จำนวนธรรมชาติ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา

สัญลักษณ์ N ตัวพิมพ์ใหญ่ สองขีดมักใช้เพื่อระบุเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด (ดูอภิธานศัพท์ของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ )
ตัวเลขธรรมชาติสามารถใช้สำหรับการนับได้ (แอปเปิ้ลหนึ่งผล, แอปเปิ้ลสองลูก, แอปเปิ้ลสามลูก, ...)

ในวิชาคณิตศาสตร์ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลข ที่ ใช้สำหรับการนับ (เช่นใน "มี เหรียญ หกเหรียญอยู่บนโต๊ะ") และการจัดลำดับ (เช่นใน "เมืองนี้ใหญ่เป็นอันดับสามของประเทศ") ในภาษาทั่วไป ตัวเลขที่ใช้นับเรียกขานว่า " เลขคาร์ดินัล " และคำที่ใช้ในการเรียงลำดับเรียกว่า " เลขลำดับ " บางครั้งตัวเลขธรรมชาติอาจปรากฏเป็นชุดรหัสที่สะดวก (ป้ายกำกับหรือ "ชื่อ") นั่นคือสิ่งที่นักภาษาศาสตร์เรียกว่าตัวเลขที่ระบุโดยละทิ้งคุณสมบัติจำนวนมากหรือทั้งหมดของการเป็นตัวเลขในความหมายทางคณิตศาสตร์ [1] [2]

คำจำกัดความบางอย่างรวมถึงมาตรฐานISO 80000-2 , [3] [a]เริ่มต้นตัวเลขธรรมชาติด้วย0ซึ่งสอดคล้องกับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ 0, 1, 2, 3, ...ในขณะที่บางคำเริ่มต้นด้วย1ซึ่งสอดคล้องกัน เป็นจำนวนเต็มบวก 1, 2, 3, ... [4] [b]ข้อความที่ไม่รวมศูนย์จากจำนวนธรรมชาติบางครั้งอ้างถึงตัวเลขธรรมชาติพร้อมกับศูนย์เป็นจำนวนเต็มในขณะที่งานเขียนอื่น ๆ คำนั้นถูกใช้ แทนจำนวนเต็ม (รวมถึงจำนวนเต็มลบ) [5]

จำนวนธรรมชาติเป็นพื้นฐานจากชุดตัวเลขอื่นๆ ที่อาจสร้างได้โดยการต่อขยาย: จำนวนเต็มโดยการรวม (ถ้ายังไม่มี) องค์ประกอบที่เป็นกลาง 0 และผกผัน การบวก ( n ) สำหรับจำนวนธรรมชาติที่ไม่ใช่ศูนย์แต่ละตัวn ; จำนวนตรรกยะโดยการบวกผกผันการคูณ () สำหรับแต่ละจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์n (และผลคูณของตัวผกผันเหล่านี้ด้วยจำนวนเต็ม) จำนวนจริงโดยรวมทั้งจำนวนตรรกยะของ ลิ มิตของ (บรรจบกัน) ลำดับ Cauchyของตรรกยะ จำนวนเชิงซ้อนโดยการรวมสแควร์รูทที่ยังไม่ได้แก้ไขของลบหนึ่งด้วยจำนวนจริง( รวมถึงผลรวมและผลคูณของจำนวนดังกล่าวด้วย) และอื่นๆ [c] [d]การขยายสายโซ่นี้ทำให้จำนวนธรรมชาติฝังอยู่ในระบบตัวเลขอื่นตามบัญญัติบัญญัติ (ระบุ)

ศึกษาคุณสมบัติของจำนวนธรรมชาติ เช่น การหารและการแจกแจงจำนวนเฉพาะในทฤษฎีจำนวน ปัญหาเกี่ยวกับการนับและการเรียงลำดับ เช่น การแบ่งและ การ แจงนับได้รับการศึกษาในรูป แบบผสมผสาน

ในภาษาทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาระดับประถมศึกษา ตัวเลขธรรมชาติอาจเรียกว่าการนับจำนวน[6]เพื่อแยกจำนวนเต็มลบและศูนย์ออกโดยสัญชาตญาณ และเพื่อเปรียบเทียบความไม่ต่อเนื่องของการนับกับความต่อเนื่องของการวัด —ลักษณะเด่นของจำนวน จริง

ประวัติ

รากโบราณ

กระดูกIshango (จัดแสดงอยู่ที่Royal Belgian Institute of Natural Sciences ) [7] [8] [9]เชื่อกันว่าถูกใช้เมื่อ 20,000 ปีก่อนสำหรับเลขคณิตธรรมชาติ

วิธีดั้งเดิมที่สุดในการแสดงจำนวนธรรมชาติคือการทำเครื่องหมายสำหรับแต่ละวัตถุ ต่อมา ชุดของวัตถุสามารถทดสอบความเท่าเทียมกัน ส่วนเกินหรือขาด โดยทำเครื่องหมายและนำวัตถุออกจากชุด

ความก้าวหน้าครั้งสำคัญประการแรกในนามธรรมคือการใช้ตัวเลขเพื่อแทนตัวเลข อนุญาตให้พัฒนาระบบสำหรับการบันทึกจำนวนมาก ชาวอียิปต์โบราณได้พัฒนาระบบตัวเลขที่ทรงพลังโดยมีอักษรอียิปต์โบราณเป็น 1, 10 และพลังทั้งหมดตั้งแต่ 10 จนถึงมากกว่า 1 ล้าน หินแกะสลักจากKarnakย้อนหลังไปถึงประมาณ 1500 ปีก่อนคริสตศักราช และตอนนี้อยู่ที่พิพิธภัณฑ์ลูฟร์ในปารีส แสดงให้เห็น 276 เป็น 2 ร้อย 7 สิบและ 6 อัน; และในทำนองเดียวกันสำหรับหมายเลข 4,622 ชาวบาบิโลนมีค่าสถานที่โดยพื้นฐานแล้วระบบจะอิงตามตัวเลขสำหรับ 1 และ 10 โดยใช้เลขฐานหก เพื่อให้สัญลักษณ์สำหรับหกสิบเหมือนกับสัญลักษณ์ของหนึ่ง—ค่าจะถูกกำหนดจากบริบท [10]

