คอลเลกชันที่มีขอบเขตจำกัดในท้องถิ่น

กลุ่มย่อยของปริภูมิทอพอโลยีกล่าวกันว่ามีจำกัดเฉพาะจุดถ้าแต่ละจุดในอวกาศมีพื้นที่ใกล้เคียงที่ตัดกันหลายชุดในกลุ่มสะสมอย่างจำกัดเท่านั้น[1]

ใน สาขา วิชาคณิตศาสตร์ของโทโพโลยีความวิจิตรเฉพาะจุดเป็นคุณสมบัติของคอเลกชั่นย่อยของปริภูมิทอพอโลยี เป็นพื้นฐานในการศึกษามิติพาราคอมแพ็กต์เนสและ ทอพอโล ยี

โปรดทราบว่าคำว่าจำกัดเฉพาะที่มีความหมายที่แตกต่างกันในสาขาทางคณิตศาสตร์อื่นๆ

ตัวอย่างและคุณสมบัติ

กลุ่มย่อยของพื้นที่ทอพอโลยีมีขอบเขตจำกัด[2]คอลเลกชันที่ไม่มีที่สิ้นสุดสามารถมีจำกัดเฉพาะที่: ตัวอย่างเช่น คอลเลกชันของชุดย่อยทั้งหมดของแบบฟอร์มสำหรับจำนวนเต็ม[1]การ รวบรวมเซตย่อย ที่นับได้ไม่จำเป็นต้องมีจำกัดเฉพาะที่ ดังที่แสดงโดยการรวบรวมเซตย่อยทั้งหมดของแบบ ฟอร์มสำหรับจำนวนธรรมชาติn

หากคอลเลกชันของชุดมีจำกัดในท้องถิ่น คอลเลกชันของการปิดทั้งหมดของชุดเหล่านี้ก็มีจำกัดในท้องถิ่นเช่นกัน เหตุผลก็คือ ถ้าเซตเปิดที่มีจุดตัดกับการปิดของเซต ก็จำเป็นต้องตัดเซตนั้นเอง ดังนั้นย่านใกล้เคียงสามารถตัดกันได้ในจำนวนการปิดที่เท่ากันมากที่สุด (มันอาจจะตัดกันน้อยลง เนื่องจากสองค่าที่แตกต่างกัน จริงๆ แล้ว แยกจากกัน เซตสามารถปิดได้เหมือนกัน) อย่างไรก็ตาม การสนทนาอาจล้มเหลวได้หากการปิดฉากไม่ชัดเจน ตัวอย่างเช่น ในโทโพโลยีส่วนเสริมอันจำกัดบนคอลเลกชันของชุดที่เปิดทั้งหมดนั้นไม่มีขอบเขตจำกัดเฉพาะที่ แต่การรวบรวมการปิดทั้งหมดของชุดเหล่านี้มีจำกัดเฉพาะที่ (เนื่องจากการปิดเพียงอย่างเดียวคือและชุดว่าง )

พื้นที่ขนาดกะทัดรัด

ทุกการรวบรวมเซตย่อยของสเปซขนาดกะทัดรัด ที่มีขอบเขตจำกัดเฉพาะ จะต้องมีขอบเขตจำกัด อันที่จริง ปล่อยให้เป็นตระกูลย่อยของสเปซขนาดกะทัดรัดที่ มีขอบเขตจำกัดเฉพาะ ที่ สำหรับแต่ละจุดให้เลือกย่านใกล้เคียงที่เปิดซึ่งตัดกับชุดย่อยในจำนวนจำกัด เห็นได้ชัดว่าเป็นตระกูลของเซต: เป็นปกเปิดของและดังนั้นจึงมีปกย่อยที่ มีขอบเขตจำกัด : เนื่องจากแต่ละเซตตัดกันเพียงจำนวนจำกัดของเซตย่อยใน การรวมกันของเซตย่อยดังกล่าวทั้งหมดจึงตัดกันเพียงจำนวนจำกัดของเซตย่อยใน เนื่องจากสหภาพนี้เป็นสเปซทั้งหมดจึงตามมาด้วยการตัดกันเพียงจำนวนจำกัดของชุดย่อยในคอลเลกชัน และเนื่องจากประกอบด้วยเซตย่อยของสมาชิกทุกตัวของmust ตัดกันจึงมีจำกัด

