คณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์
0–9 NS NS ค NS อี NS NS ชม ผม NS K หลี่ NS NS โอ NS NS NS NS NS ยู วี W NS Y Z
นักคณิตศาสตร์
NS NS ค NS อี NS NS ชม ผม NS K หลี่ NS NS โอ NS NS NS NS NS ยู วี W NS Y Z
การนำทาง
รายการ เค้าร่าง พอร์ทัล พื้นที่
วี NS อี

คณิตศาสตร์ (จากภาษากรีก : μάθημα , máthēma , 'ความรู้ ศึกษา การเรียนรู้') รวมถึงการศึกษาหัวข้อต่างๆ เช่นปริมาณ ( ทฤษฎีจำนวน ), ^[1] โครงสร้าง ( พีชคณิต ), ^[2] ช่องว่าง ( เรขาคณิต ), ^[1]และเปลี่ยนแปลง ( วิเคราะห์ ). ^{[3] [4] [5]}มันได้รับการยอมรับโดยทั่วไปไม่มีความหมาย ^{[6] [7]}

Mathematicians การแสวงหาและการใช้รูปแบบ^{[8] [9]}ที่จะกำหนดใหม่คาดเดา ; พวกเขาแก้ไขความจริงหรือความผิดพลาดดังกล่าวโดยการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เมื่อโครงสร้างทางคณิตศาสตร์เป็นแบบอย่างที่ดีของปรากฏการณ์จริง สามารถใช้การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์เพื่อให้ข้อมูลเชิงลึกหรือการคาดการณ์เกี่ยวกับธรรมชาติได้ ผ่านการใช้งานของนามธรรมและตรรกะคณิตศาสตร์ที่พัฒนามาจากการนับ , การคำนวณ , การวัดและระบบการศึกษาของรูปร่างและการเคลื่อนไหวของวัตถุทางกายภาพคณิตศาสตร์เชิงปฏิบัติเป็นกิจกรรมของมนุษย์ตั้งแต่มีบันทึกเป็นลายลักษณ์อักษรการวิจัยที่จำเป็นในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์อาจต้องใช้เวลาหลายปีหรือหลายศตวรรษในการค้นคว้าอย่างต่อเนื่อง

ข้อโต้แย้งอย่างเข้มงวดปรากฏตัวครั้งแรกในคณิตศาสตร์กรีกโดดเด่นที่สุดในEuclid 's องค์ประกอบ ^[10]ตั้งแต่งานบุกเบิกของGiuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943) และคนอื่น ๆเกี่ยวกับระบบสัจพจน์ในปลายศตวรรษที่ 19เป็นเรื่องปกติที่จะมองว่าการวิจัยทางคณิตศาสตร์เป็นการพิสูจน์ความจริงโดยการ อนุมานอย่างเข้มงวดจาก ได้รับการแต่งตั้งอย่างเหมาะสมหลักการและคำจำกัดความคณิตศาสตร์พัฒนาอย่างช้า ๆ จนถึงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาเมื่อนวัตกรรมทางคณิตศาสตร์โต้ตอบกับใหม่การค้นพบทางวิทยาศาสตร์ทำให้อัตราการค้นพบทางคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วอย่างต่อเนื่องมาจนถึงปัจจุบัน ⁽¹¹⁾

คณิตศาสตร์เป็นสิ่งจำเป็นในหลายสาขารวมทั้งวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ , วิศวกรรม , การแพทย์ , การเงินและสังคมศาสตร์ คณิตศาสตร์ประยุกต์ได้นำไปสู่สาขาวิชาคณิตศาสตร์ใหม่ทั้งหมดเช่นสถิติและทฤษฎีเกม นักคณิตศาสตร์มีส่วนร่วมในคณิตศาสตร์ล้วนๆ (คณิตศาสตร์เพื่อตัวมันเอง) โดยไม่ต้องคำนึงถึงการใช้งานใดๆ แต่การใช้งานจริงสำหรับสิ่งที่เริ่มต้นจากคณิตศาสตร์ล้วนๆ มักจะถูกค้นพบในภายหลัง ^{[12] [13]}

ประวัติศาสตร์

ประวัติของคณิตศาสตร์สามารถเห็นได้ว่าเป็นชุดของนามธรรมที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ สิ่งที่เป็นนามธรรมประการแรกซึ่งมีสัตว์หลายชนิดร่วมกัน^[14]อาจเป็นเรื่องของตัวเลข: การตระหนักว่าชุดของแอปเปิ้ลสองลูกและชุดของส้มสองผล (เช่น) มีบางอย่างที่เหมือนกัน นั่นคือปริมาณของสมาชิก

เป็นหลักฐานโดยนับพบในกระดูกที่นอกเหนือไปจากการรับรู้ถึงวิธีการนับวัตถุทางกายภาพก่อนประวัติศาสตร์คนอาจจะยังได้รับการยอมรับวิธีการนับปริมาณนามธรรมเช่นเวลาวันฤดูกาลหรือเป็นปี ^{[15] [16]}

หลักฐานสำหรับคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้นไม่ปรากฏจนถึงประมาณ 3000  ปีก่อนคริสตกาลเมื่อชาวบาบิโลนและอียิปต์เริ่มใช้เลขคณิต , พีชคณิตและเรขาคณิตสำหรับการจัดเก็บภาษีและการคำนวณทางการเงินอื่น ๆ สำหรับการสร้างและการก่อสร้างและดาราศาสตร์ ^[17]ตำราคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดจากเมโสโปเตเมียและอียิปต์มีตั้งแต่ 2000 ถึง 1800 ปีก่อนคริสตกาล^[18]ตำรายุคแรก ๆ หลายฉบับกล่าวถึงพีทาโกรัสแฝดสามดังนั้น โดยการอนุมานทฤษฎีบทพีทาโกรัสดูเหมือนจะเป็นการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่และแพร่หลายที่สุดหลังจากเลขคณิตและเรขาคณิตพื้นฐาน ^[19]มันอยู่ในบาบิโลนคณิตศาสตร์ที่คณิตศาสตร์ประถมศึกษา ( นอกจากนี้ , การลบ , การคูณและหาร ) ปรากฏตัวครั้งแรกในบันทึกทางโบราณคดี ชาวบาบิโลนยังมีระบบค่าสถานที่และใช้ระบบตัวเลขเพศ^[19]ซึ่งยังคงใช้อยู่ในปัจจุบันสำหรับการวัดมุมและเวลา ⁽²⁰⁾

จุดเริ่มต้นในศตวรรษที่ 6 กับPythagoreansกับคณิตศาสตร์กรีกกรีกโบราณเริ่มระบบการศึกษาคณิตศาสตร์เป็นเรื่องในสิทธิของตนเอง^[21]ราวๆ 300 ปีก่อนคริสตกาล ยูคลิดได้แนะนำวิธีการเชิงสัจพจน์ที่ยังคงใช้ในคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ซึ่งประกอบด้วยคำจำกัดความ สัจพจน์ ทฤษฎีบท และการพิสูจน์ หนังสือของเขาElementsถือเป็นหนังสือเรียนที่ประสบความสำเร็จและทรงอิทธิพลที่สุดตลอดกาล^[22]นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของสมัยโบราณมักจะถือเป็นArchimedes (ค. 287-212 BC) ของซีราคิวส์ ^[23]เขาได้พัฒนาสูตรสำหรับคำนวณพื้นที่ผิวและปริมาตรของของแข็งของการปฏิวัติและใช้วิธีการหมดแรงในการคำนวณพื้นที่ใต้ส่วนโค้งของพาราโบลาด้วยการบวกผลรวมของอนุกรมอนันต์ในลักษณะที่ไม่ต่างจากแคลคูลัสสมัยใหม่มากนัก^[24]ความสำเร็จที่โดดเด่นอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์กรีก ได้แก่ส่วนรูปกรวย ( Apollonius of Perga , ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช), ^[25] ตรีโกณมิติ ( Hipparchus of Nicaea , ศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช), ^[26]และจุดเริ่มต้นของพีชคณิต ( Diophantus , AD ศตวรรษที่ 3 ). ^[27]

