การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา

ตัวดึงดูดประหลาดที่เกิดจาก สม การอนุพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์เป็นส่วนสำคัญของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่มีการประยุกต์ในด้านวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมมากมาย

การ วิเคราะห์เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับขีดจำกัด และทฤษฎี ที่ เกี่ยวข้อง เช่น การแยกความแตกต่างการรวมการวัดลำดับอนุกรมและฟังก์ชันการวิเคราะห์ [1] [2]

ทฤษฎีเหล่านี้มักจะศึกษาในบริบทของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชัน การวิเคราะห์วิวัฒนาการมาจากแคลคูลัสซึ่งเกี่ยวข้องกับแนวคิดเบื้องต้นและเทคนิคการวิเคราะห์ การวิเคราะห์อาจแตกต่างจากเรขาคณิต อย่างไรก็ตาม สามารถใช้กับพื้นที่ ใดๆ ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีคำจำกัดความของความใกล้เคียง ( ช่องว่างทอพอโลยี ) หรือระยะห่างระหว่างวัตถุ ( ช่องว่างแบบเมตริก ) ได้

ประวัติ

อาร์คิมิดีสใช้วิธีหมดแรงในการคำนวณพื้นที่ภายในวงกลมโดยการหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีด้านมากขึ้นเรื่อยๆ นี่เป็นตัวอย่างเบื้องต้นแต่ไม่เป็นทางการของ ลิ มิตซึ่งเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่สุดในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

โบราณ

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้รับการพัฒนาอย่างเป็นทางการในศตวรรษที่ 17 ระหว่างการปฏิวัติทางวิทยาศาสตร์ [ 3]แต่แนวคิดหลายอย่างสามารถสืบย้อนไปถึงนักคณิตศาสตร์รุ่นก่อนได้ ผลลัพธ์ในการวิเคราะห์ในช่วงแรกปรากฏให้เห็นโดยปริยายในช่วงแรกๆ ของคณิตศาสตร์กรีกโบราณ ตัวอย่างเช่นผลรวมเรขาคณิตอนันต์มีนัยในความขัดแย้งของการแบ่งขั้วของZeno [4]ต่อมานักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเช่น ยู ดอกซั ส และอา ร์คิมิดีส ได้ใช้แนวคิดของลิมิตและการบรรจบกันอย่างชัดเจนมากขึ้น แต่ไม่เป็นทางการ เมื่อพวกเขาใช้วิธีหมดแรงเพื่อคำนวณพื้นที่และปริมาตรของพื้นที่และของแข็ง [5]การใช้อย่างชัดแจ้งอย่างชัดเจนปรากฏในThe Method of Mechanical Theorem ของอาร์คิมิดีส ซึ่งเป็นผลงานที่ค้นพบในศตวรรษที่ 20 [6]ในเอเชียนักคณิตศาสตร์ชาวจีนหลิวฮุ่ยใช้วิธีหมดแรงในศตวรรษที่ 3 เพื่อหาพื้นที่ของวงกลม [7]จากวรรณคดีเชน ปรากฏว่าชาวฮินดูครอบครองสูตรสำหรับผลรวมของอนุกรมเลขคณิตและเรขาคณิตตั้งแต่ช่วงต้นศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสตกาล[8]อคารยา ภัทราฮูใช้ผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตในกัลปสูตรของพระองค์ในปี 433 คริสตศักราช[9] ในวิชาคณิตศาสตร์ของอินเดียมีการค้นพบชุดเลขคณิตโดยปริยายในวรรณคดีเวทในช่วงต้นปี 2000 ปีก่อนคริสตกาล

ยุคกลาง

Zu Chongzhiได้ก่อตั้งวิธีการที่ต่อมาเรียกว่าหลักการของ Cavalieriเพื่อค้นหาปริมาตรของทรงกลมในศตวรรษที่ 5 [10]ในศตวรรษที่ 12 นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย Bhaskara IIได้ยกตัวอย่างอนุพันธ์และใช้สิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทของ Rolle (11)

