อารมณ์ที่เท่าเทียมกัน

อารมณ์ ที่เท่าเทียมกันคือ อารมณ์ ทางดนตรีหรือระบบการปรับจูนซึ่งประมาณช่วงเวลาเพียงโดยการแบ่งอ็อกเทฟ (หรือช่วงอื่น ๆ ) เป็นขั้นตอนที่เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าอัตราส่วนของความถี่ของโน้ตคู่ใด ๆ ที่อยู่ติดกันจะเท่ากัน ซึ่งจะทำให้ขนาดขั้นที่รับรู้เท่ากันเมื่อรับรู้พิ ท ช์อย่างคร่าวๆ เป็นลอการิทึมของความถี่ ^[2]

ในดนตรีคลาสสิกและดนตรีตะวันตก โดยทั่วไป ระบบการจูนที่พบบ่อยที่สุดตั้งแต่ศตวรรษที่ 18 มีอารมณ์เท่ากันสิบสองโทน (หรือที่รู้จักในชื่อ12 อารมณ์เท่ากัน 12 -TETหรือ12-ET ; ย่ออย่างไม่เป็นทางการถึงสิบสองเท่ากับ ) ซึ่งแบ่ง อ็อกเทฟออกเป็น 12 ส่วน ซึ่งทั้งหมดเท่ากันในระดับลอการิทึมโดยมีอัตราส่วนเท่ากับรากที่ 12 ของ 2 ( ¹² √ 2 ≈ 1.05946) ผลลัพธ์ที่ได้คือช่วงห่างที่เล็กที่สุด คือ1 ⁄ 12ของความกว้างของอ็อกเทฟ เรียกว่า เซมิ โทนหรือครึ่งขั้น ในประเทศตะวันตกคำว่าอารมณ์เท่ากันโดยไม่มีคุณสมบัติ โดยทั่วไปหมายถึง 12-TET

ในยุคปัจจุบัน 12-TET มักจะถูกปรับให้สัมพันธ์กับพิทช์มาตรฐานที่ 440 Hz เรียกว่าA440หมายถึงโน้ตตัวหนึ่งAถูกปรับเป็น 440 เฮิรตซ์และโน้ตอื่น ๆ ทั้งหมดถูกกำหนดให้เป็นหลายเซมิโทนนอกเหนือจากนั้น ไม่ว่าจะสูงกว่า หรือความถี่ ต่ำ กว่า ระยะพิทช์มาตรฐานไม่ได้อยู่ที่ 440 Hz เสมอไป มีความหลากหลายและเพิ่มขึ้นโดยทั่วไปในช่วงไม่กี่ร้อยปีที่ผ่านมา ^[3]

อารมณ์ที่เท่าเทียมกันอื่น ๆ แบ่งอ็อกเทฟต่างกัน ตัวอย่างเช่น เพลงบางเพลงเขียนใน19-TETและ31-TETในขณะที่ระบบเสียงอาหรับใช้ 24-TET

แทนที่จะแบ่งอ็อกเทฟ อารมณ์ที่เท่ากันยังสามารถแบ่งช่วงเวลาที่แตกต่างกันได้ เช่น เวอร์ชันที่มีอารมณ์เท่ากันของสเกล Bohlen–Pierceซึ่งแบ่งช่วงที่พอดีของอ็อกเทฟและหนึ่งในห้า (อัตราส่วน 3:1) เรียกว่า " tritave" หรือ " pseudo-octave " ในระบบนั้น ออกเป็น 13 ส่วนเท่าๆ กัน

สำหรับระบบการปรับจูนที่แบ่งอ็อกเทฟเท่าๆ กัน แต่ไม่ใช่การประมาณของช่วงเวลาเพียงอย่างเดียว สามารถใช้คำว่าการหารเท่าๆ กันของอ็อกเทฟหรือEDOได้

ชุดเครื่องสายแบบ ไม่มีเฟ รต ซึ่งสามารถปรับจูนของโน้ตทั้งหมดได้ ยกเว้นสำหรับสายเปิดและกลุ่มแกนนำที่ไม่มีข้อจำกัดในการปรับจูนแบบกลไก บางครั้งใช้การปรับจูนให้ใกล้เคียงกับการสูงต่ำมากด้วยเหตุผลทางเสียง เครื่องมืออื่น ๆเช่นลมคีย์บอร์ดและเครื่องดนตรี ที่มีเฟ รต มักจะประมาณอารมณ์ที่เท่าเทียมกันเท่านั้น โดยที่ข้อจำกัดทางเทคนิคจะขัดขวางการปรับจูนที่แน่นอน ^[4]เครื่องมือลมบางชนิดที่สามารถดัดน้ำเสียงได้ง่ายและเป็นธรรมชาติ โดยเฉพาะทรอมโบนใช้การปรับเสียงที่คล้ายกับเครื่องสายและกลุ่มเสียง

คุณสมบัติทั่วไป

ในอารมณ์ที่เท่าเทียมกัน ระยะห่างระหว่างสองขั้นตอนที่อยู่ติดกันของมาตราส่วนเป็นช่วงเดียวกัน เนื่องจากการรับรู้เอกลักษณ์ของช่วงเวลาขึ้นอยู่กับอัตราส่วนมาตราส่วนนี้เป็นขั้นคู่จึงเป็นลำดับทางเรขาคณิตของการคูณ ( ลำดับเลขคณิตของช่วงเวลาจะไม่ฟังดูเว้นระยะห่างเท่าๆ กัน และจะไม่อนุญาตให้ย้ายไปยังคีย์ต่างๆ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งช่วงเวลา ที่เล็กที่สุด ในมาตราส่วนที่มีอุณหภูมิเท่ากันคืออัตราส่วน:

${\displaystyle r^{n}=p}$

${\displaystyle r={\sqrt[{n}]{p}}}$

โดยที่อัตราส่วนrแบ่งอัตราส่วนp (โดยทั่วไปคืออ็อกเทฟซึ่งเท่ากับ 2:1) ออกเป็นnส่วนเท่าๆ กัน ( ดูอารมณ์ที่เท่าเทียมกันสิบสองโทนด้านล่าง )

เครื่องชั่งมักจะวัดเป็นเซ็นต์ซึ่งแบ่งอ็อกเทฟออกเป็น 1200 ช่วงเท่าๆ กัน (แต่ละอันเรียกว่าเซ็นต์) มาตราส่วน ลอการิทึมนี้ทำให้การเปรียบเทียบระบบการจูนแบบต่างๆ ง่ายกว่าการเปรียบเทียบอัตราส่วน และมีประโยชน์อย่างมากในด้านชาติพันธุ์วิทยา ขั้นตอนพื้นฐานในหน่วยเซนต์สำหรับอารมณ์ที่เท่ากันสามารถพบได้โดยนำความกว้างของpด้านบนเป็นเซ็นต์ (ปกติคืออ็อกเทฟซึ่งกว้าง 1200 เซ็นต์) เรียกว่าด้านล่างwและแบ่งออกเป็นnส่วน:

${\displaystyle c={\frac {w}{n}}}$

ในการวิเคราะห์ดนตรี เนื้อหาที่เป็นของอารมณ์ที่เท่าเทียมกันมักจะได้รับสัญกรณ์จำนวนเต็มซึ่งหมายความว่าจะใช้จำนวนเต็มเดียวเพื่อแสดงแต่ละระดับเสียง สิ่งนี้ช่วยลดความยุ่งยากและพูดคุยทั่วไปเกี่ยวกับเนื้อหาระดับพิทช์ภายในอารมณ์ในลักษณะเดียวกับที่ลอการิทึมของการคูณลดการเพิ่มเข้าไป นอกจากนี้ โดยการใช้เลขคณิตแบบแยกส่วนโดยที่โมดูลัสคือจำนวนของดิวิชั่นของอ็อกเทฟ (โดยปกติคือ 12) จำนวนเต็มเหล่านี้สามารถลดขนาดลงเป็นระดับพิทช์ ซึ่งจะขจัดความแตกต่าง (หรือยอมรับความคล้ายคลึงกัน) ระหว่างระดับเสียงที่มีชื่อเดียวกัน เช่นcเป็น 0 โดยไม่คำนึงถึงการลงทะเบียนอ็อกเทฟ MIDI _มาตรฐานการเข้ารหัสใช้การกำหนดบันทึกย่อจำนวนเต็ม

สูตรทั่วไปสำหรับช่วงอารมณ์เท่ากัน

อารมณ์ที่เท่าเทียมกันสิบสองโทน

อารมณ์ที่เท่ากัน 12 โทน ซึ่งแบ่งอ็อกเทฟออกเป็นสิบสองช่วงที่มีขนาดเท่ากัน เป็นระบบดนตรีที่ใช้กันมากที่สุดในปัจจุบัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในดนตรีตะวันตก

ประวัติ

บุคคลทั้งสองมักให้เครดิตกับความสำเร็จของการคำนวณที่แน่นอนของอารมณ์ที่เท่าเทียมกันคือZhu Zaiyu (เรียกอีกอย่างว่า Chu-Tsaiyu ภาษาจีน:朱載堉) ในปี ค.ศ. 1584 และSimon Stevinในปี ค.ศ. 1585 ตามที่ Fritz A. Kuttner นักวิจารณ์เรื่อง ทฤษฎี^[5]เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า "Chu-Tsaiyu ได้นำเสนอวิธีการที่แม่นยำ เรียบง่าย และชาญฉลาดสำหรับการคำนวณเลขคณิตของคอร์ดโมโนที่มีอารมณ์เท่ากันในปี ค.ศ. 1584" และ "Simon Stevin เสนอคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของอารมณ์ที่เท่าเทียมกันบวกกับอีกเล็กน้อย การคำนวณที่แม่นยำของค่าตัวเลขที่สอดคล้องกันในปี 1585 หรือใหม่กว่า" การพัฒนาเกิดขึ้นอย่างอิสระ ^[6]

เคนเน็ธ โรบินสันกล่าวถึงการประดิษฐ์อารมณ์ที่เท่าเทียมกับ Zhu Zaiyu ^[7]และให้ข้อความอ้างอิงเพื่อเป็นหลักฐาน ^[8] Zhu Zaiyu อ้างว่าในข้อความจาก 1584 "ฉันได้ก่อตั้งระบบใหม่ ฉันสร้างเท้าข้างหนึ่งเป็นตัวเลขที่จะแยกส่วนอื่น ๆ และใช้สัดส่วนที่ฉันแยกออกทั้งหมด เราต้องหาตัวเลขที่แน่นอนสำหรับพิทช์ไพเพอร์ในการดำเนินการสิบสองครั้ง” ^[8] Kuttner ไม่เห็นด้วยและตั้งข้อสังเกตว่าคำกล่าวอ้างของเขา "ไม่สามารถถือว่าถูกต้องได้หากไม่มีคุณสมบัติหลัก" ^[5] Kuttner เสนอว่าทั้ง Zhu Zaiyu หรือ Simon Stevin ต่างก็มีอารมณ์ที่เท่าเทียมกัน และไม่ควรถือว่าทั้งสองคนนี้เป็นนักประดิษฐ์ ^[9]

ประเทศจีน

ในขณะที่จีนเคยคิดค่าประมาณสำหรับ 12-TET แล้วZhu Zaiyuเป็นคนแรกที่แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เท่าเทียมกันสิบสองโทน^[10]ซึ่งเขาอธิบายไว้ในFusion of Music and Calendar (律暦融通) ในปี ค.ศ. 1580 และเสร็จสมบูรณ์ บทสรุปของดนตรีและ ระดับเสียง ( Yuelü quan shu 樂律全書) ในปี ค.ศ. 1584 ^[11] โจเซฟ นีดแฮมยังให้คำอธิบายเพิ่มเติมอีกด้วย ^[12] Zhu ได้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์โดยการหารความยาวของ string และ pipe ตามลำดับด้วย¹² √ 2 ≈ 1.059463 และสำหรับความยาวท่อด้วย²⁴ √ 2 , ^[13]ดังนั้นหลังจากสิบสองดิวิชั่น (อ็อกเทฟ) ความยาวถูกหารด้วย 2 แฟคเตอร์ของ 2

Zhu Zaiyu ได้สร้างเครื่องมือหลายอย่างที่ปรับให้เข้ากับระบบของเขา รวมถึงท่อไม้ไผ่ ^[14]

ยุโรป

ชาวยุโรปกลุ่มแรกบางคนที่สนับสนุนให้มีอารมณ์ที่เท่าเทียมกัน ได้แก่ นัก ลูเทนนิส วินเชนโซ กาลิเลอีจาโกโม กอร์ซานิส และฟรานเชสโก สปินาซิโนซึ่งล้วนแต่แต่งเพลงอยู่ในนั้น ^{[15] [16] [17] [18]}

Simon Stevinเป็นคนแรกที่พัฒนา 12-TET โดยอิงจากรากที่สิบสองของสองซึ่งเขาอธิบายไว้ในVan De Spiegheling der singconst (ca. 1605) ซึ่งตีพิมพ์ต้อเกือบสามศตวรรษต่อมาในปี 1884 ^[19]