ระบบฮินดูภาษาอาหรับตัวเลขและกฎระเบียบสำหรับการใช้งานของการดำเนินงานของตนในการใช้งานทั่วโลกในวันนี้การพัฒนาอยู่ตลอดหลักสูตรของ AD สหัสวรรษแรกในประเทศอินเดียและถูกส่งไปยังโลกตะวันตกผ่านทางคณิตศาสตร์อิสลาม ^[28]การพัฒนาที่โดดเด่นอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์อินเดียรวมถึงคำนิยามของความทันสมัยและประมาณการของไซน์และโคไซน์ , ^[28]และรูปแบบของแบบไม่มีที่สิ้นสุด

ในช่วงยุคทองของศาสนาอิสลามโดยเฉพาะอย่างยิ่งในช่วงศตวรรษที่ 9 และ 10 คณิตศาสตร์เห็นนวัตกรรมที่สำคัญมากมายที่สร้างจากคณิตศาสตร์กรีก ความสำเร็จที่โดดเด่นที่สุดของอิสลามคณิตศาสตร์คือการพัฒนาพีชคณิตความสำเร็จอื่น ๆ ของยุคอิสลาม ได้แก่ ความก้าวหน้าในตรีโกณมิติทรงกลมและการเพิ่มจุดทศนิยมในระบบเลขอารบิก^{[29] [30]}หลายนักคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นจากช่วงเวลานี้เป็นเปอร์เซียเช่นAl-Khwarismi , โอมาร์คัยยามและชาราฟอัลดินอัล ทูซ่

ในช่วงระยะเวลาก่อนสมัยคณิตศาสตร์เริ่มพัฒนาที่ก้าวเร่งในยุโรปตะวันตกการพัฒนาแคลคูลัสโดยนิวตันและไลบนิซในศตวรรษที่ 17 ปฏิวัติคณิตศาสตร์^[31]เลออนฮาร์ด ออยเลอร์เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในศตวรรษที่ 18 โดยมีส่วนสนับสนุนทฤษฎีบทและการค้นพบมากมาย^[32]บางทีนักคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดของศตวรรษที่ 19 เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันคาร์ลฟรีดริชเกาส์ , ^[33]ที่ทำผลงานมากมายให้กับสาขาต่าง ๆ เช่นพีชคณิต , วิเคราะห์ , เรขาคณิตต่างกัน , ทฤษฎีเมทริกซ์ , ทฤษฎีจำนวนและสถิติในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 เคิร์ท โกเดลได้เปลี่ยนแปลงคณิตศาสตร์โดยเผยแพร่ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเขาซึ่งแสดงให้เห็นส่วนหนึ่งว่าระบบสัจพจน์ที่สอดคล้องกันใดๆ—หากมีพลังมากพอที่จะอธิบายเลขคณิต—จะมีข้อเสนอจริงที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้^[34]

คณิตศาสตร์ได้ขยายออกไปอย่างมาก และมีการปฏิสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อย่างได้ผล เพื่อประโยชน์ของทั้งสองอย่าง การค้นพบทางคณิตศาสตร์ยังคงเกิดขึ้นในปัจจุบัน จากข้อมูลของ Mikhail B. Sevryuk ในBulletin of the American Mathematical Societyฉบับเดือนมกราคม 2549 ระบุว่า "จำนวนเอกสารและหนังสือที่รวมอยู่ในฐานข้อมูลMathematic Reviewsตั้งแต่ปี 1940 (ปีแรกของการดำเนินงาน MR) มีมากกว่า 1.9 ล้าน และมากกว่า 75,000 รายการถูกเพิ่มลงในฐานข้อมูลในแต่ละปี งานส่วนใหญ่ที่ล้นหลามในมหาสมุทรนี้มีทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ใหม่และข้อพิสูจน์ของพวกเขา" ^[35]

นิรุกติศาสตร์

คำว่าคณิตศาสตร์มาจากภาษากรีกโบราณ máthēma ( μάθημα ) ซึ่งหมายถึง "สิ่งที่ได้เรียนรู้" ^[36] "สิ่งที่เราได้รู้" ดังนั้น "การศึกษา" และ "วิทยาศาสตร์" ด้วย คำว่า "คณิตศาสตร์" มีความหมายทางเทคนิคที่แคบกว่าและมีความหมายทางเทคนิคมากกว่า "การศึกษาทางคณิตศาสตร์" แม้แต่ในสมัยคลาสสิก^[37]คำคุณศัพท์ของมันคือmathēmatikós ( μαθηματικός ) หมายถึง "เกี่ยวข้องกับการเรียนรู้" หรือ "ความขยันหมั่นเพียร" ซึ่งในทำนองเดียวกันก็หมายถึง "คณิตศาสตร์" โดยเฉพาะอย่างยิ่งmathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; ภาษาละติน :ars คณิตศาสตร์) หมายถึง "ศิลปะทางคณิตศาสตร์"

ในทำนองเดียวกัน หนึ่งในสองสำนักแห่งความคิดหลักในพีทาโกรัสเรียกว่าmathēmatikoi (μαθηματικοί) ซึ่งในขณะนั้นหมายถึง "ผู้เรียน" มากกว่า "นักคณิตศาสตร์" ในความหมายสมัยใหม่ ^[38]

ในภาษาละตินและในภาษาอังกฤษจนถึงราวปี 1700 คำว่าคณิตศาสตร์โดยทั่วไปหมายถึง " โหราศาสตร์ " (หรือบางครั้ง " ดาราศาสตร์ ") มากกว่า "คณิตศาสตร์" ความหมายค่อยๆ เปลี่ยนไปเป็นความหมายปัจจุบันจากประมาณ 1500 เป็น 1800 ซึ่งส่งผลให้มีการแปลผิดหลายครั้ง ตัวอย่างเช่นคำเตือนของSaint Augustineที่คริสเตียนควรระวังmathematiciซึ่งหมายถึงนักโหราศาสตร์ บางครั้งก็แปลผิดว่าเป็นการประณามนักคณิตศาสตร์^[39]

รูปพหูพจน์ที่ชัดเจนในภาษาอังกฤษ เช่น รูปพหูพจน์ภาษาฝรั่งเศสles mathématiques (และอนุพันธ์ เอกพจน์la mathématique ที่เป็นเอกพจน์น้อยกว่า) กลับไปที่ภาษาละตินneuter plural mathematica ( Cicero ) ซึ่งมีพื้นฐานมาจากภาษากรีกพหูพจน์ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ), ใช้โดยอริสโตเติล (384–322 ปีก่อนคริสตกาล) และความหมายคร่าวๆ "ทุกสิ่งทางคณิตศาสตร์" แม้ว่าจะเป็นไปได้ว่าภาษาอังกฤษยืมเฉพาะคำคุณศัพท์คณิตศาสตร์ (al)และสร้างคำนามคณิตศาสตร์ขึ้นใหม่หลังจากรูปแบบของฟิสิกส์และอภิปรัชญาซึ่งได้รับมรดกมาจากภาษากรีก ^[40]ในภาษาอังกฤษ คำนามคณิตศาสตร์ใช้กริยาเอกพจน์ มันก็มักจะลงไปคณิตศาสตร์หรือในทวีปอเมริกาเหนือคณิตศาสตร์ ^[41]

คำจำกัดความของคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์ไม่มีคำจำกัดความที่ยอมรับกันโดยทั่วไป^{[6] [7]} อริสโตเติลกำหนดให้คณิตศาสตร์เป็น "ศาสตร์แห่งปริมาณ" และคำจำกัดความนี้มีชัยจนถึงศตวรรษที่ 18 อย่างไรก็ตาม อริสโตเติลยังตั้งข้อสังเกตว่าการเน้นที่ปริมาณเพียงอย่างเดียวอาจไม่สามารถแยกความแตกต่างทางคณิตศาสตร์จากวิทยาศาสตร์อย่างฟิสิกส์ได้ ในมุมมองของเขา นามธรรมและการศึกษาปริมาณเป็นคุณสมบัติ "แยกจากความคิด" จากกรณีจริงทำให้คณิตศาสตร์แตกต่าง^[42]

ในศตวรรษที่ 19 เมื่อการศึกษาคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดและเริ่มกล่าวถึงหัวข้อที่เป็นนามธรรม เช่นทฤษฎีกลุ่มและเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟ ซึ่งไม่มีความสัมพันธ์ที่ชัดเจนกับปริมาณและการวัด นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาจึงเริ่มเสนอคำจำกัดความใหม่ๆ ที่หลากหลาย . ^[43]

นักคณิตศาสตร์มืออาชีพจำนวนมากไม่สนใจคำจำกัดความของคณิตศาสตร์หรือคิดว่าไม่สามารถระบุได้ ^[6]ไม่มีความเห็นเป็นเอกฉันท์ว่าคณิตศาสตร์เป็นศิลปะหรือวิทยาศาสตร์ ^[7]บางคนก็พูดว่า "คณิตศาสตร์คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ทำ" ^[6]

สามประเภทชั้นนำ

คำจำกัดความสามประเภทชั้นนำของคณิตศาสตร์ในปัจจุบันเรียกว่านักตรรกวิทยานักสัญชาตญาณและนักจัดรูปแบบซึ่งแต่ละประเภทสะท้อนให้เห็นถึงโรงเรียนแห่งการคิดเชิงปรัชญาที่แตกต่างกัน ⁽⁴⁴⁾ทุกคนล้วนมีข้อบกพร่องร้ายแรง ไม่มีใครเป็นที่ยอมรับอย่างกว้างขวาง และดูเหมือนว่าจะไม่มีการปรองดองกัน ^[44]

คำจำกัดความของ Logicist

คำจำกัดความเบื้องต้นของคณิตศาสตร์ในแง่ของตรรกะคือของBenjamin Peirce (1870): "วิทยาศาสตร์ที่สรุปข้อสรุปที่จำเป็น" ^[45]ในPrincipia Mathematica , เบอร์ทรานด์รัสเซลและอัลเฟรดนอร์ทเฮดสูงโปรแกรมปรัชญาที่รู้จักในฐานะlogicismและความพยายามที่จะพิสูจน์ให้เห็นว่าทุกคณิตศาสตร์แนวคิดงบและหลักการสามารถกำหนดและได้รับการพิสูจน์อย่างสิ้นเชิงในแง่ของตรรกะสัญลักษณ์ นักตรรกวิทยาของคณิตศาสตร์คือรัสเซล (1903) "คณิตศาสตร์ทั้งหมดเป็นตรรกะเชิงสัญลักษณ์" ^[46]

คำจำกัดความของสัญชาตญาณ

คำจำกัดความของสัญชาตญาณซึ่งพัฒนาจากปรัชญาของนักคณิตศาสตร์LEJ Brouwerระบุคณิตศาสตร์ด้วยปรากฏการณ์ทางจิตบางอย่าง ตัวอย่างของคำจำกัดความของสัญชาตญาณคือ "คณิตศาสตร์เป็นกิจกรรมทางจิตซึ่งประกอบด้วยการสร้างสิ่งหนึ่งขึ้นมาทีละอย่าง" ^[44]ลักษณะเฉพาะของสัญชาตญาณคือการปฏิเสธแนวคิดทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่ถือว่าใช้ได้ตามคำจำกัดความอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในขณะที่ปรัชญาทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ยอมให้วัตถุที่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีอยู่จริงแม้ว่าจะไม่สามารถสร้างขึ้นได้ก็ตาม สัญชาตญาณอนุญาตให้เฉพาะวัตถุทางคณิตศาสตร์เท่านั้นที่สามารถสร้างได้จริง นักปรีชาญาณยังปฏิเสธกฎของชนชั้นกลางที่ถูกกีดกัน (กล่าวคือ${\displaystyle P\vee \neg P}$). ในขณะที่จุดยืนนี้บังคับให้พวกเขาปฏิเสธการพิสูจน์ทั่วไปหนึ่งฉบับโดยขัดแย้งกันเป็นวิธีการพิสูจน์ที่ทำงานได้ กล่าวคือ การอนุมานของ${\displaystyle P}$ จาก ${\displaystyle \neg P\to \bot }$พวกเขายังสามารถอนุมานได้ ${\displaystyle \neg P}$ จาก ${\displaystyle P\to \bot }$. สำหรับพวกเขา,${\displaystyle \neg (\neg P)}$ เป็นคำพูดที่อ่อนแอกว่า .อย่างเคร่งครัด ${\displaystyle P}$. ^[47]

คำจำกัดความอย่างเป็นทางการ

เหือดคำจำกัดความระบุคณิตศาสตร์กับสัญลักษณ์และกฎระเบียบสำหรับการดำเนินงานเกี่ยวกับพวกเขา Haskell Curryนิยามคณิตศาสตร์ง่ายๆ ว่าเป็น "ศาสตร์ของระบบที่เป็นทางการ" ^[48]ระบบอย่างเป็นทางการคือชุดของสัญลักษณ์หรือราชสกุลและบางกฎระเบียบเกี่ยวกับวิธีสัญญาณที่จะรวมกันเป็นสูตร ในระบบที่เป็นทางการ คำว่าสัจพจน์มีความหมายพิเศษที่แตกต่างจากความหมายทั่วไปของ "ความจริงที่ประจักษ์ชัดในตัวเอง" และใช้เพื่ออ้างถึงการรวมกันของโทเค็นที่รวมอยู่ในระบบที่เป็นทางการที่กำหนดโดยไม่จำเป็นต้องได้รับโดยใช้ กฎของระบบ

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์

นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันCarl Friedrich Gaussเรียกคณิตศาสตร์ว่าเป็น "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์" ^[49]อีกไม่นานMarcus du Sautoyได้เรียกคณิตศาสตร์ว่า "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ ... แรงผลักดันหลักที่อยู่เบื้องหลังการค้นพบทางวิทยาศาสตร์" ^[50]นักปรัชญาคาร์ลตกใจตั้งข้อสังเกตว่า "ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่จะเหมือนของฟิสิกส์และชีววิทยา , hypothetico - นิรนัย : คณิตศาสตร์บริสุทธิ์จึงจะออกมาเป็นมากใกล้กับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติที่มีสมมติฐานคาดเดากว่าก็ลำบากแม้กระทั่งเมื่อเร็ว ๆ นี้ " ^[51]Popper ยังตั้งข้อสังเกตอีกว่า "ฉันจะยอมรับระบบที่เป็นเชิงประจักษ์หรือทางวิทยาศาสตร์อย่างแน่นอนก็ต่อเมื่อสามารถทดสอบด้วยประสบการณ์ได้" ^[52]

ผู้เขียนหลายคนพิจารณาว่าคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นวิทยาศาสตร์เพราะมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับหลักฐานเชิงประจักษ์ ^{[53] [54] [55] [56]}

