ประวัติระบบเลขฮินดู-อารบิก

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา

ฮินดูภาษาอาหรับตัวเลขระบบเป็นทศนิยมที่มีมูลค่าระบบตัวเลขที่ใช้เป็นศูนย์สัญลักษณ์ในขณะที่ "205" [1]

ร่ายมนตร์มันจะสืบเชื้อสายมาจากอินเดียเลข Brahmi ระบบเต็มรูปแบบเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 8 ถึง 9 และได้รับการอธิบายครั้งแรกนอกอินเดียในAl-Khwarizmi 's On the Calculation with Hindu Numerals (ca. 825) และงานสี่เล่มของAl-Kindiเรื่องที่สองเกี่ยวกับการใช้ ตัวเลขอินเดีย (ค.ศ. 830) [2] ปัจจุบันมักใช้ ชื่อตัวเลขฮินดู-อารบิก

ระบบทศนิยม

นักประวัติศาสตร์ติดตามตัวเลขสมัยใหม่ในภาษาส่วนใหญ่จนถึงเลขพราหมณ์ซึ่งใช้อยู่ราวกลางศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตกาล [3]สถานที่ค่าระบบอย่างไรก็ตามภายหลังการพัฒนา ตัวเลขพราหมณ์ถูกพบในจารึกในถ้ำและบนเหรียญในภูมิภาคใกล้ปูเน่ รัฐมหาราษฏระ[2]และอุตตรประเทศในอินเดีย ตัวเลขเหล่านี้ (ที่มีการแปรผันเล็กน้อย) ถูกใช้จนถึงศตวรรษที่ 4 [3]

ในสมัยคุปตะ (ต้นศตวรรษที่ 4 ถึงปลายศตวรรษที่ 6) ตัวเลขคุปตะพัฒนาจากเลขพรหมมีและกระจายไปทั่วพื้นที่ขนาดใหญ่โดยจักรวรรดิคุปตะเมื่อพวกเขายึดครองดินแดน [3] เริ่มประมาณศตวรรษที่ 7 ตัวเลขคุปตะพัฒนาเป็นตัวเลขนาการิ

การพัฒนาในอินเดีย

ในช่วงสมัยเวท (1500–500 ก่อนคริสตศักราช) ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากการสร้างเชิงเรขาคณิตของแท่นบูชาไฟและดาราศาสตร์ การใช้ระบบตัวเลขและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานที่พัฒนาขึ้นในภาคเหนือของอินเดีย[4] [5]ฮินดูจักรวาลต้องเรียนรู้ของตัวเลขที่มีขนาดใหญ่มากเช่นKalpa (อายุการใช้งานของจักรวาล) บอกว่าจะ 4320000000 ปีและ "วงโคจรแห่งสวรรค์" บอกว่าจะ 18.712.069.200.000.000 yojanas [6]ตัวเลขแสดงโดยใช้ "ระบุชื่อสัญกรณ์ค่าตำแหน่ง" โดยใช้ชื่อแทนกำลัง 10 เช่นdasa , shatha , sahasra , ayuta , niyuta ,Prayuta , arbuda , nyarbuda , samudra , madhya , anta , Parardhaเป็นต้น อันสุดท้ายนี้เป็นชื่อสำหรับล้านล้าน (10 12 ) [7]ตัวอย่างเช่น จำนวน 26,432 แสดงเป็น "2 ayuta , 6 sahasra , 4 shatha , 3 dasa , 2." [8]ในคัมภีร์ลลิตาวิศรา พระพุทธเจ้าตรัสว่า ได้บรรยายแบบแผนของตัวเลขถึง 10 53 . [9] [10]

เลขพราหมณ์รุ่นแรกบรรพบุรุษของเลขฮินดู-อารบิก ใช้โดยพระเจ้าอโศกในพระราชกฤษฎีกาของอโศกประมาณ 250 ปีก่อนคริสตศักราช

รูปแบบของตัวเลขในจารึกของอโศกในอักษรพรหม (กลางศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตศักราช) เกี่ยวข้องกับเครื่องหมายแยกสำหรับตัวเลข 1 ถึง 9, 10 ถึง 90, 100 และ 1,000 ทวีคูณของ 100 หรือ 1,000 ถูกแทนด้วยการแก้ไข (หรือ "การเข้ารหัส" [11] ) ของเครื่องหมายสำหรับตัวเลขโดยใช้เครื่องหมายสำหรับหมายเลขตัวคูณ [12]ตัวเลขที่เข้ารหัสดังกล่าวเป็นตัวแทนโดยตรงของตัวเลขตำแหน่ง-ค่าที่ระบุชื่อที่ใช้ด้วยวาจา พวกเขายังคงใช้ในจารึกจนถึงปลายศตวรรษที่ 9

