ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา

ในวิชาคณิตศาสตร์ฟังก์ชันจากเซตXถึงเซตY จะกำหนดให้กับแต่ละองค์ประกอบของXเพียงหนึ่งองค์ประกอบของY [1]เซตXเรียกว่าโดเมนของฟังก์ชัน และเซตYเรียกว่าโคโดเมนของฟังก์ชัน [ ต้องการการอ้างอิง ]

เดิมที ฟังก์ชันต่างๆ เป็นการสร้างอุดมคติว่าปริมาณที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับปริมาณอื่นอย่างไร ตัวอย่างเช่น ตำแหน่งของดาวเคราะห์เป็นฟังก์ชันของเวลา ในอดีตแนวคิดนี้ได้รับการเสริมประสิทธิภาพด้วยแคลคูลัสขนาดเล็กเมื่อสิ้นสุดศตวรรษที่ 17 และจนถึงศตวรรษที่ 19 ฟังก์ชันที่ได้รับการพิจารณานั้นมีความแตกต่างกัน (กล่าวคือ มีความสม่ำเสมอในระดับสูง) แนวคิดของฟังก์ชันถูกทำให้เป็นทางการเมื่อปลายศตวรรษที่ 19 ในแง่ของทฤษฎีเซตและสิ่งนี้ได้ขยายขอบเขตของการประยุกต์ใช้แนวคิดอย่างมาก

ฟังก์ชันมักใช้แทนด้วยตัวอักษร เช่นf , gและhและค่าของฟังก์ชันfที่องค์ประกอบxของโดเมนแสดงด้วยf(x )

ฟังก์ชันจะถูกแทนด้วยเซตของคู่ ทั้งหมด ( x , f  ( x ) )ซึ่งเรียกว่า กราฟ ของฟังก์ชัน [หมายเหตุ 1] [2]เมื่อโดเมนและโคโดเมนเป็นเซตของจำนวนจริง แต่ละคู่อาจถูกมองว่าเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดในระนาบ เซตของจุดเหล่านี้เรียกว่ากราฟของฟังก์ชัน เป็นวิธีที่นิยมในการอธิบายฟังก์ชัน

ฟังก์ชั่นใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านวิทยาศาสตร์และในสาขาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ว่ากันว่าหน้าที่คือ "วัตถุสำคัญของการสืบสวน" ในสาขาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ [3]

แผนผังแสดงฟังก์ชันที่อธิบายโดยเปรียบเทียบว่าเป็น "เครื่อง" หรือ " กล่องดำ " ซึ่งแต่ละอินพุตจะให้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกัน
เส้นโค้งสีแดงคือกราฟของฟังก์ชันเนื่องจากเส้นแนวตั้ง ใดๆ มีจุดตัดกับเส้นโค้งเพียงจุดเดียว
ฟังก์ชันที่เชื่อมโยงรูปร่างสีใดๆ ในสี่สีเข้ากับสีของมัน

คำจำกัดความ

ไดอะแกรมของฟังก์ชัน โดยมีโดเมนX = {1, 2, 3}และโคโดเมนY = {A, B, C, D}ซึ่งกำหนดโดยชุดของคู่ลำดับ{(1, D), (2, C ), (3, C)} . ภาพ/ช่วงคือชุด {C , D}



แผนภาพนี้แสดงถึงชุดของคู่{(1,D), (2,B), (2,C)}ไม่ได้กำหนดฟังก์ชัน เหตุผลหนึ่งคือ 2 เป็นองค์ประกอบแรกในคู่ที่เรียงลำดับมากกว่าหนึ่งคู่(2, B)และ(2, C)ของชุดนี้ เหตุผลอีกสองประการที่เพียงพอสำหรับตัวเองก็คือทั้ง 3 และ 4 ไม่ได้เป็นองค์ประกอบแรก (ข้อมูลเข้า) ของคู่ที่มีลำดับใดๆ ในนั้น

ฟังก์ชันจากเซตXถึงเซตY คือ การกำหนดองค์ประกอบของYให้กับแต่ละองค์ประกอบของX เซตXเรียกว่าโดเมนของฟังก์ชัน และเซตYเรียกว่าโคโดเมนของฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน โดเมน และโคโดเมนของฟังก์ชันนั้น ประกาศโดยสัญกรณ์f : XYและค่าของฟังก์ชันfที่องค์ประกอบxของXซึ่งแสดงโดยf(x)เรียกว่าอิมเมจของxภายใต้fหรือค่าของfใช้ กับอาร์กิวเมนต์ x

ฟังก์ชันเรียกอีกอย่างว่าmapหรือmappingแม้ว่าผู้เขียนบางคนจะแยกความแตกต่างระหว่าง "maps" และ "functions" (ดู§ เงื่อนไขอื่นๆ )

สองฟังก์ชันfและgเท่ากัน ถ้าโดเมนและชุดโคโดเมนเหมือนกัน และค่าเอาต์พุตสอดคล้องกับโดเมนทั้งหมด เป็นทางการมากขึ้น กำหนด f : XYและg : XYเรามีf = gถ้าหากf ( x ) = g ( x )สำหรับxXทั้งหมด [4] [หมายเหตุ 2]

โดเมนและโคโดเมนไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจนเสมอไปเมื่อมีการกำหนดฟังก์ชัน และหากไม่มีการคำนวณ (อาจเป็นไปได้ยาก) บางอย่าง เราอาจรู้เพียงว่าโดเมนนั้นอยู่ในชุดที่ใหญ่กว่า โดยทั่วไป สิ่งนี้เกิดขึ้นในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยที่ "ฟังก์ชันจากXถึงY "มักหมายถึงฟังก์ชันที่อาจมีเซตย่อยที่เหมาะสม[หมายเหตุ 3]ของXเป็นโดเมน ตัวอย่างเช่น "ฟังก์ชันจากจำนวนจริงถึงจำนวนจริง" อาจหมายถึงฟังก์ชันมูลค่า จริงของ ตัวแปรจริง อย่างไรก็ตาม "ฟังก์ชันจากจำนวนจริงเป็นจำนวนจริง" ไม่ได้หมายความว่าโดเมนของฟังก์ชันนั้นเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมดแต่เพียงว่าโดเมนคือชุดของจำนวนจริงที่มีช่วงเปิดที่ ไม่เว้นว่าง ฟังก์ชันดังกล่าวจะเรียกว่าฟังก์ชันบางส่วน ตัวอย่างเช่น หากfเป็นฟังก์ชันที่มีจำนวนจริงเป็นโดเมนและโคโดเมน ฟังก์ชันจะจับคู่ค่าxกับค่าg ( x ) =1/ ( x )เป็นฟังก์ชันgจากจำนวนจริงถึงจำนวนจริง ซึ่งมีโดเมนเป็นเซตของจำนวนจริงxเช่นนั้นf ( x ) ≠ 0

ช่วงหรือภาพของฟังก์ชันคือชุดของรูปภาพขององค์ประกอบทั้งหมดในโดเมน [5] [6] [7] [8]

วิธีการเชิงสัมพันธ์

ในแนวทางเชิงสัมพันธ์ ฟังก์ชันf : XYคือความสัมพันธ์แบบไบนารีระหว่างXและYที่เชื่อมโยงกับแต่ละองค์ประกอบของXเพียงองค์ประกอบเดียวของY นั่นคือfถูกกำหนดโดยเซตGของคู่เรียงลำดับ( x , y )กับxX , yYดังนั้น ทุกองค์ประกอบของXเป็นองค์ประกอบแรกของคู่ที่จัดลำดับเพียงหนึ่งคู่ในG กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับทุกๆxในXมีองค์ประกอบy เพียงตัวเดียว โดยที่คู่คำสั่ง( x , y ) เป็นของเซตของคู่ที่ กำหนดฟังก์ชันf เซตGเรียกว่ากราฟของf ผู้เขียนบางคนระบุด้วยฟังก์ชัน [9]อย่างไรก็ตาม ในการใช้งานทั่วไป โดยทั่วไปฟังก์ชันนี้จะแตกต่างจากกราฟของฟังก์ชัน ในแนวทางนี้ ฟังก์ชันถูกกำหนดเป็นสามลำดับ( X , Y , G ) ในสัญกรณ์นี้ ไม่ว่าฟังก์ชันจะเป็น surjective หรือไม่ (ดูด้านล่าง) ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของ Y

เซตย่อยใดๆ ของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของสองเซตXและYกำหนดความสัมพันธ์แบบไบนารี RX × Yระหว่างสองเซตนี้ ทันทีที่ความสัมพันธ์โดยพลการอาจมีคู่ที่ละเมิดเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับฟังก์ชันที่ระบุข้างต้น

ความสัมพันธ์แบบไบนารีใช้งาน ได้ (เรียกอีกอย่างว่า right-unique) if

ความสัมพันธ์แบบไบนารีมีค่าทั้งหมด if

ฟังก์ชันบางส่วนเป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีที่ใช้งานได้

ฟังก์ชันคือความสัมพันธ์แบบไบนารีที่มีฟังก์ชันและผลรวม คุณสมบัติต่างๆ ของฟังก์ชันและองค์ประกอบของฟังก์ชันอาจถูกปรับรูปแบบใหม่ในภาษาของความสัมพันธ์ [10]ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเป็นinjectiveหากความสัมพันธ์แบบสนทนา R TY × Xใช้งานได้ โดยที่ความสัมพันธ์แบบสนทนาถูกกำหนดเป็นR T = {( y , x ) | ( x , y ) ∈ R }

ตั้งค่าการยกกำลัง

เซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก setเป็นชุดมักแสดงเป็น

ซึ่งอ่านว่า สู่อำนาจ .

สัญกรณ์นี้เหมือนกับสัญกรณ์สำหรับผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของตระกูลสำเนาของจัดทำดัชนีโดย:

เอกลักษณ์ของสัญลักษณ์ทั้งสองนี้เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันสามารถระบุได้ด้วยองค์ประกอบของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนเช่นว่าส่วนประกอบของดัชนีเป็น.

