Maxima และ minima

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา
ค่าสูงสุดของท้องถิ่นและระดับสากลและค่าต่ำสุดสำหรับ cos(3π x )/ x , 0.1≤ x ≤1.1

ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด (พหูพจน์ของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดตามลำดับ) ของฟังก์ชันซึ่งเรียกรวมกันว่าextrema (พหูพจน์ของextremum ) เป็นค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน ทั้งภายในช่วงที่กำหนด(ค่าโลคัล)หรือextrema สัมพัทธ์ ) หรือในโดเมนทั้งหมด(ส่วนปลายแบบโกลบอลหรือแบบสัมบูรณ์ ) [1] [2] [3] ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์เป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์กลุ่มแรกๆ ที่เสนอเทคนิคทั่วไป คือ ความเหมาะสมในการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน

ตามที่กำหนดไว้ในทฤษฎีเซต ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของเซตเป็นองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดในเซตตามลำดับ เซตอนันต์ที่ไม่มีขอบเขตเช่น เซตของจำนวนจริงไม่มีค่าต่ำสุดหรือสูงสุด

คำจำกัดความ

ฟังก์ชัน ค่าจริงf ที่กำหนดบนโดเมน Xมีจุดสูงสุดทั่วโลก (หรือแน่นอน )ที่x *ถ้าF ( x * ) ≥ F ( x )สำหรับทุกxในX ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันมีจุดต่ำสุดทั่วโลก (หรือแน่นอน )ที่x *ถ้าF ( x * ) ≤ F ( x )สำหรับทุกxในX ค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุดเรียกว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันแสดงและค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุดเรียกว่า ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน ในเชิงสัญลักษณ์สามารถเขียนได้ดังนี้:

เป็นจุดสูงสุดของฟังก์ชันทั่วโลก ถ้า

คำจำกัดความของจุดต่ำสุดทั่วโลกก็ดำเนินไปในทำนองเดียวกัน

หากโดเมนXเป็นพื้นที่เมตริกดังนั้นfจะถูกกล่าวว่ามีจุดสูงสุดในพื้นที่ (หรือสัมพัทธ์ )ที่จุดx *ถ้ามีอยู่บางε > 0 เช่นว่าF ( x * ) ≥ F ( x )สำหรับทุกxในXภายในระยะεของx * ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันมีจุดต่ำสุดในพื้นที่ที่x *ถ้าF ( x * ) ≤ F ( x ) สำหรับทุกxในXภายในระยะεของx * คำจำกัดความที่คล้ายกันนี้สามารถใช้ได้เมื่อXเป็นปริภูมิทอพอโลยีเนื่องจากคำจำกัดความที่เพิ่งให้มาสามารถใช้ถ้อยคำใหม่ในแง่ของย่านใกล้เคียงได้ ในทางคณิตศาสตร์ คำจำกัดความที่ให้ไว้เขียนดังนี้:

ปล่อย เป็นพื้นที่เมตริกและฟังก์ชัน . แล้ว เป็นจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ถ้า ดังนั้น

คำจำกัดความของจุดต่ำสุดในพื้นที่สามารถดำเนินการในทำนองเดียวกัน

ทั้งในระดับโลกและระดับท้องถิ่น แนวคิดของ a สุดขีดที่เข้มงวดสามารถกำหนดได้ ตัวอย่างเช่นxคือ aจุดสูงสุดทั่วโลกที่เข้มงวดหากสำหรับxทั้งหมดในXด้วย x x เรามี f ( x ) > f ( x )และxเป็นจุดสูงสุดในท้องถิ่นเข้มงวดถ้ามีบาง ε > 0ดังกล่าวว่าสำหรับทุกxในXภายในระยะεของx*กับ x x *เรามี F ( x * )> F ( x )โปรดทราบว่าจุดคือจุดสูงสุดทั่วโลกที่เข้มงวดก็ต่อเมื่อเป็นจุดสูงสุดทั่วโลกที่ไม่ซ้ำ และในทำนองเดียวกันสำหรับจุดต่ำสุด