ในข้อความนำของ ค.ศ. 499 Aryabhata ได้คิดค้นระบบตัวเลขตำแหน่งแบบใหม่ โดยใช้พยัญชนะภาษาสันสกฤตสำหรับจำนวนน้อยและสระแทนกำลัง 10 การใช้ระบบนี้ สามารถแสดงตัวเลขที่สูงถึงหนึ่งพันล้านโดยใช้วลีสั้นๆ เช่น e. g. khyu-ghṛแทนเลข 4,320,000. ระบบไม่สามารถเข้าใจได้เพราะมันสร้างวลีที่ไม่สามารถออกเสียงได้ค่อนข้างมาก แต่มันอาจผลักดันหลักการของระบบเลขตำแหน่ง (เรียกว่าdasa-gunottaraเลขชี้กำลัง 10) ให้กับนักคณิตศาสตร์ในภายหลัง [13]แผนการkatapayadi ที่หรูหรากว่าถูกคิดค้นขึ้นในศตวรรษต่อมาซึ่งเป็นตัวแทนของระบบค่าสถานที่รวมถึงศูนย์ [14]

ตัวเลข-ค่าที่ไม่มีศูนย์

ต้นฉบับ Bakhshaliรายละเอียดของจุด "ศูนย์"

ในขณะที่ตัวเลขในข้อความและคำจารึกใช้สัญกรณ์ตำแหน่ง-ค่าที่มีชื่อ แต่อาจมีการใช้สัญกรณ์ที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นในการคำนวณ ซึ่งอาจมาจาก CE ศตวรรษที่ 1 การคำนวณได้ดำเนินการบนแผ่นดินเหนียวที่ปกคลุมด้วยชั้นทรายบางๆ ทำให้เกิดคำว่าdhuli-karana ("งานทราย") สำหรับการคำนวณที่สูงขึ้น Karl Menningerเชื่อว่า ในการคำนวณดังกล่าว พวกเขาต้องแจกแจงตัวเลขที่เข้ารหัสและเขียนเพียงแค่ลำดับของตัวเลขเพื่อแทนตัวเลข ศูนย์จะถูกแสดงเป็น "สถานที่ที่ขาดหายไป" เช่นจุด [15]ต้นฉบับฉบับเดียวพร้อมตัวอย่างการทำงานที่มีให้เราต้นฉบับ Bakhshali(ของวันที่ไม่ชัดเจน) ใช้ระบบค่าสถานที่ที่มีจุดเพื่อแสดงค่าศูนย์ จุดที่เรียกว่าshunya-sthāna "ที่ว่าง" สัญลักษณ์เดียวกันนี้ยังใช้ในนิพจน์พีชคณิตสำหรับสิ่งที่ไม่รู้จัก (เช่นเดียวกับในบัญญัติxในพีชคณิตสมัยใหม่) [16]

ข้อความอ้างอิงถึงระบบค่าสถานที่มีให้เห็นตั้งแต่ศตวรรษที่ 5 เป็นต้นไป นักปราชญ์ชาวพุทธวสุพันธุในศตวรรษที่ 5 กล่าวว่า "เมื่อนับชิ้นดินเหนียวอยู่ในตำแหน่งหน่วย ก็แสดงว่าเป็นหนึ่ง ในร้อย หนึ่งร้อย" ความเห็นเกี่ยวกับPatanjali 's โยคะพระสูตรจากศตวรรษที่ 5 อ่าน "เช่นเดียวกับสายในสถานที่หลายร้อย [วิธี] ร้อยในช่วงสิบสถานที่นับและเป็นหนึ่งในสถานที่ที่คนดังนั้นหนึ่งและผู้หญิงคนเดียวกันที่เรียกว่า แม่ ลูกสาว และน้องสาว” [17]

ระบบที่เรียกว่าภูตสังขยา ("เลขวัตถุ" หรือ "เลขคอนกรีต") ถูกนำมาใช้แทนตัวเลขในภาษาสันสกฤต โดยใช้แนวคิดแทนตัวเลขเพื่อแทนตัวหลัก ข้อความเชนชื่อโลกวิภค ลงวันที่ 458 ซีอี[18]กล่าวถึงตัวเลขที่คัดค้าน

