ทฤษฎีบทมูลค่าสูงสุด

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา
ฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาปิดแสดงค่าสูงสุดสัมบูรณ์ (สีแดง) และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ (สีน้ำเงิน)

ในแคลคูลัสทฤษฎีบทค่าสุดขั้วระบุ ว่าถ้า ฟังก์ชันมูลค่าจริง ต่อเนื่องกันในช่วงปิด, แล้วต้องบรรลุค่าสูงสุดและต่ำสุดอย่างน้อยหนึ่งครั้ง นั่นคือมีตัวเลขอยู่และในดังนั้น:

ทฤษฎีบทค่าสุดขั้วมีความเฉพาะเจาะจงมากกว่า ทฤษฎีบทขอบเขต ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งระบุเพียงว่าฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาปิดถูกจำกัดไว้ในช่วงเวลานั้น นั่นคือมีตัวเลขจริงและดังนั้น:

นี่ไม่ได้บอกว่าและจำเป็นต้องเป็นค่าสูงสุดและต่ำสุดของในช่วงเวลาซึ่งเป็นสิ่งที่ทฤษฎีบทค่าสุดโต่งกำหนดไว้ก็จะต้องเป็นเช่นนั้นด้วย

ทฤษฎีบทค่าสุดขั้วใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของโรลลี ในการกำหนดสูตรโดยKarl Weierstrassทฤษฎีบทนี้ระบุว่าฟังก์ชันต่อเนื่องจากพื้นที่กะทัดรัด ที่ไม่ว่างเปล่า ไปจนถึงเซตย่อยของจำนวนจริงบรรลุค่าสูงสุดและต่ำสุด

ประวัติ

ทฤษฎีบทค่าสุดขีดได้รับการพิสูจน์โดยBernard Bolzanoในช่วงทศวรรษที่ 1830 ในงานFunctionory Theoryแต่งานยังคงไม่ได้รับการตีพิมพ์จนถึงปี 1930 การพิสูจน์ของ Bolzano ประกอบด้วยการแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาปิดถูกผูกไว้ และแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันบรรลุ ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด หลักฐานทั้งสองเกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทBolzano–Weierstrass [1]ผลลัพธ์ถูกค้นพบในภายหลังโดย Weierstrass ในปี 1860 [ ต้องการการอ้างอิง ]

ฟังก์ชั่นที่ทฤษฎีบทไม่ได้ใช้

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าเหตุใดจึงต้องปิดและจำกัดโดเมนของฟังก์ชันเพื่อให้ทฤษฎีบทนำไปใช้ แต่ละอันล้มเหลวในการบรรลุค่าสูงสุดในช่วงเวลาที่กำหนด

  1. กำหนดมากกว่าไม่ถูกจำกัดจากเบื้องบน
  2. กำหนดมากกว่ามีขอบเขตแต่ไม่ถึงขอบเขตบนที่น้อยที่สุด.
  3. กำหนดมากกว่าไม่ถูกจำกัดจากเบื้องบน
  4. กำหนดมากกว่ามีขอบเขตแต่ไม่เคยบรรลุขอบเขตบนที่น้อยที่สุด.

นิยามในสองตัวอย่างสุดท้ายแสดงให้เห็นว่าทั้งสองทฤษฎีบทต้องการความต่อเนื่องใน.

ลักษณะทั่วไปของช่องว่างเมตริกและทอพอโลยี

เมื่อเคลื่อนจากเส้นจริงสำหรับพื้นที่เมตริกและปริภูมิทอพอโลยี ทั่วไป การกำหนดลักษณะทั่วไปที่เหมาะสมของช่วงขอบเขตปิดคือ ชุด ที่กะทัดรัด ชุดเรียกว่ากระทัดรัด ถ้ามีคุณสมบัติดังนี้ จากทุกชุดที่เปิดอยู่ ดังนั้น , คอลเลกชั่นย่อยที่จำกัดสามารถเลือกได้ว่า. นี้มักจะกล่าวสั้น ๆ ว่า "ทุก ๆ ปกที่เปิดอยู่ของมีขอบเขตย่อยที่แน่นอน" ทฤษฎีบท Heine–Borelอ้างว่าเซตย่อยของเส้นจริงนั้นกะทัดรัดก็ต่อเมื่อมันถูกปิดและอยู่ในขอบเขตเท่านั้น ในทำนองเดียวกัน พื้นที่เมตริกจะมีคุณสมบัติHeine–Borelหากทุกเซตที่มีขอบเขตจำกัด ยังกะทัดรัด

แนวคิดของฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถสรุปได้เช่นเดียวกัน กำหนดช่องว่างทอพอโลยี, ฟังก์ชันเรียกว่าต่อเนื่องกันทุกเซตที่เปิดอยู่,ยังเปิดอยู่ จากคำจำกัดความเหล่านี้ สามารถแสดงฟังก์ชันต่อเนื่องเพื่อรักษาความกะทัดรัด: [2]

ทฤษฎีบท. ถ้าเป็นช่องว่างโทโพโลยีเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และมีขนาดกะทัดรัดแล้วมีขนาดกะทัดรัด

โดยเฉพาะถ้าดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงหมายความว่าถูกปิดและมีขอบเขตสำหรับชุดกะทัดรัดใดๆซึ่งหมายความว่าบรรลุสูงสุดและต่ำต้อยในชุดกะทัดรัดใด ๆ (ไม่ว่างเปล่า). ดังนั้นเราจึงมีการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทค่าสุดขั้วดังต่อไปนี้: [2]

ทฤษฎีบท. ถ้า เป็นชุดกะทัดรัดและ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนั้น มีขอบเขตและมีอยู่จริง ดังนั้น และ .

โดยทั่วไปอีกเล็กน้อย สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องระดับบนด้วย (ดูพื้นที่กะทัดรัด#ฟังก์ชันและพื้นที่ขนาดกะทัดรัด )

การพิสูจน์ทฤษฎีบท

เราดูที่การพิสูจน์ขอบเขตบนและสูงสุดของ. โดยนำผลลัพธ์เหล่านี้ไปประยุกต์ใช้กับฟังก์ชัน, การมีอยู่ของขอบเขตล่างและผลลัพธ์สำหรับค่าต่ำสุดของดังต่อไปนี้ นอกจากนี้ โปรดทราบด้วยว่าทุกอย่างในการพิสูจน์นั้นทำขึ้นภายใต้บริบทของจำนวน จริง

ขั้นแรก เราพิสูจน์ทฤษฎีบทขอบเขต ซึ่งเป็นขั้นตอนหนึ่งในการพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าสุดขั้ว ขั้นตอนพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าสุดขั้วคือ:

  1. พิสูจน์ทฤษฎีบทขอบเขต
  2. ค้นหาลำดับเพื่อให้ภาพมาบรรจบกันที่ระดับสูงสุดของ.
  3. แสดงว่ามีลำดับ ย่อย ที่บรรจบกันถึงจุดหนึ่งในโดเมน
  4. ใช้ความต่อเนื่องเพื่อแสดงว่าภาพของลำดับต่อมาบรรจบกันที่ระดับสูงสุด

การพิสูจน์ทฤษฎีบทขอบเขต

ถ้อยแถลง   ถ้าต่อเนื่องบนแล้วมีขอบเขต

สมมติฟังก์ชัน ไม่ถูกจำกัดอยู่เหนือช่วง. จากนั้นสำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ, มีดังนั้น. สิ่งนี้กำหนดลำดับ . เพราะมีขอบเขตทฤษฎีบทโบลซาโน–ไวเออร์ ชตราส แสดงว่ามีการบรรจบกันของ. ระบุขีด จำกัด โดย. เนื่องจากปิดอยู่ ประกอบด้วย. เพราะต่อเนื่องที่, เรารู้ว่ามาบรรจบกันเป็นจำนวนจริง(เช่นต่อเนื่องกันที่). แต่สำหรับทุกคนซึ่งหมายความว่าแตกต่างไป, ความขัดแย้ง. ดังนั้น,มีขอบเขตอยู่ข้างบน

หลักฐานทางเลือก

ถ้อยแถลง   ถ้าต่อเนื่องบนแล้วมีขอบเขต

หลักฐาน    พิจารณาชุดของคะแนนในดังนั้นมีขอบเขต. เราสังเกตว่าเป็นจุดหนึ่งสำหรับมีขอบเขตโดยค่า. ถ้าเป็นอีกจุดหนึ่งแล้วจุดทั้งหมดระหว่างและยังเป็นของ. กล่าวอีกนัยหนึ่งเป็นช่วงปิดที่ปลายด้านซ้ายโดย.

ตอนนี้เป็นต่อเนื่องทางขวาที่จึงมีอยู่ดังนั้นเพื่อทุกสิ่งใน. ดังนั้นถูกล้อมรอบด้วยและในช่วงเวลาเพื่อให้คะแนนทั้งหมดนี้เป็นของ.

ถึงตอนนี้เรารู้แล้วว่าเป็นช่วงความยาวไม่เป็นศูนย์ ปิดที่ปลายด้านซ้ายด้วย.

