ลอการิทึม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา

พล็อตของฟังก์ชันลอการิทึม โดยมีสามฐานที่ใช้กันทั่วไป จุดพิเศษเข้าสู่ระบบ = 1จะแสดงโดยเส้นประและเส้นโค้งทั้งหมดตัดกันในบันทึก  1 = 0

ในคณิตศาสตร์ที่ลอการิทึมเป็นฟังก์ชันผกผันการยกกำลังนั่นหมายความว่าลอการิทึมของจำนวนที่กำหนด  xเป็นสัญลักษณ์ที่อีกจำนวนคงที่ฐานจะต้องได้รับการเลี้ยงดูในการผลิตว่าจำนวน  xในกรณีที่ง่ายที่สุด ลอการิทึมจะนับจำนวนการเกิดขึ้นของปัจจัยเดียวกันในการคูณซ้ำ เช่นตั้งแต่1000 = 10 × 10 × 10 = 10 3ที่ "ฐานลอการิทึม 10" 1000 คือ 3 หรือเข้าสู่ระบบ10  (1000) = 3 ลอการิทึมของxถึงฐานb  จะแสดงเป็นบันทึก  ( x ) , หรือไม่มีวงเล็บบันทึก xหรือแม้จะไม่มีฐานที่ชัดเจนล็อก  xเมื่อเกิดความสับสนไม่เป็นไปได้หรือเมื่อฐานไม่ได้เรื่องเช่นในโน้ต O ใหญ่

ฐานลอการิทึม10 (นั่นคือb = 10 ) เรียกว่าทศนิยมหรือลอการิทึมทั่วไปและมักใช้ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมลอการิทึมธรรมชาติมีจำนวน  อี (นั่นคือ ≈ 2.718 ) เป็นฐานของตน การใช้งานเป็นที่แพร่หลายในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เพราะง่ายของหนึ่งและอนุพันธ์ ไบนารีลอการิทึมใช้ฐาน2 (นั่นคือ = 2 ) และมีการใช้บ่อยในวิทยาการคอมพิวเตอร์

ลอการิทึมถูกนำมาใช้โดยJohn Napierในปี 1614 เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น [1]พวกมันถูกนำมาใช้อย่างรวดเร็วโดยนักเดินเรือ นักวิทยาศาสตร์ วิศวกร นักสำรวจ และอื่นๆ เพื่อดำเนินการคำนวณที่มีความแม่นยำสูงได้ง่ายขึ้น การใช้ตารางลอการิทึมขั้นตอนการคูณหลายหลักที่น่าเบื่อสามารถแทนที่ด้วยการค้นหาตารางและการบวกที่ง่ายขึ้น สิ่งนี้เป็นไปได้เนื่องจากข้อเท็จจริง—สำคัญในตัวของมันเอง—ที่ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เป็นผลรวมของลอการิทึมของตัวประกอบ:

โดยมีเงื่อนไขว่าb , xและyเป็นค่าบวกและb ≠ 1ทั้งหมดกฎสไลด์ยังขึ้นอยู่กับลอการิทึมช่วยให้การคำนวณอย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องตาราง แต่ในความแม่นยำต่ำ แนวคิดลอการิทึมในปัจจุบันมาจากLeonhard Eulerซึ่งเชื่อมโยงมันเข้ากับฟังก์ชันเลขชี้กำลังในศตวรรษที่ 18 และยังแนะนำตัวอักษรeเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติด้วย[2]

สเกลลอการิทึมช่วยลดปริมาณที่หลากหลายให้มีขนาดเล็กลง ตัวอย่างเช่นเดซิเบล (dB) เป็นหน่วยที่ใช้แสดงอัตราส่วนเป็นลอการิทึมส่วนใหญ่ใช้สำหรับกำลังสัญญาณและแอมพลิจูด (ซึ่งความดันเสียงเป็นตัวอย่างทั่วไป) ในวิชาเคมี, พีเอชเป็นตัวชี้วัดลอการิทึมสำหรับความเป็นกรดของสารละลายลอการิทึมเป็นเรื่องธรรมดาในสูตรทางวิทยาศาสตร์และในการวัดความซับซ้อนของอัลกอริธึมและวัตถุทางเรขาคณิตที่เรียกว่าแฟร็กทัล ช่วยอธิบายอัตราส่วนความถี่ของช่วงดนตรีปรากฏในสูตรการนับจำนวนเฉพาะหรือการประมาณ แฟกทอเรียลแจ้งแบบจำลองทางจิตวิทยาบางรูปแบบและสามารถช่วยในการบัญชีทางนิติเวชได้

แนวคิดของลอการิทึมที่เป็นผกผันของการยกกำลังขยายไปถึงโครงสร้างทางคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่นกัน อย่างไรก็ตาม ในการตั้งค่าทั่วไป ลอการิทึมมีแนวโน้มที่จะเป็นฟังก์ชันที่มีหลายค่า ตัวอย่างเช่นลอการิทึมเชิงซ้อนเป็นตัวผกผันที่มีหลายค่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ในทำนองเดียวกันลอการิทึมที่ไม่ต่อเนื่องเป็นค่าผกผันที่มีหลายค่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในกลุ่มจำกัด มันมีการใช้ในการเข้ารหัสคีย์สาธารณะ

แรงจูงใจ

Graph showing a logarithmic curve, crossing the x-axis at x= 1 and approaching minus infinity along the y-axis.
กราฟของฐานลอการิทึม 2 ข้ามxแกนที่x = 1และผ่านจุด(2, 1) , (4, 2)และ(8, 3)ภาพวาดเช่นเข้าสู่ระบบ2 (8) = 3และ2 3 = 8 . กราฟได้รับโดยพลใกล้กับYแกน แต่ไม่เป็นไปตามมัน

นอกจากนี้ , การคูณและการยกกำลังสามของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานที่สุด ผกผันของการบวกเป็นลบและผกผันของการคูณเป็นส่วน ในทำนองเดียวกันลอการิทึมคือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง ยกกำลังคือเมื่อจำนวนที่ฐานถูกยกให้เป็นพลังงานบางปีที่ตัวแทนสำหรับการให้ค่าx ; สิ่งนี้แสดงว่า

ตัวอย่างเช่น การเพิ่ม2ยกกำลัง3ให้8 :

ลอการิทึมฐานคือการดำเนินการผกผันที่ให้การส่งออกปีจากการป้อนข้อมูลx นั่นคือ, เทียบเท่ากับ ถ้าเป็นบวกจำนวนจริง (ถ้าbไม่ใช่จำนวนจริงบวก ทั้งการยกกำลังและลอการิทึมสามารถกำหนดได้ แต่อาจใช้ค่าหลายค่า ซึ่งทำให้คำจำกัดความซับซ้อนมากขึ้น)

หนึ่งในแรงจูงใจหลักทางประวัติศาสตร์ของการแนะนำลอการิทึมคือสูตร

ซึ่งได้รับอนุญาต (ก่อนการประดิษฐ์ของคอมพิวเตอร์) การคำนวณการลดการคูณและหน่วยงานที่จะเพิ่มการ subtractions และตารางลอการิทึมมอง

คำจำกัดความ

ลอการิทึมของจำนวนจริงบวกxที่เกี่ยวกับฐาน  [nb 1]เป็นตัวแทนโดยที่จะต้องยกอัตราผลตอบแทนx กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลอการิทึมของxถึงฐาน  bเป็นจำนวนจริงเฉพาะ  yเช่นนั้น. [3]

ลอการิทึมเขียนแทนว่า " log b x " (ออกเสียงว่า "ลอการิทึมของxถึงฐาน  b ", " ลอการิทึมฐานbของx " หรือโดยทั่วไปแล้ว "ล็อก ฐาน  bของx ")

คำจำกัดความที่กระชับและเทียบเท่ากันคือฟังก์ชันlog bเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน.

ตัวอย่าง

  • เข้าสู่ระบบ2  16 = 4ตั้งแต่2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
  • ลอการิทึมสามารถเป็นค่าลบได้เช่นกัน: ตั้งแต่
  • บันทึก10  150จะอยู่ที่ประมาณ 2.176 ซึ่งอยู่ระหว่าง 2 และ 3 เช่นเดียวกับ 150 อยู่ระหว่าง10 2 = 100และ10 3 = 1000
  • สำหรับฐานใด  , เข้าสู่ระบบ = 1และเข้าสู่ระบบ  1 = 0เนื่องจาก1 = BและB 0 = 1ตามลำดับ

เอกลักษณ์ลอการิทึม

สูตรสำคัญหลายสูตร ซึ่งบางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์ลอการิทึมหรือกฎลอการิทึม เชื่อมโยงลอการิทึมเข้าด้วยกัน [4]

ผลิตภัณฑ์ ผลหาร กำลัง และรูท

ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เป็นผลรวมของลอการิทึมของตัวเลขที่กำลังคูณ ลอการิทึมของอัตราส่วนของตัวเลขสองตัวคือผลต่างของลอการิทึม ลอการิทึมของกำลังp -th ของตัวเลขคือp คูณลอการิทึมของตัวเลขนั้นเอง ลอการิทึมของที่Pราก -th เป็นลอการิทึมของจำนวนที่หารด้วยP ตารางต่อไปนี้แสดงรายการข้อมูลประจำตัวเหล่านี้พร้อมตัวอย่าง เอกลักษณ์แต่ละตัวสามารถได้มาจากการแทนที่คำจำกัดความลอการิทึม หรือ ทางด้านซ้ายมือ

สูตร ตัวอย่าง
ผลิตภัณฑ์
ผลหาร
พลัง
ราก

เปลี่ยนฐาน

ลอการิทึมล็อกb xสามารถคำนวณได้จากลอการิทึมของxและbเทียบกับฐานที่กำหนด  kโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ที่มาของปัจจัยการแปลงระหว่างลอการิทึมของฐานโดยพลการ

Starting from the defining identity

we can apply logk to both sides of this equation, to get

.

Solving for yields:

,

showing the conversion factor from given -values to their corresponding -values to be

โดยทั่วไปเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์คำนวณลอการิทึมฐาน 10 และอี [5]ลอการิทึมเทียบกับฐานbใดๆ  สามารถหาได้โดยใช้ลอการิทึมสองตัวนี้โดยสูตรก่อนหน้านี้:

กำหนดจำนวนxและลอการิทึมy = log b xให้กับฐานที่ไม่รู้จัก  b , ฐานถูกกำหนดโดย:

ซึ่งสามารถเห็นได้จากการหาสมการที่กำหนด สู่อำนาจของ

ฐานเฉพาะ

พล็อตลอการิทึมสำหรับฐาน 0.5, 2 และe

ในบรรดาตัวเลือกทั้งหมดสำหรับฐาน มีสามแบบที่พบได้ทั่วไป เหล่านี้คือb = 10 , b = e ( ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ลงตัว ≈ 2.71828) และb = 2 ( ลอการิทึมไบนารี ) ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ฐานลอการิทึมeแพร่หลายเนื่องจากคุณสมบัติการวิเคราะห์ที่อธิบายด้านล่าง ในทางกลับกันลอการิทึมฐาน 10นั้นใช้งานง่ายสำหรับการคำนวณด้วยตนเองในระบบเลขฐานสิบ : [6]

ดังนั้นการเข้าสู่ระบบ10  ( x )ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนตัวเลขทศนิยมของจำนวนเต็มบวกx : จำนวนของตัวเลขที่มีขนาดเล็กที่สุดจำนวนเต็มอย่างเคร่งครัดใหญ่กว่าล็อก10  ( x ) [7]ตัวอย่างเช่นบันทึก10 (1430)มีค่าประมาณ 3.15 จำนวนเต็มถัดไปคือ 4 ซึ่งเป็นจำนวนหลักของ 1430 ทั้งลอการิทึมธรรมชาติและลอการิทึมถึงฐานสองถูกใช้ในทฤษฎีสารสนเทศซึ่งสอดคล้องกับการใช้natหรือbitsเป็นหน่วยพื้นฐานของข้อมูลตามลำดับ [8]ลอการิทึมไบนารียังใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ซึ่งระบบเลขฐานสองมีอยู่ทั่วไปทุกหนทุกแห่ง ในทฤษฎีดนตรีโดยที่อัตราส่วนพิทช์ของสอง ( อ็อกเทฟ ) มีอยู่ทั่วไป และจำนวนเซ็นต์ระหว่างสองพิทช์ใดๆ คือลอการิทึมเลขฐานสอง คูณ 1200 ของอัตราส่วน (นั่นคือ 100 เซ็นต์ต่อเซมิโทนที่มีอารมณ์เท่ากัน ); และในการถ่ายภาพในการวัดค่าการเปิดรับแสง , ระดับแสง , การเปิดโปงครั้ง , รูรับแสงและความเร็วในภาพยนตร์ใน "หยุด"[9]