" ปัญจภะยะห์ คาลู ชุนยบยะฮ์ ปรม เทเว สัปตา จัมบาราม เอคัม ตรีนี ชะ รูปัม ชะ "

ความหมาย "ช่องว่างห้าช่อง จากนั้นสองและเจ็ด ท้องฟ้า หนึ่งและสาม และรูปแบบ" กล่าวคือ หมายเลข 13107200000 [19] [20] [20]ตัวเลขที่คัดค้านดังกล่าวถูกใช้อย่างกว้างขวางตั้งแต่ศตวรรษที่ 6 เป็นต้นไป โดยเฉพาะหลังVarahamihira ( ค. 575 ซีอี) ศูนย์จะแสดงอย่างชัดเจนในตัวเลขเช่น "ความว่างเปล่า" ( sunya ) หรือ "สเปซสวรรค์" ( ambara akasha ) [21]ตามลําดับจุดที่ใช้ในสถานที่ของศูนย์ในตัวเลขที่เขียนถูกเรียกว่าSunya-Bindu [22]

ตัวเลข-ค่าที่มีศูนย์

เลข "ศูนย์" ตามที่ปรากฏในตัวเลขสอง (50 และ 270) ในจารึกในกวามีอายุถึงศตวรรษที่ 9 [23] [24]

ในปี 628 CE นักดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์Brahmaguptaเขียนข้อความBrahma Shuta Siddhantaซึ่งมีการรักษาทางคณิตศาสตร์ครั้งแรกของศูนย์ เขากำหนดศูนย์เป็นผลจากการลบตัวเลขออกจากตัวมันเอง ตั้งสมมติฐานจำนวนลบและอภิปรายคุณสมบัติของพวกเขาภายใต้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ คำว่าศูนย์ของเขาคือshunya (เป็นโมฆะ) ซึ่งเป็นคำเดียวกับที่ใช้ก่อนหน้านี้สำหรับจุดว่างในระบบค่าตำแหน่ง 9 หลัก[25]สิ่งนี้ให้มุมมองใหม่เกี่ยวกับshunya-binduเป็นตัวเลขและปูทางสำหรับการวิวัฒนาการของเลขศูนย์ในที่สุด จุดยังคงใช้ต่อไปอย่างน้อย 100 ปีหลังจากนั้น และส่งต่อไปยังเอเชียตะวันออกเฉียงใต้และอาระเบีย แคชเมียร์ของสคริปต์ Sharada ได้เก็บจุดเป็นศูนย์มาจนถึงทุกวันนี้

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 7 ตัวเลขทศนิยมเริ่มปรากฏในจารึกในเอเชียตะวันออกเฉียงใต้เช่นเดียวกับในอินเดีย (22)นักวิชาการบางคนเชื่อว่าพวกเขาปรากฏตัวก่อนหน้านี้ ทุนแผ่นทองแดงในศตวรรษที่ 6 ที่ Mankani ที่มีตัวเลข 346 (สอดคล้องกับ 594 CE) มักถูกอ้างถึง (26)แต่ความน่าเชื่อถือนั้นมีข้อโต้แย้ง [22] [27]การเกิดขึ้นที่เถียงไม่ได้ครั้งแรกของ 0 ในจารึกเกิดขึ้นที่Gwaliorในปี 876 CE ที่มีตัวเลข "270" ในสัญกรณ์ที่คล้ายกับของเราอย่างน่าประหลาดใจ (28)ตลอดศตวรรษที่ 8 และ 9 มีการใช้ทั้งเลขพราหมณ์เก่าและเลขทศนิยมใหม่ ซึ่งบางครั้งก็ปรากฏในจารึกเดียวกัน ในเอกสารบางฉบับ การเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นราวๆ ค.ศ. 866 [22]

การยอมรับโดยชาวอาหรับ

ก่อนการขึ้นของหัวหน้าศาสนาอิสลามระบบเลขฮินดู-อารบิกได้เคลื่อนไปทางตะวันตกแล้ว และถูกกล่าวถึงในซีเรียในปี ค.ศ. 662 โดยนักวิชาการNestorian Severus Sebokhtผู้เขียนข้อความต่อไปนี้:

"ฉันจะละเว้นการอภิปรายทั้งหมดเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ของชาวอินเดียนแดง ... การค้นพบที่ละเอียดอ่อนของพวกเขาในด้านดาราศาสตร์ การค้นพบที่แยบยลมากกว่าของชาวกรีกและชาวบาบิโลน และวิธีการคำนวณอันมีค่าของพวกเขาซึ่งเกินคำอธิบาย ฉัน อยากจะบอกว่าการคำนวณนี้ทำโดยใช้สัญญาณทั้ง ๙ ประการ ถ้าบรรดาผู้เชื่อเพราะพูดภาษากรีกว่าถึงขีดสุดของวิทยาศาสตร์แล้วจะอ่านตำราอินเดียก็ย่อมเชื่อได้แม้เพียงเล็กน้อย ในยามราตรียังมีคนอื่นที่รู้ของมีค่า" [29]

ตามที่อัลคิฟต้ 's ประวัติศาสตร์เรียนรู้ผู้ชาย : [29]

“... บุคคลจากอินเดียมาแสดงตนต่อหน้ากาหลิบอัลมันซูรในปี [776 AD] ผู้รอบรู้ในวิธีการคำนวณสิทธันตาที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนไหวของเทห์ฟากฟ้าและมีวิธีการคำนวณสมการตาม ครึ่งคอร์ด [โดยพื้นฐานคือไซน์] คำนวณเป็นครึ่งองศา ... ทั้งหมดนี้รวมอยู่ในงาน ... ซึ่งเขาอ้างว่าใช้ครึ่งคอร์ดคำนวณเป็นเวลาหนึ่งนาที Al-Mansur สั่งให้หนังสือเล่มนี้ไป ได้รับการแปลเป็นภาษาอาหรับและงานที่จะเขียนตามการแปลเพื่อให้ชาวอาหรับมีฐานที่มั่นคงในการคำนวณการเคลื่อนไหวของดาวเคราะห์ ... "

การทำงานเป็นส่วนใหญ่มีแนวโน้มที่จะได้รับBrahmagupta 's พรหม Sphuta Siddhanta (เปิดของจักรวาล) ซึ่งเขียนใน 628. [29] [30]โดยไม่คำนึงถึงว่าเรื่องนี้เป็นความผิดเนื่องจากทุกตำราอินเดียหลังจากAryabhataของAryabhatiyaใช้ ระบบตัวเลขของอินเดีย นับแต่นี้เป็นต้นไป ชาวอาหรับมีการแปลข้อความที่เขียนในระบบตัวเลขของอินเดีย [29]

ในบทความของเขาThe Arithmetic of Al-Uqlîdisî (Dordrecht: D. Reidel, 1978) การศึกษาของAS Saidanไม่สามารถตอบได้อย่างครบถ้วนว่าตัวเลขมาถึงโลกอาหรับได้อย่างไร:

“ดูจะเป็นไปได้ที่มันค่อยๆ ลอยไปเรื่อย ๆ อาจจะก่อนศตวรรษที่ 7 ผ่านสองช่องทางหนึ่งเริ่มต้นจาก Sind ผ่านการกรองแบบเปอร์เซียและแพร่กระจายในสิ่งที่เรียกว่าตะวันออกกลางและอีกช่องทางหนึ่งเริ่มต้นจากชายฝั่งมหาสมุทรอินเดียและขยายไปถึงชายฝั่งทางตอนใต้ของทะเลเมดิเตอร์เรเนียน” [2]

Al-Uqlidisiพัฒนาสัญกรณ์เพื่อแสดงเศษส่วนทศนิยม [31] [32]ตัวเลขมีชื่อเสียงเนื่องจากการใช้ในผลงานสำคัญของนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียAl-Khwarizmiซึ่งหนังสือเกี่ยวกับการคำนวณด้วยเลขฮินดูเขียนประมาณ 825 และนักคณิตศาสตร์อาหรับAl-Kindiผู้เขียน สี่เล่ม (ดู [2]) "เกี่ยวกับการใช้เลขอินเดีย" (Ketab fi Isti'mal al-'Adad al-Hindi) ประมาณ 830 เล่ม ท่ามกลางงานอื่น ๆ มีส่วนทำให้ระบบการนับของอินเดียเผยแพร่ ในตะวันออกกลางและตะวันตก

การพัฒนาสัญลักษณ์

การพัฒนาตัวเลขในยุโรปตอนต้นแสดงไว้ด้านล่าง:

"Histoire de la Mathematique" โดยนักวิชาการชาวฝรั่งเศส JE Montucla จัดพิมพ์ในปี ค.ศ. 1757
ตาราง apices
ตารางเลข