ความก้าวหน้าในเวลาต่อมาคือการพัฒนาแนวคิดที่ว่า  0สามารถถือเป็นตัวเลขได้โดยใช้ตัวเลขในตัวมันเอง การใช้ตัวเลข 0 หลักในสัญกรณ์ค่าประจำตำแหน่ง (ภายในตัวเลขอื่น ๆ ) มีขึ้นตั้งแต่ 700 ปีก่อนคริสตศักราชโดยชาวบาบิโลนซึ่งละเว้นตัวเลขดังกล่าวเมื่อจะเป็นสัญลักษณ์สุดท้ายในตัวเลข [e]อารยธรรมOlmecและMayaใช้ 0 เป็นตัวเลขแยกกันตั้งแต่ช่วงต้นศตวรรษที่ 1 ก่อนคริสตศักราชแต่การใช้งานนี้ไม่ได้แพร่กระจายไปไกลกว่าMesoamerica [12] [13]การใช้เลข 0 ในยุคปัจจุบันมีต้นกำเนิดมาจากนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียชื่อBrahmaguptaในปี ค.ศ. 628 อย่างไรก็ตาม 0 ถูกใช้เป็นตัวเลขในการคำนวณในยุคกลาง(การคำนวณวันอีสเตอร์) โดยเริ่มด้วยDionysius Exiguusในปี 525 CE โดยไม่แสดงด้วยตัวเลข (ตัวเลขโรมัน มาตรฐาน ไม่มีสัญลักษณ์สำหรับ 0) แทนnulla (หรือรูปแบบสัมพันธการกnullae ) จากnullusคำภาษาละตินสำหรับ "ไม่มี" ถูกนำมาใช้เพื่อแสดงถึงค่า 0 [14]

การศึกษาตัวเลขอย่างเป็นระบบครั้งแรกในลักษณะนามธรรมมักให้เครดิตกับนักปรัชญาชาวกรีกพีธากอรัสและ อาร์ คิมิดีนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกบางคนถือว่าเลข 1 แตกต่างจากตัวเลขที่มากกว่า บางครั้งถึงแม้จะไม่ใช่ตัวเลขเลยก็ตาม [f] Euclidตัวอย่างเช่น กำหนดหน่วยก่อนแล้วจึงนับจำนวนเป็นจำนวนหน่วย ดังนั้นตามคำจำกัดความของเขา หน่วยจึงไม่ใช่ตัวเลข และไม่มีตัวเลขเฉพาะ (เช่น สองหน่วยใด ๆ จากหลายหน่วยอย่างไม่มีกำหนดคือ ก 2). [16]

การศึกษาอิสระเกี่ยวกับตัวเลขก็เกิดขึ้นในเวลาเดียวกันในอินเดียจีน และเมโซอเมริกา [17]

คำจำกัดความสมัยใหม่

ในยุโรปศตวรรษที่ 19 มีการอภิปรายทางคณิตศาสตร์และปรัชญาเกี่ยวกับลักษณะที่แน่นอนของจำนวนธรรมชาติ โรงเรียน[ ไหน? ]ของ ลัทธินิยมนิยมกล่าวว่าจำนวน ธรรมชาติเป็นผลโดยตรงจากจิตใจมนุษย์ Henri Poincaréเป็นหนึ่งในผู้สนับสนุน เช่นเดียวกับLeopold Kroneckerซึ่งสรุปความเชื่อของเขาว่า "พระเจ้าสร้างจำนวนเต็ม อย่างอื่นเป็นงานของมนุษย์" [g]

ตรงกันข้ามกับนักธรรมชาตินิยม คอนสตรัคติ วิสต์ เห็นความจำเป็นในการปรับปรุงความเข้มงวดเชิงตรรกะใน พื้นฐาน ของคณิตศาสตร์ [h]ในยุค 1860 แฮร์มันน์ กราสมันน์เสนอคำจำกัดความแบบเรียกซ้ำสำหรับจำนวนธรรมชาติ ดังนั้นจึงระบุว่าไม่เป็นธรรมชาติจริงๆ—แต่เป็นผลมาจากคำจำกัดความ ต่อมามีการสร้างคำจำกัดความที่เป็นทางการสองคลาส ต่อมายังแสดงให้เห็นว่ามีความเท่าเทียมกันในการใช้งานจริงส่วนใหญ่

คำจำกัดความเชิงทฤษฎีชุดของจำนวนธรรมชาติ เริ่ม ต้นโดยFrege ในขั้นต้นเขากำหนดจำนวนธรรมชาติเป็นคลาสของชุดทั้งหมดที่อยู่ในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับชุดใดชุดหนึ่ง อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้นำไปสู่ความขัดแย้ง ซึ่งรวมถึงความขัดแย้งของรัสเซล เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าว ระเบียบนิยมได้รับการแก้ไขเพื่อให้จำนวนธรรมชาติถูกกำหนดเป็นชุดเฉพาะ และชุดใด ๆ ที่สามารถใส่ลงในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับชุดนั้นมีจำนวนองค์ประกอบนั้น (20)

