พิชคลาส
ในดนตรีpitch class ( pcหรือpc ) คือชุดของpitchทั้งหมดที่แยกจากกันเป็นจำนวนเต็มของอ็อกเทฟเช่น pitch class C ประกอบด้วย Cs ในทุกอ็อกเทฟ "Pitch class C หมายถึง Cs ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ในตำแหน่งอ็อกเทฟใดก็ตาม" [1]สิ่งสำคัญสำหรับทฤษฎีเซตดนตรีคลาสพิตช์คือ "พิทช์ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกันโดยใช้อ็อกเทฟ เอนฮาร์โมนิก สมมูลหรือทั้งสองอย่าง" [2]ดังนั้น การใช้สัญกรณ์พิตช์ทางวิทยาศาสตร์ คลาสพิตช์ "C" คือเซต
- {C n : nคือจำนวนเต็ม } = {..., C −2 , C -1 , C 0 , C 1 , C 2 , C 3 ...}
แม้ว่าจะไม่มีขีดจำกัดบนหรือล่างอย่างเป็นทางการสำหรับลำดับนี้ แต่มีเพียงไม่กี่ระดับเสียงที่ได้ยินจากหูของมนุษย์ ระดับชั้นพิทช์มีความสำคัญเนื่องจากการรับรู้ระดับเสียง ของมนุษย์ เป็นระยะ : ระดับเสียงที่อยู่ในชั้นพิทช์เดียวกันจะถูกมองว่ามีคุณภาพหรือสีที่คล้ายคลึงกันซึ่งเป็นคุณสมบัติที่เรียกว่า " เทียบเท่าระดับแปดเสียง "
นักจิตวิทยาอ้างถึงคุณภาพของระดับเสียงว่าเป็น "สี" [3]สีเป็นคุณลักษณะของระดับเสียง (ตรงข้ามกับความสูงของโทนสี)เช่นเดียวกับสีเป็นคุณลักษณะของสี คลาสพิ ตช์ คือชุดของพิทช์ทั้งหมดที่มีสีเดียวกัน เช่นเดียวกับ "ชุดของสิ่งที่เป็นสีขาวทั้งหมด" คือคอลเล็กชันของวัตถุสีขาวทั้งหมด [4]
โปรดทราบว่าใน อารมณ์มาตรฐานแบบตะวันตกการสะกดที่แตกต่างกันสามารถอ้างถึงวัตถุที่มีเสียงเดียวกัน: B ♯ 3 , C 4และ D 4ทั้งหมดอ้างถึงระดับเสียงเดียวกัน ดังนั้นจึงใช้สีเดียวกันและดังนั้นจึงอยู่ในระดับระดับเสียงเดียวกัน ปรากฏการณ์ที่เรียกว่าenharmonic
equivalence
สัญกรณ์จำนวนเต็ม
เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาการสะกดคำแบบผสมผสาน นักทฤษฎีมักจะแสดงคลาสพิตช์โดยใช้ตัวเลขที่เริ่มต้นจากศูนย์ โดยแต่ละจำนวนเต็มที่มากขึ้นตามลำดับจะแทนคลาสพิตช์ที่จะสูงกว่าหนึ่งเซมิโทน หากทั้งหมดรับรู้ว่าเป็นระดับเสียงจริงในที่เดียวกัน อ็อกเทฟ เนื่องจากระดับเสียงที่เกี่ยวข้องกับอ็อกเทฟอยู่ในคลาสเดียวกัน เมื่อถึงอ็อกเทฟ ตัวเลขจะเริ่มอีกครั้งที่ศูนย์ ระบบวัฏจักรนี้เรียกว่าเลขคณิตแบบแยกส่วนและในกรณีปกติของมาตราส่วนสีสิบสองโทน การกำหนดหมายเลขระดับพิทช์ถือเป็น "โมดูโล 12" (ปกติแล้วจะย่อว่า "ม็อด 12" ในวรรณกรรมทฤษฎีดนตรี)—นั่นคือ , สมาชิกที่สิบสองทุกคนเหมือนกัน สามารถจับคู่ความถี่พื้นฐานของพิทช์ได้ (วัดเป็นเฮิรตซ์) เป็นจำนวนจริงpโดยใช้สมการ
