ช่วงเวลา (คณิตศาสตร์)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา
การบวกx + aบนเส้นจำนวน ตัวเลขทั้งหมดที่มากกว่าxและน้อยกว่าx + การลดลงภายในช่วงเวลาที่เปิดนั้น

ในทางคณิตศาสตร์ช่วง ( ของจริง ) คือชุดของจำนวนจริงที่มีจำนวนจริงทั้งหมดอยู่ระหว่างตัวเลขสองตัวใดๆ ของเซต ตัวอย่างเช่น ชุดของตัวเลขx ที่ น่าพอใจ0 ≤ x ≤ 1เป็นช่วงที่มี0 , 1และตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ระหว่างนั้น ตัวอย่างอื่นๆ ของช่วงคือเซตของตัวเลขที่0 < x < 1 , เซตของจำนวนจริงทั้งหมด, เซตของจำนวนจริงไม่ติดลบ, เซตของจำนวนจริงบวก, เซตว่างและซิงเกิลตัน ใดๆ (เซตขององค์ประกอบหนึ่งตัว)

ช่วงเวลาจริงมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีการบูรณาการเนื่องจากเป็นชุดที่ง่ายที่สุดซึ่งกำหนด "ขนาด" (หรือ "วัด" หรือ "ความยาว") ได้ง่าย แนวคิดของการวัดสามารถขยายไปสู่ชุดจำนวนจริงที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งนำไปสู่การวัดแบบโบเรลและในที่สุดก็ถึงการวัดแบบเล เบส

ช่วงเวลาเป็นศูนย์กลางของการคำนวณแบบช่วงเวลา ซึ่งเป็นเทคนิคการ คำนวณเชิงตัวเลขทั่วไปที่ให้กรอบการรับประกันโดยอัตโนมัติสำหรับสูตรที่กำหนดเอง แม้ในกรณีที่มีความไม่แน่นอน การประมาณทางคณิตศาสตร์ และการ ปัดเศษเลขคณิต

ช่วงเวลาจะถูกกำหนดเช่นเดียวกันใน ชุดที่เรียง ลำดับโดยสิ้นเชิงเช่นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ สัญกรณ์ของช่วงจำนวนเต็มได้รับการพิจารณาในส่วนพิเศษด้านล่าง

ศัพท์เฉพาะ

ช่วงเวลา ที่เปิดไม่รวมจุดปลาย และระบุด้วยวงเล็บ [1]ตัวอย่างเช่น(0,1)หมายถึงมากกว่า0และน้อยกว่า1 นี่หมายความว่า(0,1) = { x | 0 < x < 1} .

ช่วงปิดคือช่วงที่มีจุดจำกัดทั้งหมด และแสดงด้วยวงเล็บเหลี่ยม [1]ตัวอย่างเช่น[0,1]หมายถึงมากกว่าหรือเท่ากับ0 และน้อย กว่า หรือเท่ากับ1

ช่วงครึ่งเปิดมีจุดปลายเพียงจุดเดียว และแสดงโดยการผสมสัญลักษณ์สำหรับช่วงเวลาที่เปิดและปิด [2]ตัวอย่างเช่น(0,1]หมายถึงมากกว่า0และน้อยกว่าหรือเท่ากับ1ในขณะที่[0,1)หมายถึงมากกว่าหรือเท่ากับ0และน้อยกว่า 1

ช่วง การเสื่อมสภาพคือชุดใดๆที่ประกอบด้วยจำนวนจริงเพียงจำนวนเดียว (กล่าวคือ ช่วงของรูปแบบ[ a , a ] ) [2]ผู้เขียนบางคนรวมเซตว่างไว้ในคำจำกัดความนี้ ช่วงเวลาที่แท้จริงซึ่งไม่ว่างเปล่าหรือไม่เสื่อมลงเรียกว่าเหมาะสมและมีองค์ประกอบมากมายนับไม่ถ้วน

ช่วงนั้นเรียกว่าขอบซ้ายหรือ ขอบ ขวาหากมีจำนวนจริงบางจำนวนที่น้อยกว่าหรือมากกว่าองค์ประกอบทั้งหมดตามลำดับ ช่วงนั้นเรียกว่ามีขอบเขตถ้ามันมีทั้งขอบซ้ายและขวา และกล่าวได้ว่าไม่มีขอบเขต เป็น อย่างอื่น ช่วงเวลาที่มีขอบเขตที่ปลายด้านหนึ่งเรียกว่ามีขอบเขตครึ่งหนึ่ง เซตว่างมีขอบเขต และเซตของจำนวนจริงทั้งหมดเป็นช่วงเดียวที่ไม่ จำกัด ที่ปลายทั้งสอง ช่วงเวลาที่ถูก จำกัด ยังเป็นที่รู้จักกันทั่วไปว่าเป็น ช่วงเวลา ที่ จำกัด