เป็นเวลาหลายศตวรรษแล้วที่ยุโรปใช้ระบบการปรับจูนที่หลากหลาย รวมถึง 12 อารมณ์ที่เท่าเทียมกัน เช่นเดียวกับอารมณ์ร่วมและอารมณ์ที่ดีซึ่งแต่ละระบบสามารถมองได้ว่าเป็นค่าประมาณของอดีต นักเล่นเครื่องดนตรีที่ดึงออกมา (นักเล่นลูเทนและนักกีตาร์) โดยทั่วไปชอบนิสัยที่เท่าเทียมกัน^[20]ในขณะที่คนอื่นๆ ถูกแบ่งแยกมากกว่า ^[21]ในที่สุด อารมณ์ที่เท่าเทียมกันสิบสองโทนก็ชนะ ซึ่งทำให้รูปแบบใหม่ของความสมมาตรและพหุ โทน ดนตรีที่ เน้นโทนเสียง เช่น ที่เขียนด้วยเทคนิคสิบสองโทนหรืออนุกรมวิธานและแจ๊ส (อย่างน้อยก็มีองค์ประกอบเปียโน) พัฒนาและรุ่งเรือง

คณิตศาสตร์

ในอารมณ์ที่เท่ากันสิบสองโทน ซึ่งแบ่งอ็อกเทฟออกเป็น 12 ส่วนเท่าๆ กัน ความกว้างของ เซมิ โทนกล่าวคืออัตราส่วนความถี่ของช่วงเวลาระหว่างโน้ตสองตัวที่อยู่ติดกัน คือรูตที่สิบสองของสองตัว :

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=2^{\frac {1}{12}}\ประมาณ 1.059463}$

นี่เทียบเท่ากับ:

${\displaystyle e^{{\frac {1}{12}}\ln 2}\ประมาณ 1.059463}$

ช่วงเวลานี้แบ่งออกเป็น 100 เซ็นต์

การคำนวณความถี่สัมบูรณ์

ในการค้นหาความถี่P _nของโน้ตใน 12-TET อาจใช้คำจำกัดความต่อไปนี้:

${\displaystyle P_{n}=P_{a}\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(n-a)}}$

ในสูตรนี้P _nหมายถึงพิทช์หรือความถี่ (ปกติในหน่วยเฮิรตซ์ ) คุณกำลังพยายามหา P _aหมายถึงความถี่ของระดับเสียงอ้างอิง nและการอ้างอิงถึงตัวเลขที่กำหนดให้กับระดับเสียงที่ต้องการและระดับอ้างอิงตามลำดับ ตัวเลขสองตัวนี้มาจากรายการของจำนวนเต็มต่อเนื่องที่กำหนดให้กับเซมิโทนที่ต่อเนื่องกัน ตัวอย่างเช่น A ₄ (ระดับเสียงอ้างอิง) คือคีย์ที่ 49 จากปลายด้านซ้ายของเปียโน (ปรับเป็น440 Hz ) และ C ₄ ( C กลาง ) และ F# ₄เป็นคีย์ที่ 40 และ 46 ตามลำดับ ตัวเลขเหล่านี้สามารถใช้เพื่อค้นหาความถี่ของ C₄และ F# ₄  :

${\displaystyle P_{40}=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(40-49)}\ประมาณ 261.626\ \mathrm {Hz} }$

${\displaystyle P_{46}=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(46-49)}\ประมาณ 369.994\ \mathrm {Hz} }$

การแปลงความถี่เป็นคู่อารมณ์ที่เท่าเทียมกัน

ในการแปลงความถี่ (เป็น Hz) ให้เป็นคู่ที่เท่ากัน 12-TET คุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

${\displaystyle E_{n}=a\cdot 2^{\frac {\operatorname {round} \left(12\log _{2}\left({\frac {n}{a}}\right)\right )}{12}}}$

โดยที่E _nหมายถึงความถี่ของระดับเสียงในอารมณ์ที่เท่าเทียมกัน และaหมายถึงความถี่ของระดับเสียงอ้างอิง ตัวอย่างเช่น (ถ้าเราปล่อยให้ระยะพิทช์อ้างอิงเท่ากับ 440 Hz) เราจะเห็นว่า E ₅และ C# ₅เท่ากับความถี่ต่อไปนี้ตามลำดับ:

${\displaystyle E_{660}=440\cdot 2^{\frac {\operatorname {round} \left(12\log _{2}\left({\frac {660}{440}}\right)\right )}{12}}\ประมาณ 659.255\ \mathrm {Hz} }$

${\displaystyle E_{550}=440\cdot 2^{\frac {\operatorname {round} \left(12\log _{2}\left({\frac {550}{440}}\right)\right )}{12}}\ประมาณ 554.365\ \mathrm {Hz} }$

เปรียบเทียบกับน้ำเสียงธรรมดา

ช่วงเวลาของ 12-TET ใกล้เคียงกับช่วงบางช่วงอย่างใกล้ชิดใน ระดับ เสียงสูงต่ำ ⁽²²⁾ ส่วนที่ห้าและส่วนที่สี่นั้นแทบจะแยกไม่ออกว่าเป็นช่วงๆ ในขณะที่ส่วนที่สามและส่วนที่หกอยู่ไกลออกไป

ในตารางต่อไปนี้ ขนาดของช่วง Just ต่างๆ จะถูกนำมาเปรียบเทียบกับขนาดเท่าๆ กัน โดยกำหนดเป็นอัตราส่วนและเซ็นต์

ชื่อช่วงเวลา	ค่าที่แน่นอนใน 12-TET	ค่าทศนิยมใน 12-TET	เซ็นต์	แค่ช่วงเสียงสูงต่ำ	เซ็นต์ในน้ำเสียงเท่านั้น	ความแตกต่าง
พร้อมเพรียงกัน ( C )	2 0 ⁄ 12 = 1	1	0	1 ⁄ 1 = 1	0	0
เสี้ยววินาที ( D ♭ )	2 1 ⁄ 12 = 12 √ 2	1.059463	100	16 ⁄ 15 = 1.06666…	111.73	-11.73
เมเจอร์วินาที ( D )	2 2 ⁄ 12 = 6 √ 2	1.122462	200	9 ⁄ 8 = 1.125	203.91	-3.91
ผู้เยาว์ที่สาม ( E ♭ )	2 3 ⁄ 12 = 4 √ 2	1.189207	300	6 ⁄ 5 = 1.2	315.64	-15.64
สาขาวิชาที่สาม ( E )	2 4 ⁄ 12 = 3 √ 2	1.259921	400	5 ⁄ 4 = 1.25	386.31	+13.69
สมบูรณ์แบบที่สี่ ( F )	2 5 ⁄ 12 = 12 √ 32	1.33484	500	4 ⁄ 3 = 1.33333…	498.04	+1.96
ทริโทน ( G ♭ )	2 6 ⁄ 12 = √ 2	1.414214	600	64 ⁄ 45 = 1.42222…	609.78	-9.78
สมบูรณ์แบบที่ห้า ( G )	2 7 ⁄ 12 = 12 √ 128	1.498307	700	3 ⁄ 2 = 1.5	701.96	-1.96
รองที่หก ( A ♭ )	2 8 ⁄ 12 = 3 √ 4	1.587401	800	8 ⁄ 5 = 1.6	813.69	-13.69
สาขาวิชาที่หก ( A )	2 9 ⁄ 12 = 4 √ 8	1.681793	900	5 ⁄ 3 = 1.66666…	884.36	+15.64
ผู้เยาว์ที่เจ็ด ( B ♭ )	2 10 ⁄ 12 = 6 √ 32	1.781797	1000	16 ⁄ 9 = 1.77777…	996.09	+3.91
เมเจอร์ เซเว่น ( ข )	2 11 ⁄ 12 = 12 √ 2048	1.887749	1100	15 ⁄ 8 = 1.875	1088.270	+11.73
อ็อกเทฟ ( C )	2 12 ⁄ 12 = 2	2	1200	2 ⁄ 1 = 2	1200.00	0