สิ่งนี้สร้างพื้นที่พิ ทช์เชิงเส้น โดยอ็อกเทฟมีขนาด 12 ครึ่งเสียง (ระยะห่างระหว่างคีย์ที่อยู่ติดกันบนคีย์บอร์ดเปียโน) มีขนาด 1 และC กลาง (C 4 ) ถูกกำหนดเป็นตัวเลข 0 (ดังนั้น พิตช์บนเปียโนคือ: 39 ถึง +48) อันที่จริง การแมปจากพิตช์เป็นจำนวนจริงที่กำหนดในลักษณะนี้เป็นพื้นฐานของMIDI Tuning Standardซึ่งใช้ตัวเลขจริงตั้งแต่ 0 ถึง 127 เพื่อแทนระดับเสียง C -1ถึง G 9 (ดังนั้น ค่ากลาง C คือ 60) เพื่อเป็นตัวแทนของ pitch classเราต้องระบุหรือ "glue together" ทุก pitch ที่อยู่ใน pitch class เดียวกัน—เช่นตัวเลขทั้งหมดpและp + 12. ผลที่ได้คือกลุ่มความฉลาด ทางวัฏจักร ที่นักดนตรีเรียกว่าpitch class spaceและนักคณิตศาสตร์เรียกR /12 Z . จุดในพื้นที่นี้สามารถติดป้ายกำกับได้โดยใช้ตัวเลขจริงในช่วง 0 ≤ x < 12 ตัวเลขเหล่านี้ให้ทางเลือกที่เป็นตัวเลขแทนชื่อตัวอักษรของทฤษฎีดนตรีระดับประถมศึกษา:
- 0 = C, 1 = C ♯ /D ♭ , 2 = D, 2.5 = D
( คมชัด สี่ส่วน ), 3 = D ♯ /E ♭ ,
และอื่นๆ ในระบบนี้ คลาสพิตช์ที่แสดงด้วยจำนวนเต็มคือคลาสของอารมณ์ที่เท่ากันสิบสองโทน (สมมติว่าคอนเสิร์ต A มาตรฐาน)
ในดนตรี สัญ กรณ์จำนวนเต็มคือการแปลคลาสพิตช์และ/หรือคลาสตามช่วงเวลาเป็นจำนวนเต็ม [5]ดังนั้น ถ้า C = 0 แล้ว C ♯ = 1 ... A ♯ = 10, B = 11 โดยที่ "10" และ "11" แทนที่ด้วย "t" และ "e" ในบางแหล่ง[5] AและBในอีก[6] (เช่น ระบบ เลขฐานสองซึ่งยังใช้ "t" และ "e" หรือAและBสำหรับ "10" และ "11") ซึ่งช่วยให้สามารถนำเสนอข้อมูลเกี่ยวกับวัสดุหลังวรรณยุกต์ ได้อย่างประหยัดที่สุด
ในโมเดลจำนวนเต็มของพิตช์ คลาสพิตช์ทั้งหมดและช่วงเวลาระหว่างคลาสพิตช์ถูกกำหนดโดยใช้ตัวเลข 0 ถึง 11 ไม่ได้ใช้เพื่อโน้ตดนตรีเพื่อการแสดง แต่เป็น เครื่องมือใน การวิเคราะห์และ เรียบเรียงทั่วไปเมื่อทำงานกับ ดนตรีโครมาติก รวมถึง12 โทนซีเรียลหรือเพลงที่ผิด โทน
คลาส Pitch สามารถบันทึกได้ด้วยวิธีนี้โดยกำหนดหมายเลข 0 ให้กับโน้ตบางตัวและกำหนดจำนวนเต็มต่อเนื่องให้กับ เซ มิโทน ที่ต่อเนื่องกัน ดังนั้นถ้า 0 คือ C ธรรมชาติ 1 คือ C ♯ 2 คือ D ♮และต่อเนื่องไปจนถึง 11 ซึ่งก็คือB ♮ C ด้านบนนี้ไม่ใช่ 12 แต่เป็น 0 อีกครั้ง (12 − 12 = 0) ดังนั้น โมดูโลเล ข คณิต12 จึงถูกใช้แทนอ็อกเท ฟสมมูล ข้อดีอย่างหนึ่งของระบบนี้คือไม่สนใจ "การสะกด" ของโน้ต (B ♯ , C ♮และ D เป็น 0) ตามฟังก์ชันไดอะโทนิก
ข้อเสีย