อย่างต่อเนื่องฟังก์ชั่นมูลค่าจริงที่มีขนาดกะทัดรัดโดเมนมักจะมีจุดสูงสุดและจุดต่ำสุด ตัวอย่างที่สำคัญคือฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเป็นปิดและ bounded ช่วงของตัวเลขจริง (ดูกราฟข้างต้น)

ค้นหา

หาสูงสุดทั่วโลกและน้อยเป็นเป้าหมายของการเพิ่มประสิทธิภาพทางคณิตศาสตร์หากฟังก์ชันต่อเนื่องกันในช่วงเวลาปิด ดังนั้นโดยทฤษฎีบทค่าสุดขั้ว ค่าสูงสุดของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดมีอยู่จริง นอกจากนี้ ค่าสูงสุด (หรือค่าต่ำสุด) ทั่วโลกจะต้องเป็นค่าสูงสุด (หรือค่าต่ำสุด) ในพื้นที่ภายในโดเมน หรือต้องอยู่บนขอบเขตของโดเมน ดังนั้น วิธีการหาค่าสูงสุด (หรือค่าต่ำสุด) ของโลกคือการดูค่าสูงสุด (หรือค่าต่ำสุด) ในท้องถิ่นทั้งหมดภายใน และพิจารณาค่าสูงสุด (หรือค่าต่ำสุด) ของจุดบนขอบเขตด้วย และหาค่าสูงสุด ( หรือเล็กที่สุด) อย่างใดอย่างหนึ่ง

คุณลักษณะที่สำคัญที่สุด แต่ค่อนข้างชัดเจนของฟังก์ชันค่าจริงอย่างต่อเนื่อง ของตัวแปรจริงคือ พวกมันลดลงก่อนค่าต่ำสุดในเครื่องและเพิ่มขึ้นในภายหลัง เช่นเดียวกับค่าสูงสุด (อย่างเป็นทางการ ถ้าfเป็นฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องของตัวแปรจริงxดังนั้นx 0จะเป็นค่าต่ำสุดในเครื่องก็ต่อเมื่อมีa < x 0 < bที่ทำให้fลดลง ( ax 0 ) และเพิ่มขึ้นใน ( x 0 )) [4]เป็นผลโดยตรงจากนี้เป็นทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ซึ่งระบุว่า extrema ท้องถิ่นจะต้องเกิดขึ้นในจุดที่สำคัญ (หรือจุดที่ฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่อนุพันธ์ ) [5]หนึ่งสามารถแยกแยะความแตกต่างไม่ว่าจะเป็นจุดสำคัญเป็นสูงสุดท้องถิ่นหรือขั้นต่ำในท้องถิ่นโดยใช้การทดสอบครั้งแรกอนุพันธ์ , การทดสอบอนุพันธ์ที่สองหรือสูงกว่าเพื่อทดสอบอนุพันธ์ให้อนุพันธ์เพียงพอ [6]

สำหรับฟังก์ชันใด ๆ ที่กำหนดเป็นชิ้นๆ เราจะค้นหาค่าสูงสุด (หรือค่าต่ำสุด) โดยการหาค่าสูงสุด (หรือค่าต่ำสุด) ของแต่ละชิ้นแยกกัน แล้วดูว่าอันใดที่ใหญ่ที่สุด (หรือเล็กที่สุด)

