เส้นหน่วงเวลาดิจิตอล

เส้นหน่วงเวลาดิจิทัล (หรือเรียกง่ายๆ ว่าเส้นหน่วงเวลาหรือที่เรียกว่าตัวกรองหน่วงเวลา ) เป็นองค์ประกอบที่ไม่ต่อเนื่องในตัวกรองดิจิทัลซึ่งช่วยให้สัญญาณ ล่าช้าได้ด้วย ตัวอย่างจำนวนหนึ่ง เส้นหน่วงเวลามักใช้เพื่อหน่วงเวลาสัญญาณเสียงที่ป้อนลำโพงเพื่อชดเชยความเร็วของเสียงในอากาศ และเพื่อจัดแนวสัญญาณวิดีโอด้วยเสียงประกอบ เรียกว่าการซิงโครไนซ์เสียงกับวิดีโอ เส้นหน่วงเวลาอาจชดเชยเวลาแฝงในการประมวลผลทางอิเล็กทรอนิกส์เพื่อให้สัญญาณหลายตัวออกจากอุปกรณ์พร้อมกันแม้ว่าจะมีเส้นทางที่แตกต่างกัน

เส้นหน่วงเวลาดิจิทัลถูกนำมาใช้ กันอย่างแพร่หลายในวิธีการจำลองเสียงในห้องเครื่องดนตรีและหน่วยเอฟเฟกต์ การสังเคราะห์ท่อนำคลื่นแบบดิจิทัลแสดงให้เห็นว่าเส้นดีเลย์แบบดิจิทัลสามารถใช้เป็น วิธี การสังเคราะห์เสียงสำหรับเครื่องดนตรีชนิดต่างๆ เช่นเครื่องสายและเครื่องลมได้ อย่างไร

หากเส้นหน่วงเวลามีค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็มน้อยกว่าหนึ่ง จะส่งผลให้เกิดเส้นหน่วงเวลาแบบเศษส่วน (เรียกอีกอย่างว่าเส้นหน่วงเวลาแบบประมาณค่าหรือตัวกรองการหน่วงเวลาแบบเศษส่วน) ชุดของเส้นหน่วงจำนวนเต็มและตัวกรองการหน่วง เวลาเศษส่วนมักใช้สำหรับการสร้างแบบจำลอง ตัวกรอง การหน่วงเวลาตามอำเภอใจในการประมวลผลสัญญาณดิจิทัล ^[2]โครงการDattorroเป็นการนำตัวกรองดิจิทัลไปใช้ตามมาตรฐานอุตสาหกรรมโดยใช้เส้นหน่วงเวลาแบบเศษส่วน ^[3]

ทฤษฎี

เส้นหน่วงเวลามาตรฐานที่มีการหน่วงเวลาเป็นจำนวนเต็มได้มาจากการแปลงรูป Zของสัญญาณเวลาไม่ต่อเนื่อง ที่หน่วงเวลาโดยตัวอย่าง^[4] :${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle y[n]=x[nM]}$ ${\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\mathcal {Z}}}}$ ${\displaystyle Y(z)=\overbrace {z^{-M}} ^{H_{M}(z)}X(z)}$

ในกรณีนี้คือตัวกรองการหน่วงเวลาจำนวนเต็มด้วย: ${\displaystyle z^{-M}=H_{M}(z)}$

${\displaystyle {\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB,&{\text{zero dB gain}}\\\measuredangle =-\omega M,&{\text{linear phase with }}\omega =2\pi fT_{s}{\text{ where }}T_{s}{\text{ is the sampling period in seconds }}[s].\end{cases}}}$

ตัวกรองโดเมนเวลาไม่ต่อเนื่องสำหรับการหน่วงเวลาจำนวนเต็มเนื่องจากการแปลงซีตาผกผันของนั้นไม่สำคัญ เนื่องจากเป็นแรงกระตุ้นที่เลื่อนไปโดย^[5] :${\displaystyle M}$${\displaystyle H_{M}(z)}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle h_{m}[n]={\begin{cases}{\text{1}},&{\text{for }}n=M\\0,&{\text{for }}n\neq M.\end{cases}}}$

