ฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นชิ้นๆ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา

ในคณิตศาสตร์และสถิติฟังก์ชันเชิงเส้นเป็น ชิ้น , PLหรือ การ แบ่งส่วนเป็นฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริง ซึ่งกราฟประกอบด้วยส่วนของเส้นตรง [1]

คำจำกัดความ

ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบทีละชิ้นคือฟังก์ชันที่กำหนดช่วง (อาจไม่มีขอบเขต) ของจำนวนจริงในลักษณะที่ว่าจะมีชุดของช่วงซึ่งแต่ละฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน ที่สัมพันธ์ กัน ถ้าโดเมนของฟังก์ชันมีขนาดกะทัดรัดจำเป็นต้องมีการรวบรวมช่วงเวลาดังกล่าวอย่างจำกัด ถ้าโดเมนไม่กระชับ ก็อาจจะต้องจำกัดหรือจำกัดเฉพาะในจำนวนจริง

ตัวอย่าง

ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบทีละชิ้นอย่างต่อเนื่อง

ฟังก์ชันที่กำหนดโดย

เป็นเส้นตรงเป็นชิ้นๆ มีสี่ชิ้น กราฟของฟังก์ชันนี้แสดงไว้ทางด้านขวา เนื่องจากกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นคือเส้นกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบเป็นชิ้นประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงและรังสี ค่าx (ในตัวอย่างด้านบน −3, 0, และ 3) ที่การเปลี่ยนแปลงความชันมักจะเรียกว่าจุดพัก จุดเปลี่ยน ค่าธรณีประตู หรือนอต เช่นเดียวกับในหลาย ๆ แอปพลิเคชัน ฟังก์ชันนี้ยังทำงานต่อเนื่องอีกด้วย กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นชิ้นอย่างต่อเนื่องในช่วงเวลาที่กระชับคือสาย โซ่เหลี่ยม

ตัวอย่างอื่นๆ ของฟังก์ชัน เชิง เส้นทีละชิ้น ได้แก่ ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ฟังก์ชันฟันเลื่อยและฟังก์ชันพื้น

เข้าโค้ง

ฟังก์ชัน (สีน้ำเงิน) และการประมาณเชิงเส้นแบบเป็นชิ้น (สีแดง)

สามารถหาค่าประมาณของเส้นโค้งที่ทราบได้โดยการสุ่มตัวอย่างเส้นโค้งและแทรกเป็นเส้นตรงระหว่างจุด มีการเผยแพร่อัลกอริธึมสำหรับการคำนวณจุดที่สำคัญที่สุดภายใต้ความทนทานต่อข้อผิดพลาดที่กำหนด [2]

ความเหมาะสมกับข้อมูล

หากทราบพาร์ติชั่นและเบรกพอยต์การถดถอยเชิงเส้นสามารถดำเนินการได้อย่างอิสระบนพาร์ติชั่นเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม ความต่อเนื่องจะไม่ถูกรักษาไว้ในกรณีนี้ และไม่มีแบบจำลองอ้างอิงเฉพาะที่เป็นพื้นฐานของข้อมูลที่สังเกตได้ อัลกอริทึมที่เสถียรสำหรับกรณีนี้ได้รับมา [3]

หากไม่ทราบพาร์ติชั่น สามารถ ใช้ ผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เหลือเพื่อเลือกจุดแยกที่เหมาะสมที่สุดได้ [4]อย่างไรก็ตาม การคำนวณที่มีประสิทธิภาพและการประมาณค่าร่วมกันของพารามิเตอร์โมเดลทั้งหมด (รวมถึงเบรกพอยต์) อาจได้รับจากกระบวนการวนซ้ำ[5]ที่นำมาใช้ในปัจจุบันในแพ็คเกจsegmented[6]สำหรับ ภาษาR

ตัวแปรของ การเรียนรู้แผนผัง การตัดสินใจที่เรียกว่าต้นไม้แบบจำลองเรียนรู้ฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นชิ้นๆ [7]

สัญกรณ์

ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบทีละชิ้นในสองมิติ (ด้านบน) และโพลิโทปนูนซึ่งเป็นเส้นตรง (ด้านล่าง)

แนวคิดของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบทีละชิ้นมีความหมายในบริบทต่างๆ ที่หลากหลาย ฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นชิ้น ๆ อาจถูกกำหนดบน สเปซแบบยู คลิดnมิติ หรือโดยทั่วไปแล้วปริภูมิเวกเตอร์หรือ สเปซที่สัมพันธ์ กัน เช่นเดียวกับบนท่อร่วมเชิงเส้น เป็นชิ้น เชิงซ้อนแบบง่ายและอื่นๆ ในแต่ละกรณี ฟังก์ชันอาจเป็น ค่า จริงหรืออาจใช้ค่าจากปริภูมิเวกเตอร์, สเปซที่สัมพันธ์กัน, ท่อร่วมเชิงเส้นแบบเป็นชิ้น หรือเชิงซ้อนแบบง่าย (ในบริบทเหล่านี้ คำว่า "เชิงเส้น" ไม่ได้หมายถึงการแปลงเชิงเส้น เพียงอย่างเดียว แต่หมายถึง ฟังก์ชัน เชิงเส้นตรงทั่วไปที่มากกว่า )

ในมิติที่สูงกว่าหนึ่ง เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดให้โดเมนของแต่ละชิ้นเป็นรูปหลายเหลี่ยมหรือ โพลิ โทสิ่งนี้รับประกันได้ว่ากราฟของฟังก์ชันจะประกอบด้วยชิ้นส่วนหลายเหลี่ยมหรือหลายชิ้น

