ถ้าและเฉพาะถ้า

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา

↔⇔≡⟺
สัญลักษณ์เชิงตรรกะแทนiff

ในสาขาตรรกะและสาขาที่เกี่ยวข้อง เช่นคณิตศาสตร์และปรัชญา " if and only if " (ย่อว่า " iff " [1] ) เป็นความสัมพันธ์ เชิงตรรกะแบบสองเงื่อนไขระหว่างประโยค โดยที่ข้อความทั้งสองเป็นจริงหรือเท็จทั้งคู่

คอนเนกทีฟเป็นแบบสองเงื่อนไข (คำสั่งของสมมูลวัสดุ ) [2]และสามารถเปรียบได้กับเงื่อนไขวัสดุมาตรฐาน("เฉพาะในกรณี" เท่ากับ "ถ้า ... แล้ว") รวมกับการย้อนกลับ ("ถ้า"); จึงได้ชื่อว่า ผลที่ได้คือความจริงของข้อความที่เชื่อมโยงกันข้อใดข้อหนึ่งต้องการความจริงของอีกคำหนึ่ง (กล่าวคือ ข้อความทั้งสองเป็นจริง หรือทั้งสองเป็นเท็จ) แม้ว่าจะเป็นที่ถกเถียงกันว่าคำเชื่อมโยงที่กำหนดไว้นั้นได้รับการแสดงอย่างถูกต้องโดยภาษาอังกฤษ "ถ้า และก็ต่อเมื่อ"—ด้วยความหมายที่มีอยู่ก่อนแล้ว ตัวอย่างเช่นP if และ only if Qหมายความว่าPเป็นจริง เมื่อใดก็ตามที่Qเป็นจริง และกรณีเดียวที่Pเป็นจริงคือถ้าQเป็นจริงด้วยในขณะที่ในกรณีของP if Qอาจมีสถานการณ์อื่นที่Pเป็นจริงและQเป็นเท็จ

ในการเขียน วลีที่ใช้กันทั่วไปเป็นทางเลือกแทน P "ถ้าและก็ต่อเมื่อ" Q รวมถึง: Q จำเป็นและเพียงพอสำหรับ P , P เทียบเท่า (หรือเทียบเท่าในสาระสำคัญ) กับ Q (เปรียบเทียบกับการใช้วัสดุที่มีความหมาย ), P อย่างแม่นยำถ้า Q , P อย่างแม่นยำ (หรือตรง) เมื่อ Q , P ในกรณี QและP ในกรณี Q . [3]ผู้เขียนบางคนมองว่า "iff" ไม่เหมาะสมในการเขียนอย่างเป็นทางการ [4]คนอื่น ๆ มองว่าเป็น "กรณีเขตแดน" และทนต่อการใช้งาน [5]

ในสูตรตรรกะ สัญลักษณ์เชิงตรรกะ เช่น[6]และ, [7]ใช้แทนวลีเหล่านี้ ดู§หมายเหตุด้านล่าง

คำจำกัดความ

ตารางความจริงของP Qเป็นดังนี้: [8] [9]

ตารางความจริง
NS NS NS NS NS NS NS  NS
NS NS NS NS NS
NS NS NS NS NS
NS NS NS NS NS
NS NS NS NS NS

มันจะเทียบเท่ากับที่ผลิตโดยประตู XNORและตรงข้ามกับที่ผลิตโดยประตูแฮคเกอร์ [10]

การใช้งาน

สัญกรณ์

สัญลักษณ์เชิงตรรกะที่สอดคล้องกันคือ "↔", [6] "" [7]และ ' ' [11]และบางครั้ง 'IFF'. เหล่านี้มักจะถือว่าเป็นเทียบเท่า. แต่บางตำราของตรรกะทางคณิตศาสตร์ (โดยเฉพาะผู้ที่อยู่ในตรรกะลำดับแรกมากกว่าตรรกะประพจน์ ) สร้างความแตกต่าง ระหว่างสิ่งเหล่านี้ ซึ่งตัวแรก ↔ ถูกใช้เป็นสัญลักษณ์ในสูตรตรรกะ ในขณะที่ ⇔ ถูกใช้ในการให้เหตุผลเกี่ยวกับสูตรตรรกะเหล่านั้น (เช่น ในmetalogic ) ในสัญกรณ์โปแลนด์ของŁukasiewiczมันเป็นสัญลักษณ์นำหน้า 'E '. [12]