ในศตวรรษที่ 14 Madhava of Sangamagramaได้พัฒนาการ ขยาย อนุกรมแบบอนันต์ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าTaylor series ของฟังก์ชัน ต่างๆเช่นไซน์โคไซน์แทนเจนต์และ อา ร์แทนเจนต์ [12]ควบคู่ไปกับการพัฒนาอนุกรมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ของเทย์เลอร์ เขายังประเมินขนาดของเงื่อนไขข้อผิดพลาดอันเป็นผลมาจากการตัดทอนอนุกรมเหล่านี้ และให้ค่าประมาณเชิงเหตุผลของอนุกรมอนันต์บางชุด ผู้ติดตามของเขาที่Kerala School of Astronomy and Mathematicsได้ขยายงานของเขาออกไปจนถึงศตวรรษที่ 16

สมัยใหม่

รากฐาน

รากฐานสมัยใหม่ของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ก่อตั้งขึ้นในยุโรปศตวรรษที่ 17 [3]สิ่งนี้เริ่มต้นเมื่อแฟร์มาต์และเดส์ การตส์ พัฒนาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ซึ่งเป็นสารตั้งต้นของแคลคูลัสสมัยใหม่ วิธีความ เท่าเทียมกันของแฟร์มาต์ทำให้เขาสามารถกำหนดจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันและแทนเจนต์ของเส้นโค้งได้ [13]สิ่งพิมพ์ของ Descartes ' La Géométrie ' ในปี ค.ศ. 1637 ซึ่งแนะนำระบบพิกัดคาร์ทีเซียนถือเป็นจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ อีกไม่กี่ทศวรรษต่อมาที่NewtonและLeibnizพัฒนาอย่างอิสระแคลคูลัสจำนวนน้อยซึ่งเติบโตด้วยแรงกระตุ้นของงานประยุกต์ที่ดำเนินต่อไปจนถึงศตวรรษที่ 18 ในหัวข้อการวิเคราะห์ เช่นแคลคูลัสของการแปรผัน สม การอนุพันธ์สามัญและ บางส่วน การวิเคราะห์ฟูริเยร์และการสร้างฟังก์ชัน ในช่วงเวลานี้ เทคนิคแคลคูลัสถูกนำมาใช้ในการประมาณปัญหาที่ไม่ต่อเนื่องโดยวิธีต่อเนื่อง

ความทันสมัย

ในศตวรรษที่ 18 ออยเลอร์แนะนำแนวคิดของ ฟังก์ชัน ทางคณิตศาสตร์ [14]การวิเคราะห์ที่แท้จริงเริ่มปรากฏให้เห็นเป็นหัวข้ออิสระเมื่อเบอร์นาร์ด โบลซาโนแนะนำคำจำกัดความสมัยใหม่ของความต่อเนื่องในปี พ.ศ. 2359 [15]แต่งานของโบลซาโนไม่เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางจนถึงปี พ.ศ. 2413 ในปี ค.ศ. 1821 Cauchyเริ่มวางแคลคูลัสไว้บนพื้นฐานตรรกะที่มั่นคงโดยปฏิเสธหลักการทั่วไปของพีชคณิตที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในงานก่อนหน้านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยออยเลอร์ ในทาง กลับกัน Cauchy ได้กำหนดสูตรแคลคูลัสในแง่ของแนวคิดทางเรขาคณิตและอนันต์ ดังนั้น คำจำกัดความของความต่อเนื่องของเขาจึงจำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในxเพื่อให้สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย ใน y เขายังแนะนำแนวคิดของลำดับ Cauchyและเริ่มทฤษฎีที่เป็นทางการของการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน Poisson , Liouville , Fourierและอื่นๆ ศึกษาสมการอนุพันธ์ย่อยและการวิเคราะห์ฮาร์มอนิการมีส่วนร่วมของนักคณิตศาสตร์เหล่านี้และคนอื่นๆ เช่นWeierstrassได้พัฒนาคำจำกัดความของแนวทางลิมิต (ε, δ)ขึ้น จึงเป็นจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่

ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 รีมันน์ได้แนะนำทฤษฎีการบูรณาการ ของ เขา ในช่วงที่สามของศตวรรษที่ผ่านมาWeierstrass ได้ ใช้การ คำนวณทางคณิตศาสตร์ของการวิเคราะห์ซึ่งคิดว่าการให้เหตุผลเชิงเรขาคณิตทำให้เข้าใจผิดโดยเนื้อแท้ และได้แนะนำ คำจำกัดความ ของ"epsilon-delta" ของ ลิมิต จากนั้น นักคณิตศาสตร์เริ่มกังวลว่ากำลังสมมติความต่อเนื่องของจำนวนจริงโดยไม่มีการพิสูจน์ Dedekindสร้างตัวเลขจริงโดยDedekind cutsซึ่งมีการกำหนดจำนวนอตรรกยะอย่างเป็นทางการ ซึ่งใช้เติม "ช่องว่าง" ระหว่างจำนวนตรรกยะ ดังนั้นจึงสร้างเซตที่สมบูรณ์ : ความต่อเนื่องของจำนวนจริง ซึ่งไซมอน สตีวิน พัฒนาแล้ว ในแง่ของการขยายทศนิยม ในช่วงเวลานั้น ความพยายามที่จะปรับแต่งทฤษฎีบทของการรวมรีมันน์นำไปสู่การศึกษา "ขนาด" ของชุดความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันจริง

นอกจากนี้ " มอนสเตอร์ " ( ไม่มีที่ไหนเลยที่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่ไม่มีที่ไหนเลยเส้นโค้งเติมช่องว่าง ) ก็เริ่มมีการตรวจสอบ ในบริบทนี้จอร์แดนพัฒนาทฤษฎีการวัด ของ เขาคันทอร์พัฒนาสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีเซตไร้เดียงสาและแบร์พิสูจน์ทฤษฎีบทหมวดหมู่แบร์ ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 แคลคูลัสถูกทำให้เป็นทางการโดยใช้ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ Lebesgueแก้ปัญหาการวัดและHilbertแนะนำช่องว่าง Hilbertเพื่อแก้ปัญหาสมการปริพันธ์ แนวคิดเรื่องพื้นที่เวกเตอร์ปกติอยู่ในอากาศ และในปี ค.ศ. 1920 Banachได้สร้างการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

แนวคิดที่สำคัญ

ช่องว่างเมตริก

ในวิชาคณิตศาสตร์ปริภูมิเมตริกคือชุด ที่มีการ กำหนดแนวคิดของระยะทาง (เรียกว่าเมตริก ) ระหว่างองค์ประกอบของเซต

การวิเคราะห์ส่วนใหญ่เกิดขึ้นในพื้นที่เมตริกบางส่วน ที่ใช้บ่อยที่สุดคือเส้นจริงระนาบเชิงซ้อน ปริภูมิ แบบยุคลิด ปริภูมิเวกเตอร์อื่นและจำนวนเต็ม ตัวอย่างของการวิเคราะห์ที่ไม่มีเมตริก ได้แก่ทฤษฎีการวัด (ซึ่งอธิบายขนาดมากกว่าระยะทาง) และการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน (ซึ่งศึกษาพื้นที่เวกเตอร์ทอพอโลยีที่ไม่จำเป็นต้องรับรู้ระยะทาง)

ตามหลักแล้ว ปริภูมิเมตริกคือคู่ลำดับ ที่ไหนเป็นชุดและเป็นตัวชี้วัดบน, กล่าวคือ, ฟังก์ชั่น

เช่นนั้นสำหรับใด ๆถือดังต่อไปนี้:

  1. ถ้าและเท่านั้นถ้า    ( เอกลักษณ์ของสิ่งที่มองไม่เห็น ),
  2.    ( สมมาตร ) และ
  3.    ( อสมการสามเหลี่ยม ).

โดยเอาทรัพย์สินที่ 3 ไปปล่อยก็สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า     ( ไม่เป็นลบ ).