ช่วงเวลาที่มีขอบเขตเป็นเซต ที่มีขอบเขต ในแง่ที่ว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง (ซึ่งเท่ากับความแตกต่างสัมบูรณ์ระหว่างจุดสิ้นสุด) มีขอบเขตจำกัด เส้นผ่านศูนย์กลางอาจเรียกว่าความยาวความกว้างการวัดช่วงหรือขนาดของช่วง ขนาดของช่วงเวลาที่ไม่ จำกัด มักจะถูกกำหนดเป็น+∞และขนาดของช่วงเวลาที่ว่างอาจถูกกำหนดเป็น0 (หรือไม่ได้กำหนดไว้)

จุดศูนย์กลาง ( จุดกึ่งกลาง ) ของช่วงขอบเขตที่มีจุดปลายaและbคือ( a  +  b )/2และรัศมี ของมัน คือครึ่งความยาว| a  −  b |/2 . แนวคิดเหล่านี้ไม่ได้กำหนดไว้สำหรับช่วงเวลาที่ว่างเปล่าหรือไม่มีขอบเขต

ช่วงเวลากล่าวกันว่าเปิดทิ้งไว้ก็ต่อเมื่อไม่มีค่าต่ำสุด (องค์ประกอบที่เล็กกว่าองค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมด) เปิดขวาหากไม่มีค่าสูงสุด ; และเปิดหากมีทั้งสองคุณสมบัติ ช่วงเวลา[0,1) = { x | 0 ≤ x < 1}เช่น ปิดซ้ายและเปิดขวา เซตว่างและเซตของจำนวนจริงทั้งหมดเป็นช่วงเปิด ในขณะที่เซตของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ จะเป็นช่วงเปิดทางขวาแต่ไม่ใช่ช่วงเปิดทางซ้าย ช่วงเวลาเปิดคือชุดเปิดของเส้นจริงในโทโพโลยี มาตรฐาน และสร้างฐานของชุดเปิด

ช่วงบอกว่าปิดซ้ายถ้ามีองค์ประกอบต่ำสุดปิดขวาถ้ามีสูงสุด และปิดถ้ามีทั้งสองอย่าง คำจำกัดความเหล่านี้มักจะขยายเพื่อรวมเซตว่างและช่วงที่ไม่ จำกัด (ซ้ายหรือขวา) เพื่อให้ช่วงเวลาที่ปิดตรงกับชุดปิดในโทโพโลยีนั้น

ภายในของช่วงI เป็นช่วงเปิดที่ใหญ่ที่สุดที่มีอยู่ในI ; นอกจากนี้ยังเป็นชุดของจุดในIซึ่งไม่ใช่จุดสิ้นสุดของI การปิดของIเป็นช่วงปิดที่เล็กที่สุดที่มีI ; ซึ่งเป็นชุดที่ฉันเสริมด้วยจุดสิ้นสุดของมันด้วย

สำหรับชุดXของจำนวนจริงใดๆ กรอบของช่วงหรือช่วงช่วงของXคือช่วงเฉพาะที่มีXและไม่มีช่วงอื่นๆ อย่างถูกต้องที่มีXด้วย

ช่วงIคือ ช่วง ย่อยของช่วงJถ้าฉันเป็นสับเซตของJ ช่วงIคือช่วงย่อยที่เหมาะสมของJหากIเป็น เซตย่อย ที่ เหมาะสมของJ

หมายเหตุเกี่ยวกับคำศัพท์ที่ขัดแย้งกัน

คำศัพท์ส่วนและช่วงมีการใช้ในวรรณคดีในสองวิธีที่ตรงกันข้ามโดยพื้นฐานแล้วส่งผลให้เกิดความกำกวมเมื่อใช้คำศัพท์เหล่านี้ สารานุกรมคณิตศาสตร์[3]กำหนดช่วงเวลา (โดยไม่มี ตัวระบุ) เพื่อแยกจุดปลายทั้งสอง (เช่น ช่วงเปิด) และส่วนเพื่อรวมจุดปลายทั้งสอง (เช่น ช่วงปิด) ในขณะที่หลักการการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของ รูดิน [4]เรียกชุดของ รูปแบบ [ a , b ] ช่วงเวลาและชุดของรูปแบบ ( a , b ) เซ็กเมนต์ตลอดทั้ง. คำเหล่านี้มักจะปรากฏในงานเก่า ตำราสมัยใหม่นิยมใช้คำว่าช่วง มากขึ้น (มีคุณสมบัติโดยopen , closedหรือhalf-open ) โดยไม่คำนึงว่าปลายทางจะรวมอยู่ด้วยหรือไม่

