อวกาศยุคลิด

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา
จุดในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติสามารถหาได้จากสามพิกัด

พื้นที่แบบยุคลิดเป็นพื้นที่พื้นฐานของเรขาคณิตแบบคลาสสิในขั้นต้น มันเป็นพื้นที่สามมิติของเรขาคณิตแบบยุคลิดแต่ในคณิตศาสตร์ สมัยใหม่ มีการเว้นวรรคแบบยุคลิดของ มิติจำนวนเต็มไม่เป็นลบใดๆ[ 1]รวมถึงปริภูมิสามมิติและระนาบแบบยุคลิด (มิติที่สอง) มันถูกแนะนำโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณEuclid of Alexandria , [2]และตัวระบุEuclideanใช้เพื่อแยกความแตกต่างจากช่องว่างอื่น ๆ ที่ถูกค้นพบในภายหลังในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์สมัยใหม่.

geometers กรีกโบราณแนะนำพื้นที่แบบยุคลิดสำหรับการสร้างแบบจำลองจักรวาลทางกายภาพ นวัตกรรมที่ยอดเยี่ยมของพวกเขาคือการพิสูจน์คุณสมบัติทั้งหมดของอวกาศเป็นทฤษฎีบทโดยเริ่มจากคุณสมบัติพื้นฐานสองสามอย่างที่เรียกว่าสัจพจน์ซึ่งถือว่ามีความชัดเจน (เช่น มีเส้นตรงหนึ่งเส้น ที่ลาก ผ่านจุดสองจุด) หรือดูเหมือนเป็นไปไม่ได้ พิสูจน์ ( สมมุติฐานคู่ขนาน ).

ภายหลังการแนะนำ เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเมื่อปลายศตวรรษที่ 19 สมมุติฐานแบบเก่าถูกปรับรูปแบบใหม่เพื่อกำหนดช่องว่างแบบยุคลิดผ่านทฤษฎีสัจพจน์ คำจำกัดความอื่นของช่องว่างแบบยุคลิดโดยใช้ช่องว่างเวกเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้นแสดงให้เห็นว่าเทียบเท่ากับคำจำกัดความเชิงสัจพจน์ เป็นคำจำกัดความที่ใช้กันทั่วไปในวิชาคณิตศาสตร์สมัยใหม่และมีรายละเอียดในบทความนี้ [3]

ในคำจำกัดความทั้งหมด ช่องว่างแบบยุคลิดประกอบด้วยจุด ซึ่งถูกกำหนดโดยคุณสมบัติที่ต้องมีเพื่อสร้างช่องว่างแบบยุคลิดเท่านั้น

โดยพื้นฐานแล้วมีช่องว่างแบบยุคลิดเพียงแห่งเดียวในแต่ละมิติ นั่นคือ ช่องว่างแบบยุคลิดทั้งหมดของมิติที่กำหนดเป็นisomorphic ดังนั้นในหลายกรณี จึงเป็นไปได้ที่จะทำงานกับสเปซแบบยุคลิดที่เฉพาะเจาะจง ซึ่งโดยทั่วไปคือสเปซnจริง พร้อมกับผลิตภัณฑ์ดอisomorphism จากอวกาศแบบยุคลิดถึงเชื่อมโยงกับแต่ละจุดn -tupleของจำนวนจริงซึ่งระบุตำแหน่งจุดนั้นในอวกาศแบบยุคลิดและเรียกว่าพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดนั้น

คำจำกัดความ

ประวัติคำจำกัดความ

พื้นที่แบบยุคลิดได้รับการแนะนำโดยชาวกรีกโบราณว่าเป็นนามธรรมของพื้นที่ทางกายภาพของเรา นวัตกรรมที่ยอดเยี่ยมของพวกเขา ซึ่งปรากฏในEuclid's Elementsคือการสร้างและพิสูจน์เรขาคณิตทั้งหมดโดยเริ่มจากคุณสมบัติพื้นฐานสองสามอย่าง ซึ่งแยกออกมาจากโลกทางกายภาพ และไม่สามารถพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ได้เนื่องจากขาดเครื่องมือพื้นฐานเพิ่มเติม คุณสมบัติเหล่านี้เรียกว่าสมมุติฐานหรือสัจพจน์ในภาษาสมัยใหม่ วิธีการกำหนดพื้นที่แบบยุคลิดนี้ยังคงใช้อยู่ภายใต้ชื่อเรขาคณิต สังเคราะห์

ในปี ค.ศ. 1637 René Descartesได้แนะนำพิกัดคาร์ทีเซียนและแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ช่วยลดปัญหาทางเรขาคณิตในการคำนวณเกี่ยวกับพีชคณิตด้วยตัวเลข การลดลงของเรขาคณิตเป็นพีชคณิตเป็นการเปลี่ยนแปลงมุมมองที่สำคัญ จนกระทั่งถึงเวลานั้นจำนวนจริงถูกกำหนดในแง่ของความยาวและระยะทาง

เรขาคณิตแบบยุคลิดไม่ได้ใช้ในพื้นที่ที่มีขนาดเกินสามมิติจนถึงศตวรรษที่ 19 Ludwig Schläfliสรุปเรขาคณิตแบบยุคลิดให้เป็นช่องว่าง ขนาด nโดยใช้วิธีการสังเคราะห์และพีชคณิต และค้นพบโพลิโทปปกติทั้งหมด(แอนะล็อกที่มีมิติสูงกว่าของของแข็ง พลาโตนิก ) ที่มีอยู่ในปริภูมิแบบยุคลิดที่มีขนาดเท่าใดก็ได้ [4]

แม้จะมีการใช้แนวทางของ Descartes อย่างกว้างขวางซึ่งเรียกว่าเรขาคณิตวิเคราะห์คำจำกัดความของอวกาศแบบยุคลิดยังคงไม่เปลี่ยนแปลงจนถึงปลายศตวรรษที่ 19 การนำช่องว่างเวกเตอร์ นามธรรมมา ใช้ในการกำหนดช่องว่างแบบยุคลิดด้วยคำจำกัดความเกี่ยวกับพีชคณิตล้วนๆ คำจำกัดความใหม่นี้แสดงให้เห็นว่าเทียบเท่ากับคำจำกัดความแบบคลาสสิกในแง่ของสัจพจน์ทางเรขาคณิต นิยามพีชคณิตนี้ใช้บ่อยที่สุดในการแนะนำช่องว่างแบบยุคลิด

แรงจูงใจของคำจำกัดความสมัยใหม่

วิธีหนึ่งในการนึกถึงระนาบแบบยุคลิดคือชุดของจุดที่ตรงกับความสัมพันธ์บางอย่าง ซึ่งแสดงได้ในแง่ของระยะทางและมุม ตัวอย่างเช่น มีการดำเนินการพื้นฐานสองอย่าง (เรียกว่าการเคลื่อนที่ ) บนเครื่องบิน หนึ่งคือการแปลซึ่งหมายถึงการขยับของระนาบเพื่อให้ทุกจุดขยับไปในทิศทางเดียวกันและในระยะทางเท่ากัน อีกวิธีหนึ่งคือการหมุนรอบจุดคงที่ในระนาบ ซึ่งจุดทั้งหมดในระนาบจะหมุนรอบจุดคงที่นั้นด้วยมุมเดียวกัน หลักการพื้นฐานประการหนึ่งของเรขาคณิตแบบยุคลิดคือว่าตัวเลขสองร่าง (โดยปกติถือว่าเป็นส่วนย่อย ) ของระนาบควรได้รับการพิจารณาว่าเท่ากัน ( สอดคล้องกัน) หากสามารถเปลี่ยนเป็นอย่างอื่นได้ด้วยลำดับการแปล การหมุน และการสะท้อน บางส่วน (ดูด้านล่าง )

