เส้น (เรขาคณิต)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา
เส้นสีแดงและสีน้ำเงินบนกราฟนี้มีความชันเท่ากัน (การไล่ระดับสี) ; เส้นสีแดงและสีเขียวมีจุด ตัดแกน y เดียวกัน (ตัดแกน yที่ตำแหน่งเดียวกัน)
การแสดงส่วนของบรรทัดเดียว

ในเรขาคณิตแนวความคิดของเส้นหรือเส้นตรงถูกนำมาใช้โดยนักคณิตศาสตร์ในสมัยโบราณเพื่อเป็นตัวแทนของวัตถุที่เป็นเส้นตรง (กล่าวคือ ไม่มีส่วนโค้ง ) โดยมีความกว้างและความลึกเล็กน้อย เส้นคือการสร้างอุดมคติของวัตถุดังกล่าว ซึ่งมักจะอธิบายเป็นสองประเด็น (เช่น) หรืออ้างถึงโดยใช้อักษรตัวเดียว (เช่น). [1]

จนถึงศตวรรษที่ 17 เส้นถูกกำหนดให้เป็น "[...] สายพันธุ์แรกของปริมาณซึ่งมีมิติเดียวคือความยาวไม่มีความกว้างหรือความลึกและไม่มีอะไรอื่นนอกจากการไหลหรือการไหลของจุดที่ [ ... ] จะออกจากจินตนาการของมันในการเคลื่อนย้ายร่องรอยตามความยาวยกเว้นความกว้างใด ๆ [... ] เส้นตรงคือสิ่งที่ขยายออกไปเท่า ๆ กันระหว่างจุดต่างๆ " [2]

ยู คลิดบรรยายถึงเส้นหนึ่งว่า "ความยาวไม่กว้าง" ซึ่ง "อยู่ในตำแหน่งเท่าๆ กันเมื่อเทียบกับจุดที่อยู่บนตัวมันเอง"; เขาแนะนำหลายสมมุติฐานว่าเป็นคุณสมบัติพื้นฐานที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ ซึ่งเขาสร้างรูปทรงเรขาคณิตทั้งหมด ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าเรขาคณิตแบบยุคลิดเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับรูปทรงอื่นๆ ที่ได้รับการแนะนำตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 19 (เช่นเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดโปรเจกทีฟและเรขาคณิตแบบเชื่อมโยง ).

ในวิชาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เนื่องจากมีรูปทรงเรขาคณิตจำนวนมาก แนวคิดของเส้นตรงจึงมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับวิธีการอธิบายเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น ในเรขาคณิตวิเคราะห์เส้นในระนาบมักถูกกำหนดให้เป็นเซตของจุดที่พิกัดเป็นไปตามสมการเชิงเส้น ที่กำหนด แต่ในการตั้งค่าที่เป็นนามธรรมมากขึ้น เช่นเรขาคณิตของอุบัติการณ์เส้นอาจเป็นวัตถุอิสระ ซึ่งแตกต่างจาก ชุดของจุดที่อยู่บนนั้น

เมื่อมีการอธิบายเรขาคณิตโดยชุดสัจพจน์แนวความคิดของเส้นมักจะไม่ได้กำหนดไว้ (สิ่งที่เรียกว่าวัตถุดึกดำบรรพ์ ) คุณสมบัติของเส้นถูกกำหนดโดยสัจพจน์ที่อ้างถึง ข้อดีอย่างหนึ่งของแนวทางนี้คือความยืดหยุ่นให้กับผู้ใช้เรขาคณิต ดังนั้นในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เส้นหนึ่งอาจถูกตีความว่าเป็นgeodesic (เส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดต่างๆ) ในขณะที่ในเรขาคณิตฉายภาพ บาง เส้น เส้นคือพื้นที่เวกเตอร์ 2 มิติ (การรวมกันเชิงเส้นทั้งหมดของเวกเตอร์อิสระสองตัว) ความยืดหยุ่นนี้ขยายไปไกลกว่าคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ช่วยให้นักฟิสิกส์คิดว่าเส้นทางของรังสีแสงเป็นเส้นตรง