ลำดับและขีดจำกัด

ลำดับคือรายการสั่งซื้อ เช่นเดียวกับชุดมันมีสมาชิก (เรียกอีก อย่างว่า องค์ประกอบหรือเงื่อนไข ) ลำดับมีความสำคัญแตกต่างจากชุดใดชุดหนึ่ง และองค์ประกอบเดียวกันทุกประการสามารถปรากฏได้หลายครั้งในตำแหน่งที่ต่างกันในลำดับ อย่างแม่นยำที่สุด ลำดับสามารถกำหนดเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น ชุดลำดับที่ นับ ได้ ทั้งหมดเช่นจำนวนธรรมชาติ

คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของลำดับคือการบรรจบกัน อย่างไม่เป็นทางการ ลำดับมาบรรจบกันหากมีการจำกัด ต่อเนื่องอย่างไม่เป็นทางการ ลำดับ ( เดียว-อนันต์ ) มีขีด จำกัด ถ้ามันเข้าใกล้บางจุดxเรียกว่าขีด จำกัด เมื่อnกลายเป็นขนาดใหญ่มาก นั่นคือสำหรับลำดับนามธรรม ( n ) (โดยที่n วิ่งจาก 1 ถึงอนันต์เข้าใจ) ระยะห่างระหว่างn และ x เข้าใกล้ 0 เมื่อn → ∞ แสดงไว้

สาขาหลัก

การวิเคราะห์จริง

การวิเคราะห์จริง (ตามเนื้อผ้าทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรจริง ) เป็นสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงและฟังก์ชันมูลค่าจริงของตัวแปรจริง [16] [17]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติการวิเคราะห์ของฟังก์ชันและลำดับจริง รวมถึงการบรรจบกันและขีดจำกัดของลำดับของจำนวนจริงแคลคูลัสของจำนวนจริง และความต่อเนื่องความเรียบและคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องของฟังก์ชันมูลค่าจริง .

การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน

การวิเคราะห์เชิงซ้อนหรือที่รู้จักกันในนามทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนเป็นสาขาของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่ตรวจสอบฟังก์ชันของจำนวนเชิงซ้อน [18]มันมีประโยชน์ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ รวมทั้งเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตทฤษฎีจำนวนคณิตศาสตร์ประยุกต์ ; เช่นเดียวกับในฟิสิกส์รวมทั้งอุทกพลศาสตร์อุณหพลศาสตร์วิศวกรรมเครื่องกล วิศวกรรมไฟฟ้าและโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีสนามควอนตั

การวิเคราะห์เชิงซ้อนเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันการวิเคราะห์ของตัวแปรที่ซับซ้อนเป็นพิเศษ (หรือโดยทั่วไปแล้วฟังก์ชัน เมอโรมอร์ฟิค ) เนื่องจากส่วนจริงและจินตภาพ ที่แยกจากกัน ของฟังก์ชันการวิเคราะห์ใดๆ ต้อง เป็นไปตาม สมการของ Laplace การวิเคราะห์ที่ซับซ้อนจึงใช้ได้กับปัญหาสองมิติในฟิสิกส์อย่างกว้างขวาง

การวิเคราะห์การทำงาน

การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันเป็นสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งแกนกลางนั้นเกิดจากการศึกษาช่องว่างเวกเตอร์ที่มีโครงสร้างที่เกี่ยวข้องกับลิมิตบางประเภท (เช่นผลคูณภายในบรรทัดฐานโท โพ โลยีเป็นต้น) และตัวดำเนินการเชิงเส้น ที่ กระทำต่อช่องว่างเหล่านี้ และเคารพโครงสร้างเหล่านี้ในความหมายที่เหมาะสม [19] [20]รากเหง้าทางประวัติศาสตร์ของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันอยู่ในการศึกษาช่องว่างของฟังก์ชันและการกำหนดคุณสมบัติของการแปลงของฟังก์ชัน เช่น การแปลงฟูริเยร์เป็นการแปลงที่กำหนดต่อเนื่องรวมกัน เป็นหนึ่งเป็นต้น ตัวดำเนินการระหว่างช่องว่างของฟังก์ชัน มุมมองนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการศึกษา สมการ เชิง อนุพันธ์และปริพันธ์