ตารางต่อไปนี้แสดงรายการสัญลักษณ์ทั่วไปสำหรับลอการิทึมของฐานเหล่านี้และฟิลด์ที่ใช้ หลายสาขาวิชาเขียนlog  xแทนlog b xเมื่อฐานที่ตั้งใจไว้สามารถกำหนดได้จากบริบท สัญกรณ์bบันทึก  xก็เกิดขึ้นเช่นกัน[10]คอลัมน์ "สัญกรณ์ ISO" แสดงรายการการกำหนดที่แนะนำโดยองค์การระหว่างประเทศเพื่อการมาตรฐาน ( ISO 80000-2 ) [11]เนื่องจากบันทึกสัญกรณ์xถูกใช้สำหรับฐานทั้งสามแล้ว (หรือเมื่อฐานไม่แน่นอนหรือไม่มีสาระสำคัญ) ฐานที่ตั้งใจมักจะต้องอนุมานตามบริบทหรือระเบียบวินัย ในวิทยาการคอมพิวเตอร์บันทึกมักจะหมายถึงการเข้าสู่ระบบ2และในวิชาคณิตศาสตร์เข้าสู่ระบบมักจะหมายถึงการเข้าสู่ระบบอิเล็กทรอนิกส์ [12]ในบริบทอื่น ๆเข้าสู่ระบบมักจะหมายถึงการเข้าสู่ระบบ 10 [13]

ฐาน ชื่อบันทึกb x สัญกรณ์ ISO สัญลักษณ์อื่นๆ ใช้ใน
2 ลอการิทึมไบนารี ปอนด์x [14] ld x , บันทึกx , lg x , [15] บันทึก2 x วิทยาการคอมพิวเตอร์ , ทฤษฎีสารสนเทศ , รส , ทฤษฎีดนตรี , การถ่ายภาพ
อี ลอการิทึมธรรมชาติ ln x [nb 2] log x
(ในทางคณิตศาสตร์[19]และภาษาโปรแกรมอีกมากมาย[nb 3] ), log e x
คณิตศาสตร์ฟิสิกส์, เคมี,
สถิติ , เศรษฐศาสตร์ , ทฤษฎีสารสนเทศและวิศวกรรม
10 ลอการิทึมทั่วไป lg x บันทึกx , บันทึก10 x
(ในสาขาวิศวกรรม ชีววิทยา ดาราศาสตร์)
ต่างๆวิศวกรรมสาขา (ดูเดซิเบลและดูด้านล่าง)
ลอการิทึมตาราง , มือถือเครื่องคิดเลข , สเปกโทรสโก
ลอการิทึมถึงฐานb ล็อกb x คณิตศาสตร์

ประวัติ

ประวัติศาสตร์ของลอการิทึมในศตวรรษที่สิบเจ็ดยุโรปคือการค้นพบของใหม่ฟังก์ชั่นที่ขยายขอบเขตของการวิเคราะห์เกินขอบเขตของวิธีการเกี่ยวกับพีชคณิต วิธีการของลอการิทึมได้รับการเสนอโดยJohn Napierในปี 1614 ในหนังสือชื่อMirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Description of the Wonderful Rule of Logarithms ) [20] [21]ก่อนการประดิษฐ์ของ Napier มีเทคนิคอื่นๆ ของขอบเขตที่คล้ายคลึงกัน เช่นprosthaphaeresisหรือการใช้ตารางแสดงความก้าวหน้า ซึ่งJost Bürgiพัฒนาอย่างกว้างขวางเมื่อราวปี ค.ศ. 1600 [22] [23]Napier เป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่าลอการิทึมในภาษาละตินกลางว่า “ลอการิทึม” มาจากภาษากรีกที่มีความหมายตามตัวอักษรว่า “อัตราส่วน-จำนวน” จากโลโก้ “สัดส่วน อัตราส่วน คำ” + เลขคณิต “ตัวเลข”

ลอการิทึมทั่วไปของตัวเลขดัชนีของการใช้พลังงานในสิบที่เท่ากับจำนวนที่[24]การพูดของตัวเลขที่ต้องการตัวเลขจำนวนมากนั้นเป็นการพาดพิงคร่าวๆ กับลอการิทึมร่วม และอาร์คิมิดีสเรียกว่าเป็น "ลำดับของตัวเลข" [25]ลอการิทึมจริงชุดแรกเป็นวิธีฮิวริสติกเพื่อเปลี่ยนการคูณเป็นการบวก ซึ่งช่วยให้คำนวณได้อย่างรวดเร็ว วิธีการเหล่านี้บางวิธีใช้ตารางที่ได้มาจากข้อมูลประจำตัวเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติ[26]วิธีการดังกล่าวจะเรียกว่าprosthaphaeresis

การประดิษฐ์ฟังก์ชันที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อลอการิทึมธรรมชาติเริ่มต้นขึ้นจากความพยายามที่จะสร้างการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของไฮเพอร์โบลาสี่เหลี่ยมโดยGrégoire de Saint-Vincentคณะเยซูอิตชาวเบลเยียมที่อาศัยอยู่ในกรุงปราก อาร์คิมิดีสได้เขียนThe Quadrature of the Parabolaในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตกาล แต่การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสสำหรับไฮเพอร์โบลาได้หลบเลี่ยงความพยายามทั้งหมด จนกระทั่งแซงต์-วินเซนต์ตีพิมพ์ผลงานของเขาในปี ค.ศ. 1647 ความสัมพันธ์ที่ลอการิทึมมีให้ระหว่างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในการโต้แย้งและความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของค่านิยมแจ้งAA de Sarasaเพื่อสร้างการเชื่อมต่อของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของ Saint-Vincent และประเพณีของลอการิทึมในต่อมไร้ท่อนำไปสู่คำว่า "ลอการิทึมไฮเปอร์โบลิก" ซึ่งเป็นคำพ้องความหมายสำหรับลอการิทึมธรรมชาติ เร็ว ๆ นี้ฟังก์ชั่นใหม่ที่ได้รับการชื่นชมจากChristiaan Huygensและเจมส์เกรกอรี่ สัญกรณ์ Log y ถูกนำมาใช้โดยLeibnizในปี 1675 [27]และในปีหน้าเขาได้เชื่อมต่อกับอินทิกรัล

ก่อนที่ออยเลอร์จะพัฒนาแนวคิดสมัยใหม่เกี่ยวกับลอการิทึมธรรมชาติที่ซับซ้อนRoger Cotesมีผลเกือบเทียบเท่าเมื่อเขาแสดงให้เห็นในปี 1714 ว่า[28]

.

ตารางลอการิทึม กฎสไลด์ และแอปพลิเคชันในอดีต

สารานุกรมบริแทนนิกาค.ศ. 1797 คำอธิบายของลอการิทึม

โดยลดความซับซ้อนการคำนวณยากก่อนที่เครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์กลายเป็นใช้ได้, ลอการิทึมส่วนร่วมกับความก้าวหน้าของวิทยาศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งดาราศาสตร์ พวกเขามีความสำคัญต่อความก้าวหน้าในการสำรวจ , สวรรค์เดินเรือและโดเมนอื่น ๆ Pierre-Simon Laplaceเรียกว่าลอการิทึม

"... [เป็น] สิ่งประดิษฐ์ที่น่าชื่นชมซึ่งโดยการลดแรงงานเป็นเวลาหลายเดือนให้เหลือสองสามวันทำให้อายุขัยของนักดาราศาสตร์เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าและช่วยให้เขาได้รับข้อผิดพลาดและความขยะแขยงซึ่งแยกจากการคำนวณที่ยาวนานไม่ได้" [29]

ในฐานะที่เป็นฟังก์ชั่นF ( x ) = B xเป็นฟังก์ชันผกผันของบันทึก xจะได้รับการเรียกว่าantilogarithm [30]ปัจจุบันฟังก์ชั่นนี้จะมากกว่าปกติที่เรียกว่าฟังก์ชั่นการชี้แจง

ตารางบันทึก

เครื่องมือที่สำคัญที่เปิดใช้งานการใช้งานจริงของลอการิทึมเป็นตารางของลอการิทึม [31]ตารางดังกล่าวเป็นครั้งแรกที่รวบรวมโดยHenry Briggsในปี 1617 ทันทีหลังจากการประดิษฐ์ของ Napier แต่ด้วยนวัตกรรมการใช้ 10 เป็นฐาน ตารางแรกของ Briggs มีลอการิทึมร่วมของจำนวนเต็มทั้งหมดในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 1,000 โดยมีความแม่นยำ 14 หลัก ต่อมาได้เขียนตารางที่มีขอบเขตเพิ่มขึ้น ตารางเหล่านี้แสดงรายการค่าของบันทึก10 x สำหรับจำนวนใด ๆ  xในบางช่วง ในระดับที่แน่นอน ลอการิทึมฐาน 10 ถูกใช้อย่างแพร่หลายในการคำนวณ ดังนั้นชื่อลอการิทึมทั่วไป เนื่องจากตัวเลขที่แตกต่างกันด้วยปัจจัย 10 มีลอการิทึมที่ต่างกันด้วยจำนวนเต็ม ลอการิทึมทั่วไปของxสามารถแยกออกเป็นส่วนจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นเศษส่วนที่รู้จักกันในลักษณะและmantissa ตารางลอการิทึมจำเป็นต้องรวม mantissa เท่านั้น เนื่องจากคุณสมบัติสามารถกำหนดได้ง่ายโดยการนับตัวเลขจากจุดทศนิยม [32]คุณลักษณะของ10 · xเป็นหนึ่งบวกคุณลักษณะของxและตั๊กแตนตำข้าวของพวกมันเหมือนกัน ดังนั้นเมื่อใช้ตารางล็อกสามหลัก ลอการิทึมของ 3542 จะถูกประมาณโดย

สามารถรับความแม่นยำได้มากขึ้นโดยการแก้ไข :

ค่า10 xสามารถกำหนดได้โดยการค้นหาแบบย้อนกลับในตารางเดียวกัน เนื่องจากลอการิทึมเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิก

การคำนวณ

ผลคูณและผลหารของจำนวนบวกสองตัวcและdถูกคำนวณเป็นประจำเป็นผลรวมและผลต่างของลอการิทึมของพวกมัน ผลิตภัณฑ์  cdหรือผลหาร  c / dมาจากการค้นหาแอนติลอการิทึมของผลรวมหรือผลต่าง ผ่านตารางเดียวกัน:

และ

คู่มือสำหรับการคำนวณที่ต้องการความแม่นยำเห็นใด ๆ การดำเนินการค้นหาของทั้งสองลอการิทึมคำนวณผลรวมหรือความแตกต่างของพวกเขาและมองขึ้นไป antilogarithm คือเร็วกว่าการดำเนินการคูณโดยวิธีการก่อนหน้านี้เช่นprosthaphaeresisซึ่งอาศัยอัตลักษณ์ตรีโกณมิติ

การคำนวณกำลังและรากจะลดลงเป็นการคูณหรือหารและค้นหาโดย

และ

การคำนวณตรีโกณมิติอำนวยความสะดวกจากตารางที่มีอยู่ร่วมกันของลอการิทึมฟังก์ชันตรีโกณมิติ

กฏของสไลด์

แอปพลิเคชันที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือกฎสไลด์ซึ่งเป็นเครื่องชั่งที่มีการแบ่งลอการิทึมคู่หนึ่งที่ใช้สำหรับการคำนวณ มาตราส่วนลอการิทึมแบบไม่เลื่อนกฎของ Gunterถูกประดิษฐ์ขึ้นไม่นานหลังจากการประดิษฐ์ของ Napier William Oughtredปรับปรุงมันเพื่อสร้างกฎของสไลด์—สเกลลอการิทึมคู่หนึ่งที่สามารถเคลื่อนย้ายได้ด้วยความเคารพซึ่งกันและกัน ตัวเลขจะถูกวางบนเครื่องชั่งแบบเลื่อนที่ระยะทางตามสัดส่วนกับความแตกต่างระหว่างลอการิทึมของพวกมัน การเลื่อนมาตราส่วนด้านบนให้เหมาะสมจะเท่ากับการเพิ่มลอการิทึมเชิงกลไก ดังที่แสดงไว้ที่นี่:

A slide rule: two rectangles with logarithmically ticked axes, arrangement to add the distance from 1 to 2 to the distance from 1 to 3, indicating the product 6.
การแสดงแผนผังของกฎสไลด์ เริ่มต้นที่ 2 ในระดับที่ต่ำกว่าการเพิ่มระยะทางที่ 3 ในระดับบนในการเข้าถึงสินค้า 6. กฎสไลด์งานเพราะมันมีการทำเครื่องหมายดังกล่าวว่าระยะทางจาก 1 ถึงxเป็นสัดส่วนกับลอการิทึมของx

ตัวอย่างเช่น การเพิ่มระยะทางจาก 1 เป็น 2 ในระดับล่างไปจนถึงระยะทางจาก 1 ถึง 3 ในระดับบนจะได้ผลลัพธ์เป็น 6 ซึ่งอ่านค่าที่ส่วนล่าง กฎสไลด์เป็นเครื่องมือคำนวณที่จำเป็นสำหรับวิศวกรและนักวิทยาศาสตร์จนถึงปี 1970 เนื่องจากช่วยให้คำนวณได้เร็วกว่าเทคนิคที่ใช้ตาราง [33]

คุณสมบัติการวิเคราะห์

การศึกษาลึกของลอการิทึมต้องใช้แนวคิดของการที่ฟังก์ชั่น ฟังก์ชันคือกฎที่กำหนดหมายเลขหนึ่ง ให้สร้างอีกจำนวนหนึ่ง [34]ตัวอย่างคือฟังก์ชันที่สร้างกำลังx -th ของbจากจำนวนจริงใดๆ  xโดยที่ฐาน  bเป็นจำนวนคงที่ ฟังก์ชั่นนี้จะเขียนเป็นF ( x ) = B x เมื่อbเป็นค่าบวกและไม่เท่ากับ 1 เราจะแสดงด้านล่างว่าfสามารถกลับด้านได้เมื่อพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันจากจำนวนจริงถึงจำนวนจริงที่เป็นบวก

ความเป็นอยู่

ขอเป็นจำนวนจริงบวกไม่เท่ากับ 1 และให้F ( x ) = B x

เป็นผลลัพธ์มาตรฐานในการวิเคราะห์จริงว่าฟังก์ชันโมโนโทนิกแบบต่อเนื่องใดๆ ก็ตามที่แยกจากกันระหว่างโดเมนและพิสัย ความจริงเรื่องนี้ต่อไปนี้จากทฤษฎีบทค่ากลาง [35]ตอนนี้fกำลังเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด (สำหรับb > 1 ) หรือลดลงอย่างเคร่งครัด (สำหรับ0 < b < 1 ) [36]ต่อเนื่องมีโดเมนและมีช่วง . ดังนั้นfเป็น bijection จาก ถึง . กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับแต่ละจำนวนจริงบวกyจะมีจำนวนจริงxหนึ่งจำนวนดังนั้น.

