ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิล

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา
ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิล

ในวิชาคณิตศาสตร์ฟังก์ชันดิฟ เฟอเรนติเอเบิลของ ตัวแปรจริงหนึ่ง ตัวคือ ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อยู่ที่แต่ละจุดในโดเมน กล่าวอีกนัยหนึ่งกราฟของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลมีเส้นสัมผัส ไม่ แนวตั้ง ที่จุดภายในแต่ละจุดในโดเมน ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลนั้นราบรื่น (ฟังก์ชันนี้ถูกประมาณได้ดีในเครื่องว่าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นตรงที่จุดภายในแต่ละจุด) และไม่มีส่วนหัก มุมหรือ ยอด

ถ้าx 0เป็นจุดภายในในโดเมนของฟังก์ชันfแล้วfจะเรียกว่าอนุพันธ์ที่ x 0ถ้าอนุพันธ์มีอยู่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง กราฟของfมีเส้นสัมผัสที่ไม่ใช่แนวตั้งที่จุด( x 0 , f ( x 0 ) ) fเรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอเตอร์ได้บนUถ้ามันหาอนุพันธ์ได้ในทุกจุดของU fเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องถ้าอนุพันธ์ของมันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องด้วย โดยทั่วไปfเรียกว่า classถ้ามันเป็นครั้งแรกอนุพันธ์มีอยู่และต่อเนื่อง

ความแตกต่างของฟังก์ชันจริงของตัวแปรเดียว

ฟังก์ชั่นกำหนดไว้ในชุดเปิด, ว่ากันว่าสามารถหาอนุพันธ์ ได้ ที่ถ้าอนุพันธ์

มีอยู่ นี่หมายความว่าฟังก์ชันต่อเนื่องที่a .

ฟังก์ชันfนี้เรียกว่า ดิฟเฟอเรนติเอเตอร์ บนUได้ หากมันหาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุดของU ในกรณีนี้ อนุพันธ์ของfจึงเป็นฟังก์ชันจากUไปเป็น

ฟังก์ชันต่อเนื่องไม่จำเป็นต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้ แต่ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลจำเป็นต้องมีความต่อเนื่อง (ทุกจุดที่สามารถหาค่าอนุพันธ์ได้) ดังที่แสดงไว้ด้านล่าง (ในหัวข้อความแตกต่างและความต่อเนื่องกัน) กล่าวได้ว่าฟังก์ชันสามารถ หาอนุพันธ์ได้ อย่างต่อเนื่องหากอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง มีฟังก์ชันที่ differentiable แต่ไม่สามารถ differentiable อย่างต่อเนื่องดังที่แสดงด้านล่าง (ในหมวดDifferentiability class )

ความแตกต่างและความต่อเนื่อง

ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์เป็นแบบต่อเนื่อง (กล่าวคือ ไม่มีช่องว่าง) หา อนุพันธ์ได้ในทุก ที่ ยกเว้นที่จุดx = 0 โดยจะหักเลี้ยวอย่างเฉียบขาดเมื่อตัดผ่านแกนy
จุดยอดบนกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่ศูนย์ ฟังก์ชันจะต่อเนื่องแต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้

ถ้าfหาอนุพันธ์ได้ที่จุดx 0แล้วfจะต้องต่อเนื่องที่x 0ด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนทิเอเบิลใดๆ จะต้องต่อเนื่องกันทุกจุดในโดเมนของมัน การสนทนาไม่ถือ : ฟังก์ชันต่อเนื่องไม่จำเป็นต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่มีการโค้งงอ สันนูนหรือเส้นสัมผัสแนวตั้งอาจต่อเนื่องกัน แต่ไม่สามารถแยกความแตกต่างที่ตำแหน่งของความผิดปกติได้

ฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่เกิดขึ้นในทางปฏิบัติมีอนุพันธ์ในทุกจุดหรือเกือบทุกจุด อย่างไรก็ตาม ผลจากStefan Banachระบุว่าเซตของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ในบางจุดนั้นมีเซตน้อยในปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด [1]อย่างไม่เป็นทางการ นี่หมายความว่าฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลนั้นผิดปกติมากในหมู่ฟังก์ชันต่อเนื่อง ตัวอย่างแรกที่รู้จักของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องในทุกที่แต่หาอนุพันธ์ไม่ได้คือฟังก์ชัน Weierstrass

คลาสความแตกต่าง

ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลสามารถประมาณในเครื่องโดยใช้ฟังก์ชันเชิงเส้น
ฟังก์ชั่นกับสำหรับและเป็นความแตกต่างได้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันนี้ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง

ฟังก์ชั่นว่ากันว่าเป็นหาอนุพันธ์ได้ อย่างต่อเนื่องถ้าอนุพันธ์มีอยู่และเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แม้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลไม่เคยมีความไม่ต่อเนื่องของการกระโดดแต่ก็เป็นไปได้ที่อนุพันธ์จะมีความไม่ต่อเนื่องที่จำเป็น ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน

หาอนุพันธ์ได้ที่ 0 เนื่องจาก
มีอยู่ อย่างไรก็ตาม สำหรับ กฎความแตกต่างหมายถึง
ซึ่งไม่มีขีดจำกัดเช่นดังนั้น ตัวอย่างนี้จึงแสดงให้เห็นการมีอยู่ของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง (กล่าวคือ อนุพันธ์ไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่อง) อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทของ Darboux บอกเป็น นัยว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ เป็นไปตามข้อสรุปของทฤษฎีบทค่ากลาง