สัญกรณ์สำหรับช่วงเวลา

ช่วงของตัวเลขระหว่างaและbรวมทั้งaและbมักแสดงด้วย[ a ,  b ] ตัวเลขสองตัวนี้เรียกว่าจุดสิ้นสุดของช่วงเวลา ในประเทศที่ตัวเลขเขียนด้วยลูกน้ำทศนิยมอาจใช้เครื่องหมายอัฒภาคเป็นตัวคั่นเพื่อหลีกเลี่ยง ความคลุมเครือ

รวมหรือยกเว้นปลายทาง

เพื่อระบุว่าต้องแยกจุดปลายจุดใดจุดหนึ่งออกจากชุด วงเล็บเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องสามารถแทนที่ด้วยวงเล็บหรือกลับด้าน สัญกรณ์ทั้งสองมีอธิบายไว้ในมาตรฐาน สากลISO 31-11 ดังนั้น ใน สัญกรณ์ ตัว สร้างชุด

แต่ละช่วง( a ,  a ) , [ a ,  a )และ( a ,  a ]แทนเซตว่างในขณะที่[ a ,  a ]แทนเซตซิงเกิล  { a } . เมื่อa > b , ปกติแล้วจะใช้สัญกรณ์ทั้งสี่ เพื่อแสดงชุดว่าง

สัญกรณ์ทั้งสองอาจทับซ้อนกับการใช้วงเล็บและวงเล็บอื่นในวิชาคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์( a , b )มักใช้เพื่อแสดงถึงคู่ลำดับในทฤษฎีเซตพิกัดของจุดหรือเวกเตอร์ในเรขาคณิตวิเคราะห์และพีชคณิตเชิงเส้นหรือ (บางครั้ง) ตัวเลขเชิงซ้อนในพีชคณิต นั่นคือเหตุผลที่Bourbakiแนะนำสัญกรณ์] a , b [เพื่อแสดงถึงช่วงเวลาที่เปิด [5]สัญกรณ์[ a, b ]บางครั้งก็ใช้สำหรับคู่ที่สั่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์

ผู้เขียนบางคน[ ใคร? ]ใช้] a , b [เพื่อแสดงส่วนเติมเต็มของช่วง  ( a ,  b ) ; กล่าวคือ เซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับaหรือ มากกว่าหรือเท่ากับb

จุดสิ้นสุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ในบางบริบท ช่วงอาจถูกกำหนดให้เป็นเซตย่อยของจำนวนจริงที่ขยายชุดของจำนวนจริงทั้งหมดที่เสริมด้วย−∞ และ +

ในการตีความนี้ สัญกรณ์[−∞,  b ]  , (−∞,  b ]  , [ a , +∞]  , และ[ a , +∞)ล้วนมีความหมายและชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง(−∞, +∞)หมายถึงเซตของจำนวนจริงธรรมดาทั้งหมด ในขณะที่[−∞, +∞]หมายถึงจำนวนจริงที่ขยาย

แม้ในบริบทของจำนวนจริงทั่วไป เราอาจใช้ จุด สิ้นสุด ที่ไม่ สิ้นสุดเพื่อระบุว่าไม่มีขอบเขตในทิศทางนั้น ตัวอย่างเช่น(0, +∞)คือเซตของจำนวนจริงบวกเขียนเป็น. บริบทส่งผลต่อคำจำกัดความและคำศัพท์บางคำข้างต้น ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลา(−∞, +∞)  = ถูกปิดในขอบเขตของจำนวนจริงธรรมดา แต่ไม่ใช่ในขอบเขตของจำนวนจริงที่ขยายออกไป