เราปล่อยให้ แสดงผกผันของ นั่นคือlog b yเป็นจำนวนจริงเฉพาะxดังนั้น. ฟังก์ชั่นนี้เรียกว่า base- ฟังก์ชันลอการิทึมหรือฟังก์ชั่นลอการิทึม (หรือเพียงแค่ลอการิทึม )

จำแนกตามสูตรผลิตภัณฑ์

บันทึกฟังก์ชันb xยังสามารถกำหนดลักษณะโดยพื้นฐานได้ด้วยสูตรผลิตภัณฑ์

อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น ลอการิทึมของฐานb > 1เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น เพียงอย่างเดียวfจากจำนวนจริงที่เป็นบวกไปจนถึงจำนวนจริงที่น่าพอใจf ( b ) = 1และ[37]

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

The graphs of two functions.
กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมlog b  ( x ) (สีน้ำเงิน) ได้มาจากการสะท้อนกราฟของฟังก์ชันb x (สีแดง) ที่เส้นทแยงมุม ( x = y )

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้นบันทึกฟังก์ชันbคือค่าผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง. ดังนั้นกราฟของพวกมันจะสัมพันธ์กันเมื่อมีการแลกเปลี่ยนพิกัดx - และy - (หรือเมื่อสะท้อนที่เส้นทแยงมุมx = y ) ดังที่แสดงทางด้านขวา: จุด( t , u = b t )บนกราฟ ของfให้จุด( u , t = log b u )บนกราฟของลอการิทึมและในทางกลับกัน เป็นผลให้log b  ( x ) แยกออกเป็นอนันต์(มากกว่าจำนวนใดๆ ที่ระบุ) ถ้าxเติบโตจนเป็นอนันต์ โดยที่bมีค่ามากกว่าหนึ่ง ในกรณีที่บันทึก ( x ) เป็นฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น สำหรับb < 1 , log b  ( x )มีแนวโน้มที่จะลบอนันต์แทน เมื่อxเข้าใกล้ศูนย์บันทึกb xไปที่ลบอนันต์สำหรับb > 1 (บวกอินฟินิตี้สำหรับb < 1ตามลำดับ)

อนุพันธ์และแอนติเดริเวทีฟ

A graph of the logarithm function and a line touching it in one point.
กราฟของลอการิทึมธรรมชาติ (สีเขียว) และแทนเจนต์ที่x = 1.5 (สีดำ)

คุณสมบัติการวิเคราะห์ของฟังก์ชันส่งผ่านไปยังผกผัน[35]ดังนั้น เมื่อf ( x ) = b xเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้log b y ก็เช่นกัน โดยทั่วไป ฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถหาอนุพันธ์ได้หากกราฟไม่มี "มุม" ที่แหลมคม นอกจากนี้ยังเป็นอนุพันธ์ของF ( x )ประเมินLN ( ) xโดยคุณสมบัติของฟังก์ชั่นการชี้แจงที่กฎลูกโซ่หมายถึงว่าที่มาของบันทึก xมอบให้โดย[36] [38]

นั่นคือความลาดชันของเส้นสัมผัสสัมผัสกราฟของbase- ลอการิทึมที่จุด( x , บันทึก  ( x ))เท่ากับ1 / ( x  LN ( ))

อนุพันธ์ของln( x )คือ1/ x ; นี้หมายความว่าLN ( x )เป็นที่ไม่ซ้ำกันปฏิยานุพันธ์ของ1 / xที่มีค่าเป็น 0 สำหรับx = 1 เป็นสูตรง่ายๆ ที่กระตุ้นให้มีคุณสมบัติเป็นลอการิทึมธรรมชาติ "ธรรมชาติ" นี้ยังเป็นหนึ่งในสาเหตุหลักของความสำคัญของการที่คงที่ อีเมล์

อนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันทั่วไปf ( x ) is

เชาวน์ที่ด้านขวามือที่เรียกว่าอนุพันธ์ลอการิทึมของ คอมพิวเตอร์F' ( x )โดยใช้วิธีการที่มาของLN ( F ( x ))เป็นที่รู้จักกันเป็นความแตกต่างของลอการิทึม [39]แอนติเดริเวทีฟของลอการิทึมธรรมชาติ ln( x )คือ: [40]

สูตรที่เกี่ยวข้องเช่น แอนติเดริเวทีฟของลอการิทึมกับเบสอื่นๆ สามารถได้มาจากสมการนี้โดยใช้การเปลี่ยนแปลงของเบส [41]

การแทนค่าปริพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ

A hyperbola with part of the area underneath shaded in grey.
ลอการิทึมธรรมชาติของเสื้อเป็นพื้นที่สีเทาใต้กราฟของฟังก์ชั่นF ( x ) = 1 / x (ซึ่งกันและกันของx )

ลอการิทึมธรรมชาติของทีสามารถกำหนดให้เป็นหนึ่งที่ชัดเจน :

คำจำกัดความนี้มีข้อได้เปรียบที่ไม่ต้องอาศัยฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือฟังก์ชันตรีโกณมิติใดๆ คำจำกัดความอยู่ในแง่ของอินทิกรัลของส่วนกลับอย่างง่าย ในฐานะที่เป็นหนึ่ง, LN ( T )เท่ากับพื้นที่ระหว่างxแกนและกราฟของฟังก์ชั่นที่1 / xตั้งแต่x = 1จะx = Tนี่คือผลของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสและความจริงที่ว่าที่มาของLN ( x )เป็น1 / x สูตรลอการิทึมผลิตภัณฑ์และกำลังสามารถได้มาจากคำจำกัดความนี้[42]ตัวอย่างเช่น สูตรผลิตภัณฑ์ln( tu ) = ln( t ) + ln( u )อนุมานเป็น:

ความเท่าเทียมกัน (1) แบ่งอินทิกรัลออกเป็นสองส่วน ในขณะที่ความเท่าเทียมกัน (2) คือการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร ( w = x / t ) ในภาพประกอบด้านล่าง การแยกส่วนสอดคล้องกับการแบ่งพื้นที่ออกเป็นส่วนสีเหลืองและสีน้ำเงิน การปรับขนาดพื้นที่สีน้ำเงินด้านซ้ายมือในแนวตั้งด้วยแฟคเตอร์tและการย่อขนาดด้วยแฟคเตอร์  เดียวกันในแนวนอนจะไม่เปลี่ยนขนาด เมื่อย้ายอย่างเหมาะสม พื้นที่จะพอดีกับกราฟของฟังก์ชันf ( x ) = 1/ xอีกครั้ง ดังนั้น พื้นที่สีน้ำเงินด้านซ้าย ซึ่งเป็นอินทิกรัลของf ( x )จากtถึงtuเป็นเช่นเดียวกับหนึ่งตั้งแต่วันที่ 1 ไปยังยู สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงความเท่าเทียมกัน (2) ด้วยหลักฐานทางเรขาคณิตที่มากขึ้น

The hyperbola depicted twice. The area underneath is split into different parts.
การพิสูจน์ด้วยสายตาของสูตรผลิตภัณฑ์ของลอการิทึมธรรมชาติ

สูตรกำลังln( t r ) = r ln( t )อาจได้รับมาในลักษณะเดียวกัน:

ความเสมอภาคที่สองใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร ( บูรณาการโดยการเปลี่ยนตัว ) W = x 1 / R

ผลบวกส่วนกลับของจำนวนธรรมชาติ,

เรียกว่าประสานชุด มันเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับลอการิทึมธรรมชาติเนื่องจากnมีแนวโน้มเป็นอนันต์ความแตกต่าง

ลู่ (เช่นได้รับโดยพลการปิด) ไปยังหมายเลขที่เรียกว่าออยเลอร์-Mascheroni คง γ = 0.5772 ... ความสัมพันธ์นี้จะช่วยในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของขั้นตอนวิธีเช่นquicksort [43]

การอยู่เหนือของลอการิทึม

จำนวนจริงที่ไม่ใช่พีชคณิตเรียกว่ายอดเยี่ยม ; [44]ตัวอย่างเช่นπและeเป็นตัวเลขดังกล่าว แต่ไม่ใช่. จำนวนจริงเกือบทั้งหมดอยู่เหนือธรรมชาติ ลอการิทึมเป็นตัวอย่างของหนึ่งฟังก์ชั่นยอดเยี่ยม Gelfond-ชไนเดอทฤษฎีบทอ้างว่าลอการิทึมมักจะใช้เวลาเยี่ยมคือ "ยาก" ค่า [45]

การคำนวณ

แป้นลอการิทึม (LOG สำหรับฐาน 10 และ LN สำหรับฐาน  e ) บนเครื่องคิดเลขกราฟTI-83 Plus

ลอการิทึมจะง่ายต่อการคำนวณในบางกรณีเช่นล็อก10  (1000) = 3 โดยทั่วไป ลอการิทึมสามารถคำนวณได้โดยใช้อนุกรมกำลังหรือค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิตหรือดึงข้อมูลจากตารางลอการิทึมที่คำนวณล่วงหน้าซึ่งมีความแม่นยำคงที่[46] [47] วิธีของนิวตัน ซึ่งเป็นวิธีการวนซ้ำเพื่อแก้สมการโดยประมาณ ยังสามารถใช้ในการคำนวณลอการิทึม เนื่องจากฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ[48]การใช้ตารางค้นหาสามารถใช้วิธีการแบบCORDICในการคำนวณลอการิทึมได้โดยใช้เฉพาะการดำเนินการบวกและการเปลี่ยนบิต. [49] [50]นอกจากนี้อัลกอริธึมลอการิทึมไบนารีจะคำนวณlb( x ) แบบเรียกซ้ำโดยอิงจากการยกกำลังสองซ้ำของxโดยใช้ประโยชน์จากความสัมพันธ์

ชุดพลัง

ซีรีส์เทย์เลอร์
An animation showing increasingly good approximations of the logarithm graph.
ชุดเทย์เลอร์LN ( Z )ศูนย์กลางที่Z = 1 ภาพเคลื่อนไหวแสดงการประมาณ 10 ครั้งแรกพร้อมกับการประมาณที่ 99 และ 100 การประมาณไม่มาบรรจบกันเกินระยะ 1 จากจุดศูนย์กลาง

สำหรับจำนวนจริงzใดๆที่ตรงกับ0 < z ≤ 2สูตรต่อไปนี้ถือเป็น: [nb 4] [51]

นี่เป็นชวเลขสำหรับการบอกว่าln( z )สามารถประมาณค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้นด้วยนิพจน์ต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่นกับZ = 1.5อัตราผลตอบแทนประมาณสาม 0.4167 ซึ่งเป็นเรื่องเกี่ยวกับ 0.011 มากกว่าLN (1.5) = 0.405465 อนุกรมนี้มีค่าประมาณln( z )ด้วยความแม่นยำตามอำเภอใจ หากจำนวนผลรวมมีขนาดใหญ่เพียงพอ ในแคลคูลัสเบื้องต้นln( z )จึงเป็นขีดจำกัดของอนุกรมนี้ มันเป็นซีรีส์เทย์เลอร์ของลอการิทึมธรรมชาติที่Z = 1 อนุกรมเทย์เลอร์ของln( z )ให้ค่าประมาณที่เป็นประโยชน์อย่างยิ่งกับln(1 + z )เมื่อzมีขนาดเล็ก| z | < 1ตั้งแต่นั้นมา