คณิตศาสตร์มีส่วนเหมือนกันมากกับหลายสาขาในวิทยาศาสตร์กายภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการสำรวจผลที่ตามมาจากตรรกะของสมมติฐานสัญชาตญาณและการทดลองยังมีบทบาทในการสร้างการคาดเดาทั้งในด้านคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ (อื่นๆ) คณิตศาสตร์เชิงทดลองยังคงมีความสำคัญเพิ่มขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์ และการคำนวณและการจำลองมีบทบาทเพิ่มขึ้นทั้งในด้านวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์

ความคิดเห็นของนักคณิตศาสตร์เกี่ยวกับเรื่องนี้แตกต่างกัน นักคณิตศาสตร์หลายคน^[57]รู้สึกว่าการเรียกพื้นที่ของตนว่าวิทยาศาสตร์คือการมองข้ามความสำคัญของด้านสุนทรียศาสตร์ และประวัติศาสตร์ในศิลปศาสตร์ดั้งเดิมทั้งเจ็ด; บางคนรู้สึกว่าการเพิกเฉยต่อความเชื่อมโยงกับวิทยาศาสตร์คือการเพิกเฉยต่อความจริงที่ว่าส่วนต่อประสานระหว่างคณิตศาสตร์กับการประยุกต์ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ได้ขับเคลื่อนการพัฒนาทางคณิตศาสตร์อย่างมาก^[58]วิธีหนึ่งที่ความแตกต่างของมุมมองนี้แสดงออกมาคือในการอภิปรายเชิงปรัชญาว่าคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้น (เช่นในศิลปะ) หรือค้นพบ(เช่นเดียวกับในวิทยาศาสตร์) ในทางปฏิบัติ นักคณิตศาสตร์มักจะจัดกลุ่มกับนักวิทยาศาสตร์ในระดับรวม แต่แยกจากกันในระดับปลีกย่อย นี้เป็นหนึ่งในหลายประเด็นพิจารณาในปรัชญาของคณิตศาสตร์ ^[59]

แรงบันดาลใจ คณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ และสุนทรียศาสตร์

คณิตศาสตร์เกิดจากปัญหาหลายประเภท ตอนแรกเหล่านี้ถูกพบในการค้า, การวัดที่ดินสถาปัตยกรรมและภายหลังดาราศาสตร์ ; ทุกวันนี้ วิทยาศาสตร์ทั้งหมดเสนอปัญหาที่นักคณิตศาสตร์ศึกษา และปัญหามากมายเกิดขึ้นในตัวคณิตศาสตร์เอง ตัวอย่างเช่นนักฟิสิกส์ Richard Feynmanได้คิดค้นสูตรอินทิกรัลของเส้นทางของกลศาสตร์ควอนตัมโดยใช้การใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์และความเข้าใจทางกายภาพร่วมกัน และทฤษฎีสตริงในปัจจุบันซึ่งเป็นทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ที่ยังคงพัฒนาอยู่ ซึ่งพยายามรวมพลังพื้นฐานทั้งสี่ของธรรมชาติเป็นหนึ่งเดียว ยังคงสร้างแรงบันดาลใจต่อไป คณิตศาสตร์ใหม่^[60]

คณิตศาสตร์บางเรื่องมีความเกี่ยวข้องเฉพาะในพื้นที่ที่เป็นแรงบันดาลใจ และนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาเพิ่มเติมในด้านนั้น แต่บ่อยครั้งที่คณิตศาสตร์ที่ได้รับแรงบันดาลใจจากพื้นที่หนึ่งมีประโยชน์ในหลาย ๆ ด้าน และรวมเข้ากับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ทั่วไป ความแตกต่างมักจะทำระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์หัวข้อคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ แต่มักจะเปิดออกจะมีการใช้งานเช่นทฤษฎีจำนวนในการเข้ารหัส

ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งนี้ ที่แม้แต่คณิตศาสตร์ที่ "บริสุทธิ์ที่สุด" ก็มักจะถูกนำไปใช้ได้จริง คือสิ่งที่นักฟิสิกส์Eugene Wignerเรียกว่า " ประสิทธิผลที่ไร้เหตุผลของคณิตศาสตร์ " ^[13]ปรัชญาของคณิตศาสตร์ มาร์คสทิได้เขียนอย่างกว้างขวางเกี่ยวกับเรื่องนี้และรับทราบว่าการบังคับใช้ของคณิตศาสตร์ถือว่า“ความท้าทายให้กับธรรมชาติได้.” ^[61]สำหรับนักปรัชญาคณิตศาสตร์Mary Lengความจริงที่ว่าโลกทางกายภาพปฏิบัติตามคำสั่งของเอนทิตีทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ใช่สาเหตุที่มีอยู่นอกจักรวาลคือ "เรื่องบังเอิญที่มีความสุข" ^[62]ในทางกลับกัน สำหรับผู้ ต่อต้านสัจนิยมการเชื่อมต่อซึ่งได้มาระหว่างสิ่งทางคณิตศาสตร์เพียงแค่สะท้อนการเชื่อมต่อที่ได้มาระหว่างวัตถุในจักรวาลเพื่อไม่ให้มี "ความบังเอิญที่มีความสุข" ^[62]

เช่นเดียวกับพื้นที่การศึกษาส่วนใหญ่ การระเบิดของความรู้ในยุควิทยาศาสตร์นำไปสู่ความเชี่ยวชาญเฉพาะทาง ขณะนี้มีพื้นที่เฉพาะทางหลายร้อยสาขาในวิชาคณิตศาสตร์ และการจัดหมวดหมู่หัวเรื่องคณิตศาสตร์ล่าสุดมี46 หน้า ^[63]หลายพื้นที่ของคณิตศาสตร์ประยุกต์ได้รวมกับประเพณีที่เกี่ยวข้องกับด้านนอกของคณิตศาสตร์และกลายเป็นสาขาในสิทธิของตนเองรวมทั้งสถิติการดำเนินงานวิจัยและวิทยาการคอมพิวเตอร์

สำหรับผู้ที่มีความโน้มเอียงทางคณิตศาสตร์ มักมีแง่มุมทางสุนทรียะที่ชัดเจนสำหรับคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ นักคณิตศาสตร์หลายคนพูดถึงความสง่างามของคณิตศาสตร์สุนทรียศาสตร์ที่แท้จริงและความงามภายในความเรียบง่ายและความทั่วถึงมีค่า มีความงามอยู่ในที่เรียบง่ายและสง่างามหลักฐานเช่นEuclidหลักฐาน 's ว่ามีหลายอย่างมากมายตัวเลขที่สำคัญและสง่างามวิธีการเชิงตัวเลขที่เพิ่มความเร็วในการคำนวณเช่นรวดเร็วฟูเรียร์ GH Hardyในคำขอโทษของนักคณิตศาสตร์แสดงความเชื่อว่าการพิจารณาด้านสุนทรียศาสตร์ในตัวเองนั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์การศึกษาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ เขาระบุเกณฑ์ต่างๆ เช่น ความสำคัญ ความคาดไม่ถึง ความหลีกเลี่ยงไม่ได้ และเศรษฐกิจ เป็นปัจจัยที่ส่งผลต่อสุนทรียศาสตร์ทางคณิตศาสตร์^[64]การวิจัยทางคณิตศาสตร์มักจะแสวงหาคุณลักษณะที่สำคัญของวัตถุทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทที่แสดงเป็นคุณลักษณะของวัตถุโดยคุณลักษณะเหล่านี้เป็นรางวัล ตัวอย่างของการขัดแย้งทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งรวบรัดและเปิดหูเปิดตาได้รับการตีพิมพ์ในหลักฐานจากหนังสือ

ความนิยมของคณิตศาสตร์เพื่อการพักผ่อนหย่อนใจเป็นอีกสัญญาณหนึ่งของความสุขที่หลายคนพบในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ และในที่สุดทางสังคมอื่น ๆ ปรัชญายังคงหาปัญหาในปรัชญาของคณิตศาสตร์เช่นลักษณะของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ^[65]