คลาสย่อยที่สำคัญของฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นชิ้นตรง ได้แก่ ฟังก์ชันเชิงเส้นตรงเป็น ชิ้น ต่อเนื่องแบบ ต่อเนื่อง และฟังก์ชันเชิงเส้นตรงแบบเป็นส่วน นูนแบบ ต่อเนื่อง โดยทั่วไป สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นตรงเป็นชิ้นต่อเนื่องn มิติทุกมิติ, มี

ดังนั้น

[8]

ถ้านูนและต่อเนื่อง จึงมี

ดังนั้น

Splinesสรุปฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นชิ้น ๆ ให้เป็นพหุนามลำดับที่สูงกว่า ซึ่งจะรวมอยู่ในหมวดหมู่ของฟังก์ชันที่แยกตามชิ้นส่วนได้ PDIFF

แอปพลิเคชัน

พืชผลตอบสนองต่อความลึกของแหล่งน้ำ[9]
ตัวอย่างการตอบสนองของพืชต่อความเค็มของดิน[10]

ในการเกษตรการวิเคราะห์การถดถอย ทีละ ส่วนของข้อมูลที่วัดได้นั้นใช้เพื่อตรวจจับช่วงที่ปัจจัยการเจริญเติบโตส่งผลต่อผลผลิตและช่วงที่พืชผลไม่ไวต่อการเปลี่ยนแปลงของปัจจัยเหล่านี้

ภาพด้านซ้ายแสดงให้เห็นว่าที่ระดับน้ำตื้นผลผลิตจะลดลง ในขณะที่ตารางน้ำที่ลึกกว่า (> 7 dm) ผลผลิตจะไม่ได้รับผลกระทบ กราฟถูกสร้างขึ้นโดยใช้วิธีการกำลังสองน้อยที่สุดเพื่อค้นหาสองส่วนที่มีความเหมาะสมที่สุด

กราฟทางด้านขวาเผยให้เห็นว่าผลผลิตพืชผลสามารถทนต่อความเค็มของดินได้สูงถึง ECe = 8 dS/m (ค่าการนำไฟฟ้าของสารสกัดจากตัวอย่างดินที่อิ่มตัว) ในขณะที่การผลิตพืชผลลดลงเกินกว่าค่านั้น กราฟนี้ใช้วิธีการถดถอยบางส่วนเพื่อหาช่วงที่ "ไม่มีผลกระทบ" ที่ยาวที่สุด กล่าวคือ เมื่อเส้นอยู่ในแนวนอน ทั้งสองส่วนไม่จำเป็นต้องเข้าร่วมที่จุดเดียวกัน ใช้เฉพาะวิธีส่วนที่สองที่มีกำลังสองน้อยที่สุดเท่านั้น

ดูเพิ่มเติม

อ่านเพิ่มเติม

อ้างอิง

  1. ^ สแตนลีย์ วิลเลียม ดี. (2004). การวิเคราะห์ทางเทคนิคและการใช้งาน ด้วยMatlab การเรียนรู้ Cengage หน้า 143. ISBN 978-1401864811.
  2. ^ ฮามันน์ บี.; เฉิน เจแอล (1994). "การเลือกจุดข้อมูลสำหรับการประมาณเส้นโค้งเชิงเส้นเป็นชิ้น" (PDF ) การออกแบบ ทางเรขาคณิตโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย 11 (3): 289. ดอย : 10.1016/0167-8396(94)90004-3 .
  3. โกลอฟเชนโก, นิโคไล. "พอดีกำลังสองน้อยที่สุดของฟังก์ชันเชิงเส้นตรงเป็นชิ้นต่อเนื่อง" สืบค้นเมื่อ6 ธันวาคม 2555 .{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
  4. ^ Vieth, E. (1989). "การปรับฟังก์ชันการถดถอยเชิงเส้นเป็นชิ้นๆ ให้เหมาะสมกับการตอบสนองทางชีวภาพ" วารสารสรีรวิทยาประยุกต์ . 67 (1): 390–396. ดอย : 10.1152/jappl.1989.67.1.390 . PMID 2759968 . 
  5. มูจีโอ, VMR (2003). "การประมาณการตัวแบบการถดถอยที่ไม่ทราบจุดพัก" สถิติการแพทย์ . 22 (19): 3055–3071. ดอย : 10.1002/sim.1545 . PMID 12973787 . 
  6. ^ มูจีโอ, VMR (2008) "แบ่งส่วน: แพ็คเกจ R เพื่อให้พอดีกับแบบจำลองการถดถอยที่มีความสัมพันธ์แบบหัก" (PDF ) อาร์ นิวส์ 8 : 20–25.
  7. ^ Landwehr, N.; ฮอลล์, ม.; แฟรงค์ อี. (2005). "ต้นไม้ต้นแบบด้านลอจิสติกส์" (PDF) . การเรียนรู้ ของเครื่อง 59 (1-2): 161–205. ดอย : 10.1007/s10994-005-0466-3 . S2CID 6306536 .  
  8. อฟชินนิคอฟ, เซอร์เกย์ (2002). "การแสดงค่าสูงสุดของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบทีละชิ้น" Beiträge zur พีชคณิตและเรขาคณิต 43 (1): 297–302. arXiv : คณิตศาสตร์/0009026 มร. 1913786 . 
  9. ^ เครื่องคิดเลขสำหรับการถดถอยทีละ
  10. ^ เครื่องคิดเลขสำหรับการถดถอยบางส่วน