คำจำกัดความระดับที่สองได้รับการแนะนำโดยCharles Sanders Peirceกลั่นกรองโดยRichard Dedekindและสำรวจเพิ่มเติมโดยGiuseppe Peano ; วิธีนี้เรียกว่าเลขคณิตPeano มันขึ้นอยู่กับสัจพจน์ของคุณสมบัติของเลขลำดับ : เลขธรรมชาติแต่ละตัวมีตัวตายตัวแทนและจำนวนธรรมชาติที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวจะมีบรรพบุรุษเฉพาะตัว เลขคณิต Peano มีความเท่าเทียมกันกับระบบที่อ่อนแอหลายระบบของทฤษฎีเซต ระบบหนึ่งดังกล่าวคือZFCโดยมีสัจพจน์ของอนันต์แทนที่ด้วยการปฏิเสธ ทฤษฎีบทที่สามารถพิสูจน์ได้ใน ZFC แต่ไม่สามารถพิสูจน์โดยใช้สัจพจน์ Peano ได้แก่ทฤษฎีบทของกู๊ดสไตน์ (21)

ด้วยคำจำกัดความเหล่านี้ เป็นการสะดวกที่จะรวม 0 (ซึ่งสัมพันธ์กับเซตว่าง ) เป็นจำนวนธรรมชาติ การรวม 0 กลายเป็นแบบแผนร่วมกันระหว่างนักทฤษฎีเซต[22]และนักตรรกวิทยา [23]นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ยังรวมถึง 0, [a]และภาษาคอมพิวเตอร์มักจะเริ่มจากศูนย์เมื่อทำการแจงนับรายการต่างๆ เช่นตัวนับลูปและองค์ประกอบสตริงหรืออาร์เรย์ [24] [25]ในทางกลับกัน นักคณิตศาสตร์หลายคนยังคงใช้แบบเก่าเพื่อนำ 1 มาเป็นจำนวนธรรมชาติตัวแรก (26)

สัญกรณ์

นักคณิตศาสตร์ใช้Nหรือเพื่ออ้างถึงเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด [1] [27]การมีอยู่ของเซตนั้นถูกกำหนดในทฤษฎีเซต ตำราเก่ายังใช้Jเป็นสัญลักษณ์สำหรับชุดนี้ เป็นครั้งคราว (28)

เนื่องจากคุณสมบัติต่างๆ มักจะเชื่อมโยงกับโทเค็น0และ1 (เช่น องค์ประกอบเป็นกลางสำหรับการบวกและการคูณ ตามลำดับ) สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าตัวเลขธรรมชาติ รุ่นใดที่ ใช้ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการอธิบายเป็นร้อยแก้ว โดยการเขียนเซตให้ชัดเจน หรือโดยการระบุคุณสมบัติทั่วไปด้วย super- หรือ subscript [3] [29]เช่น:

  • ธรรมชาติที่ไม่มีศูนย์:
  • ธรรมชาติที่มีศูนย์:

อีกทางหนึ่ง เนื่องจากจำนวนธรรมชาติประกอบเป็นเซตย่อยของจำนวนเต็ม ตามธรรมชาติ (มักแสดงแทน)อาจเรียกว่าจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ค่าลบ ตามลำดับ [30] เพื่อให้ชัดเจนเกี่ยวกับว่า 0 ถูกรวมหรือไม่บางครั้งตัวห้อย (หรือตัวยก) "0" จะถูกเพิ่มในกรณีเดิมและตัวยก " * " จะถูกเพิ่มในกรณีหลัง: [3]

คุณสมบัติ

เพิ่มเติม

ให้ชุดของจำนวนธรรมชาติและฟังก์ชันตัวต่อ การส่งตัวเลขธรรมชาติแต่ละตัวไปยังจำนวนถัดไป เราสามารถกำหนดการเพิ่มจำนวนธรรมชาติแบบเรียกซ้ำโดยการตั้งค่าa + 0 = aและa + S ( b ) = S ( a + b )สำหรับa , bทั้งหมด จากนั้น (ℕ, +)เป็นโมนอยด์สลับสับเปลี่ยน ที่มีองค์ประกอบเอกลักษณ์  0 เป็นโมโนอยด์อิสระบนเครื่องกำเนิดเดียว monoid สับเปลี่ยนนี้ตอบสนองคุณสมบัติการยกเลิกจึงสามารถฝังลงในกลุ่ม ได้. กลุ่มที่เล็กที่สุดที่มีจำนวนธรรมชาติคือ จำนวนเต็ม

ถ้า 1 ถูกกำหนดเป็นS (0)ดังนั้นb + 1 = b + S (0) = S ( b + 0) = S ( b ) นั่นคือb + 1เป็นเพียงตัวตายตัวแทนของ b

การคูณ

ในทำนองเดียวกัน ให้นิยามการบวกนั้นแล้ว ตัว ดำเนินการการคูณสามารถกำหนดได้ผ่านa × 0 = 0และa × S( b ) = ( a × b ) + a สิ่งนี้จะเปลี่ยน(ℕ * , ×)เป็นmonoid สับเปลี่ยนอิสระที่มีองค์ประกอบเอกลักษณ์ 1; ชุดเครื่องกำเนิดไฟฟ้าสำหรับ monoid นี้คือชุดของจำนวนเฉพาะ

