ส่วนของเส้น

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา
คำจำกัดความทางเรขาคณิตของส่วนของเส้นปิด: จุดตัดของจุดทั้งหมดที่หรือทางด้านขวาของA ที่มีจุดทั้งหมดที่หรือทางด้านซ้ายของB
ภาพประวัติศาสตร์ – สร้างส่วนของเส้น (1699)

ในรูปทรงเรขาคณิตที่เป็นส่วนของเส้นเป็นส่วนหนึ่งของที่บรรทัดที่ล้อมรอบด้วยสองปลายที่แตกต่างกันจุดและมีทุกจุดบนเส้นที่อยู่ระหว่างจุดสิ้นสุดของมัน ส่วนของเส้นปิดรวมถึงปลายทางทั้งในขณะที่สายเปิดส่วนไม่รวมทั้งปลายทาง; ส่วนของเส้นครึ่งเปิดรวมถึงว่าหนึ่งในปลายทาง ในเรขาคณิตส่วนของเส้นตรงมักจะแสดงโดยใช้เส้นเหนือสัญลักษณ์สำหรับจุดปลายทั้งสอง (เช่น). [1] [2]

ตัวอย่างของส่วนของเส้นตรง ได้แก่ ด้านข้างของสามเหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยทั่วไปเมื่อทั้งสองจุดสิ้นสุดของส่วนที่มีจุดของรูปหลายเหลี่ยมหรือรูปทรงหลายเหลี่ยมส่วนเส้นเป็นทั้งขอบ (จากรูปหลายเหลี่ยมหรือรูปทรงหลายเหลี่ยม) หากพวกเขาเป็นจุดที่อยู่ใกล้เคียงหรือแนวทแยง เมื่อจุดสิ้นสุดทั้งสองอยู่บนเส้นโค้ง (เช่นวงกลม ) ส่วนของเส้นจะเรียกว่าคอร์ด (ของเส้นโค้งนั้น)

ในพื้นที่เวกเตอร์จริงหรือซับซ้อน

ถ้าVเป็นสเปซเวกเตอร์บน หรือ และLเป็นเซตย่อยของVจากนั้นLคือส่วนของเส้นตรงหากLสามารถกำหนดพารามิเตอร์เป็น

สำหรับเวกเตอร์บางตัว . ในกรณีนี้เวกเตอร์uและu + vเรียกว่าจุดสิ้นสุดของL .

บางครั้ง เราจำเป็นต้องแยกความแตกต่างระหว่างส่วนของเส้น "เปิด" และ "ปิด" ในกรณีนี้ เราจะกำหนดส่วนของเส้นปิดดังที่กล่าวไว้ข้างต้น และส่วนของเส้นเปิดเป็นเซตย่อยLที่สามารถกำหนดเป็นพารามิเตอร์ได้เป็น

สำหรับเวกเตอร์บางตัว .

ในทำนองเดียวกัน ส่วนของเส้นตรงคือตัวเรือนูนของสองจุด ดังนั้น ส่วนของเส้นตรงสามารถแสดงเป็นการรวมกันแบบนูนของจุดสิ้นสุดทั้งสองส่วน

ในรูปทรงเรขาคณิตหนึ่งอาจกำหนดจุดBจะอยู่ระหว่างสองจุดอื่น ๆและCถ้าระยะทางABเพิ่มระยะทางที่BCเท่ากับระยะทางAC ดังนั้นในส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายA = ( a x , a y )และC = ( c x , c y )คือชุดของจุดต่อไปนี้:

คุณสมบัติ

  • ส่วนของเส้นเป็นที่เชื่อมต่อ , ไม่ว่างเปล่า ชุด
  • ถ้าVเป็นปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยีแล้วส่วนของเส้นปิดเป็นชุดปิดในV อย่างไรก็ตามส่วนของเส้นเปิดเป็นชุดเปิดในV และถ้าหาก Vเป็นหนึ่งมิติ
  • โดยทั่วไปแล้ว แนวคิดของส่วนของเส้นตรงสามารถกำหนดได้ในเรขาคณิตที่จัดลำดับ
  • คู่ของกลุ่มสายสามารถเป็นคนใดคนหนึ่งดังต่อไปนี้: ตัด , ขนาน , เอียงหรือไม่มีของเหล่านี้ ความเป็นไปได้สุดท้ายคือวิธีที่ส่วนของเส้นตรงแตกต่างจากเส้นตรง: ถ้าเส้นไม่ขนานสองเส้นอยู่ในระนาบแบบยุคลิดเดียวกัน เส้นนั้นจะต้องตัดกัน แต่นั่นไม่จำเป็นต้องเป็นจริงสำหรับส่วนนั้นๆ