ช่วงจำนวนเต็ม

เมื่อaและbเป็นจำนวนเต็มสัญกรณ์ ⟦ a, b ⟧, หรือ[ a .. b ]หรือ{ a .. b }หรือเพียงแค่a .. bบางครั้งก็ใช้เพื่อระบุช่วงเวลาของจำนวนเต็ม ทั้งหมด ระหว่างaและbรวมอยู่ด้วย. สัญกรณ์[ a .. b ]ใช้ใน ภาษาโปรแกรม บางภาษา ในปาสกาลตัวอย่างเช่น ใช้เพื่อกำหนดประเภทช่วงย่อยอย่างเป็นทางการ มักใช้เพื่อระบุขอบเขตล่างและบนของดัชนีที่ ถูกต้อง ของอาร์เรย์

ช่วงจำนวนเต็มที่มีจุดสิ้นสุดที่ต่ำกว่าหรือบนสุดจำกัดจะรวมจุดสิ้นสุดนั้นไว้ด้วยเสมอ ดังนั้น การยกเว้นจุดปลายสามารถระบุได้อย่างชัดเจนโดยการเขียนa .. b  − 1  , a  + 1 .. b  หรือ a  + 1 .. b  − 1 เครื่องหมายวงเล็บสำรอง เช่น[ a .. b )หรือ[ a .. b [มักไม่ค่อยใช้สำหรับช่วงจำนวนเต็ม [ ต้องการการอ้างอิง ]

การจำแนกช่วงเวลา

ช่วงของจำนวนจริงสามารถจำแนกได้เป็น 11 ประเภทที่แตกต่างกันตามรายการด้านล่าง[ ต้องการการอ้างอิง ]โดยที่aและbเป็นจำนวนจริง และ:

  • ว่างเปล่า:
  • เสื่อมสภาพ:
  • เหมาะสมและมีขอบเขต:
    • เปิด:
    • ปิด:
    • ซ้าย-ปิด ขวา-เปิด:
    • เปิดซ้าย, ปิดขวา:
  • ขอบซ้ายและขอบขวา:
    • เปิดซ้าย:
    • ปิดซ้าย:
  • ซ้ายไม่มีขอบเขตและขอบขวา:
    • เปิดขวา:
    • ปิดขวา:
  • ไม่จำกัดที่ปลายทั้งสอง (เปิดและปิดพร้อมกัน): :

คุณสมบัติของช่วงเวลา

ช่วงเวลาเป็นเซตย่อยที่ เชื่อมต่อกันอย่างแม่นยำของ. มันตามมาด้วยว่าภาพของช่วงเวลาโดยฟังก์ชันต่อเนื่อง ใดๆ ก็เป็นช่วงเวลาเช่นกัน นี่เป็นสูตรหนึ่งของทฤษฎีบทค่ากลาง

ช่วงเวลายังเป็นเซตย่อยนูนของ. กรอบช่วงเวลาของเซตย่อยยังเป็นลำตัวนูนของ.

จุดตัดของคอลเลกชันของช่วงใด ๆ จะเป็นช่วงเสมอ การรวมกันของช่วงสองช่วงเป็นช่วงเว้นระยะก็ต่อเมื่อมีส่วนแยกที่ไม่ว่างหรือจุดสิ้นสุดเปิดของช่วงหนึ่งเป็นจุดสิ้นสุดปิดของอีกช่วงหนึ่ง (เช่น).

ถ้าถูกมองว่าเป็นพื้นที่หน่วยเมตริกลูกบอลเปิดของมันคือเซตที่มีขอบเขตเปิด  ( c  +  r ,  c  -  r )และลูกบอลที่ปิด ของมัน คือ เซตที่มีขอบเขตปิด  [ c  +  r ,  c  -  r ]

องค์ประกอบใด ๆ  xของช่วงเวลา  Iกำหนดพาร์ติชันของ  Iออกเป็นสามช่วงที่ไม่ปะติดปะต่อกันI 1 ,  I 2 ,  I 3 : ตามลำดับ องค์ประกอบของ  Iที่น้อยกว่า  x , ซิงเกิลตัน และองค์ประกอบ ที่มากกว่า  x ส่วนI 1และI 3นั้นไม่ว่างทั้งคู่ (และมีการตกแต่งภายในที่ไม่ว่างเปล่า) ต่อเมื่อxอยู่ในส่วนภายในของ  Iเท่านั้น นี่เป็นรุ่นช่วงเวลาของหลักการไตรโคโตมี

ช่วงไดอาดิค

dyadic interval คือช่วงจริงที่ มีขอบเขตซึ่งมีจุดปลายเป็นและ, ที่ไหนและเป็นจำนวนเต็ม ขึ้นอยู่กับบริบท จุดสิ้นสุดอาจรวมหรือไม่รวมอยู่ในช่วงเวลาก็ได้