ตัวอย่างเช่น ด้วยz = 0.1การประมาณค่าอันดับหนึ่งจะให้ln(1.1) ≈ 0.1ซึ่งน้อยกว่า 5% จากค่าที่ถูกต้อง 0.0953

ซีรีส์ที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น

อีกชุดหนึ่งอิงตามฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกแทนเจนต์ของพื้นที่ :

สำหรับจำนวนจริงใด ๆZ > 0 [nb 5] [51]การใช้สัญกรณ์ซิกมา สิ่งนี้เขียนเป็น .ด้วย

อนุกรมนี้สามารถได้มาจากอนุกรมเทย์เลอร์ด้านบน มันมาบรรจบกันเร็วกว่าอนุกรมเทย์เลอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าz เข้าใกล้ 1 ตัวอย่างเช่น สำหรับz = 1.5สามเทอมแรกของอนุกรมที่สองมีค่าประมาณln(1.5)โดยมีข้อผิดพลาดประมาณ3 × 10 −6 . การบรรจบกันอย่างรวดเร็วสำหรับzใกล้เคียงกับ 1 สามารถใช้ประโยชน์จากวิธีต่อไปนี้: ให้ค่าประมาณที่มีความแม่นยำต่ำy ≈ ln( z )และการวาง

ลอการิทึมของzคือ:

ยิ่งค่าประมาณyเริ่มต้นดีเท่าไรAก็ยิ่งใกล้1 มากขึ้นเท่านั้น จึงสามารถคำนวณลอการิทึมได้อย่างมีประสิทธิภาพ Aสามารถคำนวณได้โดยใช้ชุดเลขชี้กำลังซึ่งจะมาบรรจบกันอย่างรวดเร็วโดยที่yมีขนาดไม่ใหญ่เกินไป คำนวณลอการิทึมของขนาดใหญ่Zสามารถลดค่าขนาดเล็กของZโดยการเขียนZ = · 10 เพื่อให้LN ( Z ) = LN ( ) + · LN (10)

วิธีที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดสามารถใช้ในการคำนวณลอการิทึมของจำนวนเต็มได้ วาง ในซีรีย์ข้างต้น ดังต่อไปนี้:

หากทราบลอการิทึมของจำนวนเต็มขนาดใหญ่  nอนุกรมนี้ให้ผลอนุกรมการบรรจบกันอย่างรวดเร็วสำหรับlog( n +1)โดยมีอัตราการลู่เข้าของ.

การประมาณค่าเฉลี่ยเลขคณิต–เรขาคณิต

เลขคณิตเรขาคณิตหมายถึงอัตราผลตอบแทนความแม่นยำสูงใกล้เคียงของลอการิทึมธรรมชาติ Sasaki และ Kanada แสดงให้เห็นในปี 1982 ว่ามันเร็วเป็นพิเศษสำหรับความแม่นยำระหว่าง 400 ถึง 1,000 ตำแหน่งทศนิยม ในขณะที่วิธีการแบบอนุกรมของ Taylor จะเร็วกว่าเมื่อต้องการความแม่นยำน้อยกว่า ในงานของพวกเขาln( x )มีค่าประมาณความเที่ยงตรงเท่ากับ2 p (หรือp  บิตที่แม่นยำ) โดยสูตรต่อไปนี้ (เนื่องจากCarl Friedrich Gauss ): [52] [53]

นี่M ( x , Y )หมายถึงค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของxและy ที่ ได้มาจากการคำนวณหาค่าเฉลี่ยซ้ำๆ( x + y )/2 ( ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ) และ( เรขาคณิตเฉลี่ย ) ของxและy ที่แล้วปล่อยให้บรรดาผู้ที่สองเป็นไปxและy ที่ ตัวเลขสองได้อย่างรวดเร็วมาบรรจบกันเพื่อขีด จำกัด ร่วมกันซึ่งเป็นค่าของM ( x , Y ) mถูกเลือกเช่นนั้น

เพื่อให้แน่ใจว่ามีความแม่นยำ ค่าm ที่ใหญ่ขึ้นทำให้การคำนวณM( x , y )มีขั้นตอนมากขึ้น (ค่าxเริ่มต้นและyห่างกันมากขึ้น ดังนั้นจึงต้องใช้ขั้นตอนมากขึ้นในการมาบรรจบกัน) แต่ให้ความแม่นยำมากขึ้น ค่าคงที่πและln(2)สามารถคำนวณได้ด้วยอนุกรมที่บรรจบกันอย่างรวดเร็ว

อัลกอริทึมของ Feynman

ในขณะที่Los Alamos National Laboratoryทำงานในโครงการแมนฮัตตัน , ริชาร์ดไฟน์แมนพัฒนาอัลกอริทึมบิตการประมวลผลที่คล้ายกับหารยาวและต่อมาถูกนำมาใช้ในเครื่องการเชื่อมต่อขั้นตอนวิธีการใช้ความจริงที่ว่าทุกจำนวนจริง1 < x <2เป็นแทนได้เป็นผลิตภัณฑ์ของปัจจัยที่แตกต่างกันของรูปแบบ1 + 2 - kอัลกอริธึมสร้างผลิตภัณฑ์Pตามลำดับ  โดยเริ่มจากP = 1และk = 1 : ถ้าP · (1 + 2 k ) < xแล้วมันเปลี่ยนแปลงPเพื่อP · (1 + 2 - k ) แล้วเพิ่มขึ้นโดยหนึ่งโดยไม่คำนึงถึง อัลกอริทึมจะหยุดเมื่อkมีขนาดใหญ่พอที่จะให้ความแม่นยำตามที่ต้องการ เนื่องจากlog( x )คือผลรวมของเงื่อนไขของฟอร์มlog(1 + 2 k ) ที่สอดคล้องกับค่าkซึ่งแฟคเตอร์1 + 2 kรวมอยู่ในผลิตภัณฑ์  Pดังนั้นlog( x )อาจคำนวณได้โดย นอกจากนี้ง่ายใช้ตารางของล็อก (1 + 2 - k )สำหรับทุกk สามารถใช้ฐานใดก็ได้สำหรับตารางลอการิทึม [54]

แอปพลิเคชัน

A photograph of a nautilus' shell.
หอยโข่งแสดงเกลียวลอการิทึม

ลอการิทึมมีแอปพลิเคชั่นมากมายทั้งภายในและภายนอกคณิตศาสตร์ บางส่วนของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเหล่านี้จะเกี่ยวข้องกับความคิดของการแปรเปลี่ยนขนาดตัวอย่างเช่น แต่ละห้องของเปลือกหอยของหอยโข่งเป็นสำเนาโดยประมาณของห้องถัดไป ปรับขนาดด้วยปัจจัยคงที่ นี้จะช่วยให้เพิ่มขึ้นเป็นเกลียวลอการิทึม [55]กฎของ Benfordเกี่ยวกับการแจกแจงตัวเลขนำหน้าสามารถอธิบายได้ด้วยค่าคงที่ของมาตราส่วน[56]ลอการิทึมนอกจากนี้ยังมีการเชื่อมโยงกับความคล้ายตนเองตัวอย่างเช่น ลอการิทึมปรากฏในการวิเคราะห์อัลกอริธึมที่แก้ปัญหาโดยแบ่งออกเป็นสองปัญหาเล็ก ๆ ที่คล้ายกันและแก้ไขวิธีแก้ปัญหา[57] ขนาดของรูปทรงเรขาคณิตที่คล้ายตัวเอง กล่าวคือ รูปร่างที่มีส่วนต่างๆ คล้ายกับรูปภาพโดยรวม จะขึ้นอยู่กับลอการิทึมด้วย สเกลลอการิทึมมีประโยชน์ในการหาปริมาณการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ของค่าหนึ่งซึ่งตรงข้ามกับความแตกต่างแบบสัมบูรณ์ ยิ่งกว่านั้น เนื่องจากบันทึกฟังก์ชันลอการิทึม( x )เติบโตช้ามากสำหรับxขนาดใหญ่สเกลลอการิทึมจึงถูกใช้เพื่อบีบอัดข้อมูลทางวิทยาศาสตร์ขนาดใหญ่ ลอการิทึมยังเกิดขึ้นในสูตรทางวิทยาศาสตร์มากมายเช่นสม Tsiolkovsky จรวดที่สม Fenskeหรือสม Nernst

มาตราส่วนลอการิทึม

A graph of the value of one mark over time. The line showing its value is increasing very quickly, even with logarithmic scale.
แผนภูมิลอการิทึมแสดงค่าของGoldmarkหนึ่งอันในPapiermarksระหว่างภาวะเงินเฟ้อรุนแรงของเยอรมันในทศวรรษ 1920

ปริมาณวิทยาศาสตร์มักจะแสดงเป็นลอการิทึมปริมาณอื่น ๆ โดยใช้มาตราส่วนลอการิทึมยกตัวอย่างเช่นเดซิเบลเป็นหน่วยวัดที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมขนาดปริมาณมันขึ้นอยู่กับลอการิทึมทั่วไปของอัตราส่วน —10 เท่าของลอการิทึมทั่วไปของอัตราส่วนกำลังหรือ 20 เท่าของลอการิทึมทั่วไปของอัตราส่วนแรงดันไฟฟ้ามันถูกใช้เพื่อวัดปริมาณการสูญเสียของระดับแรงดันไฟฟ้าในการส่งสัญญาณไฟฟ้า[58]ในการอธิบายถึงระดับพลังของเสียงที่อยู่ในอะคูสติก , [59]และการดูดกลืนแสงของแสงในเขตของ มวลสารและเลนส์ อัตราส่วนสัญญาณต่อเสียงรบกวนอธิบายปริมาณของที่ไม่พึงประสงค์เสียงในความสัมพันธ์กับ (ความหมาย) สัญญาณนอกจากนี้ยังมีหน่วยวัดเป็นเดซิเบล[60]ในลักษณะเดียวกันโดยทั่วไปจะใช้อัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนสูงสุดเพื่อประเมินคุณภาพของวิธีการบีบอัดเสียงและภาพโดยใช้ลอการิทึม[61]

ความแรงของแผ่นดินไหววัดโดยเอาลอการิทึมร่วมของพลังงานที่ปล่อยออกมาจากแผ่นดินไหว นี้จะถูกใช้ในขนาดมาตราส่วนเวลาหรือขนาดมาตราริกเตอร์ตัวอย่างเช่น แผ่นดินไหว 5.0 ปล่อย 32 ครั้ง(10 1.5 )และ 6.0 ปล่อยพลังงาน 1,000 ครั้ง(10 3 )ของ 4.0 [62]ขนาดที่ชัดเจนวัดความสว่างของดาวแบบลอการิทึม[63]ในวิชาเคมีค่าลบของลอการิทึมทศนิยม ทศนิยม cologarithmระบุด้วยตัวอักษร p [64]ตัวอย่างเช่นpHคือโคโลการิทึมทศนิยมของกิจกรรมของไฮโดรเนียมไอออน (รูปแบบไฮโดรเจน ไอออน H+
รับน้ำ) [65]กิจกรรมของไฮโดรเนียมไอออนในน้ำที่เป็นกลางคือ 10 −7  โมล·L -1ดังนั้น pH ที่ 7 โดยทั่วไปแล้วน้ำส้มสายชูจะมี pH ประมาณ 3 ความแตกต่างของ 4 สอดคล้องกับอัตราส่วน 10 4ของกิจกรรม ที่เป็นกิจกรรมไฮโดรเนียมไอออนน้ำส้มสายชูเป็นเรื่องเกี่ยวกับ10 -3นางสาว -1

กราฟเซมิล็อก (ล็อก–เชิงเส้น) ใช้แนวคิดมาตราส่วนลอการิทึมสำหรับการแสดงภาพ: แกนหนึ่ง ปกติแล้วจะเป็นแกนแนวตั้ง จะถูกปรับขนาดแบบลอการิทึม ตัวอย่างเช่น แผนภูมิทางด้านขวาบีบอัดการเพิ่มขึ้นที่สูงชันจาก 1 ล้านเป็น 1 ล้านล้านไปยังพื้นที่เดียวกัน (บนแกนแนวตั้ง) เป็นการเพิ่มขึ้นจาก 1 เป็น 1 ล้าน ในกราฟเช่นฟังก์ชั่นการชี้แจงของรูปแบบF ( x ) = · xปรากฏเป็นเส้นตรงที่มีความลาดชันเท่ากับลอการิทึมของกราฟบันทึกล็อกจะปรับขนาดทั้งสองแกนแบบลอการิทึม ซึ่งทำให้ฟังก์ชันของรูปแบบf ( x ) = a· x kที่จะวาดเป็นเส้นตรงมีความลาดชันเท่ากับเลขชี้กำลัง  k นี้จะนำไปใช้ในการแสดงผลและการวิเคราะห์กฎหมายพลังงาน [66]