คำจำกัดความกับคำอธิบาย

คำจำกัดความทั้งหมดมีลักษณะเป็นวงกลมในที่สุดเนื่องจากขึ้นอยู่กับแนวคิดที่ต้องมีคำจำกัดความซึ่งเป็นการพึ่งพาที่ไม่สามารถดำเนินต่อไปได้โดยไม่มีกำหนดโดยไม่ได้กลับไปที่จุดเริ่มต้น เพื่อหลีกเลี่ยงวงจรอุบาทว์นี้ แนวความคิดบางอย่างจะต้องถือเป็นแนวคิดดั้งเดิม คำที่ไม่มีคำจำกัดความ [3]ในเรขาคณิต มักเป็นกรณีที่แนวคิดของเส้นถูกมองว่าเป็นพื้นฐาน [4]ในสถานการณ์ที่เส้นเป็นแนวคิดที่กำหนดไว้ เช่นเดียวกับในเรขาคณิตเชิงพิกัดแนวคิดพื้นฐานอื่น ๆ บางส่วนถือเป็นแนวคิดพื้นฐาน เมื่อแนวคิดเกี่ยวกับเส้นเป็นพื้นฐาน พฤติกรรมและคุณสมบัติของเส้นจะถูกกำหนดโดยสัจพจน์ที่พวกเขาต้องพอใจ

ในการทรีตเมนต์เรขาคณิตเชิงสัจพจน์แบบไม่มีสัจพจน์หรือแบบง่าย แนวคิดของแนวคิดดั้งเดิมอาจเป็นนามธรรมเกินกว่าจะรับมือได้ ในสถานการณ์นี้ เป็นไปได้ที่จะให้คำอธิบายหรือภาพจิตของแนวคิดดึกดำบรรพ์ เพื่อเป็นรากฐานในการสร้างแนวคิดที่เป็นทางการจะยึดตามสัจพจน์ (ไม่ได้ระบุ) ผู้เขียนบางคนอาจอ้างถึงคำอธิบายประเภทนี้ว่าเป็นคำจำกัดความในรูปแบบการนำเสนอที่ไม่เป็นทางการนี้ สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่คำจำกัดความที่แท้จริง และไม่สามารถใช้ในการพิสูจน์ข้อความอย่างเป็นทางการได้ "คำจำกัดความ" ของบรรทัดในองค์ประกอบของยุคลิดอยู่ในหมวดหมู่นี้ [5]แม้ในกรณีที่กำลังพิจารณาเรขาคณิตเฉพาะ (เช่นเรขาคณิตแบบยุคลิด )) ไม่มีข้อตกลงที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในหมู่ผู้เขียนว่าคำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการของบรรทัดควรเป็นอย่างไรเมื่อหัวข้อไม่ได้รับการปฏิบัติอย่างเป็นทางการ

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด

เมื่อเรขาคณิตถูกทำให้เป็นทางการเป็นครั้งแรกโดยEuclidในElementsเขากำหนดเส้นทั่วไป (ตรงหรือโค้ง) ให้เป็น "ความยาวที่ไม่มีความกว้าง" โดยเส้นตรงเป็นเส้น [6]คำจำกัดความเหล่านี้มีจุดประสงค์เพียงเล็กน้อย เนื่องจากใช้คำศัพท์ที่ไม่ได้กำหนดโดยตัวมันเอง อันที่จริง Euclid เองไม่ได้ใช้คำจำกัดความเหล่านี้ในงานนี้ และอาจรวมคำจำกัดความเหล่านี้ไว้เพื่อให้ผู้อ่านเข้าใจอย่างชัดเจนถึงสิ่งที่กำลังสนทนากัน ในเรขาคณิตสมัยใหม่ เส้นถูกใช้เป็นวัตถุที่ไม่ได้กำหนดโดยมีคุณสมบัติที่กำหนดโดยสัจพจน์[ 7]แต่บางครั้งถูกกำหนดให้เป็นชุดของจุดที่เชื่อฟังความสัมพันธ์เชิงเส้นเมื่อแนวคิดพื้นฐานอื่นๆ บางส่วนไม่ได้กำหนดไว้