ช่วงเวลา Dyadic มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

  • ความยาวของช่วงไดอาดิกจะเป็นกำลังจำนวนเต็มสองเสมอ
  • ช่วงไดอาดิกแต่ละช่วงจะมีช่วงไดอาดิกหนึ่งช่วงที่มีความยาวสองเท่าพอดี
  • ช่วงไดอาดิกแต่ละช่วงถูกสแปนด้วยช่วงไดอาดิกสองช่วงที่มีความยาวครึ่งหนึ่ง
  • หากช่วงไดอาดิกแบบเปิดสองช่วงคาบเกี่ยวกัน แสดงว่าหนึ่งในนั้นเป็นส่วนย่อยของอีกช่วงหนึ่ง

ช่วงเวลาไดอาดิกจึงมีโครงสร้างที่สะท้อนถึงโครงสร้างไบนารีทรีอนันต์

ช่วงไดอาดิกเกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์เชิงตัวเลขหลายด้าน รวมถึงการปรับแต่งเมช แบบปรับได้ วิธีมัลติกริดและการวิเคราะห์เวฟเล็อีกวิธีในการแสดงโครงสร้างดังกล่าวคือการวิเคราะห์ p-adic (สำหรับp = 2 ) [6]

ลักษณะทั่วไป

ช่วงหลายมิติ

ในหลายบริบท an-ช่วงเวลามิติถูกกำหนดให้เป็นเซตย่อยของที่เป็นผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของช่วงเวลาหนึ่งอันบนแกน พิกัด แต่ละอัน

สำหรับซึ่งถือได้ว่าเป็นพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งด้านขนานกับแกนพิกัด ขึ้นอยู่กับว่าความกว้างของช่วงจะเท่ากันหรือไม่ ในทำนองเดียวกันสำหรับซึ่งถือได้ว่าเป็นพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วย ลูกบาศก์ที่มีแนวแกนหรือ ทรง ลูกบาศก์สี่เหลี่ยม ในมิติที่สูงขึ้น ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของช่วงเวลาถูกล้อมรอบด้วย ไฮเปอร์ คิวบ์n มิติ หรือ ไฮ เปอร์ สี่เหลี่ยมผืนผ้า

แง่มุมของช่วงเวลาดังกล่าวเป็นผลจากการแทนที่ปัจจัยช่วงที่ไม่เสื่อมสภาพโดยช่วงที่เสื่อมลงซึ่งประกอบด้วยจุดสิ้นสุดของ. ใบหน้าของ_ประกอบด้วยของตัวเองและทุกแง่มุมของมัน มุมของ_คือใบหน้าที่ประกอบด้วยจุดเดียวของ.

ช่วงเวลาที่ซับซ้อน

ช่วงเวลาของจำนวนเชิงซ้อนสามารถกำหนดเป็นพื้นที่ของระนาบเชิงซ้อนได้ไม่ว่าจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือวงกลม [7]

พีชคณิตทอพอโลยี

ช่วงเวลาสามารถเชื่อมโยงกับจุดต่างๆ ของระนาบ และด้วยเหตุนี้ บริเวณของช่วงเวลาจึงสามารถเชื่อมโยงกับบริเวณต่างๆของระนาบได้ โดยทั่วไป ช่วงเวลาในวิชาคณิตศาสตร์จะสัมพันธ์กับคู่ลำดับ ( x,y ) ที่นำมาจากผลคูณโดยตรง R × R ของจำนวนจริงด้วยตัวมัน เองโดยมักถือว่าy > x สำหรับวัตถุประสงค์ของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ข้อจำกัดนี้จะถูกยกเลิก[8]และ "ช่วงย้อนกลับ" โดยที่y - x < 0 ได้รับอนุญาต จากนั้น การรวบรวมช่วงทั้งหมด [ x,y ] สามารถระบุได้ด้วยวงแหวนทอพอโลยี ที่ เกิดจากผลรวมโดยตรงของ R ในตัวมันเอง โดยที่การบวกและการคูณถูกกำหนดโดยองค์ประกอบ

พีชคณิตผลรวมโดยตรงมีสองอุดมคติ { [ x ,0] : x ∈ R } และ { [0, y ] : y ∈ R } องค์ประกอบเอกลักษณ์ของพีชคณิตนี้คือช่วงย่อ [1,1] หากช่วงเวลา [ x,y ] ไม่อยู่ในอุดมคติใด ๆ มันก็มีค่าผกผันการคูณ [1/ x , 1/ y ] ด้วย โทโพโลยี แบบ ปกติพีชคณิตของช่วงจะก่อตัวเป็นวงแหวนทอพอโลยี กลุ่มของหน่วยของวงแหวนนี้ประกอบด้วยสี่จตุภาคที่กำหนดโดยแกนหรืออุดมคติในกรณีนี้ องค์ประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่มนี้คือจตุภาคที่ 1

