การทดสอบอนุพันธ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา

ในแคลคูลัสการทดสอบอนุพันธ์ใช้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเพื่อค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน และพิจารณาว่าแต่ละจุดเป็นค่าสูงสุดเฉพาะจุดค่าต่ำสุดในพื้นที่หรือจุดอาน การทดสอบอนุพันธ์ยังสามารถให้ข้อมูลเกี่ยวกับความเว้าของฟังก์ชันได้อีกด้วย

ประโยชน์ของอนุพันธ์ในการค้นหาextremaได้รับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์โดยทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เกี่ยวกับจุดนิ่ง

การทดสอบอนุพันธ์อันดับแรก

การทดสอบอนุพันธ์อันดับแรกจะตรวจสอบ คุณสมบัติ โมโนโท นิกของฟังก์ชัน (โดยที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือลดลง ) โดยเน้นที่จุดเฉพาะในโดเมน หากฟังก์ชัน "เปลี่ยน" จากเพิ่มขึ้นเป็นลดลง ณ จุดนั้น ฟังก์ชันจะได้รับค่าสูงสุด ณ จุดนั้น ในทำนองเดียวกัน หากฟังก์ชัน "เปลี่ยน" จากลดลงเป็นเพิ่มขึ้น ณ จุดนั้น ก็จะได้ค่าที่น้อยที่สุด ณ จุดนั้น หากฟังก์ชันไม่สามารถ "เปลี่ยน" และยังคงเพิ่มขึ้นหรือลดลงเรื่อยๆ จะไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด

สามารถตรวจสอบความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันได้โดยไม่ต้องใช้แคลคูลัส อย่างไรก็ตาม แคลคูลัสมักจะมีประโยชน์เนื่องจากมีเงื่อนไขเพียงพอที่รับประกันคุณสมบัติความซ้ำซากจำเจข้างต้น และเงื่อนไขเหล่านี้นำไปใช้กับฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่พบ

คำสั่งที่แม่นยำของคุณสมบัติ monotonicity

ระบุไว้อย่างแม่นยำ สมมติว่าfเป็น ฟังก์ชันค่า จริงต่อเนื่อง ของตัวแปรจริง ซึ่งกำหนดในช่วงเวลาเปิดบางช่วงที่ มีจุดx

  • หากมีตัวเลขบวกr  > 0 ซึ่งfเพิ่มขึ้นเล็กน้อยบน( xr , x ]และลดลงเล็กน้อยใน[ x , x + r )ดังนั้นfจะมีค่าสูงสุดเฉพาะ ที่ x คำสั่งนี้ใช้ในทางกลับกัน ถ้าxเป็นจุดสูงสุดในพื้นที่ ดังนั้นfจะเพิ่มขึ้นเล็กน้อย( x  −  rx ]และลดลงเล็กน้อยใน[ x , x  +  ) .
  • หากมีตัวเลขบวกr  > 0 ซึ่งfจะเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด( xr , x ]และเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดใน[ x , x + r )ดังนั้นfจะเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด( xr , x + r )และไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดในพื้นที่ที่x

คำสั่งนี้เป็นผลโดยตรงของการกำหนดextrema ในพื้นที่ นั่นคือ ถ้าx 0เป็นจุดสูงสุดในพื้นที่ ก็จะมีr  > 0 ซึ่งf ( x ) ≤ f ( x 0 ) สำหรับx in ( x 0  −  r , x 0  +  r )ซึ่งหมายความว่าfมี เพิ่มขึ้นจากx 0  −  rเป็นx 0และต้องลดลงจากx 0เป็นx0  +  rเพราะfต่อเนื่องกัน

โปรดทราบว่าในสองกรณีแรกfไม่จำเป็นต้องเพิ่มขึ้นหรือลดลงทางซ้ายหรือขวาของx อย่างเคร่งครัด ในขณะที่ในสองกรณีสุดท้ายfจะต้องเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างเคร่งครัด เหตุผลก็คือในคำจำกัดความของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดในพื้นที่ ความไม่เท่าเทียมกันไม่จำเป็นต้องเข้มงวด: เช่น ทุกค่าของฟังก์ชันคงที่ถือเป็นค่าสูงสุดเฉพาะที่และค่าต่ำสุดเฉพาะที่

ข้อความที่แม่นยำของการทดสอบอนุพันธ์อันดับแรก

การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่งขึ้นอยู่กับ "การทดสอบที่เพิ่มขึ้น-ลดลง" ซึ่งท้ายที่สุดแล้วเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทค่ากลาง เป็นผลโดยตรงของวิธีการ กำหนด อนุพันธ์และการเชื่อมโยงกับการลดและเพิ่มฟังก์ชันในเครื่อง รวมกับส่วนก่อนหน้า