สัญกรณ์ ภาษา และความเข้มงวด

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ที่ใช้อยู่ในปัจจุบันไม่ได้ถูกประดิษฐ์ขึ้นจนกระทั่งศตวรรษที่ 16 ^[66]ก่อนหน้านั้น คณิตศาสตร์ถูกเขียนออกมาเป็นคำพูด จำกัดการค้นพบทางคณิตศาสตร์^[67] ออยเลอร์ (ค.ศ. 1707–1783) รับผิดชอบสัญลักษณ์ต่างๆ ที่ใช้อยู่ในปัจจุบัน สัญกรณ์สมัยใหม่ทำให้คณิตศาสตร์ง่ายขึ้นมากสำหรับมืออาชีพ แต่ผู้เริ่มต้นมักจะพบว่ามันน่ากลัว อ้างอิงจากสบาร์บารา โอ๊คลีย์สิ่งนี้สามารถนำมาประกอบกับความจริงที่ว่า ความคิดทางคณิตศาสตร์มีทั้งนามธรรมมากกว่าและมีการเข้ารหัสมากกว่าของภาษาธรรมชาติ^[68]ต่างจากภาษาธรรมชาติที่ผู้คนมักจะเทียบเคียงกับคำได้ (เช่นcow) กับวัตถุทางกายภาพที่มันสอดคล้องกับ สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เป็นนามธรรม ไม่มีแอนะล็อกทางกายภาพใด ๆ^[69]สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ยังมีการเข้ารหัสที่สูงกว่าคำทั่วไป หมายความว่าสัญลักษณ์เดียวสามารถเข้ารหัสการดำเนินการหรือแนวคิดต่างๆ ได้จำนวนมาก^[70]

ภาษาคณิตศาสตร์อาจเข้าใจยากสำหรับผู้เริ่มต้น เนื่องจากแม้แต่คำทั่วไป เช่นหรือและเท่านั้นมีความหมายที่แม่นยำกว่าในภาษาพูดในชีวิตประจำวัน และคำอื่นๆ เช่นเปิดและภาคสนามหมายถึงแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงซึ่งไม่ได้ครอบคลุม ความหมายของฆราวาส ภาษาคณิตศาสตร์นอกจากนี้ยังมีคำศัพท์ทางเทคนิคหลายอย่างเช่นhomeomorphismและintegrableที่ไม่มีความหมายนอกของคณิตศาสตร์ นอกจากนี้ วลีชวเลข เช่นiffสำหรับ " if and only if " เป็นศัพท์แสงทางคณิตศาสตร์. มีเหตุผลสำหรับสัญกรณ์พิเศษและคำศัพท์ทางเทคนิค: คณิตศาสตร์ต้องการความแม่นยำมากกว่าคำพูดในชีวิตประจำวัน นักคณิตศาสตร์อ้างถึงความแม่นยำของภาษาและตรรกะนี้ว่า "ความเข้มงวด"

การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานเรื่องของความรุนแรง นักคณิตศาสตร์ต้องการให้ทฤษฎีบทของพวกเขาทำตามสัจพจน์โดยใช้การใช้เหตุผลอย่างเป็นระบบ เพื่อหลีกเลี่ยงความผิดพลาด " ทฤษฎีบท " บนพื้นฐานของสัญชาตญาณที่ผิดพลาด ซึ่งมีหลายกรณีที่เกิดขึ้นในประวัติศาสตร์ของเรื่อง ^[b]ระดับความเข้มงวดที่คาดหวังในวิชาคณิตศาสตร์นั้นแปรผันตามกาลเวลา: ชาวกรีกคาดหวังการโต้แย้งอย่างละเอียด แต่ในสมัยของไอแซก นิวตันวิธีการที่ใช้มีความเข้มงวดน้อยกว่า ปัญหาที่มีอยู่ในคำจำกัดความที่ใช้โดยนิวตันจะนำไปสู่การฟื้นคืนชีพของการวิเคราะห์อย่างรอบคอบและการพิสูจน์อย่างเป็นทางการในศตวรรษที่ 19 ความเข้าใจผิดเกี่ยวกับความเข้มงวดเป็นสาเหตุของความเข้าใจผิดทั่วไปบางประการของคณิตศาสตร์ วันนี้คณิตศาสตร์ยังคงยืนยันในตัวเองเกี่ยวกับการพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยเนื่องจากการคำนวณจำนวนมากนั้นยากต่อการตรวจสอบ การพิสูจน์ดังกล่าวอาจผิดพลาดได้หากโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ใช้มีข้อผิดพลาด^{[C] [71]}บนมืออื่น ๆ , ผู้ช่วยพิสูจน์อนุญาตให้มีการตรวจสอบรายละเอียดทั้งหมดที่ไม่สามารถได้รับในหลักฐานที่เขียนด้วยมือและให้ความเชื่อมั่นในความถูกต้องของหลักฐานอันยาวดังกล่าวเป็นที่ของทฤษฎีบท Feit ธ อมป์สัน^[NS]

สัจพจน์ในความคิดดั้งเดิมคือ "ความจริงที่ประจักษ์ชัดในตัวเอง" แต่แนวความคิดนั้นมีปัญหา^[72]ในระดับที่เป็นทางการ สัจพจน์เป็นเพียงสตริงของสัญลักษณ์ ซึ่งมีความหมายที่แท้จริงเฉพาะในบริบทของสูตรที่สืบเนื่องทั้งหมดของระบบสัจพจน์เท่านั้น เป้าหมายของโปรแกรมของฮิลเบิร์ตคือการวางคณิตศาสตร์ทั้งหมดบนพื้นฐานสัจธรรมที่แน่นอน แต่ตามทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลระบบสัจพจน์ทุกระบบ (ทรงพลังเพียงพอ) มีสูตรที่ตัดสินใจไม่ได้และสัจธรรมขั้นสุดท้ายของคณิตศาสตร์จึงเป็นไปไม่ได้ อย่างไรก็ตาม คณิตศาสตร์มักถูกจินตนาการว่าเป็น (เท่าที่เนื้อหาที่เป็นทางการ) ไม่มีอะไรเลยนอกจากทฤษฎีเซตในสัจพจน์บางอย่าง ในแง่ที่ว่าทุกข้อความหรือข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สามารถแปลงเป็นสูตรภายในทฤษฎีเซตได้ ^[73]

สาขาคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์สามารถพูดกว้างแบ่งออกเป็นการศึกษาของปริมาณโครงสร้างพื้นที่และการเปลี่ยนแปลง (เช่นคณิตศาสตร์ , พีชคณิต , เรขาคณิตและการวิเคราะห์ ) นอกจากนี้ความกังวลหลักเหล่านี้ยังมีเขตการปกครองที่ทุ่มเทให้กับการสำรวจการเชื่อมโยงจากหัวใจของคณิตศาสตร์กับสาขาอื่น ๆ : เพื่อตรรกะเพื่อตั้งทฤษฎี ( มูลนิธิ ) เพื่อคณิตศาสตร์เชิงประจักษ์ของวิทยาศาสตร์ต่างๆ ( คณิตศาสตร์ประยุกต์ ) และเมื่อเร็ว ๆ นี้ การศึกษาที่เข้มงวดของความไม่แน่นอนแม้ว่าบางพื้นที่อาจดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกัน แต่โครงการ Langlandsพบว่ามีการเชื่อมต่อระหว่างพื้นที่ก่อนหน้านี้คิดว่าไม่เกี่ยวเนื่องกันเช่นกลุ่ม Galois , Riemann พื้นผิวและทฤษฎีจำนวน

คณิตศาสตร์แบบแยกตามอัตภาพจะจัดกลุ่มสาขาวิชาคณิตศาสตร์เข้าด้วยกันตามอัตภาพซึ่งศึกษาโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ต่อเนื่องโดยพื้นฐานมากกว่าแบบต่อเนื่อง

