มีนิสัยเท่าเทียมกัน

การเปรียบเทียบอุปนิสัยบางอย่างที่เท่าเทียมกัน [a]กราฟครอบคลุมหนึ่งอ็อกเทฟในแนวนอน (เปิดภาพเพื่อดูความกว้างเต็ม) และสี่เหลี่ยมที่แรเงาแต่ละอันจะมีความกว้างหนึ่งขั้นในมาตราส่วน อัตราส่วนช่วงเวลาเพียงอย่างเดียวจะถูกแยกออกเป็นแถวด้วยขีดจำกัดเฉพาะ
12 โทนเสียงเท่ากันกับโทนสีC , 1 อ็อกเทฟเต็มจากน้อยไปมาก, เน้นเฉพาะเสียงแหลมเท่านั้น เล่นขึ้นและลง

อารมณ์ที่เท่าเทียมกันคืออารมณ์ทางดนตรีหรือระบบการปรับจูนที่ประมาณช่วงเวลาโดยการแบ่งอ็อกเทฟ (หรือช่วงอื่น) ออกเป็นขั้นตอนเพื่อให้อัตราส่วนของความถี่ของโน้ตคู่ที่อยู่ติดกันเท่ากัน ระบบนี้ให้ ขั้นตอน ของระดับเสียงที่รับรู้ได้ว่ามีขนาดเท่ากัน เนื่องจาก การเปลี่ยนแปลง ของลอการิทึมในความถี่ของระดับเสียง [2]

ในดนตรีคลาสสิกและดนตรีตะวันตกโดยทั่วไป ระบบการจูนที่ใช้กันมากที่สุดนับตั้งแต่ศตวรรษที่ 18 คือ12 โทนเสียงที่เท่ากัน (หรือเรียกอีกอย่างว่า12 โทนเสียงที่เท่ากัน , {{12 TET }}หรือ{{12 ET }}ย่ออย่างไม่เป็นทางการว่า12 เท่ากับ ) ซึ่งแบ่งอ็อกเทฟออกเป็น 12 ส่วน ซึ่งทั้งหมดเท่ากันในสเกลลอการิทึมโดยมีอัตราส่วนเท่ากับรากที่ 12 ของ 2 ( 122 data 1.05946) ส่งผลให้มีช่วงห่างน้อยที่สุด1/12ความกว้างของอ็อกเทฟ เรียกว่าเซมิโทนหรือฮาล์ฟสเต็ป ในประเทศตะวันตกคำว่าอารมณ์เท่าเทียมกันโดยไม่มีคุณสมบัติ โดยทั่วไปจะหมายถึง 12 5TET

ในยุคปัจจุบัน โดยปกติแล้ว 12 TETจะถูกปรับสัมพันธ์กับระดับเสียงมาตรฐานที่ 440 Hz เรียกว่าA 440ซึ่งหมายถึงโน้ตตัวหนึ่งAปรับไปที่ 440  เฮิรตซ์และโน้ตอื่นๆ ทั้งหมดถูกกำหนดให้เป็นพหุคูณของเซมิโทนที่อยู่ห่างจากโน้ตนั้น ไม่ว่าจะสูงกว่านั้นก็ตาม หรือความถี่ต่ำกว่า ระดับเสียงมาตรฐานไม่ใช่ 440 Hz เสมอไป; มีความหลากหลายมากและโดยทั่วไปมีเพิ่มขึ้นในช่วงไม่กี่ร้อยปีที่ผ่านมา [3]

นิสัยที่เท่าเทียมกันอื่นๆ จะแบ่งอ็อกเทฟต่างกัน ตัวอย่างเช่น เพลงบางเพลงเขียนเป็นภาษา19 TETและ31 TETในขณะที่ระบบเสียงอาหรับใช้24 TET

แทนที่จะแบ่งอ็อกเทฟ อารมณ์ที่เท่าเทียมกันยังสามารถแบ่งช่วงเวลาที่แตกต่างกันได้ เช่น เวอร์ชันที่มีอารมณ์เท่ากันของสเกลโบห์เลน–เพียร์ซซึ่งแบ่งช่วงเวลาเพียงของอ็อกเทฟและหนึ่งในห้า (อัตราส่วน 3:1) เรียกว่า " tritave" หรือ " pseudo-octave " ในระบบนั้น ๆ ออกเป็น 13 ส่วนเท่า ๆ กัน

สำหรับระบบการปรับจูนที่แบ่งอ็อกเทฟเท่าๆ กัน แต่ไม่ได้เป็นเพียงการประมาณช่วงเวลาสามารถใช้ คำว่า การแบ่งอ็อกเทฟที่เท่ากันหรือEDO ได้

ชุดเครื่องสายที่ไม่หงุดหงิดซึ่งสามารถปรับจูนโน้ตทั้งหมดได้ ยกเว้นเครื่องสายเปิดและกลุ่มเสียงร้องที่ไม่มีข้อจำกัดด้านกลไก บางครั้งใช้การปรับจูนให้ใกล้เคียงกับเสียงสูงต่ำ มากขึ้น ด้วยเหตุผลด้านเสียง เครื่องดนตรีอื่นๆ เช่นลมคีย์บอร์ดและ เครื่องดนตรี เฟรตมักมีอารมณ์ที่เท่ากันโดยประมาณเท่านั้น โดยมีข้อจำกัดทางเทคนิคทำให้ไม่สามารถปรับจูนได้อย่างแม่นยำ [4] เครื่องดนตรีประเภทลมบางชนิดที่สามารถปรับโทนเสียงได้ง่ายและเป็นธรรมชาติ โดยเฉพาะทรอมโบนใช้การปรับจูนคล้ายกับเครื่องสายและกลุ่มเสียงร้อง

การเปรียบเทียบอุณหภูมิที่เท่ากันระหว่าง10 TETและ60 TETในแต่ละช่วงหลักของขีดจำกัดเฉพาะจำนวนน้อย (สีแดง:3/ 2 , สีเขียว:5/ 4 , สีคราม:7/ 4 , สีเหลือง:11/ 8 , สีฟ้า:13/ 8 ). กราฟสีแต่ละกราฟจะแสดงจำนวนข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้น (เป็นเซนต์) ในการประมาณที่ใกล้ที่สุดของช่วงเวลาที่สอดคล้องกัน (เส้นสีดำตรงกลาง) เส้นโค้งสีดำสองเส้นที่ล้อมรอบกราฟทั้งสองด้านแสดงถึงความคลาดเคลื่อนสูงสุดที่เป็นไปได้ ในขณะที่เส้นโค้งสีเทาที่อยู่ด้านในแสดงถึงครึ่งหนึ่งของข้อผิดพลาด

คุณสมบัติทั่วไป

ในอารมณ์ที่เท่าเทียมกัน ระยะห่างระหว่างสองขั้นที่อยู่ติดกันของมาตราส่วนจะเป็นช่วงเวลาเดียวกัน เนื่องจากการรับรู้เอกลักษณ์ของช่วงเวลานั้นขึ้นอยู่กับอัตราส่วน ของมัน สเกลในขั้นคู่นี้จึงเป็นลำดับทางเรขาคณิตของการคูณ ( ลำดับเลขคณิตของช่วงเวลาจะฟังดูไม่เว้นระยะเท่ากันและไม่อนุญาตให้มีการโยกย้ายไปยังคีย์ ที่ต่างกัน ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งช่วงเวลา ที่น้อยที่สุด ในระดับอารมณ์ที่เท่ากันคืออัตราส่วน:

โดยที่อัตราส่วนrแบ่งอัตราส่วนp (โดยทั่วไปคืออ็อกเทฟ ซึ่งก็คือ 2:1) ออกเป็นnส่วนเท่าๆ กัน ( ดูอารมณ์ที่เท่าเทียมกันสิบสองโทนด้านล่าง )

เครื่องชั่งมักวัดเป็นเซนต์ซึ่งแบ่งอ็อกเทฟออกเป็น 1,200 ช่วงเท่าๆ กัน (แต่ละช่วงเรียกว่าเซ็นต์) มาตราส่วน ลอการิทึมนี้ ทำให้การเปรียบเทียบระบบการ ปรับจูนแบบต่างๆ ได้ง่ายกว่าการเปรียบเทียบอัตราส่วน และมีประโยชน์อย่างมากในด้านชาติพันธุ์วิทยา ขั้นตอนพื้นฐานในหน่วยเซนต์สำหรับอารมณ์ที่เท่าเทียมกันใดๆ สามารถพบได้โดยนำความกว้างของpด้านบนเป็นเซ็นต์ (โดยปกติคืออ็อกเทฟซึ่งมีความกว้าง 1,200 เซ็นต์) เรียกว่าด้านล่างwและแบ่งออกเป็นnส่วน:

ในการวิเคราะห์ทางดนตรี วัสดุที่มีอารมณ์เท่ากันมักจะใช้สัญลักษณ์จำนวนเต็มซึ่งหมายความว่าจะใช้จำนวนเต็มเพียงตัวเดียวเพื่อแสดงแต่ละระดับเสียง วิธีนี้ช่วยลดความยุ่งยากและเป็นภาพรวมของการอภิปรายเนื้อหาในระดับเสียงภายในอารมณ์ในลักษณะเดียวกับที่การใช้ลอการิทึมของการคูณจะลดการบวก นอกจากนี้ โดยการใช้เลขคณิตแบบแยกส่วนโดยที่โมดูลัสคือจำนวนการแบ่งของอ็อกเทฟ (ปกติคือ 12) จำนวนเต็มเหล่านี้สามารถลดลงเหลือคลาสระดับพิทช์ซึ่งจะลบความแตกต่าง (หรือรับทราบความคล้ายคลึงกัน) ระหว่างระดับเสียงที่มีชื่อเดียวกัน เช่น , cเป็น 0 โดยไม่คำนึงถึงการลงทะเบียนอ็อกเทฟ มาตรฐาน การเข้ารหัส MIDIใช้การกำหนดโน้ตจำนวนเต็ม

