คณิตศาสตร์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกEuclid (ถือเครื่องวัดเส้นผ่าศูนย์กลาง ) ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช ตามที่ราฟาเอลจินตนาการไว้ในรายละเอียดนี้จากThe School of Athens (1509–1511) [a]


คณิตศาสตร์ (จากภาษากรีก : μάθημα , máthēma , 'ความรู้ ศึกษา การเรียนรู้') รวมถึงการศึกษาหัวข้อต่างๆ เช่นปริมาณ ( ทฤษฎีจำนวน ), [1] โครงสร้าง ( พีชคณิต ), [2] ช่องว่าง ( เรขาคณิต ), [1]และเปลี่ยนแปลง ( วิเคราะห์ ). [3] [4] [5]มันได้รับการยอมรับโดยทั่วไปไม่มีความหมาย [6] [7]

Mathematicians การแสวงหาและการใช้รูปแบบ[8] [9]ที่จะกำหนดใหม่คาดเดา ; พวกเขาแก้ไขความจริงหรือความผิดพลาดดังกล่าวโดยการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เมื่อโครงสร้างทางคณิตศาสตร์เป็นแบบอย่างที่ดีของปรากฏการณ์จริง สามารถใช้การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์เพื่อให้ข้อมูลเชิงลึกหรือการคาดการณ์เกี่ยวกับธรรมชาติได้ ผ่านการใช้งานของนามธรรมและตรรกะคณิตศาสตร์ที่พัฒนามาจากการนับ , การคำนวณ , การวัดและระบบการศึกษาของรูปร่างและการเคลื่อนไหวของวัตถุทางกายภาพคณิตศาสตร์เชิงปฏิบัติเป็นกิจกรรมของมนุษย์ตั้งแต่มีบันทึกเป็นลายลักษณ์อักษรการวิจัยที่จำเป็นในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์อาจต้องใช้เวลาหลายปีหรือหลายศตวรรษในการค้นคว้าอย่างต่อเนื่อง

ข้อโต้แย้งอย่างเข้มงวดปรากฏตัวครั้งแรกในคณิตศาสตร์กรีกโดดเด่นที่สุดในEuclid 's องค์ประกอบ [10]ตั้งแต่งานบุกเบิกของGiuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943) และคนอื่น ๆเกี่ยวกับระบบสัจพจน์ในปลายศตวรรษที่ 19เป็นเรื่องปกติที่จะมองว่าการวิจัยทางคณิตศาสตร์เป็นการพิสูจน์ความจริงโดยการ อนุมานอย่างเข้มงวดจาก ได้รับการแต่งตั้งอย่างเหมาะสมหลักการและคำจำกัดความคณิตศาสตร์พัฒนาอย่างช้า ๆ จนถึงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาเมื่อนวัตกรรมทางคณิตศาสตร์โต้ตอบกับใหม่การค้นพบทางวิทยาศาสตร์ทำให้อัตราการค้นพบทางคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วอย่างต่อเนื่องมาจนถึงปัจจุบัน (11)

คณิตศาสตร์เป็นสิ่งจำเป็นในหลายสาขารวมทั้งวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ , วิศวกรรม , การแพทย์ , การเงินและสังคมศาสตร์ คณิตศาสตร์ประยุกต์ได้นำไปสู่สาขาวิชาคณิตศาสตร์ใหม่ทั้งหมดเช่นสถิติและทฤษฎีเกม นักคณิตศาสตร์มีส่วนร่วมในคณิตศาสตร์ล้วนๆ (คณิตศาสตร์เพื่อตัวมันเอง) โดยไม่ต้องคำนึงถึงการใช้งานใดๆ แต่การใช้งานจริงสำหรับสิ่งที่เริ่มต้นจากคณิตศาสตร์ล้วนๆ มักจะถูกค้นพบในภายหลัง [12] [13]

ประวัติศาสตร์

ประวัติของคณิตศาสตร์สามารถเห็นได้ว่าเป็นชุดของนามธรรมที่เพิ่มขึ้นเรื่อยสิ่งที่เป็นนามธรรมประการแรกซึ่งมีสัตว์หลายชนิดร่วมกัน[14]อาจเป็นเรื่องของตัวเลข: การตระหนักว่าชุดของแอปเปิ้ลสองลูกและชุดของส้มสองผล (เช่น) มีบางอย่างที่เหมือนกัน นั่นคือปริมาณของสมาชิก

เป็นหลักฐานโดยนับพบในกระดูกที่นอกเหนือไปจากการรับรู้ถึงวิธีการนับวัตถุทางกายภาพก่อนประวัติศาสตร์คนอาจจะยังได้รับการยอมรับวิธีการนับปริมาณนามธรรมเช่นเวลาวันฤดูกาลหรือเป็นปี [15] [16]

แท็บเล็ตคณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลน Plimpton 322 ลงวันที่ 1800 ปีก่อนคริสตกาล

หลักฐานสำหรับคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้นไม่ปรากฏจนถึงประมาณ 3000  ปีก่อนคริสตกาลเมื่อชาวบาบิโลนและอียิปต์เริ่มใช้เลขคณิต , พีชคณิตและเรขาคณิตสำหรับการจัดเก็บภาษีและการคำนวณทางการเงินอื่น ๆ สำหรับการสร้างและการก่อสร้างและดาราศาสตร์ [17]ตำราคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดจากเมโสโปเตเมียและอียิปต์มีตั้งแต่ 2000 ถึง 1800 ปีก่อนคริสตกาล[18]ตำรายุคแรก ๆ หลายฉบับกล่าวถึงพีทาโกรัสแฝดสามดังนั้น โดยการอนุมานทฤษฎีบทพีทาโกรัสดูเหมือนจะเป็นการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่และแพร่หลายที่สุดหลังจากเลขคณิตและเรขาคณิตพื้นฐาน [19]มันอยู่ในบาบิโลนคณิตศาสตร์ที่คณิตศาสตร์ประถมศึกษา ( นอกจากนี้ , การลบ , การคูณและหาร ) ปรากฏตัวครั้งแรกในบันทึกทางโบราณคดี ชาวบาบิโลนยังมีระบบค่าสถานที่และใช้ระบบตัวเลขเพศ[19]ซึ่งยังคงใช้อยู่ในปัจจุบันสำหรับการวัดมุมและเวลา (20)

Archimedes ใช้วิธีการของความอ่อนล้าที่ใกล้เคียงกับค่าของปี่

จุดเริ่มต้นในศตวรรษที่ 6 กับPythagoreansกับคณิตศาสตร์กรีกกรีกโบราณเริ่มระบบการศึกษาคณิตศาสตร์เป็นเรื่องในสิทธิของตนเอง[21]ราวๆ 300 ปีก่อนคริสตกาล ยูคลิดได้แนะนำวิธีการเชิงสัจพจน์ที่ยังคงใช้ในคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ซึ่งประกอบด้วยคำจำกัดความ สัจพจน์ ทฤษฎีบท และการพิสูจน์ หนังสือของเขาElementsถือเป็นหนังสือเรียนที่ประสบความสำเร็จและทรงอิทธิพลที่สุดตลอดกาล[22]นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของสมัยโบราณมักจะถือเป็นArchimedes (ค. 287-212 BC) ของซีราคิวส์ [23]เขาได้พัฒนาสูตรสำหรับคำนวณพื้นที่ผิวและปริมาตรของของแข็งของการปฏิวัติและใช้วิธีการหมดแรงในการคำนวณพื้นที่ใต้ส่วนโค้งของพาราโบลาด้วยการบวกผลรวมของอนุกรมอนันต์ในลักษณะที่ไม่ต่างจากแคลคูลัสสมัยใหม่มากนัก[24]ความสำเร็จที่โดดเด่นอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์กรีก ได้แก่ส่วนรูปกรวย ( Apollonius of Perga , ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช), [25] ตรีโกณมิติ ( Hipparchus of Nicaea , ศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช), [26]และจุดเริ่มต้นของพีชคณิต ( Diophantus , AD ศตวรรษที่ 3 ). [27]

ตัวเลขที่ใช้ในต้นฉบับบัคชาลี ลงวันที่ระหว่างศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสตกาล และคริสตศักราช 2

ระบบฮินดูภาษาอาหรับตัวเลขและกฎระเบียบสำหรับการใช้งานของการดำเนินงานของตนในการใช้งานทั่วโลกในวันนี้การพัฒนาอยู่ตลอดหลักสูตรของ AD สหัสวรรษแรกในประเทศอินเดียและถูกส่งไปยังโลกตะวันตกผ่านทางคณิตศาสตร์อิสลาม [28]การพัฒนาที่โดดเด่นอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์อินเดียรวมถึงคำนิยามของความทันสมัยและประมาณการของไซน์และโคไซน์ , [28]และรูปแบบของแบบไม่มีที่สิ้นสุด

หน้าจากAlgebra .ของ al-Khwārizmī

ในช่วงยุคทองของศาสนาอิสลามโดยเฉพาะอย่างยิ่งในช่วงศตวรรษที่ 9 และ 10 คณิตศาสตร์เห็นนวัตกรรมที่สำคัญมากมายที่สร้างจากคณิตศาสตร์กรีก ความสำเร็จที่โดดเด่นที่สุดของอิสลามคณิตศาสตร์คือการพัฒนาพีชคณิตความสำเร็จอื่น ๆ ของยุคอิสลาม ได้แก่ ความก้าวหน้าในตรีโกณมิติทรงกลมและการเพิ่มจุดทศนิยมในระบบเลขอารบิก[29] [30]หลายนักคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นจากช่วงเวลานี้เป็นเปอร์เซียเช่นAl-Khwarismi , โอมาร์คัยยามและชาราฟอัลดินอัล ทูซ่

ในช่วงระยะเวลาก่อนสมัยคณิตศาสตร์เริ่มพัฒนาที่ก้าวเร่งในยุโรปตะวันตกการพัฒนาแคลคูลัสโดยนิวตันและไลบนิซในศตวรรษที่ 17 ปฏิวัติคณิตศาสตร์[31]เลออนฮาร์ด ออยเลอร์เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในศตวรรษที่ 18 โดยมีส่วนสนับสนุนทฤษฎีบทและการค้นพบมากมาย[32]บางทีนักคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดของศตวรรษที่ 19 เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันคาร์ลฟรีดริชเกาส์ , [33]ที่ทำผลงานมากมายให้กับสาขาต่าง ๆ เช่นพีชคณิต , วิเคราะห์ , เรขาคณิตต่างกัน , ทฤษฎีเมทริกซ์ , ทฤษฎีจำนวนและสถิติในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 เคิร์ท โกเดลได้เปลี่ยนแปลงคณิตศาสตร์โดยเผยแพร่ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเขาซึ่งแสดงให้เห็นส่วนหนึ่งว่าระบบสัจพจน์ที่สอดคล้องกันใดๆ—หากมีพลังมากพอที่จะอธิบายเลขคณิต—จะมีข้อเสนอจริงที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้[34]