เซเว่นโทนเท่ากับดิวิชั่นที่ห้า

ไวโอลิน วิโอลา และเชลโลได้รับการปรับในหนึ่งในห้าที่สมบูรณ์แบบ (G - D - A - E สำหรับไวโอลิน และ C - G - D - A สำหรับวิโอลาและเชลโล) ซึ่งแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนกึ่งโทนสูงกว่าในเล็กน้อย ธรรมดาสิบสองโทนอารมณ์เท่ากัน เนื่องจากอันดับที่ 5 สมบูรณ์มีความสัมพันธ์แบบ 3:2 กับโทนเสียงพื้นฐาน และช่วงเวลานี้ครอบคลุม 7 ขั้นตอน แต่ละโทนจะมีอัตราส่วน⁷ √ 3 ⁄ 2ต่อลำดับถัดไป (100.28 เซ็นต์) ซึ่งให้สำหรับอันดับที่ 5 ที่สมบูรณ์แบบ ด้วยอัตราส่วน 3:2 แต่อ็อกเทฟกว้างขึ้นเล็กน้อยด้วยอัตราส่วน ≈ 517:258 หรือ ≈ 2.00388:1 แทนที่จะเป็นอัตราส่วน 2:1 ปกติ เพราะสิบสองในห้าที่สมบูรณ์แบบไม่เท่ากับเจ็ดอ็อกเทฟ ^[23]อย่างไรก็ตาม ในระหว่างการเล่นจริง นักไวโอลินจะเลือกระดับเสียงโดยหู และมีเพียงสี่ระดับเสียงที่ไม่มีการหยุดของสายเท่านั้นที่รับประกันว่าจะแสดงอัตราส่วน 3:2 นี้

อารมณ์ที่เท่าเทียมกันอื่น ๆ

อุปนิสัยแบบ 5 และ 7 ทางชาติพันธุ์วิทยา

อารมณ์ที่เท่ากันห้าและเจ็ดโทน ( เล่น 5-TET ( ช่วยเหลือ · ข้อมูล )และเล่น 7-TET ( ช่วยเหลือ · ข้อมูล ) ) โดยมีขั้นตอนร้อยละ 240 Play ( ช่วยเหลือ · ข้อมูล )และ 171 Play ( ช่วยเหลือ · ข้อมูล )ตามลำดับ ทั่วไป.     

5-TET และ 7-TET ทำเครื่องหมายจุดสิ้นสุดของ ช่วงการปรับค่าที่ถูกต้องของ อารมณ์ syntonicดังแสดงในรูปที่ 1

• ใน 5-TET ส่วนที่ห้าที่ปรับอุณหภูมิได้สมบูรณ์แบบจะมีความกว้าง 720 เซ็นต์ (ที่ด้านบนของคอนตินิวอัมการปรับแต่ง) และทำเครื่องหมายจุดสิ้นสุดบนคอนตินิวอัมการปรับแต่งซึ่งความกว้างของวินาทีรองลงมาเหลือความกว้าง 0 เซ็นต์
• ใน 7-TET ส่วนที่ห้าแบบปรับอุณหภูมิได้กว้าง 686 เซ็นต์ (ที่ด้านล่างของคอนตินิวอัมการปรับจูน) และทำเครื่องหมายที่จุดสิ้นสุดบนคอนตินิวอัมการปรับแต่ง โดยที่วินาทีรองจะขยายให้กว้างเท่ากับวินาทีหลัก (ที่ 171 เซนต์ต่ออันต่ออัน) ).

อารมณ์เท่ากัน 5 โทน

gamelans ของอินโดนีเซียได้รับการปรับเป็น 5-TET ตามKunst (1949) แต่ตามHood (1966) และMcPhee (1966) การปรับจูนของพวกเขานั้นแตกต่างกันอย่างมาก และตามTenzer (2000) พวกมันมีอ็อกเทฟที่ยืดออก ตอนนี้เป็นที่ยอมรับกันดีว่าระบบการปรับจูนหลักสองระบบในเพลง gamelan คือslendroและpelogมีเพียง slendro เท่านั้นที่มีลักษณะคล้ายกับอารมณ์ที่เท่ากันแบบห้าโทนในขณะที่ pelog นั้นไม่เท่ากันอย่างมาก อย่างไรก็ตาม Surjodiningrat และคณะ (1972) ได้วิเคราะห์ Pelog เป็นเซตย่อยเจ็ดโน้ตของอารมณ์ที่เท่ากันเก้าโทน ( เล่น ขั้นตอน 133 เซ็นต์ ( help · info ) )  

อารมณ์ 7 โทนเท่ากัน

ระนาด ไทยวัดโดยมอร์ตัน (1974) "แตกต่างกันเพียงบวกหรือลบ 5 เซ็นต์" จาก 7-TET ตามคำกล่าวของมอร์ตัน "เครื่องดนตรีไทยที่มีพิทช์คงที่ได้รับการปรับจูนให้เป็นระบบเจ็ดพิตต่ออ็อกเทฟที่เท่ากัน ... เช่นเดียวกับในดนตรีตะวันตก อย่างไรก็ตาม พิตช์ทั้งหมดของระบบจูนจะไม่ใช้ในโหมดเดียว (มักเรียกว่า ' มาตราส่วน') ในระบบไทย ห้าในเจ็ดจะใช้ในระดับเสียงหลักในโหมดใด ๆ ดังนั้นจึงสร้างรูปแบบของช่วงเวลาที่ไม่เท่ากันสำหรับโหมดนี้" ^[24] เล่น ( ช่วยเหลือ · ข้อมูล ) 

มาตราส่วนอินเดียนในอเมริกาใต้จากวัฒนธรรมก่อนเครื่องดนตรีที่วัดโดย Boiles (1969) นำเสนออารมณ์ที่เท่าเทียมกันเจ็ดโทน 175 เปอร์เซ็นต์ซึ่งขยายอ็อกเทฟเล็กน้อยเช่นเดียวกับดนตรี gamelan ที่บรรเลง