สมการเชิงอนุพันธ์

สม การเชิงอนุพันธ์คือสม การ ทางคณิตศาสตร์ สำหรับ ฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก ของ ตัวแปรหนึ่งตัวหรือหลาย ตัว ที่เกี่ยวข้องกับค่าของฟังก์ชันเองและอนุพันธ์ของคำสั่งต่างๆ [21] [22] [23]สมการเชิงอนุพันธ์มีบทบาทสำคัญในวิศวกรรมฟิสิกส์เศรษฐศาสตร์ชีววิทยาและสาขาวิชาอื่นๆ

สมการเชิงอนุพันธ์เกิดขึ้นในหลาย ๆ ด้านของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อใดก็ตามที่ ความสัมพันธ์ที่ กำหนดขึ้น เอง ซึ่งเกี่ยวข้องกับปริมาณที่แปรผันอย่างต่อเนื่องบางอย่าง (จำลองตามฟังก์ชัน) และอัตราการเปลี่ยนแปลงในอวกาศหรือเวลา (แสดงเป็นอนุพันธ์) เป็นที่รู้จักหรือตั้งสมมติฐาน สิ่งนี้แสดงให้เห็นในกลศาสตร์คลาสสิกโดยที่การเคลื่อนไหวของวัตถุถูกอธิบายโดยตำแหน่งและความเร็วของมันเมื่อค่าเวลาแตกต่างกันไป กฎของนิวตันยอมให้สิ่งหนึ่ง (จากตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่ง และแรงต่างๆ ที่กระทำต่อร่างกาย) แสดงตัวแปรเหล่านี้แบบไดนามิกเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับตำแหน่งที่ไม่รู้จักของร่างกายในรูปของฟังก์ชันของเวลา ในบางกรณี สมการอนุพันธ์นี้ (เรียกว่าสมการการเคลื่อนที่) สามารถแก้ไขได้อย่างชัดเจน

ทฤษฎีการวัด

การวัดในชุดเป็นวิธีที่เป็นระบบในการกำหนดตัวเลขให้กับแต่ละชุดย่อย ที่เหมาะสม ของชุดนั้น โดยจะตีความโดยสัญชาตญาณตามขนาดของชุด [24]ในแง่นี้ การวัดเป็นการสรุปแนวคิดของความยาว พื้นที่ และปริมาตร ตัวอย่างที่สำคัญอย่างยิ่งคือการวัด Lebesgueบนปริภูมิแบบยุคลิดซึ่งกำหนดความยาว พื้นที่ และปริมาตรตามแบบแผนของเรขาคณิตแบบยุคลิดให้กับเซตย่อยที่เหมาะสมของ-มิติอวกาศแบบยุคลิด. ตัวอย่างเช่น การวัด Lebesgue ของช่วงเวลา ในจำนวนจริงคือความยาวในความหมายในชีวิตประจำวันของคำ โดยเฉพาะ 1

ในทางเทคนิค การวัดคือฟังก์ชันที่กำหนดจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบหรือ+∞ให้กับ (บางชุด) ของเซต. ต้องกำหนด 0 ให้กับเซตว่างและเป็นส่วนเสริม ( นับ ได้ ) เพิ่มเติม: การวัดของเซตย่อย 'ใหญ่' ที่สามารถย่อยสลายเป็นจำนวนจำกัด (หรือนับได้) ของชุดย่อยที่ไม่ปะติดปะต่อ 'เล็กกว่า' คือผลรวมของการวัดของ ชุดย่อย "เล็กกว่า" โดยทั่วไป หากต้องการเชื่อมโยงขนาดที่สม่ำเสมอ กับชุดย่อย แต่ละชุดของชุดที่กำหนดในขณะที่ตอบสนองสัจพจน์อื่นๆ ของการวัด เราจะพบเพียงตัวอย่างเล็กน้อย เช่น การ วัด การนับ ปัญหานี้แก้ไขได้ด้วยการกำหนดการวัดเฉพาะในการรวบรวมย่อยของชุดย่อยทั้งหมด ที่เรียกว่า เซตย่อยที่ วัดได้ซึ่งจะต้องสร้าง a- พีชคณิต ซึ่งหมายความว่าสหภาพที่นับได้ทางแยก ที่นับได้ และส่วนเติมเต็มของเซตย่อยที่วัดได้นั้นสามารถวัดได้ ฉากที่ไม่สามารถวัดได้ในพื้นที่แบบยุคลิด ซึ่งการวัด Lebesgue ไม่สามารถกำหนดได้อย่างสม่ำเสมอ จำเป็นต้องซับซ้อนในแง่ของการผสมผสานที่ไม่ดีกับส่วนประกอบ แท้จริงแล้ว การดำรงอยู่ของพวกเขาเป็นผลสืบเนื่องเล็กน้อยจากสัจพจน์ของการเลือก