ในการที่จะทำให้ทุกอย่างแม่นยำทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีจะต้องกำหนดอย่างชัดเจนว่าอะไรคือปริภูมิแบบยุคลิด และแนวคิดที่เกี่ยวข้องของระยะทาง มุม การแปล และการหมุน แม้ว่าจะใช้ใน ทฤษฎี ฟิสิกส์ก็ตาม ช่องว่างแบบยุคลิดเป็นนามธรรม ที่ แยกออกจากตำแหน่งจริงกรอบอ้างอิง เฉพาะ เครื่องมือวัด และอื่นๆ คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์อย่างหมดจดของอวกาศแบบยุคลิดยังละเว้นคำถามเกี่ยวกับหน่วยของความยาวและมิติทางกายภาพ อื่นๆ ด้วย: ระยะทางในปริภูมิ "ทางคณิตศาสตร์" เป็นตัวเลขไม่ใช่สิ่งที่แสดงเป็นนิ้วหรือเมตร

วิธีมาตรฐานในการกำหนดปริภูมิแบบยุคลิดทางคณิตศาสตร์ ดังที่ดำเนินการในส่วนที่เหลือของบทความนี้ คือการกำหนดปริภูมิแบบยุคลิดเป็นชุดของจุดที่ทำหน้าที่เป็นปริภูมิเวกเตอร์จริง พื้นที่ ของการแปลที่ติดตั้งผลิตภัณฑ์ภายใน . [1]การกระทำของการแปลทำให้ช่องว่างเป็นช่องว่าง ที่สัมพันธ์ กัน และสิ่งนี้ทำให้สามารถกำหนดเส้น ระนาบ ช่องว่างย่อย มิติ และความขนานได้ ผลิตภัณฑ์ภายในช่วยให้สามารถกำหนดระยะทางและมุมได้

ชุดของn -tuples ของจำนวนจริงที่ติดตั้งดอท โปรดัคคือสเป ซของมิติแบบยุคลิดn ในทางกลับกัน การเลือกจุดที่เรียกว่าจุดกำเนิดและพื้นฐานของพื้นที่การแปลนั้นเทียบเท่ากับการกำหนดisomorphismระหว่างปริภูมิแบบยุคลิดของมิติnและถูกมองว่าเป็นพื้นที่แบบยุคลิด

ตามด้วยทุกสิ่งที่พูดได้เกี่ยวกับอวกาศแบบยุคลิดก็สามารถพูดได้เช่นกันดังนั้นผู้เขียนหลายคนโดยเฉพาะระดับประถมศึกษาเรียกสเปซแบบ ยุคลิดมาตรฐานของมิติn , [5]หรือแค่ สเปซ ของมิติแบบยุคลิดธรรมดา n

เหตุผลในการแนะนำคำจำกัดความที่เป็นนามธรรมของช่องว่างแบบยุคลิดและสำหรับการทำงานกับมันแทน คือมักจะดีกว่าที่จะทำงานในลักษณะที่ปราศจากการประสานงานและ ปราศจาก แหล่งกำเนิด (นั่นคือโดยไม่เลือกพื้นฐานที่ต้องการและแหล่งกำเนิดที่ต้องการ) อีกเหตุผลหนึ่งก็คือไม่มีที่มาหรือพื้นฐานใด ๆ ในโลกทางกายภาพ

คำจำกัดความทางเทคนิค

อาสเป ซเวกเตอร์แบบยุคลิด คือสเปซ ภายในแบบมีมิติเหนือจำนวน จริง

สเปซ แบบยุคลิดเป็นสเป ซที่สัมพันธ์ กับจำนวนจริง โดยที่สเปซ เวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกันคือสเปซเวกเตอร์แบบยุคลิด ช่องว่างแบบยุคลิดบางครั้งเรียกว่า ช่องว่างแบบยู คลิดเพื่อแยกความแตกต่างจากช่องว่างเวกเตอร์แบบยุคลิด [6]

ถ้าEเป็นสเปซแบบยุคลิด สเปซเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องมักแสดงแทนขนาดของสเปซแบบยุคลิดคือมิติของสเปซเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกัน

องค์ประกอบของEเรียกว่าpointและมักแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ องค์ประกอบของเรียกว่าเวกเตอร์แบบยุคลิดหรือ เวก เตอร์อิสระ พวกเขายังถูกเรียกว่าการแปลแม้ว่าการพูดอย่างถูกต้อง การแปลคือการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิต ที่ เกิดจากการกระทำของเวกเตอร์แบบยุคลิดบนอวกาศแบบยุคลิด

การกระทำของการแปลvบนจุดPให้จุดที่แสดงว่าP + v การกระทำนี้น่าพอใจ

( เครื่องหมาย + ตัวที่สอง ทางด้านซ้ายเป็นการบวกเวกเตอร์ ส่วนอื่นๆ ทั้งหมด+หมายถึงการกระทำของเวกเตอร์บนจุดหนึ่ง สัญกรณ์นี้ไม่คลุมเครือ เนื่องจากสำหรับการแยกความแตกต่างระหว่างสองความหมายของ+ก็เพียงพอที่จะดู ลักษณะของอาร์กิวเมนต์ด้านซ้าย)

ความจริงที่ว่าการกระทำนั้นเป็นอิสระและสกรรมกริยาหมายความว่าสำหรับทุกคู่ของจุด( P , Q )มีเวกเตอร์v หนึ่งตัว เท่านั้นโดยที่P + v = Q เวกเตอร์vนี้แสดงแทนQPหรือ

ตามที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้ คุณสมบัติพื้นฐานบางประการของช่องว่างแบบยุคลิดเป็นผลมาจากโครงสร้างของพื้นที่ติด มีการอธิบายไว้ใน§ โครงสร้าง Affineและส่วนย่อย คุณสมบัติที่เกิดจากผลิตภัณฑ์ภายในมีอธิบายไว้ใน§ โครงสร้างเมตริกและส่วนย่อย

ตัวอย่างต้นแบบ

สำหรับสเปซเวคเตอร์ใดๆ การบวกจะทำหน้าที่อย่างอิสระและถ่ายทอดบนสเปซเวคเตอร์นั้นเอง ดังนั้นพื้นที่เวกเตอร์แบบยุคลิดจึงสามารถมองได้ว่าเป็นสเปซแบบยุคลิดที่มีตัวมันเองเป็นสเปซเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกัน

กรณีทั่วไปของสเปซเวกเตอร์แบบยุคลิดคือถูกมองว่าเป็นสเปซเวคเตอร์ที่ติดตั้งdot productเป็นผลิตภัณฑ์ภายใน ความสำคัญของตัวอย่างเฉพาะของสเปซแบบยุคลิดนี้อยู่ในความจริงที่ว่าทุกสเปซแบบยุคลิดนั้นมีความเหมือนสัณฐาน แม่นยำยิ่งขึ้นเมื่อพิจารณาจากปริภูมิแบบยุคลิดEของมิติnการเลือกจุดที่เรียกว่าจุดกำเนิดและพื้นฐานออ ร์ โธนอร์มอลของกำหนด isomorphism ของช่องว่างแบบยุคลิดจากEถึง

เนื่องจากสเปซแบบยุคลิดทุกแห่งของมิติnนั้นมีไอโซมอร์ฟิคสำหรับมัน สเปซแบบยุคลิดบางครั้งเรียกว่าสเป ซ มาตรฐานแบบยุคลิดของมิติn [5]

โครงสร้างสัมพันธ์

คุณสมบัติพื้นฐานบางประการของสเปซแบบยุคลิดขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิแบบยุคลิดเป็น เปซที่สัมพันธ์ กัน สิ่งเหล่านี้เรียกว่าคุณสมบัติ affineและรวมถึงแนวคิดของเส้น สเปซย่อย และความขนาน ซึ่งมีรายละเอียดอยู่ในส่วนย่อยถัดไป

ซับสเปซ

ให้Eเป็นอวกาศแบบยุคลิดและพื้นที่เวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง

แบน , ซับ เปซแบบยุคลิดหรือซับสเปซสัมพันธ์ของEเป็นเซตย่อยFของEเช่นนั้น

เป็นสเปซย่อยเชิงเส้นของซับสเปซแบบยุคลิดFคือสเปซแบบยุคลิดที่มีเป็นสเปซเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง ซับสเปซเชิงเส้นนี้เรียกว่า ทิศทางของF

ถ้าPเป็นจุดFแล้ว

ในทางกลับกัน ถ้าPเป็นจุดของEและVเป็นสเปซย่อยเชิงเส้นของแล้ว

เป็นสเปซย่อยแบบยุคลิดของทิศทาง V

ปริภูมิแบบยุคลิด (นั่นคือ ปริภูมิแบบยุคลิดเช่นนั้น) มีพื้นที่ย่อยสองประเภท: ซับสเปซแบบยุคลิดและซับสเปซเชิงเส้น ซับสเปซเชิงเส้นคือสเปซย่อยแบบยุคลิด และซับสเปซแบบยุคลิดเป็นสเปซย่อยเชิงเส้นก็ต่อเมื่อมีเวกเตอร์เป็นศูนย์

เส้นและส่วนต่างๆ

ใน สเปซแบบยุคลิด เส้นคือสเปซย่อยแบบยุคลิดของมิติหนึ่ง เนื่องจากเวกเตอร์สเปซของมิติหนึ่งถูกสแปนโดยเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ เส้นจึงเป็นเซตของรูปแบบ

โดยที่PและQเป็นสองจุดที่แตกต่างกัน

ตามมาว่ามีเส้นหนึ่งเส้นที่ผ่าน (ประกอบด้วย) จุดที่แตกต่างกันสองจุด นี่หมายความว่าเส้นแบ่งสองเส้นตัดกันที่จุดเดียวมากที่สุด

การแสดงสมมาตรมากขึ้นของเส้นที่ผ่านPและQ is

โดยที่Oเป็นจุดใดก็ได้ (ไม่จำเป็นบนเส้น)

ในปริภูมิเวกเตอร์แบบยุคลิด ปกติแล้วเวกเตอร์ศูนย์จะถูกเลือกสำหรับO ; ทำให้สูตรก่อนหน้านี้ง่ายขึ้นเป็น

แบบแผนมาตรฐานอนุญาตให้ใช้สูตรนี้ในทุกสเปซแบบยุคลิด ดู ที่ ส เปซ ที่สัมพันธ์กัน § การรวมความสัมพันธ์และ barycenter

ส่วนของเส้นตรงหรือเพียงแค่ เซ กเมนต์ ที่เชื่อมจุดPและQเป็นเซตย่อยของจุดนั้น0 ≤ 𝜆 ≤ 1ในสูตรก่อนหน้านี้ มันแสดงว่าPQหรือQP ; นั่นคือ

ความเท่าเทียม

สเปซย่อย SและTสองสเปซที่มีมิติเท่ากันในสเปซแบบยุคลิดขนานกันหากมีทิศทางเดียวกัน [a] ในทำนองเดียวกัน พวกมันขนานกัน หากมีเวกเตอร์ การแปล v ที่แมปหนึ่งกับอีก:

กำหนดจุดPและสเปซย่อยSมีหนึ่งซับสเปซที่มีPและขนานกับSซึ่งก็คือในกรณีที่Sเป็นเส้นตรง (ซับสเปซของมิติที่หนึ่ง) คุณสมบัตินี้เป็น สัจพจน์ ของ Playfair

มันตามมาว่าในระนาบแบบยุคลิดจะมีเส้นสองเส้นมาบรรจบกันที่จุดเดียวหรือขนานกัน

แนวคิดของสเปซย่อยคู่ขนานได้รับการขยายไปยังสเปซย่อยที่มีมิติต่างกัน: สเปซย่อยสองอันจะขนานกัน ถ้าทิศทางของหนึ่งในนั้นอยู่ในทิศทางไปยังอีกอันหนึ่ง

โครงสร้างเมตริก

เวกเตอร์สเปซที่เกี่ยวข้องกับช่องว่างแบบยุคลิดEเป็นพื้นที่ผลิตภัณฑ์ภายใน นี่แสดงถึงรูปแบบสองเส้นสมมาตร

ที่เป็นบวกแน่นอน (นั่นคือเป็นบวกเสมอสำหรับx ≠ 0 )

ผลคูณภายในของสเปซแบบยุคลิดมักเรียกว่าผลิตภัณฑ์ดอทและเขียนแทนด้วยxy นี่เป็นกรณีพิเศษเมื่อ มีการเลือก ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเนื่องจากในกรณีนี้ ผลคูณภายในของเวกเตอร์สองตัวคือผลคูณดอท ของ เวกเตอร์พิกัดของพวกมัน ด้วยเหตุผลนี้ และด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์ จึงมีการใช้เครื่องหมายจุดมากกว่าเครื่องหมายวงเล็บสำหรับผลคูณภายในของช่องว่างแบบยุคลิด บทความนี้จะติดตามการใช้งานนี้ นั่นคือจะแสดงเป็นxyในส่วนที่เหลือของบทความนี้

บรรทัดฐานแบบ ยุคลิดของเวกเตอร์xคือ

ผลิตภัณฑ์ชั้นในและบรรทัดฐานช่วยให้สามารถแสดงและพิสูจน์ คุณสมบัติทาง เมตริกและทอพอโลยีทั้งหมดของเรขาคณิตแบบยุคลิดได้ [ ต้องการอ้างอิง ]หัวข้อย่อยถัดไปจะอธิบายส่วนพื้นฐานที่สุด ในส่วนย่อยเหล่านี้ E หมายถึงช่องว่างแบบยุคลิดตามอำเภอใจและหมายถึงพื้นที่เวกเตอร์ของการแปล

ระยะทางและความยาว

ระยะทาง ( ที่แม่นยำกว่าระยะทางแบบยุคลิด ) ระหว่างจุดสองจุดของอวกาศแบบยุคลิดเป็นบรรทัดฐานของเวกเตอร์การแปลที่แมปจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง นั่นคือ

ความยาวของเซ็กเมนต์PQคือระยะทางd ( P , Q )ระหว่างจุดปลายของมัน มักใช้แทน.