จิตวิทยา

ลอการิทึมเกิดขึ้นในกฎหลายข้อที่อธิบายการรับรู้ของมนุษย์ : [67] [68] กฎของฮิกเสนอความสัมพันธ์แบบลอการิทึมระหว่างเวลาที่บุคคลใช้ในการเลือกทางเลือกและจำนวนตัวเลือกที่พวกเขามี[69] กฎของ Fittsทำนายว่าเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่อย่างรวดเร็วไปยังพื้นที่เป้าหมายนั้นเป็นฟังก์ชันลอการิทึมของระยะทางและขนาดของเป้าหมาย[70]ในpsychophysicsที่กฎหมาย Weber-Fechnerเสนอความสัมพันธ์ระหว่างลอการิทึมกระตุ้นเศรษฐกิจและความรู้สึกเช่นที่เกิดขึ้นจริงเมื่อเทียบกับน้ำหนักการรับรู้ของรายการที่เป็นบุคคลที่ถือ[71](นี่ "กฎหมาย" แต่เป็นจริงน้อยกว่ารุ่นที่ผ่านมามากขึ้นเช่นอำนาจกฎหมายของสตีเว่น . [72] )

การศึกษาทางจิตวิทยาพบว่าผู้ที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เพียงเล็กน้อยมักจะประเมินปริมาณแบบลอการิทึม กล่าวคือ พวกเขาวางตำแหน่งตัวเลขบนเส้นที่ไม่มีเครื่องหมายตามลอการิทึม ดังนั้น 10 อยู่ในตำแหน่งที่ใกล้เคียงกับ 100 เนื่องจาก 100 เท่ากับ 1,000 การศึกษาที่เพิ่มขึ้นทำให้สิ่งนี้เปลี่ยนไป เป็นการประมาณเชิงเส้น (ตำแหน่ง 1000 10 เท่าของระยะทางไกล) ในบางกรณี ในขณะที่ลอการิทึมจะใช้เมื่อตัวเลขที่จะพล็อตนั้นยากต่อการพล็อตเชิงเส้น [73] [74]

ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติ

Three asymmetric PDF curves
ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF) สามประการของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบล็อกปกติ พารามิเตอร์ตำแหน่ง  μซึ่งเป็นศูนย์สำหรับไฟล์ PDF ทั้งสามที่แสดง เป็นค่าเฉลี่ยของลอการิทึมของตัวแปรสุ่ม ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยของตัวแปรเอง
A bar chart and a superimposed second chart. The two differ slightly, but both decrease in a similar fashion.
การกระจายของตัวเลขหลักแรก (เป็น % แถบสีแดง) ในประชากร 237 ประเทศทั่วโลก จุดสีดำแสดงถึงการกระจายที่ทำนายโดยกฎของเบนฟอร์ด

ลอการิทึมเกิดขึ้นในทฤษฎีความน่าจะเป็นคือกฎหมายจำนวนมากบอกว่าสำหรับเหรียญยุติธรรมเป็นจำนวนเหรียญกลมๆเพิ่มขึ้นเป็นอินฟินิตี้, สัดส่วนสังเกตของหัวแนวทางครึ่งหนึ่งความผันผวนของสัดส่วนนี้ประมาณครึ่งหนึ่งที่อธิบายไว้โดยกฎหมายของลอการิทึมซ้ำ [75]

ลอการิทึมยังเกิดขึ้นในการกระจายเข้าสู่ระบบปกติเมื่อลอการิทึมของตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงแบบปกติตัวแปรดังกล่าวจะมีการแจกแจงแบบล็อกปกติ[76]การแจกแจงแบบล็อก-ปกติพบได้ในหลายสาขา ไม่ว่าตัวแปรจะถูกสร้างขึ้นจากผลคูณของตัวแปรสุ่มเชิงบวกอิสระจำนวนมาก ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาความปั่นป่วน[77]

ลอการิทึมจะใช้สำหรับการประมาณโอกาสสูงสุดของตัวแปรแบบจำลองทางสถิติสำหรับแบบจำลองดังกล่าวฟังก์ชันความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ต้องประมาณค่า ฟังก์ชันความน่าจะเป็นสูงสุดเกิดขึ้นที่ค่าพารามิเตอร์เดียวกันกับค่าสูงสุดของลอการิทึมของความน่าจะเป็น (" log likelihood ") เนื่องจากลอการิทึมเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น Log-likelihood จะขยายให้ใหญ่สุดได้ง่ายกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับความน่าจะเป็นแบบทวีคูณสำหรับตัวแปรสุ่มอิสระ[78]

กฎของเบนฟอร์ดอธิบายการเกิดขึ้นของตัวเลขในชุดข้อมูลจำนวนมากเช่น ความสูงของอาคาร ตามกฎหมายของ Benford น่าจะเป็นที่แรกทศนิยมหลักของรายการในกลุ่มตัวอย่างข้อมูลที่เป็นวันที่ (1-9) เท่ากับเข้าสู่ระบบ10  ( d + 1) - เข้าสู่ระบบ10  ( d ) , โดยไม่คำนึงถึงของหน่วยของการวัด [79]ดังนั้น ประมาณ 30% ของข้อมูลสามารถคาดหวังได้ว่ามี 1 เป็นหลักแรก 18% เริ่มต้นด้วย 2 เป็นต้น ผู้ตรวจสอบตรวจสอบการเบี่ยงเบนจากกฎหมายของ Benford เพื่อตรวจจับการบัญชีที่ฉ้อโกง [80]

ความซับซ้อนในการคำนวณ

การวิเคราะห์อัลกอริธึมเป็นสาขาหนึ่งของวิทยาการคอมพิวเตอร์ที่ศึกษาประสิทธิภาพของอัลกอริธึม (โปรแกรมคอมพิวเตอร์ช่วยแก้ปัญหาบางอย่าง) [81]ลอการิทึมมีประโยชน์สำหรับการอธิบายอัลกอริธึมที่แบ่งปัญหาออกเป็นส่วนย่อยๆ และรวมการแก้ปัญหาของปัญหาย่อยเข้าด้วยกัน[82]

ตัวอย่างเช่น ในการค้นหาตัวเลขในรายการที่จัดเรียงอัลกอริธึมการค้นหาแบบไบนารีจะตรวจสอบรายการตรงกลางและดำเนินการกับค่าครึ่งหนึ่งก่อนหรือหลังรายการตรงกลางหากไม่พบตัวเลขนั้น อัลกอริทึมนี้ต้องการการเปรียบเทียบบันทึก2  ( N )โดยเฉลี่ย โดยที่Nคือความยาวของรายการ[83]ในทำนองเดียวกันอัลกอริธึมการเรียงลำดับการผสานจะเรียงลำดับรายการที่ไม่เรียงลำดับโดยแบ่งรายการออกเป็นครึ่งหนึ่งและจัดเรียงรายการเหล่านี้ก่อนจะรวมผลลัพธ์ ขั้นตอนวิธีการผสานการเรียงลำดับโดยปกติจะต้องใช้เวลาประมาณสัดส่วนกับ N ·เข้าสู่ระบบ ( N ) [84]ฐานของลอการิทึมไม่ได้ระบุไว้ที่นี่ เนื่องจากผลลัพธ์จะเปลี่ยนโดยตัวประกอบคงที่เมื่อใช้ฐานอื่นเท่านั้น ปัจจัยคงที่มักจะไม่ใส่ใจในการวิเคราะห์ขั้นตอนวิธีการภายใต้มาตรฐานค่าใช้จ่ายแบบเครื่องแบบ [85]

ฟังก์ชั่น  F ( x )บอกว่าจะเติบโตลอการิทึมถ้าF ( x )คือ (ตรงหรือโดยประมาณ) สัดส่วนกับลอการิทึมของx (รายละเอียดทางชีวภาพของการเจริญเติบโตมีชีวิต แต่ใช้คำนี้ฟังก์ชั่นการชี้แจง. [86] ) ตัวอย่างเช่นใดจำนวนธรรมชาติNสามารถแสดงในรูปแบบไบนารีในไม่เกินล็อก2 N + 1บิตในคำอื่น ๆ จำนวนหน่วยความจำที่จำเป็นในการจัดเก็บNเติบโตลอการิทึมกับN   

เอนโทรปีและความวุ่นวาย

An oval shape with the trajectories of two particles.
บิลเลียดบนวงรีโต๊ะบิลเลียด อนุภาคสองอนุภาคเริ่มต้นที่จุดศูนย์กลางโดยมีมุมต่างกันไปหนึ่งองศา ใช้เส้นทางที่แตกต่างกันอย่างไม่เป็นระเบียบเนื่องจากการสะท้อนที่ขอบ

เอนโทรปีเป็นตัววัดความผิดปกติของระบบบางระบบอย่างกว้างๆ ในอุณหพลศาสตร์ทางสถิติเอนโทรปี  Sของระบบทางกายภาพบางระบบถูกกำหนดเป็น

ผลรวมจะอยู่ในสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมด  iของระบบที่เป็นปัญหา เช่น ตำแหน่งของอนุภาคก๊าซในภาชนะ นอกจากนี้หน้าฉันคือความน่าจะเป็นว่ารัฐ  ฉันจะบรรลุและkเป็นค่าคงที่ Boltzmannในทำนองเดียวกันเอนโทรปีในทฤษฎีสารสนเทศจะวัดปริมาณข้อมูล หากผู้รับข้อความคาดหวังข้อความใดข้อความหนึ่งที่เป็นไปได้N ที่มีความเป็นไปได้เท่ากัน จำนวนข้อมูลที่ส่งโดยข้อความดังกล่าวจะถูกหาปริมาณเป็นบันทึก2 Nบิต[87]

exponents Lyapunovใช้ลอการิทึมเพื่อวัดระดับของ chaoticity ของที่มีพลังของระบบ ตัวอย่างเช่น สำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่บนโต๊ะบิลเลียดวงรี แม้แต่การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในเงื่อนไขเริ่มต้นก็ส่งผลให้เส้นทางของอนุภาคแตกต่างกันมาก ระบบดังกล่าวไม่เป็นระเบียบในลักษณะที่กำหนดเนื่องจากข้อผิดพลาดในการวัดขนาดเล็กของสถานะเริ่มต้นอาจนำไปสู่สถานะสุดท้ายที่แตกต่างกันอย่างมาก [88]อย่างน้อยหนึ่งเลขชี้กำลัง Lyapunov ของระบบที่วุ่นวายในเชิงกำหนดเป็นค่าบวก

แฟร็กทัล

Parts of a triangle are removed in an iterated way.
สามเหลี่ยมเซียร์พินสกี้ (ทางด้านขวา) ถูกสร้างขึ้นโดยแทนที่สามเหลี่ยมด้านเท่าซ้ำๆด้วยอันที่เล็กกว่าสามอัน

ลอการิทึมเกิดขึ้นในคำจำกัดความของมิติของfractals [89] Fractals เป็นวัตถุทางเรขาคณิตที่มีความคล้ายคลึงกันในตัวเอง : ชิ้นส่วนเล็ก ๆ ทำซ้ำ โครงสร้างโลกทั้งหมดอย่างน้อยก็คร่าวๆ Sierpinski สามเหลี่ยม (ในภาพ) สามารถได้รับการคุ้มครองโดยสามสำเนาของตัวเองแต่ละคนมีด้านข้างครึ่งหนึ่งของความยาวเดิม นี้จะทำให้มิติดอร์ฟของโครงสร้างนี้LN (3) / LN (2) ≈ 1.58 แนวคิดของมิติลอการิทึมอีกประการหนึ่งได้มาจากการนับจำนวนกล่องที่จำเป็นในการครอบคลุมเศษส่วนที่ต้องการ

เพลง

Four different octaves shown on a linear scale.
Four different octaves shown on a logarithmic scale.
สี่อ็อกเทฟที่แตกต่างกันแสดงบนสเกลเชิงเส้น จากนั้นแสดงบนสเกลลอการิทึม (ตามที่หูได้ยิน)

ลอการิทึมที่เกี่ยวข้องกับระดับเสียงและช่วงเวลา ในอารมณ์ที่เท่าเทียมกันอัตราส่วนความถี่จะขึ้นอยู่กับช่วงเวลาระหว่างเสียงสองเสียงเท่านั้น ไม่ใช่ความถี่เฉพาะ หรือระดับเสียงของแต่ละเสียง ตัวอย่างเช่นโน้ต  Aมีความถี่ 440  HzและB-flatมีความถี่ 466 Hz ช่วงเวลาระหว่างAและB-flatเป็นเซมิโทนเช่นเดียวกับช่วงระหว่างB-flatและB (ความถี่ 493 Hz) ดังนั้นอัตราส่วนความถี่จึงตกลงกัน:

ดังนั้น ลอการิทึมสามารถใช้อธิบายช่วงเวลาได้: ช่วงหนึ่งถูกวัดเป็นเซมิโทนโดยใช้ลอการิทึมฐาน2 1/12ของอัตราส่วนความถี่ในขณะที่ลอการิทึมฐาน2 1/1200ของอัตราส่วนความถี่แสดงช่วงเวลาเป็นเซ็นต์ , หนึ่งในร้อยของครึ่งเสียง ส่วนหลังใช้สำหรับการเข้ารหัสที่ละเอียดกว่า เนื่องจากจำเป็นสำหรับอารมณ์ที่ไม่เท่ากัน [90]

ช่วงเวลา
(เล่นสองโทนพร้อมกัน)
การ เล่นเสียง 1/12 About this sound  เล่นเซมิโทนAbout this sound แค่เมเจอร์ที่สาม เล่นAbout this sound บทละครที่สามAbout this sound เล่นทริโทนAbout this sound เล่นอ็อกเทฟAbout this sound
อัตราส่วนความถี่ r
จำนวนเซมิโทนที่สอดคล้องกัน
จำนวนเซ็นต์ที่สอดคล้องกัน

ทฤษฎีจำนวน

ลอการิทึมธรรมชาติมีการเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับการนับตัวเลขที่สำคัญ (2, 3, 5, 7, 11, ... ), เป็นหัวข้อสำคัญในทฤษฎีจำนวน สำหรับการใด ๆจำนวนเต็ม xปริมาณของตัวเลขที่สำคัญน้อยกว่าหรือเท่ากับxเขียนแทนπ ( x ) จำนวนเฉพาะทฤษฎีบทอ้างว่าπ ( x )จะได้รับโดยประมาณ

ในแง่ที่ว่าอัตราส่วนของπ ( x )และเศษส่วนนั้นเข้าใกล้ 1 เมื่อxมีแนวโน้มเป็นอนันต์ [91]เป็นผลให้ความน่าจะเป็นว่าเป็นจำนวนที่สุ่มเลือกระหว่าง 1 และxเป็นสำคัญเป็นผกผันสัดส่วนกับจำนวนของตัวเลขทศนิยมของx การประมาณค่าπ ( x ) ที่ดีกว่ามากนั้นถูกกำหนดโดยฟังก์ชันอินทิกรัลลอการิทึมออฟเซ็ตLi( x ) ที่กำหนดโดย

สมมติฐาน Riemannหนึ่งที่เก่าแก่ที่สุดทางคณิตศาสตร์เปิดคิดเห็นสามารถระบุไว้ในแง่ของการเปรียบเทียบπ ( x )และหลี่ ( x ) [92]แอร์ดิช-Kac ทฤษฎีบทอธิบายจำนวนที่แตกต่างกันปัจจัยสำคัญยังเกี่ยวข้องกับการลอการิทึมธรรมชาติ

ลอการิทึมของn แฟกทอเรียล , n ! = 1 · 2 · ... · nให้โดย

สามารถใช้เพื่อให้ได้สูตรของสเตอร์ลิงซึ่งมีค่าประมาณn ! สำหรับขนาดใหญ่n . [93]

ลักษณะทั่วไป

ลอการิทึมเชิงซ้อน

An illustration of the polar form: a point is described by an arrow or equivalently by its length and angle to the x-axis.
รูปแบบเชิงขั้วของZ = x + IY ทั้งสองφและφ'ข้อโต้แย้งของZ

ทั้งหมดตัวเลขที่ซับซ้อน ที่แก้สมการ

เรียกว่าลอการิทึมเชิงซ้อนของzเมื่อzคือ (ถือเป็น) จำนวนเชิงซ้อน โดยทั่วไป จำนวนเชิงซ้อนจะแสดงเป็นz = x + iyโดยที่xและyเป็นจำนวนจริง และiเป็นหน่วยจินตภาพซึ่งกำลังสองคือ -1 ตัวเลขดังกล่าวสามารถมองเห็นได้ด้วยจุดในระนาบเชิงซ้อนดังที่แสดงไว้ทางด้านขวารูปแบบเชิงขั้ว encodes ไม่ใช่ศูนย์ที่ซับซ้อนจำนวน  Zโดยตัวของมันค่าสัมบูรณ์ , ที่อยู่, (บวกจริง) ระยะ  Rกับต้นกำเนิดและมุมระหว่างความจริง (x ) แกนเรื่องและสายผ่านทั้งต้นทางและZ มุมนี้เรียกว่าข้อโต้แย้งของZ  

ค่าสัมบูรณ์rของzถูกกำหนดโดย

การใช้การตีความทางเรขาคณิตของไซน์และโคไซน์และคาบของพวกมันใน2 πจำนวนเชิงซ้อนzใดๆ  อาจแสดงเป็น

สำหรับการใด ๆ จำนวนเต็ม  kเห็นได้ชัดว่าอาร์กิวเมนต์ของzไม่ได้ระบุอย่างเฉพาะเจาะจง: ทั้งφและφ' = φ + 2 k πเป็นอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องของzสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด  kเพราะการบวก2 k πเรเดียนหรือk ⋅360° [nb 6]ไปยังφจะสอดคล้องกับ "คดเคี้ยว" รอบต้นกำเนิดทวนเข็มนาฬิกาโดยkผลัดจำนวนเชิงซ้อนที่ได้จะเป็นzเสมอดังที่แสดงไว้ทางด้านขวาสำหรับk = 1  . หนึ่งอาจเลือกหนึ่งในอาร์กิวเมนต์ที่เป็นไปได้ของzเป็นอาร์กิวเมนต์หลักที่เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ซึ่งแสดงArg( z )ด้วยตัวพิมพ์ใหญ่  Aโดยกำหนดให้φเป็นหนึ่งเดียว เลือกตามสะดวก เช่นπ < φπ [ 94]หรือ0 ≤ φ < 2 π . [95]บริเวณเหล่านี้ ซึ่งอาร์กิวเมนต์ของzถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงเรียกว่ากิ่งก้านของฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์

A density plot. In the middle there is a black point, at the negative axis the hue jumps sharply and evolves smoothly otherwise.
สาขาหลัก (- π , π ) ของลอการิทึมที่ซับซ้อนเข้าสู่ระบบ ( Z ) จุดสีดำที่z = 1สอดคล้องกับค่าสัมบูรณ์ศูนย์ และสีที่สว่างกว่าหมายถึงค่าสัมบูรณ์ที่ใหญ่กว่า สีของสี encodes โต้แย้งของการเข้าสู่ระบบ ( Z )

สูตรของออยเลอร์เชื่อมโยงฟังก์ชันตรีโกณมิติ ไซน์และโคไซน์กับเลขชี้กำลังเชิงซ้อน :

โดยใช้สูตรนี้ และช่วงเวลาอีกครั้ง อัตลักษณ์ต่อไปนี้ถือเป็น: [96]

ที่LN ( R )เป็นที่ไม่ซ้ำกันลอการิทึมธรรมชาติจริงkแสดงว่าลอการิทึมที่ซับซ้อนของZและkเป็นจำนวนเต็มโดยพลการ ดังนั้นลอการิทึมที่ซับซ้อนของZซึ่งทั้งหมดเหล่านั้นค่าที่ซับซ้อนkซึ่งk -th  อำนาจของอีเท่ากับZมีค่าหลายอย่างมากมาย

สำหรับจำนวนเต็มตามอำเภอใจ  k .

การkดังกล่าวว่าφ + 2 k πอยู่ภายในช่วงเวลาที่กำหนดไว้สำหรับการขัดแย้งหลักแล้วkเรียกว่ามูลค่าเงินต้นของลอการิทึมชี้แนะเข้าสู่ระบบ ( Z )อีกครั้งด้วยทุน  Lอาร์กิวเมนต์หลักของจำนวนจริงบวกใดๆ  xคือ 0; ดังนั้นLog( x )จึงเป็นจำนวนจริงและเท่ากับลอการิทึมจริง (ธรรมชาติ) แต่สูตรข้างต้นสำหรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์และอำนาจไม่ได้คุยกับค่าหลักของลอการิทึมที่ซับซ้อน[97]

ภาพประกอบทางด้านขวาแสดงLog( z )โดยจำกัดอาร์กิวเมนต์ของzไว้ที่ช่วง(−π, π]วิธีนี้สาขาที่สอดคล้องกันของลอการิทึมเชิงซ้อนมีความไม่ต่อเนื่องตลอด แกนxจริงเชิงลบซึ่งสามารถมองเห็นได้ใน กระโดดในสีที่มี. ต่อเนื่องนี้เกิดขึ้นจากการกระโดดไปยังเขตแดนอื่น ๆ ในสาขาเดียวกันเมื่อข้ามเขตแดนคือไม่ได้มีการเปลี่ยนแปลงเพื่อให้สอดคล้องk -value ของสาขาที่อยู่ใกล้เคียงอย่างต่อเนื่อง. ดังกล่าวเป็นสถานทีเรียกว่าตัดสาขาการลดข้อจำกัดช่วงบนอาร์กิวเมนต์ทำให้ความสัมพันธ์ "อาร์กิวเมนต์ของz " และเป็นผลให้ "ลอการิทึมของz" ฟังก์ชั่นหลายมูลค่า

การผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังอื่นๆ

การยกกำลังเกิดขึ้นในหลาย ๆ ด้านของคณิตศาสตร์และฟังก์ชันผกผันมักถูกเรียกว่าลอการิทึม ตัวอย่างเช่นลอการิทึมของเมทริกซ์คือฟังก์ชันผกผัน (หลายค่า) ของเมทริกซ์เอ็กซ์โปเนนเชีย[98]อีกตัวอย่างหนึ่งคือพีลอการิทึม -adicฟังก์ชันผกผันของพีชี้แจง -adicทั้งสองถูกกำหนดผ่านซีรีส์เทย์เลอร์ที่คล้ายคลึงกับเคสจริง[99]ในบริบทของเรขาคณิตต่างกันที่แผนที่ชี้แจงแผนที่พื้นที่สัมผัสณ จุดที่ท่อร่วมไอดีไปยังพื้นที่ใกล้เคียงของจุดนั้น ผกผันเรียกอีกอย่างว่าแผนที่ลอการิทึม (หรือบันทึก) [100]

ในบริบทของกลุ่มแน่นอนยกกำลังจะได้รับด้วยซ้ำคูณกลุ่มองค์ประกอบหนึ่ง  กับตัวเอง สิ้นเชิงลอการิทึมเป็นจำนวนเต็ม  nการแก้สมการ

โดยที่xเป็นองค์ประกอบของกลุ่ม การดำเนินการยกกำลังสามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพ แต่ลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่องเชื่อกันว่าคำนวณได้ยากมากในบางกลุ่ม ความไม่สมมาตรนี้มีการใช้งานที่สำคัญในการเข้ารหัสคีย์สาธารณะเช่น ในการแลกเปลี่ยนคีย์ Diffie–Hellmanซึ่งเป็นรูทีนที่อนุญาตให้มีการแลกเปลี่ยนคีย์การเข้ารหัสอย่างปลอดภัยผ่านช่องทางข้อมูลที่ไม่ปลอดภัย[101] ลอการิทึม Zech ของที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมเนื่องในกลุ่มคูณไม่ใช่ศูนย์องค์ประกอบของฟิลด์ จำกัด[102]

นอกจากลอการิทึมเหมือนฟังก์ชันผกผัน ได้แก่ลอการิทึมคู่ LN (LN ( x ))ที่ซุปเปอร์หรือ Hyper-4 ลอการิทึม (การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยที่เรียกว่าลอการิทึมซ้ำวิทยาการคอมพิวเตอร์) ที่ฟังก์ชั่นแลมเบิร์ Wและlogit . เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองเท่า , tetrationของf ( w ) = เราw , [103]และของฟังก์ชันลอจิสติกตามลำดับ [104]

แนวคิดที่เกี่ยวข้อง

จากมุมมองของทฤษฎีกลุ่มบันทึกเอกลักษณ์( cd ) = บันทึก ( c ) + บันทึก ( d )เป็นการแสดงออกถึงisomorphism ของกลุ่มระหว่างจำนวนจริงที่เป็นบวกภายใต้การคูณและจำนวนจริงภายใต้การบวก ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นเพียงสัณฐานต่อเนื่องกันระหว่างกลุ่มเหล่านี้[105]โดยวิธี isomorphism นั้น การวัด Haar ( การวัดLebesguedxบนจำนวนจริง จะสอดคล้องกับการวัด Haar  dx / xบนจำนวนจริงที่เป็นบวก[16]reals ไม่ใช่เชิงลบไม่เพียง แต่มีการคูณ แต่ยังมีนอกจากนี้และรูปแบบsemiringเรียกว่าน่าจะเป็นกึ่งริง ; นี้ในความเป็นจริงกึ่ง จากนั้นลอการิทึมจะนำการคูณไปบวก (การคูณบันทึก) และนำการบวกบันทึก ( LogSumExp ) มาใช้ ทำให้ได้isomorphismของเซมิริงระหว่างเซมิริงความน่าจะเป็นและการบันทึกเซมิริง