การวิเคราะห์เชิงตัวเลข

การวิเคราะห์เชิงตัวเลขเป็นการศึกษาอัลกอริธึมที่ใช้การประมาณ เชิงตัวเลข (ตรงข้ามกับการใช้สัญลักษณ์ ทั่วไป ) สำหรับปัญหาของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ [25]

การวิเคราะห์เชิงตัวเลขสมัยใหม่ไม่ได้แสวงหาคำตอบที่แน่ชัด เนื่องจากคำตอบที่ถูกต้องมักจะเป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติ แทนที่จะเป็นเช่นนั้น การวิเคราะห์เชิงตัวเลขส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณโดยที่ยังคงขอบเขตข้อผิดพลาดที่สมเหตุสมผล

การวิเคราะห์เชิงตัวเลขพบการประยุกต์ใช้งานในทุกสาขาของวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์กายภาพ แต่ในศตวรรษที่ 21 วิทยาศาสตร์เพื่อชีวิตและแม้แต่ศิลปะได้นำองค์ประกอบของการคำนวณทางวิทยาศาสตร์มาใช้ สมการอนุพันธ์สามัญปรากฏในกลศาสตร์ท้องฟ้า (ดาวเคราะห์ ดาวฤกษ์ และดาราจักร) พีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขมีความสำคัญต่อการวิเคราะห์ข้อมูล สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มและโซ่มาร์คอฟมีความจำเป็นในการจำลองเซลล์ที่มีชีวิตสำหรับยาและชีววิทยา

การวิเคราะห์เวกเตอร์

การวิเคราะห์เทนเซอร์

หัวข้ออื่นๆ

แอปพลิเคชัน

เทคนิคจากการวิเคราะห์ยังพบในด้านอื่นๆ เช่น

วิทยาศาสตร์กายภาพ

กลศาสตร์ดั้งเดิม , ทฤษฎีสัมพัทธภาพและกลศาสตร์ควอนตัมส่วนใหญ่อิงจากการวิเคราะห์ประยุกต์ และโดยเฉพาะสมการเชิงอนุพันธ์ ตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์ที่สำคัญ ได้แก่กฎข้อที่สองของนิวตัน สม การ โรดิงเง อร์ และสมการสนามไอน์สไตน์

การวิเคราะห์เชิงหน้าที่ยังเป็นปัจจัยสำคัญในกลศาสตร์ควอนตัมอีกด้วย

การประมวลผลสัญญาณ

เมื่อประมวลผลสัญญาณ เช่นเสียงคลื่นวิทยุ คลื่นแสงคลื่นไหวสะเทือนและแม้แต่ภาพ การวิเคราะห์ฟูริเยร์สามารถแยกส่วนประกอบแต่ละส่วนของรูปคลื่นแบบผสม โดยมุ่งเน้นที่การตรวจจับหรือการกำจัดที่ง่ายขึ้น เทคนิคการประมวลผลสัญญาณในตระกูลใหญ่ประกอบด้วยการแปลงฟูริเยร์สัญญาณ การจัดการข้อมูลที่แปลงฟูริเยร์ในวิธีที่ง่าย และการย้อนกลับการแปลง (26)

สาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ

เทคนิคจากการวิเคราะห์ถูกนำมาใช้ในหลายพื้นที่ของคณิตศาสตร์ ได้แก่ :

