรมชาติ

รูปหลายเหลี่ยมปรากฏในการก่อตัวของหิน โดยทั่วไปแล้วจะเป็นด้านแบนของผลึกโดยที่มุมระหว่างด้านข้างจะขึ้นอยู่กับประเภทของแร่ที่ใช้ทำคริสตัล

รูปหกเหลี่ยมปกติอาจเกิดขึ้นได้เมื่อการเย็นตัวของลาวา ก่อตัวเป็นพื้นที่ของเสา หินบะซอลต์ ที่ อัดแน่นซึ่งอาจพบเห็นได้ที่ไจแอนต์สคอสเวย์ในไอร์แลนด์เหนือหรือที่เดวิลส์โพสต์ไพล์ ในแคลิฟอร์เนีย

ใน ทาง ชีววิทยาพื้นผิวของรังผึ้ง ขี้ผึ้งที่ ทำโดยผึ้งเป็นรูปหกเหลี่ยมและด้านข้างและฐานของแต่ละเซลล์เป็นรูปหลายเหลี่ยมเช่นกัน

คอมพิวเตอร์กราฟฟิค

ในคอมพิวเตอร์กราฟิกรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปแบบพื้นฐาน ที่ ใช้ในการสร้างแบบจำลองและการเรนเดอร์ มีการกำหนดไว้ในฐานข้อมูล ซึ่งประกอบด้วยอาร์เรย์ของจุดยอด (พิกัดของจุดยอดเรขาคณิตตลอดจนคุณลักษณะอื่นๆ ของรูปหลายเหลี่ยม เช่น สี การแรเงาและพื้นผิว) ข้อมูลการเชื่อมต่อและวัสดุ [43] [44]

พื้นผิวใดๆ ถูกจำลองเป็น tessellation ที่เรียกว่าpolygon mesh ถ้าตาข่ายสี่เหลี่ยมมีn + 1จุด (จุดยอด) ต่อด้าน แสดงว่ามีnสี่เหลี่ยมจัตุรัสในเมช หรือ 2 nสามเหลี่ยมกำลังสอง เนื่องจากมีรูปสามเหลี่ยมสองรูปในสี่เหลี่ยมจัตุรัส มี จุดยอด ( n + 1) 2 / 2( n 2 )ต่อสามเหลี่ยม โดยที่nมีค่ามาก มันจะเข้าใกล้ครึ่งหนึ่ง หรือจุดยอดแต่ละจุดภายในตาข่ายสี่เหลี่ยมเชื่อมต่อขอบทั้งสี่ (เส้น)

ระบบภาพเรียกโครงสร้างของรูปหลายเหลี่ยมที่จำเป็นสำหรับการสร้างฉากจากฐานข้อมูล สิ่งนี้จะถูกโอนไปยังหน่วยความจำที่ใช้งานและสุดท้ายไปยังระบบแสดงผล (หน้าจอ มอนิเตอร์ทีวี ฯลฯ) เพื่อให้สามารถดูฉากได้ ในระหว่างกระบวนการนี้ ระบบภาพจะแสดงรูปหลายเหลี่ยมในมุมมองที่ถูกต้องพร้อมสำหรับการส่งข้อมูลที่ประมวลผลไปยังระบบแสดงผล แม้ว่ารูปหลายเหลี่ยมจะเป็นแบบสองมิติ แต่ผ่านคอมพิวเตอร์ระบบ พวกมันจะถูกวางในฉากที่มองเห็นได้ในการวางแนวสามมิติที่ถูกต้อง

ในคอมพิวเตอร์กราฟิกและเรขาคณิตเชิงคำนวณมักจะจำเป็นต้องพิจารณาว่าจุดที่กำหนดหรือไม่อยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาที่กำหนดโดยลำดับของส่วนของเส้นตรง นี่เรียกว่า จุดใน การทดสอบรูปหลายเหลี่ยม [45]