สูตรทั่วไปสำหรับช่วงอารมณ์เท่ากัน

อารมณ์ที่เท่าเทียมกันสิบสองโทน

12 โทนเสียงเท่ากัน ซึ่งแบ่งอ็อกเทฟออกเป็น 12 ช่วงที่มีขนาดเท่ากัน เป็นระบบดนตรีที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในปัจจุบัน โดยเฉพาะในดนตรีตะวันตก

ประวัติศาสตร์

ตัวเลขทั้งสองที่มักให้เครดิตกับความสำเร็จในการคำนวณอารมณ์ที่เท่าเทียมกันคือZhu Zaiyu (อักษรโรมันว่า Chu-Tsaiyu. จีน:朱載堉) ในปี 1584 และSimon Stevinในปี 1585 ตามคำกล่าวของ FA Kuttner นักวิจารณ์ที่ให้เครดิตกับ Zhu, [5]เป็นที่รู้กันว่า Zhu "นำเสนอวิธีการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่มีความแม่นยำสูง เรียบง่าย และชาญฉลาดสำหรับคอร์ดโมโนคอร์ดที่มีอารมณ์เท่ากันในปี ค.ศ. 1584" และ Stevin "เสนอคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของอารมณ์ที่เท่าเทียมกัน บวกกับการคำนวณที่ค่อนข้างแม่นยำน้อยกว่าของ ค่าตัวเลขที่สอดคล้องกันในปี 1585 หรือใหม่กว่า"

การพัฒนาเกิดขึ้นอย่างอิสระ [6] (หน้า 200)

เคนเน็ธ โรบินสันให้เครดิตการประดิษฐ์อุปนิสัยที่เท่าเทียมกันกับจู้[7]และจัดเตรียมข้อความอ้างอิงไว้เป็นหลักฐาน (8)ในปี ค.ศ. 1584 จูเขียนว่า:

ฉันได้สร้างระบบใหม่ ฉันกำหนดให้เท้าข้างหนึ่งเป็นจำนวนที่จะดึงเท้าที่เหลือออกไป และใช้สัดส่วนที่จะดึงออกมา โดยรวมแล้ว เราต้องหาตัวเลขที่แน่นอนของพิทช์ไพเพอร์ในการปฏิบัติการทั้ง 12 ครั้ง [9] [8]

Kuttner ไม่เห็นด้วยและตั้งข้อสังเกตว่าคำกล่าวอ้างของเขา "ไม่สามารถถือว่าถูกต้องได้หากไม่มีคุณสมบัติหลัก" [5] Kuttner เสนอว่าทั้ง Zhu และ Stevin มีนิสัยไม่เท่ากันและไม่ควรถูกพิจารณาว่าเป็นผู้ประดิษฐ์ [10]

จีน

จูไจ่หยูมีอารมณ์ที่เท่าเทียมกัน

ก่อนหน้านี้นักทฤษฎีชาวจีนเคยคิดค่าประมาณสำหรับ12 TETแต่ Zhu เป็นคนแรกที่แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ด้วยอารมณ์ที่เท่าเทียมกัน 12 โทน[11]ซึ่งเขาอธิบายไว้ในหนังสือสองเล่มซึ่งตีพิมพ์ในปี 1580 [12]และ 1584 [9] [13 ]นีดแฮมยังให้บัญชีเพิ่มเติมอีกด้วย [14]

Zhu ได้ผลลัพธ์ของเขาโดยการหารความยาวของสายและท่อตามลำดับด้วย122  data 1.059463และสำหรับความยาวท่อด้วย242  data 1.029302 [15] ดังนั้นหลังจาก 12 ดิวิชั่น (หนึ่งอ็อกเทฟ) ความยาวก็ลดลงครึ่งหนึ่ง

Zhu สร้างเครื่องดนตรีหลายอย่างที่ปรับให้เข้ากับระบบของเขา รวมถึงไปป์ไม้ไผ่ [16]

ยุโรป

ชาวยุโรปกลุ่มแรกๆ ที่สนับสนุนให้มีอารมณ์เท่าเทียมกันคือนักลูเทนิสต์Vincenzo Galilei , Giacomo Gorzanis และFrancesco Spinacinoซึ่งทุกคนแต่งเพลงในนั้น [17] [18] [19] [20]

ไซมอน สตีวินเป็นคนแรกที่พัฒนา 12  TETโดยอาศัยรากที่ 12 ของ 2ซึ่งเขาบรรยายไว้ในvan de Spiegheling der singconst ( ประมาณ ปี 1605 ) ซึ่งตีพิมพ์หลังมรณกรรมในปี1884

ผู้เล่นเครื่องดนตรีที่ดึงออกมา (นักลูเทนและนักกีตาร์) โดยทั่วไปมักมีอารมณ์ที่เท่าเทียมกัน[22]ในขณะที่คนอื่นๆ แตกแยกกันมากกว่า [23]ในท้ายที่สุด อารมณ์ที่เท่าเทียมกัน 12 โทนก็ชนะไป สิ่งนี้ทำให้การมอดูเลตแบบเอนฮาร์โมนิกรูปแบบใหม่ของโทนเสียงแบบสมมาตรและโพลิโทนลิตี้ ดนตรี อะโทนอล เช่นที่เขียนด้วยเทคนิค 12 โทนหรืออนุกรมนิยมและดนตรีแจ๊ส (อย่างน้อยก็เป็นส่วนประกอบของเปียโน) ในการพัฒนาและเจริญรุ่งเรือง

คณิตศาสตร์

หนึ่งอ็อกเทฟของ 12  TETบนโมโนคอร์ด

ในอารมณ์ที่เท่ากัน 12 โทน ซึ่งแบ่งอ็อกเทฟออกเป็น 12 ส่วนเท่าๆ กัน ความกว้างของเซมิโทนคืออัตราส่วนความถี่ของช่วงเวลาระหว่างโน้ตสองตัวที่อยู่ติดกัน คือรากที่สิบสองของสอง :

ช่วงนี้แบ่งออกเป็น 100 เซ็นต์

การคำนวณความถี่สัมบูรณ์

หากต้องการค้นหาความถี่P nของบันทึกใน 12  TETอาจใช้สูตรต่อไปนี้:

ในสูตรนี้P nแสดงถึงระดับเสียงหรือความถี่ (โดยปกติจะเป็นเฮิรตซ์ ) ที่คุณกำลังพยายามค้นหา P aคือความถี่ของระดับเสียงอ้างอิง หมายเลขดัชนีnและaคือป้ายกำกับที่กำหนดให้กับระดับเสียงที่ต้องการ ( n ) และระดับเสียงอ้างอิง ( a ) ตัวเลขสองตัวนี้มาจากรายการจำนวนเต็มต่อเนื่องกันซึ่งกำหนดให้กับครึ่งเสียงที่ต่อเนื่องกัน ตัวอย่างเช่นA 4 (ระดับเสียงอ้างอิง) คือคีย์ที่ 49 จากปลายด้านซ้ายของเปียโน (ปรับเป็น440 Hz ) และC 4 ( Cกลาง ) และF 4คือคีย์ที่ 40 และ 46 ตามลำดับ ตัวเลขเหล่านี้สามารถใช้ค้นหาความถี่ของC 4และF 4 :

การแปลงความถี่ให้เป็นคู่ที่มีอารมณ์เท่าเทียมกัน

ในการแปลงความถี่ (เป็น Hz) ให้มีค่าเท่ากับ 12  TETคุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

E nคือความถี่ของระดับเสียงที่มีอารมณ์เท่ากัน และ E aคือความถี่ของระดับเสียงอ้างอิง ตัวอย่างเช่น ถ้าเราปล่อยให้ระดับเสียงอ้างอิงเท่ากับ 440 Hz เราจะเห็นว่า E 5และ C 5มีความถี่ดังต่อไปนี้ ตามลำดับ:

เปรียบเทียบกับแค่น้ำเสียง

ช่วงของ 12  TETใกล้เคียงกับช่วงบางช่วงในระดับน้ำเสียงเพียงอย่างเดียว [24] จุดที่ห้าและสี่นั้นแทบจะแยกไม่ออกจากระยะห่างเพียงเท่านั้น ในขณะที่จุดที่สามและหกนั้นอยู่ห่างออกไป

ในตารางต่อไปนี้ ขนาดของช่วงต่างๆ จะถูกนำมาเปรียบเทียบกับช่วงที่มีอารมณ์เท่ากัน โดยให้ไว้เป็นอัตราส่วนและเซนต์