คณิตศาสตร์ได้ขยายออกไปอย่างมาก และมีการปฏิสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อย่างได้ผล เพื่อประโยชน์ของทั้งสองอย่าง การค้นพบทางคณิตศาสตร์ยังคงเกิดขึ้นในปัจจุบัน จากข้อมูลของ Mikhail B. Sevryuk ในBulletin of the American Mathematical Societyฉบับเดือนมกราคม 2549 ระบุว่า "จำนวนเอกสารและหนังสือที่รวมอยู่ในฐานข้อมูลMathematic Reviewsตั้งแต่ปี 1940 (ปีแรกของการดำเนินงาน MR) มีมากกว่า 1.9 ล้าน และมากกว่า 75,000 รายการถูกเพิ่มลงในฐานข้อมูลในแต่ละปี งานส่วนใหญ่ที่ล้นหลามในมหาสมุทรนี้มีทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ใหม่และข้อพิสูจน์ของพวกเขา" [35]

นิรุกติศาสตร์

คำว่าคณิตศาสตร์มาจากภาษากรีกโบราณ máthēma ( μάθημα ) ซึ่งหมายถึง "สิ่งที่ได้เรียนรู้" [36] "สิ่งที่เราได้รู้" ดังนั้น "การศึกษา" และ "วิทยาศาสตร์" ด้วย คำว่า "คณิตศาสตร์" มีความหมายทางเทคนิคที่แคบกว่าและมีความหมายทางเทคนิคมากกว่า "การศึกษาทางคณิตศาสตร์" แม้แต่ในสมัยคลาสสิก[37]คำคุณศัพท์ของมันคือmathēmatikós ( μαθηματικός ) หมายถึง "เกี่ยวข้องกับการเรียนรู้" หรือ "ความขยันหมั่นเพียร" ซึ่งในทำนองเดียวกันก็หมายถึง "คณิตศาสตร์" โดยเฉพาะอย่างยิ่งmathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; ภาษาละติน :ars คณิตศาสตร์) หมายถึง "ศิลปะทางคณิตศาสตร์"

ในทำนองเดียวกัน หนึ่งในสองสำนักแห่งความคิดหลักในพีทาโกรัสเรียกว่าmathēmatikoi (μαθηματικοί) ซึ่งในขณะนั้นหมายถึง "ผู้เรียน" มากกว่า "นักคณิตศาสตร์" ในความหมายสมัยใหม่ [38]

ในภาษาละตินและในภาษาอังกฤษจนถึงราวปี 1700 คำว่าคณิตศาสตร์โดยทั่วไปหมายถึง " โหราศาสตร์ " (หรือบางครั้ง " ดาราศาสตร์ ") มากกว่า "คณิตศาสตร์" ความหมายค่อยๆ เปลี่ยนไปเป็นความหมายปัจจุบันจากประมาณ 1500 เป็น 1800 ซึ่งส่งผลให้มีการแปลผิดหลายครั้ง ตัวอย่างเช่นคำเตือนของSaint Augustineที่คริสเตียนควรระวังmathematiciซึ่งหมายถึงนักโหราศาสตร์ บางครั้งก็แปลผิดว่าเป็นการประณามนักคณิตศาสตร์[39]

รูปพหูพจน์ที่ชัดเจนในภาษาอังกฤษ เช่น รูปพหูพจน์ภาษาฝรั่งเศสles mathématiques (และอนุพันธ์ เอกพจน์la mathématique ที่เป็นเอกพจน์น้อยกว่า) กลับไปที่ภาษาละตินneuter plural mathematica ( Cicero ) ซึ่งมีพื้นฐานมาจากภาษากรีกพหูพจน์ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ), ใช้โดยอริสโตเติล (384–322 ปีก่อนคริสตกาล) และความหมายคร่าวๆ "ทุกสิ่งทางคณิตศาสตร์" แม้ว่าจะเป็นไปได้ว่าภาษาอังกฤษยืมเฉพาะคำคุณศัพท์คณิตศาสตร์ (al)และสร้างคำนามคณิตศาสตร์ขึ้นใหม่หลังจากรูปแบบของฟิสิกส์และอภิปรัชญาซึ่งได้รับมรดกมาจากภาษากรีก [40]ในภาษาอังกฤษ คำนามคณิตศาสตร์ใช้กริยาเอกพจน์ มันก็มักจะลงไปคณิตศาสตร์หรือในทวีปอเมริกาเหนือคณิตศาสตร์ [41]

คำจำกัดความของคณิตศาสตร์

Leonardo Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีผู้แนะนำระบบเลขฮินดู-อารบิกที่นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียคิดค้นขึ้นระหว่างศตวรรษที่ 1 และ 4 สู่โลกตะวันตก

คณิตศาสตร์ไม่มีคำจำกัดความที่ยอมรับกันโดยทั่วไป[6] [7] อริสโตเติลกำหนดให้คณิตศาสตร์เป็น "ศาสตร์แห่งปริมาณ" และคำจำกัดความนี้มีชัยจนถึงศตวรรษที่ 18 อย่างไรก็ตาม อริสโตเติลยังตั้งข้อสังเกตว่าการเน้นที่ปริมาณเพียงอย่างเดียวอาจไม่สามารถแยกความแตกต่างทางคณิตศาสตร์จากวิทยาศาสตร์อย่างฟิสิกส์ได้ ในมุมมองของเขา นามธรรมและการศึกษาปริมาณเป็นคุณสมบัติ "แยกจากความคิด" จากกรณีจริงทำให้คณิตศาสตร์แตกต่าง[42]

ในศตวรรษที่ 19 เมื่อการศึกษาคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดและเริ่มกล่าวถึงหัวข้อที่เป็นนามธรรม เช่นทฤษฎีกลุ่มและเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟ ซึ่งไม่มีความสัมพันธ์ที่ชัดเจนกับปริมาณและการวัด นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาจึงเริ่มเสนอคำจำกัดความใหม่ๆ ที่หลากหลาย . [43]

นักคณิตศาสตร์มืออาชีพจำนวนมากไม่สนใจคำจำกัดความของคณิตศาสตร์หรือคิดว่าไม่สามารถระบุได้ [6]ไม่มีความเห็นเป็นเอกฉันท์ว่าคณิตศาสตร์เป็นศิลปะหรือวิทยาศาสตร์ [7]บางคนก็พูดว่า "คณิตศาสตร์คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ทำ" [6]

สามประเภทชั้นนำ

คำจำกัดความสามประเภทชั้นนำของคณิตศาสตร์ในปัจจุบันเรียกว่านักตรรกวิทยานักสัญชาตญาณและนักจัดรูปแบบซึ่งแต่ละประเภทสะท้อนให้เห็นถึงโรงเรียนแห่งการคิดเชิงปรัชญาที่แตกต่างกัน (44)ทุกคนล้วนมีข้อบกพร่องร้ายแรง ไม่มีใครเป็นที่ยอมรับอย่างกว้างขวาง และดูเหมือนว่าจะไม่มีการปรองดองกัน [44]

คำจำกัดความของ Logicist

คำจำกัดความเบื้องต้นของคณิตศาสตร์ในแง่ของตรรกะคือของBenjamin Peirce (1870): "วิทยาศาสตร์ที่สรุปข้อสรุปที่จำเป็น" [45]ในPrincipia Mathematica , เบอร์ทรานด์รัสเซลและอัลเฟรดนอร์ทเฮดสูงโปรแกรมปรัชญาที่รู้จักในฐานะlogicismและความพยายามที่จะพิสูจน์ให้เห็นว่าทุกคณิตศาสตร์แนวคิดงบและหลักการสามารถกำหนดและได้รับการพิสูจน์อย่างสิ้นเชิงในแง่ของตรรกะสัญลักษณ์ นักตรรกวิทยาของคณิตศาสตร์คือรัสเซล (1903) "คณิตศาสตร์ทั้งหมดเป็นตรรกะเชิงสัญลักษณ์" [46]

คำจำกัดความของสัญชาตญาณ

คำจำกัดความของสัญชาตญาณซึ่งพัฒนาจากปรัชญาของนักคณิตศาสตร์LEJ Brouwerระบุคณิตศาสตร์ด้วยปรากฏการณ์ทางจิตบางอย่าง ตัวอย่างของคำจำกัดความของสัญชาตญาณคือ "คณิตศาสตร์เป็นกิจกรรมทางจิตซึ่งประกอบด้วยการสร้างสิ่งหนึ่งขึ้นมาทีละอย่าง" [44]ลักษณะเฉพาะของสัญชาตญาณคือการปฏิเสธแนวคิดทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่ถือว่าใช้ได้ตามคำจำกัดความอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในขณะที่ปรัชญาทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ยอมให้วัตถุที่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีอยู่จริงแม้ว่าจะไม่สามารถสร้างขึ้นได้ก็ตาม สัญชาตญาณอนุญาตให้เฉพาะวัตถุทางคณิตศาสตร์เท่านั้นที่สามารถสร้างได้จริง นักปรีชาญาณยังปฏิเสธกฎของชนชั้นกลางที่ถูกกีดกัน (กล่าวคือ). ในขณะที่จุดยืนนี้บังคับให้พวกเขาปฏิเสธการพิสูจน์ทั่วไปหนึ่งฉบับโดยขัดแย้งกันเป็นวิธีการพิสูจน์ที่ทำงานได้ กล่าวคือ การอนุมานของ จาก พวกเขายังสามารถอนุมานได้ จาก . สำหรับพวกเขา, เป็นคำพูดที่อ่อนแอกว่า .อย่างเคร่งครัด . [47]

คำจำกัดความอย่างเป็นทางการ

เหือดคำจำกัดความระบุคณิตศาสตร์กับสัญลักษณ์และกฎระเบียบสำหรับการดำเนินงานเกี่ยวกับพวกเขา Haskell Curryนิยามคณิตศาสตร์ง่ายๆ ว่าเป็น "ศาสตร์ของระบบที่เป็นทางการ" [48]ระบบอย่างเป็นทางการคือชุดของสัญลักษณ์หรือราชสกุลและบางกฎระเบียบเกี่ยวกับวิธีสัญญาณที่จะรวมกันเป็นสูตร ในระบบที่เป็นทางการ คำว่าสัจพจน์มีความหมายพิเศษที่แตกต่างจากความหมายทั่วไปของ "ความจริงที่ประจักษ์ชัดในตัวเอง" และใช้เพื่ออ้างถึงการรวมกันของโทเค็นที่รวมอยู่ในระบบที่เป็นทางการที่กำหนดโดยไม่จำเป็นต้องได้รับโดยใช้ กฎของระบบ