ดูสิ่งนี้ด้วย

อ้างอิง

บรรณานุกรม

  • ค็อกซีเตอร์, HSM ; Regular Polytopes , Methuen and Co. , 1948 (ฉบับที่ 3, Dover, 1973)
  • ครอมเวลล์, พี.; รูปทรงหลายเหลี่ยม , CUP hbk (1997), pbk. (1999).
  • Grünbaum, B.; รูปทรงหลายเหลี่ยมของคุณเหมือนกับรูปทรงหลายเหลี่ยมของฉันหรือไม่? ไม่ต่อเนื่องและคอมพิวเตอร์ geom: กู๊ดแมน-พอลแล็ค festschrift , ed. อาโรนอฟและคณะ สปริงเกอร์ (2003) หน้า 461–488. ( pdf )

หมายเหตุ

  1. เครก, จอห์น (1849). เทคโนโลยีนิรุกติศาสตร์สากลแบบใหม่ และพจนานุกรมการออกเสียงภาษาอังกฤษ มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด. หน้า 404. สารสกัดจากพี. 404
  2. แคปปราฟ, เจย์ (2002). เกินขอบเขต: ไกด์ทัวร์ผ่านธรรมชาติ ตำนาน และจำนวน วิทยาศาสตร์โลก. หน้า 258. ISBN 978-981-02-4702-7.
  3. ^ วท.บ. Nagy, L. Rédey: Eine Verallgemeinerung der Inhaltformel von Heron. มหาชน คณิตศาสตร์. เดเบรเซน 1, 42–50 (1949)
  4. เบิร์ก, พอล (กรกฎาคม 1988). "การคำนวณพื้นที่และเซนทรอยด์ของรูปหลายเหลี่ยม" (PDF ) เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 16 กันยายน 2555 . สืบค้นเมื่อ6 กุมภาพันธ์ 2556 .
  5. บาร์ต เบรเดน (1986). "สูตรพื้นที่ผู้รังวัด" (PDF) . วารสารคณิตศาสตร์วิทยาลัย . 17 (4): 326–337. ดอย : 10.2307/2686282 . จ สท. 2686282 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2012-11-07  
  6. ^ น. Lopshits (1963). การคำนวณพื้นที่ของตัวเลขเชิง ผู้แปล: J Massalski และ C Mills Jr. DC Heath and Company: Boston, MA
  7. ↑ " Dergiades , Nikolaos, "การพิสูจน์เบื้องต้นของอสมการไอโซเพอริเมตริก", Forum Mathematicorum 2, 2002, 129–130" (PDF )
  8. ^ ร็อบบินส์ "รูปหลายเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ในวงกลม" American Mathematical Monthly 102 มิถุนายน–กรกฎาคม 1995
  9. ^ ปาก อิกอร์ (2005). "พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมวัฏจักร: ความคืบหน้าล่าสุดเกี่ยวกับการคาดเดาของร็อบบินส์" ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ประยุกต์ . 34 (4): 690–696. arXiv : math/0408104 . ดอย : 10.1016/j.aam.2004.08.006 . มร. 2128993 . S2CID 6756387 .  
  10. ^ Chakerian, GD "มุมมองทางเรขาคณิตที่บิดเบี้ยว" ช. 7 ใน Mathematical Plums (R. Honsberger บรรณาธิการ) วอชิงตัน ดี.ซี.: สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา, 1979: 147.
  11. ^ พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ - มาจากการอ้างอิงการเปิดคณิตศาสตร์
  12. ^ รูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้านเป็นอนันต์คือวงกลม:.
  13. เดอ วิลลิเยร์, ไมเคิล (มกราคม 2015). "การสังหาร 'สัตว์ประหลาด' เรขาคณิต: การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่มีกากบาท" (PDF ) การเรียนและการสอนคณิตศาสตร์ . 2015 (18): 23–28.
  14. ค็อกซีเตอร์ (ฉบับที่ 3 ค.ศ. 1973)
  15. กุน เตอร์ ซีกเลอ ร์ (1995). "การบรรยายเรื่อง Polytopes". ตำราเรียนคณิตศาสตร์ของSpringer, ISBN 978-0-387-94365-7 หน้า 4. 
  16. ^ a b c d Mathworld
  17. ^ Grunbaum, B.; "รูปทรงหลายเหลี่ยมของคุณเหมือนกับรูปทรงหลายเหลี่ยมของฉันหรือไม่",เรขาคณิตแบบแยกส่วนและเชิงคำนวณ: Goodman-Pollack Festschrift , Ed. Aronov et al., Springer (2003), พี. 464.
  18. ^ ฮาส โจเอล; Morgan, Frank (1996), "Geodesic nets on the 2-sphere", Proceedings of the American Mathematical Society , 124 (12): 3843–3850, doi : 10.1090/S0002-9939-96-03492-2 , JSTOR 2161556 , MR 1343696  .
  19. ^ ค็อกซีเตอร์ HSM; โพลิโทป ปกติ , Dover Edition (1973), p. 4.
  20. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y Salomon, David (2011). คู่มือคอมพิวเตอร์กราฟิก สื่อวิทยาศาสตร์และธุรกิจของสปริงเกอร์ หน้า 88–90. ISBN 978-0-85729-886-7.