รากฐานและปรัชญา

เพื่อที่จะชี้แจงรากฐานของคณิตศาสตร์ได้มีการพัฒนาสาขาของตรรกะทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีเซตตรรกะทางคณิตศาสตร์รวมถึงการศึกษาทางคณิตศาสตร์ของตรรกะและการประยุกต์ใช้ตรรกะที่เป็นทางการกับสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซตเป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาชุดหรือชุดของวัตถุ วลี "วิกฤตของฐานราก" อธิบายการค้นหารากฐานที่เข้มงวดสำหรับคณิตศาสตร์ซึ่งเกิดขึ้นประมาณปี 1900 ถึง 1930 ^[74]ความไม่เห็นด้วยบางประการเกี่ยวกับรากฐานของคณิตศาสตร์ยังคงมีอยู่จนถึงปัจจุบัน วิกฤตการณ์ของมูลนิธิถูกกระตุ้นโดยข้อโต้แย้งหลายประการในขณะนั้น รวมถึงการทะเลาะวิวาทมากกว่าทฤษฎีเซตต้นเสียงและการทะเลาะวิวาท Brouwer-ฮิลแบร์ต

ตรรกะทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับการตั้งค่าคณิตศาสตร์ภายในกรอบสัจพจน์ที่เข้มงวดและการศึกษาความหมายของกรอบดังกล่าว ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นที่มาของทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Gödelซึ่ง (อย่างไม่เป็นทางการ) บอกเป็นนัยว่าระบบที่เป็นทางการที่มีประสิทธิภาพใดๆที่มีเลขคณิตพื้นฐาน ถ้าเสียง (หมายความว่าทฤษฎีบททั้งหมดที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง) นั้นจำเป็นต้องไม่สมบูรณ์ (หมายความว่ามีทฤษฎีบทจริงอยู่ ที่พิสูจน์ไม่ได้ในระบบนั้น). ไม่ว่าการรวบรวมสัจพจน์ทางทฤษฎีจำนวนจำกัดจะเป็นรากฐานอย่างไร Gödel ได้แสดงวิธีสร้างข้อความที่เป็นทางการซึ่งเป็นข้อเท็จจริงทางทฤษฎีจำนวนจริง แต่ไม่ได้ติดตามจากสัจพจน์เหล่านั้น ดังนั้นจึงไม่มีระบบใดที่เป็นระบบจริงที่สมบูรณ์ของทฤษฎีจำนวนเต็ม ตรรกะที่ทันสมัยแบ่งออกเป็นทฤษฎีการเรียกซ้ำ , ทฤษฎีแบบจำลองและการพิสูจน์ทฤษฎีและมีการเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับวิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ , ^[75]เช่นเดียวกับทฤษฎีประเภทในบริบทของทฤษฎีการเรียกซ้ำที่เป็นไปไม่ได้ของ axiomatization เต็มรูปแบบของทฤษฎีจำนวนนอกจากนี้ยังสามารถแสดงให้เห็นอย่างเป็นทางการว่าเป็นผลมาจากทฤษฎีบท MRDP

วิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์รวมถึงทฤษฎีการคำนวณ , ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณและทฤษฎีสารสนเทศทฤษฎีความสามารถในการคำนวณตรวจสอบข้อจำกัดของแบบจำลองทางทฤษฎีต่างๆ ของคอมพิวเตอร์ รวมถึงแบบจำลองที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดนั่นคือเครื่องทัวริงทฤษฎีความซับซ้อนคือการศึกษาความสามารถในการสืบค้นกลับด้วยคอมพิวเตอร์ ปัญหาบางอย่างแม้ว่าจะแก้ได้ด้วยคอมพิวเตอร์ในทางทฤษฎี แต่ก็มีราคาแพงในแง่ของเวลาหรือพื้นที่ซึ่งการแก้ปัญหานั้นมักจะไม่สามารถทำได้ในทางปฏิบัติ แม้ว่าจะมีความก้าวหน้าอย่างรวดเร็วของฮาร์ดแวร์คอมพิวเตอร์ ปัญหาที่มีชื่อเสียงคือ " P = NP ? " ปัญหาหนึ่งของรางวัลสหัสวรรษปัญหา^[76]ในที่สุดทฤษฎีสารสนเทศที่เกี่ยวข้องกับจำนวนของข้อมูลที่สามารถเก็บไว้ในสื่อที่กำหนดและด้วยเหตุนี้เกี่ยวข้องกับแนวคิดเช่นการบีบอัดและเอนโทรปี

${\displaystyle p\ลูกศรขวา q}$
ตรรกะทางคณิตศาสตร์	ทฤษฎีเซต	ทฤษฎีหมวดหมู่	ทฤษฎีการคำนวณ

คณิตศาสตร์ล้วนๆ

ระบบตัวเลขและทฤษฎีจำนวน

การศึกษาปริมาณเริ่มต้นด้วยตัวเลข อันดับแรกคือจำนวนธรรมชาติที่คุ้นเคย ${\displaystyle \mathbb {N} }$ และจำนวนเต็ม ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ("จำนวนเต็ม") และการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับพวกเขา ซึ่งมีลักษณะเป็นเลขคณิต . คุณสมบัติที่ลึกของจำนวนเต็มมีการศึกษาในทฤษฎีจำนวนจากที่มาผลเป็นที่นิยมเช่นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา การคาดเดาเฉพาะคู่และการคาดเดาของ Goldbachเป็นปัญหาสองประการที่แก้ไม่ตกในทฤษฎีจำนวน

เนื่องจากระบบตัวเลขได้รับการพัฒนาเพิ่มเติม จำนวนเต็มจึงถูกรับรู้เป็นส่วนย่อยของจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (" เศษส่วน ") ในทางกลับกัน สิ่งเหล่านี้มีอยู่ภายในจำนวนจริง , ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ซึ่งใช้แทนขีดจำกัดของลำดับของจำนวนตรรกยะและปริมาณต่อเนื่อง จำนวนจริงถูกทำให้เป็นตัวเลขทั่วไปของจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle \mathbb {C} }$. ตามทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตสมการพหุนามทั้งหมดในสมการที่ไม่รู้จักด้วยสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนจะมีคำตอบในจำนวนเชิงซ้อน โดยไม่คำนึงถึงระดับของพหุนาม ${\displaystyle \mathbb {N} ,\ \mathbb {Z} ,\ \mathbb {Q} ,\ \mathbb {R} }$ และ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ เป็นขั้นตอนแรกของการลำดับชั้นของตัวเลขที่ไปในการที่จะรวมquaternionsและoctonions การพิจารณาจำนวนธรรมชาติยังนำไปสู่จำนวนทรานฟินิตี้ซึ่งทำให้แนวคิดของ " อนันต์ " เป็นทางการ อีกด้านของการศึกษาคือขนาดของเซต ซึ่งอธิบายด้วยเลขคาร์ดินัล . ซึ่งรวมถึงตัวเลข alephซึ่งช่วยให้สามารถเปรียบเทียบขนาดของชุดใหญ่ๆ ได้ไม่จำกัด

${\displaystyle (0),1,2,3,\ldots }$	${\displaystyle \ldots ,-2,-1,0,1,2\,\ldots }$	${\displaystyle -2,{\frac {2}{3}},1.21}$	${\displaystyle -e,{\sqrt {2}},3,\pi }$	${\displaystyle 2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}}$	${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\ }$
ตัวเลขธรรมชาติ	จำนวนเต็ม	สรุปตัวเลข	ตัวเลขจริง	ตัวเลขที่ซับซ้อน	พระคาร์ดินัลไม่มีที่สิ้นสุด