ชื่อช่วงเวลา ค่าที่แน่นอนใน 12  TET ค่าทศนิยมใน 12  TET เซ็นต์ แค่ช่วงน้ำเสียง เซ็นต์ในน้ำเสียงเพียง ความแตกต่าง
พร้อมเพรียงกัน ( C ) 2 012 = 1 1 0 1/1= 1 0 0
รองวินาที ( D ) 2 112 = 122 1.059463 100 16/15= 1.06666... 111.73 -11.73
หลักวินาที ( D ) 2 212 = 62 1.122462 200 9/8= 1.125 203.91 -3.91
ผู้เยาว์ที่สาม ( E ) 2 312 = 42 1.189207 300 6/5= 1.2 315.64 -15.64
สาขาวิชาที่สาม ( E ) 2 412 = 32 1.259921 400 5/4= 1.25 386.31 +13.69
สมบูรณ์แบบที่สี่ ( F ) 2 512 = 1232 1.33484 500 4/3= 1.33333... 498.04 +1.96
ไตรโทน ( G ) 2 612 = 2 1.414214 600 64/45= 1.42222... 609.78 -9.78
สมบูรณ์แบบที่ห้า ( G ) 2 712 = 12128 1.498307 700 3/2= 1.5 701.96 -1.96
ผู้เยาว์ที่หก ( A ) 2 812 = 34 1.587401 800 8/5= 1.6 813.69 -13.69
วิชาเอกที่หก ( A ) 2 912 = 48 1.681793 900 5/3= 1.66666... 884.36 +15.64
ผู้เยาว์ที่เจ็ด ( B ) 2 1012 = 632 1.781797 1,000 16/9= 1.77777... 996.09 +3.91
พันตรีเจ็ด ( B ) 2 1112 = 122048 1.887749 1100 15/8= 1.875 1088.270 +11.73
อ็อกเทฟ ( C ) 2 1212 = 2 2 1200 2/1= 2 1200.00 0

เจ็ดโทนเท่ากับการแบ่งส่วนที่ห้า

ไวโอลิน วิโอลา และเชลโลได้รับการปรับแต่งในห้าที่สมบูรณ์แบบ ( GDAEสำหรับไวโอลินและCGDAสำหรับวิโอลาและเชลโล) ซึ่งแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนเซมิโทนของพวกเขานั้นสูงกว่าในอารมณ์ที่เท่าเทียมกัน 12 โทนทั่วไปเล็กน้อย เนื่องจากอัตราส่วนที่ห้าที่สมบูรณ์แบบอยู่ในอัตราส่วน 3:2 กับโทนเสียงพื้นฐาน และช่วงนี้ประกอบด้วยเจ็ดขั้นตอน แต่ละโทนจะมีอัตราส่วน73/2ถัดไป (100.28 เซนต์) ซึ่งให้ค่าที่ห้าที่สมบูรณ์แบบด้วยอัตราส่วน 3:2 แต่อ็อกเทฟกว้างขึ้นเล็กน้อยด้วยอัตราส่วน data 517:258 หรือ 2.00388:1แทนที่จะเป็น 2:1 ปกติ เพราะ 12 สมบูรณ์แบบ ที่ห้าไม่เท่ากับเจ็ดอ็อกเทฟ [25]อย่างไรก็ตาม ในระหว่างการเล่นจริง นักไวโอลินเลือกระดับเสียงด้วยหู และมีเพียงระดับเสียงที่ไม่มีการหยุดของสายสี่เส้นเท่านั้นที่จะรับประกันว่าจะแสดงอัตราส่วน 3:2

นิสัยอื่นๆ ที่เท่าเทียมกัน

อารมณ์ห้า เจ็ด และเก้าโทนในชาติพันธุ์ดนตรีวิทยา

ประมาณ7 TET

ห้าและเจ็ดโทนเสียงเท่ากัน ( 5 TET Play และ{{7 TET }} Play ) โดยมีขั้นละ 240 cent Play และ 171 cent Play ตามลำดับ เป็นเรื่องปกติ

5 TETและ7 TETทำเครื่องหมายจุดสิ้นสุดของ ช่วงการปรับที่ถูกต้องของ อารมณ์ซินโทนิก ดังแสดงในรูปที่ 1

  • ใน5 TET ระยะที่ห้าแบบเทมเปอร์เพอร์เฟ็กต์จะมีความกว้าง 720 เซ็นต์ (ที่ด้านบนของความต่อเนื่องของการปรับจูน) และทำเครื่องหมายจุด สิ้นสุดของความต่อเนื่องของการปรับจูน ซึ่งความกว้างของวินาทีรองจะลดลงเหลือความกว้าง 0 เซ็นต์
  • ใน7 TET ระยะที่ห้าแบบเทมเปอร์เพอร์เฟ็กต์จะมีความกว้าง 686 เซ็นต์ (ที่ด้านล่างของความต่อเนื่องของการปรับจูน) และทำเครื่องหมายจุด สิ้นสุดของความต่อเนื่องของการปรับจูน ซึ่งวินาทีรองจะขยายให้กว้างเท่ากับวินาทีหลัก (ที่ 171 เซ็นต์ต่อครั้ง) ).

5 โทนและ 9 โทนมีอารมณ์เท่ากัน

ตามข้อมูลของKunst (1949) เกมแลน ของอินโดนีเซีย ได้รับการปรับแต่งเป็น5 TETแต่ตามข้อมูลของHood (1966) และMcPhee (1966 ) การปรับจูนของพวกมันจะแตกต่างกันอย่างมาก และจากข้อมูลของTenzer (2000) พวกมันมีอ็อกเทฟที่ยืดออก ในปัจจุบันเป็นที่ยอมรับกันว่าในระบบจูนเสียงหลักสองระบบในดนตรีกาเมลัน ได้แก่slendroและpelogมีเพียง slendro เท่านั้นที่มีลักษณะคล้ายกับอารมณ์ที่เท่าเทียมกันแบบห้าโทน ในขณะที่ pelog มีความไม่เท่ากันอย่างมาก อย่างไรก็ตามในปี 1972 Surjodiningrat, Sudarjana และ Susanto วิเคราะห์ pelog เทียบเท่ากับ 9-TET ( เล่น 133 เปอร์เซ็นต์ ) [26]

7 โทนอารมณ์เท่าเทียมกัน

ระนาดไทย วัดโดย มอร์ตันในปี พ.ศ. 2517 "ต่างกันเพียงบวกหรือลบ 5 เซ็นต์" จาก7 TET (27)ตามที่มอร์ตันกล่าวไว้

"เครื่องดนตรีไทยที่มีระดับเสียงคงที่นั้นได้รับการปรับให้อยู่ในระบบที่มีระยะห่างเท่ากันคือเจ็ดระดับเสียงต่ออ็อกเทฟ ... อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับดนตรีแบบดั้งเดิมของตะวันตก ระดับเสียงของระบบการปรับเสียงทั้งหมดไม่ได้ใช้ในโหมดเดียว (มักเรียกว่า 'สเกล') ในระบบไทย ห้าในเจ็ดแบบใช้ในการเสนอขายหลักในโหมดใดๆ ก็ตาม ดังนั้น จึงสร้างรูปแบบของระยะห่างที่ไม่เท่ากันสำหรับโหมดนั้น" [28] เล่น

สเกลของอินเดียนในอเมริกาใต้จากวัฒนธรรมก่อนเครื่องดนตรีวัดโดย Boiles ในปี 1969 มีอารมณ์ที่เท่าเทียมกันเจ็ดโทน 175 เปอร์เซ็นต์ ซึ่งขยายอ็อกเทฟเล็กน้อยเช่นเดียวกับดนตรีกาเมลันบรรเลง [29]

เพลงจีน มี ประเพณีใช้7 TET [ข] [ค]