มีข้อเสียบางประการกับสัญกรณ์จำนวนเต็ม ประการแรก นักทฤษฎีมักใช้จำนวนเต็มเดียวกันเพื่อระบุองค์ประกอบของระบบการปรับจูนต่างๆ ดังนั้น ตัวเลข 0, 1, 2, ... 5 ถูกใช้เพื่อระบุคลาสพิตช์ในอารมณ์ที่เท่ากัน 6 โทน ซึ่งหมายความว่าความหมายของจำนวนเต็มที่กำหนดจะเปลี่ยนแปลงด้วยระบบการปรับเสียงพื้นฐาน: "1" สามารถอ้างถึง C ♯ในอารมณ์ที่เท่ากัน 12 โทน แต่ D ในอารมณ์ที่เท่ากัน 6 โทน
นอกจากนี้ ตัวเลขเดียวกันยังใช้แทนทั้งสนามและช่วง ตัวอย่างเช่น หมายเลข 4 ทำหน้าที่เป็นทั้งป้ายกำกับสำหรับระดับสนาม E (ถ้า C = 0) และเป็นป้ายกำกับสำหรับระยะห่างระหว่างคลาสสนาม D และF ♯ (ในทำนองเดียวกัน คำว่า "10 องศา" สามารถระบุทั้งอุณหภูมิและระยะห่างระหว่างอุณหภูมิสองอุณหภูมิได้) ฉลากเหล่านี้มีเพียงหนึ่งฉลากเท่านั้นที่ไวต่อการเลือก (โดยพลการ) ของระดับพิทช์ 0 ตัวอย่างเช่น ถ้าทำ ตัวเลือกอื่นเกี่ยวกับคลาสพิตช์ที่มีป้ายกำกับเป็น 0 จากนั้นคลาสพิตช์ E จะไม่ถูกระบุว่าเป็น "4" อีกต่อไป อย่างไรก็ตาม ระยะห่างระหว่าง D และ F ♯จะยังคงถูกกำหนดหมายเลข 4 ทั้งนี้และปัญหาในย่อหน้าด้านบนโดยตรงอาจถูกมองว่าเป็นข้อเสีย (แม้ว่าในทางคณิตศาสตร์ องค์ประกอบ "4" ไม่ควรสับสนกับฟังก์ชัน "+4")
วิธีอื่นๆ ในการติดป้ายกำกับคลาสพิตช์
| พิช คลาส |
คู่เสียงวรรณยุกต์ | โซลเฟจ |
|---|---|---|
| 0 | C (เช่น B ♯ , D )
|
ทำ |
| 1 | C ♯ , D ♭ (เช่น B  )
|
|
| 2 | D (เช่น C , E )
|
อีกครั้ง |
| 3 | D ♯ , E ♭ (เช่น F )
|
|
| 4 | E (เช่น D , F ♭ )
|
มิ |
| 5 | F (เช่น E ♯ , G )
|
ฟ้า |
| 6 | F ♯ , G ♭ (เช่น E )
|
|
| 7 | G (เช่น F , A )
|
โซล |
| 8 | จี♯ , เอ♭ | |
| 9 | A (ด้วย G , B )
|
ลา |
| 10, t หรือ A | A ♯ , B ♭ (เช่น C )
|
|
| 11, e หรือ B | B (เช่น A , C ♭ )
|
ซิ |
ระบบที่อธิบายข้างต้นมีความยืดหยุ่นเพียงพอที่จะอธิบายระดับพิตช์ใดๆ ในระบบการจูนใดๆ ตัวอย่างเช่น สามารถใช้ตัวเลข {0, 2.4, 4.8, 7.2, 9.6} เพื่ออ้างถึงสเกลห้าโทนที่แบ่งอ็อกเทฟเท่าๆ กัน อย่างไรก็ตาม ในบางบริบท จะสะดวกที่จะใช้ระบบการติดฉลากทางเลือก ตัวอย่างเช่น ในการออกเสียงสูงต่ำเราอาจแสดงระดับเสียงในแง่ของจำนวนตรรกยะบวกพี/qแสดงโดยอ้างอิงถึง 1 (มักเขียนว่า "1/1") ซึ่งแสดงถึงระยะพิทช์คงที่ ถ้าaและbเป็นจำนวนตรรกยะบวกสองตัว พวกมันอยู่ในคลาสพิตช์เดียวกันก็ต่อเมื่อ
สำหรับจำนวนเต็ม บาง ตัวn ดังนั้นเราจึงสามารถแสดงคลาสพิตช์ในระบบนี้โดยใช้อัตราส่วนพี/qโดยที่pและqหารด้วย 2 ไม่ลงตัว นั่นคือ เป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มคี่ อีกทางหนึ่ง เราสามารถแสดงเฉพาะคลาสระดับเสียงสูงต่ำโดยการลดเป็นอ็อกเทฟ 1 ≤ พี/q <2.