ความสัมพันธ์ระหว่างการบวกและการคูณ

การบวกและการคูณเข้ากันได้ ซึ่งแสดงไว้ในกฎการแจกแจง : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) คุณสมบัติของการบวกและการคูณเหล่านี้ทำให้จำนวนธรรมชาติเป็นตัวอย่างของ เซมิ ริง การ สลับ Semirings เป็นการวางนัยทั่วไปเกี่ยวกับพีชคณิตของจำนวนธรรมชาติที่การคูณไม่จำเป็นต้องสลับสับเปลี่ยน การขาดสารผกผันซึ่งเทียบเท่ากับความจริงที่ว่าไม่ปิดภายใต้การลบ (นั่นคือการลบหนึ่งธรรมชาติจากที่อื่นไม่ได้ส่งผลให้เกิดธรรมชาติอื่นเสมอไป) หมายความว่าไม่ใช่วงแหวน; แทนที่จะเป็นเซมิริ ง (เรียกอีกอย่างว่าrig )

หากใช้จำนวนธรรมชาติเป็น "ไม่รวม 0" และ "เริ่มต้นที่ 1" คำจำกัดความของ + และ × จะเป็นไปตามข้างต้น ยกเว้นว่าจะขึ้นต้นด้วย+ 1 = S ( a )และa × 1 = a

สั่งซื้อ

ในส่วนนี้ ตัวแปรที่วางเคียงกัน เช่นabระบุผลิตภัณฑ์a × b , [31]และพิจารณาลำดับการดำเนินการมาตรฐาน

ลำดับทั้งหมด ของจำนวน ธรรมชาติถูกกำหนดโดยปล่อยให้abถ้าหากว่ามีตัวเลขธรรมชาติอื่นอยู่ด้วยc โดยที่a + c = b ลำดับนี้เข้ากันได้กับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในแง่ต่อไปนี้: ถ้าa , bและcเป็นตัวเลขธรรมชาติและ abแล้วa + cb + cและacbc

คุณสมบัติที่สำคัญของจำนวนธรรมชาติคือการเรียงลำดับอย่างดี : ทุกชุดของจำนวนธรรมชาติที่ไม่ว่างมีองค์ประกอบน้อยที่สุด อันดับในเซตที่มีการจัดลำดับอย่างดีจะแสดงด้วยเลขลำดับ สำหรับจำนวนธรรมชาติ จะแสดงเป็นω (โอเมก้า)

ดิวิชั่น

ในส่วนนี้ ตัวแปรที่วางเคียงกัน เช่นabระบุผลิตภัณฑ์a × bและถือว่าลำดับ การดำเนินการ มาตรฐาน

แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะไม่สามารถหารจำนวนธรรมชาติหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งและได้จำนวนธรรมชาติตามผลลัพธ์ ขั้นตอนการหารด้วยเศษเหลือหรือการหารแบบยุคลิดใช้แทนได้: สำหรับจำนวนธรรมชาติสองจำนวนaและbที่มีb ≠ 0เป็นจำนวนธรรมชาติqและrเช่นนั้น

จำนวนqเรียกว่าผลหารและrเรียกว่าเศษที่เหลือของการหารaด้วย  b ตัวเลขqและrถูกกำหนดโดยaและ  b การแบ่งแบบยุคลิดนี้เป็นกุญแจสู่คุณสมบัติอื่นๆ อีกหลายประการ ( การหาร ) อัลกอริธึม (เช่นอัลกอริธึมแบบยุคลิด ) และแนวคิดในทฤษฎีจำนวน

คุณสมบัติพีชคณิตพอใจกับจำนวนธรรมชาติ

การดำเนินการบวก (+) และการคูณ (×) ของจำนวนธรรมชาติตามที่กำหนดไว้ข้างต้นมีคุณสมบัติเกี่ยวกับพีชคณิตหลายประการ:

  • ปิดภายใต้การบวกและการคูณ: สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมดaและbทั้งa + bและa × bเป็นจำนวนธรรมชาติ (32)
  • การ เชื่อมโยง : สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมดa , bและc , a + ( b + c ) = ( a + b ) + cและa × ( b × c ) = ( a × b ) × c [33]
  • การ สับเปลี่ยน : สำหรับจำนวน ธรรมชาติทั้งหมดaและb , a + b = b + aและa × b = b × a [34]
  • การมีอยู่ขององค์ประกอบเอกลักษณ์ : สำหรับทุกจำนวนธรรมชาติa + 0 = aและa × 1 = a
  • การกระจายของการคูณด้วยการบวกสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมดa , bและc , a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
  • ไม่มี ตัวหาร ที่ ไม่ใช่ ศูนย์ : ถ้าaและbเป็นจำนวนธรรมชาติที่a × b = 0แล้วa = 0หรือb = 0 (หรือทั้งสองอย่าง)

อินฟินิตี้

เซตของจำนวนธรรมชาติคือเซตอนันต์ ตามคำจำกัดความอินฟินิตี้ ประเภท นี้เรียกว่าอินฟินิตี้ที่นับได้ เซตทั้งหมดที่สามารถใส่ใน ความสัมพันธ์ แบบสองนัยกับจำนวนธรรมชาติกล่าวกันว่ามีค่าอนันต์แบบนี้ นอกจากนี้ยังแสดงโดยบอกว่าเลขคาร์ดินัลของเซตคือaleph-nought ( 0 ) [35]

ลักษณะทั่วไป

ลักษณะทั่วไปที่สำคัญสองประการของจำนวนธรรมชาติเกิดขึ้นจากการใช้การนับและการเรียงลำดับสองครั้ง: หมายเลข คาร์ดินัลและ หมายเลข ลำดับ