เมื่อไหร่มีสององค์ประกอบ,มักใช้แทนและเรียกpowersetของX สามารถระบุได้ด้วยเซตของเซตย่อย ทั้งหมด ของ, ผ่านการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งที่เชื่อมโยงกับแต่ละส่วนย่อยฟังก์ชั่นดังนั้นถ้าและมิฉะนั้น.

สัญกรณ์

มีหลายวิธีมาตรฐานสำหรับการแสดงฟังก์ชัน สัญกรณ์ที่ใช้บ่อยที่สุดคือ สัญกรณ์ฟังก์ชัน ซึ่งเป็นสัญกรณ์แรกที่อธิบายด้านล่าง

สัญกรณ์การทำงาน

ในสัญกรณ์ฟังก์ชัน ฟังก์ชันจะได้รับชื่อทันที เช่นfและนิยามของฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสิ่งที่fทำกับอาร์กิวเมนต์x อย่างชัดเจน โดยใช้สูตรในรูปของx ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่ใช้จำนวนจริงเป็นอินพุตและเอาต์พุตที่จำนวนบวก 1 แทนด้วย

.

หากฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในสัญกรณ์นี้ โดเมนและโคโดเมนของฟังก์ชันจะถูกนำไปที่ทั้ง be . โดยปริยาย, เซตของจำนวนจริง หากไม่สามารถประเมินสูตรด้วยจำนวนจริงทั้งหมดได้ โดเมนก็จะถือว่าเป็นเซตย่อยสูงสุดของซึ่งสามารถประเมินสูตรได้ ดู โดเมน ของ ฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านั้นคือฟังก์ชัน

.

ในตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันfใช้จำนวนจริงเป็นอินพุต ยกกำลังสอง จากนั้นบวก 1 เข้ากับผลลัพธ์ จากนั้นนำค่าไซน์ของผลลัพธ์ และส่งกลับผลลัพธ์สุดท้ายเป็นผลลัพธ์

เมื่อสัญลักษณ์ที่แสดงถึงฟังก์ชันประกอบด้วยอักขระหลายตัวและไม่เกิดความกำกวม วงเล็บของสัญกรณ์ฟังก์ชันอาจถูกละเว้น ตัวอย่างเช่น เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนsin x แทน sin ( x )

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ใช้สัญกรณ์หน้าที่เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1734 [11]ฟังก์ชันที่ใช้กันอย่างแพร่หลายบางฟังก์ชันจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ที่ประกอบด้วยตัวอักษรหลายตัว (โดยปกติสองหรือสามตัว โดยทั่วไปจะเป็นตัวย่อของชื่อ) ในกรณีนี้ ปกติจะใช้ ประเภทโรมันแทน เช่น " sin " สำหรับฟังก์ชันไซน์ตรงกันข้ามกับแบบอักษรตัวเอียงสำหรับสัญลักษณ์ตัวอักษรเดี่ยว

เมื่อใช้สัญกรณ์นี้ เรามักจะพบกับการใช้สัญกรณ์ ในทางที่ผิด โดยที่สัญกรณ์f ( x )สามารถอ้างถึงค่าของfที่xหรือฟังก์ชันเองได้ หากตัวแปรxถูกประกาศก่อนหน้านี้ สัญกรณ์f ( x )จะหมายถึงค่าของfที่xอย่างชัดเจน มิฉะนั้น จะเป็นประโยชน์ที่จะเข้าใจสัญกรณ์เป็นทั้งสองอย่างพร้อมกัน นี้ช่วยให้หนึ่งแสดงองค์ประกอบของสองฟังก์ชั่นfและgในลักษณะรวบรัดโดยสัญกรณ์f ( ก. (x )) .

อย่างไรก็ตาม การแยกแยะfและf ( x )อาจมีความสำคัญในกรณีที่ฟังก์ชันทำหน้าที่เป็นอินพุตสำหรับฟังก์ชันอื่นๆ (ฟังก์ชันที่ใช้ฟังก์ชันอื่นเป็นอินพุตเรียกว่าfunctional ) วิธีอื่นๆ ในการระบุฟังก์ชัน ซึ่งมีรายละเอียดด้านล่าง จะหลีกเลี่ยงปัญหานี้แต่มักใช้น้อยกว่า

เครื่องหมายลูกศร

เครื่องหมายลูกศรกำหนดกฎของฟังก์ชันแบบอินไลน์ โดยไม่ต้องตั้งชื่อให้กับฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น,เป็นฟังก์ชันที่รับจำนวนจริงเป็นอินพุตและเอาต์พุตจำนวนนั้นบวก 1 อีกครั้ง โดเมนและโคโดเมนของเป็นนัย

โดเมนและโคโดเมนสามารถระบุได้อย่างชัดเจน เช่น

สิ่งนี้กำหนดฟังก์ชันsqrจากจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็มที่ส่งกลับค่ากำลังสองของอินพุต

ตามการใช้งานทั่วไปของสัญกรณ์ลูกศร สมมุติว่าเป็นฟังก์ชันในสองตัวแปร และเราต้องการอ้างถึงฟังก์ชันที่ใช้บางส่วน สร้างโดยการแก้ไขอาร์กิวเมนต์ที่สองเป็นค่าt 0โดยไม่ต้องแนะนำชื่อฟังก์ชันใหม่ แผนที่ที่เป็นปัญหาสามารถระบุได้โดยใช้เครื่องหมายลูกศร การแสดงออก(อ่าน: "แผนที่นำxถึงf ( x , t 0 ) ") แสดงถึงฟังก์ชันใหม่นี้ด้วยอาร์กิวเมนต์เพียงตัวเดียว ในขณะที่นิพจน์f ( x 0 , t 0 )หมายถึงค่าของฟังก์ชันfที่จุด( x 0 , เสื้อ0 ) .

สัญกรณ์ดัชนี

สัญกรณ์ดัชนีมักใช้แทนสัญกรณ์ฟังก์ชัน นั่นคือแทนที่จะเขียนf  ( x )คนหนึ่งเขียน

โดยทั่วไปแล้วจะเป็นกรณีของฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าลำดับและในกรณีนี้ องค์ประกอบเรียกว่าองค์ประกอบที่nของลำดับ

สัญกรณ์ดัชนีมักใช้เพื่อแยกแยะตัวแปรบางตัวที่เรียกว่าพารามิเตอร์จาก "ตัวแปรจริง" อันที่จริง พารามิเตอร์เป็นตัวแปรเฉพาะที่ถือว่าได้รับการแก้ไขในระหว่างการศึกษาปัญหา ตัวอย่างเช่น แผนที่(ดูด้านบน) จะแสดงโดยใช้สัญกรณ์ดัชนีถ้าเรากำหนดคอลเลกชันของแผนที่โดยสูตรเพื่อทุกสิ่ง.

เครื่องหมายจุด

ในสัญกรณ์ สัญลักษณ์xไม่ได้แสดงถึงค่าใด ๆ มันเป็นเพียงตัวยึดตำแหน่งหมายความว่าหากxถูกแทนที่ด้วยค่าใด ๆ ทางด้านซ้ายของลูกศร มันควรจะแทนที่ด้วยค่าเดียวกันทางด้านขวาของลูกศร ดังนั้นxอาจถูกแทนที่ด้วยสัญลักษณ์ใด ๆ ซึ่งมักจะเป็นตัวคั่น " " ซึ่งอาจเป็นประโยชน์ในการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันf  (⋅)จากค่าของ f  ( x )ที่x

ตัวอย่างเช่น,อาจยืนสำหรับฟังก์ชั่น, และอาจหมายถึงฟังก์ชันที่กำหนดโดยอินทิกรัลที่มีขอบเขตบนของตัวแปร:.

สัญกรณ์เฉพาะ

มีสัญลักษณ์เฉพาะอื่นๆ สำหรับฟังก์ชันในสาขาวิชาย่อยของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ในพีชคณิตเชิงเส้นและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันรูปแบบเชิงเส้นและเวกเตอร์ ที่ พวกมันกระทำจะถูกแสดงโดยใช้คู่คู่เพื่อแสดงความเป็นคู่ ที่แฝง อยู่ ซึ่งคล้ายกับการใช้สัญกรณ์ bra–ketในกลศาสตร์ควอนตัม ในตรรกะและทฤษฎีการคำนวณสัญกรณ์ฟังก์ชันของแคลคูลัสแลมบ์ดาถูกใช้เพื่อแสดงแนวคิดพื้นฐานของฟังก์ชันนามธรรมและการประยุกต์ใช้อย่างชัดเจน ในทฤษฎีหมวดหมู่และพีชคณิตคล้ายคลึงกัน โครงข่ายของฟังก์ชันถูกอธิบายในแง่ของวิธีที่พวกมันและองค์ประกอบของมันเคลื่อนที่กันเองโดยใช้ไดอะแกรมการสับเปลี่ยนที่ขยายและสรุปสัญกรณ์ลูกศรสำหรับฟังก์ชันที่อธิบายไว้ข้างต้น

เงื่อนไขอื่นๆ

ภาคเรียน ความแตกต่างจาก "หน้าที่"
แผนที่/การทำแผนที่ ไม่มี; ข้อกำหนดมีความหมายเหมือนกัน (12)
แผนที่สามารถมีชุดใดก็ได้เป็นโคโดเมน ในขณะที่ในบางบริบท โดยทั่วไปในหนังสือเก่า โคโดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนโดยเฉพาะ [13]
อีกทางหนึ่ง แผนที่เชื่อมโยงกับโครงสร้างพิเศษ (เช่น โดยการระบุโคโดเมนที่มีโครงสร้างอย่างชัดเจนในคำจำกัดความของมัน) ตัวอย่างเช่นแผนที่เชิงเส้น [14]
โฮโมมอร์ฟิสซึ่ม ฟังก์ชันระหว่างสองโครงสร้างที่เป็นประเภทเดียวกันที่คงการทำงานของโครงสร้างไว้ (เช่นกลุ่ม homomorphism ) [15]
สัณฐาน ลักษณะทั่วไปของ homomorphisms กับหมวดหมู่ ใดๆ แม้ว่าวัตถุของหมวดหมู่จะไม่ได้ถูกกำหนดไว้ (เช่นกลุ่มกำหนดหมวดหมู่ด้วยวัตถุเพียงชิ้นเดียว ซึ่งมีองค์ประกอบของกลุ่มเป็นมอร์ฟิซึม โปรดดูหมวดหมู่ (คณิตศาสตร์) § ตัวอย่างสำหรับ ตัวอย่างนี้และตัวอย่างอื่นที่คล้ายคลึงกัน) [16]