  21. อรรถเป็น c เบนจามิน เอลเลียต; Snyder, C. การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของ Cambridge Philosophical Society 156.3 (พฤษภาคม 2014): 409-424; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
  22. ↑ a b Arthur Baragar (2002) Constructions Using a Compass and Twice-Notched Straightedge, The American Mathematical Monthly, 109:2, 151-164, doi : 10.1080/00029890.2002.11919848
  23. a b c d e f The New Elements of Mathematics: Algebra and GeometryโดยCharles Sanders Peirce (1976), p.298
  24. ^ a b "การตั้งชื่อรูปหลายเหลี่ยมและรูปทรงหลายเหลี่ยม" . ถาม คุณหมอคณิต ฟอรัม คณิตศาสตร์ – มหาวิทยาลัย Drexel สืบค้นเมื่อ3 พฤษภาคม 2558 .
  25. เซ็ปคอสกี้, เดวิด (2005). "นามนิยมและคอนสตรัคติวิสต์ในปรัชญาคณิตศาสตร์ศตวรรษที่สิบเจ็ด" . ฮิสทอเรีย มาเท มาติกา . 32 : 33–59. ดอย : 10.1016/j.hm.2003.09.002 .
  26. กอตต์ฟรีด มาร์ติน (1955),อภิปรัชญาและทฤษฎีวิทยาศาสตร์ของคานท์ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยแมนเชสเตอร์, น . 22.
  27. เดวิด ฮูม, The Philosophical Works of David Hume , Volume 1, Black and Tait, 1826, p. 101.
  28. จิบิลิสโก, สแตน (2003). เรขาคณิตกระจ่างแจ้ง (Online-Ausg. ed.) นิวยอร์ก: McGraw-Hill ISBN 978-0-07-141650-4.
  29. Darling, David J.หนังสือคณิตศาสตร์สากล: from Abracadabra to Zeno's paradoxes , John Wiley & Sons, 2004. p. 249. ISBN 0-471-27047-4 . 
  30. ↑ Dugopolski , Mark, College Algebra and Trigonometry , 2nd ed, Addison-Wesley, 1999. p. 505. ISBN 0-201-34712-1 . 
  31. แมคคอร์มิก, จอห์น ฟรานซิส, Scholastic Metaphysics , Loyola University Press, 1928, p. 18.
  32. Merrill, John Calhoun and Odell, S. Jack,ปรัชญาและวารสารศาสตร์ , Longman, 1983, p. 47,หมายเลข0-582-28157-1 . 
  33. ↑ Hospers , John, An Introduction to Philosophical Analysis , 4th ed, Routledge, 1997, p. 56, ISBN 0-415-15792-7 . 
  34. ↑ Mandik , Pete, Key Terms in Philosophy of Mind , Continuum International Publishing Group, 2010, น. 26, ISBN 1-84706-349-7 . 
  35. เคนนี, แอนโธนี, The Rise of Modern Philosophy , Oxford University Press, 2006, p. 124,ไอ0-19-875277-6 . 
  36. Balmes, James, Fundamental Philosophy, Vol II , Sadlier and Co., Boston, 1856, p. 27.
  37. Potter, Vincent G., On Understanding Understanding: A Philosophy of Knowledge , 2nd ed, Fordham University Press, 1993, p. 86,ไอ0-8232-1486-9 . 
  38. รัสเซลล์ เบอร์ทรานด์ประวัติศาสตร์ปรัชญาตะวันตกฉบับพิมพ์ซ้ำ เลดจ์ พ.ศ. 2547 น. 202,หมายเลข0-415-32505-6 . 
  39. Heath, Sir Thomas Little (1981), A History of Greek Mathematics, Volume 1 , Courier Dover Publications, พี. 162, ISBN 978-0-486-24073-2. พิมพ์ซ้ำของสิ่งพิมพ์ดั้งเดิมปี 1921 พร้อมแก้ไข errata Heath ใช้การสะกดแบบละติน "Aristophonus" สำหรับชื่อจิตรกรแจกัน
  40. Cratere with the blinding of Polyphemus and a naval battle archived 2013-11-12 at the Wayback Machine , Castellani Halls, Capitoline Museum, accessed 2013-11-11. มองเห็นรูปดาวห้าแฉกสองอันใกล้กับกึ่งกลางของภาพ
  41. ^ ค็อกซีเตอร์ HSM; Regular Polytopes , 3rd Edn, Dover (pbk), 1973, p. 114
  42. ^ เชพเพิร์ด GC; "โพลิโทปที่ซับซ้อนปกติ", Proc. คณิตศาสตร์ลอนดอน. ซ. ชุดที่ 3 เล่มที่ 2, 2495, หน้า 82-97
  43. ^ "ข้อกำหนดจุดยอด opengl "
  44. ^ "การเรนเดอร์ direct3d ตามจุดยอด & สามเหลี่ยม "
  45. ชิร์รา, สเตฟาน (2008) "กลยุทธ์จุดในรูปหลายเหลี่ยมมีความน่าเชื่อถือเพียงใด" ใน Halperin แดน; เมห์ลฮอร์น, เคิร์ต (สหพันธ์). อัลกอริทึม - ESA 2008: European Symposium ประจำปีครั้งที่ 16, Karlsruhe, Germany, 15-17 กันยายน 2008, Proceedings หมายเหตุบรรยายในวิทยาการคอมพิวเตอร์. ฉบับที่ 5193. สปริงเกอร์. หน้า 744–755 ดอย : 10.1007/978-3-540-87744-8_62 .