ในการพิสูจน์

ในการปฏิบัติจริงของเรขาคณิต แนวคิดเรื่องระหว่างความต่างถูกสันนิษฐานว่าเป็นไปตามสัจพจน์จำนวนหนึ่ง หรือกำหนดไว้ในแง่ของไอโซเมทรีของเส้น (ใช้เป็นระบบพิกัด)

ส่วนต่างๆ มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ชุดจะนูนถ้าส่วนที่เชื่อมจุดสองจุดใดๆ ของชุดอยู่ในชุด นี่เป็นสิ่งสำคัญเนื่องจากจะเปลี่ยนการวิเคราะห์ชุดนูนบางส่วนเป็นการวิเคราะห์ส่วนของเส้น สมมุติส่วนนอกจากนี้สามารถนำมาใช้เพื่อเพิ่มส่วนสอดคล้องกันหรือกลุ่มที่มีความยาวเท่ากันและผลที่ตามมาทดแทนส่วนอื่น ๆ ลงในคำสั่งเพื่อให้สอดคล้องกลุ่มอื่น

เป็นวงรีเสื่อม

ส่วนของเส้นตรงสามารถมองได้ว่าเป็นกรณีที่เสื่อมของวงรีโดยที่แกนเซมินอร์ไปที่ศูนย์จุดโฟกัสไปที่จุดปลาย และความเยื้องศูนย์ไปที่หนึ่ง คำจำกัดความมาตรฐานของวงรีคือเซตของจุดที่ผลรวมของระยะทางของจุดถึงจุดโฟกัสสองจุดเป็นค่าคงที่ ถ้าค่าคงที่นี้เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดโฟกัส ส่วนของเส้นตรงจะเป็นผลลัพธ์ วงโคจรที่สมบูรณ์ของวงรีนี้ตัดผ่านส่วนของเส้นตรงสองครั้ง ในฐานะที่เป็นวงโคจรเลวนี้เป็นวิถีรูปไข่รัศมี

ในรูปทรงเรขาคณิตอื่น ๆ

นอกจากนี้จะปรากฏเป็นขอบและเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมและรูปทรงหลายเหลี่ยม , กลุ่มสายนอกจากนี้ยังปรากฏในสถานที่อื่น ๆ อีกมากมายเมื่อเทียบกับคนอื่น ๆรูปทรงเรขาคณิต

สามเหลี่ยม

ส่วนที่พิจารณาบ่อยมากในรูปสามเหลี่ยมเพื่อรวมสามระดับความสูง (แต่ละส่วนตั้งฉากเชื่อมต่อด้านหนึ่งหรือส่วนต่อขยายไปยังจุดยอดตรงข้าม) ค่ามัธยฐานทั้งสาม(แต่ละส่วนเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านกับจุดยอดตรงข้าม) เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้านข้าง ( ตั้งฉากระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านหนึ่งกับอีกด้านหนึ่ง) และเส้นแบ่งครึ่งมุมภายใน (แต่ละส่วนเชื่อมต่อจุดยอดกับด้านตรงข้าม) ในแต่ละกรณีมีความเท่าเทียมกันต่างๆที่เกี่ยวข้องกับความยาวเหล่านี้ส่วนให้กับผู้อื่น (กล่าวถึงในบทความเกี่ยวกับประเภทต่างๆของกลุ่ม) เช่นเดียวกับความไม่เท่าเทียมกันต่างๆ

ส่วนอื่น ๆ ที่น่าสนใจในรูปสามเหลี่ยมรวมถึงผู้ที่เชื่อมต่อต่าง ๆศูนย์สามเหลี่ยมกับแต่ละอื่น ๆ ที่สะดุดตาที่สุดincenterที่วงล้อมที่ศูนย์เก้าจุดที่เซนทรอยด์และorthocenter

รูปสี่เหลี่ยม

นอกจากด้านและเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมแล้ว ส่วนที่สำคัญบางส่วนคือสองบีมีเดียน (เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม) และสี่ด้าน (แต่ละส่วนตั้งฉากในแนวตั้งฉากเชื่อมต่อด้านหนึ่งกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม)