ฟังก์ชันมักเรียกอีกอย่างว่าmapหรือmappingแต่ผู้เขียนบางคนสร้างความแตกต่างระหว่างคำว่า "map" และ "function" ตัวอย่างเช่น คำว่า "map" มักถูกสงวนไว้สำหรับ "ฟังก์ชัน" ที่มีโครงสร้างพิเศษบางประเภท (เช่นmap of manifolds ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งmapมักใช้แทนhomomorphismเพื่อความกระชับ (เช่นแผนที่เชิงเส้นหรือmap จากGถึงHแทนที่จะเป็นgroup homomorphismจากGถึงH ) ผู้เขียนบางคน[17]ขอสงวนคำว่าmappingสำหรับกรณีที่โครงสร้างของโคโดเมนเป็นของนิยามของฟังก์ชันอย่างชัดเจน

ผู้เขียนบางคน เช่นSerge Lang [ 18]ใช้ "ฟังก์ชัน" เพื่ออ้างถึงแผนที่ที่codomainเป็นเซตย่อยของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนและใช้คำว่าmappingสำหรับฟังก์ชันทั่วไป

ในทฤษฎีของระบบไดนามิกแผนที่แสดงถึงฟังก์ชันวิวัฒนาการที่ใช้เพื่อสร้างระบบไดนามิก ที่ไม่ต่อ เนื่อง โปรด ดูแผนที่ Poincaré

ไม่ว่าจะใช้ คำจำกัดความของmap แบบใด คำ ที่เกี่ยวข้อง เช่นdomain , codomain , injective , continuousมีความหมายเดียวกันกับฟังก์ชัน

การระบุฟังก์ชัน

รับหน้าที่ตามคำจำกัดความของธาตุแต่ละธาตุของโดเมนของฟังก์ชันมีองค์ประกอบเฉพาะที่เกี่ยวข้องคือค่าของที่. มีหลายวิธีในการระบุหรืออธิบายวิธีการเกี่ยวข้องกับทั้งโดยชัดแจ้งและโดยปริยาย บางครั้ง ทฤษฎีบทหรือสัจพจน์ยืนยันการมีอยู่ของฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติบางอย่าง โดยไม่อธิบายให้ละเอียดยิ่งขึ้น บ่อยครั้งที่ข้อกำหนดหรือคำอธิบายเรียกว่าคำจำกัดความของฟังก์ชัน.

โดยแสดงรายการค่าฟังก์ชัน

ในชุดจำกัด ฟังก์ชันอาจถูกกำหนดโดยการแสดงรายการองค์ประกอบของโคโดเมนที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของโดเมน ตัวอย่างเช่น ifจากนั้นเราสามารถกำหนดฟังก์ชันได้โดย

ตามสูตร

ฟังก์ชันมักจะถูกกำหนดโดยสูตรที่อธิบายการรวมกันของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และฟังก์ชันที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ สูตรดังกล่าวช่วยให้สามารถคำนวณค่าของฟังก์ชันจากค่าขององค์ประกอบใดๆ ของโดเมนได้ ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างข้างต้นสามารถกำหนดได้โดยสูตร, สำหรับ.

เมื่อฟังก์ชันถูกกำหนดด้วยวิธีนี้ บางครั้งการกำหนดโดเมนของฟังก์ชันนั้นทำได้ยาก ถ้าสูตรที่กำหนดฟังก์ชันประกอบด้วยการหาร ค่าของตัวแปรที่ตัวส่วนเป็นศูนย์จะต้องแยกออกจากโดเมน ดังนั้น สำหรับฟังก์ชันที่ซับซ้อน การกำหนดโดเมนผ่านการคำนวณค่าศูนย์ของฟังก์ชันเสริม ในทำนองเดียวกัน ถ้าราก ที่สอง เกิดขึ้นในนิยามของฟังก์ชันจากถึงโดเมนรวมอยู่ในชุดของค่าของตัวแปรที่อาร์กิวเมนต์ของรากที่สองไม่เป็นค่าลบ

ตัวอย่างเช่น,กำหนดฟังก์ชันโดเมนของใครเพราะเป็นบวกเสมอถ้าxเป็นจำนวนจริง ในทางกลับกัน,กำหนดฟังก์ชันจากจำนวนจริงเป็นจำนวนจริงที่มีโดเมนลดลงเป็นช่วง[-1, 1 ] (ในตำราเก่า โดเมนดังกล่าวเรียกว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน)

ฟังก์ชันมักจะจำแนกตามลักษณะของสูตรที่กำหนดฟังก์ชันเหล่านี้:

ฟังก์ชันผกผันและโดยนัย

ฟังก์ชั่นกับโดเมนXและโคโดเมนYเป็นbijectiveถ้าสำหรับทุกyในY มีองค์ประกอบ xเพียงตัวเดียวในXที่y = f ( x ) ในกรณีนี้ฟังก์ชันผกผันของfคือฟังก์ชันแผนที่นั้นสู่ธาตุโดยที่y = f ( x ) ตัวอย่างเช่นลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันสองนัยจากจำนวนจริงบวกไปจนถึงจำนวนจริง มันจึงมีค่าผกผันที่เรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งจับคู่จำนวนจริงกับจำนวนบวก

หากเป็นฟังก์ชันไม่เป็นเอกพจน์ อาจเกิดว่าสามารถเลือกชุดย่อยได้และดังนั้นข้อ จำกัดของfถึงEเป็น bijection จากEถึงFและดังนั้นจึงมีความผกผัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันถูกกำหนดด้วยวิธีนี้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันโคไซน์เหนี่ยวนำโดยการจำกัด bijection จากช่วง [0, π ]ไปยังช่วง[-1, 1]และฟังก์ชันผกผันที่เรียกว่าarccosine , แผนที่[-1, 1]ไปยัง[0, พาย ] . ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันอื่นๆ ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

โดยทั่วไปแล้ว ให้ความสัมพันธ์แบบไบนารี Rระหว่างสองชุดXและYให้Eเป็นเซตย่อยของXเช่นนั้น สำหรับทุกมีบ้างเช่นนั้นx R y . หากมีเกณฑ์ที่อนุญาตให้เลือกy ดังกล่าว สำหรับทุกๆสิ่งนี้กำหนดฟังก์ชั่นเรียกว่าฟังก์ชันโดยปริยายเนื่องจากมีการกำหนดโดยปริยายโดยความสัมพันธ์ R

ตัวอย่างเช่น สมการของวงกลมหน่วย กำหนดความสัมพันธ์ของจำนวนจริง ถ้า-1 < x < 1มีค่าที่เป็นไปได้สองค่าของyคือค่าบวกหนึ่งค่าและค่าลบหนึ่งค่า สำหรับx = ± 1ค่าทั้งสองนี้จะกลายเป็น 0 ทั้งคู่ มิฉะนั้น ค่าy ที่เป็นไปได้จะไม่เป็น ไป ซึ่งหมายความว่าสมการกำหนดฟังก์ชันโดยปริยายสองฟังก์ชันด้วยโดเมน[-1, 1]และโคโดเมนตามลำดับ[0, +∞)และ(−∞, 0 ]

ในตัวอย่างนี้ สามารถแก้สมการได้ในyให้แต่ในตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้ มันเป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์กำหนดyเป็นฟังก์ชันโดยปริยายของxเรียกว่าBring radicalซึ่งมีเป็นโดเมนและช่วง รากถอนรากถอนโคนไม่สามารถแสดงในรูปของการดำเนินการเลขคณิตทั้งสี่และราก ที่ nได้

ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยนัย ให้เงื่อนไขของ ความแตกต่างเล็กน้อยสำหรับการดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของฟังก์ชันโดยปริยายในบริเวณใกล้เคียงของจุด

การใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์

ฟังก์ชันจำนวนมากสามารถกำหนดเป็น แอนติเดริเวทีฟของ ฟังก์ชันอื่นได้ นี่คือกรณีของลอการิทึมธรรมชาติซึ่งเป็นแอนติเดริเวทีฟของ1/ xที่เป็น 0 สำหรับx = 1 อีกตัวอย่างทั่วไปคือฟังก์ชันข้อผิดพลาด

โดยทั่วไป หลายฟังก์ชัน รวมถึงฟังก์ชันพิเศษ ส่วนใหญ่ สามารถกำหนดเป็นคำตอบของสมการอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดน่าจะเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งสามารถกำหนดเป็นฟังก์ชันเฉพาะที่เท่ากับอนุพันธ์และรับค่า 1 สำหรับx = 0

อนุกรมกำลังสามารถใช้เพื่อกำหนดฟังก์ชันบนโดเมนที่พวกมันมาบรรจบกัน ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกกำหนดโดย. อย่างไรก็ตาม เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของอนุกรมหนึ่ง ๆ นั้นค่อนข้างไม่แน่นอน โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันที่เป็นผลรวมของอนุกรมบรรจบกันจึงถูกกำหนดเป็นอย่างอื่น และลำดับของสัมประสิทธิ์เป็นผลจากการคำนวณบางอย่างตามคำจำกัดความอื่น จากนั้น สามารถใช้อนุกรมกำลังเพื่อขยายโดเมนของฟังก์ชันได้ โดยปกติ ถ้าฟังก์ชันสำหรับตัวแปรจริงเป็นผลรวมของอนุกรมเทย์เลอร์ในช่วงเวลาหนึ่ง อนุกรมกำลังนี้จะช่วยให้ขยายโดเมนไปยังเซตย่อยของจำนวนเชิงซ้อนได้ ทันที ดิสก์ของการบรรจบกันของอนุกรม จากนั้นการวิเคราะห์ที่ต่อเนื่องทำให้สามารถขยายโดเมนเพิ่มเติมได้ รวมทั้งระนาบเชิงซ้อน เกือบทั้งหมด. กระบวนการนี้เป็นวิธีการที่โดยทั่วไปใช้สำหรับกำหนดลอการิทึมเลขชี้กำลังและฟังก์ชันตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