สมมติว่าfเป็นฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงที่กำหนดไว้ในช่วงเวลาหนึ่งที่มีจุดวิกฤตa นอกจากนี้ สมมติว่าfมีความต่อเนื่องที่aและ หา อนุพันธ์ได้ในช่วงเวลาเปิดบางช่วงที่มีaยกเว้นอาจเป็นไปได้ที่ตัวมันเอง

  • หากมีตัวเลขบวกr  > 0 ซึ่งสำหรับทุกxใน ( ar , a ) เรามีf ( x ) ≥ 0และสำหรับx ทุกอัน ( a , a + r ) เรามีf ( x ) ≤ 0ดังนั้นfมีค่าสูงสุดในพื้นที่ที่a
  • หากมีจำนวนบวกr  > 0 ซึ่งสำหรับทุก ๆxใน ( ar , a ) ∪ ( a , a + r ) เรามีf ( x ) > 0ดังนั้นfจะเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดที่aและไม่มี สูงสุดในท้องถิ่นหรือขั้นต่ำในท้องถิ่นที่นั่น
  • หากไม่มีเงื่อนไขใดๆ ข้างต้น แสดงว่าการทดสอบล้มเหลว (เงื่อนไขดังกล่าวไม่ว่างมีฟังก์ชันที่ไม่ตรงตามเงื่อนไขสามข้อแรก เช่นf ( x ) = x 2  sin(1/ x ))

อีกครั้ง ตามความคิดเห็นในหัวข้อเกี่ยวกับคุณสมบัติความซ้ำซากจำเจ โปรดทราบว่าในสองกรณีแรก ความไม่เท่าเทียมกันไม่จำเป็นต้องเข้มงวด ในขณะที่ในอีกสองกรณีถัดไป จำเป็นต้องมีความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด

แอปพลิเคชัน

การทดสอบอนุพันธ์อันดับแรกมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาการปรับ ให้ เหมาะสมในวิชาฟิสิกส์ เศรษฐศาสตร์ และวิศวกรรมศาสตร์ ร่วมกับทฤษฎีบทค่าสุดขั้วสามารถใช้เพื่อค้นหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันค่าจริงที่กำหนดไว้ในช่วงปิดและขอบเขต เมื่อใช้ร่วมกับข้อมูลอื่นๆ เช่น ความเว้า จุดเปลี่ยน และเส้นกำกับสามารถใช้เพื่อร่างกราฟของฟังก์ชันได้

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง (ตัวแปรเดียว)

หลังจากกำหนดจุดวิกฤตของฟังก์ชันแล้ว การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองจะใช้ค่าของอนุพันธ์อันดับสองที่จุดเหล่านั้นเพื่อพิจารณาว่าจุดดังกล่าวเป็นค่าสูงสุด เฉพาะ ที่หรือค่าต่ำสุดเฉพาะที่ [1]ถ้าฟังก์ชันfนั้น หา อนุพันธ์ ได้เป็นสองเท่า ที่จุดวิกฤตx (นั่นคือจุดที่f ( x ) = 0) ดังนั้น:

  • ถ้า, แล้วมีค่าสูงสุดในท้องถิ่นที่.
  • ถ้า, แล้วมีขั้นต่ำในท้องถิ่นที่.
  • ถ้า, การทดสอบไม่สามารถสรุปผลได้

ในกรณีสุดท้ายบางครั้งอาจใช้ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ เพื่อกำหนดพฤติกรรมของ fใกล้xโดยใช้อนุพันธ์ที่สูงกว่า

หลักฐานการทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

สมมติว่าเรามี(หลักฐานสำหรับมีความคล้ายคลึงกัน) โดยสมมุติฐานว่า. แล้ว

ดังนั้นสำหรับhน้อยเพียงพอเราได้รับ

ซึ่งหมายความว่าถ้า(ตามสัญชาตญาณfจะลดลงเมื่อเข้าใกล้จากซ้าย) และนั่นถ้า(โดยสัญชาตญาณfจะเพิ่มขึ้นเมื่อเราไปจากx ) ทีนี้ โดยการทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่งมีขั้นต่ำในท้องถิ่นที่.

การทดสอบความเว้า

การใช้อนุพันธ์อันดับสองที่เกี่ยวข้องแต่ชัดเจนคือการพิจารณาว่าฟังก์ชันนั้นเว้าขึ้นหรือเว้าลงที่จุดใดจุดหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ไม่ได้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับจุดเปลี่ยน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันที่ต่างกันสองเท่าfจะเว้าขึ้น ifและเว้าลง if. โปรดทราบว่าถ้า, แล้วมีอนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์ แต่ยังไม่ใช่จุดเปลี่ยนเว้า ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองเพียงอย่างเดียวไม่ได้ให้ข้อมูลเพียงพอที่จะระบุว่าจุดที่กำหนดเป็นจุดเปลี่ยนหรือไม่