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์เจ้าชายแห่งคณิตศาสตร์

นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันCarl Friedrich Gaussเรียกคณิตศาสตร์ว่าเป็น "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์" [49]อีกไม่นานMarcus du Sautoyได้เรียกคณิตศาสตร์ว่า "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ ... แรงผลักดันหลักที่อยู่เบื้องหลังการค้นพบทางวิทยาศาสตร์" [50]นักปรัชญาคาร์ลตกใจตั้งข้อสังเกตว่า "ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่จะเหมือนของฟิสิกส์และชีววิทยา , hypothetico - นิรนัย : คณิตศาสตร์บริสุทธิ์จึงจะออกมาเป็นมากใกล้กับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติที่มีสมมติฐานคาดเดากว่าก็ลำบากแม้กระทั่งเมื่อเร็ว ๆ นี้ " [51]Popper ยังตั้งข้อสังเกตอีกว่า "ฉันจะยอมรับระบบที่เป็นเชิงประจักษ์หรือทางวิทยาศาสตร์อย่างแน่นอนก็ต่อเมื่อสามารถทดสอบด้วยประสบการณ์ได้" [52]

ผู้เขียนหลายคนพิจารณาว่าคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นวิทยาศาสตร์เพราะมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับหลักฐานเชิงประจักษ์ [53] [54] [55] [56]

คณิตศาสตร์มีส่วนเหมือนกันมากกับหลายสาขาในวิทยาศาสตร์กายภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการสำรวจผลที่ตามมาจากตรรกะของสมมติฐานสัญชาตญาณและการทดลองยังมีบทบาทในการสร้างการคาดเดาทั้งในด้านคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ (อื่นๆ) คณิตศาสตร์เชิงทดลองยังคงมีความสำคัญเพิ่มขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์ และการคำนวณและการจำลองมีบทบาทเพิ่มขึ้นทั้งในด้านวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์

ความคิดเห็นของนักคณิตศาสตร์เกี่ยวกับเรื่องนี้แตกต่างกัน นักคณิตศาสตร์หลายคน[57]รู้สึกว่าการเรียกพื้นที่ของตนว่าวิทยาศาสตร์คือการมองข้ามความสำคัญของด้านสุนทรียศาสตร์ และประวัติศาสตร์ในศิลปศาสตร์ดั้งเดิมทั้งเจ็ด; บางคนรู้สึกว่าการเพิกเฉยต่อความเชื่อมโยงกับวิทยาศาสตร์คือการเพิกเฉยต่อความจริงที่ว่าส่วนต่อประสานระหว่างคณิตศาสตร์กับการประยุกต์ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ได้ขับเคลื่อนการพัฒนาทางคณิตศาสตร์อย่างมาก[58]วิธีหนึ่งที่ความแตกต่างของมุมมองนี้แสดงออกมาคือในการอภิปรายเชิงปรัชญาว่าคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้น (เช่นในศิลปะ) หรือค้นพบ(เช่นเดียวกับในวิทยาศาสตร์) ในทางปฏิบัติ นักคณิตศาสตร์มักจะจัดกลุ่มกับนักวิทยาศาสตร์ในระดับรวม แต่แยกจากกันในระดับปลีกย่อย นี้เป็นหนึ่งในหลายประเด็นพิจารณาในปรัชญาของคณิตศาสตร์ [59]

แรงบันดาลใจ คณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ และสุนทรียศาสตร์

Isaac Newton
Gottfried Wilhelm von Leibniz
ไอแซก นิวตัน (ซ้าย) และกอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซพัฒนาแคลคูลัสจำนวนน้อย

คณิตศาสตร์เกิดจากปัญหาหลายประเภท ตอนแรกเหล่านี้ถูกพบในการค้า, การวัดที่ดินสถาปัตยกรรมและภายหลังดาราศาสตร์ ; ทุกวันนี้ วิทยาศาสตร์ทั้งหมดเสนอปัญหาที่นักคณิตศาสตร์ศึกษา และปัญหามากมายเกิดขึ้นในตัวคณิตศาสตร์เอง ตัวอย่างเช่นนักฟิสิกส์ Richard Feynmanได้คิดค้นสูตรอินทิกรัลของเส้นทางของกลศาสตร์ควอนตัมโดยใช้การใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์และความเข้าใจทางกายภาพร่วมกัน และทฤษฎีสตริงในปัจจุบันซึ่งเป็นทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ที่ยังคงพัฒนาอยู่ ซึ่งพยายามรวมพลังพื้นฐานทั้งสี่ของธรรมชาติเป็นหนึ่งเดียว ยังคงสร้างแรงบันดาลใจต่อไป คณิตศาสตร์ใหม่[60]

คณิตศาสตร์บางเรื่องมีความเกี่ยวข้องเฉพาะในพื้นที่ที่เป็นแรงบันดาลใจ และนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาเพิ่มเติมในด้านนั้น แต่บ่อยครั้งที่คณิตศาสตร์ที่ได้รับแรงบันดาลใจจากพื้นที่หนึ่งมีประโยชน์ในหลาย ๆ ด้าน และรวมเข้ากับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ทั่วไป ความแตกต่างมักจะทำระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์หัวข้อคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ แต่มักจะเปิดออกจะมีการใช้งานเช่นทฤษฎีจำนวนในการเข้ารหัส

ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งนี้ ที่แม้แต่คณิตศาสตร์ที่ "บริสุทธิ์ที่สุด" ก็มักจะถูกนำไปใช้ได้จริง คือสิ่งที่นักฟิสิกส์Eugene Wignerเรียกว่า " ประสิทธิผลที่ไร้เหตุผลของคณิตศาสตร์ " [13]ปรัชญาของคณิตศาสตร์ มาร์คสทิได้เขียนอย่างกว้างขวางเกี่ยวกับเรื่องนี้และรับทราบว่าการบังคับใช้ของคณิตศาสตร์ถือว่า“ความท้าทายให้กับธรรมชาติได้.” [61]สำหรับนักปรัชญาคณิตศาสตร์Mary Lengความจริงที่ว่าโลกทางกายภาพปฏิบัติตามคำสั่งของเอนทิตีทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ใช่สาเหตุที่มีอยู่นอกจักรวาลคือ "เรื่องบังเอิญที่มีความสุข" [62]ในทางกลับกัน สำหรับผู้ ต่อต้านสัจนิยมการเชื่อมต่อซึ่งได้มาระหว่างสิ่งทางคณิตศาสตร์เพียงแค่สะท้อนการเชื่อมต่อที่ได้มาระหว่างวัตถุในจักรวาลเพื่อไม่ให้มี "ความบังเอิญที่มีความสุข" [62]

เช่นเดียวกับพื้นที่การศึกษาส่วนใหญ่ การระเบิดของความรู้ในยุควิทยาศาสตร์นำไปสู่ความเชี่ยวชาญเฉพาะทาง ขณะนี้มีพื้นที่เฉพาะทางหลายร้อยสาขาในวิชาคณิตศาสตร์ และการจัดหมวดหมู่หัวเรื่องคณิตศาสตร์ล่าสุดมี46 หน้า [63]หลายพื้นที่ของคณิตศาสตร์ประยุกต์ได้รวมกับประเพณีที่เกี่ยวข้องกับด้านนอกของคณิตศาสตร์และกลายเป็นสาขาในสิทธิของตนเองรวมทั้งสถิติการดำเนินงานวิจัยและวิทยาการคอมพิวเตอร์

สำหรับผู้ที่มีความโน้มเอียงทางคณิตศาสตร์ มักมีแง่มุมทางสุนทรียะที่ชัดเจนสำหรับคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ นักคณิตศาสตร์หลายคนพูดถึงความสง่างามของคณิตศาสตร์สุนทรียศาสตร์ที่แท้จริงและความงามภายในความเรียบง่ายและความทั่วถึงมีค่า มีความงามอยู่ในที่เรียบง่ายและสง่างามหลักฐานเช่นEuclidหลักฐาน 's ว่ามีหลายอย่างมากมายตัวเลขที่สำคัญและสง่างามวิธีการเชิงตัวเลขที่เพิ่มความเร็วในการคำนวณเช่นรวดเร็วฟูเรียร์ GH Hardyในคำขอโทษของนักคณิตศาสตร์แสดงความเชื่อว่าการพิจารณาด้านสุนทรียศาสตร์ในตัวเองนั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์การศึกษาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ เขาระบุเกณฑ์ต่างๆ เช่น ความสำคัญ ความคาดไม่ถึง ความหลีกเลี่ยงไม่ได้ และเศรษฐกิจ เป็นปัจจัยที่ส่งผลต่อสุนทรียศาสตร์ทางคณิตศาสตร์[64]การวิจัยทางคณิตศาสตร์มักจะแสวงหาคุณลักษณะที่สำคัญของวัตถุทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทที่แสดงเป็นคุณลักษณะของวัตถุโดยคุณลักษณะเหล่านี้เป็นรางวัล ตัวอย่างของการขัดแย้งทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งรวบรัดและเปิดหูเปิดตาได้รับการตีพิมพ์ในหลักฐานจากหนังสือ

ความนิยมของคณิตศาสตร์เพื่อการพักผ่อนหย่อนใจเป็นอีกสัญญาณหนึ่งของความสุขที่หลายคนพบในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ และในที่สุดทางสังคมอื่น ๆ ปรัชญายังคงหาปัญหาในปรัชญาของคณิตศาสตร์เช่นลักษณะของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ [65]

สัญกรณ์ ภาษา และความเข้มงวด

ลีออนฮาร์ด ออยเลอร์สร้างและเผยแพร่สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์จำนวนมากที่ใช้กันในปัจจุบัน

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ที่ใช้อยู่ในปัจจุบันไม่ได้ถูกประดิษฐ์ขึ้นจนกระทั่งศตวรรษที่ 16 [66]ก่อนหน้านั้น คณิตศาสตร์ถูกเขียนออกมาเป็นคำพูด จำกัดการค้นพบทางคณิตศาสตร์[67] ออยเลอร์ (ค.ศ. 1707–1783) รับผิดชอบสัญลักษณ์ต่างๆ ที่ใช้อยู่ในปัจจุบัน สัญกรณ์สมัยใหม่ทำให้คณิตศาสตร์ง่ายขึ้นมากสำหรับมืออาชีพ แต่ผู้เริ่มต้นมักจะพบว่ามันน่ากลัว อ้างอิงจากสบาร์บารา โอ๊คลีย์สิ่งนี้สามารถนำมาประกอบกับความจริงที่ว่า ความคิดทางคณิตศาสตร์มีทั้งนามธรรมมากกว่าและมีการเข้ารหัสมากกว่าของภาษาธรรมชาติ[68]ต่างจากภาษาธรรมชาติที่ผู้คนมักจะเทียบเคียงกับคำได้ (เช่นcow) กับวัตถุทางกายภาพที่มันสอดคล้องกับ สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เป็นนามธรรม ไม่มีแอนะล็อกทางกายภาพใด ๆ[69]สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ยังมีการเข้ารหัสที่สูงกว่าคำทั่วไป หมายความว่าสัญลักษณ์เดียวสามารถเข้ารหัสการดำเนินการหรือแนวคิดต่างๆ ได้จำนวนมาก[70]

