พีดีไอเอฟ

Splinesนั้นเรียบเป็นเศษส่วน ดังนั้นใน PDIFF แต่ไม่เรียบทั้งหมดหรือเป็นเส้นตรงแบบแยกส่วน ดังนั้นจึงไม่อยู่ใน DIFF หรือ PL

ในโทโพโลยีเชิงเรขาคณิตPDIFFสำหรับp iecewise diff erentiable เป็นหมวดหมู่ของท่อร่วมแบบแยกส่วน และแบบเรียบและแบบแยกส่วนระหว่างพวกมัน ประกอบด้วย DIFF (หมวดหมู่ของท่อร่วมทางเรียบและฟังก์ชันทางเรียบระหว่างพวกมัน) และ PL (หมวดหมู่ของท่อร่วมเชิงเส้นแบบแยกส่วนและแผนที่เส้นตรงแบบ แยก ส่วนระหว่างพวกมัน) และเหตุผลที่กำหนดไว้ก็เพื่อให้คนๆ หนึ่งเชื่อมโยงสองหมวดหมู่นี้เข้าด้วยกัน นอกจากนี้ ฟังก์ชันแบบแยกส่วน เช่นเส้นโค้งและโซ่หลายเหลี่ยมเป็นเรื่องปกติในวิชาคณิตศาสตร์ และ PDIFF จัดเตรียมหมวดหมู่สำหรับการอภิปราย

แรงจูงใจ

PDIFF ทำหน้าที่เชื่อมโยง DIFF และ PL และเทียบเท่ากับ PL

PDIFF ส่วนใหญ่เป็นประเด็นทางเทคนิค: แผนที่ที่ราบเรียบไม่ใช่เส้นตรงแบบแยกส่วน (เว้นแต่เป็นเส้นตรง) และแผนที่เส้นตรงแบบแยกส่วนจะไม่เรียบ (เว้นแต่เป็นเส้นตรงทั่วโลก) – จุดตัดคือแผนที่เส้นตรง หรือที่แม่นยำกว่านั้นก็คือแผนที่เปรียบเทียบ (เพราะไม่ได้อิงตาม ) ดังนั้น ไม่สามารถเกี่ยวข้องโดยตรงได้: เป็นลักษณะทั่วไปที่แยกจากกันของแนวคิดเรื่องแผนที่เปรียบเทียบ

อย่างไรก็ตาม แม้ว่าท่อร่วมแบบเรียบจะไม่ใช่ท่อร่วม PL แต่ก็มีโครงสร้าง PL แบบบัญญัติ - มันสามารถเป็นรูปสามเหลี่ยมได้โดยเฉพาะ ในทางกลับกัน ไม่ใช่ทุกท่อร่วม PL ที่ปรับให้เรียบได้ สำหรับท่อร่วมทางเรียบเฉพาะหรือแผนผังทางเรียบระหว่างท่อร่วมทางเรียบ สามารถแสดงได้โดยการแบ่งท่อร่วมออกเป็นชิ้นเล็กๆ พอ แล้วทำให้ท่อร่วมหรือแผนผังเป็นเส้นตรงในแต่ละชิ้นส่วน ตัวอย่างเช่น วงกลมในระนาบสามารถประมาณค่าได้โดย สามเหลี่ยม แต่ไม่ใช่2 เหลี่ยมเนื่องจากหลังนี้ไม่สามารถฝังตัวเป็นเส้นตรงได้

อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์ระหว่าง Diff และ PL นี้ต้องการตัวเลือก และแสดงให้เห็นและเข้าใจได้อย่างเป็นธรรมชาติมากขึ้นโดยการรวมหมวดหมู่ทั้งสองไว้ในหมวดหมู่ที่ใหญ่ขึ้น จากนั้นแสดงว่าการรวม PL นั้นมีความเท่าเทียมกัน: ทุกท่อร่วมที่ราบรื่นและท่อร่วม PL ทุกอันคือท่อร่วม PDiff . ดังนั้น การเปลี่ยนจาก Diff เป็น PDiff และ PL เป็น PDiff จึงเป็นเรื่องปกติ – เป็นเพียงการรวมเข้าด้วยกันเท่านั้น แผนที่ PL ถึง PDiff แม้ว่าจะไม่ใช่ความเท่าเทียมกัน - ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่ราบรื่นทีละส่วนจะเป็นเส้นตรงทีละส่วน - คือการสมมูล: เราสามารถย้อนกลับได้โดยทำให้ชิ้นส่วนเป็นเส้นตรง ดังนั้นจึงสามารถกลับด้านเพื่อวัตถุประสงค์บางอย่างหรือพิจารณาว่าเป็นมอร์ฟิซึ่มซึ่งให้แผนที่หมวดหมู่เหล่านี้ทั้งหมดอยู่ใน TOP หมวดหมู่ของทอพอโลยีมากมายและแผนที่ต่อเนื่องระหว่างพวกเขา

โดยสรุป PDiff นั้นกว้างกว่า Diff เพราะมันอนุญาตให้มีชิ้นส่วน (มุม) และไม่สามารถทำมุมเรียบทั่วไปได้ ในขณะที่ PL นั้นไม่น้อยไปกว่า PDiff เพราะเราสามารถทำให้ชิ้นส่วนเป็นเส้นตรงได้ (แม่นยำกว่านั้น อาจต้องแบ่งพวกมันออกเป็น ชิ้นเล็กลงแล้วทำให้เป็นเส้นตรง ซึ่งอนุญาตใน PDiff)

ประวัติศาสตร์

ท่อ ร่วมที่เรียบ (จริง ๆ แล้วคือC 1 ) มีโครงสร้าง PL ที่เป็นเอกลักษณ์ ซึ่งแต่เดิมได้รับการพิสูจน์แล้วใน (Whitehead 1940) หลักฐานเชิงอรรถาธิบายอย่างละเอียดมีให้ใน (Munkres 1966) ผลที่ได้คือพื้นฐานและค่อนข้างเป็นเทคนิคในการพิสูจน์ในรายละเอียด ดังนั้นโดยทั่วไปจึงมีการร่างไว้ในข้อความสมัยใหม่เท่านั้น เช่นเดียวกับในโครงร่างการพิสูจน์โดยย่อที่ให้ไว้ใน (Thurston 1997) โครงร่างสั้น ๆ มีให้ใน (McMullen 1997) ในขณะที่มีการพิสูจน์สั้น ๆ แต่มีรายละเอียดใน (Lurie 2009)

อ้างอิง

  • Lurie, Jacob (13 กุมภาพันธ์ 2009), Whitehead Triangulations (บทที่ 3) (PDF)
  • McMullen, CT (21 ส.ค. 2540) "Re: PL และ DIFF ที่หลากหลาย: คำถาม" กลุ่มข่าว : sci.math.research. เก็บจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 8 เมษายน2013 สืบค้นเมื่อ 10 พฤษภาคม 2555 .
  • มันเครส, เจมส์ อาร์. (1966), โทโปโลยีเชิงอนุพันธ์เบื้องต้น , พงศาวดารของคณิตศาสตร์ศึกษา, ฉบับ. 54 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน ISBN 0-69109093-9, บทที่สอง{{citation}}: CS1 maint: postscript ( ลิงค์ )
  • Thurston, William (1997), Three-Dimensional Geometry and Topology , Princeton University Press , หน้า 194–195, ISBN 978-0-69108304-9, PDIFF อธิบายว่า "ราบรื่นทีละส่วน"{{citation}}: CS1 maint: postscript ( ลิงค์ )
  • ไวท์เฮด, JHC (ตุลาคม 2483) "บนC 1 -Complexes". พงศาวดารของคณิตศาสตร์ . ชุดที่สอง 41 (4): 809–824. ดอย :10.2307/1968861. จสท  1968861.