ระยะทางเป็นหน่วยเมตริกเนื่องจากเป็นค่าบวกแน่นอน สมมาตร และสอดคล้องกับอสมการสามเหลี่ยม

นอกจากนี้ ความเท่าเทียมกันเป็นจริงก็ต่อเมื่อRอยู่ในเซ็กเมนต์PQ ความไม่เท่าเทียมกันนี้หมายความว่าความยาวของขอบใดๆ ของสามเหลี่ยมนั้นเล็กกว่าผลรวมของความยาวของขอบอีกด้าน นี่คือที่มาของคำว่าอสมการสามเหลี่ยม

ด้วยระยะห่างแบบยุคลิด ทุกพื้นที่แบบยุคลิดจึงเป็นพื้นที่เมตริก ที่ สมบูรณ์

การวางแนว

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวuและvของตั้งฉากหรือฉากฉากถ้าผลิตภัณฑ์ภายในเป็นศูนย์:

สองซับสเปซเชิงเส้นของเป็นมุมฉากถ้าเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของอันแรกตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของอันที่สอง นี่หมายความว่าจุดตัดของสเปซย่อยเชิงเส้นจะลดลงเป็นเวกเตอร์ศูนย์

สองบรรทัด และโดยทั่วไปมากกว่านั้น ช่องว่างย่อยแบบยุคลิดสองบรรทัดจะเป็นมุมฉากถ้าทิศทางของพวกมันเป็นมุมฉาก เส้นมุมฉากสองเส้นที่ตัดกันเรียกว่าตั้ง ฉาก

สองส่วนABและACที่มีจุดปลายร่วมกันจะตั้งฉากหรือสร้างมุมฉากถ้าเวกเตอร์และเป็นมุมฉาก

ถ้าABและACสร้างมุมฉาก จะได้

นี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส การพิสูจน์นั้นง่ายในบริบทนี้ เช่นเดียวกับการแสดงสิ่งนี้ในแง่ของผลิตภัณฑ์ภายใน โดยใช้ความสมมาตรและความสมมาตรของผลิตภัณฑ์ภายใน:

มุม

มุมบวกและลบบนระนาบเชิง

มุม (ไม่เชิง) θระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวxและy inเป็น

โดยที่arccosเป็นค่าหลักของฟังก์ชันอาร์ ค โคไซน์ โดยอสมการ Cauchy–Schwarzอาร์กิวเมนต์ของอาร์คโคไซน์อยู่ในช่วง[-1, 1 ] ดังนั้นθ จึง เป็นของจริง และ0 ≤ θπ (หรือ0 ≤ θ ≤ 180หากวัดมุมเป็นองศา)

มุมไม่มีประโยชน์ในเส้นแบบยุคลิด เนื่องจากสามารถมีค่าได้เพียง 0 หรือπเท่านั้น

ในระนาบแนว ยุคลิด เรากำหนด มุมเชิงมุมของเวกเตอร์สองตัวได้ มุมเฉียงของเวกเตอร์สองตัวxและyจะอยู่ตรงข้ามกับมุมเฉียงของyและx ในกรณีนี้ มุมของเวกเตอร์สองตัวสามารถมีค่ามอดูโลตัวคูณจำนวนเต็มของ2 πได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมุมสะท้อน π < θ < 2 πเท่ากับมุมลบπ < θ − 2 π < 0 .

มุมของเวกเตอร์สองตัวจะไม่เปลี่ยนแปลงหากคูณด้วยจำนวนบวก อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น ถ้าxและyเป็นเวกเตอร์สองตัว และλและμเป็นจำนวนจริง ดังนั้น

ถ้าA , BและCเป็นสามจุดในปริภูมิแบบยุคลิด มุมของเซกเมนต์ABและACคือมุมของเวกเตอร์และเนื่องจากการคูณเวกเตอร์ด้วยจำนวนบวกไม่เปลี่ยนมุม มุมของเส้นครึ่งเส้นสองเส้นที่มีจุดเริ่มต้นAสามารถกำหนดได้: มันคือมุมของเซกเมน ต์ ABและACโดยที่BและCเป็นจุดใดจุดหนึ่ง แต่ละครึ่งบรรทัด แม้ว่าจะใช้น้อยกว่านี้ แต่ก็สามารถกำหนดมุมของเซ็กเมนต์หรือครึ่งเส้นที่ไม่ใช้จุดเริ่มต้นร่วมกันได้เช่นเดียวกัน

มุมของเส้นสองเส้นถูกกำหนดดังนี้ ถ้าθเป็นมุมของสองส่วน หนึ่งส่วนในแต่ละเส้น มุมของอีกสองส่วน ส่วนใดส่วนหนึ่งในแต่ละเส้น จะเป็นθหรือπθ . หนึ่งในมุมเหล่านี้อยู่ในช่วง [0, π /2]และอีกมุมหนึ่งอยู่ใน[ π /2, π ] . มุมที่ไม่อยู่ในแนวของเส้นสองเส้นคือมุมหนึ่งในช่วง[0, π /2 ] ในระนาบแบบยูคลิดเชิงมุม มุมเฉียงของเส้นสองเส้นเป็นของช่วง[− π /2, π/2] .

พิกัดคาร์ทีเซียน

ช่องว่างเวกเตอร์แบบยุคลิดทุกอันมีพื้นฐาน แบบออร์โธนอร์มั ล (อันที่จริง มีหลายมิติที่สูงกว่าหนึ่งอย่างอนันต์ และสองในมิติหนึ่ง) นั่นคือฐาน ของเวกเตอร์หน่วย () ที่เป็นคู่มุมฉาก (สำหรับฉันj ) แม่นยำยิ่งขึ้นโดยให้พื้นฐาน ใด ๆ กระบวนการGram–Schmidtคำนวณพื้นฐาน orthonormal ว่า สำหรับทุก ๆiช่วงเชิงเส้นของและมีค่าเท่ากัน [7]

กำหนดพื้นที่ Euclidean E เฟรมคาร์ทีเซียนคือชุดของข้อมูลที่ประกอบด้วยพื้นฐานออร์โธนอร์มอลของและจุดEเรียกว่าจุดกำเนิดและมักใช้แทนO กรอบคาร์ทีเซียนอนุญาตให้กำหนดพิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับทั้งEและ ด้วยวิธีต่อไปนี้

พิกัดคาร์ทีเซียนของเวกเตอร์vคือสัมประสิทธิ์ของvบนฐานเนื่องจากพื้นฐานเป็นแบบออร์โธนอร์มัลสัมประสิทธิ์ ที่ i คือผลคูณดอท

พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดPของEคือพิกัดคาร์ทีเซียนของเวกเตอร์