ในการ กำหนดเชิง สัจพจน์ของเรขาคณิตแบบยุคลิด เช่น ของฮิลแบร์ต (สัจพจน์ดั้งเดิมของยูคลิดมีข้อบกพร่องต่าง ๆ ซึ่งได้รับการแก้ไขโดยนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่) [8]เส้นหนึ่งระบุว่ามีคุณสมบัติบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับเส้นและจุด อื่น ๆ ตัวอย่างเช่น สำหรับจุดที่แตกต่างกันสองจุดใดๆ จะมีเส้นที่ไม่ซ้ำกันซึ่งประกอบด้วยจุดเหล่านี้ และเส้นที่แตกต่างกันสองเส้นตัดกันที่จุดเดียว [9]ในสองมิติ (กล่าวคือ ระนาบแบบยุคลิด) เส้นสองเส้นที่ไม่ตัดกันจะเรียกว่าขนานกัน ในมิติที่สูงกว่า เส้นสองเส้นที่ไม่ตัดกันจะขนานกันหากอยู่ในระนาบหรือเบ้ถ้าไม่ใช่

คอลเลกชันของเส้นจำนวนมากที่จำกัดจะแบ่งระนาบ ออกเป็น หลายเหลี่ยมนูน (อาจไม่มีขอบเขต) พาร์ทิชันนี้เรียกว่าการจัด เรียงเส้น

ในพิกัดคาร์ทีเซียน

เส้นในระนาบคาร์ทีเซียนหรือโดยทั่วๆ ไป ในพิกัด ความใกล้ชิด มีลักษณะเฉพาะด้วยสมการเชิงเส้น แม่นยำยิ่งขึ้นทุกบรรทัด(รวมทั้งเส้นแนวตั้ง) คือเซตของจุดทั้งหมดที่พิกัด ( x , y ) เป็นไปตามสมการเชิงเส้น นั่นคือ,

โดยที่a , bและc เป็น จำนวนจริงคงที่(เรียกว่าสัมประสิทธิ์ ) โดยที่aและbไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่ การใช้แบบฟอร์มนี้ เส้นแนวตั้งสอดคล้องกับสมการที่มีb = 0

เราสามารถสมมติเพิ่มเติมได้ว่าc = 1หรือc = 0โดยหารทุกอย่างด้วยcถ้าไม่ใช่ศูนย์

มีหลายวิธีในการเขียนสมการของเส้นหนึ่งซึ่งสามารถแปลงจากที่หนึ่งไปอีกที่หนึ่งได้โดยใช้การจัดการเกี่ยวกับพีชคณิต แบบฟอร์มข้างต้นบางครั้งเรียกว่าแบบฟอร์มมาตรฐาน หากพจน์คงที่อยู่ทางด้านซ้าย สมการจะกลายเป็น

และบางครั้งเรียกว่ารูปแบบทั่วไปของสมการ อย่างไรก็ตาม คำศัพท์นี้ไม่เป็นที่ยอมรับในระดับสากล และผู้เขียนหลายคนไม่แยกแยะความแตกต่างระหว่างสองรูปแบบนี้

แบบฟอร์มเหล่านี้ (ดูสมการเชิงเส้นสำหรับรูปแบบอื่น) โดยทั่วไปจะตั้งชื่อตามประเภทของข้อมูล (ข้อมูล) เกี่ยวกับบรรทัดที่จำเป็นในการเขียนแบบฟอร์ม ข้อมูลสำคัญบางอย่างของเส้นตรงคือความชัน จุด ตัด xจุดที่ทราบบนเส้น และจุดตัด y

สมการของเส้นตรงผ่านจุดต่าง ๆ สองจุดและอาจจะเขียนว่า

.