เพลงจีนมีประเพณีที่ใช้ 7-TET ^{[25] [26]}

อารมณ์ที่เท่าเทียมกันต่างๆ

19 EDO มีชื่อเสียงและเครื่องดนตรีบางประเภทได้รับการปรับแต่งใน 19 EDO มีอันดับห้าที่สมบูรณ์แบบกว่าเล็กน้อย (ที่ 695 เซ็นต์) แต่อันดับที่หกที่สำคัญนั้นอยู่ห่างจากอันดับที่ 6 ของการออกเสียงสูงต่ำเพียงร้อยละเดียว (ที่ 884 เซ็นต์) รองลงมาคือน้อยกว่าร้อยละจากน้ำเสียงเพียง (EDO ที่ต่ำที่สุดที่สร้างอันดับรองลงมาที่สามและที่หกได้ดีกว่า 19 EDO คือ 232 EDO) ที่สี่ที่สมบูรณ์แบบ (ที่ 505 เซ็นต์) นั้นคมเพียง 5 เซ็นต์มากกว่าเสียงสูงต่ำและ 3 เซ็นต์จาก 12-tet

23 EDOเป็น EDO ที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่สามารถประมาณฮาร์โมนิกที่ 3, 5, 7 และ 11 (3:2, 5:4, 7:4, 11:8) ได้ภายใน 20 เซ็นต์ ทำให้น่าสนใจสำหรับนักไมโครโทนที่มองหาไมโครโทนที่ผิดปกติ อาณาเขตฮาร์มอนิก

24 EDO , สเกลเสียงไตรมาส(หรือ 24-TET) เป็นการปรับจูนแบบไมโครโทนที่ได้รับความนิยมในศตวรรษที่ 20 อาจเป็นเพราะมันเป็นจุดเชื่อมต่อที่สะดวกสำหรับผู้แต่งที่ได้รับการปรับสภาพตามมาตรฐาน Western 12 EDO และแนวปฏิบัติเกี่ยวกับสัญกรณ์ที่สนใจเรื่องไมโครโทนเช่นกัน เนื่องจาก 24 EDO ประกอบด้วยสนามทั้งหมดของ 12 EDO รวมทั้งสนามใหม่ที่อยู่กึ่งกลางระหว่างสนาม EDO 12 คู่ที่อยู่ติดกัน พวกเขาสามารถใช้สีเพิ่มเติมได้โดยไม่สูญเสียกลยุทธ์ที่มีอยู่ใน 12 โทนเสียง ความจริงที่ว่า 24 เป็นทวีคูณของ 12 ทำให้ 24 EDO ง่ายต่อการใช้เครื่องดนตรีโดยใช้เครื่องมือ 12 EDO แบบดั้งเดิมสองตัวที่ตั้งใจปรับแต่งเสียงหนึ่งในสี่แยกจากกัน เช่น เปียโนสองตัว ซึ่งอนุญาตให้นักแสดงแต่ละคน (หรือนักแสดงคนหนึ่งเล่นเปียโนต่างกัน ด้วยมือแต่ละข้าง) เพื่ออ่านสัญกรณ์ 12 โทนที่คุ้นเคย นักประพันธ์เพลงหลายคนรวมทั้ง Charles Ives ได้ทดลองดนตรีสำหรับเปียโนแบบควอเตอร์โทน 24 EDO ประมาณฮาร์โมนิกที่ 11 ได้ดีมาก ต่างจาก 12 EDO

26 EDO เป็น EDO ที่เล็กที่สุดในการปรับแต่งฮาร์มอนิกที่ 7 (7:4) เกือบทั้งหมด นอกจากนี้ยังเป็นอารมณ์ที่มีความหมายแบนมากซึ่งหมายความว่าหลังจาก 4 ในห้าก็จะสร้างอารมณ์ที่ 3 ที่เป็นกลางมากกว่าที่จะเป็นอารมณ์หลัก 26 EDO มีสองส่วนรองในสามและสองส่วนรองในหก มันอาจจะสับสนเล็กน้อยในแวบแรกเพราะถ้าคุณเล่นเป็นกลาง 3 ฟังดูเหมือนเป็นเอกที่แบนมาก 26EDO อาจเป็นอารมณ์ทางเลือกของความสามัคคีของร้านตัดผม

27 EDO เป็น EDO ที่เล็กที่สุดที่แสดงถึงช่วงเวลาทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับแปดฮาร์โมนิกแรกโดยเฉพาะ มันแบ่งเบาเครื่องหมายจุลภาคผนังกั้นแต่ไม่แสดงเครื่องหมาย จุลภาค syntonic

29 EDOเป็นจำนวนต่ำสุดของดิวิชั่นที่เท่ากันของอ็อกเทฟที่สร้างอันดับห้าที่สมบูรณ์แบบได้ดีกว่า 12 EDO หลักที่สามนั้นไม่ถูกต้องเท่ากับ 12-TET; อย่างไรก็ตามมันถูกปรับ 14 เซ็นต์ให้แบนมากกว่า 14 เซ็นต์ที่คมชัด มันปรับฮาร์โมนิกที่ 7, 11 และ 13 แบบแบนเช่นกันโดยปริมาณเท่ากันโดยประมาณ ซึ่งหมายความว่าช่วงเวลาต่างๆ เช่น 7:5, 11:7, 13:11 เป็นต้น ทั้งหมดเข้ากันได้ดีมากใน 29-TET

31 EDOได้รับการสนับสนุนจากChristiaan HuygensและAdriaan Fokker 31 EDO มีความแม่นยำในลำดับที่ 5 น้อยกว่า 12 EDO เล็กน้อย แต่ให้ค่าที่ใกล้เคียงหลักสามหลัก และให้การจับคู่ที่เหมาะสมสำหรับฮาร์โมนิกอย่างน้อย 13 แบบ ซึ่งฮาร์มอนิกที่เจ็ดมีความแม่นยำเป็นพิเศษ

34 EDOให้ข้อผิดพลาดโดยรวมน้อยกว่าเล็กน้อยในการประมาณค่า 5-limit just ratio 3:2, 5:4, 6:5 และค่าผกผันของ 31 EDO แม้ว่าค่าประมาณ 5:4 จะแย่กว่าก็ตาม 34 EDO ไม่ได้ประมาณอัตราส่วนที่เกี่ยวข้องกับไพรม์ 7 เป็นอย่างดี ประกอบด้วยไตรโทน 600 เปอร์เซ็นต์ เนื่องจากเป็น EDO ที่เป็นเลขคู่