ซ้ำแล้วซ้ำเล่า

ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบ เรียกว่าลำดับมักถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ที่ เกิดซ้ำ

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลบนจำนวนเต็มไม่ติดลบ () เป็นตัวอย่างพื้นฐานที่สามารถกำหนดได้โดยความสัมพันธ์การเกิดซ้ำ

และเงื่อนไขเบื้องต้น

แสดงถึงฟังก์ชัน

กราฟ มักใช้เพื่อ แสดงภาพฟังก์ชันที่เข้าใจง่าย เพื่อเป็นตัวอย่างว่ากราฟช่วยให้เข้าใจฟังก์ชันได้อย่างไร จึงเห็นได้ง่ายจากกราฟว่าฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้นหรือลดลง ฟังก์ชันบางอย่างอาจแสดงด้วยแผนภูมิ แท่ง

กราฟและโครงเรื่อง

ฟังก์ชันการจับคู่ในแต่ละปีกับจำนวนผู้เสียชีวิตจากยานยนต์ในสหรัฐฯ แสดงเป็นแผนภูมิเส้น
ฟังก์ชันเดียวกัน แสดงเป็นแผนภูมิแท่ง

รับหน้าที่กราฟของมันคือ อย่างเป็นทางการ set

ในกรณีที่XและYเป็นสับเซตของจำนวนจริง บ่อยครั้ง (หรืออาจระบุด้วยเซตย่อยดังกล่าว เช่นช่วงเวลา ) องค์ประกอบอาจระบุได้ด้วยจุดที่มีพิกัดx , yในระบบพิกัด 2 มิติ เช่นระนาบคาร์ทีเซียน บางส่วนอาจสร้างโครงเรื่องที่แสดงถึง (บางส่วนของ) ฟังก์ชัน การใช้แปลงมีอยู่ทั่วไปจนถูกเรียกว่า กราฟ ของฟังก์ชัน การแสดงฟังก์ชันแบบกราฟิกยังเป็นไปได้ในระบบพิกัดอื่นๆ ตัวอย่างเช่น กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

ประกอบด้วยจุดทั้งหมดที่มีพิกัดสำหรับอัตราผลตอบแทน เมื่อปรากฎในพิกัดคาร์ทีเซียนพาราโบลา ที่รู้จัก กัน ดี ถ้าฟังก์ชันกำลังสองเท่ากันด้วยกราฟที่เป็นทางการเดียวกันประกอบด้วยคู่ตัวเลข ถูกพล็อตแทนในพิกัดเชิงขั้ว โครงที่ได้คือเกลียวของแฟร์มาต์

ตาราง

ฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นตารางค่าได้ หากโดเมนของฟังก์ชันมีขอบเขตจำกัด ฟังก์ชันก็สามารถระบุได้อย่างสมบูรณ์ด้วยวิธีนี้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันการคูณกำหนดเป็นสามารถแสดงด้วยตารางสูตรคูณ ที่คุ้นเคย

y
x
1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25

ในทางกลับกัน ถ้าโดเมนของฟังก์ชันเป็นแบบต่อเนื่อง ตารางสามารถให้ค่าของฟังก์ชันที่ค่าเฉพาะของโดเมนได้ หากต้องการค่ากลางสามารถใช้การประมาณค่าของฟังก์ชันได้ ตัวอย่างเช่น ส่วนหนึ่งของตารางสำหรับฟังก์ชันไซน์อาจกำหนดได้ดังนี้ โดยค่าจะถูกปัดเศษเป็นทศนิยม 6 ตำแหน่ง:

x บาปx
1.289 0.960557
1.290 0.960835
1.291 0.961112
1.292 0.961387
1.293 0.961662

ก่อนการถือกำเนิดของเครื่องคิดเลขพกพาและคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล ตารางดังกล่าวมักถูกรวบรวมและเผยแพร่สำหรับฟังก์ชันต่างๆ เช่น ลอการิทึมและฟังก์ชันตรีโกณมิติ

แผนภูมิแท่ง

แผนภูมิแท่งมักใช้เพื่อแสดงฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตจำกัดจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนเต็ม ในกรณีนี้ องค์ประกอบxของโดเมนจะถูกแทนด้วยช่วงเวลาของ แกน xและค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันf ( x )จะถูกแทนด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐานเป็นช่วงที่สอดคล้องกับxและมีความสูง คือf ( x ) (อาจเป็นลบ ซึ่งในกรณีนี้ แท่งจะขยายต่ำกว่าแกน x )

คุณสมบัติทั่วไป

ส่วนนี้อธิบายคุณสมบัติทั่วไปของฟังก์ชัน ซึ่งไม่ขึ้นกับคุณสมบัติเฉพาะของโดเมนและโคโดเมน

ฟังก์ชันมาตรฐาน

มีฟังก์ชันมาตรฐานหลายอย่างที่เกิดขึ้นบ่อยครั้ง:

  • สำหรับทุกเซตXจะมีฟังก์ชันพิเศษที่เรียกว่าฟังก์ชันว่างหรือแผนที่ว่างจากชุดว่างเป็นX กราฟของฟังก์ชันว่างคือเซตว่าง [หมายเหตุ 5]การมีอยู่ของฟังก์ชันว่างนั้นเป็นแบบแผนที่จำเป็นสำหรับความสอดคล้องของทฤษฎีและเพื่อหลีกเลี่ยงข้อยกเว้นเกี่ยวกับเซตว่างในหลายประโยค
  • สำหรับทุกชุดXและทุกชุดซิงเกิลตัน { s }มีฟังก์ชันเฉพาะจากXถึง{ s }ซึ่งแมปทุกองค์ประกอบของXถึงs นี่เป็นการคาดเดา (ดูด้านล่าง) เว้นแต่Xเป็นเซตว่าง
  • รับหน้าที่การ พุ่งเข้าใส่ ตามบัญญัติของfบนอิมเมจของมันเป็นฟังก์ชันจากXถึงf ( X )ที่จับคู่xถึงf ( x )
  • สำหรับทุกเซ็ตย่อย Aของเซ็ตXการรวมแมปของAเข้ากับXคือฟังก์ชัน injective (ดูด้านล่าง) ที่แมปทุกองค์ประกอบของAกับตัวมันเอง
  • ฟังก์ชันเอกลักษณ์ในชุดXซึ่งมักแสดงโดยid XคือการรวมXเข้าไว้ในตัวมันเอง

องค์ประกอบของฟังก์ชัน

ให้สองหน้าที่และโดยที่โดเมนของgเป็นโคโดเมนของf องค์ประกอบคือฟังก์ชันที่กำหนดโดย

นั่นคือค่าของได้มาจากการใช้fกับxก่อนเพื่อให้ได้y = f ( x )จากนั้นใช้gกับผลลัพธ์yเพื่อให้ได้g ( y ) = g ( f ( x ) ) ในสัญกรณ์ ฟังก์ชันที่ใช้ก่อนจะเขียนไว้ทางด้านขวาเสมอ

องค์ประกอบเป็นการดำเนินการกับฟังก์ชันที่กำหนดไว้เฉพาะเมื่อโคโดเมนของฟังก์ชันแรกเป็นโดเมนของฟังก์ชันที่สอง ทั้งที่ทั้งและเป็นไปตามเงื่อนไขเหล่านี้ องค์ประกอบไม่จำเป็นต้องสลับกันนั่นคือฟังก์ชันและไม่จำเป็นต้องเท่ากัน แต่อาจส่งค่าที่แตกต่างกันสำหรับอาร์กิวเมนต์เดียวกัน ตัวอย่างเช่น ให้f ( x ) = x 2และg ( x ) = x + 1จากนั้นและตกลงเพียงเพื่อ

องค์ประกอบของฟังก์ชันจะเชื่อมโยงกันในแง่ที่ว่าถ้าตัวใดตัวหนึ่งจากและถูกกำหนดแล้ว อีกอันหนึ่งถูกกำหนดด้วย และมีค่าเท่ากัน ดังนั้น มีคนเขียนว่า

ฟัง ก์ชั่นเอกลักษณ์ และเป็นข้อมูลเฉพาะตัวที่ถูกต้องและ เอกลักษณ์ ด้านซ้ายสำหรับฟังก์ชันจากXถึงYตามลำดับ นั่นคือถ้าfเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนXและ codomain Yหนึ่ง has

ภาพและพรีอิมเมจ

ปล่อยรูปภาพภายใต้fขององค์ประกอบxของโดเมนXคือf ( x ) [5]หากAเป็นเซตย่อยของXอิมเมจของAภายใต้f แสดงว่าf ( A )เป็นเซตย่อยของ codomain Y ที่ ประกอบด้วยรูปภาพทั้งหมดขององค์ประกอบA [ 5]นั่นคือ

ภาพของf คือ ภาพของโดเมนทั้งหมด นั่นคือf ( X ) [19]เรียกอีกอย่างว่าพิสัยของf , [5] [6] [7] [8]แม้ว่าระยะระยะอาจหมายถึงโคโดเมน [8] [19] [20]

ในทางกลับกัน ภาพผกผันหรือ ภาพพรี อิมเมจภายใต้fขององค์ประกอบyของโคโดเมนYคือเซ็ตขององค์ประกอบทั้งหมดของโดเมนXที่มีภาพต่ำกว่าfเท่ากับy [5]ในสัญลักษณ์ ภาพพรีอิมเมจของyจะแสดงด้วยและถูกกำหนดโดยสมการ

ในทำนองเดียวกัน พรีอิมเมจของเซตย่อยBของโคโดเมนYคือเซ็ตพรีอิมเมจของ อิลิเมนต์ Bนั่นคือ มันเป็นเซ็ตย่อยของโดเมนX ที่ ประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดของXที่มีอิมเมจเป็นของB [5]เขียนแทนด้วยและถูกกำหนดโดยสมการ

ตัวอย่างเช่น พรีอิมเมจของภายใต้ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมคือเซต.