พิกัดอื่นๆ

พิกัดเอียงสามมิติ

เนื่องจากสเปซแบบยุคลิดเป็น เป ซที่สัมพันธ์กัน เราสามารถพิจารณาเฟรม แอ ฟฟินบนนั้น ซึ่งเหมือนกับเฟรมแบบยุคลิด ยกเว้นว่า พื้นฐานไม่จำเป็นต้องเป็นแบบออร์โธปกติ สิ่งนี้กำหนดพิกัด ความคล้ายคลึง ซึ่งบางครั้งเรียกว่าพิกัดเบ้เพื่อเน้นว่าเวกเตอร์พื้นฐานไม่ใช่มุมฉากคู่

พื้นฐานความ สัมพันธ์ ของสเปซแบบยุคลิดของมิติnคือเซตของ จุด n + 1ที่ไม่มีอยู่ในไฮเปอร์เพลน พื้นฐานความสัมพันธ์กำหนดพิกัด barycentricสำหรับทุกจุด

ระบบพิกัดอื่น ๆ มากมายสามารถกำหนดได้บนช่องว่าง Euclidean Eของมิติnด้วยวิธีต่อไปนี้ ให้fเป็นhomeomorphism (หรือบ่อยกว่านั้นdiffeomorphism ) จากเซตย่อยเปิดหนาแน่น ของEไปจนถึงเซตย่อยเปิดของพิกัดของจุดx ของ E เป็นส่วนประกอบของf ( x ) ระบบพิกัดเชิงขั้ว (มิติ 2) และ ระบบพิกัด ทรงกลมและทรงกระบอก (มิติ 3) ถูกกำหนดด้วยวิธีนี้

สำหรับจุดที่อยู่นอกโดเมนของfบางครั้งพิกัดอาจถูกกำหนดให้เป็นขีดจำกัดของพิกัดของจุดที่อยู่ใกล้เคียง แต่พิกัดเหล่านี้อาจไม่ได้กำหนดไว้อย่างเฉพาะเจาะจง และอาจไม่ต่อเนื่องในบริเวณใกล้เคียงของจุดนั้น ตัวอย่างเช่น สำหรับระบบพิกัดทรงกลม ไม่มีการกำหนดลองจิจูดที่ขั้ว และบน แอน ติเมอริเดียนลองจิจูดจะผ่านอย่างไม่ต่อเนื่องตั้งแต่ –180° ถึง +180°

วิธีการกำหนดพิกัดนี้ขยายได้อย่างง่ายดายไปยังโครงสร้างทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับ manifolds

ไอโซเมทรี

มีมิติเท่ากันระหว่างช่องว่างเมตริก สองช่อง คือ bijection ที่รักษาระยะห่าง[b]นั่นคือ

ในกรณีของเวคเตอร์แบบยุคลิด ภาพสามมิติที่จับคู่จุดกำเนิดกับจุดกำเนิดจะรักษาบรรทัดฐาน

เนื่องจากบรรทัดฐานของเวกเตอร์คือระยะห่างจากเวกเตอร์ศูนย์ ยังถนอมผลิตภัณฑ์ภายในอีกด้วย
เนื่องจาก

ภาพสามมิติของเวคเตอร์แบบยุคลิดคือไอ โซมอร์ฟิซึม เชิงเส้น [ค] [8]

มีมิติเท่ากันของช่องว่างแบบยุคลิดกำหนดมิติเท่ากันของช่องว่างเวกเตอร์แบบยุคลิดที่เกี่ยวข้อง นี่หมายความว่าช่องว่างแบบยุคลิดที่มีมิติเท่ากันสองช่องมีมิติเท่ากัน ในทางกลับกัน ถ้าEและFเป็นช่องว่างแบบยุคลิดOE , O Fและเป็นภาพสามมิติ แล้วแผนที่ที่กำหนดโดย

เป็นภาพสามมิติของช่องว่างแบบยุคลิด

จากผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ที่ภาพสามมิติของช่องว่างแบบยุคลิดจับคู่เส้นกับเส้น และโดยทั่วไปแล้วพื้นที่ย่อยแบบยุคลิดกับพื้นที่ย่อยแบบยุคลิดที่มีมิติเดียวกัน และข้อจำกัดของภาพสามมิติบนพื้นที่ย่อยเหล่านี้เป็นภาพสามมิติของพื้นที่ย่อยเหล่านี้

ภาพสามมิติที่มีตัวอย่างต้นแบบ

ถ้าEเป็นสเปซแบบยุคลิด สเปซเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องของมันคือถือได้ว่าเป็นพื้นที่แบบยุคลิด ทุกจุดOEกำหนด isometry ของช่องว่างแบบยุคลิด

ซึ่งแมปOกับเวกเตอร์ศูนย์และมีเอกลักษณ์เป็นแผนที่เชิงเส้นที่เกี่ยวข้อง มีมิติเท่ากันผกผันคือแผนที่

กรอบแบบยุคลิดอนุญาตให้กำหนดแผนที่

ซึ่งเป็นภาพสามมิติของช่องว่างแบบยุคลิด มีมิติเท่ากันผกผันคือ

ซึ่งหมายความว่า จนถึง isomorphism มีช่องว่างแบบยุคลิดหนึ่งช่องของมิติที่กำหนด

นี่เป็นเหตุผลที่ผู้แต่งหลายคนพูดถึงเป็น สเปซแบบ ยุคลิดของมิติn .

กลุ่มยุคลิด

ภาพสามมิติจากอวกาศแบบยุคลิดมาสู่ตัวมันเองเรียกว่าไอโซเมทรีแบบยุคลิด การแปลงแบบยุคลิดหรือ การแปลง แบบเข้มงวด การเปลี่ยนแปลงที่เข้มงวดของสเปซแบบยุคลิดก่อให้เกิดกลุ่ม (ภายใต้องค์ประกอบ ) ที่เรียกว่ากลุ่มแบบยุคลิดและมักแสดงE( n )ของISO ( n )

การแปลงแบบยุคลิดที่ง่ายที่สุดคือการแปล

พวกเขาอยู่ในการติดต่อแบบสองนัยกับเวกเตอร์ นี่คือเหตุผลสำหรับการเรียกช่องว่างของการแปลว่าช่องว่างเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับช่องว่างแบบยุคลิด การแปลเป็นกลุ่มย่อยปกติของกลุ่มแบบยุคลิด

มีมิติเท่า กันแบบยุคลิด fของสเปซแบบยุคลิดEกำหนด isometry เชิงเส้นของสเปซเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง (โดยisometry เชิงเส้นมันหมายถึง isometry ที่เป็นแผนที่เชิงเส้น ด้วย ) ในลักษณะต่อไปนี้: แสดงโดยQPเวกเตอร์, ถ้าOเป็นจุดใด ๆ ของEหนึ่งมี

เป็นการตรงไปตรงมาที่จะพิสูจน์ว่านี่คือแผนที่เชิงเส้นที่ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกO

แผนที่เป็นกลุ่ม homomorphismจากกลุ่ม Euclidean สู่กลุ่มของ linear isometries เรียกว่าorthogonal group แก่นของ homomorphism นี้คือกลุ่มการแปล ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเป็นกลุ่มย่อยปกติของกลุ่ม Euclidean