ภาษาคณิตศาสตร์อาจเข้าใจยากสำหรับผู้เริ่มต้น เนื่องจากแม้แต่คำทั่วไป เช่นหรือและเท่านั้นมีความหมายที่แม่นยำกว่าในภาษาพูดในชีวิตประจำวัน และคำอื่นๆ เช่นเปิดและภาคสนามหมายถึงแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงซึ่งไม่ได้ครอบคลุม ความหมายของฆราวาส ภาษาคณิตศาสตร์นอกจากนี้ยังมีคำศัพท์ทางเทคนิคหลายอย่างเช่นhomeomorphismและintegrableที่ไม่มีความหมายนอกของคณิตศาสตร์ นอกจากนี้ วลีชวเลข เช่นiffสำหรับ " if and only if " เป็นศัพท์แสงทางคณิตศาสตร์. มีเหตุผลสำหรับสัญกรณ์พิเศษและคำศัพท์ทางเทคนิค: คณิตศาสตร์ต้องการความแม่นยำมากกว่าคำพูดในชีวิตประจำวัน นักคณิตศาสตร์อ้างถึงความแม่นยำของภาษาและตรรกะนี้ว่า "ความเข้มงวด"

การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานเรื่องของความรุนแรง นักคณิตศาสตร์ต้องการให้ทฤษฎีบทของพวกเขาทำตามสัจพจน์โดยใช้การใช้เหตุผลอย่างเป็นระบบ เพื่อหลีกเลี่ยงความผิดพลาด " ทฤษฎีบท " บนพื้นฐานของสัญชาตญาณที่ผิดพลาด ซึ่งมีหลายกรณีที่เกิดขึ้นในประวัติศาสตร์ของเรื่อง [b]ระดับความเข้มงวดที่คาดหวังในวิชาคณิตศาสตร์นั้นแปรผันตามกาลเวลา: ชาวกรีกคาดหวังการโต้แย้งอย่างละเอียด แต่ในสมัยของไอแซก นิวตันวิธีการที่ใช้มีความเข้มงวดน้อยกว่า ปัญหาที่มีอยู่ในคำจำกัดความที่ใช้โดยนิวตันจะนำไปสู่การฟื้นคืนชีพของการวิเคราะห์อย่างรอบคอบและการพิสูจน์อย่างเป็นทางการในศตวรรษที่ 19 ความเข้าใจผิดเกี่ยวกับความเข้มงวดเป็นสาเหตุของความเข้าใจผิดทั่วไปบางประการของคณิตศาสตร์ วันนี้คณิตศาสตร์ยังคงยืนยันในตัวเองเกี่ยวกับการพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยเนื่องจากการคำนวณจำนวนมากนั้นยากต่อการตรวจสอบ การพิสูจน์ดังกล่าวอาจผิดพลาดได้หากโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ใช้มีข้อผิดพลาด[C] [71]บนมืออื่น ๆ , ผู้ช่วยพิสูจน์อนุญาตให้มีการตรวจสอบรายละเอียดทั้งหมดที่ไม่สามารถได้รับในหลักฐานที่เขียนด้วยมือและให้ความเชื่อมั่นในความถูกต้องของหลักฐานอันยาวดังกล่าวเป็นที่ของทฤษฎีบท Feit ธ อมป์สัน[NS]

สัจพจน์ในความคิดดั้งเดิมคือ "ความจริงที่ประจักษ์ชัดในตัวเอง" แต่แนวความคิดนั้นมีปัญหา[72]ในระดับที่เป็นทางการ สัจพจน์เป็นเพียงสตริงของสัญลักษณ์ ซึ่งมีความหมายที่แท้จริงเฉพาะในบริบทของสูตรที่สืบเนื่องทั้งหมดของระบบสัจพจน์เท่านั้น เป้าหมายของโปรแกรมของฮิลเบิร์ตคือการวางคณิตศาสตร์ทั้งหมดบนพื้นฐานสัจธรรมที่แน่นอน แต่ตามทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลระบบสัจพจน์ทุกระบบ (ทรงพลังเพียงพอ) มีสูตรที่ตัดสินใจไม่ได้และสัจธรรมขั้นสุดท้ายของคณิตศาสตร์จึงเป็นไปไม่ได้ อย่างไรก็ตาม คณิตศาสตร์มักถูกจินตนาการว่าเป็น (เท่าที่เนื้อหาที่เป็นทางการ) ไม่มีอะไรเลยนอกจากทฤษฎีเซตในสัจพจน์บางอย่าง ในแง่ที่ว่าทุกข้อความหรือข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สามารถแปลงเป็นสูตรภายในทฤษฎีเซตได้ [73]

สาขาคณิตศาสตร์

ลูกคิดเป็นเครื่องมือการคำนวณง่ายใช้มาตั้งแต่สมัยโบราณ

คณิตศาสตร์สามารถพูดกว้างแบ่งออกเป็นการศึกษาของปริมาณโครงสร้างพื้นที่และการเปลี่ยนแปลง (เช่นคณิตศาสตร์ , พีชคณิต , เรขาคณิตและการวิเคราะห์ ) นอกจากนี้ความกังวลหลักเหล่านี้ยังมีเขตการปกครองที่ทุ่มเทให้กับการสำรวจการเชื่อมโยงจากหัวใจของคณิตศาสตร์กับสาขาอื่น ๆ : เพื่อตรรกะเพื่อตั้งทฤษฎี ( มูลนิธิ ) เพื่อคณิตศาสตร์เชิงประจักษ์ของวิทยาศาสตร์ต่างๆ ( คณิตศาสตร์ประยุกต์ ) และเมื่อเร็ว ๆ นี้ การศึกษาที่เข้มงวดของความไม่แน่นอนแม้ว่าบางพื้นที่อาจดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกัน แต่โครงการ Langlandsพบว่ามีการเชื่อมต่อระหว่างพื้นที่ก่อนหน้านี้คิดว่าไม่เกี่ยวเนื่องกันเช่นกลุ่ม Galois , Riemann พื้นผิวและทฤษฎีจำนวน

คณิตศาสตร์แบบแยกตามอัตภาพจะจัดกลุ่มสาขาวิชาคณิตศาสตร์เข้าด้วยกันตามอัตภาพซึ่งศึกษาโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ต่อเนื่องโดยพื้นฐานมากกว่าแบบต่อเนื่อง

รากฐานและปรัชญา

เพื่อที่จะชี้แจงรากฐานของคณิตศาสตร์ได้มีการพัฒนาสาขาของตรรกะทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีเซตตรรกะทางคณิตศาสตร์รวมถึงการศึกษาทางคณิตศาสตร์ของตรรกะและการประยุกต์ใช้ตรรกะที่เป็นทางการกับสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซตเป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาชุดหรือชุดของวัตถุ วลี "วิกฤตของฐานราก" อธิบายการค้นหารากฐานที่เข้มงวดสำหรับคณิตศาสตร์ซึ่งเกิดขึ้นประมาณปี 1900 ถึง 1930 [74]ความไม่เห็นด้วยบางประการเกี่ยวกับรากฐานของคณิตศาสตร์ยังคงมีอยู่จนถึงปัจจุบัน วิกฤตการณ์ของมูลนิธิถูกกระตุ้นโดยข้อโต้แย้งหลายประการในขณะนั้น รวมถึงการทะเลาะวิวาทมากกว่าทฤษฎีเซตต้นเสียงและการทะเลาะวิวาท Brouwer-ฮิลแบร์ต

ตรรกะทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับการตั้งค่าคณิตศาสตร์ภายในกรอบสัจพจน์ที่เข้มงวดและการศึกษาความหมายของกรอบดังกล่าว ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นที่มาของทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Gödelซึ่ง (อย่างไม่เป็นทางการ) บอกเป็นนัยว่าระบบที่เป็นทางการที่มีประสิทธิภาพใดๆที่มีเลขคณิตพื้นฐาน ถ้าเสียง (หมายความว่าทฤษฎีบททั้งหมดที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง) นั้นจำเป็นต้องไม่สมบูรณ์ (หมายความว่ามีทฤษฎีบทจริงอยู่ ที่พิสูจน์ไม่ได้ในระบบนั้น). ไม่ว่าการรวบรวมสัจพจน์ทางทฤษฎีจำนวนจำกัดจะเป็นรากฐานอย่างไร Gödel ได้แสดงวิธีสร้างข้อความที่เป็นทางการซึ่งเป็นข้อเท็จจริงทางทฤษฎีจำนวนจริง แต่ไม่ได้ติดตามจากสัจพจน์เหล่านั้น ดังนั้นจึงไม่มีระบบใดที่เป็นระบบจริงที่สมบูรณ์ของทฤษฎีจำนวนเต็ม ตรรกะที่ทันสมัยแบ่งออกเป็นทฤษฎีการเรียกซ้ำ , ทฤษฎีแบบจำลองและการพิสูจน์ทฤษฎีและมีการเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับวิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ , [75]เช่นเดียวกับทฤษฎีประเภทในบริบทของทฤษฎีการเรียกซ้ำที่เป็นไปไม่ได้ของ axiomatization เต็มรูปแบบของทฤษฎีจำนวนนอกจากนี้ยังสามารถแสดงให้เห็นอย่างเป็นทางการว่าเป็นผลมาจากทฤษฎีบท MRDP

วิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์รวมถึงทฤษฎีการคำนวณ , ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณและทฤษฎีสารสนเทศทฤษฎีความสามารถในการคำนวณตรวจสอบข้อจำกัดของแบบจำลองทางทฤษฎีต่างๆ ของคอมพิวเตอร์ รวมถึงแบบจำลองที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดนั่นคือเครื่องทัวริงทฤษฎีความซับซ้อนคือการศึกษาความสามารถในการสืบค้นกลับด้วยคอมพิวเตอร์ ปัญหาบางอย่างแม้ว่าจะแก้ได้ด้วยคอมพิวเตอร์ในทางทฤษฎี แต่ก็มีราคาแพงในแง่ของเวลาหรือพื้นที่ซึ่งการแก้ปัญหานั้นมักจะไม่สามารถทำได้ในทางปฏิบัติ แม้ว่าจะมีความก้าวหน้าอย่างรวดเร็วของฮาร์ดแวร์คอมพิวเตอร์ ปัญหาที่มีชื่อเสียงคือ " P = NP ? " ปัญหาหนึ่งของรางวัลสหัสวรรษปัญหา[76]ในที่สุดทฤษฎีสารสนเทศที่เกี่ยวข้องกับจำนวนของข้อมูลที่สามารถเก็บไว้ในสื่อที่กำหนดและด้วยเหตุนี้เกี่ยวข้องกับแนวคิดเช่นการบีบอัดและเอนโทรปี