ตามคำจำกัดความของฟังก์ชัน รูปภาพขององค์ประกอบxของโดเมนจะเป็นองค์ประกอบเดียวของโคโดเมนเสมอ อย่างไรก็ตาม พรีอิมเมจขององค์ประกอบyของโคโดเมนอาจว่างเปล่าหรือมีองค์ประกอบจำนวนเท่าใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น หากfเป็นฟังก์ชันจากจำนวนเต็มถึงตัวเองที่จับคู่จำนวนเต็มทุกจำนวนกับ 0 แล้ว.

ถ้าเป็นฟังก์ชันAและBเป็นเซตย่อยของXและCและDเป็นเซตย่อยของYจากนั้นมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

พรีอิมเมจโดยfขององค์ประกอบyของโคโดเมนบางครั้งเรียกว่าไฟเบอร์ของyภายใต้f ใน บาง บริบท

หากฟังก์ชันfมีค่าผกผัน (ดูด้านล่าง) ค่าผกผันนี้จะแสดงแทนในกรณีนี้อาจหมายถึงภาพโดยหรือพรีอิมเมจโดยfของC นี่ไม่ใช่ปัญหาเพราะชุดเหล่านี้เท่ากัน สัญกรณ์และอาจจะคลุมเครือในกรณีของเซตที่มีบางเซตย่อยเป็นอิลิเมนต์ เช่นในกรณีนี้อาจต้องใช้ความระมัดระวัง เช่น การใช้วงเล็บเหลี่ยมสำหรับรูปภาพและพรีอิมเมจของเซ็ตย่อยและวงเล็บธรรมดาสำหรับรูปภาพและพรีอิมเมจขององค์ประกอบ

ฟังก์ชั่น Injective, surjective และ bijective

ปล่อยเป็นฟังก์ชัน

ฟังก์ชันfเป็นinjective (หรือone-to-oneหรือ เป็น injective ) ถ้าf ( a ) ≠ f ( b )สำหรับสององค์ประกอบที่แตกต่างกันaและbของX [19] [21]ในทำนองเดียวกันfเป็นคำนามเฉพาะในกรณีใด ๆพรีอิมเมจมีองค์ประกอบได้ไม่เกินหนึ่งองค์ประกอบ ฟังก์ชันว่างมักจะเป็น injective ถ้าXไม่ใช่เซตว่าง ดังนั้นfจะเป็น injective ก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชันอยู่ดังนั้นนั่นคือถ้าfมีค่าผกผันทางซ้าย [21] Proof : ถ้าfเป็น injective สำหรับการกำหนดgให้เลือกองค์ประกอบในX (ซึ่งมีอยู่เนื่องจากXควรจะเป็น nonempty) [หมายเหตุ 6]และอีกอันหนึ่งกำหนดgโดยถ้าและถ้าในทางกลับกัน ถ้าและ แล้วและดังนั้น

ฟังก์ชันfคือsurjective (หรือบนหรือ เป็นsurjection ) หากเป็น rangeเท่ากับโคโดเมนนั่นคือถ้าสำหรับแต่ละองค์ประกอบของโคโดเมนมีองค์ประกอบอยู่บ้างของอาณาเขตดังกล่าวว่า(กล่าวอีกนัยหนึ่ง พรีอิมเมจของทุกๆไม่ว่าง) [19] [22]ถ้าตามปกติในคณิตศาสตร์สมัยใหม่สัจพจน์ของการเลือกถูกสันนิษฐาน เช่นนั้นf จะเป็นสมมุติฐานก็ ต่อเมื่อมีฟังก์ชันอยู่ดังนั้นนั่นคือถ้าfมีค่าผกผันที่ถูกต้อง (22 ) จำเป็นต้องมีสัจพจน์ของการเลือก เพราะถ้าfเป็น surjective เราจะกำหนดgโดยที่ไหนเป็นองค์ประกอบที่เลือกโดยพลการ ของ

ฟังก์ชันfเป็นbijective (หรือเป็นbijectionหรือการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ) หากเป็นทั้ง injective และ surjective [19] [23]นั่นคือfเป็น bijective ถ้าสำหรับใดๆพรีอิมเมจมีองค์ประกอบหนึ่งเดียว ฟังก์ชันfเป็น bijective ก็ต่อเมื่อยอมรับฟังก์ชันผกผันนั่นคือฟังก์ชันดังนั้นและ(23) (ตรงกันข้ามกับกรณีของการคาดเดา สิ่งนี้ไม่ต้องการสัจพจน์ของการเลือก การพิสูจน์นั้นตรงไปตรงมา)

ทุกฟังก์ชั่นอาจแยกตัวประกอบเป็นองค์ประกอบของ surjection ตามด้วยการฉีด โดยที่sคือ surjection แบบบัญญัติของXไปยังf ( X )และiคือการฉีดตามรูปแบบบัญญัติของf ( X )ลงในY นี่คือการแยกตัวประกอบตามบัญญัติ ของf

"one-to-one" และ "onto" เป็นคำศัพท์ที่ใช้กันทั่วไปในวรรณคดีภาษาอังกฤษที่เก่ากว่า "injective", "surjective" และ "bijective" เดิมถูกสร้างขึ้นเป็นคำภาษาฝรั่งเศสในช่วงไตรมาสที่สองของศตวรรษที่ 20 โดยกลุ่ม Bourbakiและนำเข้าเป็นภาษาอังกฤษ [ อ้างอิงจำเป็น ] ในฐานะที่เป็นคำเตือน "การทำงานแบบหนึ่งต่อหนึ่ง" เป็นฟังก์ชันที่เป็นคำคุณศัพท์ ในขณะที่ "การติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่ง" หมายถึงการทำงานแบบสองนัย นอกจากนี้ คำสั่ง " f map X เข้าสู่ Y " แตกต่างจาก " f maps X เป็น B " ซึ่งคำเดิมบอกเป็นนัยว่าfเป็นอัตนัยในขณะที่หลังไม่ยืนยันเกี่ยวกับธรรมชาติของf ในการให้เหตุผลที่ซับซ้อน คุณสามารถมองข้ามความแตกต่างของตัวอักษรเดียวได้อย่างง่ายดาย เนื่องจากธรรมชาติที่สับสนของคำศัพท์ที่เก่ากว่า คำเหล่านี้จึงได้รับความนิยมลดลงเมื่อเทียบกับคำศัพท์ของ Bourbakian ซึ่งมีข้อดีคือมีความสมมาตรมากกว่า

ข้อจำกัดและการขยาย

ถ้าเป็นฟังก์ชันและSเป็นสับเซตของXจากนั้นข้อจำกัดของถึงSหมายถึง, เป็นฟังก์ชันจากSถึงYที่กำหนดโดย

สำหรับxทั้งหมดในS ข้อจำกัดสามารถใช้เพื่อกำหนดฟังก์ชันผกผัน บางส่วน : หากมีเซตย่อย Sของโดเมนของฟังก์ชันดังนั้นเป็นคำบุพบท จากนั้นจึงใช้คำคุณศัพท์ตามบัญญัติของสู่ภาพลักษณ์เป็น bijection และมีฟังก์ชันผกผันจากถึงเอแอปพลิเคชั่นหนึ่งคือนิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันโคไซน์เป็น injective เมื่อจำกัดช่วงเวลา [0, π ] . ภาพของข้อจำกัดนี้คือช่วง[-1, 1]และด้วยเหตุนี้การจำกัดจึงมีฟังก์ชันผกผันจาก[-1, 1]ถึง[0, π ]ซึ่งเรียกว่า อาร์ค โคไซน์และเขียนแทนด้วย อา ร์ คคอส

การจำกัดฟังก์ชันอาจใช้สำหรับฟังก์ชัน "การติดกาว" ร่วมกัน ปล่อยเป็นการสลายตัวของXเป็นการรวมของเซตย่อย และสมมติว่าฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในแต่ละเพื่อให้แต่ละคู่ของดัชนี ข้อจำกัดของและถึงมีค่าเท่ากัน จากนั้นสิ่งนี้จะกำหนดฟังก์ชันเฉพาะดังนั้นทั้งหมดฉัน . นี่คือวิธีกำหนดการ ทำงานบน ท่อร่วมไอ ดี

ส่วนขยายของฟังก์ชันfคือฟังก์ชันgโดยที่fเป็นข้อจำกัดของg การใช้แนวคิดนี้เป็นกระบวนการของความต่อเนื่องของการวิเคราะห์ซึ่งอนุญาตให้ขยายฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นส่วนเล็ก ๆ ของระนาบเชิงซ้อนเพื่อทำหน้าที่ซึ่งโดเมนนั้นเกือบจะเป็นระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด

นี่เป็นอีกตัวอย่างคลาสสิกของการขยายฟังก์ชันที่พบเมื่อศึกษา คำ พ้องเสียงของเส้นจริง โฮโม กราฟฟีเป็นฟังก์ชันโฆษณานั้นbc 0 โดเมนของมันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่แตกต่างจากและรูปของมันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่แตกต่างจากหากคนหนึ่งขยายเส้นจริงไปยังเส้นจริงที่ขยายออกไปโดยการ เพิ่ม เราอาจขยายhเป็น bijection จากเส้นจริงที่ขยายไปยังตัวมันเองโดยการตั้งค่าและ.