  • จำนวนธรรมชาติสามารถใช้เพื่อแสดงขนาดของเซตจำกัด ที่แม่นยำกว่านั้น เลขคาร์ดินัลเป็นตัววัดขนาดของเซต ซึ่งเหมาะสำหรับเซตอนันต์ด้วยซ้ำ แนวคิดของ "ขนาด" นี้อาศัยแผนที่ระหว่างชุดต่างๆ โดยที่ชุดสองชุดมีขนาดเท่ากัน หากมีการแบ่งแยกระหว่างชุด เซตของจำนวนธรรมชาตินั้นเอง และรูปประกอบใดๆ ของมัน เรียกว่านับได้อนันต์และมี คาร์ดินาลลิ ตี้ aleph-null ( 0 )
  • ตัวเลขธรรมชาติยังใช้เป็นเลขลำดับภาษาด้วย : "แรก", "ที่สอง", "สาม" และอื่นๆ ด้วยวิธีนี้ พวกเขาสามารถกำหนดให้กับองค์ประกอบของเซตจำกัดที่มีการจัดลำดับโดยสิ้นเชิง และยังสามารถกำหนดให้กับองค์ประกอบของเซ็ตอนันต์ที่นับได้ที่มีลำดับ อย่างดีอีกด้วย การมอบหมายนี้สามารถสรุปให้เป็นลำดับขั้นทั่วไปได้ด้วยจำนวนเชิงการนับที่เกินกว่าจะนับได้ เพื่อให้ได้ตัวเลขลำดับ เลขลำดับอาจใช้เพื่ออธิบายแนวคิดของ "ขนาด" สำหรับเซตที่มีการจัดลำดับอย่างดี ในความหมายที่แตกต่างจากจำนวนเชิงการนับ: หากมีลำดับสัณฐาน (มากกว่า bijection!) ระหว่างชุดที่มีลำดับดีสองชุด พวกเขา มีเลขลำดับเดียวกัน เลขลำดับแรกที่ไม่เป็นจำนวนธรรมชาติจะแสดงเป็นω; นี่คือเลขลำดับของเซตของจำนวนธรรมชาติด้วย

ลำดับที่น้อยที่สุดของจำนวนเชิงการนับ0 (นั่นคือลำดับเริ่มต้นของ0 ) คือωแต่เซตที่มีลำดับดีหลายชุดที่มีเลขคาร์ดินัล0 มีเลขลำดับ ที่ มากกว่าω

สำหรับเซตที่จัดลำดับอย่างดีจำนวนจำกัด มีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเลขลำดับและเลขคาร์ดินัล ดังนั้นทั้งคู่สามารถแสดงด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวกัน จำนวนขององค์ประกอบของเซต ตัวเลขนี้ยังสามารถใช้เพื่ออธิบายตำแหน่งขององค์ประกอบในลำดับที่ใหญ่ ขึ้น หรือ ลำดับอนันต์

แบบจำลองเลขคณิตที่ไม่ได้มาตรฐานที่นับ ได้ซึ่งสอดคล้องกับเลขคณิต Peano (นั่นคือสัจพจน์ของ Peano อันดับหนึ่ง) ได้รับการพัฒนาโดยSkolemในปี 1933 ตัวเลข เหนือธรรมชาติเป็นแบบจำลองที่นับไม่ได้ซึ่งสามารถสร้างจากจำนวนธรรมชาติธรรมดาผ่านโครงสร้างพลังพิเศษ .

Georges Reebเคยอ้างว่าเป็นการยั่วยุว่าจำนวนเต็มไร้เดียงสาไม่ เติมลักษณะทั่วไปอื่น ๆ ถูกกล่าวถึงในบทความเกี่ยวกับตัวเลข

คำจำกัดความอย่างเป็นทางการ

สัจพจน์ของ Peano

คุณสมบัติหลายอย่างของจำนวนธรรมชาติสามารถหาได้จากสัจพจน์ของ Peano ทั้งห้า : [36] [i]

  1. 0 เป็นจำนวนธรรมชาติ
  2. ทุกจำนวนธรรมชาติมีผู้สืบทอดซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติด้วย
  3. 0 ไม่ใช่ตัวตายตัวแทนของจำนวนธรรมชาติใดๆ
  4. ถ้าทายาทของเท่ากับทายาทของ, แล้วเท่ากับ.
  5. สัจพจน์ของการปฐมนิเทศ : หากข้อความใดเป็นจริงเป็น 0 และหากความจริงของข้อความนั้นสำหรับตัวเลขบอกเป็นนัยถึงความจริงของมันสำหรับผู้สืบทอดของจำนวนนั้น ข้อความนั้นก็เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน

สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่สัจพจน์ดั้งเดิมที่ตีพิมพ์โดย Peano แต่ได้รับการตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา สัจพจน์ของ Peano บางรูปแบบมี 1 แทนที่ 0 ในเลขคณิตธรรมดาตัวตายตัวแทนของเป็น. การแทนที่สัจพจน์ 5 ด้วยสคีมาสัจพจน์ เราได้รับทฤษฎีลำดับแรก (ที่อ่อนแอกว่า) ที่เรียกว่าPeano arithmetic

การสร้างตามทฤษฎีเซต

กฏของฟอน นอยมันน์

ในสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าทฤษฎีเซตโครงสร้างเฉพาะเนื่องจากJohn von Neumann [37] [38]กำหนดจำนวนธรรมชาติดังนี้:

  • ชุด 0 = { }ชุดว่าง
  • กำหนดS ( a ) = a ∪ { a }สำหรับทุกชุดa S ( a )เป็นตัวตายตัวแทนของaและSเรียกว่าฟังก์ชันตัวต่อ
  • ตามสัจพจน์ของอนันต์มีเซตที่มี 0 และปิดภายใต้ฟังก์ชันตัวตายตัวแทน ชุดดังกล่าวเรียก ว่าอุปนัย จุดตัดของเซตอุปนัยทั้งหมดถูกกำหนดให้เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ สามารถตรวจสอบได้ว่าชุดของตัวเลขธรรมชาติตรงกับ สัจพจน์ ของPeano หรือไม่
  • ตามด้วยจำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนเท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่น้อยกว่า:
  • 0 = { } ,
  • 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }} ,
  • 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}} ,
  • 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} ,
  • n = n -1 ∪ { n -1} = {0, 1, ..., n -1} = {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, .. .}}เป็นต้น

ด้วยคำจำกัดความนี้ จำนวนธรรมชาติnเป็นเซตเฉพาะที่มีองค์ประกอบn และ nm ก็ ต่อเมื่อnเป็นเซตย่อยของm คำจำกัดความมาตรฐาน ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าคำจำกัดความของลำดับฟอนนอยมันน์คือ: "แต่ละลำดับคือชุดที่จัดลำดับมาอย่างดีของลำดับที่เล็กกว่าทั้งหมด"

นอกจากนี้ ด้วยคำจำกัดความนี้ การตีความสัญลักษณ์ต่างๆ ที่เป็นไปได้ต่างกัน เช่นn ( n -tuples เทียบกับการจับคู่ของnเป็น ) ตรงกัน

แม้ว่าจะไม่ยอมรับสัจพจน์ของอนันต์ดังนั้นจึงไม่สามารถยอมรับได้ว่าเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดนั้นมีอยู่ แต่ก็ยังสามารถกำหนดชุดใดชุดหนึ่งเหล่านี้ได้

บทบัญญัติของ Zermelo

แม้ว่าการก่อสร้างมาตรฐานจะมีประโยชน์ แต่ก็ไม่ใช่การก่อสร้างเพียงอย่างเดียวที่เป็นไปได้ การก่อสร้างของ Ernst Zermeloเป็นดังนี้: [38]

  • ตั้งค่า0 = { }
  • กำหนดS ( a ) = { a } ,
  • แล้วตามนั้น
  • 0 = { } ,
  • 1 = {0} = {{ }} ,
  • 2 = {1} = {{{ }}} ,
  • n = { n -1} = {{{...}}}เป็นต้น
จากนั้นจำนวนธรรมชาติแต่ละตัวจะเท่ากับเซตที่มีจำนวนธรรมชาติอยู่ข้างหน้า นี่คือคำจำกัดความของเลขลำดับZermelo ไม่เหมือนกับการก่อสร้างของฟอน นอยมันน์ ลำดับของเซอร์เมโลไม่ขยายไปถึงลำดับอนันต์

ดูเพิ่มเติม

ระบบตัวเลข
ซับซ้อน
จริง
มีเหตุผล
จำนวนเต็ม
เป็นธรรมชาติ
ศูนย์ : 0
หนึ่ง : 1
จำนวนเฉพาะ
ตัวเลขประกอบ
จำนวนเต็มลบ
เศษส่วน
ทศนิยมจำกัด
Dyadic (ไบนารี จำกัด)
ทศนิยมซ้ำ
ไม่มีเหตุผล
พีชคณิต
ยอดเยี่ยม
จินตนาการ

หมายเหตุ

  1. ^ a b Mac Lane & Birkhoff (1999 , p. 15) รวมศูนย์ในจำนวนธรรมชาติ: 'โดยสังหรณ์ใจชุดของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดสามารถอธิบายได้ดังนี้:มีหมายเลข "เริ่มต้น" 0 ; ...'. พวกเขาปฏิบัติตามนั้นด้วยสัจพจน์ของ Peano ในแบบฉบับของ พวกเขา
  2. ^ Carothers (2000 , p. 3) พูดว่า: "คือเซตของจำนวนธรรมชาติ (จำนวนเต็มบวก)" คำจำกัดความทั้งสองได้รับการยอมรับเมื่อใดก็ตามที่สะดวก และไม่มีมติทั่วไปว่าควรรวมศูนย์เป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่[1]
  3. Mendelson (2008 , p. x) กล่าวว่า: "ลำดับชั้นที่ยอดเยี่ยมของระบบจำนวนทั้งหมดถูกสร้างขึ้นโดยใช้วิธีเซตทฤษฎีจากสมมติฐานง่ายๆ สองสามข้อเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติ"
  4. ^ Bluman (2010 , p. 1): "ตัวเลขประกอบขึ้นเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์"
  5. แท็บเล็ตที่พบในเมืองคิช ... คิดถึงวันที่ประมาณ 700 ปีก่อนคริสตกาล ใช้ตะขอสามอันเพื่อระบุตำแหน่งว่างในสัญกรณ์ตำแหน่ง แท็บเล็ตอื่น ๆ ที่ลงวันที่ในเวลาเดียวกันใช้ตะขอเดียวสำหรับที่ว่าง (11)
  6. แบบแผนนี้ใช้ ตัวอย่างเช่น ใน Euclid's Elementsดูที่ Book VII ฉบับเว็บของ D. Joyce [15]
  7. ^ คำแปลภาษาอังกฤษมาจาก Grey ในเชิงอรรถ เกรย์กล่าวถึงคำพูดของชาวเยอรมันว่า: "Weber 1891–1892, 19, quoting from a Lecture of Kronecker's of 1886" [18] [19]
  8. "งานทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ในศตวรรษที่ 20 ได้ทุ่มเทให้กับการตรวจสอบพื้นฐานทางตรรกะและโครงสร้างของเรื่อง" (อีฟ 1990หน้า 606)
  9. ^ Hamilton (1988 , pp. 117 ff) เรียกพวกเขาว่า "Peano's Postulates" และขึ้นต้นด้วย "1.0  เป็นจำนวนธรรมชาติ"
    Halmos (1960 , p. 46) ใช้ภาษาของทฤษฎีเซตแทนภาษาของเลขคณิตสำหรับสัจพจน์ทั้งห้าของเขา เขาเริ่มต้นด้วย "(I) 0 ∈ ω (โดยที่ 0 = ∅ " ( ωคือเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด) Morash (1991)ให้ "สัจพจน์สองส่วน" ซึ่งตัวเลขธรรมชาติเริ่มต้นด้วย 1. (ส่วนที่ 10.1:สัจพจน์สำหรับระบบของจำนวนเต็มบวก )  