Venn A intersect B.svg Commutative diagram for morphism.svg DFAexample.svg
ตรรกะทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต ทฤษฎีหมวดหมู่ ทฤษฎีการคำนวณ

คณิตศาสตร์ล้วนๆ

ระบบตัวเลขและทฤษฎีจำนวน

การศึกษาปริมาณเริ่มต้นด้วยตัวเลข อันดับแรกคือจำนวนธรรมชาติที่คุ้นเคย และจำนวนเต็ม ("จำนวนเต็ม") และการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับพวกเขา ซึ่งมีลักษณะเป็นเลขคณิต . คุณสมบัติที่ลึกของจำนวนเต็มมีการศึกษาในทฤษฎีจำนวนจากที่มาผลเป็นที่นิยมเช่นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา การคาดเดาเฉพาะคู่และการคาดเดาของ Goldbachเป็นปัญหาสองประการที่แก้ไม่ตกในทฤษฎีจำนวน

เนื่องจากระบบตัวเลขได้รับการพัฒนาเพิ่มเติม จำนวนเต็มจึงถูกรับรู้เป็นส่วนย่อยของจำนวนตรรกยะ (" เศษส่วน ") ในทางกลับกัน สิ่งเหล่านี้มีอยู่ภายในจำนวนจริง , ซึ่งใช้แทนขีดจำกัดของลำดับของจำนวนตรรกยะและปริมาณต่อเนื่อง จำนวนจริงถูกทำให้เป็นตัวเลขทั่วไปของจำนวนเชิงซ้อน . ตามทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตสมการพหุนามทั้งหมดในสมการที่ไม่รู้จักด้วยสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนจะมีคำตอบในจำนวนเชิงซ้อน โดยไม่คำนึงถึงระดับของพหุนาม และ เป็นขั้นตอนแรกของการลำดับชั้นของตัวเลขที่ไปในการที่จะรวมquaternionsและoctonions การพิจารณาจำนวนธรรมชาติยังนำไปสู่จำนวนทรานฟินิตี้ซึ่งทำให้แนวคิดของ " อนันต์ " เป็นทางการ อีกด้านของการศึกษาคือขนาดของเซต ซึ่งอธิบายด้วยเลขคาร์ดินัล . ซึ่งรวมถึงตัวเลข alephซึ่งช่วยให้สามารถเปรียบเทียบขนาดของชุดใหญ่ๆ ได้ไม่จำกัด

ตัวเลขธรรมชาติ จำนวนเต็ม สรุปตัวเลข ตัวเลขจริง ตัวเลขที่ซับซ้อน พระคาร์ดินัลไม่มีที่สิ้นสุด

โครงสร้าง

วัตถุทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง เช่นชุดของตัวเลขและฟังก์ชันแสดงโครงสร้างภายในอันเป็นผลมาจากการดำเนินการหรือความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้ในชุด คณิตศาสตร์จึงศึกษาคุณสมบัติของเซตที่สามารถแสดงในรูปของโครงสร้างนั้นได้ เช่นทฤษฎีจำนวนศึกษาคุณสมบัติของเซตของจำนวนเต็มที่สามารถแสดงในรูปของการดำเนินการเลขคณิตนอกจากนี้ยังมักจะเกิดขึ้นที่แตกต่างกันเช่นชุดโครงสร้าง (หรือโครงสร้าง ) แสดงคุณสมบัติที่คล้ายกันซึ่งทำให้มันเป็นไปตามขั้นตอนต่อไปของนามธรรมเพื่อรัฐสัจพจน์สำหรับโครงสร้างชั้นหนึ่ง แล้วจึงศึกษาโครงสร้างทั้งชั้นที่สอดคล้องกับสัจพจน์เหล่านี้ในคราวเดียว ดังนั้นเราจึงสามารถศึกษากลุ่ม , แหวน , เขตและระบบนามธรรมอื่น ๆ การศึกษาดังกล่าวร่วมกัน (สำหรับโครงสร้างที่กำหนดโดยการดำเนินงานเกี่ยวกับพีชคณิต) เป็นการโดเมนของพีชคณิตนามธรรม

โดยทั่วไปแล้ว พีชคณิตนามธรรมมักจะนำไปใช้กับปัญหาที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกัน ตัวอย่างเช่น ปัญหาโบราณจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับการสร้างเข็มทิศและเส้นตรงได้รับการแก้ไขโดยใช้ทฤษฎี Galoisซึ่งเกี่ยวข้องกับทฤษฎีสนามและทฤษฎีกลุ่ม อีกตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีพีชคณิตคือพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งเป็นการศึกษาทั่วไปของช่องว่างเวกเตอร์ซึ่งองค์ประกอบที่เรียกว่าเวกเตอร์มีทั้งปริมาณและทิศทาง และสามารถใช้เพื่อสร้างแบบจำลอง (ความสัมพันธ์ระหว่าง) จุดในอวกาศ นี่เป็นตัวอย่างหนึ่งของปรากฏการณ์ที่พื้นที่เดิมที่ไม่เกี่ยวข้องกันของเรขาคณิตและพีชคณิตมีปฏิสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งมากในคณิตศาสตร์สมัยใหม่Combinatoricsศึกษาวิธีการแจงนับจำนวนอ็อบเจ็กต์ที่เหมาะสมกับโครงสร้างที่กำหนด

Elliptic curve simple.svg Rubik's cube.svg Group diagdram D6.svg Lattice of the divisibility of 60.svg Braid-modular-group-cover.svg
คอมบิเนทอริกส์ ทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีกลุ่ม ทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีคำสั่ง พีชคณิต

ช่องว่าง

การศึกษาต้นกำเนิดพื้นที่ที่มีรูปทรงเรขาคณิต -in โดยเฉพาะรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดซึ่งรวมพื้นที่และตัวเลขและโลกไซเบอร์ที่รู้จักกันดีทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตรีโกณมิติเป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ระหว่างด้านกับมุมของสามเหลี่ยมและกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ การศึกษาที่ทันสมัยของพื้นที่ generalizes ความคิดเหล่านี้จะรวมถึงการที่สูงขึ้นมิติเรขาคณิตรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด (ซึ่งมีบทบาทสำคัญในการสัมพัทธภาพทั่วไป ) และโครงสร้างจำนวนและพื้นที่ทั้งมีบทบาทในเรขาคณิตวิเคราะห์ , เรขาคณิตต่างกันและพีชคณิตเรขาคณิต นูนและรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่องได้รับการพัฒนาเพื่อแก้ปัญหาในทฤษฎีจำนวนและการวิเคราะห์การทำงานแต่ตอนนี้กำลังไล่ตามด้วยตาในการประยุกต์ใช้ในการเพิ่มประสิทธิภาพและวิทยาการคอมพิวเตอร์ภายในเรขาคณิตต่างมีแนวความคิดของการรวมกลุ่มเส้นใยและแคลคูลัสในแมนิโฟลโดยเฉพาะอย่างยิ่งเวกเตอร์และเมตริกซ์แคลคูลัสภายในเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตคือคำอธิบายของออบเจกต์เรขาคณิตเป็นชุดคำตอบของสมการพหุนามรวมแนวคิดของปริมาณและพื้นที่ และการศึกษากลุ่มทอพอโลยีซึ่งรวมโครงสร้างและพื้นที่กลุ่มโกหกใช้เพื่อศึกษาพื้นที่ โครงสร้าง และการเปลี่ยนแปลงโทโพโลยีในการขยายสาขาทั้งหมดอาจเป็นพื้นที่ที่มีการเติบโตมากที่สุดในคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 มันมีจุดตั้ง topology , ชุดทฤษฎี topology , topology เกี่ยวกับพีชคณิตและโครงสร้างค่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีของโทโพโลยีสมัยใหม่เป็นทฤษฎี metrizability , จริงทฤษฎีเซต , ทฤษฎี homotopyและทฤษฎีมอร์สโทโพโลยียังรวมถึงการคาดเดาของPoincaréที่แก้ไขแล้วและพื้นที่ยังไม่แก้ของการคาดเดาฮ็อดจ์ ผลลัพธ์อื่นๆ ในเรขาคณิตและโทโพโลยี รวมถึงทฤษฎีบทสี่สีและการคาดเดาของเคปเลอร์ได้รับการพิสูจน์ด้วยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์เท่านั้น

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg Sinusvåg 400px.png Hyperbolic triangle.svg Torus.svg Mandel zoom 07 satellite.jpg Measure illustration (Vector).svg
เรขาคณิต ตรีโกณมิติ เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ โทโพโลยี เรขาคณิตเศษส่วน ทฤษฎีการวัด

เปลี่ยน

การทำความเข้าใจและอธิบายการเปลี่ยนแปลงเป็นหัวข้อทั่วไปในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและแคลคูลัสได้รับการพัฒนาเป็นเครื่องมือในการตรวจสอบฟังก์ชั่นเกิดขึ้นที่นี่เป็นแนวคิดหลักที่อธิบายปริมาณที่เปลี่ยนแปลง การศึกษาที่เข้มงวดของตัวเลขจริงและฟังก์ชั่นของตัวแปรจริงเป็นที่รู้จักกันวิเคราะห์จริงด้วยการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนสนามเทียบเท่าสำหรับตัวเลขที่ซับซ้อน การวิเคราะห์เชิงหน้าที่เน้นความสนใจไปที่ช่องว่างของฟังก์ชัน(โดยทั่วไปคืออนันต์มิติ) การประยุกต์ใช้งานการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันอย่างหนึ่งคือกลศาสตร์ควอนตัม. หลายปัญหานำไปสู่ธรรมชาติกับความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณและอัตราการเปลี่ยนแปลงและมีการศึกษาเหล่านี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ ปรากฏการณ์หลายคนในธรรมชาติสามารถอธิบายได้ด้วยระบบ dynamical ; ทฤษฎีความโกลาหลทำให้วิธีการที่ระบบเหล่านี้จำนวนมากแสดงพฤติกรรมที่ คาดเดาไม่ได้ แต่ยังกำหนดได้อย่างแม่นยำ