อุปนิสัยที่เท่าเทียมกันต่างๆ

ระบบสัญกรณ์ของ อีสลีย์ แบล็ควูดสำหรับ 16 อารมณ์ที่เท่ากัน: ช่วงต่างๆ จะถูกระบุคล้ายกับที่พวกมันประมาณไว้ และมีค่าเทียบเท่าเอนฮาร์โมนิก น้อยกว่า [32] เล่น
การเปรียบเทียบอารมณ์ที่เท่าเทียมกันจาก 9 ถึง 25 [33] [a]
19 เอดีโอ
เครื่องดนตรีจำนวนมากถูกสร้างขึ้นโดยใช้การปรับจูนแบบ EDO 19 แบบ เทียบเท่ากับ 1 /3เครื่องหมาย ลูกน้ำมีเครื่องหมายลูกน้ำที่สมบูรณ์แบบที่ห้าเล็กน้อย (ที่ 695 เซ็นต์) แต่อันดับที่สามรองลงมาและอันดับที่หกหลักนั้นอยู่ห่างจากเพียงไม่ถึงหนึ่งในห้าของเปอร์เซ็นต์ โดย EDO ต่ำสุดที่สร้างอันดับที่สามที่ดีกว่าและอันดับที่หกที่ดีกว่า 19 EDO เป็น 232 EDO เสียง ที่สมบูรณ์แบบที่สี่ (ที่ 505 เซ็นต์) คมชัดกว่าเสียงสูงต่ำเพียง 7 เซนต์ และคมชัดกว่า 12 EDO 5 เซนต์
23 เอดีโอ
23 EDOเป็น EDO ที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่สามารถประมาณฮาร์โมนิคลำดับที่ 3, 5, 7 และ 11 (3:2, 5:4, 7:4, 11:8) ได้ภายใน 20 เซนต์ แต่มันประมาณอัตราส่วนระหว่างพวกมันได้ (รวมถึง 6/5 minor Third ที่ได้รับการปรับแต่งอย่างเหมาะสม) ได้เป็นอย่างดี ทำให้เป็นที่น่าสนใจสำหรับนักเล่นระดับไมโครที่กำลังมองหาอาณาเขตฮาร์โมนิคที่ผิดปกติ
24 เอดีโอ
24 EDOซึ่งเป็นสเกลควอเตอร์โทนได้รับความนิยมเป็นพิเศษ เนื่องจากเป็นจุดเข้าถึงที่สะดวกสำหรับนักประพันธ์ที่มีเงื่อนไขตามมาตรฐานตะวันตก 12 EDO แนวทางปฏิบัติในระดับเสียงและโน้ตซึ่งมีความสนใจในเรื่องไมโครโทน เนื่องจาก 24 EDO มีระดับเสียงสูงต่ำทั้งหมดของ 12 EDO นักดนตรีจึงใช้สีเพิ่มเติมโดยไม่สูญเสียกลยุทธ์ใดๆ ที่มีอยู่ในฮาร์โมนี่ 12 โทน 24 นั้นเป็นพหุคูณของ 12 ยังทำให้ 24 EDO บรรลุผลได้โดยง่ายโดยใช้เครื่องดนตรี 12 EDO แบบดั้งเดิมสองตัวที่ปรับจูนเสียงควอเตอร์โทนแยกจากกัน เช่น เปียโนสองตัว ซึ่งช่วยให้นักแสดงแต่ละคน (หรือนักแสดงหนึ่งคนเล่นเปียโนที่แตกต่างกันด้วยมือแต่ละข้าง) ) เพื่ออ่านโน้ต 12 โทนที่คุ้นเคย นักแต่งเพลงหลายคน รวมถึงCharles Ivesทดลองดนตรีสำหรับเปียโนแบบควอเตอร์โทน 24 EDO ยังประมาณฮาร์โมนิคที่ 11 และ 13 ได้เป็นอย่างดี ต่างจาก 12 EDO
26 เอดีโอ
26 คือจำนวนต่ำสุดของการแบ่งออคเทฟที่เท่ากันซึ่งแทบจะจูนฮาร์โมนิกที่ 7 เพียงอย่างเดียว (7:4) แม้ว่าจะเป็นอารมณ์ที่มุ่งร้าย แต่ก็เป็นอารมณ์ที่แบนมาก โดยมีสี่ในห้าที่สมบูรณ์แบบทำให้เกิดอารมณ์ที่สามที่เป็นกลางมากกว่าหนึ่งในสามที่สำคัญ 26 EDO มีสองรองในสามและ สองรองในหก และอาจเป็นอารมณ์อื่นสำหรับความสามัคคีของร้านตัดผม
27 เอดีโอ
27 คือจำนวนต่ำสุดของการหารที่เท่ากันของอ็อกเทฟ ซึ่งแสดงถึงช่วงเวลาทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับฮาร์โมนิคแปดตัวแรกโดยไม่ซ้ำกัน โดยจะแยกเครื่องหมายจุลภาค Septimal ออก แต่ไม่ใช่เครื่องหมายจุลภาค Syntonic
29 เอดีโอ
29คือจำนวนต่ำสุดของการหารที่เท่ากันของอ็อกเทฟ โดยที่ห้าที่สมบูรณ์แบบนั้นอยู่ใกล้กว่าเพียงแค่ใน 12 EDO โดยที่ห้าจะแหลมคม 1.5 เซนต์ แทนที่จะเป็นแบบแบน 2 เซนต์ เมเจอร์สามแบบคลาสสิกของมันมีความคลาดเคลื่อนประมาณๆ กันกับ 12 EDO แต่ปรับให้เรียบ 14 เซนต์ แทนที่จะปรับให้แหลม 14 เซนต์ นอกจากนี้ยังปรับฮาร์โมนิคแบนด์ที่ 7, 11 และ 13 ด้วยปริมาณที่เท่ากันโดยประมาณ ทำให้ 29 EDO จับคู่ช่วงเวลาต่างๆ เช่น 7:5, 11:7 และ 13:11 ได้อย่างแม่นยำมาก การตัดช่วงทั้ง 29 ช่วงลงครึ่งหนึ่งจะสร้าง58 EDOซึ่งช่วยให้ข้อผิดพลาดลดลงสำหรับโทนเสียงบางโทนเท่านั้น
31 เอดีโอ
31 EDOได้รับการสนับสนุนโดยChristiaan HuygensและAdriaan Fokkerและแสดงถึงมาตรฐานของความหมายแบบเครื่องหมายจุลภาคส่วนสี่ 31 EDO ไม่มีตำแหน่งที่ห้าที่สมบูรณ์แบบเท่ากับ 12 EDO (เช่น 19 EDO) แต่ตำแหน่งที่สามหลักและอันดับที่หกรองนั้นอยู่ห่างจากเพียงไม่ถึง 1 เปอร์เซ็นต์ นอกจากนี้ยังให้การจับคู่ที่ดีสำหรับฮาร์โมนิคสูงสุด 11 ซึ่งฮาร์โมนิคที่ 7 มีความแม่นยำเป็นพิเศษ
34 เอดีโอ
34 EDOให้ข้อผิดพลาดรวมโดยรวมที่ต่ำกว่าเล็กน้อยของการประมาณ 3:2, 5:4, 6:5 และการกลับกันของพวกมันมากกว่าที่ 31 EDO ทำ แม้ว่าจะมีความแม่นยำน้อยกว่าเล็กน้อยสำหรับ 5:4 ก็ตาม 34 EDO ไม่สามารถประมาณค่าฮาร์มอนิกที่ 7 หรืออัตราส่วนที่เกี่ยวข้องกับ 7 ได้อย่างถูกต้อง และไม่ได้หมายถึงค่าเดียวกันเนื่องจากค่าที่ 5 มีความคมแทนที่จะเป็นแบบแบน ทำให้เกิดค่าไตรโทน 600 เซ็นต์ เนื่องจาก 34 เป็นเลขคู่
41 เอดีโอ
41คือจำนวนที่น้อยที่สุดเป็นอันดับสองของการแบ่งออคเทฟที่เท่ากัน โดยมีค่าเพอร์เฟ็กต์ที่ห้าที่ดีกว่า 12 EDO หลักที่สามแบบคลาสสิกมีความแม่นยำมากกว่า 12 EDO และ 29 EDO ที่ราคาคงที่หกเซ็นต์ มันไม่ได้มีความหมาย ดังนั้นจึงแยกความแตกต่าง 10:9 และ 9:8 พร้อมกับส่วนที่สามหลักแบบคลาสสิกและพีทาโกรัส ซึ่งแตกต่างจาก 31 EDO ในขีดจำกัด 13 มีความแม่นยำมากกว่า 31 EDO
46 เอดีโอ
46 EDO ให้เสียงหนึ่งในสามหลักและห้าที่สมบูรณ์แบบซึ่งมีความคมชัดเพียงเล็กน้อย และหลายๆ คนบอกว่าสิ่งนี้ทำให้เสียงที่สดใสเป็นเอกลักษณ์เฉพาะของเสียงสามเสียงหลัก ฮาร์โมนิคที่มีค่าสูงสุดถึง 11 นั้นมีความแม่นยำไม่เกิน 5 เซ็นต์ โดยที่ 10:9 และ 9:5 จะอยู่ห่างจากค่าบริสุทธิ์เพียง 10:9 และ 9:5 เท่านั้น เนื่องจากไม่ใช่ระบบที่มีความหมาย จึงแยกความแตกต่าง 10:9 และ 9:8
53 เอดีโอ
53 EDOมีการใช้เป็นครั้งคราวเท่านั้น แต่จะดีกว่าในการประมาณความสอดคล้องกันแบบดั้งเดิมมากกว่า 12, 19 หรือ 31 EDO การจูนเสียงแบบพีทาโกรัสที่แม่นยำอย่างยิ่งทำให้เทียบเท่ากับการจูนแบบพีทาโกรัส แบบขยาย และบางครั้งก็ใช้ในทฤษฎีดนตรีของตุรกี ด้วย อย่างไรก็ตาม มันไม่สอดคล้องกับข้อกำหนดทางเทคนิคของนิสัยที่มีเจตนาซึ่งทำให้ได้อันดับที่สามที่ดีได้ง่าย ๆ ผ่านวงจรที่ห้า ใน 53 EDO การเข้าถึงตัวพยัญชนะตัวที่สามแทนโดยใช้ตัวลดตัวที่สี่ของพีทาโกรัส (CF ) เนื่องจากมันเป็นตัวอย่างของอารมณ์ที่แตกแยกเช่น 41 EDO
58 เอดีโอ
58 อารมณ์ที่เท่าเทียมกันเป็นการทำซ้ำของ 29 EDO ซึ่งมีอารมณ์ที่ฝังอยู่ เช่นเดียวกับ 29 EDO ที่สามารถจับคู่ช่วงเวลาต่างๆ เช่น 7:4, 7:5, 11:7 และ 13:11 ได้อย่างแม่นยำมาก และยังประมาณแค่สามและหกได้ดีกว่าอีกด้วย
72 เอดีโอ
72 EDOประมาณ ช่วง เสียงสูงต่ำ หลายๆ ช่วงได้ดี โดยให้ค่าที่เกือบจะเทียบเท่ากับฮาร์โมนิกที่ 3, 5, 7 และ 11 72 EDO ได้รับการสอน เขียน และดำเนินการในทางปฏิบัติโดยJoe Maneriและนักเรียนของเขา (ซึ่งโดยทั่วไปแล้วความโน้มเอียงแบบ Atonal จะหลีกเลี่ยงการอ้างอิงถึงเสียงสูงต่ำใดๆ ก็ตาม) ถือได้ว่าเป็นส่วนขยายของ 12 EDO เนื่องจาก 72 เป็นผลคูณของ 12 72 EDO ไม่สามารถประมาณอัตราส่วนฮาร์มอนิกที่ 13 หรืออัตราส่วนที่ง่ายที่สุดที่เกี่ยวข้องกับ 13 ได้อย่างแม่นยำ ประกอบด้วย 12 EDO หกชุดที่เริ่มต้นจากระดับเสียงที่แตกต่างกัน สามชุดของ 24 EDO และสำเนา 36 EDO จำนวน 2 ชุด ซึ่งเป็นจำนวนทวีคูณของ 12
96 เอดีโอ
96 EDOประมาณการช่วงทั้งหมดภายใน 6.25 เซนต์ ซึ่งแทบจะไม่สามารถแยกแยะได้ เนื่องจากเป็นทวีคูณแปดเท่าของ 12 จึงสามารถใช้งานได้อย่างเต็มที่เหมือนกับ 12 EDO ทั่วไป ได้รับการสนับสนุนโดยนักประพันธ์เพลงหลายคน โดยเฉพาะJulián Carrillo [34]