ไอโซเมทรีที่ตรึงจุดP ที่กำหนด ก่อให้เกิดกลุ่มย่อยสารทำให้คงตัว ของหมู่ แบบยุคลิดเทียบกับP ข้อจำกัดของโคลงนี้ของ homomorphism กลุ่มข้างต้นคือ isomorphism ดังนั้นไอโซเมทรีที่ตรึงจุดที่กำหนดจะสร้างกลุ่มที่มีมิติเท่ากันกับกลุ่มมุมฉาก

ให้Pเป็นจุด, fเป็น isometry, และtการแปลที่จับคู่Pถึงf ( P ) มีมิติเท่ากันแก้ . ดังนั้นและกลุ่มแบบยุคลิดเป็นผลิตภัณฑ์กึ่งทางตรงของกลุ่มการแปลและกลุ่มมุมฉาก

กลุ่มมุมฉากพิเศษเป็นกลุ่มย่อยปกติของกลุ่มมุมฉากที่คงความถนัดมือ เป็นกลุ่มย่อยของดัชนีที่สองของกลุ่มมุมฉาก ภาพผกผันโดยกลุ่ม homomorphismเป็นกลุ่มย่อยปกติของดัชนีที่สองของกลุ่ม Euclidean ซึ่งเรียกว่ากลุ่ม Euclidean พิเศษหรือ กลุ่ม การกระจัด องค์ประกอบของมันถูกเรียกว่าการเคลื่อนที่แบบแข็งหรือการกระจัด .

การเคลื่อนไหวที่แข็งกระด้างรวมถึงเอกลักษณ์การแปลการหมุน (การเคลื่อนไหวที่เข้มงวดซึ่งแก้ไขอย่างน้อยหนึ่งจุด) และการเคลื่อนที่ของสกรูด้วย

ตัวอย่างทั่วไปของการเปลี่ยนแปลงที่เข้มงวดซึ่งไม่ใช่การเคลื่อนไหวที่เข้มงวดคือการสะท้อนซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงที่เข้มงวดซึ่งแก้ไขไฮเปอร์เพลนและไม่ใช่ตัวตน พวกเขายังเป็นการแปลงที่ประกอบด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมายของพิกัดหนึ่งบนเฟรมแบบยุคลิดบางส่วน

เนื่องจากกลุ่มแบบยุคลิดพิเศษเป็นกลุ่มย่อยของดัชนีที่สองของกลุ่มแบบยุคลิด โดยให้การสะท้อนกลับrการเปลี่ยนแปลงที่เข้มงวดทุกประการที่ไม่ใช่การเคลื่อนที่แบบแข็งเกร็งเป็นผลคูณของrและการเคลื่อนที่แบบเข้มงวด การสะท้อนของการร่อนเป็นตัวอย่างของการเปลี่ยนแปลงที่เข้มงวดซึ่งไม่ใช่การเคลื่อนไหวที่แข็งกระด้างหรือการสะท้อนกลับ

กลุ่มทั้งหมดที่ได้รับการพิจารณาในส่วนนี้เป็นกลุ่ม โกหกและ กลุ่ม เกี่ยวกับพีชคณิต

โทโพโลยี

ระยะทางแบบยุคลิดทำให้ปริภูมิแบบยุคลิดเป็นปริภูมิเมตริกจึงเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี โทโพโลยีนี้เรียกว่า โทโพโลยี แบบยุคลิด ในกรณีของโทโพโลยีนี้ยังเป็นโทโพโลยีผลิตภัณฑ์อีกด้วย

ชุดเปิดคือชุดย่อยที่มีลูกบอลเปิดอยู่รอบๆ แต่ละจุด กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลูกบอลเปิดเป็นฐานของโทโพโลยี

มิติทอพอ โลยีของสเปซแบบยุคลิดเท่ากับมิติของมัน นี่หมายความว่าช่องว่างแบบยุคลิดที่มีมิติต่างกันไม่ใช่แบบโฮโมมอร์ฟินอกจากนี้ ทฤษฎีบทของค่าคงที่ของโดเมนยืนยันว่าเซตย่อยของสเปซแบบยุคลิดเปิดอยู่ (สำหรับโทโพโลยีซับสเปซ ) ต่อเมื่อมันเป็นโฮโมมอร์ฟิคกับเซตย่อยเปิดของสเปซแบบยุคลิดที่มีมิติเดียวกัน

พื้นที่แบบยุคลิดนั้นสมบูรณ์และ มี ขนาดกะทัดรัด กล่าวคือ เซตย่อยแบบปิดของสเปซแบบยุคลิดจะมีขนาดกระทัดรัดหากมีขอบเขต (นั่นคือ บรรจุอยู่ในลูกบอล) โดยเฉพาะลูกปิดมีขนาดกะทัดรัด

คำจำกัดความเชิงสัจพจน์

คำจำกัดความของช่องว่างแบบยุคลิดที่ได้อธิบายไว้ในบทความนี้แตกต่างไปจากพื้นฐานของยุคลิด ในความเป็นจริง Euclid ไม่ได้กำหนดช่องว่างอย่างเป็นทางการเพราะคิดว่าเป็นคำอธิบายของโลกทางกายภาพที่มีอยู่อย่างอิสระจากจิตใจของมนุษย์ ความต้องการคำจำกัดความที่เป็นทางการปรากฏขึ้นเมื่อปลายศตวรรษที่ 19 เท่านั้น โดยมีการนำรูปทรงที่ไม่ใช่แบบยุคลิดมาใช้

มีการใช้วิธีการที่แตกต่างกันสองวิธี เฟลิกซ์ ไคลน์แนะนำให้กำหนดรูปทรงผ่านความสมมาตร การนำเสนอช่องว่างแบบยุคลิดในบทความนี้มาจากโปรแกรม Erlangen ของเขา โดยเน้นที่กลุ่มของการแปลและไอโซเมทรี

ในทางกลับกันDavid Hilbertเสนอชุดสัจพจน์ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจาก สัจพจน์ ของEuclid พวกมันอยู่ในเรขาคณิตสังเคราะห์เนื่องจากไม่มีคำจำกัดความของจำนวนจริง ใด ๆ ต่อมาGD BirkhoffและAlfred Tarskiได้เสนอชุดสัจพจน์ที่ง่ายกว่า ซึ่งใช้ตัวเลขจริง (ดูสัจพจน์ของ Birkhoffและ สัจพจน์ ของ Tarski )

ในเรขาคณิตพีชคณิต Emil Artinได้พิสูจน์ว่าคำจำกัดความทั้งหมดของอวกาศแบบยุคลิดนั้นเทียบเท่ากัน [9]ค่อนข้างง่ายที่จะพิสูจน์ว่าคำจำกัดความทั้งหมดของช่องว่างแบบยุคลิดเป็นไปตามสัจพจน์ของฮิลเบิร์ต และคำที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริง (รวมถึงคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้น) นั้นเทียบเท่ากัน ส่วนที่ยากของการพิสูจน์ของ Artin มีดังต่อไปนี้ ในสัจพจน์ของฮิลเบิร์ตความสอดคล้องคือ ความสัมพันธ์ที่ เท่าเทียมกันในส่วนต่างๆ จึงสามารถกำหนดความยาวของเซ็กเมนต์เป็นคลาสสมมูลได้ จึงต้องพิสูจน์ว่าความยาวนี้เป็นไปตามคุณสมบัติที่กำหนดลักษณะเฉพาะของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ Artin พิสูจน์สิ่งนี้ด้วยสัจพจน์ที่เทียบเท่ากับสัจพจน์ของฮิลเบิร์ต