Integral as region under curve.svg Vector field.svg Navier Stokes Laminar.svg Limitcycle.svg Lorenz attractor.svg Conformal grid after Möbius transformation.svg
แคลคูลัส แคลคูลัสเวกเตอร์ สมการเชิงอนุพันธ์ ระบบไดนามิก ทฤษฎีความโกลาหล การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน

คณิตศาสตร์ประยุกต์

คณิตศาสตร์ประยุกต์กังวลตัวเองด้วยวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้โดยทั่วไปในวิทยาศาสตร์วิศวกรรม , ธุรกิจและอุตสาหกรรมดังนั้น "คณิตศาสตร์ประยุกต์" คือวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ที่มีเฉพาะความรู้คำว่าคณิตศาสตร์ประยุกต์ยังอธิบายถึงความเชี่ยวชาญพิเศษทางวิชาชีพที่นักคณิตศาสตร์ใช้แก้ปัญหาในทางปฏิบัติ ในฐานะที่เป็นวิชาชีพที่เน้นปัญหาในทางปฏิบัติคณิตศาสตร์ประยุกต์มุ่งเน้นไปที่ "การกำหนด ศึกษา และการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์" ในสาขาวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และสาขาอื่นๆ ของการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์

ในอดีต การใช้งานจริงได้กระตุ้นการพัฒนาทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ ซึ่งต่อมาได้กลายเป็นหัวข้อของการศึกษาทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ซึ่งคณิตศาสตร์ได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อตัวมันเองเป็นหลัก ดังนั้นกิจกรรมของคณิตศาสตร์ประยุกต์มีการเชื่อมต่อที่สำคัญกับการวิจัยในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์

สถิติและศาสตร์แห่งการตัดสินใจอื่นๆ

คณิตศาสตร์ประยุกต์มีความเหลื่อมล้ำอย่างมากกับสาขาวิชาสถิติ ซึ่งทฤษฎีนี้ได้รับการกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับทฤษฎีความน่าจะเป็น นักสถิติ (ทำงานเป็นส่วนหนึ่งของโครงการวิจัย) "สร้างข้อมูลที่เหมาะสม" ด้วยการสุ่มตัวอย่างและการทดลองแบบสุ่ม; [77]การออกแบบตัวอย่างทางสถิติหรือการทดลองระบุการวิเคราะห์ข้อมูล (ก่อนที่ข้อมูลจะพร้อมใช้งาน) เมื่อพิจารณาข้อมูลจากการทดลองและตัวอย่างใหม่ หรือเมื่อวิเคราะห์ข้อมูลจากการศึกษาเชิงสังเกตนักสถิติจะ "ทำความเข้าใจข้อมูล" โดยใช้ศิลปะการสร้างแบบจำลองและทฤษฎีการอนุมาน —ด้วยการเลือกแบบจำลองและการประมาณค่า ; รุ่นที่เป็นผลสืบเนื่องประมาณและการคาดการณ์ที่ควรได้รับการทดสอบเกี่ยวกับข้อมูลใหม่ [จ]

ทฤษฎีทางสถิติการศึกษาปัญหาการตัดสินใจเช่นการลดความเสี่ยง ( ขาดทุนที่คาดว่า ) ของการดำเนินการทางสถิติเช่นการใช้ขั้นตอนในตัวอย่างเช่นประมาณค่าพารามิเตอร์ , การทดสอบสมมติฐานและการเลือกที่ดีที่สุดในพื้นที่ดั้งเดิมของสถิติทางคณิตศาสตร์ปัญหาการตัดสินใจทางสถิติถูกกำหนดโดยการลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์เช่น การสูญเสียหรือค่าใช้จ่ายที่คาดไว้ภายใต้ข้อจำกัดเฉพาะ: ตัวอย่างเช่น การออกแบบการสำรวจมักจะเกี่ยวข้องกับการลดต้นทุนของการประมาณค่าเฉลี่ยประชากรด้วยค่าที่กำหนด ระดับความมั่นใจ[78]เพราะการใช้งานของการเพิ่มประสิทธิภาพ , ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของสถิติหุ้นกังวลกับคนอื่น ๆวิทยาศาสตร์การตัดสินใจเช่นการดำเนินงานวิจัย , ทฤษฎีการควบคุมและคณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์ [79]

คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์

คณิตศาสตร์เชิงคำนวณเสนอและศึกษาวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่โดยทั่วไปแล้วจะใหญ่เกินไปสำหรับความสามารถเชิงตัวเลขของมนุษย์ตัวเลขการวิเคราะห์วิธีการศึกษาสำหรับปัญหาในการวิเคราะห์โดยใช้การวิเคราะห์การทำงานและทฤษฎีการประมาณ ; การวิเคราะห์เชิงตัวเลขรวมถึงการศึกษาของประมาณและdiscretisationในวงกว้างด้วยความห่วงใยเป็นพิเศษสำหรับการปัดเศษข้อผิดพลาดการวิเคราะห์เชิงตัวเลขและการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ในวงกว้างยังศึกษาหัวข้อที่ไม่ใช่เชิงวิเคราะห์ของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมทริกซ์อัลกอริธึมและทฤษฎีกราฟ . พื้นที่อื่น ๆ ของคณิตศาสตร์คำนวณรวมพีชคณิตคอมพิวเตอร์และการคำนวณสัญลักษณ์

Arbitrary-gametree-solved.svg BernoullisLawDerivationDiagram.svg Composite trapezoidal rule illustration small.svg Maximum boxed.png Two red dice 01.svg Oldfaithful3.png Caesar3.svg
ทฤษฎีเกม พลวัตของไหล การวิเคราะห์เชิงตัวเลข การเพิ่มประสิทธิภาพ ทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติ การเข้ารหัส
Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png Gravitation space source.svg CH4-structure.svg Signal transduction pathways.svg GDP PPP Per Capita IMF 2008.svg Simple feedback control loop2.svg
การเงินคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์คณิตศาสตร์ เคมีคณิตศาสตร์ ชีววิทยาคณิตศาสตร์ เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ ทฤษฎีการควบคุม

รางวัลคณิตศาสตร์

เนื้อหาที่ได้รับรางวัลอันทรงเกียรติที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์เป็นเหรียญฟิลด์ , [80] [81]ก่อตั้งขึ้นในปี 1936 และได้รับรางวัลทุกสี่ปี (ยกเว้นรอบสงครามโลกครั้งที่สอง) ไปเป็นจำนวนมากเป็นบุคคลที่สี่ เหรียญ Fields มักถูกมองว่าเป็นคณิตศาสตร์เทียบเท่ารางวัลโนเบล

The Wolf Prize in Mathematicsก่อตั้งขึ้นในปี 2521 โดยตระหนักถึงความสำเร็จตลอดชีวิต และรางวัลระดับนานาชาติที่สำคัญอีกรางวัลหนึ่งคือAbel Prizeก่อตั้งขึ้นในปี 2546 เหรียญ Chernได้รับการแนะนำในปี 2010 เพื่อยกย่องความสำเร็จตลอดชีวิต รางวัลเหล่านี้มอบให้เพื่อเป็นการยกย่องหน่วยงานเฉพาะ ซึ่งอาจเป็นการสร้างสรรค์นวัตกรรม หรือเป็นแนวทางแก้ไขปัญหาที่โดดเด่นในสาขาที่จัดตั้งขึ้น

รายการที่มีชื่อเสียงของ 23 ปัญหาเปิดเรียกว่า " ฮิลแบร์ตปัญหา " ถูกรวบรวมในปี 1900 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเดวิดฮิลแบร์ต รายการนี้มีชื่อเสียงโด่งดังในหมู่นักคณิตศาสตร์ และปัญหาอย่างน้อยเก้าข้อได้รับการแก้ไขแล้ว รายการใหม่ของปัญหาสำคัญเจ็ดข้อที่มีชื่อว่า " ปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษ " ได้รับการตีพิมพ์ในปี 2543 มีเพียงหนึ่งในนั้นเท่านั้นสมมติฐานรีมันน์ ที่ซ้ำกับปัญหาหนึ่งของฮิลเบิร์ต การแก้ปัญหาเหล่านี้มีรางวัล 1 ล้านดอลลาร์ ในปัจจุบัน ปัญหาเหล่านี้เพียงอย่างเดียวคือ การคาดเดาของ Poincaréได้รับการแก้ไขแล้ว

ดูสิ่งนี้ด้วย

หมายเหตุ

  1. ไม่มีความคล้ายคลึงหรือคำอธิบายเกี่ยวกับลักษณะทางกายภาพของยุคลิดที่เกิดขึ้นในช่วงชีวิตของเขาที่รอดชีวิตในสมัยโบราณ ดังนั้นการพรรณนาของยุคลิดในงานศิลปะจึงขึ้นอยู่กับจินตนาการของศิลปิน (ดู ยูคลิด )
  2. ^ ดูหลักฐานเท็จสำหรับตัวอย่างง่ายๆ ของสิ่งที่อาจผิดพลาดในการพิสูจน์ที่เป็นทางการ
  3. ^ สำหรับการพิจารณาว่าการคำนวณขนาดใหญ่ที่เกิดขึ้นในการพิสูจน์นั้นเชื่อถือได้ โดยทั่วไปการคำนวณต้องใช้สองการคำนวณโดยใช้ซอฟต์แวร์อิสระ
  4. ^ หนังสือที่มีหลักฐานครบถ้วนมีมากกว่า 1,000 หน้า
  5. เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์อื่นๆ เช่นฟิสิกส์และวิทยาการคอมพิวเตอร์สถิติเป็นสาขาวิชาอิสระมากกว่าสาขาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เช่นเดียวกับนักฟิสิกส์วิจัยและนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ นักสถิติการวิจัยคือนักวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ นักสถิติหลายคนมีปริญญาทางคณิตศาสตร์ และนักสถิติบางคนก็เป็นนักคณิตศาสตร์ด้วย