ในทำนองเดียวกันกับฟังก์ชันที่ต่อเนื่องเรียกว่าclassฟังก์ชันดิฟเฟอเรนซ์อย่างต่อเนื่องบางครั้งเรียกว่าเป็นคลาสฟังก์ชันเป็นของคลาสถ้าอนุพันธ์อันดับ 1 และ 2ของฟังก์ชันทั้งสองมีอยู่และต่อเนื่องกัน โดยทั่วไป ฟังก์ชันจะเรียกว่าclassถ้าครั้งแรกอนุพันธ์ทั้งหมดมีอยู่และต่อเนื่อง ถ้าอนุพันธ์มีอยู่สำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมดฟังก์ชั่นราบรื่นหรือเทียบเท่าของclass

ความแตกต่างในมิติที่สูงขึ้น

ฟังก์ชันของตัวแปรจริงหลายตัว f : R mR nเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ที่จุดx 0ถ้ามีแผนที่เชิงเส้น J : R m R n เช่นนั้น

หากฟังก์ชันสามารถ หาอนุพันธ์ได้ที่ x 0อนุพันธ์ย่อยบางส่วนทั้งหมดจะมีอยู่ที่x 0และแผนที่เชิงเส้นJจะได้รับจากเมทริกซ์จาโคเบียน สูตรที่คล้ายคลึงกันของอนุพันธ์มิติที่สูงกว่าได้มาจากบทแทรกพื้นฐานที่เพิ่มขึ้น ซึ่ง พบในแคลคูลัสแบบตัวแปรเดียว

หากอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดของฟังก์ชันมีอยู่ในบริเวณใกล้เคียงของจุดx 0และต่อเนื่องกันที่จุดx 0แสดงว่าฟังก์ชันนั้นหาอนุพันธ์ได้ที่จุดนั้น x 0

อย่างไรก็ตาม การมีอยู่ของอนุพันธ์ย่อยบางส่วน (หรือแม้แต่อนุพันธ์ของทิศทาง ทั้งหมด ) ไม่ได้รับประกันว่าฟังก์ชันจะสามารถสร้างอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันf : R 2Rกำหนดโดย

ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่(0, 0)แต่อนุพันธ์ย่อยบางส่วนและอนุพันธ์เชิงทิศทางทั้งหมดมีอยู่ ณ จุดนี้ สำหรับตัวอย่างต่อเนื่อง ฟังก์ชัน

ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่(0, 0)แต่มีอนุพันธ์ย่อยบางส่วนและอนุพันธ์ของทิศทางทั้งหมด

ความแตกต่างในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน

ในการวิเคราะห์เชิงซ้อน ความแตกต่างเชิงซ้อนถูกกำหนดโดยใช้คำจำกัดความเดียวกันกับฟังก์ชันจริงแบบตัวแปรเดียว สิ่งนี้ได้รับอนุญาตโดยความเป็นไปได้ของการหารจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น ฟังก์ชันว่ากันว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่เมื่อไร

แม้ว่าคำจำกัดความนี้จะดูคล้ายกับความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันจริงแบบตัวแปรเดียว แต่ก็มีเงื่อนไขที่จำกัดมากกว่า ฟังก์ชั่นที่มีความแตกต่างเชิงซ้อน ณ จุดหนึ่งจะแยกความแตกต่างได้โดยอัตโนมัติ ณ จุดนั้น เมื่อมองว่าเป็นฟังก์ชัน. นี่เป็นเพราะความแตกต่างเชิงซ้อนหมายความว่า

อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันสามารถหาค่าอนุพันธ์ได้เป็นฟังก์ชันหลายตัวแปร แต่ไม่สามารถแยกความแตกต่างเชิงซ้อนได้ ตัวอย่างเช่น,แตกต่างได้ทุกจุด ถือเป็นฟังก์ชันจริง 2 ตัวแปรแต่ก็ไม่ซับซ้อน-แตกต่างในทุกจุด

ฟังก์ชันใด ๆ ที่มีความแตกต่างเชิงซ้อนในบริเวณใกล้เคียงของจุดนั้นเรียกว่าโฮโลม อร์ฟิ ค ณ จุดนั้น ฟังก์ชันดังกล่าวจำเป็นต้องสร้างความแตกต่างอย่างไม่สิ้นสุด และอันที่จริงแล้วการ วิเคราะห์

ฟังก์ชั่นที่แตกต่างบนท่อร่วม

ถ้าMเป็นอนุพันธ์ที่แปรผันได้ ฟังก์ชันจริงหรือมูลค่าเชิงซ้อนfบนMจะถูกกล่าวว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดpหากสามารถหาอนุพันธ์ได้เมื่อเทียบกับแผนภูมิพิกัดบางส่วน (หรือใดๆ) ที่กำหนดไว้รอบp ถ้าMและNเป็น manifolds ที่หาอนุพันธ์ได้ ฟังก์ชันfM  →  Nจะเรียกว่า differentiable ที่จุดpถ้ามันสร้างความแตกต่างได้เมื่อเทียบกับแผนภูมิพิกัด (หรือใดๆ) ที่กำหนดไว้รอบpและf ( p )

ดูเพิ่มเติม

อ้างอิง

  1. ^ Banach, S. (1931). "Über ตาย Baire'sche หมวดหมู่ gewisser Funktionenmengen". วิชาคณิตศาสตร์. 3 (1): 174–179.. อ้างโดยฮิววิตต์อี; สตรอมเบิร์ก, เค (1963). การวิเคราะห์ ที่แท้จริงและนามธรรม สปริงเกอร์-แวร์แล็ก. ทฤษฎีบท 17.8