การทำงานในโดเมนเวลาไม่ต่อเนื่องโดยมีความล่าช้าเป็นเศษส่วนนั้นไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย ในรูปแบบทางทฤษฎีทั่วไปที่สุด เส้นหน่วงเวลาที่มีการหน่วงเวลาเศษส่วนตามอำเภอใจถูกกำหนดให้เป็นเส้นหน่วงมาตรฐานพร้อมหน่วงเวลาซึ่งสามารถจำลองเป็นผลรวมขององค์ประกอบจำนวนเต็มและองค์ประกอบเศษส่วนที่เล็กกว่าตัวอย่างเดียว:${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$${\displaystyle M\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle d\in \mathbb {R} }$

(เศษส่วน) เส้นล่าช้า - โดเมน ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

${\displaystyle H_{D}(z)=z^{-D}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;D=\overbrace {\lfloor D\rfloor } ^{M}+\overbrace {(D-\lfloor D\rfloor )} ^{d}}$

( คำจำกัดความ 1 )

นี่คือ การนำเสนอโดเมนของปัญหา การออกแบบตัวกรองดิจิทัลที่ไม่สำคัญ: วิธีแก้ไขคือตัวกรองโดเมนเวลาใดๆ ที่แสดงหรือประมาณค่าการแปลง Z ผกผันของ ^[2]${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$${\displaystyle H_{D}(z)}$

โซลูชั่นการออกแบบตัวกรอง

วิธีแก้ปัญหาที่ไร้เดียงสา

วิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดตามแนวคิดได้มาโดยการสุ่มตัวอย่างโซลูชันโดเมนเวลาต่อเนื่อง ซึ่งไม่สำคัญสำหรับค่าความล่าช้าใดๆ ให้สัญญาณเวลาต่อเนื่องล่าช้าโดยตัวอย่าง หรือ วินาที^[6] :${\displaystyle x}$${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \tau =DT_{s}}$

${\displaystyle y(t)=x(t-D)}$ ${\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle Y(\omega )=\overbrace {e^{-j\omega D}} ^{H_{ideal}(\omega )}X(\omega ).}$

ในกรณีนี้คือตัวกรองการหน่วงเวลาเศษส่วนของโดเมนเวลาต่อเนื่องโดยมี: ${\displaystyle e^{-j\omega D}=H_{ideal}(\omega )}$

${\displaystyle {\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB,&{\text{zero dB gain}}\\\measuredangle =-\omega D,&{\text{linear phase}}\\\tau _{gr}=-{d\measuredangle \over {d\omega }}=D,&{\text{constant group delay}}\\\tau _{ph}=-{\measuredangle \over {\omega }}=-D,&{\text{constant phase delay.}}\end{cases}}}$

วิธีแก้ปัญหาแบบไร้เดียงสาสำหรับตัวกรองตัวอย่างคือการแปลงฟูริเยร์ผกผันของตัวอย่างซึ่งสร้าง ตัวกรอง IIR แบบไม่เป็นสาเหตุซึ่งมีรูปร่างเป็นคาร์ดินัลไซน์เลื่อนโดย^[6] :${\displaystyle h_{ideal}[n]}$${\displaystyle H_{ideal}(\omega )}$ ${\displaystyle sinc()}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle h_{ideal}[n]={\mathcal {F}}^{-1}[H_{ideal}(\omega )]={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{+\pi }e^{j\omega D}e^{j\omega n}d\omega =sinc(n-D)={sin(\pi (n-D)) \over {\pi (n-D)}}}$

โดเมนเวลาต่อเนื่องจะเลื่อนไปตามการหน่วงเวลาเศษส่วนในขณะที่การสุ่มตัวอย่างอยู่ในแนวเดียวกับระนาบคาร์ทีเซียนเสมอ ดังนั้น: ${\displaystyle sinc}$