อ้างอิง

  1. ^ a b "คณิตศาสตร์n. " . พจนานุกรมภาษาอังกฤษ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด. 2555. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 16 พฤศจิกายน 2562 . สืบค้นเมื่อ16 มิถุนายน 2555 . ศาสตร์แห่งพื้นที่ จำนวน ปริมาณ และการจัดเรียง ซึ่งวิธีการนั้นเกี่ยวข้องกับการใช้เหตุผลเชิงตรรกะและมักจะใช้สัญกรณ์สัญลักษณ์ และซึ่งรวมถึงเรขาคณิต เลขคณิต พีชคณิต และการวิเคราะห์
  2. ^ กระดูกเข่า, จีที (1963). คณิตศาสตร์ Logic และรากฐานของคณิตศาสตร์: การสำรวจเบื้องต้น โดเวอร์ NS. 4 . ISBN 978-0-486-41712-7. คณิตศาสตร์ ... เป็นเพียงการศึกษาโครงสร้างนามธรรมหรือรูปแบบความเชื่อมโยงที่เป็นทางการ
  3. ^ LaTorre โดนัลด์ อาร์.; เคเนลลี่, จอห์น ดับเบิลยู.; บิ๊ก, เชอร์รี่เอส.; ช่างไม้ ลอเรล อาร์.; รีด ไอริส บี.; Harris, Cynthia R. (2011). แนวคิดแคลคูลัส: วิธีการทางการกับคณิตศาสตร์ของการเปลี่ยนแปลง Cengage การเรียนรู้ NS. 2 . ISBN 978-1-4390-4957-0. แคลคูลัสคือการศึกษาการเปลี่ยนแปลง สิ่งต่างๆ เปลี่ยนไปอย่างไร และเปลี่ยนแปลงได้เร็วเพียงใด
  4. ^ รามานา (2007). คณิตศาสตร์ประยุกต์ . Tata McGraw–Hill Education. NS. 2.10 . ISBN 978-0-07-066753-2. การศึกษาทางคณิตศาสตร์ของการเปลี่ยนแปลง การเคลื่อนไหว การเจริญเติบโตหรือการเสื่อมสลายเป็นแคลคูลัส
  5. ^ Ziegler, Günterเอ็ม (2011) "คณิตศาสตร์คืออะไร?". ได้รับเชิญไปคณิตศาสตร์: จากการแข่งขันเพื่อการวิจัย สปริงเกอร์. NS. vii . ISBN 978-3-642-1932-7.
  6. อรรถa b c d Mura, Roberta (ธันวาคม 1993) "ภาพคณิตศาสตร์ที่จัดโดยอาจารย์ประจำมหาวิทยาลัยคณิตศาสตร์". การศึกษาทางคณิตศาสตร์ . 25 (4): 375–85. ดอย : 10.1007/BF01273907 . JSTOR 3482762 S2CID 122351146 .  
  7. ^ Tobies, Renate & เฮลมุท Neunzert (2012) ไอริส Runge: ชีวิตที่สี่แยกของคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์และอุตสาหกรรม สปริงเกอร์. NS. 9 . ISBN 978-3-0348-0229-1. [I]t ก่อนอื่นต้องถามว่าคณิตศาสตร์โดยทั่วไปหมายถึงอะไร นักวิชาการที่มีชื่อเสียงได้โต้เถียงกันเรื่องนี้จนกระทั่งพวกเขาหน้าซีด แต่ก็ยังไม่มีความเห็นเป็นเอกฉันท์ว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ แขนงหนึ่งของมนุษยศาสตร์ หรือรูปแบบศิลปะ
  8. ^ สตีน แอลเอ (29 เมษายน 2531) วิทยาศาสตร์ของรูปแบบ วิทยาศาสตร์ 240: 611-16 และสรุปไว้ที่ Association for Supervision and Curriculum Development Archived 28 ตุลาคม 2010 ที่ Wayback Machine , www.ascd.org
  9. ^ เดฟลิน, คี ธ ,คณิตศาสตร์: วิทยาศาสตร์ของรูปแบบการค้นหาสำหรับการสั่งซื้อสินค้าในชีวิตจิตใจและจักรวาล (Scientific American ปกอ่อนห้องสมุด) ปี 1996 ISBN 978-0-7167-5047-5 
  10. ^ ฉลาด เดวิด. "อิทธิพลของ Euclid ที่มีต่อองค์ประกอบของยุคลิดด้วยการมองอย่างใกล้ชิดที่วิธีการแห่งความอ่อนล้า" jwilson.coe.uga.edu . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 1 มิถุนายน 2019 . สืบค้นเมื่อ26 ตุลาคม 2019 .
  11. ^ อีฟ 1990 , พี. 306.
  12. ^ ปีเตอร์สัน 2001 , พี. 12.
  13. อรรถเป็น วิกเนอร์ ยูจีน (1960) "ประสิทธิผลที่ไม่สมเหตุสมผลของคณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ" . การสื่อสารในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ 13 (1): 1–14. Bibcode : 1960CPAM...13....1W . ดอย : 10.1002/cpa.3160130102 . เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 28 กุมภาพันธ์ 2011
  14. ^ Dehaene, ตานี; Dehaene-Lambertz, กิสเลน; โคเฮน, โลรองต์ (สิงหาคม 1998). "การแสดงนามธรรมของตัวเลขในสมองของสัตว์และมนุษย์". แนวโน้มทางประสาทวิทยา . 21 (8): 355–61. ดอย : 10.1016/S0166-2236(98)01263-6 . PMID 9720604 . S2CID 17414557 .  
  15. ดู ตัวอย่าง เรย์มอนด์ แอล. ไวล์เดอร์วิวัฒนาการของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ การศึกษาระดับประถมศึกษา , passim
  16. ^ Zaslavsky คลอเดีย (1999). นับแอฟริกาใต้: จำนวนและรูปแบบในวัฒนธรรมแอฟริกัน ชิคาโกรีวิวกด. ISBN 978-1-61374-115-3. OCLC  843204342 . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 31 มีนาคม 2021 . สืบค้นเมื่อ29 พฤษภาคม 2020 .
  17. ^ Kline 1990 , บทที่ 1
  18. ^ "คณิตศาสตร์อียิปต์ – เรื่องราวของคณิตศาสตร์" . www.storyofmathematics.com . เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 16 กันยายน 2018 . สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2019 .
  19. a b "Sumerian/Babylonian Mathematics – The Story of Mathematics" . www.storyofmathematics.com . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 7 กันยายน 2019 . สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2019 .
  20. ^ บอยเยอร์ 1991 "โสโปเตเมีย" ได้ pp. 24-27
  21. ฮีธ, โธมัส ลิตเติล (1981) [1921]. ประวัติศาสตร์ของกรีกคณิตศาสตร์: จาก Thales จะ Euclid นิวยอร์ก: สิ่งพิมพ์โดเวอร์. NS. 1 . ISBN 978-0-486-24073-2.
  22. ^ บอยเยอร์ 1991 "Euclid ซานเดรีย" หน 119.
  23. ^ บอยเยอร์ 1991 "Archimedes ซีราคิวส์" หน 120.
  24. ^ บอยเยอร์ 1991 "Archimedes ซีราคิวส์" หน 130.
  25. ^ บอยเยอร์ 1991 "Apollonius ของ Perga" หน 145.
  26. ^ บอยเยอร์ 1991 "กรีกตรีโกณมิติและการวัด" หน 162.
  27. ^ บอยเยอร์ 1991 "การฟื้นฟูและการลดลงของกรีกคณิตศาสตร์" หน 180.
  28. ^ a b "คณิตศาสตร์อินเดีย – เรื่องราวของคณิตศาสตร์" . www.storyofmathematics.com . เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 13 เมษายน 2019 . สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2019 .
  29. ^ "คณิตศาสตร์อิสลาม – เรื่องราวของคณิตศาสตร์" . www.storyofmathematics.com . เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 17 ตุลาคม 2019 . สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2019 .
  30. ^ ซา ลิบา, จอร์จ. (1994). ประวัติของดาราศาสตร์อาหรับ: ทฤษฎีดาวเคราะห์ในช่วงยุคทองของศาสนาอิสลาม สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยนิวยอร์ก. ISBN 978-0-8147-7962-0.  สม . 28723059 . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 31 มีนาคม 2021 . สืบค้นเมื่อ29 พฤษภาคม 2020 .
  31. ^ "คณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 17 – เรื่องราวของคณิตศาสตร์" . www.storyofmathematics.com . เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 16 กันยายน 2018 . สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2019 .
  32. ^ "ออยเลอร์ – คณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 18 – เรื่องราวของคณิตศาสตร์" . www.storyofmathematics.com . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2 พฤษภาคม 2019 . สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2019 .
  33. ^ "เกาส์ – คณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 19 – เรื่องราวของคณิตศาสตร์" . www.storyofmathematics.com . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 25 กรกฎาคม 2019 . สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2019 .
  34. ^ "คณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 20 – โกเดล" . เรื่องของคณิตศาสตร์ . เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 16 กันยายน 2018 . สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2019 .
  35. ^ Sevryuk 2006 , PP. 101-09
  36. ^ "คณิตศาสตร์ (น.)" . ออนไลน์นิรุกติศาสตร์พจนานุกรม เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 7 มีนาคม 2556
  37. ^ ความหมายทั้งสองสามารถพบได้ในเพลโตแคบในสาธารณรัฐ 510c ที่จัดเก็บ 24 กุมภาพันธ์ 2021 ที่เครื่อง Waybackแต่เพลโตไม่ได้ใช้ math-คำ; อริสโตเติลได้แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับเรื่องนี้ μαθηματική . μαθηματική .ลิดเดลล์, เฮนรี่ จอร์จ ;สกอตต์, โรเบิร์ต ;กรีกพจนานุกรมอังกฤษในโครงการเซอุส OED ออนไลน์ , "คณิตศาสตร์".
  38. ^ "พีทาโกรัส – คณิตศาสตร์กรีก – เรื่องราวของคณิตศาสตร์" . www.storyofmathematics.com . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 17 กันยายน 2018 . สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2019 .
  39. ^ งูเหลือม, ราล์ฟ (1995) [1991]. "สิ่งที่ออกัสตินไม่ได้พูดเกี่ยวกับนักคณิตศาสตร์" . สิงโตล่าสัตว์และการแสวงหาทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ : ชุดคณิตศาสตร์กลอนและเรื่องราวโดยสายราล์ฟพีฟูฟ่าจูเนียร์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. NS. 257. ISBN 978-0-88385-323-8. เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 20 พฤษภาคม 2020 . สืบค้นเมื่อ17 มกราคม 2018 .