ลิงค์ภายนอก

ตระกูล _ บีน_ ฉัน2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 หนุ_
รูปหลายเหลี่ยมปกติ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม p-gon หกเหลี่ยม เพนตากอน
รูปทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ จัตุรมุข รูปแปดด้านCube เดมิคิวบ์ สิบ สองหน้า • Icosahedron
ชุดโพลีโครอน Pentachoron 16 เซลล์Tesseract Demitesseract 24 เซลล์ 120 เซลล์600 เซลล์
เครื่องแบบ 5-polytope 5-ซิมเพล็กซ์ 5-ออร์โธเพล็กซ์5-cube 5-เดมิคิวบ์
เครื่องแบบ 6-polytope 6-ซิมเพล็กซ์ 6-ออร์โธเพล็กซ์6-cube 6-เดมิคิวบ์ 1 222 21
เครื่องแบบ 7-polytope 7-ซิมเพล็กซ์ 7-ออร์โธเพล็กซ์7-cube 7-เดมิคิวบ์ 1 322 313 21
เครื่องแบบ 8-polytope 8-ซิมเพล็กซ์ 8-ออร์โธเพล็กซ์8-cube 8-เดมิคิวบ์ 1 422 414 21
ชุด 9-polytope 9-simplex 9-ออร์โธเพล็กซ์9-cube 9-เดมิคิวบ์
เครื่องแบบ 10-polytope 10-ซิมเพล็กซ์ 10 ออร์โธเพล็กซ์10 คิวบ์ 10-เดมิคิวบ์
เครื่องแบบn - polytope n - simplex n - orthoplexn - cube n - เดมิคิวบ์ 1 k22 k1k 21 n - โพลิโทปห้าเหลี่ยม
หัวข้อ: ตระกูล โพลิโทป • โพลิโทป ปกติรายชื่อโพลิโทปและสารประกอบทั่วไป