• เมื่อการหน่วงเวลาเป็นจำนวนเต็มของกลุ่มตัวอย่างการเลื่อนที่สุ่มตัวอย่างจะลดลงไปเป็นแรงกระตุ้นที่เลื่อนไป เช่นเดียวกับในการแก้ปัญหาทางทฤษฎี${\displaystyle D\in \mathbb {N} }$${\displaystyle sinc}$
• เมื่อการหน่วงเวลาเป็นจำนวนเศษส่วนของตัวอย่างกะที่สุ่มตัวอย่างจะสร้างตัวกรอง IIR ที่ไม่เป็นสาเหตุ ซึ่งไม่สามารถนำไปปฏิบัติได้ในทางปฏิบัติ${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$${\displaystyle sinc}$

โซลูชัน FIR เชิงสาเหตุที่ถูกตัดทอน

วิธีแก้ปัญหาที่นำไปใช้ได้จริงตามแนวคิดที่ง่ายที่สุดคือการตัดทอนสาเหตุของวิธีแก้ปัญหาที่ไร้เดียงสาข้างต้น ^[7]

${\displaystyle h_{\tau }[n]={\begin{cases}sinc(n-D)&{\text{for }}0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{N-1 \over {2}}<D<{N+1 \over {2}}\;\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;\;N\;{\text{is the order of the filter.}}}$

การตัดทอนการตอบสนองแบบอิมพัลส์อาจทำให้เกิดความไม่เสถียร ซึ่งสามารถบรรเทาได้หลายวิธี:

• การลดการตอบสนองของแรงกระตุ้นที่ถูกตัดทอนลง ดังนั้นจึงทำให้เรียบขึ้น โปรดทราบว่าในกรณีนี้ เราต้องเพิ่มการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมเพื่อจัดตำแหน่งหน้าต่างและและจัดเตรียมการกรองแบบสมมาตร^{[7] [8} ]${\displaystyle L}$${\displaystyle sinc()}$

  ${\displaystyle h_{\tau }[n]={\begin{cases}w(n-D)sinc(n-D)&{\text{for }}L\leq n\leq L+N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;L={\begin{cases}round(D)-{N \over {2}}&{\text{for even }}N\\\lfloor D\rfloor -{N-1 \over {2}}&{\text{for odd }}N\end{cases}}}$

• วิธี General Least Square (GLS): ^[2]ปรับการตอบสนองความถี่ซ้ำๆ โดยกำหนดหน้าต่างการออกแบบ Least Square Integral Error ซึ่งลดข้อผิดพลาดอินทิกรัลกำลังสองให้เหลือน้อยที่สุดระหว่างการตอบสนองความถี่ในอุดมคติและความถี่ที่ถูกตัดทอนของตัวกรอง ซึ่งกำหนดเป็น:

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\alpha \pi }^{\alpha \pi }w(\omega )|H_{D}^{truncated}(e^{j\omega })-H_{D}^{id}(e^{j\omega })|^{2}d\omega \;\;\;\;\;{\text{where }}0<\alpha \leq 1{\text{ is the passband width parameter}}}$

• Lagrange Interpolator (ตัวกรองการหน่วงเวลาเศษส่วนแบบแบนสูงสุด): ^[9]เพิ่มข้อจำกัด "ความเรียบ" ให้กับอนุพันธ์ N แรกของข้อผิดพลาดอินทิกรัลสแควร์น้อยที่สุด วิธีนี้เป็นที่สนใจเป็นพิเศษเนื่องจากมีวิธีแก้ปัญหาแบบปิด:

${\displaystyle h_{D}[n]=\prod _{k=0,\;k\neq n}^{N}{D-k \over {n-k}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;0\leq n\leq N}$

สิ่งต่อไปนี้คือการขยายสูตรด้านบนที่แสดงตัวกรองผลลัพธ์ของลำดับสูงสุด: ${\displaystyle N=3}$