ถัดไป,ถูกล้อมรอบด้วย. ดังนั้นชุดมีอำนาจสูงสุดใน ; ให้เราเรียกมันว่า. จากความยาวไม่เป็นศูนย์ของเราสามารถอนุมานได้ว่า.

สมมติ. ตอนนี้ต่อเนื่องที่จึงมีอยู่ดังนั้นเพื่อทุกสิ่งในดังนั้นถูกจำกัดไว้ในช่วงเวลานี้ แต่มันสืบเนื่องมาจากอำนาจสูงสุดของว่ามีจุดที่เป็นของ,กล่าวซึ่งมากกว่า. ดังนั้นมีขอบเขตที่ทับซ้อนกันดังนั้นมีขอบเขต. อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ขัดแย้งกับอำนาจสูงสุดของ.

เราจึงต้องมี. ตอนนี้เป็นต่อเนื่องทางซ้ายที่จึงมีอยู่ดังนั้นเพื่อทุกสิ่งในดังนั้นถูกจำกัดไว้ในช่วงเวลานี้ แต่มันสืบเนื่องมาจากอำนาจสูงสุดของว่ามีจุดที่เป็นของ,กล่าวซึ่งมากกว่า. ดังนั้นมีขอบเขตที่ทับซ้อนกันดังนั้นมีขอบเขต.  

การพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าสุดขั้ว

โดยทฤษฎีบทขอบเขตfถูกล้อมรอบจากด้านบน ดังนั้น โดยความ สมบูรณ์ของ Dedekindของจำนวนจริง ขอบเขตบนที่น้อยที่สุด (สูงสุด) Mของf จึง มีอยู่ จำเป็นต้องหาจุดdใน [ a , b ] โดยที่M = f ( d ) ให้nเป็นจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากMเป็นขอบเขตบน ที่ น้อยที่สุดM – 1/ nไม่ใช่ขอบเขตบนสำหรับf ดังนั้นจึงมีd nใน [ a , b] ดังนั้นM – 1/ n < f ( d n ). สิ่งนี้กำหนดลำดับ { d n } เนื่องจากMเป็นขอบเขตบนสำหรับfเราจึงมีM – 1/ n < f ( d n ) ≤ Mสำหรับnทั้งหมด ดังนั้น ลำดับ { f ( d n )} มาบรรจบกันเป็น M

ทฤษฎีบทโบลซาโน–ไวเออร์ชตรา ส บอกเราว่ามีลำดับย่อยอยู่ {} ซึ่งมาบรรจบกับบางdและเมื่อ [ a , b ] ปิดdอยู่ใน [ a , b ] เนื่องจากfมีความต่อเนื่องที่dลำดับ { f ()} มาบรรจบกันเป็นf ( d ) แต่ { f ( d n k )} เป็นผลสืบเนื่องมาจาก { f ( d n )} ที่บรรจบกันเป็นMดังนั้นM = f ( d ) ดังนั้นfบรรลุMสูงสุด  ที่d

การพิสูจน์ทางเลือกของทฤษฎีบทค่าสุดขั้ว

เซต{ yR  : y = f ( x ) สำหรับบางตัวx ∈ [ a , b ]}เป็นเซตที่มีขอบเขต ดังนั้นขอบเขตบนที่น้อยที่สุด จึง มีอยู่โดยคุณสมบัติขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของจำนวนจริง ให้M = sup( f ( x ) )  บน  [ a , b ] หากไม่มีจุดxบน [ ab ] ดังนั้นf ( x ) =  Mจากนั้น f ( x ) < Mบน [ ab ] ดังนั้น1/( Mf ( x ))จึงต่อเนื่องกันบน [ a , b ]

อย่างไรก็ตาม สำหรับจำนวนบวกทุกจำนวนεจะมีxอยู่ใน [ ab ] เสมอ โดยที่Mf ( x ) < εเนื่องจากMเป็นขอบเขตบนที่น้อยที่สุด ดังนั้น1/( Mf ( x )) > 1/ εซึ่งหมายความว่า1/( Mf ( x ))ไม่มีขอบเขต เนื่องจากทุกฟังก์ชันต่อเนื่องบน a [ a , b ] ถูกจำกัดไว้ สิ่งนี้ขัดแย้งกับข้อสรุปที่1/( Mf ( x ))ต่อเนื่องกันบน [ ab ] ดังนั้น จะต้องมีจุดxใน [ ab ] โดยที่f ( x )M