ถ้าx 0x 1สมการนี้อาจเขียนใหม่เป็น

หรือ

สมการพาราเมตริก

สมการพาราเมตริกยังใช้เพื่อระบุเส้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสามมิติหรือมากกว่า เนื่องจากในสองมิติที่มากกว่าสองเส้นไม่สามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงเส้นเดียว

ในเส้นสามมิติมักอธิบายโดยสมการพาราเมตริก:

ที่ไหน:

x , y , และzเป็นฟังก์ชันทั้งหมดของตัวแปรอิสระtซึ่งอยู่ในช่วงของจำนวนจริง
( x 0 , y 0 , z 0 ) คือจุดใดๆ บนเส้นตรง
a , bและcสัมพันธ์กับความชันของเส้นตรง ทำให้เวกเตอร์ ทิศทาง ( a , b , c ) ขนานกับเส้นตรง

สมการพาราเมตริกสำหรับเส้นในมิติที่สูงกว่าจะคล้ายกันโดยยึดตามข้อกำหนดของจุดหนึ่งบนเส้นและเวกเตอร์ทิศทาง

หมายเหตุ เส้นในสามมิติอาจอธิบายได้ว่าเป็นคำตอบของสมการเชิงเส้นสองสมการ พร้อมกัน

ดังนั้นและไม่เป็นสัดส่วน (ความสัมพันธ์แปลว่า). สิ่งนี้ตามมาเนื่องจากในสามมิติ สมการเชิงเส้นเดียวโดยทั่วไปจะอธิบายระนาบและเส้นเป็นสิ่งที่พบได้ทั่วไปในระนาบที่ตัดกันอย่างชัดเจนสองระนาบ

แบบฟอร์มทางลาด-สกัดกั้น

ในสองมิติสมการสำหรับเส้นไม่แนวตั้งมักจะได้รับในรูปแบบความชัน-ค่าตัดขวาง :

ที่ไหน:

mคือความชันหรือ ความ ชันของเส้นตรง
bคือค่าตัดแกน yของเส้นตรง
xเป็นตัวแปรอิสระของฟังก์ชันy = f ( x )

ความชันของเส้นผ่านจุดและ, เมื่อไร, มอบให้โดยและสมการของเส้นนี้สามารถเขียนได้.

แบบธรรมดา

รูปแบบปกติ (เรียกอีกอย่างว่ารูปแบบปกติของเฮสส์ [ 10]ตามหลังนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันลุดวิก ออตโต เฮสส์ ) อิงจากส่วนปกติสำหรับเส้นที่กำหนด ซึ่งกำหนดว่าเป็นส่วนของเส้นที่ลากจากจุดกำเนิดตั้งฉากกับเส้น . ส่วนนี้เชื่อมจุดเริ่มต้นกับจุดที่ใกล้ที่สุดบนเส้นไปยังจุดกำเนิด รูปแบบปกติของสมการเส้นตรงบนระนาบถูกกำหนดโดย:

ที่ไหนคือมุมเอียงของส่วนปกติ (มุมเชิงจากเวกเตอร์หน่วยของแกนx ถึงส่วนนี้) และ pคือความยาว (บวก) ของส่วนปกติ รูปแบบปกติสามารถได้มาจากรูปแบบมาตรฐานโดยหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย

ซึ่งแตกต่างจากรูปแบบความชัน-จุดตัดและจุดตัด รูปแบบนี้สามารถแสดงเส้นใดก็ได้ แต่ยังต้องการพารามิเตอร์จำกัดเพียงสองตัวเท่านั้นและpที่จะระบุ ถ้าp > 0แล้วเป็นโมดูโลที่กำหนดไว้เฉพาะ2 π ในทางกลับกัน ถ้าเส้นผ่านจุดกำเนิด ( c = p = 0 ) เส้นหนึ่งจะดรอปc /| | คำศัพท์ในการคำนวณและและเป็นไปตามนั้นเป็นโมดูโลที่กำหนดไว้เท่านั้นπ .

ในพิกัดเชิงขั้ว

ในระนาบคาร์ทีเซียน พิกัดเชิงขั้ว ( r , θ )สัมพันธ์กับพิกัดคาร์ทีเซียนโดยสมการ

ในพิกัดเชิงขั้ว สมการของเส้นที่ไม่ผ่านจุดกำเนิด — จุดที่มีพิกัด(0, 0) — สามารถเขียนได้

ด้วยr > 0และโดยที่ pคือความยาว (บวก) ของส่วนของเส้นตั้งฉากกับเส้นตรงและคั่นด้วยจุดกำเนิดและเส้นตรง และคือมุม (เชิง) จาก แกน xถึงส่วนนี้