การแบ่งอ็อกเทฟอื่นๆ ที่เท่ากันซึ่งพบว่ามีการใช้เป็นครั้งคราว ได้แก่15 EDO , 17 EDOและ22 EDO

2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 และ 15601 เป็นตัวหารของการบรรจบกัน ครั้งแรก ของล็อก2 (3) ดังนั้น 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 และ 15601 ที่สิบสอง (และห้า) คือ ในอารมณ์ที่เท่ากันของผู้สื่อข่าวเท่ากับจำนวนอ็อกเทฟจำนวนเต็ม จะดีกว่าการประมาณ 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 และ 15601 ที่ดีกว่าเพียงสิบสอง/ห้าเท่านั้นมากกว่าในอารมณ์ที่เท่ากันใดๆ ที่มีโทนเสียงน้อยกว่า [35] [36]

1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200, ... (ลำดับA060528ในOEIS ) คือลำดับการแบ่งช่วงอ็อกเทฟที่ให้การประมาณค่าที่สมบูรณ์แบบที่ห้าที่ดีขึ้นเรื่อยๆ ลำดับที่เกี่ยวข้องซึ่งมีการแบ่งส่วนที่ใกล้เคียงกับช่วงเวลาอื่นๆ จะแสดงอยู่ในเชิงอรรถ [ง]

อารมณ์ที่เท่าเทียมกันของช่วงที่ไม่ใช่อ็อกเทฟ

สเกลโบห์เลน-เพียร์ซที่มีอารมณ์เท่ากันประกอบด้วยอัตราส่วน 3:1 (1902 เซ็นต์) ตามอัตภาพแล้วค่าที่ห้าที่สมบูรณ์แบบบวกหนึ่ง อ็อกเท (นั่นคือ สิบสองที่สมบูรณ์แบบ) ในทฤษฎีนี้เรียกว่าtritave ( เล่น ) และ แบ่งออกเป็น 13 ส่วนเท่าๆ กัน นี่เป็นการจับคู่ที่ใกล้เคียงกันมากกับ อัตราส่วน ที่ปรับอย่างเหมาะสมซึ่งประกอบด้วยเลขคี่เท่านั้น แต่ละขั้นตอนคือ 146.3 เซ็นต์ ( play ) หรือ133

เวนดี คาร์ลอสสร้างลักษณะนิสัยที่เท่าเทียมกันที่ไม่ธรรมดาขึ้นมา 3 แบบหลังจากการศึกษาคุณสมบัติของลักษณะนิสัยที่เป็นไปได้อย่างละเอียด โดยมีขนาดขั้นละ 30 ถึง 120 เซ็นต์ สิ่งเหล่า นี้เรียกว่าอัลฟ่าเบต้าและแกมมา พวกมันถือได้ว่าเป็นการแบ่งส่วนเท่า ๆ กันของส่วนที่สมบูรณ์แบบที่ห้า แต่ละช่วงให้การประมาณที่ดีมากของช่วงเวลาต่างๆ [37]ขนาดขั้นบันได:

  • อัลฟา : 93/2 (78.0 เซ็นต์) เล่น
  • เบต้า : 113/2 (63.8 เซ็นต์) เล่น
  • แกมมา : 203/2 (35.1 เซนต์) เล่น

อาจได้ยินอัลฟ่าและเบต้าในเพลงไตเติ้ลของอัลบั้มBeauty in the Beast ของคาร์ลอสในปี 1986

สัดส่วนระหว่างเซมิโทนและโทนเสียงทั้งหมด

ในส่วนนี้เซมิโทนและโทนเสียงทั้งหมดอาจไม่มีความหมาย 12 EDO ตามปกติ เนื่องจากจะกล่าวถึงวิธีการปรับอารมณ์ในรูปแบบที่แตกต่างจากเวอร์ชันเพียงเพื่อสร้างความสัมพันธ์ที่ต้องการ ให้จำนวนก้าวในเซมิโทนเป็นsและจำนวนก้าวในโทนเป็น t

มีกลุ่มอารมณ์ที่เท่าเทียมกันกลุ่มหนึ่งที่แก้ไขเซมิโทนให้เป็นเศษส่วนที่เหมาะสมของโทนเสียงทั้งหมด ในขณะที่รักษาโน้ตไว้ในลำดับที่ถูกต้อง (หมายความว่า เช่นC , D , E , FและFอยู่ในลำดับจากน้อยไปหามาก สั่งซื้อหากพวกเขารักษาความสัมพันธ์ตามปกติกับC ) นั่นคือ การกำหนดqให้เป็นเศษส่วนแท้ในความสัมพันธ์qt = s ยังกำหนดกลุ่มอารมณ์ที่เท่าเทียมกันและจำนวนทวีคูณที่เติมเต็มความสัมพันธ์นี้อีกด้วย

ตัวอย่างเช่น โดยที่kเป็นจำนวนเต็ม12 k EDO จะเซตq =1/2, 19 k เซตEDO q =1/3และ31 k เซตEDO q = _ 2 /5 . ตัวคูณที่เล็กที่สุดในตระกูลเหล่านี้ (เช่น 12, 19 และ 31 ข้างต้น) มีคุณสมบัติเพิ่มเติมคือไม่มีโน้ตอยู่นอกวงกลมที่ห้า (สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงโดยทั่วไป ใน 24  EDOครึ่งชาร์ปและครึ่งแฟลตไม่อยู่ในวงกลมของส่วนที่ห้าที่สร้างโดยเริ่มจากC ) กรณีที่รุนแรงที่สุดคือ5 k EDOโดยที่q = 0 และเซมิโทนกลายเป็น a พร้อมเพรียงกัน และ7 k EDO โดยที่q = 1 และเซมิโทนและโทนอยู่ในช่วงเวลาเดียวกัน

เมื่อรู้ว่ามีเซมิโทนและโทนเสียงกี่ขั้นในอารมณ์ที่เท่ากันนี้ เราจะสามารถหาจำนวนก้าวที่มีในอ็อกเทฟได้ อารมณ์ที่เท่าเทียมกันกับคุณสมบัติข้างต้น (รวมถึงการไม่มีโน้ตอยู่นอกวงกลมที่ห้า) แบ่งอ็อกเทฟออกเป็นสเต็ปที่7 t − 2 วินาทีและขั้นที่ห้าที่สมบูรณ์แบบเป็นสเต็ปที่4 ts หากมีโน้ตอยู่นอกวงกลมส่วนที่ห้า เราจะต้องคูณผลลัพธ์เหล่านี้ด้วยnซึ่งเป็นจำนวนวงกลมในส่วนที่ห้าที่ไม่ทับซ้อนกันซึ่งต้องใช้เพื่อสร้างโน้ตทั้งหมด (เช่น สองใน 24  EDOหกใน 72  EDO ) (เราต้องใช้เซมิโทนเล็กเพื่อจุดประสงค์นี้: 19  EDOมีสองเซมิโทน ตัวแรกเป็น 1 /3โทนเสียงและสิ่งมีชีวิตอื่นๆ 2 /3. ในทำนองเดียวกัน 31  EDOมีสองครึ่งเสียง หนึ่งคือ 2 /5โทนเสียงและสิ่งมีชีวิตอื่นๆ 3 /5).