ลอการิทึมหนึ่งรูปแบบ  DF / ปรากฏในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนและพีชคณิตเรขาคณิตเป็นรูปแบบแตกต่างกับลอการิทึมเสา [107]

polylogarithmเป็นฟังก์ชั่นที่กำหนดโดย

มันเป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมธรรมชาติโดยหลี่1  ( Z ) = -ln (1 - Z ) นอกจากนี้หลี่s  (1)เท่ากับRiemann ซีตาฟังก์ชั่น ζ ( s ) [108]

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

  1. ^ ข้อ จำกัด เกี่ยวกับ xและ Bมีการอธิบายในส่วน"การวิเคราะห์คุณสมบัติ"
  2. ^ นักคณิตศาสตร์บางคนไม่เห็นด้วยกับสัญกรณ์นี้ ในอัตชีวประวัติปี 1985 ของเขา Paul Halmosวิพากษ์วิจารณ์สิ่งที่เขาคิดว่าเป็น "สัญกรณ์ ln แบบเด็กๆ" ซึ่งเขากล่าวว่าไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดเคยใช้ [16] สัญกรณ์ถูกคิดค้นโดย Irving Stringhamนักคณิตศาสตร์ [17] [18]
  3. ^ ตัวอย่างเช่น C , Java , Haskellและพื้นฐาน
  4. ^ ชุดเดียวกันถือเป็นค่าหลักของลอการิทึมเชิงซ้อนสำหรับจำนวนเชิงซ้อน z ที่น่าพอใจ | z − 1| < 1 .
  5. ^ ชุดเดียวกันถือเป็นค่าหลักของลอการิทึมเชิงซ้อนสำหรับจำนวนเชิงซ้อน z ที่มีส่วนจริงบวก
  6. ^ ดูเรเดียนสำหรับการแปลงระหว่าง 2 πและ 360องศา