ฟังก์ชันหลายตัวแปร

การดำเนินการไบนารีเป็นตัวอย่างทั่วไปของฟังก์ชัน bivariate ซึ่งกำหนดให้กับแต่ละคู่ผลลัพธ์.

ฟังก์ชันหลายตัวแปรหรือฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวคือฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับหลายอาร์กิวเมนต์ มักพบฟังก์ชันดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ตำแหน่งของรถบนถนนเป็นฟังก์ชันของเวลาที่เดินทางและความเร็วเฉลี่ย

อย่างเป็นทางการ ฟังก์ชันของ ตัวแปร nคือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นชุดของn -tuples ตัวอย่างเช่น การคูณจำนวนเต็มเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว หรือฟังก์ชัน bivariateซึ่งโดเมนคือเซตของจำนวนเต็มคู่ (2-tuples) ทั้งหมด และโดเมนโคโดเมนคือชุดของจำนวนเต็ม เช่นเดียวกับการดำเนินการไบนารี ทุก ครั้ง โดยทั่วไป ทุกการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันพหุตัวแปร

ผลิตภัณฑ์ คาร์ทีเซียน ของnชุดเป็นเซตของn -tuples . ทั้งหมดดังนั้นสำหรับทุก ๆฉันด้วย. ดังนั้น ฟังก์ชันของ ตัวแปร nคือฟังก์ชัน

โดยที่โดเมนUมีรูปแบบ

เมื่อใช้สัญกรณ์ฟังก์ชัน เรามักจะละเว้นวงเล็บที่อยู่รอบทูเพิล การเขียนแทน

ในกรณีที่ .ทั้งหมดเท่ากับเซตของจำนวนจริง ตัวหนึ่งมีหน้าที่ของตัวแปรจำนวนจริงหลายตัว ถ้าเท่ากับเซตของจำนวนเชิงซ้อน ตัวหนึ่งมีหน้าที่ของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัว

เป็นเรื่องปกติที่จะต้องพิจารณาฟังก์ชันที่โคโดเมนเป็นผลคูณของเซต ตัวอย่างเช่น การหารแบบยุคลิดจับคู่ทุกคู่( a , b )ของจำนวนเต็มด้วยb ≠ 0กับจำนวนเต็มคู่หนึ่งที่เรียกว่าผลหารและเศษเหลือ :

โคโดเมนอาจเป็นเวคเตอร์สเปซก็ได้ ในกรณีนี้ มีคนพูดถึงฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ ถ้าโดเมนอยู่ในสเป ซ แบบยุคลิดหรือโดยทั่วไปมากกว่านั้นคือแมนิโฟลด์ ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์มักจะเรียกว่าฟิลด์เวกเตอร์

ในการคำนวณ

แนวคิดของฟังก์ชันซึ่งเริ่มต้นขึ้นในศตวรรษที่ 17 เป็นพื้นฐานของแคลคูลัสขนาดเล็ก แบบใหม่ (ดูHistory of the function concept ) ในขณะนั้น จะพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันมูลค่า จริงของ ตัวแปรจริงเท่านั้น และถือว่าฟังก์ชันทั้งหมดมีความราบรื่น แต่ในไม่ช้าคำจำกัดความก็ขยายไปถึงหน้าที่ของตัวแปรหลายตัวและ ขยายไปถึงหน้าที่ ของ ตัวแปร เชิงซ้อน ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 มีการแนะนำคำจำกัดความที่เข้มงวดทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชัน และกำหนดฟังก์ชันด้วยโดเมนและโคโดเมนตามอำเภอใจ

ขณะนี้มีการใช้ฟังก์ชันทั่วทุกสาขาของคณิตศาสตร์ ในแคลคูลัสเบื้องต้นเมื่อใช้ฟังก์ชัน คำ โดยไม่มีคุณสมบัติ หมายความว่าฟังก์ชันที่มีค่าจริงของตัวแปรจริงเพียงตัวเดียว คำจำกัดความที่กว้างกว่าของฟังก์ชันมักจะใช้กับนักศึกษาชั้นปีที่ 2 หรือ 3 ที่มี สาขาวิชาเอก STEMและในปีสุดท้ายนั้น จะมีการแนะนำให้รู้จักกับแคลคูลัสในหลักสูตรที่ใหญ่และเข้มงวดยิ่งขึ้น เช่นการวิเคราะห์จริงและ การวิเคราะห์ ที่ ซับซ้อน

ฟังก์ชั่นจริง

กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น
กราฟของฟังก์ชันพหุนาม นี่คือฟังก์ชันกำลังสอง
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติสองฟังก์ชัน: ไซน์และโคไซน์

ฟังก์ชันจริงคือ ฟังก์ชันค่า จริง ของตัวแปรจริงนั่นคือ ฟังก์ชันที่มีโคโดเมนเป็นฟิลด์ของจำนวนจริงและโดเมนของโดเมนคือชุดของจำนวนจริงที่มีช่วง ในส่วนนี้ ฟังก์ชันเหล่านี้เรียกง่ายๆ ว่าฟังก์ชั่

ฟังก์ชันที่ได้รับการพิจารณามากที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์และการประยุกต์มีความสม่ำเสมอ กล่าวคือฟังก์ชันต่อเนื่อง แยก ความแตกต่างได้ และแม้กระทั่งการวิเคราะห์ ความสม่ำเสมอนี้ช่วยรับประกันว่าฟังก์ชันเหล่านี้สามารถมองเห็นได้ด้วยกราฟ ในส่วนนี้ ฟังก์ชันทั้งหมดจะมีความแตกต่างกันในบางช่วงเวลา

ฟังก์ชั่นเพลิดเพลินกับการดำเนินการ ตามจุด นั่นคือ ถ้าfและgเป็นฟังก์ชัน ผลรวม ผลต่าง และผลิตภัณฑ์เป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดย

โดเมนของฟังก์ชันผลลัพธ์คือจุดตัดของโดเมนของfและg ผลหารของสองฟังก์ชันถูกกำหนดในทำนองเดียวกันโดย

แต่โดเมนของฟังก์ชันผลลัพธ์ได้มาจากการลบศูนย์ของgออกจากจุดตัดของโดเมนของ fและg

ฟังก์ชันพหุนามถูกกำหนดโดยพหุนามและโดเมนของพวกมันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ประกอบด้วยฟังก์ชันคงที่ ฟังก์ชันเชิงเส้นและ ฟังก์ชัน กำลังสอง ฟังก์ชันตรรกยะคือผลหารของฟังก์ชันพหุนามสองฟังก์ชัน และโดเมนของฟังก์ชันดังกล่าวคือจำนวนจริงที่มีจำนวนจำกัดถูกลบออกเพื่อหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์ ฟังก์ชันตรรกยะที่ง่ายที่สุดคือฟังก์ชันโดยที่กราฟเป็นไฮเปอร์โบลา และโดเมนของมันคือเส้นจริง ทั้งหมด ยกเว้น 0

อนุพันธ์ ของ ฟังก์ชัน อนุพันธ์ แท้คือฟังก์ชันจริง แอน ติเดริเวทีฟของ ฟังก์ชันจริงต่อเนื่องคือฟังก์ชันจริงที่มีฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้แม้กระทั่งกับจำนวนจริงบวก ดังนั้นแอนติเดริเวทีฟตัวหนึ่งซึ่งใช้ค่าศูนย์สำหรับx = 1จึงเป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ที่เรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติ

ฟังก์ชันจริงfเป็นโมโนโทนิ ก ในช่วงเวลาหนึ่งหากเครื่องหมายของไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกxและyในช่วงเวลา หากฟังก์ชันนั้นหาอนุพันธ์ได้ในช่วง จะเป็นแบบโมโนโทนิกหากเครื่องหมายของอนุพันธ์คงที่ในช่วงนั้น หากฟังก์ชันจริงfเป็นฟังก์ชันแบบโมโนโทนิกในช่วงIก็จะมีฟังก์ชันผกผันซึ่งเป็นฟังก์ชันจริงที่มีโดเมนf ( I )และอิมเมจI นี่คือวิธี กำหนด ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันในแง่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นแบบโมโนโทนิก อีกตัวอย่างหนึ่ง: ลอการิทึมธรรมชาติเป็นแบบโมโนโทนิกสำหรับจำนวนจริงบวก และรูปภาพของมันคือเส้นจริงทั้งหมด ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันผกผันที่เป็นbijectionระหว่างจำนวนจริงกับจำนวนจริงบวก อินเวอร์สนี้เป็นฟังก์ชัน เลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันจริงอื่นๆ ถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยนัย (ฟังก์ชันผกผันคือตัวอย่างเฉพาะ) หรือเป็นคำตอบของ สมการ เชิงอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันไซน์และโคไซน์เป็นคำตอบของสมการอนุพันธ์เชิงเส้น

ดังนั้น

ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์

เมื่อองค์ประกอบของโคโดเมนของฟังก์ชันเป็นเวกเตอร์ฟังก์ชันดังกล่าวจะเรียกว่าฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ ฟังก์ชันเหล่านี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในแอปพลิเคชัน เช่น การสร้างแบบจำลองคุณสมบัติทางกายภาพ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่เชื่อมโยงกับแต่ละจุดของของไหลเวกเตอร์ความเร็ว ของของไหล นั้นเป็นฟังก์ชันค่าเวกเตอร์

ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์บางฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในเซตย่อยของหรือช่องว่างอื่น ๆ ที่มีคุณสมบัติทางเรขาคณิตหรือทอพอโลยีของเช่นท่อร่วมไอดี ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์เหล่านี้จะได้รับชื่อฟิลด์เวกเตอร์

พื้นที่ใช้งาน

ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันพื้นที่ฟังก์ชันคือชุดของ ฟังก์ชันค่า สเกลาร์หรือ ค่า เวกเตอร์ซึ่งใช้คุณสมบัติเฉพาะร่วมกันและสร้างปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันที่ราบรื่น จริง ที่มีการรองรับแบบกะทัดรัด (นั่นคือ พวกมันเป็นศูนย์นอกชุดคอมแพค บางตัว ) จะสร้างสเปซของฟังก์ชันที่เป็นพื้นฐานของทฤษฎีการ แจกแจง