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสูงกว่า

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสูงกว่าหรือ การทดสอบ อนุพันธ์ทั่วไปสามารถระบุได้ว่าจุดวิกฤตของฟังก์ชันคือจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดผันแปรสำหรับฟังก์ชันที่หลากหลายกว่าการทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง ดังที่แสดงด้านล่าง การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองจะเหมือนกันทุกประการทางคณิตศาสตร์กับกรณีพิเศษของn  = 1 ในการทดสอบอนุพันธ์อันดับสูงกว่า

ให้fเป็นฟังก์ชันที่มีค่าจริงและอนุพันธ์ เพียงพอ บนช่วงเวลา, ปล่อยและให้เป็นจำนวนธรรมชาติ ให้อนุพันธ์ทั้งหมดของfที่cเป็นศูนย์จนถึงและรวมถึงอนุพันธ์อันดับที่nแต่ด้วยอนุพันธ์อันดับที่ ( n  + 1) ไม่ใช่ศูนย์:

มีความเป็นไปได้สี่ประการ ในสองกรณีแรกโดยที่cคือจุดสิ้นสุด สองกรณีที่สองโดยที่cคือจุดอาน (ในพื้นที่):

  • ถ้าnเป็นเลขคี่และจากนั้นcคือค่าสูงสุดในพื้นที่
  • ถ้าnเป็นเลขคี่และจากนั้นcคือค่าต่ำสุดในพื้นที่
  • ถ้าnเป็นคู่และจากนั้นcคือจุดเปลี่ยนเว้าที่ลดลงอย่างเคร่งครัด
  • ถ้าnเป็นคู่และจากนั้นcเป็นจุดเปลี่ยนที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด

เนื่องจากnต้องเป็นเลขคี่หรือคู่ การทดสอบเชิงวิเคราะห์นี้จัดประเภทจุดคงที่ใดๆ ของfตราบใดที่อนุพันธ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ปรากฏขึ้นในที่สุด

ตัวอย่าง

สมมติว่าเราต้องการทดสอบอนุพันธ์ทั่วไปของฟังก์ชันณ จุดนั้น. ในการทำเช่นนี้ เราคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้วประเมินที่จุดสนใจจนกระทั่งผลลัพธ์ไม่เป็นศูนย์

,
,
,
,
,
,

ดังที่แสดงไว้ข้างต้น ณ จุด, ฟังก์ชั่นมีอนุพันธ์ทั้งหมดที่ 0 เท่ากับ 0 ยกเว้นอนุพันธ์อันดับที่ 6 ซึ่งเป็นค่าบวก ดังนั้นn  = 5 และจากการทดสอบ จะมีค่าต่ำสุดในพื้นที่ที่ 0

กรณีหลายตัวแปร

สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองจะสรุปเป็นการทดสอบตาม ค่าลักษณะเฉพาะของ เมทริกซ์ Hessianของฟังก์ชันที่จุดวิกฤต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมติว่าอนุพันธ์ย่อยบางส่วนอันดับสองทั้งหมดของfนั้นต่อเนื่องกันในละแวกใกล้เคียงของจุดวิกฤตxดังนั้นหากค่าลักษณะเฉพาะของ Hessian ที่xเป็นบวกทั้งหมดxเป็นค่าต่ำสุดในพื้นที่ หากค่าลักษณะเฉพาะเป็นค่าลบทั้งหมด แสดงว่าxเป็นค่าสูงสุดในพื้นที่ และหากค่าเฉพาะเป็นค่าบวกและค่าลบบางส่วน จุดนั้นก็คือจุดอาน ถ้าเมทริกซ์เฮสเซียนเป็นเอกพจน์ดังนั้นการทดสอบอนุพันธ์อันดับสองจึงไม่สามารถสรุปได้

ดูเพิ่มเติม

อ่านเพิ่มเติม

  • เชียง อัลฟ่า ซี. (1984). วิธีการพื้นฐานของเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ (Third ed.). นิวยอร์ก: McGraw-Hill น.  231–267 . ISBN 0-07-010813-7.
  • มาร์สเดน, เจอร์โรลด์ ; ไวน์สไตน์, อลัน (1985). แคลคูลัสฉัน (ฉบับที่ 2) นิวยอร์ก: สปริงเกอร์ หน้า 139–199. ISBN 0-387-90974-5.
  • ช็อคลีย์, เจมส์ อี. (1976). The Brief Calculus : กับการประยุกต์ใช้ในสังคมศาสตร์ (ฉบับที่ 2) นิวยอร์ก: โฮลท์ ไรน์ฮาร์ต และวินสตัน หน้า 77–109. ISBN 0-03-089397-6.
  • สจ๊วต, เจมส์ (2551). Calculus: Early Transcendentals (ฉบับที่ 6) การเรียนรู้ Brooks Cole Cengage ISBN 978-0-495-01166-8.
  • วิลลาร์ด, สตีเฟน (1976) แคลคูลัสและการประยุกต์ บอสตัน: Prindle, Weber & Schmidt หน้า 103–145. ISBN 0-87150-203-8.

อ้างอิง

ลิงค์ภายนอก