ตระกูลที่เล็กที่สุดคือ12 k EDOและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง 12  EDOเป็นตระกูลที่เล็กที่สุดที่เท่าเทียมกันด้วยคุณสมบัติข้างต้น นอกจากนี้ ยังทำให้เซมิโทนเป็นครึ่งโทนเสียงทั้งหมดพอดี ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่ง่ายที่สุดที่เป็นไปได้ นี่คือสาเหตุบางประการที่ 12  EDOกลายเป็นอารมณ์ที่เท่าเทียมกันที่ใช้บ่อยที่สุด (เหตุผลอีกประการหนึ่งคือ 12 EDO เป็นอารมณ์ที่เล็กที่สุดที่ใกล้เคียงกันประมาณ 5 ขีดจำกัดความสามัคคี ที่เล็กที่สุดรองลงมาคือ 19 EDO)

การเลือกเศษส่วนq แต่ละครั้ง สำหรับความสัมพันธ์จะส่งผลให้มีตระกูลที่มีอารมณ์เท่ากันเพียงกลุ่มเดียว แต่สิ่งที่ตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง: 47  EDOมีเซมิโทนที่แตกต่างกันสองกลุ่ม โดยที่หนึ่งคือ 1 /7และอีกอย่างคือ 8 /9ซึ่งไม่เสริมซึ่งกันและกันเหมือนใน 19  EDO ( 1 /3และ 2 /3). การใช้แต่ละเซมิโทนจะส่งผลให้มีตัวเลือกที่สมบูรณ์แบบที่ห้าที่แตกต่างกัน

ระบบปรับแต่งที่เกี่ยวข้อง

การปรับไดอะโทนิกปกติ

รูปที่ 1: ความต่อเนื่อง ของการปรับไดโทนิกแบบปกติซึ่งรวมถึงการปรับจูน "อารมณ์ที่เท่าเทียมกัน" ที่โดดเด่นหลายอย่าง [38]

การปรับไดอะโทนิกใน12 โทนเสียงเท่ากัน (12 TET )สามารถสรุปได้ทั่วไปกับการปรับไดอะโทนิกปกติใดๆ โดยแบ่งอ็อกเทฟเป็นลำดับของขั้นตอนT ts T t T s (หรือการเลื่อนแบบวงกลมหรือ "การหมุน" ของมัน) หากต้องการเรียกว่า การปรับไดโทนิก แบบปกติแต่ละเซมิโทน (  s  ) ทั้งสองจะต้องมีขนาดเล็กกว่าโทนเสียงใดโทนหนึ่ง ( โทนเสียงที่มากขึ้น ,  T และโทนเสียงที่น้อยกว่า ,  t  ) เครื่องหมายจุลภาคκหมายถึงอัตราส่วนขนาดระหว่างเสียงที่มากขึ้นและน้อยกว่า: แสดงเป็นความถี่κ =/ ที หรือเป็นเซนต์ κ = Tt _

โน้ตในการปรับเสียงไดอะโทนิกแบบปกติจะเชื่อมต่อกันเป็นวงจรของสามที่สมบูรณ์แบบในห้าTT tsขัดจังหวะด้วยหลุมฝังศพที่ห้าT tts ( Graveแปลว่า "แบนด้วยลูกน้ำ") อีกลำดับหนึ่งของสอง Perfect Fives และอีกหนึ่ง Grave Five และ จากนั้นจะทำซ้ำอย่างไม่มีกำหนด โดยทำให้แบนด้วยเครื่องหมายจุลภาคสองตัวพร้อมกับการเปลี่ยนจากระดับเสียงที่เป็นธรรมชาติไปเป็นระดับที่แหลมคม (หรือจากแหลมเดี่ยวไปจนถึงแหลมสองเท่า) และลับให้แหลมซึ่งกันและกันด้วยเครื่องหมายจุลภาคสองตัวพร้อมกับการเปลี่ยนจากระดับเสียงที่เป็นธรรมชาติไปเป็นระดับเสียงที่ราบเรียบ (หรือจากแฟลตไปเป็นแฟลตคู่) หากปล่อยทิ้งไว้โดยไม่มีการแก้ไข สองส่วนห้าส่วนในแต่ละอ็อกเทฟจะเป็นที่มาของช่วง "หมาป่า"

เนื่องจากเครื่องหมายจุลภาคκขยายโทนเสียงที่น้อยกว่า t = scให้เป็นโทนเสียงที่มากขึ้นT = sc κเพียงน้ำเสียงT ts T t T sสามารถแบ่งออกเป็นลำดับsc κ sc s sc κ sc sc κ s , (หรือการเลื่อนแบบวงกลม ) ของไดโทนิกเซมิโทนs , โครมาติกเซมิโทนcและลูกน้ำκ ลักษณะนิสัยที่เท่าเทียมกันหลายๆ แบบจะเปลี่ยนขนาดช่วง โดยทั่วไปจะแยกลูกน้ำทั้งสามออกจากกัน จากนั้นจึงแบ่งส่วนต่างๆ ออกเป็นเซมิโทนไดอะโทนิก 7 s หรือแบ่งเป็นห้าเซมิโทนสีcหรือออกเป็นทั้งsและcโดยมีสัดส่วนคงที่สำหรับเซมิโทนแต่ละประเภท .

ลำดับของช่วงs , cและκสามารถต่อท้ายตัวเองซ้ำๆ กันเป็นเกลียวขนาดใหญ่จำนวน 12 ส่วนในห้าและทำเพื่อเชื่อมต่อที่ปลายสุดของมันโดยการปรับเปลี่ยนขนาดของช่วงหนึ่งช่วงหรือหลายช่วงเล็กน้อย หรือไม่ก็ปล่อยทิ้งไว้โดยไม่มีการแก้ไขด้วย ห้าส่วนที่น้อยกว่าสมบูรณ์แบบเป็นครั้งคราว โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค

ปรับเปลี่ยนการปรับแต่งไดอะโทนิกให้เป็น EDO

อารมณ์ที่เท่าเทียมกันสามารถสร้างขึ้นได้หากขนาดของ โทนเสียง หลักและรอง ( T , t ) ได้รับการแก้ไขให้เท่ากัน (เช่น โดยการตั้งค่าκ = 0โดยที่ส่วนที่เหลือขยายเพื่อให้ยังคงเติมเต็มอ็อกเทฟ) และทั้งสองเซมิโทน ( sและc ) มีขนาดเท่ากัน จากนั้นจะมีเซมิโทนที่เท่ากันสิบสองเซมิโทน สองอันต่อโทน ใน12 TETเซมิโทนsมีขนาดเพียงครึ่งหนึ่งของโทนเสียงทั้งหมดที่มีขนาดเท่ากัน T = t

ขนาดปานกลางของโทนสีและเซมิโทนสามารถสร้างขึ้นได้ในระบบอารมณ์ที่เท่าเทียมกัน โดยการปรับเปลี่ยนขนาดของลูกน้ำและเซมิโทน คนหนึ่งจะได้7 TETในขีดจำกัดเมื่อขนาดของcและκมีแนวโน้มเป็นศูนย์ โดยที่อ็อกเทฟคงที่ และ5 TETในขีดจำกัดเมื่อsและκมีแนวโน้มเป็นศูนย์ แน่นอนว่า12 TET เป็นกรณี s = cและκ = 0 ตัวอย่างเช่น:

5 TETและ 7 TET
มีสองกรณีสุดขั้วที่ยึดกรอบการทำงานนี้: เมื่อsและκลดลงเหลือศูนย์โดยที่ขนาดอ็อกเทฟคงที่ ผลลัพธ์ที่ได้คือtttttซึ่งเป็นอารมณ์ที่เท่ากัน 5 โทน เมื่อsมีขนาดใหญ่ขึ้น (และดูดซับพื้นที่เดิมที่ใช้สำหรับเครื่องหมายจุลภาคκ ) ในที่สุดขั้นตอนต่างๆ ก็มีขนาดเท่ากันtttttttและผลลัพธ์ที่ได้คือมีอารมณ์ที่เท่าเทียมกันเจ็ดโทน ความสุดขั้วทั้งสองนี้ไม่รวมอยู่ในการปรับไดโทนิก "ปกติ"
19 ต.ค
หากไดโทนิกเซมิโทนถูกตั้งค่าเป็นสองเท่าของขนาดของโครมาติกเซมิโทน เช่นs = 2 c (เป็นเซนต์) และκ = 0ผลลัพธ์คือ19 TETโดยมีหนึ่งสเต็ปสำหรับโครมาติกเซมิโทนcสองขั้นตอนสำหรับไดโทนิกเซมิโทนsสามขั้นตอนสำหรับโทนเสียงT = tและจำนวนขั้นตอนทั้งหมด 3 T + 2 t + 2 s = 9 + 6 + 4 =  19 ขั้นตอน ระบบย่อย 12 โทนที่ฝังอยู่ใกล้เคียงกับความสำคัญทางประวัติศาสตร์  1 /3 ระบบหมายถึงลูกน้ำ
31 ต.ค
ถ้าโครมาติกเซมิโทนมีขนาดสองในสามของไดโทนิกเซมิโทน เช่นc = 2 /3 sโดยที่ κ = 0ผลลัพธ์คือ31TETโดยมีสองขั้นตอนสำหรับเซมิโทนสี สามขั้นตอนสำหรับเซมิโทนแบบไดโทนิก และห้าขั้นตอนสำหรับโทน โดยที่  3 T + 2 t + 2 s = 15 + 10 + 6 =  31ก้าว ระบบย่อย 12 โทนที่ฝังอยู่ใกล้เคียงกับความสำคัญทางประวัติศาสตร์ 1 /4เครื่องหมายจุลภาคหมายถึง
53 ต.ค
ถ้าโครมาติกเซมิโทนถูกทำให้มีขนาดเท่ากันกับลูกน้ำสามลูกc = 3 κ (เป็นเซนต์ ในความถี่c = κ ³ ) ไดโทนิกจะมีค่าเท่ากับลูกน้ำห้าลูกs = 5 κซึ่งจะทำให้เสียงที่น้อยกว่าแปดลูกน้ำt = s + c = 8 κและโทนเสียงที่มากกว่าเก้าT = s + c + κ = 9 κ ดังนั้น 3 T + 2 t + 2 s = 27 κ + 16 κ + 10 κ = 53 κสำหรับ53 ขั้นโดยแต่ละขั้นมีลูกน้ำหนึ่งลูก ขนาดลูกน้ำ / ขนาดขั้นตอนคือκ =1300/53 ¢แน่นอน หรือκ = 22.642 ¢ พรีเมี่ ยม21.506 ¢เครื่องหมายลูกน้ำ syntonic มันเป็นการประมาณที่ใกล้เคียงมากกับน้ำเสียงและยังคงใช้สำหรับทฤษฎีดนตรีคลาสสิกของตุรกี

