ฟังก์ชั่นขั้นตอน

ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันบนจำนวนจริงเรียกว่าฟังก์ชันสเต็ปหากสามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นจำกัด ของฟังก์ชันตัวบ่งชี้ของช่วงเวลาได้ พูดอย่างไม่เป็นทางการ ฟังก์ชันขั้นเป็นฟังก์ชันคงที่แบบชิ้นซึ่งมีจำนวนจำกัดเท่านั้น

ตัวอย่างฟังก์ชันขั้นตอน (กราฟสีแดง) ในฟังก์ชันนี้ แต่ละฟังก์ชันย่อยคงที่ที่มีค่าฟังก์ชันα i ( i = 0, 1, 2, ...) ถูกกำหนดโดยช่วงเวลาA iและช่วงเวลาจะแตกต่างด้วยจุดx j ( j = 1, 2, .. .) ฟังก์ชั่นขั้นตอนนี้มีความต่อเนื่องทางขวา

ความหมายและผลที่ตามมาแรก

ฟังก์ชันจะเรียกว่าฟังก์ชันขั้นตอนหากสามารถเขียนเป็นฟังก์ชันได้[ citation need ]

, สำหรับจำนวนจริงทั้งหมด

โดยที่เป็นจำนวนจริงเป็นช่วง และเป็นฟังก์ชันตัวบ่งชี้ของ:

ในคำนิยามนี้ ช่วงเวลาสามารถสันนิษฐานได้ว่ามีคุณสมบัติสองประการต่อไปนี้:

  1. ช่วงเวลาไม่ต่อเนื่องกันเป็นคู่ : สำหรับ
  2. การรวมกันของช่วงเวลาคือเส้นจริงทั้งหมด:

อันที่จริง หากไม่เป็นเช่นนั้น คุณสามารถเลือกชุดช่วงเวลาอื่นได้ตามสมมติฐานเหล่านี้ เช่น ฟังก์ชันสเต็ป

สามารถเขียนเป็น

การเปลี่ยนแปลงในคำจำกัดความ

บางครั้ง ช่วงเวลาจำเป็นต้องเปิดทางขวา[1]หรือปล่อยให้เป็นซิงเกิลตัน[2]เงื่อนไขที่ว่าการรวบรวมช่วงเวลาจะต้องมีจำกัดมักจะถูกทิ้งไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งในคณิตศาสตร์ของโรงเรียน[3] [4] [5]แม้ว่ามันจะยังคงจำกัดอยู่เฉพาะที่ ส่งผลให้เกิดคำจำกัดความของฟังก์ชันคงที่ทีละชิ้น

ตัวอย่าง

ฟังก์ชันสเต็ป Heavisideเป็นฟังก์ชันสเต็ปที่ใช้บ่อย
  • ฟังก์ชันคงที่เป็นตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ของฟังก์ชันสเต็ป แล้วมีช่วงเดียวเท่านั้น
  • ฟังก์ชันเครื่องหมาย sgn( x )ซึ่งก็คือ −1 สำหรับจำนวนลบและ +1 สำหรับจำนวนบวก และเป็นฟังก์ชันขั้นที่ไม่คงที่ที่ง่ายที่สุด
  • ฟังก์ชันเฮวิไซด์ H ( x )ซึ่งเป็น 0 สำหรับจำนวนลบและ 1 สำหรับจำนวนบวก เทียบเท่ากับฟังก์ชันเครื่องหมาย ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงและขนาดของช่วง ( ) เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังสัญญาณ การทดสอบบางอย่าง เช่น สัญญาณที่ใช้เพื่อกำหนดการตอบสนองขั้นตอนของระบบไดนามิก
ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมซึ่งเป็นฟังก์ชันขั้นตอนที่ง่ายที่สุดถัดไป

ไม่ใช่ตัวอย่าง

  • ฟังก์ชันส่วนจำนวนเต็มไม่ใช่ฟังก์ชันขั้นตอนตามคำจำกัดความของบทความนี้ เนื่องจากมีช่วงจำนวนอนันต์ อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบางคน[6]ยังกำหนดฟังก์ชันขั้นตอนด้วยจำนวนช่วงเวลาที่ไม่สิ้นสุด[6]

คุณสมบัติ

  • ผลรวมและผลคูณของฟังก์ชันสองขั้นตอนจะเป็นฟังก์ชันขั้นตอนอีกครั้ง ผลคูณของฟังก์ชันขั้นที่มีตัวเลขก็เป็นฟังก์ชันขั้นเช่นกัน ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันขั้นจึงสร้างพีชคณิตเหนือจำนวนจริง
  • ฟังก์ชัน step รับค่าจำนวนจำกัดเท่านั้น หากช่วงเวลาในคำจำกัดความข้างต้นของฟังก์ชันขั้นตอนไม่ต่อเนื่องกันและการรวมกันของมันคือเส้นจริง ดังนั้นสำหรับทั้งหมด
  • อินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันสเต็ปคือฟังก์ชันเชิงเส้นแบบชิ้นเดียว
  • อินทิกรัล Lebesgueของฟังก์ชันขั้นคือโดยที่คือความยาวของช่วงและสันนิษฐานว่าช่วงทั้งหมดมีความยาวจำกัด ในความเป็นจริง ความเท่าเทียมกันนี้ (ถือเป็นคำจำกัดความ) อาจเป็นขั้นตอนแรกในการสร้างอินทิกรัลเลอเบสก์[7]
  • บางครั้ง ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องถูกกำหนดให้เป็นตัวแปรสุ่มซึ่งมีฟังก์ชันการแจกแจงสะสมเป็นค่าคงที่ทีละส่วน[8]ในกรณีนี้ มันเป็นฟังก์ชันขั้นตอนภายในเครื่อง (ทั่วโลก อาจมีจำนวนขั้นตอนไม่สิ้นสุด) อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว ตัวแปรสุ่มใดๆ ที่มีค่าที่เป็นไปได้เพียงจำนวนนับได้เท่านั้นเรียกว่าตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ในกรณีนี้ ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตัวแปรเหล่านั้นไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันขั้นตอนเฉพาะที่ เนื่องจากช่วงต่างๆ มากมายไม่สิ้นสุดสามารถสะสมได้ในพื้นที่จำกัด

ดูสิ่งนี้ด้วย

อ้างอิง

  1. ^ "ฟังก์ชันขั้นตอน"
  2. "ฟังก์ชันขั้นตอน - Mathonline".
  3. "คำคณิตศาสตร์: ฟังก์ชันขั้นตอน".
  4. https://study.com/academy/lesson/step-function-definition-equation-examples.html [ URL เปล่า ]
  5. ^ "ฟังก์ชันขั้นตอน"
  6. ↑ อับ บาคมัน, นาริซี, เบคเกนสไตน์ (5 เมษายน พ.ศ. 2545) "ตัวอย่าง 7.2.2" การวิเคราะห์ฟูริเยร์และเวฟเล็ต สปริงเกอร์ นิวยอร์ก 2000 ISBN 0-387-98899-8-{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  7. เวียร์, อลัน เจ (10 พฤษภาคม พ.ศ. 2516) "3". การบูรณาการและการวัดผลแบบ Lebesgue สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2516 ISBN 0-521-09751-7-
  8. เบิร์ตเซคาส, ดิมิทรี พี. (2002) ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับความน่าจะเป็นซิตซิกลิส, จอห์น เอ็น. , Τσιτσικлής, Γιάννης Ν. เบลมอนต์, แมสซาชูเซตส์: Athena Scientific ไอเอสบีเอ็น 188652940X- โอซีแอลซี  51441829
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Step_function&oldid=1170550926"