อ้างอิง

  1. ^ Hobson, เออร์เนสวิลเลียม (1914), จอห์นเนเปียร์และการประดิษฐ์ของลอการิทึม 1614 นั้น การบรรยาย , ห้องสมุดมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย, เคมบริดจ์ : สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย
  2. ^ เรม เมิร์ต, ไรน์โฮลด์. (1991), ทฤษฎีฟังก์ชันที่ซับซ้อน , New York: Springer-Verlag, ISBN 0387971955, OCLC  21118309
  3. ^ เคท เอสเค; Bhapkar, HR (2009), พื้นฐานของคณิตศาสตร์ , Pune: สิ่งพิมพ์ทางเทคนิค, ISBN 978-81-8431-755-8, บทที่ 1
  4. ^ ข้อความทั้งหมดในส่วนนี้สามารถพบได้ใน Shailesh Shirali  2002 , ส่วนที่ 4, (Douglas Downing  2003 , p. 275) หรือ Kate & Bhapkar  2009 , p. 1-1 เช่น
  5. เบิร์นสไตน์ สตีเฟน; Bernstein, Ruth (1999), โครงร่างของทฤษฎีและปัญหาขององค์ประกอบของสถิติของ Schaum I, สถิติเชิงพรรณนาและความน่าจะเป็น , ชุดโครงร่างของ Schaum, New York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-005023-5, พี. 21
  6. ^ ดาวนิง ดักลาส (2003) พีชคณิตทางง่ายแบบการศึกษาของบาร์รอน Hauppauge นิวยอร์ก: Barron's, ISBN 978-0-7641-1972-9, บทที่ 17, น. 275
  7. ^ Wegener, Ingo (2005), ทฤษฎีความซับซ้อน: สำรวจขอบเขตของอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพ , เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-21045-0, พี. 20
  8. Van der Lubbe, Jan CA (1997), Information Theory , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, พี. 3, ISBN 978-0-2521-46760-5
  9. ^ อัลเลน เอลิซาเบธ; Triantaphillidou, Sophie (2011), The Manual of Photography , Taylor & Francis, พี. 228, ISBN 978-0-240-52037-7
  10. ^ ฟรานซ์ Embacher; Petra Oberhuemer, Mathematisches Lexikon (ภาษาเยอรมัน), mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium , ดึงข้อมูลเมื่อ22 มีนาคม 2011
  11. ^ ปริมาณและหน่วย – ส่วนที่ 2: คณิตศาสตร์ (ISO 80000-2:2019); EN ISO 80000-2
  12. ^ Goodrich, ไมเคิลตัน ; Tamassia, Roberto (2002), Algorithm Design: Foundations, Analysis and Internet Examples , John Wiley & Sons, พี. 23, หนึ่งในแง่มุมที่น่าสนใจและบางครั้งก็น่าประหลาดใจในการวิเคราะห์โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริธึมคือการมีอยู่ทั่วไปของลอการิทึม ... ตามธรรมเนียมในวรรณคดีการคำนวณ เราละเว้นการเขียนฐานbของลอการิทึมเมื่อb = 2 .
  13. ^ Parkhurst, David F. (2007), Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science (illustrated ed.), Springer Science & Business Media, พี. 288, ISBN 978-0-387-34228-3
  14. ^ Gullberg แจน (1997), คณิตศาสตร์: ตั้งแต่แรกเกิดของตัวเลข , นิวยอร์ก: WW Norton & Co, ISBN 978-0-393-04002-9
  15. ดูเชิงอรรถ 1 ใน Perl, Yehoshua; Reingold, Edward M. (ธันวาคม 1977), "Understanding the complexity of interpolation search", Information Processing Letters , 6 (6): 219–22, doi : 10.1016/0020-0190(77)90072-2
  16. ^ พอล Halmos (1985), ฉันอยากจะเป็นนักคณิตศาสตร์: การ Automathography , เบอร์ลิน, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-96078-4
  17. ^ เออร์วิง Stringham (1893) Uniplanar พีชคณิต: ฉันเป็นส่วนหนึ่งของpropædeuticไปวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น , The Berkeley กด P xiii
  18. ^ Roy S. Freedman (2006), Introduction to Financial Technology , Amsterdam: Academic Press, พี. 59, ISBN  978-0-12-370478-8
  19. ดู Theorem 3.29 in Rudin, Walter (1984), Principles of mathematical analysis (3rd ed., International student ed.), Auckland: McGraw-Hill International, ISBN 978-0-07-085613-4
  20. ^ เนเพียร์, จอห์น (1614) Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio [ คำอธิบายของกฎที่ยอดเยี่ยมของลอการิทึม ] (ภาษาละติน), เอดินเบิร์กสกอตแลนด์: แอนดรูฮาร์ท
  21. ^ Hobson, เออร์เนสวิลเลียม (1914), จอห์นเนเปียร์และการประดิษฐ์ของลอการิทึม, 1614 , เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย
  22. ^ Folkerts เมนโซ; ลอนเนิร์ต, ดีเตอร์; Thom, Andreas (2016), "วิธีการคำนวณไซน์ของ Jost Bürgi", Historia Mathematica , 43 (2): 133–147, arXiv : 1510.03180 , doi : 10.1016/j.hm.2016.03.001 , MR 3489006 , S2CID 119326088  
  23. โอคอนเนอร์ จอห์น เจ. ; Robertson, Edmund F. , "Jost Bürgi (1552 – 1632)" , MacTutor History of Mathematics archive , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรู
  24. วิลเลียม การ์ดเนอร์ (1742)ตารางลอการิทึม
  25. ^ Pierce, RC Jr. (มกราคม 2520), "A Brief history of logarithms", The Two-Year College Mathematics Journal , 8 (1): 22–26, doi : 10.2307/3026878 , JSTOR 3026878 
  26. ^ Enrique กอนซาเล-Velasco (2011)การเดินทางผ่านคณิตศาสตร์ - มีความคิดตอนในประวัติศาสตร์ , §2.4ผ่อนชำระลอการิทึมพี 117, สปริงเกอร์ ISBN 978-0-387-9253-2 
  27. ^ Florian Cajori (1913) "ประวัติความเป็นมาชี้แจงและลอการิทึมแนวคิด"อเมริกันคณิตศาสตร์รายเดือน 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205
  28. ^ Stillwell, J. (2010), คณิตศาสตร์และประวัติศาสตร์ (ฉบับที่ 3), Springer
  29. ไบรอันท์, วอลเตอร์ ดับเบิลยู. (1907), A History of Astronomy , London: Methuen & Co, พี. 44
  30. ^ Abramowitz มิลตัน ; สเตกัน, ไอรีน เอ. , สหพันธ์. (1972) คู่มือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์พร้อมสูตร กราฟ และตารางคณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 10) นิวยอร์ก: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ , ISBN 978-0-486-61272-0, มาตรา 4.7., น. 89
  31. ^ Campbell-Kelly, Martin (2003), ประวัติของตารางคณิตศาสตร์: จาก Sumer สู่สเปรดชีต , ทุนการศึกษา Oxford ออนไลน์, สำนักพิมพ์ Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850841-0, มาตรา 2
  32. ^ เดอร์ส, เมอร์เร R .; Moyer, RE (2006), โครงร่างของ Schaum เกี่ยวกับพีชคณิตวิทยาลัย , ชุดโครงร่างของ Schaum, นิวยอร์ก: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-145227-4, พี. 264
  33. ^ Maor, Eli (2009), E: The Story of a Number , Princeton University Press , ตอนที่ 1, 13, ISBN 978-0-691-14134-3
  34. ^ Devlin, Keith (2004), ชุด, ฟังก์ชัน และตรรกะ: บทนำสู่คณิตศาสตร์นามธรรม , Chapman & Hall/CRC math (ฉบับที่ 3), Boca Raton, Fla: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-449-1หรือดูการอ้างอิงในฟังก์ชัน
  35. a b Lang, Serge (1997), Undergraduate analysis , Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2698-5 , ISBN 978-0-387-94841-6, มร.  1476913, มาตรา III.3
  36. ^ a b Lang  1997 , ส่วน IV.2
  37. ^ Dieudonnéฌอง (1969) ฐานรากของการวิเคราะห์ที่ทันสมัย , 1 , นักวิชาการสื่อมวลชนพี 84 รายการ (4.3.1)
  38. ^ "Calculation of d/dx(Log(b,x)) " , Wolfram Alpha , Wolfram Research , ดึงข้อมูลเมื่อ15 มีนาคม 2011
  39. ^ Kline, Morris (1998), แคลคูลัส: วิธีการเชิงสัญชาตญาณและทางกายภาพ , หนังสือโดเวอร์เกี่ยวกับคณิตศาสตร์, นิวยอร์ก: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ , ISBN 978-0-486-40453-0, พี. 386
  40. ^ "Calculation of Integrate(ln(x)) " , Wolfram Alpha , Wolfram Research , สืบค้นเมื่อ15 มีนาคม 2011
  41. ^ Abramowitz & Stegun สหพันธ์ 2515 , น. 69
  42. ^ Courant, ริชาร์ด (1988), แตกต่างและแคลคูลัส ฉบับที่ I , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-60842-4, มร.  1009558, มาตรา III.6
  43. ^ Havil จูเลียน (2003), แกมมา: Exploring คงออยเลอร์ , พรินซ์ตัน University Press , ISBN 978-0-691-09983-5, ส่วน 11.5 และ 13.8
  44. ^ Nomizu, Katsumi (1996), Selected Papers on Number Theory and พีชคณิตเรขาคณิต , 172 , Providence, RI: AMS Bookstore, p. 21, ISBN 978-0-8218-0445-2
  45. Baker, Alan (1975), ทฤษฎีตัวเลขยอดเยี่ยม , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-20461-3, พี. 10
  46. มุลเลอร์, ฌอง-มิเชล (2006), ฟังก์ชันเบื้องต้น (ฉบับที่ 2), บอสตัน, แมสซาชูเซตส์: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4372-0, ตอนที่ 4.2.2 (หน้า 72) และ 5.5.2 (หน้า 95)
  47. ^ ฮาร์ต; เชนีย์; ลอว์สัน; และคณะ (1968), Computer Approximations , SIAM Series in Applied Mathematics, New York: จอห์น ไวลีย์, ตอนที่ 6.3, น. 105–11
  48. ^ จาง ม.; เดลกาโด-ฟรีอัส เจจี; Vassiliadis, S. (1994), "Table driven Newton scheme สำหรับการสร้างลอการิทึมที่มีความแม่นยำสูง", IEE Proceedings - Computers and Digital Techniques , 141 (5): 281–92, doi : 10.1049/ip-cdt:19941268 , ISSN 1350- 2387 , ส่วนที่ 1 สำหรับภาพรวม
  49. ^ Meggitt, JE (เมษายน 2505), "Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes" , IBM Journal of Research and Development , 6 (2): 210–26, doi : 10.1147/rd.62.0210 , S2CID 19387286 
  50. ^ Kahan, W. (20 พฤษภาคม 2544), Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials
  51. อรรถเป็น Abramowitz & Stegun, eds. 2515 , น. 68
  52. ^ ซาซากิ ต.; แคนาดา, วาย. (1982), "การประเมิน log(x) ที่แม่นยำหลายระดับอย่างรวดเร็วในทางปฏิบัติ" , Journal of Information Processing , 5 (4): 247–50 , ดึงข้อมูลเมื่อ30 มีนาคม 2011
  53. ^ Ahrendt, Timm (1999), "Fast Computations of the Exponential Function", Stacs 99 , Lecture notes in computer science, 1564 , Berlin, New York: Springer, pp. 302–12, doi : 10.1007/3-540-49116 -3_28 , ISBN 978-3-540-65691-3
  54. ^ Hillis, Danny (15 มกราคม 1989), "Richard Feynman and The Connection Machine", Physics Today , 42 (2): 78, Bibcode : 1989PhT....42b..78H , doi : 10.1063/1.881196
  55. ^ มัวร์  2552 , p. 135
  56. ^ Frey, Bruce (2006), แฮ็กสถิติ , Hacks Series, Sebastopol, CA: O'Reilly , ISBN 978-0-596-10164-0, บทที่ 6, มาตรา 64
  57. ^ Ricciardi ลุย M. (1990) บรรยายในวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์และสารสนเทศ , แมนเชสเตอร์แมนเชสเตอร์ University Press, ISBN 978-0-7190-2671-3, พี. 21 มาตรา 1.3.2
  58. ^ Bakshi, UA (2009), วิศวกรรมโทรคมนาคม , Pune: Technical Publications, ISBN 978-81-8431-725-1, ส่วน 5.2
  59. ^ Maling, จอร์จซี (2007), "เสียงรบกวน" ใน Rossing, โทมัสดี (Ed.), สปริงคู่มือของอะคูสติก , เบอร์ลิน, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-30446-5, มาตรา 23.0.2
  60. ^ Tashev อีวาน Jelev (2009), จับภาพเสียงและการประมวลผล: แนวทางปฏิบัติ , New York: John Wiley & Sonsพี 98, ISBN 978-0-470-31983-3
  61. ^ Chui, CK (1997), Wavelets: เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการประมวลผลสัญญาณ , เอกสาร SIAM เกี่ยวกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการคำนวณ, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics , ISBN 978-0-89871-384-8
  62. ^ ครูเดอร์ บรูซ; อีแวนส์, เบนนี่; Noell, Alan (2008) หน้าที่และการเปลี่ยนแปลง: แนวทางการสร้างแบบจำลองสู่พีชคณิตของวิทยาลัย (ฉบับที่ 4) บอสตัน: การเรียนรู้ Cengage, ISBN 978-0-547-15669-9, ส่วน 4.4.
  63. ^ Bradt, Hale (2004), วิธีการทางดาราศาสตร์: วิธีการทางกายภาพเพื่อการสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์ , Cambridge Planetary Science, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ , ISBN 978-0-1521-53551-9, มาตรา 8.3, น. 231
  64. ^ Norby เจนส์ลาร์ (2000) "ที่มาและความหมายของพีน้อยใน pH". แนวโน้มในทางชีวเคมีวิทยาศาสตร์ 25 (1): 36–37. ดอย : 10.1016/S0968-0004(99)01517-0 . PMID 10637613 . 
  65. ^ IUPAC (1997), AD McNaught, A. Wilkinson (ed.), Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book") (ฉบับที่ 2), Oxford: Blackwell Scientific Publications, doi : 10.1351/goldbook , ISBN 978-0-9678550-9-7
  66. ^ Bird, JO (2001), หนังสือพกพาคณิตศาสตร์ทางวิศวกรรมของ Newnes (ฉบับที่ 3), Oxford: Newnes, ISBN 978-0-7506-4992-6, มาตรา 34
  67. ^ Goldstein, อีบรูซ (2009), สารานุกรมของการรับรู้ , สารานุกรมของการรับรู้, Thousand Oaks, แคลิฟอร์เนีย: Sage, ISBN 978-1-4129-4081-8, หน้า 355–56
  68. ^ Matthews, Gerald (2000), สมรรถนะของมนุษย์: การรับรู้ ความเครียด และความแตกต่างส่วนบุคคล , Hove: Psychology Press, ISBN 978-0-415-04406-6, พี. 48
  69. ^ Welford, AT (1968) ความรู้พื้นฐานของทักษะลอนดอน: เมธูนISBN 978-0-416-03000-6, OCLC  219156, พี. 61
  70. ^ Paul M. Fitts (มิถุนายน 2497), "ความจุข้อมูลของระบบมอเตอร์ของมนุษย์ในการควบคุมแอมพลิจูดของการเคลื่อนไหว" , Journal of Experimental Psychology , 47 (6): 381–91, doi : 10.1037/h0055392 , PMID 13174710 , S2CID 501599  , พิมพ์ซ้ำในPaul M. Fitts (1992), "ความจุข้อมูลของระบบมอเตอร์ของมนุษย์ในการควบคุมแอมพลิจูดของการเคลื่อนไหว" (PDF) , Journal of Experimental Psychology: General , 121 (3): 262–69, doi : 10.1037 /0096-3445.121.3.262 , PMID 1402698 , ดึงข้อมูลเมื่อ30 มีนาคม 2011  
  71. ^ Banerjee, JC (1994), พจนานุกรมสารานุกรมของข้อตกลงทางจิตวิทยานิวเดลี: MD สิ่งพิมพ์พี 304, ISBN 978-81-85880-28-0, OCLC  33860167
  72. ^ Nadel ลินน์ (2005), สารานุกรมวิทยาศาสตร์พุทธิปัญญานิวยอร์ก: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-470-01619-0, บทแทรกจิตวิทยาและการรับรู้: ภาพรวม
  73. ^ Siegler โรเบิร์ต S .; Opfer, John E. (2003), "The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity" (PDF) , Psychological Science , 14 (3): 237–43, CiteSeerX 10.1.1.727.3696 , doi : 10.1111 , /1467-9280.02438 , PMID 12741747 , S2CID 9583202 , archived from the original (PDF)เมื่อ 17 พฤษภาคม 2011 , ดึงข้อมูล7 มกราคม 2011    
  74. ^ Dehaene, ตานี; อิซาร์ด, เวโรนิค; สเปลค์, เอลิซาเบธ; Pica, Pierre (2008), "Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures", Science , 320 (5880): 1217–20, Bibcode : 2008Sci...320.1217D , CiteSeerX 10.1.1.362 .2390 , ดอย : 10.1126/science.1156540 , PMC 2610411 , PMID 18511690   
  75. ^ Breiman, Leo (1992), ความน่าจะเป็น , คลาสสิกในคณิตศาสตร์ประยุกต์, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics , ISBN 978-0-89871-296-4, มาตรา 12.9
  76. ^ Aitchison เจ.; บราวน์, JAC (1969), The lognormal distribution , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-04011-2, OCLC  301100935
  77. Jean Mathieu and Julian Scott (2000), An Introduction to turbulent flow , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, หน้า. 50, ISBN  978-0-521-77538-0
  78. ^ โรส คอลิน; Smith, Murray D. (2002), สถิติทางคณิตศาสตร์กับ Mathematica , ตำรา Springer ในสถิติ, เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95234-5, มาตรา 11.3
  79. ^ Tabachnikov, Serge (2005), Geometry and Billiards , Providence, RI: American Mathematical Society , หน้า 36–40, ISBN 978-0-8218-3919-5, ส่วน 2.1
  80. ^ Durtschi ซินดี้; ฮิลลิสัน, วิลเลียม; Pacini, Carl (2004), "The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data" (PDF) , Journal of Forensic Accounting , V : 17–34, archived from the original (PDF) on 29 สิงหาคม 2017 , ดึงข้อมูล28 พฤษภาคม 2018
  81. ^ Wegener, Ingo (2005), ทฤษฎีความซับซ้อน: สำรวจขอบเขตของอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพ , เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-21045-0, หน้า 1–2
  82. ^ ฮาเรล เดวิด; Feldman, Yishai A. (2004), อัลกอริธึม: จิตวิญญาณแห่งการคำนวณ , New York: Addison-Wesley , ISBN 978-0-2321-11784-7, พี. 143
  83. ^ Knuth, Donald (1998), The Art of Computer Programming , Reading, แมสซาชูเซตส์: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-89685-5, มาตรา 6.2.1, น. 409–26
  84. ^ Donald Knuth  1998 , ตอนที่ 5.2.4, หน้า 158–68
  85. ^ Wegener, Ingo (2005), ทฤษฎีความซับซ้อน: สำรวจขอบเขตของอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพ , เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , p. 20, ISBN 978-3-540-21045-0
  86. ^ มอร์ฮันส์; Schopfer, Peter (1995), สรีรวิทยาของพืช , เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58016-4, บทที่ 19, น. 298
  87. ^ Eco, Umberto (1989), The open work , Harvard University Press , ISBN 978-0-674-63976-8, มาตรา III.I
  88. ^ Sprott มั๊ยคลินตัน (2010), "Elegant Chaos: ง่ายพีชคณิตวุ่นวายกระแส" , Elegant Chaos: Chaotic ง่ายพีชคณิตกระแส แก้ไขโดย Sprott Julien Clinton จัดพิมพ์โดย World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd , New Jersey: World Scientific , Bibcode : 2010ecas.book.....S , doi : 10.1142/7183 , ISBN 978-981-283-881-0, มาตรา 1.9
  89. ^ Helmberg, Gilbert (2007), ทำความคุ้นเคยกับเศษส่วน , De Gruyter Textbook, Berlin, New York: Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-019092-2
  90. ^ Wright, David (2009), คณิตศาสตร์และดนตรี , พรอวิเดนซ์, RI: AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-4873-9, บทที่ 5
  91. ^ เบทแมน PT; Diamond, Harold G. (2004), ทฤษฎีจำนวนวิเคราะห์: หลักสูตรเบื้องต้น , New Jersey: World Scientific , ISBN 978-981-256-080-3, OCLC  492669517, ทฤษฎีบท 4.1
  92. ^ PT Bateman & Diamond  2004 , ทฤษฎีบท 8.15
  93. ^ Slomson, Alan B. (1991), An Introduction to combinatorics , ลอนดอน: CRC Press , ISBN 978-0-412-35370-3, บทที่ 4
  94. ^ Ganguly, S. (2005), Elements of Complex Analysis , โกลกาตา: สำนักพิมพ์ทางวิชาการ, ISBN 978-81-87504-86-3, คำจำกัดความ 1.6.3
  95. ^ Nevanlinna, Rolf เฮอร์แมน ; Paatero, Veikko (2007), "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน", London: Hilger , Providence, RI: AMS Bookstore, Bibcode : 1974aitc.book.....W , ISBN 978-0-8218-4399-4, ส่วน 5.9
  96. ^ มัวร์ Theral Orvis; Hadlock, Edwin H. (1991), การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน , Singapore: World Scientific , ISBN 978-981-02-0246-0, มาตรา 1.2
  97. ^ ไวลด์, อีวานฟรานซิส (2006), บันทึกการบรรยายการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนลอนดอน: วิทยาลัยอิมพีเรียลกดISBN 978-1-86094-642-4, theorem 6.1.
  98. ^ Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, Philadelphia, PA: SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7, chapter 11.
  99. ^ Neukirch, Jürgen (1999), Algebraische Zahlentheorie, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021, section II.5.
  100. ^ Hancock, Edwin R.; Martin, Ralph R.; Sabin, Malcolm A. (2009), Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings, Springer, p. 379, ISBN 978-3-642-03595-1
  101. ^ Stinson, Douglas Robert (2006), Cryptography: Theory and Practice (3rd ed.), London: CRC Press, ISBN 978-1-58488-508-5
  102. ^ Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Finite fields, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39231-0
  103. ^ Corless, ร.; Gonnet, G.; กระต่าย, D.; เจฟฟรีย์, D.; Knuth, Donald (1996), "On the Lambert W function" (PDF) , Advances in Computational Mathematics , 5 : 329–59, doi : 10.1007/BF02124750 , ISSN 1019-7168 , S2CID 29028411 , archived from the original (PDF) on 14 ธันวาคม 2010 , ดึงข้อมูล13 กุมภาพันธ์ 2011   
  104. ^ Cherkassky, Vladimir; Cherkassky, Vladimir S.; Mulier, Filip (2007), Learning from data: concepts, theory, and methods, Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-68182-3, p. 357
  105. ^ Bourbaki, Nicolas (1998), General topology. Chapters 5–10, Elements of Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-64563-4, MR 1726872, section V.4.1
  106. ^ Ambartzumian, R.V. (1990), Factorization calculus and geometric probability, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-34535-4, section 1.4
  107. ^ Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Lectures on vanishing theorems, DMV Seminar, 20, Basel, Boston: Birkhäuser Verlag, CiteSeerX 10.1.1.178.3227, doi:10.1007/978-3-0348-8600-0, ISBN 978-3-7643-2822-1, MR 1193913, section 2
  108. ^ Apostol, T.M. (2010), "Logarithm", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248

External links