  40. ^ The Oxford Dictionary of English Etymology , Oxford English Dictionary ,ย่อย "คณิตศาสตร์", "คณิตศาสตร์", "คณิตศาสตร์"
  41. ^ "คณิตศาสตร์n. "และ "คณิตศาสตร์n.3 " ที่จัดเก็บ 4 เมษายน 2020 ที่เครื่อง Wayback Oxford English Dictionaryเวอร์ชันออนไลน์ (2012)
  42. ^ แฟรงคลิน เจมส์ (8 กรกฎาคม 2552) ปรัชญาคณิตศาสตร์ . หน้า 104–106. ISBN 978-0-08-093058-9. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 6 กันยายน 2558 . สืบค้นเมื่อ1 กรกฎาคม 2020 .
  43. ^ Cajori, Florian (1893) ประวัติคณิตศาสตร์ . American Mathematical Society (พิมพ์ซ้ำ 2534) น.  285–86 . ISBN 978-0-8218-2102-2.
  44. a b c Snapper, Ernst (กันยายน 2522) "สามวิกฤตการณ์ทางคณิตศาสตร์: ตรรกะ สัญชาตญาณ และระเบียบนิยม". นิตยสารคณิตศาสตร์ . 52 (4): 207–16. ดอย : 10.2307/2689412 . JSTOR 2689412 
  45. ^ เพียรซ, เบนจามิน (1882) เชิงเส้นเชื่อมโยงพีชคณิต ฟาน โนสแตรนด์. NS. 1 .
  46. ^ รัสเซลล์, เบอร์ทรานด์ (1903). หลักการคณิตศาสตร์ . NS. 5 . สืบค้นเมื่อ20 มิถุนายน 2558 .
  47. ^ Iemhoff โรสาลี (4 มีนาคม 2020) ซัลตา, เอ็ดเวิร์ด เอ็น. (บรรณาธิการ). สัญชาตญาณในปรัชญาคณิตศาสตร์ . ห้องปฏิบัติการวิจัยอภิปรัชญา มหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 31 มีนาคม 2021 . สืบค้นเมื่อ4 มีนาคม 2021 – ผ่าน Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  48. เคอร์รี, ฮาสเคลล์ (1951). โครงร่างของปรัชญาทางการของคณิตศาสตร์ . เอลส์เวียร์. NS. 56 . ISBN 978-0-444-53368-5.
  49. ^ Waltershausen 1965พี 79.
  50. ^ du Sautoy, Marcus (25 มิถุนายน 2010) "นิโคลัส บูร์บากิ" . ประวัติโดยย่อของคณิตศาสตร์ . เหตุการณ์เกิดขึ้นที่นาที 12:50. BBC Radio 4. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 16 ธันวาคม 2559 . สืบค้นเมื่อ26 ตุลาคม 2017 .
  51. ^ ตกใจ 1995 , p. 56.
  52. ^ ป๊อปเปอร์, คาร์ล (2002) [ 1959 ]. ตรรกะของการค้นพบทางวิทยาศาสตร์ . อาบิงดอนออนเทมส์: เลดจ์ NS. [18]. ISBN 978-0-415-27843-0.
  53. ^ บิชอป อลัน (1991). "กิจกรรมสิ่งแวดล้อมและวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์" . วัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์: มุมมองทางวัฒนธรรมเกี่ยวกับการศึกษาคณิตศาสตร์ . นอร์เวลล์ แมสซาชูเซตส์: Kluwer Academic Publishers น. 20–59. ISBN 978-0-792-31270-3. เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 25 ธันวาคม 2020 . สืบค้นเมื่อ5 เมษายน 2020 .
  54. ^ Shasha, เดนนิสเอลเลียต; Lazere, Cathy A. (1998). ออกจากจิตใจของพวกเขา: ชีวิตและการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ของ 15 นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ สปริงเกอร์. NS. 228.
  55. ^ Nickles โทมัส (2013) "ปัญหาการแบ่งเขต". ปรัชญาของ Pseudoscience: การพิจารณาปัญหาการแบ่งเขตอีกครั้ง ชิคาโก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก. NS. 104.
  56. ^ Pigliucci , มัสซิโม (2014) "มีวิธีรู้ 'อื่น' หรือไม่" . ปรัชญาตอนนี้ . เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 13 พฤษภาคม 2020 . สืบค้นเมื่อ6 เมษายน 2020 .
  57. ดูตัวอย่าง คำกล่าวของเบอร์ทรานด์ รัสเซลล์ "คณิตศาสตร์ ดูถูก ครอบครองไม่เพียงแต่ความจริง แต่ความงามสูงสุด ..." ในประวัติปรัชญาตะวันตกของเขา
  58. ^ "รายการตรวจสอบวิทยาศาสตร์ที่ใช้: คณิตศาสตร์" . undsci.berkeley.edu เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 27 ตุลาคม 2019 . สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2019 .
  59. ^ Borel, Armand (มีนาคม 2017). "คณิตศาสตร์: ศิลปะและวิทยาศาสตร์" . EMS จดหมายข่าว 3 (103): 37–45. ดอย : 10.4171/news/103/8 . ISSN 1027-488X . 
  60. ^ ไมน์ ฮาร์ด อี. เมเยอร์ (2001). "แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการของไฟน์แมนและอินทิกรัลของไฟน์แมน" ฟิสิกส์วันนี้ . 54 (8): 48. Bibcode : 2001PhT....54h..48J . ดอย : 10.1063/1.1404851 .
  61. ^ สไตเนอร์, มาร์ค (1998). การบังคับคณิตศาสตร์เป็นปัญหาปรัชญา เคมบริดจ์, แมสซาชูเซต: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด. NS. 176. ISBN 0674043987.
  62. ^ a b Leng, Mary (2010). คณิตศาสตร์และความเป็นจริง . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด. NS. 239. ISBN 978-0199280797.
  63. ^ "การจำแนกวิชาคณิตศาสตร์ 2010" (PDF) . เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับ เมื่อวันที่ 14 พฤษภาคม 2554 . สืบค้นเมื่อ9 พฤศจิกายน 2010 .
  64. ^ ฮาร์ดี GH (1940) คำขอโทษของนักคณิตศาสตร์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-2521-42706-7.
  65. ^ โกลด์ บอนนี่ ; ไซมอนส์, โรเจอร์ส เอ. (2008). หลักฐานและอื่น ๆ วิกฤติ: คณิตศาสตร์และปรัชญา มสธ.
  66. ^ "การใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์แบบแรกสุด" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 20 กุมภาพันธ์ 2016 . สืบค้นเมื่อ14 กันยายน 2557 .
  67. ^ ไคลน์ 1990 , พี. 140, บนไดโอแฟนตัส ; NS. 261,เวียต้า .
  68. ^ Oakley 2014 , พี. 16: "การแก้ปัญหาที่เน้นทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์มักจะใช้ความพยายามมากกว่าการคิดในโหมดโฟกัสที่เกี่ยวกับภาษาและผู้คน อาจเป็นเพราะว่ามนุษย์ไม่ได้วิวัฒนาการมานับพันปีเพื่อจัดการกับความคิดทางคณิตศาสตร์ ซึ่งมักจะถูกเข้ารหัสอย่างเป็นนามธรรมมากกว่าความคิดของ ภาษาธรรมดา"
  69. ^ Oakley 2014 , พี. 16: "สิ่งที่เป็นนามธรรมหมายความว่าอย่างไร? คุณสามารถชี้ไปที่วัวที่มีชีวิตจริงเคี้ยวเอื้องในทุ่งหญ้าแล้วเทียบด้วยตัวอักษร c–o–wบนหน้า แต่คุณไม่สามารถชี้ไปที่ตัวบวกที่มีชีวิตจริงแสดงว่าสัญลักษณ์ '+' ถูกจำลองตาม – แนวคิดที่เป็นรากฐานของเครื่องหมายบวกนั้นเป็นนามธรรมมากกว่า"
  70. ^ Oakley 2014 , พี. 16: "โดยการเข้ารหัสฉันหมายความว่าหนึ่งสัญลักษณ์สามารถยืนสำหรับการดำเนินการหรือความคิดที่แตกต่างกันจำนวนหนึ่ง เช่นเดียวกับเครื่องหมายคูณเป็นสัญลักษณ์ของการบวกซ้ำ"
  71. ^ Ivars ปีเตอร์สันคณิตศาสตร์ท่องเที่ยวฟรีแมน, ปี 1988, ISBN 978-0-7167-1953-3 NS. 4 "มีคนบ่นว่าโปรแกรมคอมพิวเตอร์ไม่สามารถตรวจสอบได้อย่างถูกต้อง" (อ้างอิงถึงหลักฐาน Haken–Apple ของทฤษฎีบทสี่สี) 
  72. ^ "วิธีการ 'สมมุติฐาน' ว่าเราต้องการอะไรมีข้อดีหลายประการ เหมือนกับข้อดีของการขโมยมากกว่างานหนักที่ซื่อสัตย์" Bertrand Russell (1919), Introduction to Mathematical Philosophy , นิวยอร์กและลอนดอน, น . 71. เก็บถาวร 20 มิถุนายน 2015 ที่เครื่อง Wayback
  73. ^ Patrick Suppes, Axiomatic Set Theory , Dover, 1972, ISBN 978-0-486-61630-8 . NS. 1, "ในบรรดาสาขาต่างๆ ของทฤษฎีเซตคณิตศาสตร์สมัยใหม่ตรงบริเวณที่มีลักษณะเฉพาะ: มีข้อยกเว้นบางประการที่หายาก เอนทิตีที่ได้รับการศึกษาและวิเคราะห์ในวิชาคณิตศาสตร์อาจถือได้ว่าเป็นชุดหรือคลาสของวัตถุบางอย่าง" 
  74. Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, A History of Mathematics , Oxford University Press, 2005.
  75. ^ ฮาลเพอร์น โจเซฟ; ฮาร์เปอร์, โรเบิร์ต; อิมเมอร์แมน, นีล; Kolaitis, Phokion; วาร์ดี, โมเช่; เวียนู, วิกเตอร์ (2001). "ว่าด้วยประสิทธิผลที่ผิดปกติของตรรกะในวิทยาการคอมพิวเตอร์" (PDF) . สืบค้นเมื่อ15 มกราคม 2021 .
  76. ^ Clay Mathematics Institute , P=NP, Claymath.org
  77. ^ Rao, CR (1997)สถิติและความจริง: โอกาสในการทำงาน , World Scientific. ISBN 978-981-02-3111-8 
  78. ^ เรา , CR (1981). "คำนำ". ใน Arthanari, TS; ดอดจ์, ยาโดลาห์ (สหพันธ์). การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ในสถิติ Wiley Series ในความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ นิวยอร์ก: ไวลีย์ หน้า vii–viii ISBN 978-0-471-08073-2. มร.  0607328 .
  79. ^ Whittle (1994 , pp. 10–11, 14–18): Whittle, ปีเตอร์ (1994). "ใกล้ถึงบ้าน" . ในKelly, FP (ed.) ความน่าจะเป็น สถิติ และการเพิ่มประสิทธิภาพ: A Tribute to Peter Whittle (ก่อนหน้านี้ "เส้นทางที่เป็นจริง: The Cambridge Statistical Laboratory up to 1993 (แก้ไข 2002)" ed.) ชิเชสเตอร์: จอห์น ไวลีย์ หน้า 1–28. ISBN 978-0-471-94829-2. เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 19 ธันวาคม 2556
  80. ^ Monastyrsky 2001 , พี. 1: "The Fields Medal เป็นรางวัลที่เป็นที่รู้จักและทรงอิทธิพลที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์อย่างไม่อาจโต้แย้งได้"
  81. ^ รีห์ม 2002 , pp. 778–82.

บรรณานุกรม

Further reading