41 EDOเป็นจำนวนที่ต่ำที่สุดเป็นอันดับสองของดิวิชั่นที่เท่ากันซึ่งสร้างห้าที่สมบูรณ์แบบได้ดีกว่า 12 EDO หลักที่สามมีความแม่นยำมากกว่า 12 EDO และ 29 EDO แบนประมาณ 6 เซ็นต์ มันไม่มีความหมายดังนั้นจึงแตกต่าง 10:9 และ 9:8 ต่างจาก 31edo แม่นยำกว่าในขอบเขต 13 อันมากกว่า 31edo

46 EDO ให้เสียงหลักสามที่คมชัดเล็กน้อยและส่วนที่ห้าที่สมบูรณ์แบบ ให้เสียงที่สดใสเป็นลักษณะเฉพาะ ฮาร์โมนิกสูงสุด 11 มีค่าประมาณความแม่นยำ 5 เซ็นต์ โดย 10:9 และ 9:5 ห่างไปจากบริสุทธิ์หนึ่งในห้า เนื่องจากไม่ใช่ระบบแบบเดียวกัน มันจึงแยกความแตกต่างระหว่าง 10:9 และ 9:8

53 EDOนั้นดีกว่าในการประมาณพยัญชนะดั้งเดิมแบบธรรมดามากกว่า 12, 19 หรือ 31 EDO แต่มีการใช้เป็นครั้งคราวเท่านั้น ส่วนที่ ห้าที่สมบูรณ์แบบดีมากทำให้ใช้แทนกันได้ด้วยการจูนแบบพีทาโกรัส แบบขยาย แต่ยังรองรับอารมณ์ที่แตกแยกและบางครั้งก็ใช้ในทฤษฎีดนตรีตุรกี อย่างไรก็ตาม มันไม่ตรงกับข้อกำหนดของอารมณ์ชั่วขณะหนึ่ง ซึ่งทำให้สามที่ดีเข้าถึงได้ง่ายผ่านวัฏจักรของห้า ในปี 53 EDO พยัญชนะสามตัวจะเข้าถึงได้โดยใช้ตัวย่อที่สี่ของพีทาโกรัส (CF ♭ ) เนื่องจากเป็นตัวอย่างของอารมณ์ที่แตกแยกเช่นเดียวกับ 41 EDO

72 EDOประมาณ ช่วง เสียงสูงต่ำ หลายๆ ช่วงได้ดี แม้แต่ในขอบเขต 7 และ 11 เช่น 7:4, 9:7, 11:5, 11:6 และ 11:7 72 EDO ได้รับการสอน เขียน และดำเนินการในทางปฏิบัติโดยJoe Maneriและนักเรียนของเขาแต่อย่างใด) ถือได้ว่าเป็นส่วนขยายของ 12 EDO เนื่องจาก 72 EDO เป็นผลคูณของ 12 72 EDO มีช่วงเวลาที่เล็กที่สุดซึ่งเล็กกว่าช่วงที่เล็กที่สุดของ 12 EDO ถึง 6 เท่า ดังนั้นจึงประกอบด้วยสำเนา 12 EDO จำนวน 6 ชุดที่เริ่มต้นในระดับเสียงที่ต่างกัน นอกจากนี้ยังมีสำเนา 24 EDO สามชุดและสำเนา 36 EDO สองชุดซึ่งตัวมันเองคูณด้วย 12 EDO 72 EDO ยังถูกวิพากษ์วิจารณ์ว่าเป็นเพราะความซ้ำซ้อนโดยคงไว้ซึ่งค่าประมาณที่ไม่ดีที่มีอยู่ใน 12 EDO แม้จะไม่ต้องการขีดจำกัดล่างของเสียงสูงต่ำเพียงอย่างเดียว (เช่น 5-limit)

96 EDOประมาณช่วงทั้งหมดภายใน 6.25 เซ็นต์ ซึ่งแทบจะไม่สามารถแยกแยะได้ ในฐานะที่เป็นทวีคูณแปดเท่าของ 12 สามารถใช้ได้อย่างเต็มที่เหมือนกับ 12 EDO ทั่วไป ได้รับการสนับสนุนจากนักประพันธ์เพลงหลายคน โดยเฉพาะJulián Carrilloตั้งแต่ปี 1924 ถึง 1940 ⁽²⁸⁾

ดิวิชั่นที่เท่าเทียมกันอื่นๆ ของอ็อกเทฟที่พบการใช้งานเป็นครั้งคราว ได้แก่15 EDO , 17 EDOและ22 EDO

2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 และ 15601 เป็นตัวส่วน ของการ บรรจบกันแรกของลอก₂ (3) ดังนั้น 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 และ 15601 สิบสอง (และในห้า) เป็น ในอารมณ์ที่เท่าเทียมกันทางจดหมายเท่ากับจำนวนเต็มของอ็อกเทฟ เป็นการประมาณที่ดีกว่าของ 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 และ 15601 เพียงสิบสองในห้าของอารมณ์ที่เท่ากันที่มีโทนเสียงน้อยกว่า ^{[29] [30]}

1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200... (ลำดับA060528ในOEIS ) คือลำดับของดิวิชั่นของอ็อกเทฟที่ให้ค่าประมาณที่ห้าที่สมบูรณ์แบบและดีกว่า ลำดับที่เกี่ยวข้องประกอบด้วยดิวิชั่นที่ใกล้เคียงกับช่วงเวลาอื่นๆ ^[31]

อารมณ์ที่เท่าเทียมกันของช่วงที่ไม่ใช่อ็อกเทฟ

มาตราส่วน Bohlen–Pierceที่มีอารมณ์เท่ากันนั้นประกอบด้วยอัตราส่วน 3:1, 1902 เซ็นต์ ตามอัตภาพหนึ่งในห้าที่สมบูรณ์แบบบวกด้วยอ็อกเทฟ (นั่นคือ สิบสองที่สมบูรณ์แบบ) ในทฤษฎีนี้ เรียกว่าtritave ( เล่น ( ช่วย · ข้อมูล ) ) และแบ่งออกเป็นสิบสามส่วนเท่าๆ กัน นี่เป็นการจับคู่ที่ใกล้เคียงมากกับ อัตราส่วนที่ ปรับแต่งอย่างยุติธรรมซึ่งประกอบด้วยตัวเลขคี่เท่านั้น แต่ละขั้นตอนคือ 146.3 เซ็นต์ ( เล่น ( ช่วยเหลือ · ข้อมูล ) ) หรือ¹³ √ 3  