ดูสิ่งนี้ด้วย

เชิงอรรถ

  1. ↑ ab Sethares (2005) เปรียบเทียบลักษณะทางอารมณ์ที่เท่ากันหลายรูปแบบในกราฟที่มีแกนกลับด้านจากแกนในการเปรียบเทียบครั้งแรกระหว่างลักษณะทางอารมณ์ที่เท่ากัน กับแกนที่เหมือนกันของแกนที่สอง [1]
  2. 'อารมณ์ที่เท่าเทียมกันของ Hepta' ในดนตรีพื้นบ้านของเราเป็นประเด็นที่ถกเถียงกันอยู่เสมอ [30]
  3. จากขลุ่ยเป็นเวลาสองพันปีของกระบวนการผลิต และชาคุฮาจิของญี่ปุ่นที่ยังคงอยู่ในการผลิตของราชวงศ์ซุยและราชวงศ์ถัง และลักษณะนิสัยที่แท้จริง การระบุตัวตนของผู้คนโดยใช้สิ่งที่เรียกว่า 'กฎเจ็ดประการ' ในประวัติศาสตร์อย่างน้อยสองพันปี ; และตัดสินใจว่าระบบกฎหมายนี้เกี่ยวข้องกับกฎหมายขลุ่ย [31]
  4. ลำดับ OEIS ที่มีการแบ่งส่วนของอ็อกเทฟที่ให้การปรับปรุงการประมาณของช่วงเวลาเพียง:
    (ลำดับA060528ในOEIS ) — 3:2
    (ลำดับA054540ในOEIS ) — 3:2 และ 4:3, 5:4 และ 8:5, 6:5 และ 5:3
    (ลำดับA060525ในOEIS ) — 3:2 และ 4:3, 5:4 และ 8:5
    (ลำดับA060526ในOEIS ) — 3:2 และ 4:3, 5:4 และ 8:5, 7:4 และ 8:7
    (ลำดับA060527ในOEIS ) — 3:2 และ 4:3, 5:4 และ 8:5, 7:4 และ 8:7, 16:11 และ 11:8
    (ลำดับA060233ในOEIS ) — 4:3 และ 3:2, 5:4 และ 8:5, 6:5 และ 5:3, 7:4 และ 8:7, 16:11 และ 11:8, 16: 13 และ 13:8
    (ลำดับA061920ในOEIS ) — 3:2 และ 4:3, 5:4 และ 8:5, 6:5 และ 5:3, 9:8 และ 16:9, 10:9 และ 9:5, 16: 15 และ 15:8, 45:32 และ 64:45
    (ลำดับA061921ในOEIS ) — 3:2 และ 4:3, 5:4 และ 8:5, 6:5 และ 5:3, 9:8 และ 16:9, 10:9 และ 9:5, 16: 15 และ 15:8, 45:32 และ 64:45, 27:20 และ 40:27, 32:27 และ 27:16, 81:64 และ 128:81, 256:243 และ 243:128
    (ลำดับA061918ในOEIS ) — 5:4 และ 8:5
    (ลำดับA061919ในOEIS ) — 6:5 และ 5:3
    (ลำดับA060529ในOEIS ) — 6:5 และ 5:3, 7:5 และ 10:7, 7:6 และ 12:7
    (ลำดับA061416ในOEIS ) — 11:8 และ 16:11

อ้างอิง

  1. เซธาเรส (2005)
  2. โอดอนเนลล์, ไมเคิล. "รากฐานการรับรู้ของเสียง" สืบค้นเมื่อ11 มีนาคม 2560 .
  3. เฮล์มโฮลทซ์, เอช. ; เอลลิส, เอเจ "ประวัติศาสตร์แห่งสนามดนตรีในยุโรป" เกี่ยวกับความรู้สึกของโทน แปลโดยEllis, AJ (พิมพ์ซ้ำ) นิวยอร์ก รัฐนิวยอร์ก: โดเวอร์ หน้า 493–511.
  4. วารีสกี, กาเบรียล ยู.; โกเวอร์, คริสตินา เอ็ม. (2010) "น้ำเสียงและการชดเชยของเครื่องสายเฟรต" วารสารฟิสิกส์อเมริกัน . 78 (1): 47–55. arXiv : 0906.0127 . Bibcode :2010AmJPh..78...47V. ดอย :10.1119/1.3226563. S2CID  20827087.
  5. ↑ อับ คุตต์เนอร์ (1975), p. 163
  6. คุตต์เนอร์, ฟริตซ์ เอ. (พฤษภาคม 1975) "ชีวิตและงานของเจ้าชาย Chu Tsai-Yü: การประเมินการมีส่วนร่วมของเขาต่อทฤษฎีอารมณ์ที่เท่าเทียมกันอีกครั้ง" ชาติพันธุ์วิทยา . 19 (2): 163–206.
  7. โรบินสัน, เคนเนธ (1980) การศึกษาเชิงวิพากษ์เกี่ยวกับการมีส่วนร่วมของ Chu Tsai-yü ต่อทฤษฎีอารมณ์ที่เท่าเทียมกันในดนตรีจีน ซิโนโลจิกา โคโลเนียนเซีย ฉบับที่ 9. วีสบาเดิน เดลาแวร์: Franz Steiner Verlag พี ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว . Chu-Tsaiyu เป็นผู้กำหนดคณิตศาสตร์เรื่อง "อารมณ์ที่เท่าเทียมกัน" คนแรกในโลก
  8. ↑ ab โรบินสัน, เคนเนธ จี.; นีดแฮม, โจเซฟ (1962–2004) "ส่วนที่ 1: ฟิสิกส์" ในนีดแฮม โจเซฟ (เอ็ด) ฟิสิกส์และเทคโนโลยีกายภาพ วิทยาศาสตร์และอารยธรรมในประเทศจีน ฉบับที่ 4. เคมบริดจ์ สหราชอาณาจักร: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย. พี 221.
  9. ↑ ab Zhu, Zaiyu (1584) เยว่หลิว quán shū 樂律全書[ บทสรุปดนตรีและการเสนอขายฉบับสมบูรณ์ ] (ภาษาจีน)
  10. คุตต์เนอร์ (1975), p. 200
  11. โช, ยีน เจ. (กุมภาพันธ์ 2553). "ความสำคัญของการค้นพบอารมณ์ที่เท่าเทียมทางดนตรีในประวัติศาสตร์วัฒนธรรม" วารสารวิทยาลัยดนตรีซิงไห่ ISSN  1000-4270 เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 15 มีนาคม 2012
  12. จู, ไซหยู (1580) หลิวหรงถง 律暦融通[ การผสมผสานของดนตรีและปฏิทิน ] (ภาษาจีน)
  13. "พิธีกรรมเชิงปริมาณ: จักรวาลวิทยาการเมือง, ดนตรีในราชสำนัก และคณิตศาสตร์ที่แม่นยำในจีนสมัยศตวรรษที่ 17" uts.cc.utexas.edu _ Roger Hart ภาควิชาประวัติศาสตร์และเอเชียศึกษา มหาวิทยาลัยเท็กซัส ออสติน เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2012-03-05 . สืบค้นเมื่อ2012-03-20 .
  14. โรบินสันและนีดแฮม (1962–2004), p. 220ff
  15. โรแนน, คอลิน (เอ็ด.) วิทยาศาสตร์และอารยธรรมที่สั้นกว่าในประเทศจีน (ฉบับย่อ) พี 385.- เวอร์ชันย่อของ Robinson & Needham ดั้งเดิม (1962–2004)
  16. แฮนสัน, เลา. 劳汉生 《珠算与实用数学》 389页[ ลูกคิดและคณิตศาสตร์เชิงปฏิบัติ ]. พี 389.
  17. กาลิเลอี, วี. (1584) Il Fronimo ... Dialogo sopra l'arte del bene intavolare [ The Fronimo ... บทสนทนาเกี่ยวกับศิลปะแห่งการเริ่มต้นที่ดี ] (ในภาษาอิตาลี) เวนิส, ไอที: Girolamo Scotto หน้า 80–89.
  18. "Resound – ความเสียหายของดนตรี". Philresound.co.uk . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2012-03-24 . สืบค้นเมื่อ2012-03-20 .
  19. กอร์ซานิส, จาโคโม (1982) [ c.  1525~1575 ]. Intabolatura di liuto [ ตารางลูต ] (ในภาษาอิตาลี) (พิมพ์ซ้ำ) เจนีวา, CH: Minkoff
  20. "Spinacino 1507a: ดัชนีเฉพาะเรื่อง". มหาวิทยาลัยรัฐแอปพาเลเชียน เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 25 กรกฎาคม 2011 . สืบค้นเมื่อ14 มิถุนายน 2555 .
  21. สตีวิน, ไซมอน (30 มิถุนายน พ.ศ. 2552) [ c.  1605 ]. ราช, รูดอล์ฟ (บรรณาธิการ). ฟาน เดอ สปีเกอลิง เดอร์ ซิงคอนสท์ สำนักพิมพ์ Diapason เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 17 กรกฎาคม 2011 . สืบค้นเมื่อ20 มีนาคม 2555 - ผ่าน diapason.xentonic.org.
  22. ลินด์ลีย์, มาร์ก. พิณ, การละเมิด, อารมณ์ . ไอเอสบีเอ็น  978-0-521-28883-5.
  23. แวร์กไมสเตอร์, อันเดรียส (1707) Musicalische Paradoxal-Discourse [ Paradoxical Musical Discussion ] (ในภาษาเยอรมัน)
  24. พาร์ตช์, แฮร์รี (1979) การกำเนิดของดนตรี (ฉบับที่ 2) ดาคาโปเพรส พี 134. ไอเอสบีเอ็น  0-306-80106-เอ็กซ์.
  25. คอร์เดียร์, แซร์จ. "เลอเทมเพอรามองต์ เอกัล อา ควินเตส จัสต์" aredem.online.fr (เป็นภาษาฝรั่งเศส) สมาคม pour la Recherche และ le Développement de la Musique สืบค้นเมื่อ2010-06-02 .
  26. ซูร์โจดินิงกราต, สุดารจานา และซูซานโต (1972)
  27. มอร์ตัน (1980)
  28. มอร์ตัน, เดวิด (1980) เมย์ เอลิซาเบธ (เอ็ด) ดนตรีแห่งประเทศไทย . ดนตรีจากหลากหลายวัฒนธรรม พี 70. ไอเอสบีเอ็น 0-520-04778-8.
  29. บอยส์ (1969)
  30. ^ มี关"七平均律"新文献著作的发现 [การค้นพบวรรณกรรมใหม่เกี่ยวกับเฮปตะ – อารมณ์ที่เท่าเทียมกัน] (ในภาษาจีน) เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 27-10-2550
  31. ^ 七平均律"琐谈--兼及旧式均孔曲笛制作与转调 [abstract of About "Seven- equal- Tuning System" ] (in Chinese). Archived from the original on 2007-09-30 . เรียกค้นเมื่อ2007 -06-25 .
  32. สกินเนอร์, ไมลส์ ลีห์ (2007) สู่ไวยากรณ์ควอเตอร์โทน: วิเคราะห์ผลงานที่เลือกสรรโดย Blackwood, Haba, Ives และ Wyschnegradsky พี 55. ไอเอสบีเอ็น 9780542998478.
  33. เซธาเรส (2005), p. 58
  34. มอนโซ, โจ (2005) "อารมณ์เท่าเทียมกัน". สารานุกรม Tonalsoft ของทฤษฎีดนตรีไมโครโทน โจ มอนโซ. สืบค้นเมื่อ26 กุมภาพันธ์ 2019 .
  35. "665เอโดะ". ซีโนฮาร์โมนิก (วิกิไมโครโทนัล) เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2015-11-18 . สืบค้นเมื่อ2014-06-18 .
  36. "คอนเวอร์เจนต์(log2(3), 10)". วุลแฟรมอัลฟ่า. สืบค้นเมื่อ2014-06-18 .
  37. คาร์ลอส, เวนดี. "สามส่วนอสมมาตรของอ็อกเทฟ" wendycarlos.com _ เซเรนดิป แอลแอลซี สืบค้นเมื่อ2016-09-01 .
  38. มิลน์, เอ.; เซธาเรส, วอชิงตัน ; พลามอนดอน เจ. (ฤดูหนาว 2550) "ตัวควบคุมไอโซมอร์ฟิกและการปรับแต่งแบบไดนามิก: การวางนิ้วที่ไม่แปรผันตลอดความต่อเนื่องของการปรับแต่ง" วารสารดนตรีคอมพิวเตอร์ . 31 (4): 15–32. ดอย : 10.1162/comj.2007.31.4.15 . ไอเอสเอ็น  0148-9267. ออนไลน์: ISSN  1531-5169