ดูเพิ่มเติม

อ้างอิง

  1. เอ็ดวิน ฮิววิตต์และคาร์ล สตรอมเบิร์ก "การวิเคราะห์ที่แท้จริงและนามธรรม" สปริงเกอร์-แวร์แล็ก 2508
  2. สติลเวล, จอห์น คอลิน . "วิเคราะห์ | คณิตศาสตร์" . สารานุกรมบริแทนนิกา . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2015-07-26 . สืบค้นเมื่อ2015-07-31 .
  3. a b Jahnke, Hans Niels (2003). ประวัติการวิเคราะห์ สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . หน้า 7. ISBN 978-0-8218-2623-2. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2016-05-17 . สืบค้นเมื่อ2015-11-15 .
  4. สติลเวล, จอห์น คอลิน (2004). "ซีรีส์ไม่มีที่สิ้นสุด". คณิตศาสตร์และประวัติศาสตร์ (ฉบับที่ 2) Springer Science+Business Media Inc. p. 170. ISBN 978-0-387-95336-6. อนุกรมอนันต์มีอยู่ในคณิตศาสตร์กรีก [...] ไม่มีคำถามว่าความขัดแย้งของซีโนของการแบ่งขั้ว (ส่วนที่ 4.1) ตัวอย่างเช่น เกี่ยวข้องกับการสลายตัวของหมายเลข 1 เป็นอนุกรมอนันต์12 + 12 2 + 12 3 + 12 4 + ... และอาร์คิมิดีสพบพื้นที่ของเซกเมนต์พาราโบลา (ข้อ 4.4) โดยพื้นฐานแล้วโดยการรวมอนุกรมอนันต์ 1 + 14 + 14 2 + 14 3 + ... = 43 . ทั้งสองตัวอย่างนี้เป็นกรณีพิเศษของผลลัพธ์ที่เราแสดงเป็นผลรวมของอนุกรมเรขาคณิต
  5. สมิธ, เดวิด ยูจีน (1958) ประวัติคณิตศาสตร์ . สิ่งพิมพ์โดเวอร์ . ISBN 978-0-486-20430-7.
  6. ^ ปินโต เจ. ซูซา (2004). วิธี วิเคราะห์ ทาง คณิตศาสตร์ที่ เล็ก น้อย . สำนักพิมพ์ฮอร์วูด หน้า 8. ISBN 978-1-898563-99-0. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2016-06-11 . สืบค้นเมื่อ2015-11-15 .
  7. ^ ตุน หลิว; ฟาน ไดเนียน; โคเฮน, โรเบิร์ต ซอนเน่ (1966) การเปรียบเทียบการศึกษาวงกลมของอาร์คิมิดีสและหลิวฮุ่ภาษาจีนศึกษาประวัติศาสตร์และปรัชญาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ฉบับที่ 130. สปริงเกอร์. หน้า 279. ISBN 978-0-7923-3463-7. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2016-06-17 . สืบค้นเมื่อ2015-11-15 ., บทที่, น. 279 เก็บถาวร 2016-05-26 ที่เครื่อง Wayback
  8. ^ ซิงห์ AN (1936). "การใช้อนุกรมในวิชาคณิตศาสตร์ฮินดู" . โอซิริส. 1 : 606–628. ดอย : 10.1086/368443 . JSTOR 301627 . S2CID 144760421 .  
  9. ^ KB Basant, Satyananda Panda (2013). "ผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตบรรจบกับแนวคิดของซุนยาที่เข้าถึงได้" (PDF ) วารสารประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์อินเดีย . 48 : 291–313.
  10. ซิล เดนนิส จี.; ไรท์ สก็อตต์; ไรท์, วอร์เรน เอส. (2009). Calculus: Early Transcendentals (ฉบับที่ 3) โจนส์ & บาร์ตเลตต์ การเรียนรู้ หน้า xxvii ISBN 978-0-7637-5995-7. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2019-04-21 . สืบค้นเมื่อ2015-11-15 .
  11. ^ Seal, Sir Brajendranath (1915), "The Positive Sciences of the Ancient Hindus", Nature , 97 (2426): 177, Bibcode : 1916Natur..97..177. , ดอย : 10.1038/097177a0 , hdl : 2027/mdp.39015004845684 , S2CID 3958488 