เวนดี้ คาร์ลอสสร้างนิสัยที่เท่าเทียมกันอย่างผิดปกติสามแบบหลังจากการศึกษาอย่างละเอียดเกี่ยวกับคุณสมบัติของอารมณ์ที่เป็นไปได้ซึ่งมีขนาดขั้นระหว่าง 30 ถึง 120 เซ็นต์ สิ่ง เหล่านี้เรียกว่าอัลฟาเบต้าและแกมมา พวกมันถือได้ว่าเป็นดิวิชั่นที่เท่ากันของอันดับที่ห้าที่สมบูรณ์แบบ แต่ละรายการให้ค่าประมาณที่ดีมากสำหรับช่วงเวลาเพียงหลายช่วง ⁽³²⁾ขนาดขั้นบันได:

• alpha : ⁹ √ 3 ⁄ 2 (78.0 cents) เล่น ( help · info ) 
• เบต้า : ¹¹ √ 3 ⁄ 2 (63.8 เซนต์) เล่น ( ช่วยเหลือ · ข้อมูล ) 
• แกมมา : ²⁰ √ 3 ⁄ 2 (35.1 cents) Play ( help · info ) 

อัลฟ่าและเบต้าอาจได้ยินในเพลงไตเติ้ลของอัลบั้มBeauty in the Beast ปี 1986 ของ เธอ

สัดส่วนระหว่างเซมิโทนกับทั้งโทน

ในส่วนนี้กึ่งโทนและทั้งโทนอาจไม่มีความหมาย 12-EDO ตามปกติ เนื่องจากจะกล่าวถึงวิธีที่พวกเขาอาจถูกปรับอารมณ์ในวิธีที่แตกต่างจากเวอร์ชันเพียงเพื่อสร้างความสัมพันธ์ที่ต้องการ ให้จำนวนขั้นในครึ่งเสียงเป็นsและจำนวนขั้นในเสียงเป็น t

มีกลุ่มอารมณ์ที่เท่าเทียมกันหนึ่งกลุ่มซึ่งแก้ไขครึ่งเสียงให้เป็นเศษส่วนที่เหมาะสมของเสียงทั้งหมด ในขณะที่บันทึกย่อในลำดับที่ถูกต้อง (หมายความว่า ตัวอย่างเช่น C, D, E, F และ F ♯ขึ้นจากน้อยไปมาก ลำดับถ้าพวกเขารักษาความสัมพันธ์ตามปกติของพวกเขากับ C) นั่นคือ การแก้ไขqให้เป็นเศษส่วนที่เหมาะสมในความสัมพันธ์qt = sยังกำหนดครอบครัวที่ไม่ซ้ำกันของอารมณ์ที่เท่าเทียมกันและทวีคูณที่เติมเต็มความสัมพันธ์นี้

ตัวอย่างเช่น โดยที่kเป็นจำนวนเต็ม 12 k -EDO ตั้งค่าq = 1 ⁄ 2และ 19 k -EDO ตั้งค่าq = 1 ⁄ 3 ตัวคูณที่เล็กที่สุดในตระกูลเหล่านี้ (เช่น 12 และ 19 ด้านบน) มีคุณสมบัติเพิ่มเติมของการไม่มีบันทึกนอกวงกลมของห้า (สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงโดยทั่วไป ใน 24-EDO ครึ่งคมและครึ่งแฟลตไม่อยู่ในวงกลมของห้าที่สร้างขึ้นโดยเริ่มจาก C.) กรณีที่รุนแรงคือ 5 k -EDO โดยที่q = 0 และเซมิโทน กลายเป็นพร้อมเพรียงกัน และ 7 k -EDO โดยที่q= 1 และเซมิโทนกับโทนเป็นช่วงเดียวกัน

เมื่อรู้ว่าเซมิโทนและโทนมีกี่ขั้นในอารมณ์ที่เท่ากันนี้ เราสามารถหาจำนวนขั้นตอนที่มีอยู่ในอ็อกเทฟได้ อารมณ์ที่เท่าเทียมกันซึ่งเป็นไปตามคุณสมบัติข้างต้น (รวมถึงการไม่มีโน้ตอยู่นอกวงกลมที่ห้า) แบ่งอ็อกเทฟออกเป็นขั้นตอน 7 t - 2 และขั้นที่ห้าที่สมบูรณ์แบบเป็น 4 t - sขั้น หากมีโน้ตอยู่นอกวงกลมที่ห้า เราต้องคูณผลลัพธ์เหล่านี้ด้วยnซึ่งเป็นจำนวนของวงกลมที่ห้าที่ไม่ทับซ้อนกันซึ่งต้องใช้เพื่อสร้างบันทึกทั้งหมด (เช่น สองใน 24-EDO, หกใน 72-EDO) (ต้องใช้เซมิโทนเล็กเพื่อการนี้: 19-EDO มีสองเซมิโทน อันหนึ่งเป็น1 ⁄ 3โทนและอีกอันเป็น2 ⁄ 3 .)

ครอบครัวที่เล็กที่สุดเหล่านี้คือ 12 k -EDO และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง 12-EDO เป็นอารมณ์ที่เท่ากันที่เล็กที่สุดที่มีคุณสมบัติข้างต้น นอกจากนี้ ยังทำให้เซมิโทนเป็นครึ่งเสียงทั้งหมด ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่ง่ายที่สุด นี่คือสาเหตุบางประการที่ทำให้ 12-EDO กลายเป็นอารมณ์ที่เท่าเทียมกันที่ใช้บ่อยที่สุด (อีกเหตุผลหนึ่งคือ 12-EDO เป็นอารมณ์ที่เท่ากันที่เล็กที่สุดที่จะใกล้เคียงกับความสามัคคี 5 ขีด จำกัด ซึ่งน้อยที่สุดถัดไปคือ 19-EDO)

การเลือกเศษส่วนq แต่ละครั้ง สำหรับความสัมพันธ์ส่งผลให้เกิดกลุ่มอารมณ์ที่เท่าเทียมกัน แต่การสนทนาไม่เป็นความจริง 47-EDO มีสองเซมิโทนที่แตกต่างกัน โดยที่หนึ่งคือ1 ⁄ 7โทน และอีกอันคือ8 ⁄ 9ซึ่งไม่ใช่การเติมเต็ม ของกันและกันเหมือนใน 19-EDO ( 1 ⁄ 3และ2 ⁄ 3 ) การหาเสียงแต่ละเซมิโทนจะทำให้เกิดตัวเลือกที่ห้าที่สมบูรณ์แบบที่แตกต่างกัน