ลูกคิดกับระบบเลขฮินดู-อารบิกในภาพสมัยใหม่ตอนต้น

การยอมรับในยุโรป

เลขอารบิกตัวแรกในยุโรปปรากฏในCodex Vigilanusในปี 976
ตัวเลขอารบิกยุคกลางที่แผนที่โลกจากปโตเลมี, คอสโมกราฟเฟีย Ulm: Lienhart Holle, 1482
Libro Intitulado Arithmetica Practica , 1549
  • 976 . เลขอารบิกตัวแรกในยุโรปปรากฏในCodex Vigilanusในปี 976
  • 1202 . Fibonacciเป็นอิตาเลี่ยนนักคณิตศาสตร์ที่ได้ศึกษาในBéjaïa (เหน็บ) สาธารณรัฐประชาธิปไตยประชาชนแอลจีเรียการส่งเสริมระบบเลขอารบิกในยุโรปด้วยการอ่านหนังสือของเขาLiber abaciซึ่งได้รับการตีพิมพ์ใน 1202
  • 1482 . ระบบจะไม่ได้เข้ามาใช้อย่างกว้างขวางในยุโรป แต่จนถึงการประดิษฐ์ของการพิมพ์ (ดูตัวอย่างเช่น1482 แผนที่ Ptolemaeus ของโลกพิมพ์โดยLienhart Holleในอุลม์และตัวอย่างอื่น ๆ ในพิพิธภัณฑ์ Gutenbergในไมนซ์ , เยอรมนี .)
  • 1512 . ตัวเลขปรากฏในรูปแบบที่ทันสมัยในหน้าชื่อเรื่องของ “Conpusicion de la arte de la arismetica y juntamente de geometría” เขียนโดย Juan de Ortega [33]
  • 1549 . รูปแบบและลำดับที่ถูกต้องของ " ตัวเลขสมัยใหม่ " ในหน้าชื่อเรื่องของ Libro Intitulado Arithmetica Practica โดยJuan de Yciarนักประดิษฐ์ตัวอักษรและนักคณิตศาสตร์ชาวบาสก์Zaragoza 1549

ในช่วงสองสามศตวรรษที่ผ่านมา ตัวเลขอารบิกของยุโรปได้แพร่กระจายไปทั่วโลกและค่อยๆ กลายเป็นระบบตัวเลขที่ใช้กันมากที่สุดในโลก

แม้จะอยู่ในหลายประเทศในภาษาที่มีระบบตัวเลขของตัวเองอารบิคยุโรปมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการค้าและคณิตศาสตร์

ผลกระทบต่อเลขคณิต

ความสำคัญของการพัฒนาระบบจำนวนตำแหน่งอธิบายโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสปิแอร์ ไซมอน ลาปลาซ (ค.ศ. 1749–1827) ผู้เขียนว่า:

อินเดียเป็นผู้ให้วิธีการที่แยบยลแก่เราในการแสดงตัวเลขทั้งหมดโดยใช้สัญลักษณ์สิบตัว โดยแต่ละสัญลักษณ์จะได้รับค่าตำแหน่ง เช่นเดียวกับค่าสัมบูรณ์ ความคิดที่ลึกซึ้งและสำคัญซึ่งดูเหมือนง่ายสำหรับเราตอนนี้จนเราละเลยข้อดีที่แท้จริงของมัน แต่ความเรียบง่ายของมัน ความง่ายอย่างมากที่มันให้ยืมสำหรับการคำนวณทั้งหมด ทำให้เลขคณิตของเราอยู่ในอันดับแรกของสิ่งประดิษฐ์ที่มีประโยชน์ และเราจะขอบคุณ ความยิ่งใหญ่ของความสำเร็จนี้เมื่อเราจำได้ว่ามันหนีจากอัจฉริยภาพของอาร์คิมิดีสและอพอลโลเนียส สองจิตใจที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่เกิดจากสมัยโบราณ [34]