ตัวอย่าง

สูงสุดทั่วโลกของxxเกิดขึ้นที่x =อี
การทำงาน Maxima และ minima
x 2 ค่าต่ำสุดที่ไม่ซ้ำกันทั่วโลกที่x = 0
x 3 ไม่มีขั้นต่ำสากลหรือสูงสุด แม้ว่าอนุพันธ์แรก (3 x 2 ) เป็น 0 ที่x = 0 นี้เป็นจุดโรคติดเชื้อ (อนุพันธ์อันดับที่ 2 คือ 0 ณ จุดนั้น)
สูงสุดทั่วโลกที่ไม่ซ้ำกันที่x = อี (ดูรูปด้านขวา)
x x สูงสุดทั่วโลกที่ไม่ซ้ำกันมากกว่าตัวเลขจริงบวกที่x = 1 / E
x 3 /3 − x อนุพันธ์อันดับหนึ่งx 2 − 1 และอนุพันธ์อันดับสอง 2 x . การตั้งค่าอนุพันธ์อันดับแรกเป็น 0 และการแก้หาxให้จุดนิ่งที่ -1 และ +1 จากเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง เราจะเห็นได้ว่า -1 เป็นค่าสูงสุดในพื้นที่และ +1 เป็นค่าต่ำสุดในพื้นที่ ฟังก์ชันนี้ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดทั่วโลก
| x | ค่าต่ำสุดของโลกที่x = 0 ซึ่งหาอนุพันธ์ไม่ได้เพราะไม่มีอนุพันธ์อยู่ที่x = 0
คอส( x ) ค่าสูงสุดของค่าสูงสุดทั่วโลกมากมายอย่างไม่สิ้นสุดที่ 0, ±2 π , ±4 π , ..., และค่าต่ำสุดของโลกอีกมากมายที่ ± π , ±3 π , ±5 π , ....
2 cos( x ) − x ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดในท้องถิ่นจำนวนมากไม่มีขีด จำกัด แต่ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดทั่วโลก
cos(3 π x )/ xด้วย0.1 ≤ x ≤ 1.1 ค่าสูงสุดทั่วโลกที่x  = 0.1 (ขอบเขต) ค่าต่ำสุดของโลกที่ใกล้x  = 0.3 ค่าสูงสุดในพื้นที่ใกล้x  = 0.6 และค่าต่ำสุดในพื้นที่ใกล้x  = 1.0 (ดูรูปที่ด้านบนของหน้า)
x 3 + 3 x 2 − 2 x + 1 กำหนดไว้ในช่วงเวลาปิด (ส่วน) [−4,2] ค่าสูงสุดเฉพาะที่x  = -1− 15 /3, ค่าต่ำสุดเฉพาะที่x  = -1+ 15 /3, ค่าสูงสุดทั่วโลกที่x  = 2 และค่าต่ำสุดทั่วโลกที่x  = −4

สำหรับตัวอย่างเชิงปฏิบัติ[7]สมมติสถานการณ์ที่ใครบางคนมี ฟุตฟันดาบและพยายามเพิ่มพื้นที่เป็นตารางฟุตของตู้สี่เหลี่ยมให้มากที่สุด โดยที่ คือความยาว คือความกว้าง และ เป็นพื้นที่:

อนุพันธ์ที่เกี่ยวกับ เป็น:

ตั้งค่าให้เท่ากับ

เผยให้เห็นว่า เป็นเพียงของเราจุดสำคัญ ตอนนี้ดึงข้อมูลปลายทางโดยกำหนดช่วงเวลาที่ถูกจำกัด เนื่องจากความกว้างเป็นบวก ดังนั้นและตั้งแต่ ,นั่นก็หมายความว่า. เสียบจุดวิกฤติ,เช่นเดียวกับปลายทาง และ ,เป็น,และผลที่มี และ ตามลำดับ

ดังนั้น พื้นที่มากที่สุดที่บรรลุได้ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าของ ฟุตฟันดาบคือ . [7]

ฟังก์ชันของตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว

พื้นผิว Peanoซึ่งเป็นตัวอย่างที่ขัดแย้งกับเกณฑ์บางประการของ maxima ท้องถิ่นของศตวรรษที่ 19
จุดสูงสุดของโลกคือจุดที่อยู่บนสุด
ตัวอย่างที่ขัดแย้ง: จุดสีแดงแสดงค่าต่ำสุดในพื้นที่ที่ไม่ใช่ค่าต่ำสุดทั่วโลก

สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว จะใช้เงื่อนไขที่คล้ายคลึงกัน ตัวอย่างเช่น ในรูป (ที่ขยายได้) ทางด้านขวา เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับค่าสูงสุดในพื้นที่จะคล้ายกับเงื่อนไขของฟังก์ชันที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว ครั้งแรกอนุพันธ์ย่อยเป็นไปZ (ตัวแปรที่จะขยาย) เป็นศูนย์ที่สูงสุด (จุดเรืองแสงบนในภาพ) อนุพันธ์ย่อยบางส่วนที่สองมีค่าเป็นลบ เงื่อนไขเหล่านี้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นเท่านั้นไม่เพียงพอสำหรับค่าสูงสุดในพื้นที่ เนื่องจากความเป็นไปได้ของจุดอาน . สำหรับการใช้เงื่อนไขเหล่านี้ในการแก้ปัญหาให้ได้ค่าสูงสุด ฟังก์ชันzจะต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้ตลอดด้วย การทดสอบอนุพันธ์ย่อยบางส่วนที่สองสามารถช่วยจำแนกจุดเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ในทางตรงกันข้าม มีความแตกต่างอย่างมากระหว่างฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัวและฟังก์ชันของตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัวในการระบุ global extrema ตัวอย่างเช่น หากฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลแบบมีขอบเขตf ที่กำหนดในช่วงเวลาปิดในเส้นจริงมีจุดวิกฤติจุดเดียว ซึ่งเป็นจุดต่ำสุดในพื้นที่ แสดงว่าเป็นค่าต่ำสุดของโลกด้วย (ใช้ทฤษฎีบทค่ากลางและทฤษฎีบทของโรลเล่เพื่อพิสูจน์โดยreductio โฆษณาเป็นไปไม่ได้ ) ในสองมิติขึ้นไป อาร์กิวเมนต์นี้ล้มเหลว นี่คือภาพประกอบโดยฟังก์ชัน

ซึ่งมีจุดวิกฤตอยู่ที่ (0,0) ซึ่งเป็นจุดต่ำสุดในพื้นที่ที่มีf (0,0) = 0 อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถเป็นจุดสากลได้เนื่องจากf (2,3) = -5

Maxima หรือ minima ของฟังก์ชัน

หากโดเมนของฟังก์ชั่นสำหรับเอ็กซ์ซึ่งจะพบตัวเองประกอบด้วยฟังก์ชั่น (เช่นถ้าเอ็กซ์จะพบของการทำงาน ) แล้วเอ็กซ์พบการใช้แคลคูลัสของการเปลี่ยนแปลง

เกี่ยวกับเซต

Maxima และ minima สามารถกำหนดเป็นชุดได้ โดยทั่วไป ถ้าชุดที่จัดลำดับ Sมีองค์ประกอบมากที่สุด mแล้วmเป็นองค์ประกอบสูงสุดของชุด และยังแสดงเป็น. นอกจากนี้ถ้าSเป็นส่วนหนึ่งของคำสั่งตั้งTและม.เป็นองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของSด้วย (ส่วนที่เกี่ยวกับการสั่งซื้อที่เกิดจากT ) แล้วม.เป็นที่ถูกผูกไว้อย่างน้อยตอนบนของSในT ผลที่คล้ายกันค้างไว้องค์ประกอบน้อย , องค์ประกอบน้อยที่สุดและยิ่งใหญ่ที่สุดขอบเขตล่าง ฟังก์ชันสูงสุดและต่ำสุดสำหรับชุดข้อมูลใช้ในฐานข้อมูลและสามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็ว เนื่องจากชุดสูงสุด (หรือต่ำสุด) สามารถคำนวณได้จากค่าสูงสุดของพาร์ติชัน อย่างเป็นทางการ พวกมันคือฟังก์ชันการรวมตัวที่ย่อยสลายได้เอง.