อ้างอิง

  1. อรรถa b c Weisstein, Eric W. "Natural Number" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ11 สิงหาคม 2020 .
  2. ^ "ตัวเลขธรรมชาติ" . วิกิพีเดียคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ที่ยอดเยี่ยม สืบค้นเมื่อ11 สิงหาคม 2020 .
  3. ^ a b c "ชุดตัวเลขมาตรฐานและช่วงเวลา" . ISO 80000-2:2009 . องค์การระหว่างประเทศเพื่อการมาตรฐาน . หน้า 6.
  4. ^ "จำนวนธรรมชาติ" . Merriam-Webster.com . เมอร์เรียม-เว็บสเตอร์ เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 13 ธันวาคม 2019 . สืบค้นเมื่อ4 ตุลาคม 2557 .
  5. ↑ Ganssle , Jack G. & Barr, Michael (2003). "จำนวนเต็ม" . พจนานุกรมระบบสมองกลฝังตัว หน้า 138 (จำนวนเต็ม), 247 (จำนวนเต็มที่มีเครื่องหมาย), & 276 (จำนวนเต็มที่ไม่ได้ลงนาม) ISBN 978-1-57820-120-4. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 29 มีนาคม 2017 . สืบค้นเมื่อ28 มีนาคม 2017 – ผ่าน Google Books.
  6. ↑ Weisstein , Eric W. "การนับจำนวน" . คณิตศาสตร์โลก.
  7. ^ "แนะนำตัว" . กระดูกอิชานโก บรัสเซลส์ ประเทศเบลเยียม: Royal Belgian Institute of Natural Sciences . เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 4 มีนาคม 2559
  8. ^ "การนำเสนอแฟลช" . กระดูกอิชานโก บรัสเซลส์ ประเทศเบลเยียม: Royal Belgian Institute of Natural Sciences . เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 27 พฤษภาคม 2559
  9. "The Ishango Bone, สาธารณรัฐประชาธิปไตยคองโก" . ประตูสู่มรดกทางดาราศาสตร์ของ UNESCO เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 10 พฤศจิกายน 2014จัดแสดงถาวรที่Royal Belgian Institute of Natural Sciencesกรุงบรัสเซลส์ ประเทศเบลเยียม
  10. ^ อิฟราห์, จอร์ชส (2000). ประวัติความเป็นมาสากลของตัวเลข ไวลีย์. ISBN 0-471-37568-3.
  11. ^ "ประวัติของศูนย์" . MacTutor ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 19 มกราคม 2556 . สืบค้นเมื่อ23 มกราคม 2556 .
  12. ^ แมนน์ ชาร์ลส์ ซี. (2005). 1491: การเปิดเผยใหม่ของทวีปอเมริกาก่อนโคลัมบัส . นพฟ์ หน้า 19. ISBN 978-1-4000-4006-3. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 14 พฤษภาคม 2558 . สืบค้นเมื่อ3 กุมภาพันธ์ 2558 – ผ่าน Google Books.
  13. อีแวนส์, ไบรอัน (2014). "บทที่ 10 คณิตศาสตร์พรีโคลัมเบียน: อารยธรรม Olmec, Maya และ Inca " การพัฒนาคณิตศาสตร์ตลอดหลายศตวรรษ: ประวัติโดยย่อในบริบททางวัฒนธรรม จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์. ISBN 978-1-118-85397-9– ผ่านทาง Google หนังสือ
  14. เด็คเกอร์ส, ไมเคิล (25 สิงหาคม พ.ศ. 2546) "Cyclus Decemnovennalis Dionysii – วัฏจักรสิบเก้าปีของ Dionysius" . Hbar.phys.msu.ru. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 15 มกราคม 2019 . สืบค้นเมื่อ13 กุมภาพันธ์ 2555 .
  15. ^ ยู คลิด . "เล่ม 7 คำจำกัดความ 1 และ 2" . ใน Joyce, D. (ed.) องค์ประกอบ _ มหาวิทยาลัยคลาร์ก. เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 5 สิงหาคม 2011
  16. ^ มูลเลอร์, เอียน (2006). ปรัชญาคณิตศาสตร์และโครงสร้างนิรนัยใน องค์ประกอบ ของยุคลิด มินีโอลา นิวยอร์ก: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ หน้า 58. ISBN 978-0-486-45300-2. อสม . 69792712  .
  17. ไคลน์, มอร์ริส (1990) [1972]. ความคิดทางคณิตศาสตร์จากสมัยโบราณถึงสมัยใหม่ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด. ISBN 0-19-506135-7.
  18. ^ เกรย์ เจเรมี (2008) Plato's Ghost: การเปลี่ยนแปลงสมัยใหม่ของคณิตศาสตร์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน. หน้า 153. ISBN 978-1-4008-2904-0. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 29 มีนาคม 2017 – ผ่าน Google หนังสือ