อีกวาระหนึ่งสำหรับเรื่องนี้เกี่ยวพันตรรกะเป็นพิเศษมิได้

ในTeX "if and only if" จะแสดงเป็นลูกศรคู่ยาว:ผ่านคำสั่ง \iff. [13]

หลักฐาน

ในระบบตรรกะส่วนใหญ่เราพิสูจน์ข้อความในรูปแบบ "P iff Q" โดยพิสูจน์ "if P แล้ว Q" และ "if Q แล้ว P" หรือ "if P แล้ว Q" และ "if not-P แล้วไม่-Q" [1] การพิสูจน์คู่นี้บางครั้งนำไปสู่การพิสูจน์ที่เป็นธรรมชาติมากกว่า เนื่องจากไม่มีเงื่อนไขที่ชัดเจนในการอนุมานแบบสองเงื่อนไขโดยตรง อีกทางเลือกหนึ่งคือการพิสูจน์ความแตกแยก "(P และ Q) หรือ (ไม่ใช่-P และไม่ใช่-Q)" ซึ่งสามารถอนุมานได้โดยตรงจากการแยกส่วนอย่างใดอย่างหนึ่ง - นั่นคือเพราะ "iff" เป็นฟังก์ชันที่เป็นจริง " P iff Q" จะตามมาหากแสดงว่า P และ Q เป็นจริงหรือเท็จทั้งคู่

ที่มาของ iff และการออกเสียง

การใช้อักษรย่อ "IFF" ปรากฏตัวครั้งแรกในการพิมพ์ในจอห์นแอลเคลลี่ 's 1955 หนังสือทั่วไปโทโพโลยี [14] สิ่งประดิษฐ์นี้มักให้เครดิตกับPaul Halmosผู้เขียน "ฉันประดิษฐ์ 'iff' สำหรับ 'if and only if'—แต่ฉันไม่เคยเชื่อเลยว่าฉันเป็นผู้ประดิษฐ์คนแรกของมันจริงๆ [15]

มันไม่ชัดเจนว่าจะออกเสียง "iff" อย่างไร ในทางปฏิบัติ คำว่า 'if' เดียว "iff" มักจะอ่านเป็นคำสี่คำ "ถ้าและเฉพาะถ้า" อย่างไรก็ตาม ในคำนำของGeneral Topologyนั้น Kelley เสนอว่าควรอ่านให้แตกต่างออกไป: "ในบางกรณีที่เนื้อหาทางคณิตศาสตร์ต้องการ 'if and only if' และeuphonyต้องการบางสิ่งน้อยกว่า ฉันใช้ 'iff' ของ Halmos' ผู้เขียนหนังสือเรียนคณิตศาสตร์แบบแยกเล่มเล่มหนึ่งแนะนำว่า: [16] "คุณควรจะออกเสียง iff หรือไม่ให้ใช้ 'ff'จริงๆเพื่อให้ผู้คนได้ยินความแตกต่างจาก 'if' ซึ่งหมายความว่า "iff" สามารถออกเสียงเป็น[ ɪfː] .