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

  1. ^ "เลขฮินดู–อารบิก" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2005-12-27 . สืบค้นเมื่อ2005-12-13 .
  2. a b "Abu Yusuf Yaqub ibn Ishaq al-Sabbah Al-Kindi" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2007-10-26 . ที่ดึง 2007/01/12
  3. a b c John J O'Connor and Edmund F Robertson (พฤศจิกายน 2000) "เลขอินเดีย" . ที่เก็บถาวรของ MacTutor History of Mathematics เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2015-07-06 . ดึงข้อมูลเมื่อ2007-07-24 .
  4. ^ Smith & Karpinski 2013 , หน้า 12–15.
  5. ^ Plofker 2009 , Ch. 2.
  6. ^ Plofker 2009 , หน้า 68–69.
  7. ^ Plofker 2009 , หน้า. 14.
  8. ^ Menninger 2013 , พี. 397.
  9. ^ Smith & Karpinski 2013 , พี. 15.
  10. ^ Plofker 2009 , หน้า. 57.
  11. ^ Menninger 2013 , พี. 395.
  12. ^ Plofker 2009 , หน้า. 44.
  13. ^ Plofker 2009 , หน้า 73–75.
  14. ^ Plofker 2009 , หน้า 75–77.
  15. ^ Menninger 2013 , พี. 398.
  16. ^ Sarasvati & Jyotishmati 1979 , PP. 27, 66
  17. ^ Plofker 2009 , หน้า. 46.
  18. ^ อิฟราห์ 1998 , p. 417.
  19. ^ อิฟราห์ 1998 , p. 416.
  20. ^ มันถูกอ้างว่ากลางเดือนสามข้อความ CE ศตวรรษวานา-ชาดก (ที่ "horoscopy กรีก") การจ้างงานอุปกรณ์ของ bhuta-sankhyas ( Plofker 2009 , น. 47) แต่ปัจจุบันถือว่าเป็นข้อผิดพลาดในการตีความ ( Mak, Bill M. (2013), "The Transmission of Greek Astral Science to India Reconsidered-Critical Remarks on the Contents and the Newly Discovered Manuscript of the Yavanajātaka" , History of Science in South Asia , 1 : 1–20, ดอย : 10.18732/H2RP4T , เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2016-06-04)
  21. ^ สมิธ & คาร์พินสกี้ 2013 , Ch. สาม; อิฟราห์ 1998 , หน้า 411–418; Menninger 2013 , พี. 398
  22. a b c d Salomon, Richard (1998), Indian Epigraphy : A Guide to the Study of Inscriptions in Sanskrit, Prakrit, and the other Indo-Aryan Languages , Oxford University Press, USA, pp. 61–63, ISBN  978-0-19-535666-3
  23. ^ สมิธ เดวิด ยูจีน; คาร์พินสกี้, หลุยส์ ชาร์ลส์ (1911). เลขฮินดู-อารบิก . บอสตัน ลอนดอน จินน์ แอนด์ คอมพานี NS. 52.
  24. ^ สำหรับภาพลักษณ์ที่ทันสมัย: [1]
  25. ^ อิฟราห์ 1998 , p. 439.
  26. ^ Plofker 2009 , หน้า. 45.
  27. ^ สตริ Ajaya มิตรา (1998), "MankaṇiกฎบัตรTaralasvāminและสมัยโบราณของทศนิยมโน้ต" ประวัติศาสตร์ของโอเรียนเต็ล Bhandarkar สถาบันวิจัย , 79 (1/4): 161-170, JSTOR 41694535  
  28. ^ Plofker 2009 , หน้า 45–46; Menninger 2013 , pp. 396–397; อิฟราห์ 1998 , p. 400
  29. ^ a b c d "เลขอารบิก" . ประวัติ MacTutor คณิตศาสตร์เอกสารเก่า สืบค้นเมื่อ2021-05-23 .
  30. ^ อิฟรา ห์, จอร์ชส (2000-). ประวัติความเป็นสากลของตัวเลข: จากยุคก่อนประวัติศาสตร์การประดิษฐ์ของคอมพิวเตอร์ เดวิด เบลลอส. นิวยอร์ก: ไวลีย์ ISBN 0-471-37568-3. OCLC  42291138 . ตรวจสอบค่าวันที่ใน: |date=( ช่วย )
  31. ^ ประวัติ Al-Uqlidisiโดยเจเจโอคอนเนอร์และ EF โรเบิร์ต
  32. ^ ใช้เร็วที่สุดของสัญลักษณ์สำหรับเศษส่วนโดยเจฟฟ์มิลเลอร์
  33. ^ “Conpusicion de la Arte de la arismetica Y juntamente เด geometria" เขียนโดยฆเดอกาซา
  34. ^ กุมาร ราช (2003). บทความเกี่ยวกับอินเดียโบราณ . สำนักพิมพ์ดิสคัฟเวอรี่. หน้า 196–. ISBN 978-81-7141-682-0.
แหล่งที่มา

อ้างอิง