ช่องว่างของฟังก์ชันมีบทบาทพื้นฐานในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง โดยอนุญาตให้ใช้คุณสมบัติเชิงพีชคณิตและทอพอโลยีเพื่อศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบททั้งหมดของการดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญหรือ บางส่วน เป็นผลมาจากการศึกษาช่องว่างของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันหลายค่า

รากที่สองทั้งสองของจำนวนจริงไม่ติดลบทั้งหมดรวมกันเป็นเส้นโค้งเรียบเส้นเดียว
Xto3minus3x.svg

หลายวิธีในการระบุฟังก์ชันของตัวแปรจริงหรือตัวแปรที่ซับซ้อนเริ่มต้นจากคำจำกัดความของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งหรือบริเวณใกล้เคียงของจุด จากนั้นจึงขยายฟังก์ชันอย่างต่อเนื่องไปยังโดเมนที่ใหญ่กว่ามาก บ่อยครั้งสำหรับจุดเริ่มต้นมีค่าเริ่มต้นที่เป็นไปได้หลายค่าสำหรับฟังก์ชัน

ตัวอย่างเช่น ในการกำหนดราก ที่สอง เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันกำลังสอง สำหรับจำนวนจริงบวกใดๆมีสองตัวเลือกสำหรับค่าของรากที่สอง ตัวหนึ่งเป็นค่าบวกและแทนค่าและอีกอย่างที่เป็นลบและแสดงว่าตัวเลือกเหล่านี้กำหนดฟังก์ชันต่อเนื่องสองฟังก์ชัน ทั้งที่มีจำนวนจริงไม่ติดลบเป็นโดเมน และมีทั้งจำนวนจริงที่ไม่ติดลบหรือจำนวนจริงที่ไม่เป็นบวกเป็นรูปภาพ เมื่อดูที่กราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ เราจะเห็นได้ว่า เมื่อรวมกันแล้ว พวกมันจะสร้างเส้นโค้งเรียบเส้นเดียว ดังนั้นจึงมักจะมีประโยชน์ที่จะพิจารณาฟังก์ชันรากที่สองทั้งสองนี้เป็นฟังก์ชันเดียวที่มีค่าบวกx สองค่า ค่า หนึ่งสำหรับ 0 และไม่มีค่าสำหรับค่าลบ x

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ตัวเลือกหนึ่ง รากที่สองที่เป็นบวก มีความเป็นธรรมชาติมากกว่าอีกตัวเลือกหนึ่ง นี่ไม่ใช่กรณีโดยทั่วไป ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาฟังก์ชันโดยปริยายที่จับคู่yกับรู ท xของ(ดูรูปด้านขวา). สำหรับy = 0หนึ่งอาจเลือกอย่างใดอย่างหนึ่งสำหรับx _ โดยทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยนัยแต่ละตัวเลือกกำหนดฟังก์ชัน สำหรับอันแรก โดเมน (สูงสุด) คือช่วงเวลา[-2, 2]และรูปภาพคือ[-1, 1] ; สำหรับอันที่สอง โดเมนคือ[-2, ∞)และรูปภาพคือ[1, ∞) ; สำหรับอันสุดท้าย โดเมนคือ(−∞, 2]และรูปภาพคือ(−∞, −1]เมื่อกราฟทั้งสามรวมกันเป็นเส้นโค้งเรียบ และไม่มีเหตุผลใดที่จะเลือกหนึ่งตัวเลือก ฟังก์ชันทั้งสามนี้คือ มักถูกพิจารณาว่าเป็น ฟังก์ชันที่มี หลายค่าหลายค่าเพียงฟังก์ชัน เดียว ของyที่มีสามค่าสำหรับ−2 < y < 2และมีเพียงค่าเดียวสำหรับy −2และy ≥ −2

ประโยชน์ของแนวคิดของฟังก์ชันที่มีหลายค่าจะมีความชัดเจนมากขึ้นเมื่อพิจารณาถึงฟังก์ชันที่ซับซ้อน ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ โดเมนที่ฟังก์ชันเชิงซ้อนอาจขยายออกไปโดยความต่อเนื่องของการวิเคราะห์โดยทั่วไปประกอบด้วยระนาบเชิงซ้อนเกือบ ทั้งหมด อย่างไรก็ตาม เมื่อขยายโดเมนผ่านสองเส้นทางที่แตกต่างกัน หนึ่งมักจะได้รับค่าที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อขยายโดเมนของฟังก์ชันรากที่สอง ตามเส้นทางของจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพที่เป็นบวก ตัวหนึ่งได้iสำหรับรากที่สองของ -1; ในขณะที่เมื่อขยายผ่านจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพติดลบ ได้i. โดยทั่วไปมีสองวิธีในการแก้ปัญหา หนึ่งอาจกำหนดฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องตามเส้นโค้งที่เรียกว่ากิ่งตัด ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าค่าหลักของฟังก์ชัน อีกวิธีหนึ่งคือการพิจารณาว่ามีฟังก์ชันที่มีหลายค่าซึ่งวิเคราะห์ได้ทุกที่ยกเว้นภาวะเอกฐานที่แยกได้ แต่ค่านั้นอาจ "กระโดด" หากคนหนึ่งติดตามวงปิดรอบภาวะภาวะภาวะเอกฐาน การกระโดดนี้เรียกว่า monodromy

ในพื้นฐานของคณิตศาสตร์และทฤษฎีเซต

นิยามของฟังก์ชันที่ให้ไว้ในบทความนี้ต้องใช้แนวคิดsetเนื่องจากโดเมนและโคโดเมนของฟังก์ชันต้องเป็นเซต นี่ไม่ใช่ปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ทั่วไป เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วไม่ใช่เรื่องยากที่จะพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันที่มีชุดโดเมนและโคโดเมน ซึ่งมีการกำหนดไว้อย่างดี แม้ว่าโดเมนจะไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดแจ้งก็ตาม อย่างไรก็ตาม บางครั้งการพิจารณาฟังก์ชันทั่วไปก็มีประโยชน์ในบางครั้ง

ตัวอย่างเช่นเซตซิงเกิลตันอาจถือเป็นฟังก์ชันโดเมนจะรวมชุดทั้งหมด ดังนั้นจึงไม่ใช่ชุด ในวิชาคณิตศาสตร์ทั่วไป เราหลีกเลี่ยงปัญหาประเภทนี้โดยการระบุโดเมน ซึ่งหมายความว่ามีฟังก์ชันซิงเกิลตันมากมาย อย่างไรก็ตาม เมื่อสร้างรากฐานของคณิตศาสตร์ เราอาจต้องใช้ฟังก์ชันซึ่งไม่ได้ระบุโดเมน โคโดเมน หรือทั้งสองอย่าง และผู้เขียนบางคนซึ่งมักใช้ตรรกะ ให้คำจำกัดความที่แม่นยำสำหรับฟังก์ชันที่ระบุอย่างอ่อนเหล่านี้ [24]

ฟังก์ชันทั่วไปเหล่านี้อาจมีความสำคัญในการพัฒนาการจัดวางรากฐานของคณิตศาสตร์ ให้เป็น แบบแผน ตัวอย่างเช่นทฤษฎีเซต Von Neumann–Bernays–Gödelเป็นส่วนขยายของทฤษฎีเซตซึ่งการรวบรวมของเซตทั้งหมดเป็นคลาส ทฤษฎีนี้รวมถึงสัจพจน์การแทนที่ซึ่งอาจระบุได้ว่า: ถ้าXเป็นเซตและFเป็นฟังก์ชัน ดังนั้นF [ X ]ก็คือเซต

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์

ในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์โดย ทั่วไป ฟังก์ชันคือชิ้นส่วนของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ซึ่งใช้แนวคิดนามธรรมของฟังก์ชัน กล่าวคือเป็นหน่วยโปรแกรมที่สร้างเอาต์พุตสำหรับแต่ละอินพุต อย่างไรก็ตาม ในภาษาโปรแกรมหลายภาษาทุกรูทีนย่อยจะเรียกว่าฟังก์ชัน แม้ว่าจะไม่มีเอาต์พุต และเมื่อฟังก์ชันประกอบด้วยการแก้ไขข้อมูลบางอย่างในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์

Functional Programmingเป็นกระบวนทัศน์การเขียนโปรแกรม ที่ ประกอบด้วยการสร้างโปรแกรมโดยใช้เฉพาะรูทีนย่อยที่ทำงานเหมือนฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่นif_then_elseเป็นฟังก์ชันที่รับสามฟังก์ชันเป็นอาร์กิวเมนต์ และขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของฟังก์ชันแรก ( trueหรือfalse ) ส่งคืนผลลัพธ์ของฟังก์ชันที่สองหรือฟังก์ชันที่สาม ข้อได้เปรียบที่สำคัญของการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันคือทำให้การพิสูจน์โปรแกรม ง่ายขึ้น เนื่องจากใช้ แคลคูลัสแลมบ์ดาตามทฤษฎีที่มีรากฐานมาเป็นอย่างดี(ดูด้านล่าง)

ยกเว้นคำศัพท์ภาษาคอมพิวเตอร์ "ฟังก์ชัน" มีความหมายทางคณิตศาสตร์ตามปกติในวิทยาการคอมพิวเตอร์ ในพื้นที่นี้ คุณสมบัติที่น่าสนใจคือความสามารถในการคำนวณของฟังก์ชัน เพื่อให้ความหมายที่แม่นยำแก่แนวคิดนี้ และสำหรับแนวคิดที่เกี่ยวข้องของอัลกอริธึม ได้มีการแนะนำ แบบจำลองการคำนวณหลาย แบบ แบบ เก่าเป็นฟังก์ชันเรียกซ้ำทั่วไปแคลคูลัสแลมบ์ดาและเครื่องจักรทัวริทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีการคำนวณคือแบบจำลองการคำนวณทั้งสามนี้กำหนดชุดของฟังก์ชันที่คำนวณได้ชุดเดียวกัน และรูปแบบการคำนวณอื่นๆ ทั้งหมดที่เคยเสนอมานั้นกำหนดชุดฟังก์ชันที่คำนวณได้ชุดเดียวกันหรือชุดที่เล็กกว่า วิทยานิพนธ์ของคริ สตจักร–ทัวริงเป็นการอ้างว่าทุกนิยามที่ยอมรับได้ทางปรัชญาของฟังก์ชันที่คำนวณได้กำหนดฟังก์ชันเดียวกันด้วย