ในกรณีของทั่วไปส่วนคำสั่งที่องค์ประกอบน้อย (เช่นหนึ่งที่มีขนาดเล็กกว่าคนอื่น ๆ ทั้งหมด) ไม่ควรจะสับสนกับองค์ประกอบน้อยที่สุด (ไม่มีอะไรมีขนาดเล็ก) ในทำนองเดียวกันองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของเซตที่มีลำดับบางส่วน (poset) คือขอบเขตบนของเซตที่อยู่ภายในเซต ในขณะที่องค์ประกอบสูงสุด mของท่าทางAเป็นองค์ประกอบของAเช่นนั้นหากmb (สำหรับใดๆbในA ) จากนั้นm = b. องค์ประกอบที่น้อยที่สุดหรือองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของโพสท่านั้นมีเอกลักษณ์ แต่โพเซทสามารถมีองค์ประกอบที่น้อยที่สุดหรือสูงสุดได้หลายอย่าง หากโพเซทมีองค์ประกอบสูงสุดมากกว่าหนึ่งองค์ประกอบ องค์ประกอบเหล่านี้จะไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้

ในชุดคำสั่งทั้งหมดหรือchainองค์ประกอบทั้งหมดสามารถเปรียบเทียบกันได้ ดังนั้นชุดดังกล่าวสามารถมีองค์ประกอบที่น้อยที่สุดได้มากที่สุดหนึ่งองค์ประกอบและองค์ประกอบสูงสุดได้มากที่สุดหนึ่งรายการ จากนั้น เนื่องจากสามารถเปรียบเทียบกันได้ องค์ประกอบที่น้อยที่สุดจะเป็นองค์ประกอบที่น้อยที่สุด และองค์ประกอบสูงสุดจะเป็นองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดด้วย ดังนั้นในชุดคำสั่งทั้งหมด เราสามารถใช้เงื่อนไขต่ำสุดและสูงสุดได้

หากห่วงโซ่มีขอบเขต มันจะมีค่าสูงสุดและต่ำสุดเสมอ หากห่วงโซ่ไม่มีที่สิ้นสุดก็ไม่จำเป็นต้องมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ตัวอย่างเช่น ชุดของจำนวนธรรมชาติไม่มีค่าสูงสุด แม้ว่าจะมีค่าต่ำสุดก็ตาม หากสายโซ่อนันต์Sมีขอบเขต การปิด Cl ( S ) ของเซตจะมีค่าต่ำสุดและสูงสุดในบางครั้ง ซึ่งในกรณีนี้จะเรียกว่าขอบเขตล่างที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของเซตSตามลำดับ

ดูเพิ่มเติม

อ้างอิง

  1. ^ สจ๊วต เจมส์ (2008) Calculus: Early Transcendentals (ฉบับที่ 6) บรู๊คส์/โคล . ISBN 978-0-495-01166-8.
  2. ^ ลาร์สัน รอน ; เอ็ดเวิร์ดส์, บรูซ เอช. (2009). แคลคูลัส (ฉบับที่ 9) บรู๊คส์/โคล . ISBN 978-0-547-16702-2.
  3. ^ โทมัส จอร์จ บี. ; ฝายมอริซดี.; ฮาส, โจเอล (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (ฉบับที่ 12) แอดดิสัน-เวสลีย์ . ISBN 978-0-321-58876-0.
  4. ^ ปัญหาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ Demidovǐc, Boris P. , Baranenkov, G. มอสโก(IS): Moskva. พ.ศ. 2507 ISBN 0846407612. OCLC  799468131 .CS1 maint: อื่น ๆ ( ลิงค์ )
  5. ^ Weisstein เอริควชิร"ขั้นต่ำ" mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-30 .
  6. ^ Weisstein เอริควชิร"สูงสุด" mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-30 .
  7. ^ a b การ์เร็ตต์, พอล. "การย่อขนาดและการทบทวนสูงสุด" .

ลิงค์ภายนอก