การใช้งานในคำจำกัดความ

ในทางเทคนิค คำจำกัดความมักจะเป็นคำสั่ง "ถ้าและก็ต่อเมื่อ" เสมอ บางข้อความ เช่นโทโพโลยีทั่วไปของ Kelley ปฏิบัติตามข้อกำหนดที่เข้มงวดของตรรกะ และใช้ "ถ้าและเฉพาะในกรณี" หรือiffในคำจำกัดความของคำศัพท์ใหม่ [17]อย่างไรก็ตาม การใช้ "ถ้าและเฉพาะ" ที่ถูกต้องตามหลักเหตุผลนี้ค่อนข้างเป็นเรื่องแปลก เนื่องจากตำราเรียน เอกสารการวิจัย และบทความส่วนใหญ่ (รวมถึงบทความวิกิพีเดียภาษาอังกฤษ) ปฏิบัติตามอนุสัญญาพิเศษเพื่อตีความ "ถ้า" เป็น "ถ้าเท่านั้น" ถ้า" เมื่อใดก็ตามที่คำนิยามทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้อง (เช่นใน "ปริภูมิทอพอโลยีจะกะทัดรัด ถ้าทุกปกที่เปิดอยู่มีปกย่อยที่มีขอบเขตจำกัด") [18]

ความแตกต่างจาก "ถ้า" และ "ก็ต่อเมื่อ"

  • "เมดิสันจะกินผลไม้ถ้าเป็นแอปเปิ้ล" (เทียบเท่ากับ" ถ้าเมดิสันจะกินผลเป็นแอปเปิ้ลได้เท่านั้น"หรือ"เมดิสันจะกินผลผลก็คือแอปเปิ้ล" )
    ซึ่งระบุว่าเมดิสันจะกินผลไม้ที่เป็นแอปเปิ้ล อย่างไรก็ตาม ไม่ได้ยกเว้นความเป็นไปได้ที่เมดิสันอาจกินกล้วยหรือผลไม้ประเภทอื่นๆ ด้วย เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเธอจะกินแอปเปิ้ลทั้งหมดที่เธอเกิดขึ้น ว่าผลที่เป็นแอปเปิ้ลนั้นเป็นสภาวะที่เพียงพอสำหรับเมดิสันที่จะกินผลไม้นั้น
  • "เมดิสันจะกินผลไม้ก็ต่อเมื่อมันเป็นแอปเปิ้ล" (เทียบเท่ากับ" ถ้าเมดิสันจะกินผลไม้ก็แอปเปิ้ล"หรือ"เมดิสันจะกินผลไม้ผลไม้ก็คือแอปเปิ้ล" )
    สิ่งนี้ระบุว่าผลไม้ชนิดเดียวที่เมดิสันจะกินคือแอปเปิ้ล อย่างไรก็ตาม ไม่ได้ยกเว้นความเป็นไปได้ที่เมดิสันจะปฏิเสธแอปเปิลหากมีจำหน่าย ตรงกันข้ามกับ (1) ซึ่งกำหนดให้เมดิสันกินแอปเปิลใดๆ ที่มีอยู่ ในกรณีนี้ การที่ผลไม้ที่ให้มาเป็นแอปเปิ้ลนั้นเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับเมดิสันที่จะกินมัน สภาพไม่เพียงพอเนื่องจากเมดิสันอาจไม่กินแอปเปิ้ลทั้งหมดที่เธอได้รับ
  • "เมดิสันจะกินผลไม้ก็ต่อเมื่อมันเป็นแอปเปิ้ล" (เทียบเท่ากับ"เมดิสันจะกินผลไม้ผลไม้เป็นแอปเปิ้ล" )
    คำพูดนี้ทำให้ชัดเจนว่าเมดิสันจะกินผลไม้ที่เป็นแอปเปิ้ลทั้งหมดเท่านั้น เธอจะไม่ทิ้งแอปเปิ้ลไว้โดยไม่กิน และเธอจะไม่กินผลไม้ชนิดอื่น การที่ผลไม้ที่ให้มานั้นคือแอปเปิ้ลเป็นทั้งความจำเป็นและสภาพที่เพียงพอสำหรับเมดิสันที่จะกินผลไม้นั้น

ความพอเพียงคือการพูดคุยถึงความจำเป็น กล่าวคือได้รับPQ (เช่นถ้าPแล้วQ ), Pจะเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับQและQจะเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับP นอกจากนี้ยังได้รับPQมันเป็นความจริงที่¬Q¬P (ที่¬เป็นผู้ประกอบการปฏิเสธคือ "ไม่") ซึ่งหมายความว่าความสัมพันธ์ระหว่างPและQ ที่สร้างโดยPQสามารถแสดงด้วยวิธีที่เทียบเท่าทั้งหมดดังต่อไปนี้:

PเพียงพอสำหรับQ
Qจำเป็นสำหรับP
¬Qก็เพียงพอแล้วสำหรับ¬P
¬Pเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับ¬Q

ตัวอย่างเช่น ใช้ตัวอย่างแรกข้างต้น ซึ่งระบุPQโดยที่Pคือ "ผลไม้ที่เป็นปัญหาคือแอปเปิ้ล" และQคือ "เมดิสันจะกินผลไม้ที่เป็นปัญหา" ต่อไปนี้เป็นวิธีที่เทียบเท่ากันสี่วิธีในการแสดงความสัมพันธ์นี้:

หากผลไม้ที่เป็นปัญหาคือแอปเปิ้ล เมดิสันก็จะกินมัน
เฉพาะในกรณีที่เมดิสันจะกินผลไม้ที่เป็นปัญหาเท่านั้น นั่นคือแอปเปิ้ล
ถ้าเมดิสันไม่กินผลไม้ที่เป็นปัญหา แสดงว่าไม่ใช่แอปเปิ้ล
เฉพาะในกรณีที่ผลไม้ที่เป็นปัญหาไม่ใช่แอปเปิ้ล เมดิสันจะไม่กินมัน

ในที่นี้ ตัวอย่างที่สองสามารถพูดใหม่ได้ในรูปของif...thenว่า "ถ้าเมดิสันจะกินผลไม้ที่เป็นปัญหา แสดงว่ามันคือแอปเปิ้ล"; เมื่อนำสิ่งนี้มาประกอบกับตัวอย่างแรก เราพบว่าตัวอย่างที่สามสามารถระบุได้ว่า "ถ้าผลไม้ที่เป็นปัญหาคือแอปเปิ้ล แมดิสันก็จะกินมันและถ้าเมดิสันจะกินผลไม้ มันก็จะเท่ากับแอปเปิ้ล"

ในแง่ของออยเลอร์ไดอะแกรม

ไดอะแกรมออยเลอร์แสดงความสัมพันธ์เชิงตรรกะระหว่างเหตุการณ์ คุณสมบัติ และอื่นๆ "P only if Q", "if P then Q" และ "P→Q" ทั้งหมดหมายความว่า P เป็นเซตย่อยไม่ว่าจะเหมาะสมหรือไม่เหมาะสมของ Q "P if Q", "if Q แล้ว P" และ Q→P ทั้งหมดหมายความว่า Q เป็นเซตย่อยที่เหมาะสมหรือไม่เหมาะสมของ P "P if and only if Q" และ "Q if and only if P" ทั้งสองหมายความว่าชุด P และ Q เหมือนกัน

การใช้งานทั่วไป

Iff ใช้นอกสนามตรรกะเช่นกัน เมื่อใดก็ตามที่มีการใช้ตรรกะ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการอภิปรายทางคณิตศาสตร์มันมีความหมายเดียวกันกับข้างต้น: มันเป็นตัวย่อสำหรับif และ only if เท่านั้นซึ่งบ่งชี้ว่าข้อความสั่งหนึ่งจำเป็นและเพียงพอสำหรับอีกประโยคหนึ่ง[1]นี่เป็นตัวอย่างของศัพท์แสงทางคณิตศาสตร์ (แม้ว่าตามที่ระบุไว้ข้างต้นหากใช้บ่อยกว่าiffในประโยคนิยาม)

องค์ประกอบของXมีทั้งหมดและมีเพียงองค์ประกอบของYหมายถึง: "สำหรับใด ๆZในโดเมนของวาทกรรม , Zอยู่ในXและถ้าหากZอยู่ในY ."