โครงสร้าง

วัตถุทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง เช่นชุดของตัวเลขและฟังก์ชันแสดงโครงสร้างภายในอันเป็นผลมาจากการดำเนินการหรือความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้ในชุด คณิตศาสตร์จึงศึกษาคุณสมบัติของเซตที่สามารถแสดงในรูปของโครงสร้างนั้นได้ เช่นทฤษฎีจำนวนศึกษาคุณสมบัติของเซตของจำนวนเต็มที่สามารถแสดงในรูปของการดำเนินการเลขคณิตนอกจากนี้ยังมักจะเกิดขึ้นที่แตกต่างกันเช่นชุดโครงสร้าง (หรือโครงสร้าง ) แสดงคุณสมบัติที่คล้ายกันซึ่งทำให้มันเป็นไปตามขั้นตอนต่อไปของนามธรรมเพื่อรัฐสัจพจน์สำหรับโครงสร้างชั้นหนึ่ง แล้วจึงศึกษาโครงสร้างทั้งชั้นที่สอดคล้องกับสัจพจน์เหล่านี้ในคราวเดียว ดังนั้นเราจึงสามารถศึกษากลุ่ม , แหวน , เขตและระบบนามธรรมอื่น ๆ การศึกษาดังกล่าวร่วมกัน (สำหรับโครงสร้างที่กำหนดโดยการดำเนินงานเกี่ยวกับพีชคณิต) เป็นการโดเมนของพีชคณิตนามธรรม

โดยทั่วไปแล้ว พีชคณิตนามธรรมมักจะนำไปใช้กับปัญหาที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกัน ตัวอย่างเช่น ปัญหาโบราณจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับการสร้างเข็มทิศและเส้นตรงได้รับการแก้ไขโดยใช้ทฤษฎี Galoisซึ่งเกี่ยวข้องกับทฤษฎีสนามและทฤษฎีกลุ่ม อีกตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีพีชคณิตคือพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งเป็นการศึกษาทั่วไปของช่องว่างเวกเตอร์ซึ่งองค์ประกอบที่เรียกว่าเวกเตอร์มีทั้งปริมาณและทิศทาง และสามารถใช้เพื่อสร้างแบบจำลอง (ความสัมพันธ์ระหว่าง) จุดในอวกาศ นี่เป็นตัวอย่างหนึ่งของปรากฏการณ์ที่พื้นที่เดิมที่ไม่เกี่ยวข้องกันของเรขาคณิตและพีชคณิตมีปฏิสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งมากในคณิตศาสตร์สมัยใหม่Combinatoricsศึกษาวิธีการแจงนับจำนวนอ็อบเจ็กต์ที่เหมาะสมกับโครงสร้างที่กำหนด

${\displaystyle {\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2) &(3,2,1)\end{เมทริกซ์}}}$
คอมบิเนทอริกส์	ทฤษฎีจำนวน	ทฤษฎีกลุ่ม	ทฤษฎีกราฟ	ทฤษฎีคำสั่ง	พีชคณิต

ช่องว่าง

การศึกษาต้นกำเนิดพื้นที่ที่มีรูปทรงเรขาคณิต -in โดยเฉพาะรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดซึ่งรวมพื้นที่และตัวเลขและโลกไซเบอร์ที่รู้จักกันดีทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตรีโกณมิติเป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ระหว่างด้านกับมุมของสามเหลี่ยมและกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ การศึกษาที่ทันสมัยของพื้นที่ generalizes ความคิดเหล่านี้จะรวมถึงการที่สูงขึ้นมิติเรขาคณิตรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด (ซึ่งมีบทบาทสำคัญในการสัมพัทธภาพทั่วไป ) และโครงสร้างจำนวนและพื้นที่ทั้งมีบทบาทในเรขาคณิตวิเคราะห์ , เรขาคณิตต่างกันและพีชคณิตเรขาคณิต นูนและรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ต่อเนื่องได้รับการพัฒนาเพื่อแก้ปัญหาในทฤษฎีจำนวนและการวิเคราะห์การทำงานแต่ตอนนี้กำลังไล่ตามด้วยตาในการประยุกต์ใช้ในการเพิ่มประสิทธิภาพและวิทยาการคอมพิวเตอร์ภายในเรขาคณิตต่างมีแนวความคิดของการรวมกลุ่มเส้นใยและแคลคูลัสในแมนิโฟลโดยเฉพาะอย่างยิ่งเวกเตอร์และเมตริกซ์แคลคูลัสภายในเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตคือคำอธิบายของออบเจกต์เรขาคณิตเป็นชุดคำตอบของสมการพหุนามรวมแนวคิดของปริมาณและพื้นที่ และการศึกษากลุ่มทอพอโลยีซึ่งรวมโครงสร้างและพื้นที่กลุ่มโกหกใช้เพื่อศึกษาพื้นที่ โครงสร้าง และการเปลี่ยนแปลงโทโพโลยีในการขยายสาขาทั้งหมดอาจเป็นพื้นที่ที่มีการเติบโตมากที่สุดในคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 มันมีจุดตั้ง topology , ชุดทฤษฎี topology , topology เกี่ยวกับพีชคณิตและโครงสร้างค่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีของโทโพโลยีสมัยใหม่เป็นทฤษฎี metrizability , จริงทฤษฎีเซต , ทฤษฎี homotopyและทฤษฎีมอร์สโทโพโลยียังรวมถึงการคาดเดาของPoincaréที่แก้ไขแล้วและพื้นที่ยังไม่แก้ของการคาดเดาฮ็อดจ์ ผลลัพธ์อื่นๆ ในเรขาคณิตและโทโพโลยี รวมถึงทฤษฎีบทสี่สีและการคาดเดาของเคปเลอร์ได้รับการพิสูจน์ด้วยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์เท่านั้น

เรขาคณิต	ตรีโกณมิติ	เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์	โทโพโลยี	เรขาคณิตเศษส่วน	ทฤษฎีการวัด

เปลี่ยน

การทำความเข้าใจและอธิบายการเปลี่ยนแปลงเป็นหัวข้อทั่วไปในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและแคลคูลัสได้รับการพัฒนาเป็นเครื่องมือในการตรวจสอบฟังก์ชั่นเกิดขึ้นที่นี่เป็นแนวคิดหลักที่อธิบายปริมาณที่เปลี่ยนแปลง การศึกษาที่เข้มงวดของตัวเลขจริงและฟังก์ชั่นของตัวแปรจริงเป็นที่รู้จักกันวิเคราะห์จริงด้วยการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนสนามเทียบเท่าสำหรับตัวเลขที่ซับซ้อน การวิเคราะห์เชิงหน้าที่เน้นความสนใจไปที่ช่องว่างของฟังก์ชัน(โดยทั่วไปคืออนันต์มิติ) การประยุกต์ใช้งานการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันอย่างหนึ่งคือกลศาสตร์ควอนตัม. หลายปัญหานำไปสู่ธรรมชาติกับความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณและอัตราการเปลี่ยนแปลงและมีการศึกษาเหล่านี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ ปรากฏการณ์หลายคนในธรรมชาติสามารถอธิบายได้ด้วยระบบ dynamical ; ทฤษฎีความโกลาหลทำให้วิธีการที่ระบบเหล่านี้จำนวนมากแสดงพฤติกรรมที่ คาดเดาไม่ได้ แต่ยังกำหนดได้อย่างแม่นยำ

แคลคูลัส	แคลคูลัสเวกเตอร์	สมการเชิงอนุพันธ์	ระบบไดนามิก	ทฤษฎีความโกลาหล	การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน

คณิตศาสตร์ประยุกต์

คณิตศาสตร์ประยุกต์กังวลตัวเองด้วยวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้โดยทั่วไปในวิทยาศาสตร์วิศวกรรม , ธุรกิจและอุตสาหกรรมดังนั้น "คณิตศาสตร์ประยุกต์" คือวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ที่มีเฉพาะความรู้คำว่าคณิตศาสตร์ประยุกต์ยังอธิบายถึงความเชี่ยวชาญพิเศษทางวิชาชีพที่นักคณิตศาสตร์ใช้แก้ปัญหาในทางปฏิบัติ ในฐานะที่เป็นวิชาชีพที่เน้นปัญหาในทางปฏิบัติคณิตศาสตร์ประยุกต์มุ่งเน้นไปที่ "การกำหนด ศึกษา และการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์" ในสาขาวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และสาขาอื่นๆ ของการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์

ในอดีต การใช้งานจริงได้กระตุ้นการพัฒนาทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ ซึ่งต่อมาได้กลายเป็นหัวข้อของการศึกษาทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ซึ่งคณิตศาสตร์ได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อตัวมันเองเป็นหลัก ดังนั้นกิจกรรมของคณิตศาสตร์ประยุกต์มีการเชื่อมต่อที่สำคัญกับการวิจัยในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์

สถิติและศาสตร์แห่งการตัดสินใจอื่นๆ

คณิตศาสตร์ประยุกต์มีความเหลื่อมล้ำอย่างมากกับสาขาวิชาสถิติ ซึ่งทฤษฎีนี้ได้รับการกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับทฤษฎีความน่าจะเป็น นักสถิติ (ทำงานเป็นส่วนหนึ่งของโครงการวิจัย) "สร้างข้อมูลที่เหมาะสม" ด้วยการสุ่มตัวอย่างและการทดลองแบบสุ่ม; ^[77]การออกแบบตัวอย่างทางสถิติหรือการทดลองระบุการวิเคราะห์ข้อมูล (ก่อนที่ข้อมูลจะพร้อมใช้งาน) เมื่อพิจารณาข้อมูลจากการทดลองและตัวอย่างใหม่ หรือเมื่อวิเคราะห์ข้อมูลจากการศึกษาเชิงสังเกตนักสถิติจะ "ทำความเข้าใจข้อมูล" โดยใช้ศิลปะการสร้างแบบจำลองและทฤษฎีการอนุมาน —ด้วยการเลือกแบบจำลองและการประมาณค่า ; รุ่นที่เป็นผลสืบเนื่องประมาณและการคาดการณ์ที่ควรได้รับการทดสอบเกี่ยวกับข้อมูลใหม่ ^[จ]

ทฤษฎีทางสถิติการศึกษาปัญหาการตัดสินใจเช่นการลดความเสี่ยง ( ขาดทุนที่คาดว่า ) ของการดำเนินการทางสถิติเช่นการใช้ขั้นตอนในตัวอย่างเช่นประมาณค่าพารามิเตอร์ , การทดสอบสมมติฐานและการเลือกที่ดีที่สุดในพื้นที่ดั้งเดิมของสถิติทางคณิตศาสตร์ปัญหาการตัดสินใจทางสถิติถูกกำหนดโดยการลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์เช่น การสูญเสียหรือค่าใช้จ่ายที่คาดไว้ภายใต้ข้อจำกัดเฉพาะ: ตัวอย่างเช่น การออกแบบการสำรวจมักจะเกี่ยวข้องกับการลดต้นทุนของการประมาณค่าเฉลี่ยประชากรด้วยค่าที่กำหนด ระดับความมั่นใจ^[78]เพราะการใช้งานของการเพิ่มประสิทธิภาพ , ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของสถิติหุ้นกังวลกับคนอื่น ๆวิทยาศาสตร์การตัดสินใจเช่นการดำเนินงานวิจัย , ทฤษฎีการควบคุมและคณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์ ^[79]

คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์

คณิตศาสตร์เชิงคำนวณเสนอและศึกษาวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่โดยทั่วไปแล้วจะใหญ่เกินไปสำหรับความสามารถเชิงตัวเลขของมนุษย์ตัวเลขการวิเคราะห์วิธีการศึกษาสำหรับปัญหาในการวิเคราะห์โดยใช้การวิเคราะห์การทำงานและทฤษฎีการประมาณ ; การวิเคราะห์เชิงตัวเลขรวมถึงการศึกษาของประมาณและdiscretisationในวงกว้างด้วยความห่วงใยเป็นพิเศษสำหรับการปัดเศษข้อผิดพลาดการวิเคราะห์เชิงตัวเลขและการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ในวงกว้างยังศึกษาหัวข้อที่ไม่ใช่เชิงวิเคราะห์ของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมทริกซ์อัลกอริธึมและทฤษฎีกราฟ . พื้นที่อื่น ๆ ของคณิตศาสตร์คำนวณรวมพีชคณิตคอมพิวเตอร์และการคำนวณสัญลักษณ์

ทฤษฎีเกม	พลวัตของไหล	การวิเคราะห์เชิงตัวเลข	การเพิ่มประสิทธิภาพ	ทฤษฎีความน่าจะเป็น	สถิติ	การเข้ารหัส
การเงินคณิตศาสตร์	ฟิสิกส์คณิตศาสตร์	เคมีคณิตศาสตร์	ชีววิทยาคณิตศาสตร์	เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์	ทฤษฎีการควบคุม

รางวัลคณิตศาสตร์

เนื้อหาที่ได้รับรางวัลอันทรงเกียรติที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์เป็นเหรียญฟิลด์ , ^{[80] [81]}ก่อตั้งขึ้นในปี 1936 และได้รับรางวัลทุกสี่ปี (ยกเว้นรอบสงครามโลกครั้งที่สอง) ไปเป็นจำนวนมากเป็นบุคคลที่สี่ เหรียญ Fields มักถูกมองว่าเป็นคณิตศาสตร์เทียบเท่ารางวัลโนเบล

The Wolf Prize in Mathematicsก่อตั้งขึ้นในปี 2521 โดยตระหนักถึงความสำเร็จตลอดชีวิต และรางวัลระดับนานาชาติที่สำคัญอีกรางวัลหนึ่งคือAbel Prizeก่อตั้งขึ้นในปี 2546 เหรียญ Chernได้รับการแนะนำในปี 2010 เพื่อยกย่องความสำเร็จตลอดชีวิต รางวัลเหล่านี้มอบให้เพื่อเป็นการยกย่องหน่วยงานเฉพาะ ซึ่งอาจเป็นการสร้างสรรค์นวัตกรรม หรือเป็นแนวทางแก้ไขปัญหาที่โดดเด่นในสาขาที่จัดตั้งขึ้น

รายการที่มีชื่อเสียงของ 23 ปัญหาเปิดเรียกว่า " ฮิลแบร์ตปัญหา " ถูกรวบรวมในปี 1900 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเดวิดฮิลแบร์ต รายการนี้มีชื่อเสียงโด่งดังในหมู่นักคณิตศาสตร์ และปัญหาอย่างน้อยเก้าข้อได้รับการแก้ไขแล้ว รายการใหม่ของปัญหาสำคัญเจ็ดข้อที่มีชื่อว่า " ปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษ " ได้รับการตีพิมพ์ในปี 2543 มีเพียงหนึ่งในนั้นเท่านั้นสมมติฐานรีมันน์ ที่ซ้ำกับปัญหาหนึ่งของฮิลเบิร์ต การแก้ปัญหาเหล่านี้มีรางวัล 1 ล้านดอลลาร์ ในปัจจุบัน ปัญหาเหล่านี้เพียงอย่างเดียวคือ การคาดเดาของ Poincaréได้รับการแก้ไขแล้ว

ดูสิ่งนี้ด้วย

หมายเหตุ

อ้างอิง

บรรณานุกรม

Further reading

Library resources about Mathematics

Resources in your library