ทุกช่วงสามารถถือเป็นช่วงสมมาตรรอบจุดกึ่งกลาง ในการกำหนดค่าใหม่ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1956 โดย M Warmus แกนของ "ช่วงที่สมดุล" [ x , − x ] ถูกใช้พร้อมกับแกนของช่วง [ x,x ] ที่ลดลงจนถึงจุดหนึ่ง แทนผลรวมโดยตรง, วงแหวนของช่วงเวลาได้รับการระบุ[9]ด้วย ระนาบ ตัวเลขแบบแยกส่วนที่ซับซ้อนโดย M. Warmus และDH Lehmerผ่านการระบุ

z = ( x + y )/2 + j ( xy )/2.

การทำแผนที่เชิงเส้นของระนาบซึ่งมีปริมาณของisomorphism ของวงแหวนทำให้ระนาบมีโครงสร้างการคูณซึ่งมีการเปรียบเทียบกับเลขคณิตเชิงซ้อนทั่วไป เช่น การสลายตัวของ ขั้ว

ดูเพิ่มเติม

อ้างอิง

  1. ^ a b "ช่วงเวลา" . www.mathsisfun.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-23 .
  2. อรรถเป็น Weisstein, Eric W. "ช่วงเวลา " mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-23 .
  3. ^ "ช่วงและส่วน - สารานุกรมคณิตศาสตร์" . www . สารานุกรมคณิตศาสตร์.org เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2014-12-26 . สืบค้นเมื่อ2016-11-12 .
  4. ^ รูดิน, วอลเตอร์ (1976). หลัก การ วิเคราะห์ ทาง คณิตศาสตร์ . นิวยอร์ก: McGraw-Hill น.  31 . ISBN 0-07-054235-X.
  5. ^ "เหตุใดสัญกรณ์อเมริกันและฝรั่งเศสจึงแตกต่างกันสำหรับช่วงเวลาที่เปิด ( x , y ) กับ ] x , y [" . hsm.stackexchange.com . สืบค้นเมื่อ28 เมษายน 2018 .
  6. โคซีเรฟ, เซอร์เกย์ (2002). "ทฤษฎีเวฟเล็ตใน การวิเคราะห์สเปกตรัม p- adic" . อิซเวสติยา RAN เซอร์ เสื่อ. 66 (2): 149–158. arXiv : math-ph/0012019 . Bibcode : 2002IzMat..6..367K . ดอย : 10.1070/IM2002v066n02ABEH000381 . S2CID 16796699 . สืบค้นเมื่อ2012-04-05 .  
  7. ^ การคำนวณช่วงเชิงซ้อนและการประยุกต์ , Miodrag Petković, Ljiljana Petković, Wiley-VCH, 1998, ISBN 978-3-527-40134-5 
  8. ^ Kaj Madsen (1979)ทบทวน "การวิเคราะห์ช่วงเวลาในช่องว่างที่ขยาย" โดย Edgar Kaucher [ ลิงก์ตายถาวร ]จากบทวิจารณ์ทางคณิตศาสตร์
  9. ^ DH Lehmer (1956)ทบทวน "แคลคูลัสของการประมาณค่า" [ ลิงก์ตายอย่างถาวร ]จากบทวิจารณ์ทางคณิตศาสตร์

บรรณานุกรม

  • T. Sunaga, [https://web.archive.org/web/20120309164347/http://www.cs.utep.edu/interval-comp/sunaga.pdf Archived 2012-03-09 ที่Wayback Machine "ทฤษฎี พีชคณิตช่วงเวลาและการประยุกต์ใช้กับการวิเคราะห์เชิงตัวเลข"] ใน: Research Association of Applied Geometry (RAAG) Memoirs, Ggujutsu Bunken Fukuy-kai โตเกียว ประเทศญี่ปุ่น พ.ศ. 2501 ฉบับที่ 2, หน้า 29–46 (547-564); พิมพ์ซ้ำใน Japan Journal on Industrial and Applied Mathematics, 2009, Vol. 26 ฉบับที่ 2-3 หน้า 126–143

ลิงค์ภายนอก