วงกลมและวงรี

ส่วนของเส้นตรงใด ๆ ที่เชื่อมต่อสองจุดบนวงกลมหรือวงรีเรียกว่าคอร์ด คอร์ดใด ๆ ในวงกลมซึ่งมีคอร์ดไม่เรียกว่าขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางและส่วนใด ๆ ที่เชื่อมต่อวงกลมศูนย์ (จุดกึ่งกลางของเส้นผ่าศูนย์กลาง) เพื่อจุดบนวงกลมเรียกว่ารัศมี

ในวงรี คอร์ดที่ยาวที่สุดซึ่งเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางที่ยาวที่สุดเช่นกัน เรียกว่าแกนหลักและส่วนจากจุดกึ่งกลางของแกนหลัก (จุดศูนย์กลางของวงรี) ไปยังจุดปลายทั้งสองของแกนหลักเรียกว่าแกนกึ่งเอก . ในทำนองเดียวกันเส้นผ่าศูนย์กลางที่สั้นที่สุดของวงรีที่เรียกว่าแกนเล็ก ๆ น้อย ๆและส่วนจากจุดกึ่งกลาง (กลางวงรีฯ ) อย่างใดอย่างหนึ่งของปลายทางของมันเรียกว่ากึ่งแกนรองคอร์ดของวงรีซึ่งตั้งฉากกับแกนหลักและผ่านจุดโฟกัสจุดใดจุดหนึ่งของมันเรียกว่าลาเทราเรคตาของวงรี ส่วนinterfocalเชื่อมต่อจุดโฟกัสทั้งสอง

ส่วนของเส้นตรง

เมื่อส่วนของเส้นจะได้รับการปฐมนิเทศ (ทิศทาง) จะเรียกว่าส่วนของเส้นกำกับ มันแสดงให้เห็นการแปลหรือการกระจัด (อาจเกิดจากแรง ) ขนาดและทิศทางบ่งบอกถึงการเปลี่ยนแปลงที่อาจเกิดขึ้น ขยายส่วนของเส้นกำกับกึ่งอนันต์ผลิตrayและอนันต์ในทั้งสองทิศทางผลิตเส้นกำกับ ข้อเสนอแนะนี้ได้รับการดูดซึมเข้าสู่ฟิสิกส์คณิตศาสตร์ผ่านแนวคิดของการที่เวกเตอร์แบบยุคลิด [3] [4]คอลเลกชันของส่วนของเส้นตรงทั้งหมดมักจะลดลงโดยทำให้คู่ที่มีความยาวและทิศทางเท่ากัน "เท่ากัน" [5] การประยุกต์ใช้ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันนี้เกิดขึ้นจากการแนะนำแนวคิดของความเท่าเทียมกันของส่วนของเส้นตรงของGiusto Bellavitisในปี พ.ศ. 2378

ลักษณะทั่วไป

คล้ายกับส่วนของเส้นตรงด้านบน เราสามารถกำหนดส่วนโค้งเป็นส่วนของเส้นโค้งได้

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

  1. ^ "รายการสัญลักษณ์เรขาคณิตและตรีโกณมิติ" . คณิตศาสตร์ห้องนิรภัย 2020-04-17 . สืบค้นเมื่อ2020-09-01 .
  2. ^ "เส้นแบ่งกลุ่มนิยาม - คณิตศาสตร์เปิดเอกสารอ้างอิง" www.mathopenref.com . สืบค้นเมื่อ2020-09-01 .
  3. ^ Harry F. Davis & Arthur David Snider (1988) Introduction to Vector Analysisฉบับที่ 5 หน้า 1 Wm. ค. สำนักพิมพ์บราวน์ ISBN 0-697-06814-5 
  4. ^ Matiur Rahman & Isaac Mulolani (2001) Applied Vector Analysis , หน้า 9 & 10, CRC Press ISBN 0-8493-1088-1 
  5. ^ Eutiquio C. Young (1978) Vector and Tensor Analysis , หน้า 2 & 3, Marcel Dekker ISBN 0-8247-6671-7 

อ้างอิง

ลิงค์ภายนอก

บทความนี้จะรวมวัสดุจากส่วนเส้นPlanetMathซึ่งได้รับใบอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution / หุ้น Alike ใบอนุญาต