พิสูจน์โดยใช้ไฮเปอร์เรียล

ในการตั้งค่าของแคลคูลัสที่ไม่เป็นมาตรฐานให้N เป็นไฮ เปอร์จำนวนเต็ม   อนันต์ ช่วงเวลา [0, 1] มีส่วนขยายไฮเปอร์เรียลตามธรรมชาติ พิจารณาการแบ่งพาร์ติชันเป็นN ช่วง ย่อยที่มีความยาวเท่ากัน1 / Nโดยมีจุดแบ่งพาร์ติชันx i  = i  / Nขณะที่ฉัน "ทำงาน" จาก 0 ถึงN ฟังก์ชันƒ   ยังขยายไปยังฟังก์ชันโดยธรรมชาติƒ * ที่กำหนดไว้บนไฮเปอร์เรียลระหว่าง 0 ถึง 1 โปรดทราบว่าในการตั้งค่ามาตรฐาน (เมื่อN   เป็นค่าจำกัด) จุดที่มีค่าสูงสุดของƒสามารถเลือกได้จากN +1 จุดx ผมโดยการเหนี่ยวนำ ดังนั้น โดยหลักการการถ่ายโอนมีไฮเปอร์จำนวนเต็มi 0เช่นนั้น 0 ≤ i 0  ≤ Nและ  สำหรับทั้งหมดผม  = 0, ...,  N . พิจารณาประเด็นที่แท้จริง

โดยที่stคือฟังก์ชันส่วนมาตรฐาน จุดจริงตามอำเภอใจxอยู่ในช่วงเวลาย่อยที่เหมาะสมของพาร์ติชันคือดังนั้น  st ( x i ) = x นำ st ไป ใช้กับความไม่เท่าเทียมกัน, เราได้รับ. ด้วยความต่อเนื่องของƒ   เรามี

.

ดังนั้นƒ ( c ) ≥ ƒ ( x ) สำหรับ xจริงทั้งหมดพิสูจน์ว่าc เป็น ค่าสูงสุดƒ [3]

หลักฐานจากหลักการแรก

ถ้อยแถลง      ถ้าต่อเนื่องบนแล้วมันก็บรรลุถึงอำนาจสูงสุดใน

พิสูจน์      โดยทฤษฎีบทขอบเขตมีขอบเขตอยู่ข้างบนและโดยคุณสมบัติครบถ้วนของจำนวนจริงจะมีค่าสูงสุดใน. ให้เราเรียกมันว่า, หรือ. เป็นที่ชัดเจนว่าข้อจำกัดของถึงช่วงย่อยที่ไหนมีอำนาจสูงสุดซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับและนั่นเพิ่มขึ้นจากถึงเช่นเพิ่มขึ้นจากถึง.

ถ้าถ้าอย่างนั้นเราก็ทำเสร็จแล้ว สมมุติว่าและให้. พิจารณาชุดของคะแนนในดังนั้น.

ชัดเจน  ; นอกจากนี้ถ้าเป็นอีกจุดหนึ่งในแล้วจุดทั้งหมดระหว่างและยังเป็นของเพราะเป็นโมโนโทนิกที่เพิ่มขึ้น เพราะฉะนั้นเป็นช่วงไม่ว่าง ปิดท้ายด้านซ้ายด้วย.

ตอนนี้เป็นต่อเนื่องทางขวาที่จึงมีอยู่ดังนั้นเพื่อทุกสิ่งใน. ดังนั้นน้อยกว่าในช่วงเวลาเพื่อให้คะแนนทั้งหมดนี้เป็นของ.

ถัดไป,ถูกล้อมรอบด้วยและมีอำนาจสูงสุดใน: ให้เราเรียกมันว่า. เราเห็นจากข้างบนว่า. เราจะแสดงให้เห็นว่าเป็นจุดที่เรากำลังมองหาคือจุดที่บรรลุถึงอำนาจสูงสุดหรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง.

สมมติตรงกันข้าม กล่าวคือ. ปล่อยและพิจารณาสองกรณีต่อไปนี้:

  1. . เนื่องจากต่อเนื่องที่, มีอยู่ดังนั้นเพื่อทุกสิ่งใน. หมายความว่าน้อยกว่าในช่วงเวลา. แต่มันสืบเนื่องมาจากอำนาจสูงสุดของว่ามีจุดหนึ่งบอกว่าเป็นของซึ่งมากกว่า. โดยนิยามของ,. ปล่อย แล้วสำหรับทุกคนใน,. การเอาไปขั้นต่ำของและ, เรามีเพื่อทุกสิ่งใน.
    เพราะฉะนั้นดังนั้น. อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ขัดแย้งกับอำนาจสูงสุดของและกรอกหลักฐานให้ครบถ้วน
  2. . เนื่องจากเป็นต่อเนื่องทางซ้ายที่, มีอยู่ดังนั้นเพื่อทุกสิ่งใน. หมายความว่าน้อยกว่าในช่วงเวลา. แต่มันสืบเนื่องมาจากอำนาจสูงสุดของว่ามีจุดหนึ่งบอกว่าเป็นของซึ่งมากกว่า. โดยนิยามของ,. ปล่อย แล้วสำหรับทุกคนใน,. การเอาไปขั้นต่ำของและ, เรามีเพื่อทุกสิ่งใน. สิ่งนี้ขัดกับอำนาจสูงสุดของและกรอกหลักฐานให้ครบถ้วน

การขยายไปยังฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่อง

หากความต่อเนื่องของฟังก์ชันfถูกทำให้อ่อนลงเป็นกึ่งต่อเนื่องดังนั้นครึ่งหนึ่งของทฤษฎีบทขอบเขตที่สอดคล้องกันและทฤษฎีบทค่าสุดขั้วจะคงอยู่และค่า –∞ หรือ +∞ ตามลำดับ จากเส้นจำนวนจริงที่ขยายออกไปจะอนุญาตได้มากที่สุด ค่านิยม อย่างแม่นยำมากขึ้น:

ทฤษฎีบท:ถ้าฟังก์ชันf  : [ a , b ] → [–∞, ∞)เป็นแบบกึ่งต่อเนื่องบน หมายความว่า

สำหรับx ทั้งหมด ใน [ a , b ] จากนั้นfจะถูกจำกัดไว้ด้านบนและบรรลุจุดสูงสุด

พิสูจน์:ถ้าf ( x ) = –∞ สำหรับx ทั้งหมด ใน [ a , b ] ดังนั้นค่าสูงสุดจะเป็น –∞ และทฤษฎีบทก็เป็นจริง ในกรณีอื่นๆ ทั้งหมด หลักฐานเป็นการแก้ไขเล็กน้อยของหลักฐานที่ระบุข้างต้น ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทขอบเขต ความต่อเนื่องกึ่งบนของfที่xบอกเป็นนัยว่า ลิ มิตที่เหนือกว่าของลำดับต่อไป { f ( x n k )} ถูกล้อมรอบด้วยf ( x ) < ∞ แต่นั่นก็เพียงพอแล้ว ได้รับความขัดแย้ง ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทค่าสุดขั้ว ความต่อเนื่องกึ่งบนของf atdบอกเป็นนัยว่าลิมิตที่เหนือกว่าของลำดับต่อมา { f ( d n k )} ถูกล้อมรอบด้วยf ( d ) ด้านบน แต่นี่ก็เพียงพอแล้วที่จะสรุปว่า( d ) = M

การใช้ผลลัพธ์นี้กับ − fพิสูจน์ว่า:

ทฤษฎีบท:ถ้าฟังก์ชันf  : [ a , b ] → (–∞, ∞]เป็นกึ่งต่อเนื่องที่ต่ำกว่า หมายความว่า

สำหรับx ทั้งหมด ใน [ a , b ] จากนั้นfจะถูกจำกัดไว้ด้านล่างและบรรลุถึงระดับ สูงสุด

ฟังก์ชันค่าจริงจะอยู่ด้านบนและด้านล่างของฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่อง หากเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในความหมายปกติเท่านั้น ดังนั้นทั้งสองทฤษฎีบทนี้จึงบ่งบอกถึงทฤษฎีบทขอบเขตและทฤษฎีบทค่าสุดขั้ว

อ้างอิง

  1. ^ รัสน็อค พอล; เคอร์-ลอว์สัน, แองกัส (2005). "โบลซาโนและความต่อเนื่องสม่ำเสมอ" . ฮิสทอเรีย มาเท มาติกา . 32 (3): 303–311. ดอย : 10.1016/j.hm.2004.11.003 .
  2. อรรถเป็น รูดิน, วอลเตอร์ (1976) หลัก การ วิเคราะห์ ทาง คณิตศาสตร์ . นิวยอร์ก: McGraw Hill น. 89–90. ISBN 0-07-054235-X.
  3. คีสเลอร์, เอช. เจอโรม (1986). แคลคูลัสเบื้องต้น : แนวทางที่ไม่สิ้นสุด (PDF ) บอสตัน: Prindle, Weber & Schmidt หน้า 164. ISBN  0-87150-911-3.

อ่านเพิ่มเติม

ลิงค์ภายนอก