  12. ^ ราชาโกปาล คอนเนตทิคัต; Rangachari, MS (มิถุนายน 2521) "ในแหล่งคณิตศาสตร์ Keralese ยุคกลางที่ไม่ได้ใช้" ที่เก็บถาวรสำหรับประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ที่แน่นอน 18 (2): 89–102. ดอย : 10.1007/BF00348142 (ไม่ใช้งาน 2022-02-28). {{cite journal}}: CS1 maint: DOI ไม่ทำงาน ณ กุมภาพันธ์ 2022 ( ลิงก์ )
  13. เปลเลกรีโน, ดาน่า. "ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ2008-10-12 ดึงข้อมูลเมื่อ2008-02-24 .
  14. ดันแฮม, วิลเลียม (1999). ออยเลอร์: ปรมาจารย์ของพวกเราทุกคน สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา หน้า 17 .
  15. ^ *คุก, โรเจอร์ (1997). "เหนือแคลคูลัส" . ประวัติคณิตศาสตร์: หลักสูตรสั้น . Wiley-Interscience. หน้า 379 . ISBN 978-0-471-18082-1. การวิเคราะห์ที่แท้จริงเริ่มเติบโตเป็นวิชาอิสระด้วยการแนะนำคำจำกัดความสมัยใหม่ของความต่อเนื่องในปี พ.ศ. 2359 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเช็ก เบอร์นาร์ด โบลซาโน (ค.ศ. 1781–1848)
  16. ^ รูดิน, วอลเตอร์ (1976). หลัก การ วิเคราะห์ ทาง คณิตศาสตร์ . Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (ฉบับที่ 3) แมคกรอว์–ฮิลล์ ISBN 978-0-07-054235-8.
  17. ^ แอ๊บบอต, สตีเฟน (2001). ทำความเข้าใจ วิเคราะห์ . ตำราระดับปริญญาตรีในวิชาคณิตศาสตร์ นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-แวร์แล็ก. ISBN 978-0-387-95060-0.
  18. อาห์ลฟอร์ส, ลาร์ส วาเลอเรียน (1979). การ วิเคราะห์ที่ซับซ้อน (ฉบับที่ 3) นิวยอร์ก สหรัฐอเมริกา: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-000657-7.
  19. ^ รูดิน, วอลเตอร์ (1991). การ วิเคราะห์การทำงาน แมคกรอว์-ฮิล ไซแอนซ์. ISBN 978-0-07-054236-5.
  20. คอนเวย์, จอห์น ไบลห์ (1994). หลักสูตรการวิเคราะห์การทำงาน (ฉบับที่ 2) สปริงเกอร์-แวร์แล็ก. ISBN 978-0-387-97245-9. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2020-09-09 . สืบค้นเมื่อ2016-02-11 .
  21. ^ อินซ์ เอ็ดเวิร์ด แอล. (1956) สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ . สิ่งพิมพ์โดเวอร์. ISBN 978-0-486-60349-0.
  22. Witold Hurewicz , Lectures on Ordinary Differential Equations , Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8 
  23. อีแวนส์, ลอว์เรนซ์ เครก (1998). สมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน . พรอวิเดนซ์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . ISBN 978-0-8218-0772-9.
  24. ^ เต๋า, เทอเรนซ์ (2011). บทนำสู่ทฤษฎีการวัด สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน ISBN 978-0-8218-6919-2. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2019-12-27 . สืบค้นเมื่อ2018-10-26 .
  25. ฮิลเดอบรันด์, ฟรานซิส บี. (1974). บทนำสู่การวิเคราะห์เชิงตัวเลข (ฉบับที่ 2) แมคกรอว์-ฮิลล์. ISBN 978-0-07-028761-7.
  26. ^ ราบินเนอร์ แอลอาร์; โกลด์, บี. (1975). ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้การประมวลผลสัญญาณดิจิตอล หน้าผาแองเกิลวูด รัฐนิวเจอร์ซีย์ สหรัฐอเมริกา: Prentice -Hall ISBN 978-0-13-914101-0.

อ่านเพิ่มเติม

ลิงค์ภายนอก