  19. เวเบอร์ ไฮน์ริช แอล. (1891–1892) "โครเนคเกอร์" .Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung[ รายงานประจำปีของสมาคมนักคณิตศาสตร์แห่งเยอรมนี ]. น. 2:5–23. (อ้างอยู่ในหน้า 19) เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 9 สิงหาคม 2018; "การเข้าถึงJahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung " . เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 20 สิงหาคม 2017
  20. ^ อีฟ 1990 , บทที่ 15
  21. ^ เคอร์บี้ ลอรี่; ปารีส, เจฟฟ์ (1982). "ผลลัพธ์ความเป็นอิสระที่เข้าถึงได้สำหรับ Peano Arithmetic" แถลงการณ์ของสมาคมคณิตศาสตร์ลอนดอน . ไวลีย์. 14 (4): 285–293. ดอย : 10.1112/blms/14.4.285 . ISSN 0024-6093 . 
  22. ^ บากาเรีย, โจน (2017). ทฤษฎีเซต (ฉบับฤดูหนาว 2557 ฉบับพิมพ์). สารานุกรมปรัชญาสแตนฟอร์ด เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 14 มีนาคม 2558 . สืบค้นเมื่อ13 กุมภาพันธ์ 2558 .
  23. โกลเดรย์, ดีเร็ก (1998). "3". ทฤษฎีเซตคลาสสิก: การศึกษาค้นคว้าอิสระพร้อมไกด์ (1. ed., 1. print ed.) Boca Raton, Fla. [ua]: Chapman & Hall/CRC. หน้า 33 . ISBN 978-0-412-60610-6.
  24. ^ บราวน์, จิม (1978). "ในการป้องกันแหล่งกำเนิดดัชนี 0" ACM SIGAPL APL อ้าง Quad 9 (2): 7. ดอย : 10.1145/5860050.586053 . S2CID 40187000 . 
  25. ^ ฮุ่ย, โรเจอร์. "ดัชนีต้นทาง 0 เป็นอุปสรรคหรือไม่" . jsoftware.com . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 20 ตุลาคม 2558 . สืบค้นเมื่อ19 มกราคม 2558 .
  26. ^ นี่เป็นเรื่องปกติในข้อความเกี่ยวกับการวิเคราะห์จริง ดูตัวอย่าง Carothers (2000 , p. 3) หรือ Thomson, Bruckner & Bruckner (2000 , p. 2)
  27. ^ "รายการสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในเว็บไซต์ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์: ตัวเลข ตัวแปร และฟังก์ชัน " ฟังก์ชั่น. wolfram.com สืบค้นเมื่อ27 กรกฎาคม 2020 .
  28. ^ รูดิน, ดับเบิลยู. (1976). หลัก การ วิเคราะห์ ทาง คณิตศาสตร์ . นิวยอร์ก: McGraw-Hill หน้า 25. ISBN 978-0-07-054235-8.
  29. กรีมัลดี, ราล์ฟ พี. (2004). คณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่องและเชิงผสม: บทนำประยุกต์ (ฉบับที่ 5) เพียร์สัน แอดดิสัน เวสลีย์ ISBN 978-0-201-72634-3.
  30. กรีมัลดี, ราล์ฟ พี. (2003). การทบทวนคณิตศาสตร์แบบแยกส่วนและแบบผสมผสาน (ฉบับที่ 5) บอสตัน: แอดดิสัน-เวสลีย์ หน้า 133. ISBN 978-0-201-72634-3.
  31. ↑ Weisstein , Eric W. "การคูณ" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ27 กรกฎาคม 2020 .
  32. ^ เฟล็ทเชอร์ ฮาโรลด์; Howell, Arnold A. (9 พฤษภาคม 2014). คณิตศาสตร์กับความเข้าใจ . เอลส์เวียร์. หน้า 116. ISBN 978-1-4832-8079-0. ...ชุดจำนวนธรรมชาติปิดภายใต้การบวก...ชุดจำนวนธรรมชาติปิดภายใต้การคูณ
  33. เดวิสสัน, ชุยเลอร์ โคลแฟกซ์ (1910). วิทยาลัยพีชคณิต บริษัทแมคมิลเลียน หน้า 2. การบวกจำนวนธรรมชาติเป็นการเชื่อมโยงกัน
  34. ^ แบรนดอน เบอร์ธา (ม.); บราวน์ เคนเนธ อี.; กันดลัค, เบอร์นาร์ด เอช.; คุก, ราล์ฟ เจ. (1962). ชุดคณิตศาสตร์เลดลอว์ . ฉบับที่ 8. เลดลอว์ บราเธอร์ส พี. 25.
  35. ↑ Weisstein , Eric W. "หมายเลขคาร์ดินัล" . คณิตศาสตร์โลก.
  36. ^ Mints, GE (บรรณาธิการ). "สัจพจน์ของ Peano" . สารานุกรมคณิตศาสตร์ . สปริงเกอร์ร่วมกับEuropean Mathematical Society เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 13 ตุลาคม 2014 . สืบค้นเมื่อ8 ตุลาคม 2557 .
  37. ฟอน นอยมันน์ (1923)
  38. อรรถเป็น เลวี (1979) , พี. 52 กล่าวถึงแนวคิดนี้ว่าเป็นผลงานที่ไม่ได้ตีพิมพ์ของ Zermelo ในปี 1916 และบทความหลายชิ้นโดย von Neumann ในปี 1920

บรรณานุกรม

ลิงค์ภายนอก