ดูเพิ่มเติม

อ้างอิง

  1. อรรถเป็น "อภิธานศัพท์ขั้นสุดท้ายของศัพท์แสงทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง — ถ้าและเฉพาะถ้า" . คณิตศาสตร์ห้องนิรภัย 1 สิงหาคม 2562 . สืบค้นเมื่อ22 ตุลาคม 2019 .
  2. ^ สำเนา IM; โคเฮน, C.; แฟลก, เดลาแวร์ (2006). สาระสำคัญของตรรกะ (ฉบับที่สอง) Upper Saddle River, NJ: การศึกษาของเพียร์สัน NS. 197. ISBN 978-0-13-238034-8.
  3. ^ Weisstein เอริควชิร "สมมุติแค่สมมุติ." จาก MathWorld--แหล่งข้อมูลเว็บ Wolfram http://mathworld.wolfram.com/Iff.html
  4. ^ เช่น Daepp อูล; Gorkin, Pamela (2011), การอ่าน, การเขียนและการพิสูจน์: มองใกล้ที่คณิตศาสตร์ , ตำราระดับปริญญาตรีในวิชาคณิตศาสตร์ , Springer, p. 52, ISBN 9781441994790, ในขณะที่มันอาจจะเป็นประหยัดเวลาจริงเราไม่แนะนำในการเขียนอย่างเป็นทางการ
  5. ^ รอ ธ เอ็ดเวิร์ดเจ .; Cloud, Michael J. (2014), Engineering Writing by Design: Making Formal Documents of Lasting Value , CRC Press, p. 98, ISBN 9781482234312, มันเป็นเรื่องธรรมดาในการเขียนคณิตศาสตร์
  6. ^ a b "รายการสัญลักษณ์ลอจิกที่ครอบคลุม" . คณิตศาสตร์ห้องนิรภัย 6 เมษายน 2563 . สืบค้นเมื่อ4 กันยายน 2020 .
  7. ^ a b Peil, ทิโมธี. "เงื่อนไขและสองเงื่อนไข" . เว็บ. mnstate.edu สืบค้นเมื่อ4 กันยายน 2020 .
  8. ^ p <=> q . วุลแฟรม|อัลฟ่า
  9. ถ้า and only if , UHM Department of Mathematics, Theorems that has the form "P if and only Q" ได้รับรางวัลมากในวิชาคณิตศาสตร์. พวกเขาให้สิ่งที่เรียกว่าเงื่อนไข "จำเป็นและเพียงพอ" และให้วิธีการใหม่ ๆ ที่เท่าเทียมกันและน่าสนใจในการพูดสิ่งเดียวกันทุกประการ
  10. ^ "XOR/XNOR/Odd Parity/Even Parity Gate" . www.cburch.com . สืบค้นเมื่อ22 ตุลาคม 2019 .
  11. ^ Weisstein เอริควชิร"เทียบเท่า" mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ4 กันยายน 2020 .
  12. ^ "Jan Łukasiewicz > Łukasiewicz's Parenthesis-Free or Polish Notation (สารานุกรมปรัชญาสแตนฟอร์ด)" . plato.stanford.edu . สืบค้นเมื่อ22 ตุลาคม 2019 .
  13. ^ "LaTeX:สัญลักษณ์" . ศิลปะแห่งการแก้ปัญหา. สืบค้นเมื่อ22 ตุลาคม 2019 .
  14. ^ โทโพโลยีทั่วไปออกใหม่ ISBN 978-0-387-90125-1 
  15. ^ นิโคลัส เจ. ไฮแฮม (1998). คู่มือการเขียนสำหรับวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 2) สยาม. NS. 24. ISBN 978-0-89871-420-3.
  16. ^ เรอร์, สตีเฟ่น B .; รัลสตัน, แอนโธนี่ (2005). Discrete Algorithmic Mathematics (ฉบับที่ 3) โบคา ราตัน ฟลอริดา: CRC Press. NS. 60. ISBN 1568811667.
  17. ^ ตัวอย่างเช่น จาก General Topology , p. 25: "เซตนับได้ถ้ามันจำกัดหรืออนันต์นับได้" [ตัวหนาในต้นฉบับ]
  18. ^ หางแดง, สตีเว่น G. (1996), รองพื้นของการเขียนคณิตศาสตร์สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันพี 71 , ISBN 978-0-8218-0635-7

ลิงค์ภายนอก