ระบบปรับแต่งที่เกี่ยวข้อง

การจูนไดอะโทนิกแบบปกติ

การปรับไดอะโทนิกในสิบสองเท่าเท่ากันสามารถทำให้เป็นการปรับให้เป็นแบบทั่วไปในการปรับไดอะโทนิกแบบปกติใดๆ ก็ได้โดยแบ่งอ็อกเทฟเป็นลำดับขั้น TTSTTTS (หรือการหมุนของมัน) โดยที่ T ทั้งหมดและ S ทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน และ S มีขนาดเล็กกว่า T ในสิบสองเท่ากับ S คือเซมิโทนและมีขนาดครึ่งหนึ่งของโทน T เมื่อค่า S ลดลงเป็นศูนย์ ผลลัพธ์จะเป็น TTTTT หรืออารมณ์ที่เท่ากันแบบห้าโทน เมื่อเซมิโทนมีขนาดใหญ่ขึ้น ในที่สุดขั้นตอนก็เหมือนกันทั้งหมด ขนาดและผลที่ได้คืออารมณ์เท่ากับเจ็ดโทน จุดยุติทั้งสองนี้ไม่รวมอยู่ในการปรับจูนไดอะโทนิกแบบปกติ

โน้ตในการปรับไดอะโทนิกปกติเชื่อมต่อกันด้วยวงจรเจ็ดในห้า ระบบเสียงสิบสองโทนมีลักษณะทั่วไปคล้าย ๆ กันกับลำดับ CDCDDCDCDCDD (หรือการหมุนของมัน) ของเซมิโทนสีและไดอะโทนิกที่เชื่อมต่อเข้าด้วยกันในรอบที่สิบสองในห้า ในกรณีนี้ ค่าจำกัดได้เจ็ดเท่าเนื่องจากขนาดของ C มีแนวโน้มเป็นศูนย์ และห้าค่าเท่ากันคือค่าจำกัดเนื่องจาก D มีแนวโน้มที่ค่าศูนย์ในขณะที่ค่า 12 เท่ากับแน่นอนในกรณี C = D

โทนเสียงและเซมิโทนขนาดกลางบางขนาดสามารถสร้างขึ้นได้ในระบบอารมณ์ที่เท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าไดอะโทนิกเซมิโทนมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าของเซมิโทนสี นั่นคือ D = 2*C ผลลัพธ์จะเท่ากับสิบเก้าเท่ากับหนึ่งขั้นตอนสำหรับเซมิโทนของสี สองขั้นตอนสำหรับเซมิโทนของไดอะโทนิก และสามขั้นตอนสำหรับโทนเสียงและจำนวนทั้งหมด ของขั้นที่ 5*T + 2*S = 15 + 4 = 19 ขั้น ระบบเสียงสิบสองโทนที่ได้นั้นใกล้เคียงกับค่ากลางของเครื่องหมายจุลภาค 1/3 ที่มีความสำคัญทางประวัติศาสตร์อย่างใกล้ชิด

ถ้าโครมาติกเซมิโทนเป็นสองในสามของขนาดของไดอะโทนิกเซมิโทน เช่น C = (2/3)*D ผลลัพธ์จะเท่ากับสามสิบเอ็ด โดยมีสองขั้นตอนสำหรับเซมิโทนของสี สามขั้นตอนสำหรับเซมิโทนไดอะโทนิก และ ห้าขั้นตอนสำหรับโทนเสียงโดยที่ 5*T + 2*S = 25 + 6 = 31 ขั้น ระบบเสียงสิบสองโทนที่ได้นั้นใกล้เคียงกับค่ามาตรฐาน 1/4 จุลภาคที่มีความสำคัญทางประวัติศาสตร์อย่างใกล้ชิด

ดูเพิ่มเติม

• แค่น้ำเสียง
• อะคูสติกดนตรี (ฟิสิกส์ของดนตรี)
• ดนตรีและคณิตศาสตร์
• ไมโครจูนเนอร์
• เพลงไมโครโทน
• จูนเปียโน
• รายการของช่วงหมายถึง
• ไดอะโทนิกและรงค์
• จูนเนอร์อิเล็กทรอนิกส์
• การปรับแต่งดนตรี

อ้างอิง

การอ้างอิง

ที่มา

• โช, ยีน จินซอง. (2003). การค้นพบอารมณ์ที่เท่าเทียมกันทางดนตรีในจีนและยุโรปในศตวรรษที่สิบหก Lewiston, NY: สำนัก พิมพ์Edwin Mellen
• Duffin, Ross W. อารมณ์ที่เท่าเทียมกันทำลายความสามัคคี (และทำไมคุณควรดูแล ) WWNorton & บริษัท, 2007.
• ยอร์เกนเซ่น, โอเว่น. การปรับจูน สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมิชิแกน พ.ศ. 2534 ISBN 0-87013-290-3 
• เซธาเรส, วิลเลียม เอ. (2005). Tuning, Timbre, Spectrum, Scale (ฉบับที่ 2) ลอนดอน: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-797-4.
• Surjodiningrat, W. , Sudarjana, PJ, and Susanto, A. (1972) การวัดโทนเสียงของ gamelans ชวาที่โดดเด่นใน Jogjakarta และ Surakarta , Gadjah Mada University Press, Jogjakarta 1972. อ้างถึงในhttps://web.archive.org/web/ 2005012700731/http : //web.telia.com/~u57011259/pelog_main.htm สืบค้นเมื่อ 19 พฤษภาคม 2549.
• สจ๊วต, PJ (2006) "จากกาแล็กซี่สู่กาแล็กซี่: ดนตรีแห่งทรงกลม" [1]
• ครามอฟ, มิไคโล. "การประมาณค่าเสียงสูงต่ำเพียง 5 ระดับ Computer MIDI Modeling in Negative Systems of Equal Division of the Octave", Proceedings of the International Conference SIGMAP-2008 ^{[ permanent dead link ]} , 26–29 July 2008, Porto , pp. 181–184 , ไอ978-989-8111-60-9 

อ่านเพิ่มเติม

• Sensations of Toneเป็นงานพื้นฐานเกี่ยวกับอะคูสติกและการรับรู้เสียงโดย Hermann von Helmholtz โดยเฉพาะภาคผนวก XX: การเพิ่มเติมโดยนักแปล หน้า 430-556 (หน้า pdf 451-577)]

ลิงค์ภายนอก

• Xenharmonic wiki บน EDO กับ Equal Temperaments
• Huygens-Fokker Foundation Center for Microtonal Music
• A.Orlandini: ดนตรีอะคูสติก
• "อารมณ์" จากA เสริมเพื่อนาย Chambers's cyclopædia (1753)
• บาร์บิเอรี, ปาตริซิโอ. เครื่องดนตรีและดนตรีเอ็นฮาร์มอนิก ค.ศ. 1470–1900 . (2008) Latina, Il Levante Libreria Editrice
• ดนตรีแฟร็กทั ล ไมโครโทน , จิม กุกุล .
• คำพูดในศตวรรษที่ 18 ที่มีอยู่ทั้งหมดเกี่ยวกับ JS Bach และอารมณ์
• Dominic Eckersley: " Rosetta Revisited: อารมณ์ธรรมดาของ Bach "
• อารมณ์ดีตามคำจำกัดความของ Werckmeister
• F AVORED C ARDINALITIES OF F S CALES โดย P ETER B UCH