การใช้งาน

ตั้งแต่กรีกโบราณพื้นที่แบบยุคลิดถูกใช้สำหรับการสร้างแบบจำลองรูปร่างในโลกทางกายภาพ ดังนั้นจึงใช้ในหลายศาสตร์เช่นฟิสิกส์กลศาสตร์และดาราศาสตร์ นอกจากนี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านเทคนิคทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับรูปร่าง รูปร่าง ตำแหน่งและตำแหน่ง เช่นสถาปัตยกรรมมาตรลักษณะภูมิประเทศการนำทางการออกแบบอุตสาหกรรมหรือการวาดภาพทางเทคนิค

พื้นที่ของมิติที่สูงกว่าสามเกิดขึ้นในทฤษฎีฟิสิกส์สมัยใหม่หลายประการ ดูมิติที่สูงขึ้น พวกเขาเกิดขึ้นยังในพื้นที่การกำหนดค่าของ ระบบ ทาง กายภาพ

นอกจากเรขาคณิตแบบยุคลิดแล้ว ช่องว่างแบบยุคลิดยังใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ด้วย ปริภูมิแทนเจนต์ของท่อร่วมที่แตกต่างกันคือปริภูมิเวกเตอร์แบบยุคลิด โดยทั่วไปแล้วท่อร่วมคือช่องว่างที่ใกล้เคียงกับช่องว่างแบบยุคลิด รูปทรงที่ไม่ใช่แบบยุคลิดส่วนใหญ่สามารถสร้างแบบจำลองโดยท่อร่วมไอดี และฝังอยู่ในพื้นที่แบบยุคลิดที่มีมิติสูงกว่า ตัวอย่างเช่นพื้นที่วงรีสามารถสร้างแบบจำลองโดยทรงรี เป็นเรื่องปกติที่จะแสดงวัตถุทางคณิตศาสตร์ในอวกาศแบบยุคลิดซึ่งเป็น ลำดับ ความ สำคัญที่ ไม่ใช่ลักษณะทางเรขาคณิต ตัวอย่างในหลาย ๆ อย่างคือการแสดงตามปกติของกราฟ _

ช่องว่างทางเรขาคณิตอื่น ๆ

นับตั้งแต่มีการนำ รูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดมาใช้ เมื่อปลายศตวรรษที่ 19 มีการพิจารณาช่องว่างหลายประเภท ซึ่งเราสามารถให้เหตุผลเชิงเรขาคณิตในลักษณะเดียวกับช่องว่างแบบยุคลิด โดยทั่วไปแล้ว พวกเขาแบ่งปันคุณสมบัติบางอย่างกับช่องว่างแบบยุคลิด แต่อาจมีคุณสมบัติที่อาจดูค่อนข้างแปลก ช่องว่างเหล่านี้บางส่วนใช้เรขาคณิตแบบยุคลิดสำหรับคำจำกัดความ หรือสามารถจำลองเป็นสเปซย่อยของสเปซแบบยุคลิดที่มีมิติสูงกว่าได้ เมื่อพื้นที่ดังกล่าวถูกกำหนดโดย สัจพจน์เรขาคณิตการฝังช่องว่างในปริภูมิแบบยุคลิดเป็นวิธีมาตรฐานในการพิสูจน์ความสอดคล้องของคำจำกัดความ หรือจะแม่นยำกว่าสำหรับการพิสูจน์ว่าทฤษฎีของมันสอดคล้องกัน ถ้าเรขาคณิตแบบยุคลิดมีความสม่ำเสมอ (ซึ่งไม่สามารถพิสูจน์ได้)

แบ่งพื้นที่

พื้นที่แบบยุคลิดเป็นพื้นที่ที่มีความสัมพันธ์กันพร้อมกับหน่วยเมตริก ช่องว่างในความสัมพันธ์มีประโยชน์หลายอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื่องจากถูกกำหนดไว้เหนือฟิลด์ ใดๆ พวกเขาอนุญาตให้ทำเรขาคณิตในบริบทอื่น

ทันทีที่มีการพิจารณาคำถามที่ไม่เป็นเชิงเส้น โดยทั่วไปจะเป็นประโยชน์ในการพิจารณาการเว้นวรรคเหนือจำนวนเชิงซ้อนในฐานะส่วนขยายของช่องว่างแบบยุคลิด ตัวอย่างเช่นวงกลมและเส้นตรงมีจุดตัดกันสองจุดเสมอ (อาจไม่แตกต่างกัน) ในพื้นที่เชื่อมโยงที่ซับซ้อน ดังนั้นเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิต ส่วนใหญ่ จึงถูกสร้างขึ้นในพื้นที่ที่มีความสัมพันธ์ที่ซับซ้อน และช่องว่างที่สัมพันธ์กันเหนือ เขตข้อมูล ที่ปิดเกี่ยวกับพีชคณิต รูปร่างที่ศึกษาในเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตในพื้นที่ที่มีความสัมพันธ์เหล่านี้จึงเรียกว่าพันธุ์พีชคณิต ที่สัมพันธ์ กัน

เชื่อมโยง ช่องว่างเหนือจำนวนตรรกยะและโดยทั่วไปมากกว่าฟิลด์ตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิตให้การเชื่อมโยงระหว่างเรขาคณิต (พีชคณิต) และทฤษฎีจำนวน ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สามารถระบุได้ว่า " เส้นโค้งแฟร์มาต์ ที่มี ดีกรีมากกว่าสองไม่มีจุดใดในระนาบความสัมพันธ์เหนือเหตุผล"

เรขาคณิตในบริเวณที่มีขอบเขตจำกัดยังได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวาง ตัวอย่างเช่นเส้นโค้งวงรีเหนือฟิลด์จำกัดถูกใช้อย่างกว้างขวางในการ เข้ารหัส

พื้นที่โปรเจกทีฟ

เดิมที พื้นที่ฉายภาพได้รับการแนะนำโดยการเพิ่ม " จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด " ให้กับช่องว่างแบบยุคลิด และโดยทั่วไปแล้ว เพื่อเชื่อมโยงช่องว่าง เพื่อให้เป็นจริงตามคำกล่าวที่ว่า " เส้น ระนาบระนาบ สอง เส้นมาบรรจบกันที่จุดเดียว" โปรเจกทีฟสเปซแชร์กับ Euclidean และ affine spaces คุณสมบัติของisotropicนั่นคือไม่มีคุณสมบัติของช่องว่างที่อนุญาตให้แยกความแตกต่างระหว่างจุดสองจุดหรือสองบรรทัด ดังนั้น จึงมักใช้คำจำกัดความไอโซโทรปิกมากกว่า ซึ่งประกอบด้วยการกำหนดพื้นที่โปรเจกทีฟเป็นเซตของเส้นเวกเตอร์ในพื้นที่เวกเตอร์ของมิติอีกหนึ่ง

สำหรับ affine spaces ช่องว่างโปรเจ็กเตอร์ถูกกำหนดไว้เหนือฟิลด์ ใดๆ และเป็นช่องว่างพื้นฐานของเรขาคณิต เกี่ยวกับพีชคณิต

เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดมักจะหมายถึงช่องว่างทางเรขาคณิตที่สมมุติฐานคู่ขนานเป็นเท็จ ได้แก่เรขาคณิตวงรีโดยที่ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมมากกว่า 180° และเรขาคณิตไฮเพ อร์โบลิก โดยที่ผลรวมนี้น้อยกว่า 180° การแนะนำของพวกเขาในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 และการพิสูจน์ว่าทฤษฎีของพวกเขามีความสอดคล้อง (ถ้าเรขาคณิตแบบยุคลิดไม่ขัดแย้งกัน) เป็นหนึ่งในความขัดแย้งที่เป็นจุดกำเนิดของวิกฤตพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์ของต้นศตวรรษที่ 20 และ กระตุ้นการจัดระบบทฤษฎีสัจพจน์ในวิชาคณิตศาสตร์

พื้นที่โค้ง

ท่อ ร่วม ( manifold ) คือช่องว่างที่บริเวณใกล้เคียงแต่ละจุดมีลักษณะคล้ายกับพื้นที่แบบยุคลิด ในแง่เทคนิค แมนิโฟลด์คือปริภูมิทอพอโลยีโดยแต่ละจุดจะมีย่านใกล้เคียงที่เป็นชีวมอร์ฟิคกับเซตย่อยที่เปิดอยู่ของสเปซแบบยุคลิด ท่อร่วมสามารถจำแนกได้โดยการเพิ่มระดับของ "ความคล้ายคลึง" นี้ลงในท่อร่วมทอพอโลยี ท่อร่วมที่ แตกต่าง กันท่อร่วมเรียบและ ท่อ ร่วมวิเคราะห์ อย่างไรก็ตาม "ความคล้ายคลึง" ประเภทนี้ไม่คำนึงถึงระยะทางและมุม แม้แต่ค่าประมาณ

ระยะทางและมุมสามารถกำหนดได้บนท่อร่วมที่เรียบโดยจัดให้มีการวัดแบบยุคลิดที่แปรผันอย่างราบรื่น บน ช่องว่างสัมผัสที่จุดต่าง ๆ ของท่อร่วม (ช่องว่างสัมผัสเหล่านี้จึงเป็นช่องว่างเวกเตอร์แบบยุคลิด) ส่งผลให้มีหลากหลายRiemannian โดยทั่วไปเส้นตรงไม่มีอยู่ในท่อร่วมของรีมันเนียน แต่บทบาทของมันแสดงโดยgeodesicsซึ่งเป็น "เส้นทางที่สั้นที่สุด" ระหว่างจุดสองจุด ซึ่งช่วยให้สามารถกำหนดระยะทาง ซึ่งวัดตาม geodesics และมุมระหว่าง geodesics ซึ่งเป็นมุมของแทนเจนต์ในปริภูมิแทนเจนต์ที่จุดตัด ดังนั้นท่อร่วมรีมันเนียนจึงประพฤติตัวเหมือนพื้นที่แบบยุคลิดที่โค้งงอ

ช่องว่างแบบยุคลิดเป็นท่อร่วมรีมันเนียนเล็กน้อย ตัวอย่างที่แสดงบ่อนี้คือพื้นผิวของทรงกลม ในกรณีนี้ geodesics คือส่วนโค้งของวงกลมใหญ่ซึ่งเรียกว่าorthodromesในบริบทของการนำทาง โดยทั่วไปแล้ว ช่องว่างของรูปทรงที่ไม่ใช่แบบยุคลิดสามารถรับรู้ได้ว่าเป็นท่อร่วมรีมันเนียน

พื้นที่เทียม-Euclidean

ผลคูณภายในของสเปซเวกเตอร์จำนวนจริงคือรูปแบบบิลิเนียร์แน่นอนบวกและมีลักษณะเฉพาะด้วยรูปแบบกำลังสองแน่นอนบวก ส เป ซยูคลิดเสมือนเป็นสเปซที่สัมพันธ์กับปริภูมิเวกเตอร์จริงที่เกี่ยวข้องซึ่งติดตั้งรูปกำลังสองที่ไม่เสื่อมลง (ซึ่งอาจไม่แน่นอน )

ตัวอย่างพื้นฐานของสเปซดังกล่าวคือสเป ซ Minkowskiซึ่งเป็นสเปซ-ไทม์ของ ทฤษฎีสั พัทธภาพพิเศษ ของ ไอน์สไตน์ เป็นสเปซสี่มิติ โดยที่เมตริกถูกกำหนดโดยรูปกำลังสอง

โดยที่พิกัดสุดท้าย ( t ) เป็นเวลาชั่วคราว และอีกสาม ( x , y , z ) เป็นเชิงพื้นที่

ในการพิจารณาแรงโน้มถ่วงทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปใช้ท่อร่วมเทียมรีมันเนียนที่มีช่องว่าง Minkowski เป็นช่องว่างแทนเจนต์ ความโค้งของท่อร่วมนี้ ณ จุดหนึ่งเป็นฟังก์ชันของค่าของสนามโน้มถ่วงณ จุดนี้

ดูเพิ่มเติม

เชิงอรรถ

  1. ^ อาจขึ้นอยู่กับบริบทหรือผู้เขียนว่าซับสเปซขนานกับตัวเองหรือไม่
  2. ถ้าเงื่อนไขของการเป็น bijection ถูกเอาออกไป ฟังก์ชันที่รักษาระยะห่างนั้นจำเป็นต้องเป็น injection และเป็น isometry จากโดเมนไปยังรูปภาพ
  3. ^ หลักฐาน: หนึ่งต้องพิสูจน์ว่า. เพื่อสิ่งนี้ ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่ากำลังสองของบรรทัดฐานของด้านซ้ายมือเป็นศูนย์ การใช้ค่าความเป็นสองเชิงเส้นของผลิตภัณฑ์ภายใน บรรทัดฐานกำลังสองนี้สามารถขยายเป็นผลรวมเชิงเส้นของ และเนื่องจากfเป็นไอโซเมตรี นี่จะให้ผลรวมเชิงเส้นของและซึ่งลดความซับซ้อนเป็นศูนย์

อ้างอิง

  • Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (ฉบับที่ 5), New York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
  • Artin, Emil (1988) [1957], Geometric Algebra , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., pp. x+214, ดอย : 10.1002/9781118164518 , ISBN 0-471-60839-4, มร.  1009557
  • บอล, WW Rouse (1960) [1908]. บัญชีสั้นประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 4) สิ่งพิมพ์โดเวอร์. ISBN 0-486-20630-0.
  • Berger, Marcel (1987), Geometry I , เบอร์ลิน: Springer, ISBN 3-540-11658-3
  • Coxeter, HSM (1973) [1948]. Polytopes ปกติ (ฉบับที่ 3) นิวยอร์ก: โดเวอร์ Schläfli ... ค้นพบพวกมันก่อนปี 1853 ซึ่งเป็นช่วงที่ Cayley, Grassman และ Möbius เป็นคนเดียวที่คิดเห็นถึงความเป็นไปได้ของเรขาคณิตในมากกว่าสามมิติ
  • Solomentsev, ED (2001) [1994], "Euclidean space" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press