อาจเป็นประโยชน์ในการแสดงสมการในรูปของมุมระหว่าง แกน xกับเส้นตรง ในกรณีนี้ สมการจะกลายเป็น

ด้วยr > 0และ

สมการเหล่านี้สามารถหาได้จากรูปแบบปกติของสมการเส้นตรงโดยการตั้งค่าและแล้วใช้เอกลักษณ์ความแตกต่างของมุมสำหรับไซน์หรือโคไซน์

สมการเหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้ ในเชิง เรขาคณิตโดยการใช้นิยามสามเหลี่ยมมุมฉากของไซน์และโคไซน์กับสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีจุดของเส้นตรงและจุดกำเนิดเป็นจุดยอด และเส้นและเส้นตั้งฉากผ่านจุดกำเนิดเป็นด้าน

แบบฟอร์มก่อนหน้านี้ใช้ไม่ได้กับเส้นที่ผ่านจุดกำเนิด แต่สามารถเขียนสูตรที่ง่ายกว่าได้: พิกัดเชิงขั้วของจุดของเส้นที่ลากผ่านจุดกำเนิดและทำมุมของที่มีแกนx เป็นคู่ดังนั้น

เป็นสมการเวกเตอร์

สมการเวกเตอร์ของเส้นผ่านจุด A และ B ถูกกำหนดโดย(โดยที่ λ คือสเกลาร์ )

ถ้าaคือเวกเตอร์OAและbคือเวกเตอร์OBสมการของเส้นสามารถเขียนได้:.

รังสีเริ่มต้นที่จุดAอธิบายโดยจำกัด λ จะได้หนึ่งรังสีถ้า λ ≥ 0 และรังสีตรงข้ามมาจาก λ ≤ 0

ในมิติที่สูงขึ้น

ในปริภูมิสามมิติ สม การดีกรีแรกในตัวแปรx , yและzกำหนดระนาบ ดังนั้น สมการดังกล่าวสองสมการ หากระนาบที่เกิดไม่ขนานกัน ให้กำหนดเส้นตรงที่เป็นจุดตัดของระนาบ โดยทั่วไป ใน พื้นที่ nมิติn -1 สมการระดับแรกใน ตัวแปร พิกัดn ตัวกำหนดเส้นภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม

โดยทั่วไปปริภูมิแบบยุคลิด R n (และคล้ายคลึงกันในทุก ๆaffine space ) เส้นLที่ผ่านจุดที่แตกต่างกันสองจุดaและb (ถือเป็นเวกเตอร์) เป็นเซตย่อย

ทิศทางของเส้นตรงมาจากa ( t = 0) ถึงb ( t = 1) หรืออีกนัยหนึ่ง ในทิศทางของเวกเตอร์b  −  a . ตัวเลือกที่ต่างกันของaและbสามารถให้เส้นเดียวกันได้

จุดคอลลิเนียร์

มีการกล่าวถึงสามจุดว่าเป็นแนวร่วมหากอยู่ในแนวเดียวกัน จุดสามจุดมักจะกำหนดระนาบแต่ในกรณีของจุดร่วมสามจุด สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น

ในพิกัดความสัมพันธ์ ใน ช่องว่าง nมิติ จุดX = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), Y = ( y 1 , y 2 , ... , y n ) และZ = ( z 1 , z 2 , ..., z n ) เป็น collinear ถ้าmatrix

มีอันดับ ที่ น้อยกว่า 3 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับสามจุดในระนาบ ( n = 2) เมทริกซ์ด้านบนเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส และจุดจะขนานกันก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของมันเป็นศูนย์

เท่ากันสำหรับสามจุดในระนาบ จุดจะขนานกันก็ต่อเมื่อความชันระหว่างจุดคู่หนึ่งเท่ากับความชันระหว่างจุดคู่อื่น ๆ (ในกรณีนี้ ความชันระหว่างจุดคู่ที่เหลือจะเท่ากับความชันอื่น ๆ ) . โดยการขยาย จุด kในระนาบจะขนานกันก็ต่อเมื่อจุดคู่ใดๆ ( k –1) มีความชันเป็นคู่เหมือนกัน