การขยายสูตร Lagrange Interpolator (7)
	${\displaystyle h_{\tau }[0]}$	${\displaystyle h_{\tau }[1]}$	${\displaystyle h_{\tau }[2]}$	${\displaystyle h_{\tau }[3]}$
ยังไม่มีข้อความ = 1	${\displaystyle 1-D}$	${\displaystyle D}$	- -	- -
ยังไม่มีข้อความ = 2	${\displaystyle {(D-1)(D-2) \over {2}}}$	${\displaystyle -D(D-2)}$	${\displaystyle {D(D-1) \over {2}}}$	- -
ยังไม่มีข้อความ = 3	${\displaystyle -{(D-1)(D-2)(D-3) \over {6}}}$	${\displaystyle {D(D-2)(D-3) \over {2}}}$	${\displaystyle -{D(D-1)(D-3) \over {2}}}$	${\displaystyle {D(D-1)(D-2) \over {6}}}$

โซลูชันประมาณเฟส IIR แบบ All-pass

อีกวิธีหนึ่งคือการออกแบบ ตัวกรอง IIRของลำดับด้วยโครงสร้างการแปลงรูป Z ที่บังคับให้เป็นแบบ all-pass ในขณะที่ยังคงประมาณความล่าช้า^[7] :${\displaystyle N}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle H_{D}(z)={z^{-N}A(z) \over {A(z^{-1})}}={a_{N}+a_{N-1}z^{-1}+...+a_{1}z^{-(N-1)}+z^{-N} \over {1+a_{1}z^{-1}+...+a_{N-1}z^{-(N-1)}+a_{N}z^{-N}}}\;\;\;\;\;{\text{which has}}\;\;\;\;\;{\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB&0dB{\text{ gain}}\\\measuredangle _{H_{D}(z)}=-N\omega +2\measuredangle _{A(z)}=-D\omega &{\text{desired value for delay }}D\end{cases}}}$

ศูนย์และขั้วที่วางไว้ซึ่งกันและกันจะทำให้การตอบสนองความถี่แบน ตามลำดับ ในขณะที่เฟสเป็นฟังก์ชันของเฟส ดังนั้น ปัญหาจึงกลายเป็นการออกแบบตัวกรอง FIRนั่นคือการค้นหาค่าสัมประสิทธิ์เป็นฟังก์ชันของ D (โปรดทราบเสมอ) เพื่อให้เฟสประมาณค่าที่ต้องการได้ดีที่สุด ^[7]${\displaystyle A(z){\text{ and }}A(z^{-}1)}$${\displaystyle |\centerdot |}$${\displaystyle A(z)}$ ${\displaystyle A(z)}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle a_{0}=1}$${\displaystyle \measuredangle _{H_{D}(z)}=-D\omega }$

แนวทางแก้ไขหลักคือ:

• การย่อขนาดซ้ำของข้อผิดพลาดเฟสกำลังสองน้อยที่สุด^[2]ซึ่งถูกกำหนดเป็น:

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|\underbrace {\underbrace {-D\omega } _{\measuredangle _{ID}}-\underbrace {(-N\omega +2\measuredangle _{A(z)})} _{\measuredangle _{H}}} _{\Delta \measuredangle _{H_{D}}}|^{2}d\omega }$

• การลด ข้อผิดพลาดการหน่วงเวลาเฟสสี่เหลี่ยมจัตุรัสน้อยที่สุด ซ้ำ ^[2]ซึ่งถูกกำหนดเป็น:

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|{{\Delta \measuredangle _{H_{D}}} \over {\omega }}|^{2}}$

• Thiran All-Pole Low -Pass Filterพร้อมความล่าช้าของกลุ่ม แบนสูงสุด ^[11]นี่ให้ผลเฉลยแบบปิดสำหรับการค้นหาค่าสัมประสิทธิ์สำหรับความล่าช้าเชิงบวก:${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle D>0}$

${\displaystyle a_{k}=(-1)^{k}{\binom {N}{k}}\prod _{l=0}^{N}{D+l \over {D+k+l}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{\binom {n}{k}}={N! \over {k!(N-k)!}}}$

สิ่งต่อไปนี้คือการขยายสูตรด้านบนโดยแสดงค่าสัมประสิทธิ์ลำดับผลลัพธ์เป็น: ${\displaystyle N=3}$