แหล่งที่มา

  • บอยส์ เจ. (1969) "เพลงแม้ว่า Terpehua" ชาติพันธุ์วิทยา . 13 : 42–47.
  • โช จีน จินซง (2003) การค้นพบอารมณ์ที่เท่าเทียมกันทางดนตรีในจีนและยุโรปในศตวรรษที่ 16 ลูอิสตัน, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Edwin Mellen .
  • ดัฟฟิน, รอสส์ ดับเบิลยู. (2007) อารมณ์ที่เท่าเทียมกันทำลายความสามัคคีเพียงใด (และเหตุใดคุณจึงควรใส่ใจ) . นิวยอร์ก รัฐนิวยอร์ก: WWNorton & Company ไอเอสบีเอ็น 978-0-39306227-4.
  • ยอร์เกนเซ่น, โอเว่น (1991) การปรับแต่ง สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมิชิแกน. ไอเอสบีเอ็น 0-87013-290-3.
  • เซธาเรส, วิลเลียม เอ. (2005) การปรับเสียง จังหวะ สเปกตรัม สเกล (ฉบับที่ 2) ลอนดอน สหราชอาณาจักร: Springer-Verlag ไอเอสบีเอ็น 1-85233-797-4.
  • สุราษฎร์ธานี ว.; สุดารจานา, PJ; ซูซานโต เอ. (1972) การวัดโทนเสียงของ gamelans ชวาที่โดดเด่นใน Jogjakarta และ Surakarta Jogjakarta, IN: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย Gadjah Mada.อ้างโดย"มาตราส่วน gamelan pelog ของชวากลางเป็นตัวอย่างของมาตราส่วนดนตรีที่ไม่ฮาร์มอนิก" telia.com _ ประสาทวิทยาดนตรี. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 27 มกราคม พ.ศ. 2548 . สืบค้นเมื่อ 19 พฤษภาคม 2549 .
  • สจ๊วร์ต, พีเจ (2549) [มกราคม 2542] จากกาแล็กซีสู่กาแล็กซี: ดนตรีแห่งทรงกลม (รายงาน) 8096295 – ผ่านทาง academia.edu "Alt ลิงก์ 1" 269108386 – ผ่าน researchgate.net "Alt. link 2" – ผ่าน Google เอกสาร
  • Khramov, Mykhaylo (26–29 กรกฎาคม พ.ศ. 2551) ประมาณ 5 ขีดจำกัดแค่น้ำเสียง การสร้างแบบจำลอง MIDI ของคอมพิวเตอร์ในระบบเชิงลบของดิวิชั่นที่เท่ากันของอ็อกเทฟ การประชุมนานาชาติ SIGMAP-2008 ปอร์โต้ . หน้า 181–184. ไอเอสบีเอ็น 978-989-8111-60-9.[ ลิงก์เสียถาวร ]

อ่านเพิ่มเติม

  • Helmholtz, H. (2005) [1877 (ฉบับภาษาเยอรมันครั้งที่ 4), 1885 (ฉบับภาษาอังกฤษฉบับที่ 2)] เรื่อง ความรู้สึกของน้ำเสียงที่เป็นพื้นฐานทางสรีรวิทยาสำหรับทฤษฎีดนตรี แปลโดยEllis, AJ (พิมพ์ซ้ำ) ไวต์ฟิช มอนแทนา: สำนักพิมพ์ Kellinger ไอเอสบีเอ็น 978-1-41917893-1. OCLC  71425252 – ผ่านทางInternet Archive (archive.org)
    – งานพื้นฐานเกี่ยวกับเสียงและการรับรู้เสียง โดยเฉพาะเนื้อหาในภาคผนวก XX: เพิ่มเติมโดยผู้แปลหน้า 430–556 (pdf หน้า 451–577) (ดูบทความ wiki เกี่ยวกับ Sensations of Tone ด้วย )

ลิงค์ภายนอก

  • บทนำสู่การปรับแต่งทางประวัติศาสตร์โดยKyle Gann
  • Xenharmonic wiki เกี่ยวกับ EDOs กับ Temperaments ที่เท่าเทียมกัน
  • ศูนย์มูลนิธิ Huygens-Fokker สำหรับดนตรี Microtonal
  • A.Orlandini: ดนตรีอะคูสติก
  • "อารมณ์" จากภาคเสริมถึงไซโคลพีเดียของมิสเตอร์แชมเบอร์ส (1753)
  • บาร์บิเอรี, ปาตริซิโอ. เครื่องดนตรีและดนตรีเอนฮาร์โมนิก ค.ศ. 1470–1900 (2008) Latina, Il Levante Libreria บรรณาธิการ
  • ดนตรีแฟร็กทัลไมโครโทนอล, จิม คูคูลา .
  • คำพูดที่มีอยู่ทั้งหมดในศตวรรษที่ 18 เกี่ยวกับ JS Bach และอารมณ์
  • Dominic Eckersley: "Rosetta Revisited: อารมณ์ที่ธรรมดามากของ Bach"
  • Well Temperaments ตามคำจำกัดความของ Werckmeister
  • สาระสำคัญของสเกลที่ชื่นชอบโดย P ETER B UCH
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Equal_temperament&oldid=1198990810"