ในเรขาคณิต แบบ ยุคลิด ระยะห่างแบบยุคลิด d ( a , b ) ระหว่างจุดสองจุดaและbอาจถูกนำมาใช้เพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจุดสามจุดโดย: [11] [12]

จุดa , bและcเป็นเส้นขนานกันก็ต่อเมื่อd ( x , a ) = d ( c , a ) และd ( x , b ) = d ( c , b ) หมายถึงx = c

อย่างไรก็ตาม มีแนวคิดอื่นๆ เกี่ยวกับระยะทาง (เช่นระยะห่างของแมนฮัตตัน ) ซึ่งคุณสมบัตินี้ไม่เป็นความจริง

ในเรขาคณิตที่แนวความคิดของเส้นตรงเป็นแนวคิดดั้งเดิมซึ่งอาจในกรณีในเรขาคณิตสังเคราะห์ บาง ประเภท จำเป็นต้องใช้วิธีการอื่นในการพิจารณาความสอดคล้องกัน

ประเภทของเส้น

ในแง่หนึ่ง[13]ทุกเส้นในเรขาคณิตแบบยุคลิดนั้นเท่ากัน หากไม่มีพิกัด เราไม่สามารถแยกเส้นออกจากกัน อย่างไรก็ตาม เส้นอาจมีบทบาทพิเศษเกี่ยวกับวัตถุอื่นๆ ในเรขาคณิต และแบ่งออกเป็นประเภทตามความสัมพันธ์นั้น ตัวอย่างเช่น ในส่วนที่เกี่ยวกับรูปกรวย (a circle , ellipse , parabolaหรือhyperbola ) เส้นสามารถเป็น:

  • เส้นสัมผัสซึ่งสัมผัสกรวยที่จุดเดียว
  • เส้นตัด ซึ่งตัดรูปกรวยสองจุดและผ่านภายใน
  • เส้นภายนอกซึ่งไม่ตรงกับรูปกรวย ณ จุดใด ๆ ของระนาบแบบยุคลิด หรือ
  • ไดเร ก ท ริกซ์ ซึ่งระยะห่างจากจุดหนึ่งช่วยในการกำหนดว่าจุดนั้นอยู่บนกรวยหรือไม่

ในบริบทของการพิจารณาความขนานในเรขาคณิตแบบยุคลิดเส้นขวางคือเส้นที่ตัดกับเส้นอีกสองเส้นที่อาจขนานกันหรือไม่ก็ได้

สำหรับ เส้นโค้งพีชคณิตทั่วไป เส้น สามารถเป็น:

  • ผม -secant เส้น, ตรงเส้นโค้งใน จุด iนับโดยไม่มีการคูณหรือ
  • asymptotesซึ่งเส้นโค้งเข้าใกล้อย่างใกล้ชิดโดยพลการโดยไม่ต้องสัมผัสมัน

สำหรับสามเหลี่ยมเรามี:

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมนูน ที่มีด้านขนานกันมากที่สุด 2 ด้านเส้นนิวตันคือเส้นที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม ทั้ง สอง

สำหรับรูปหกเหลี่ยมที่มีจุดยอดนอนอยู่บนรูปกรวย เรามีเส้นปาสกาลและในกรณีพิเศษที่รูปกรวยเป็นเส้นคู่ เรามีเส้นปาปปั

เส้นขนานคือเส้นในระนาบเดียวกันที่ไม่เคยข้าม เส้นตัดกันมีจุดเดียวที่เหมือนกัน เส้นที่บังเอิญเกิดขึ้นพร้อมกัน ทุกจุดที่อยู่บนจุดใดจุดหนึ่งจะอยู่อีกจุดหนึ่งด้วย

เส้นตั้งฉากคือเส้นที่ตัดกันเป็น มุมฉาก

ในพื้นที่สามมิติเส้นเอียงคือเส้นที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกัน

ในเรขาคณิตฉายภาพ

ในแบบจำลองเรขาคณิตโปรเจกทีฟหลายๆ แบบ การแสดงเส้นแทบจะไม่สอดคล้องกับแนวคิดของ "เส้นโค้งตรง" เนื่องจากมองเห็นได้ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ในเรขาคณิตวงรีเราเห็นตัวอย่างทั่วไปของสิ่งนี้ [14]ในรูปทรงกลมของเรขาคณิตทรงวงรี เส้นจะถูกแทนด้วยวงกลมขนาดใหญ่ของทรงกลมที่มีจุดตรงข้าม diametrically ในรูปแบบต่างๆ ของเรขาคณิตวงรี เส้นต่างๆ จะถูกแสดงโดยระนาบ แบบยุคลิด ที่ผ่านจุดกำเนิด แม้ว่าการแสดงเหล่านี้จะมีความแตกต่างทางสายตา แต่ก็เป็นไปตามคุณสมบัติทั้งหมด (เช่น สองจุดที่กำหนดเส้นที่ไม่ซ้ำกัน) ที่ทำให้เป็นตัวแทนที่เหมาะสมสำหรับเส้นในเรขาคณิตนี้

ส่วนขยาย

เรย์

จากเส้นตรงและจุดA ใดๆ บนเส้นนั้น เราอาจถือว่าAแยกส่วนเส้นนี้ออกเป็นสองส่วน แต่ละส่วนดังกล่าวเรียกว่ารังสีและจุดAเรียกว่าจุดเริ่มต้น เป็นที่รู้จักกันว่าhalf-line ซึ่งเป็น half-spaceหนึ่งมิติ จุด A ถือเป็นสมาชิกของรังสี [15]ตามสัญชาตญาณ รังสีประกอบด้วยจุดเหล่านั้นบนเส้นที่ผ่านAและดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด เริ่มที่Aในทิศทางเดียวเท่านั้นตามแนวเส้น อย่างไรก็ตาม เพื่อที่จะใช้แนวคิดของรังสีนี้ในการพิสูจน์ จำเป็นต้องมีคำจำกัดความที่แม่นยำยิ่งขึ้น

เมื่อกำหนดจุดAและB ที่แตกต่างกัน พวกมันจะกำหนดรังสีเอกซ์ที่มีจุดเริ่มต้นA เนื่องจากจุดสองจุดกำหนดเส้นเฉพาะ รังสีนี้ประกอบด้วยจุดทั้งหมดระหว่างAและB (รวมถึงAและB ) และจุดC ทั้งหมด บนเส้นผ่านAและBโดยที่Bอยู่ระหว่างAและC [16]ในบางครั้ง แสดงเป็นเซตของจุดC ทั้งหมด บนเส้นที่กำหนดโดยAและBเพื่อให้Aไม่ อยู่ระหว่างBและC [17]จุดDบนเส้นที่กำหนดโดยAและBแต่ไม่อยู่ในรังสีที่มีจุดเริ่มต้นA ที่กำหนดโดยBจะกำหนดรังสีอีกอันที่มีจุดเริ่มต้นA สำหรับรังสีAB นั้น รังสี ADเรียกว่ารังสีตรงข้าม

เรย์

ดังนั้น เราจะบอกว่าจุดที่แตกต่างกันสองจุดAและBกำหนดเส้นและการสลายตัวของเส้นนี้ไปสู่การรวมที่ไม่ปะติดปะต่อกันของส่วนที่เปิด( A ,  B )และรังสีสองเส้นBCและAD (จุดDไม่ถูกวาด ในแผนภาพ แต่อยู่ทางด้านซ้ายของAบนเส้นAB ) สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่รังสีตรงข้ามเนื่องจากมีจุดเริ่มต้นต่างกัน

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด รังสีสองเส้นที่มีจุดสิ้นสุดร่วมกันจะสร้าง มุม

คำจำกัดความของรังสีขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องระหว่างจุดบนเส้น มันตามมาว่ามีรังสีอยู่เฉพาะในรูปทรงที่มีแนวคิดนี้เท่านั้น โดยทั่วไปแล้วเรขาคณิตแบบยุคลิดหรือเรขาคณิต ที่สัมพันธ์ กันเหนือ สนามที่ ได้รับคำสั่ง ในทางกลับกัน รังสีไม่มีอยู่ในเรขาคณิตเชิงฉายภาพหรือในเรขาคณิตเหนือสนามที่ไม่เรียงลำดับ เช่นตัวเลขเชิงซ้อนหรือสนามจำกัด ใด ๆ