Thiran All-Pole Low-Pass Filter Coefficients การขยายสูตร[7]
	${\displaystyle a_{0}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{2}}$	${\displaystyle a_{3}}$
ยังไม่มีข้อความ = 1	1	${\displaystyle -{D-1 \over {D+1}}}$	- -	- -
ยังไม่มีข้อความ = 2	1	${\displaystyle -2{D-2 \over {D+1}}}$	${\displaystyle {(D-1)(D-2) \over {(D+1)(D+2)}}}$	- -
ยังไม่มีข้อความ = 3	1	${\displaystyle -3{D-3 \over {D+1}}}$	${\displaystyle 3{(D-2)(D-3) \over {(D+1)(D+2)}}}$	${\displaystyle -{(D-1)(D-2)(D-3) \over {(D+1)(D+2)(D+3)}}}$

ประวัติศาสตร์เชิงพาณิชย์

เส้นดีเลย์แบบดิจิทัลถูกใช้ครั้งแรกเพื่อชดเชยความเร็วของเสียงในอากาศในปี 1973 เพื่อให้เวลาดีเลย์ที่เหมาะสมสำหรับหอลำโพงที่อยู่ห่างไกลใน งาน Summer Jam ที่ เทศกาลร็อค Watkins Glen ในนิวยอร์ก โดยมีผู้ฟัง 600,000 คน บริษัท Eventide Clock Worksในนิวยอร์กซิตี้ให้อุปกรณ์หน่วงเวลาดิจิทัลแต่ละตัวสามารถหน่วงเวลาได้ 200 มิลลิวินาที หอลำโพงสี่หออยู่ห่างจากเวที 200 ฟุต (60 ม.) สัญญาณล่าช้า 175 มิลลิวินาที เพื่อชดเชยความเร็วของเสียงระหว่างลำโพงบนเวทีหลักและหอหน่วงเวลา หอลำโพงอีก 6 หอถูกวางให้อยู่ห่างจากเวที 400 ฟุต ซึ่งต้องใช้ความล่าช้า 350 มิลลิวินาที และหอลำโพงอีก 6 หออยู่ห่างจากเวที 600 ฟุต โดยได้รับอาหารด้วยความล่าช้า 525 มิลลิวินาที โมดูล Eventide DDL 1745 แต่ละโมดูลมีชิป shift register 1000 บิตหนึ่งร้อยตัวและตัวแปลงดิจิทัลเป็นอนาล็อกแบบสั่งทำ โดยเฉพาะ และมีราคา 3,800 ดอลลาร์สหรัฐฯ (เทียบเท่ากับ 26,585 ดอลลาร์ในปี 2565) ^{[12] [13]}

ดูสิ่งนี้ด้วย

• เส้นหน่วงเวลาแบบอะนาล็อก
• หน่วยความจำแบบดีเลย์ไลน์
• การแก้ไข

อ้างอิง

อ่านเพิ่มเติม

• วาลิมากิ, เวซา; ลักโซ, ติโม; คาร์จาไลเนน, มัตติ; เลน, อุนโต (1996) "การแยกหน่วยล่าช้า" นิตยสารการประมวลผลสัญญาณ IEEE 13 (1): 30–60. ดอย :10.1109/79.482137 – ผ่าน IEEE Explore
• แฮร์ริส, เฟรเดอริก เจ. (มกราคม 1978) "การใช้หน้าต่างสำหรับการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกด้วยการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง" การดำเนินการของ IEEE . 66 (1): 51–83. ดอย :10.1109/PROC.1978.10837. S2CID  426548 – ผ่าน IEEE Explore

ลิงค์ภายนอก

• ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับตัวกรองดิจิทัลโดย Julius Smith
• การประมวลผลสัญญาณเสียงสเปกตรัมโดย Julius Smith
• การประมวลผลสัญญาณเสียงทางกายภาพโดย Julius Smith
• การสร้างแบบจำลองเวลาไม่ต่อเนื่องของท่ออะคูสติกโดยใช้ตัวกรองการหน่วงเวลาแบบเศษส่วนโดย Valimaki Vesa