ฟังก์ชันเรียกซ้ำทั่วไปคือฟังก์ชันบางส่วนตั้งแต่จำนวนเต็มไปจนถึงจำนวนเต็มที่สามารถกำหนดได้ตั้งแต่

ผ่านตัวดำเนินการ

แม้ว่ากำหนดไว้สำหรับฟังก์ชันจากจำนวนเต็มถึงจำนวนเต็มเท่านั้น แต่สามารถสร้างแบบจำลองฟังก์ชันที่คำนวณได้อันเป็นผลมาจากคุณสมบัติต่อไปนี้:

  • การคำนวณคือการจัดการลำดับที่จำกัดของสัญลักษณ์ (ตัวเลข, สูตร, ...),
  • ทุกลำดับของสัญลักษณ์สามารถเข้ารหัสเป็นลำดับของบิต ,
  • ลำดับบิตสามารถตีความได้ว่าเป็นการแทนค่าไบนารีของจำนวนเต็ม

แคลคูลัสแลมบ์ดาเป็นทฤษฎีที่กำหนดฟังก์ชันที่คำนวณได้โดยไม่ต้องใช้ทฤษฎีเซตและเป็นพื้นฐานทางทฤษฎีของการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชัน ประกอบด้วยคำศัพท์ที่เป็นตัวแปร นิยามฟังก์ชัน ( 𝜆 -terms) หรือการประยุกต์ของฟังก์ชันกับเงื่อนไข ข้อกำหนดได้รับการจัดการผ่านกฎบางอย่าง (ความ เท่าเทียมกัน αการลดลงβและη -การ แปลง) ซึ่งเป็นสัจพจน์ของทฤษฎีและอาจตีความว่าเป็นกฎของการคำนวณ

ในรูปแบบเดิม แคลคูลัสแลมบ์ดาไม่รวมแนวคิดของโดเมนและโคโดเมนของฟังก์ชัน กล่าวโดยคร่าว ๆ พวกเขาได้รับการแนะนำในทฤษฎีภายใต้ชื่อประเภทในแคลคูลัสแลมบ์ดาพิมพ์ แคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ส่วนใหญ่สามารถกำหนดฟังก์ชันน้อยกว่าแคลคูลัสแลมบ์ดาที่ไม่ได้พิมพ์

ดูเพิ่มเติม

หน้าย่อย

ลักษณะทั่วไป

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

หมายเหตุ

  1. คำจำกัดความของ "กราฟ" นี้หมายถึงชุดของวัตถุคู่หนึ่ง กราฟในแง่ของไดอะแกรมใช้ได้กับฟังก์ชันตั้งแต่ตัวเลขจริงจนถึงตัวมันเองมากที่สุด ฟังก์ชันทั้งหมดสามารถอธิบายได้ด้วยชุดของคู่ แต่อาจไม่สะดวกที่จะสร้างไดอะแกรมสำหรับฟังก์ชันระหว่างชุดอื่นๆ (เช่น ชุดของเมทริกซ์)
  2. ^ นี่ตามมาจากสัจพจน์ของการยืดขยายซึ่งบอกว่าชุดสองชุดจะเหมือนกันก็ต่อเมื่อพวกมันมีสมาชิกเหมือนกัน ผู้เขียนบางคนละทิ้ง codomain จากคำจำกัดความของฟังก์ชัน และในคำจำกัดความนั้น แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันต้องได้รับการจัดการอย่างระมัดระวัง ดูตัวอย่างเช่น "เมื่อใดที่ฟังก์ชันทั้งสองจะเท่ากัน" . แลกเปลี่ยน สแต็ค 19 สิงหาคม 2558
  3. ^ ผู้เขียนบางคน เรียกว่าขอบเขตของคำจำกัดความโดยเฉพาะวิทยาการคอมพิวเตอร์
  4. ในที่นี้ "ระดับประถมศึกษา" ไม่ได้มีสามัญสำนึกอย่างแน่นอน แม้ว่าฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่พบในวิชาคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาจะเป็นพื้นฐานในแง่นี้ แต่ฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่างก็ไม่ใช่ฟังก์ชันพื้นฐานสำหรับสามัญสำนึก ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับรากของพหุนามของ ระดับสูง
  5. ^ ตามคำจำกัดความ กราฟของฟังก์ชันว่างของ Xเป็นเซตย่อยของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน ∅ × Xและผลิตภัณฑ์นี้ว่างเปล่า
  6. ^ ไม่จำเป็นต้อง ใช้สัจพจน์ของการเลือกเนื่องจากการเลือกทำในชุดเดียว

อ้างอิง

  1. ^ Halmos 1970 , พี. 30; คำว่า map , mapping , transformation ,ติดต่อและตัวดำเนินการมักใช้ตรงกัน
  2. ^ "ฟังก์ชัน | ความหมาย ประเภท ตัวอย่าง & ข้อเท็จจริง" . สารานุกรมบริแทนนิกา. สืบค้นเมื่อ2020-08-17 .
  3. ^ สปิวัก 2008 , p. 39.
  4. ^ แคปแลน 1972 , p. 25.
  5. a b c d e f Kudryavtsev, LD (2001) [1994], "Function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
  6. อรรถเป็น ทาลมาน ลอร่า ; โคห์น, ปีเตอร์ (2014). แคลคูลัส . มหานครนิวยอร์ก : WH Freeman and Company หน้า 3. ISBN 978-1-4292-4186-1. LCCN  2012947365 . OCLC  856545590 . อ . 27544563M  .
  7. ^ a b Trench, William F. (2013) [2003]. บทนำสู่การวิเคราะห์จริง (ฉบับที่ 2.04) Pearson Education (เดิมพิมพ์ซ้ำโดยผู้เขียน) น. 30–32. ISBN 0-13-045786-8. LCCN  2002032369 . อสม . 953799815  . Zbl 1204.00023 . 
  8. อรรถเป็น c ทอมสัน ไบรอันเอส.; บรัคเนอร์, จูดิธ บี.; บรัคเนอร์, แอนดรูว์ เอ็ม. (2008) [2001]. การ วิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น (PDF) (ฉบับที่ 2) Prentice Hall (เดิม; 2nd ed. จัดพิมพ์ซ้ำโดยผู้เขียนเอง) หน้า A-4–A-5 ISBN  978-1-4348-4367-8. OCLC  1105855173 . อ.31844948   . Zbl 0872.26001 . 
  9. แฮมิลตัน เอจี (1982). ตัวเลข ชุด และสัจพจน์: เครื่องมือของคณิตศาสตร์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. หน้า 83 . ISBN 978-0-2521-24509-8. เรากำลังระบุฟังก์ชันด้วยกราฟของมัน
  10. Gunther Schmidt ( 2011) Relational Mathematics , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, เล่มที่. 132, sect 5.1 Functions, หน้า 49–60, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-76268-7 
  11. Ron Larson, Bruce H. Edwards (2010), Calculus of a Single Variable , Cengage Learning, พี. 19, ISBN 978-0-538-73552-0
  12. ↑ Weisstein , Eric W. "แผนที่ " mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2019-06-12 .
  13. ^ Lang, Serge (1971), Linear Algebra (ฉบับที่ 2), Addison-Wesley, p. 83
  14. TM Apostol (1981). การ วิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ . แอดดิสัน-เวสลีย์. หน้า 35.
  15. เจมส์ โรเบิร์ต ซี.; เจมส์, เกล็นน์ (1992). พจนานุกรมคณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 5) นิวยอร์ก: Van Nostrand Reinhold หน้า 202. ISBN 0-442-00741-8. อสม . 25409557  .
  16. เจมส์ โรเบิร์ต ซี.; เจมส์, เกล็นน์ (1992). พจนานุกรมคณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 5) นิวยอร์ก: Van Nostrand Reinhold หน้า 48. ISBN 0-442-00741-8. อสม . 25409557  .
  17. TM Apostol (1981). การ วิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ . แอดดิสัน-เวสลีย์. หน้า 35.
  18. ^ Lang, Serge (1971), Linear Algebra (ฉบับที่ 2), Addison-Wesley, p. 83
  19. อรรถa b c d e Gowers, ทิโมธี ; สาลี่-กรีน, มิถุนายน ; ลีดเดอร์, อิมเร , สหพันธ์. (2551). พรินซ์ตัน Companion กับคณิตศาสตร์ . พรินซ์ตัน รัฐนิวเจอร์ซีย์ : สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน . หน้า 11. ดอย : 10.1515/9781400830398 . ISBN 978-0-691-11880-2. JSTOR  j.ctt7sd01 _ LCCN  2008020450 . มร.  2467561 . สพฐ . 227205932  . อ . 19327100M . Zbl 1242.00016 .  
  20. ^ ปริมาณและหน่วย - ส่วนที่ 2: เครื่องหมายและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่จะใช้ในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีธรรมชาติ , p. 15. ISO 80000-2 (ISO/IEC 2009-12-01)
  21. a b Ivanova, OA (2001) [1994], "Injection" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
  22. a b Ivanova, OA (2001) [1994], "Surjection" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
  23. อรรถเป็น Ivanova, OA (2001) [1994], "Bijection" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
  24. โกเดล 1940 , p. 16; เจค 2003 , p. 11; คันนิงแฮม 2016 , p. 57

ที่มา

อ่านเพิ่มเติม

ลิงค์ภายนอก