ส่วนของเส้น

ส่วนของเส้นตรงเป็นส่วนหนึ่งของเส้นที่ล้อมรอบด้วยจุดสิ้นสุดที่แตกต่างกันสองจุด และมีทุกจุดบนเส้นตรงระหว่างจุดสิ้นสุด ขึ้นอยู่กับวิธีการกำหนดส่วนของเส้นตรง จุดสิ้นสุดจุดใดจุดหนึ่งจากสองจุดอาจหรือไม่เป็นส่วนหนึ่งของส่วนของเส้นตรงก็ได้ ส่วนของเส้นตรงตั้งแต่สองเส้นขึ้นไปอาจมีความสัมพันธ์บางอย่างเหมือนกันกับเส้น เช่น ขนานกัน ตัดกัน หรือเอียง แต่ไม่เหมือนกับเส้นตรงที่เส้นเหล่านี้อาจไม่มีความสัมพันธ์กัน หากเป็นแนวระนาบเดียวกันและไม่ตัดกันหรือเป็น แนวร่วม

จีโอเดซิกส์

"ความสั้น" และ "ความตรง" ของเส้นตรง ซึ่งถูกตีความว่าเป็นคุณสมบัติที่ระยะห่างระหว่างเส้นระหว่างจุดสองจุดใดๆ ถูกย่อให้เล็กสุด (ดูความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ) สามารถสรุปได้ทั่วไปและนำไปสู่แนวคิดของgeodesics ในพื้นที่เมตริก

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

  1. ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ไลน์" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-16 .
  2. ในภาษาฝรั่งเศส (ค่อนข้างเก่า) : "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir ลองจิจูด, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre choose que le flux ou coulement du que ... ] laissera เดอลูกชาย mouvement จินตนาการ quelque ร่องรอย en ยาว ยกเว้น de toute ละติจูด [... ] La ligne droicte est celle qui est également estenduë entre ses poincts" หน้า 7 และ 8 ของ Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & การสาธิต, avec la Corrects des erreurs commises és autres by Pierreductions traductions , .
  3. ค็อกซีเตอร์ 1969 , p. 4
  4. ^ เฟเบอร์ 1983 , p. 95
  5. ^ เฟเบอร์ 1983 , p. 95
  6. ^ เฟเบอร์ ภาคผนวก ก น. 291.
  7. ^ เฟเบอร์ ตอนที่ 3 พี. 95.
  8. ^ เฟเบอร์ ตอนที่ 3 พี. 108.
  9. ^ เฟเบอร์ ภาคผนวก ข น. 300.
  10. Bôcher, Maxime (1915), Plane Analytic Geometry: With Introductory Chapters on the Differential Calculus , H. Holt, p. 44 เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 2016-05-13.
  11. ↑ Alessandro Padoa , Un nouveau système de définitions pour la géométrie euclidienne, International Congress of Mathematicians , 1900
  12. ^ เบอร์ทรานด์ รัสเซลล์ , The Principles of Mathematics , p. 410
  13. ^ ในทางเทคนิคกลุ่ม collineationทำหน้าที่สกรรมกริยากับชุดของเส้น
  14. ^ เฟเบอร์ ตอนที่ 3 พี. 108.
  15. ^ ในบางครั้ง เราอาจพิจารณารังสีที่ไม่มีจุดเริ่มต้น รังสีดังกล่าวเรียกว่า รังสี เปิดตรงกันข้ามกับรังสีทั่วไปที่เรียกว่าปิด
  16. ไวลี จูเนียร์ 1964 , p. 59 คำจำกัดความ 3
  17. ^ พีโด 1988 , p. 2

อ้างอิง

  • Coxeter, HSM (1969), Introduction to Geometry (ฉบับที่ 2), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-271-18283-4
  • Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry , นิวยอร์ก: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
  • Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course , Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
  • Wylie Jr. , CR (1964), Foundations of Geometry , นิวยอร์ก: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2

ลิงค์ภายนอก