เป็นเรื่องปกติมากที่จะติดป้ายกำกับคลาส pitch โดยอ้างอิงถึงสเกล บาง ตัว ตัวอย่างเช่น เราสามารถติดป้ายกำกับคลาสพิ ตช์ของอารมณ์ที่ เท่ากัน ของ n -tone โดยใช้จำนวนเต็ม 0 ถึงn − 1 ในทำนองเดียวกัน เราสามารถระบุคลาสพิตช์ของสเกล C เมเจอร์ C–D–E–F– G–A–B โดยใช้ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 6 ระบบนี้มีข้อดีสองประการเหนือระบบการติดฉลากแบบต่อเนื่องที่อธิบายไว้ข้างต้น อย่างแรก มันขจัดข้อเสนอแนะใดๆ ว่ามีบางอย่างที่เป็นธรรมชาติเกี่ยวกับการแบ่งอ็อกเทฟสิบสองเท่า ประการที่สอง มันหลีกเลี่ยงจักรวาลระดับพิทช์ที่มีการขยายทศนิยมเทอะทะเมื่อพิจารณาเทียบกับ 12; เช่น ในระบบต่อเนื่อง พิตช์คลาส19 อารมณ์เท่ากันมีป้ายกำกับ 0.63158..., 1.26316... ฯลฯ การติดป้ายกำกับคลาสพิตช์เหล่านี้ {0, 1, 2, 3 ..., 18} ช่วยลดความซับซ้อนของเลขคณิตที่ใช้ในการจัดการชุดระดับพิทช์
ข้อเสียของระบบแบบอิงตามสเกลคือมันกำหนดชื่อที่แตกต่างกันจำนวนอนันต์ให้กับคอร์ดที่ฟังดูเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น ในอารมณ์ที่เท่าเทียมกันสิบสองโทน C major triad จะถูกบันทึกไว้ {0, 4, 7} ในอารมณ์ที่เท่ากันยี่สิบสี่โทน กลุ่มสามกลุ่มเดียวกันนี้มีป้ายกำกับ {0, 8, 14} ยิ่งกว่านั้น ระบบที่ใช้มาตราส่วนดูเหมือนจะแนะนำว่าระบบการจูนที่แตกต่างกันใช้ขั้นตอนที่มีขนาดเท่ากัน ("1") แต่มีอ็อกเทฟที่มีขนาดต่างกัน ("12" ใน 12 โทนเสียงที่เท่ากัน "19" ใน 19 โทน อารมณ์ที่เท่าเทียมกัน และอื่นๆ) ในขณะที่ความจริงแล้ว สิ่งที่ตรงกันข้ามคือความจริง: ระบบการปรับแต่งที่ต่างกันจะแบ่งอ็อกเทฟเดียวกันออกเป็นขั้นตอนที่มีขนาดต่างกัน
โดยทั่วไป มักจะมีประโยชน์มากกว่าที่จะใช้ระบบจำนวนเต็มแบบเดิมเมื่อทำงานภายในอารมณ์เดียว เมื่อเปรียบเทียบคอร์ดในอารมณ์ที่ต่างกัน ระบบต่อเนื่องจะมีประโยชน์มากกว่า
ดูเพิ่มเติม
อ้างอิง
- ↑ Arnold Whittall , The Cambridge Introduction to Serialism (นิวยอร์ก: Cambridge University Press, 2008): 276. ISBN 978-0-521-68200-8 (pbk)
- ↑ ดอน ไมเคิล แรนเดล, เอ็ด. (2003). "ทฤษฎีเซต", The Harvard Dictionary of Music , p.776. ฮาร์วาร์ด. ไอ9780674011632 .
- ↑ ทิมอชโก, ดมิทรี (2011). A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice , น.30. อ็อกซ์ฟอร์ดศึกษาในทฤษฎีดนตรี ไอ9780199714353 .
- ↑ มุลเลอร์, ไมนาร์ด (2007). การสืบค้นข้อมูลสำหรับดนตรีและการเคลื่อนไหว , น.60. ไอเอสบีเอ็น9783540740483 . "คลาสพิตช์ถูกกำหนดให้เป็นเซ็ตของพิตช์ทั้งหมดที่มีโครมาเดียวกัน"
- ^ a b c Whittall (2008), p.273.
- ↑ โรเบิร์ต ดี. มอร์ริส "Generalizing Rotational Arrays", Journal of Music Theory 32, no. 1 (ฤดูใบไม้ผลิ 1988): 75–132 อ้างจาก 83
อ่านเพิ่มเติม
- เพอร์วินส์, เฮนดริก (2005). โปรไฟล์ ของคลาสพิตช์: การหมุนเวียนของพิตช์และคีย์สัมพัทธ์—การทดลอง โมเดล การวิเคราะห์ดนตรีเชิงคำนวณ และมุมมอง " ปริญญาเอก วิทยานิพนธ์. เบอร์ลิน: Technische Universität เบอร์ลิน .
- ราห์น, จอห์น (1980). ทฤษฎี Atonalพื้นฐาน นิวยอร์ก: ลองแมน; ลอนดอนและโตรอนโต: Prentice Hall International ไอเอสบีเอ็น0-02-873160-3 . พิมพ์ซ้ำ 2530 นิวยอร์ก: หนังสือ Schirmer; ลอนดอน: Collier Macmillan
- ชุยเยอร์, มิชิเอล (2008) การวิเคราะห์ Atonal Music: ทฤษฎีการจัดระดับระดับเสียงและบริบท Eastman Studies in Music 60 Rochester, NY: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยโรเชสเตอร์ ไอ978-1-58046-270-9 .