พื้นที่ทอพอโลยีที่ทุกฝาครอบที่เปิดอยู่ ยอมรับ การปรับแต่งแบบเปิดที่มีขอบเขตจำกัดเฉพาะที่เรียกว่าparacompactทุกคอลเลกชันของเซตย่อยของพื้นที่ทอพอโลยีที่มีขอบเขตจำกัดเฉพาะจุดนั้นก็มีขอบเขตจำกัด เช่นกัน พื้นที่ทอพอโลยีที่ทุกฝาครอบที่เปิดอยู่ยอมรับการปรับแต่งแบบเปิดแบบจุดจำกัด เรียกว่า metacompact

ช่องว่างนับได้ที่สอง

ไม่มีการครอบคลุมพื้นที่ลินเดลอฟนับไม่ได้ ที่สามารถจำกัดเฉพาะที่ โดยการโต้แย้งโดยพื้นฐานแล้วเช่นเดียวกับในกรณีของช่องว่างขนาดกะทัดรัด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การครอบคลุมพื้นที่นับไม่ได้ที่สองนั้นไม่มีขอบเขตจำกัดเฉพาะที่

ชุดปิด

การรวมอันจำกัดของเซตปิดจะถูกปิดเสมอ เราสามารถยกตัวอย่างการรวมกันไม่สิ้นสุดของเซตปิดที่ไม่ปิดได้ อย่างไรก็ตาม ถ้าเราพิจารณาชุดปิดของชุดที่มีจำกัดในท้องถิ่น สหภาพจะปิด หากต้องการดูสิ่งนี้ เราสังเกตว่า ถ้าเป็นจุดที่อยู่นอกการรวมกลุ่มของชุดปิดที่มีขอบเขตจำกัดในท้องถิ่นนี้ เราเพียงแต่เลือกย่านใกล้เคียงที่ตัดกันชุดนี้ด้วยชุดเหล่านี้จำนวนจำกัดเท่านั้น กำหนด แผนผัง bijectiveจากชุดของชุดที่ตัดกันเพื่อให้ดัชนีแก่แต่ละชุดเหล่านี้ จากนั้นสำหรับแต่ละชุด ให้เลือกชุดเปิดที่ไม่ตัดกัน จุดตัดของจุดตัดทั้งหมดเพื่อตัดกับคือย่านใกล้เคียงที่ไม่ตัดการรวมกันของชุดเซตปิดนี้

คอลเลกชันที่มีจำกัดในท้องถิ่นนับได้

คอลเลกชันในพื้นที่หนึ่งคือนับได้อย่างจำกัดในท้องถิ่น (หรือσ-จำกัดเฉพาะที่ ) ถ้ามันคือการรวมกันของตระกูลที่นับได้ของคอลเลกชันย่อยที่มีจำกัดเฉพาะที่ของเป็นสมมติฐานสำคัญในทฤษฎีบทการวัดของนากาตะ-สมีร์นอฟซึ่งระบุว่าปริภูมิทอพอโลยีสามารถวัดได้ก็ต่อเมื่อมันเป็นปกติHausdorffและมีพื้นฐานได้[3]

ดูสิ่งนี้ด้วย

การอ้างอิง

  1. ↑ ab Munkres 2000, p. 244.
  2. มันเครส 2000, หน้า. 245 เลมมา 39.1.
  3. มันเครส 2000, หน้า. 250 ทฤษฎีบท 40.3

อ้างอิง

  • Munkres, James R. (2000), Topology (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2
ดึงมาจาก "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Locally_finite_collection&oldid=1193633394"