ฟังก์ชั่นนูน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา
ฟังก์ชันนูนในช่วงเวลา
ฟังก์ชัน (สีดำ) จะนูนก็ต่อเมื่อบริเวณเหนือกราฟ (สีเขียว) เป็นเซตนูน
กราฟของฟังก์ชันนูนสองตัวแปรx 2 + xy + y 2

ในวิชาคณิตศาสตร์ฟังก์ชันมูลค่าจริงจะเรียกว่านูนถ้า ส่วนของ เส้นตรงระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนกราฟของฟังก์ชันไม่อยู่ใต้กราฟระหว่างจุดสองจุด ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันจะนูนหากepigraph (ชุดของจุดที่อยู่บนหรือเหนือกราฟของฟังก์ชัน) เป็นเซตนูน ฟังก์ชันดิฟเฟอเร นทิเอได้สองเท่าของตัวแปรเดียวจะนูนก็ต่อเมื่ออนุพันธ์อันดับสองไม่เป็นค่าลบในโดเมนทั้งหมด [1]ตัวอย่างที่รู้จักกันดีของฟังก์ชันนูนของตัวแปรเดียว ได้แก่ฟังก์ชันกำลังสอง และฟังก์ชันเลขชี้กำลัง . กล่าวอย่างง่าย ๆ ฟังก์ชันนูนหมายถึงฟังก์ชันที่กราฟมีรูปร่างเหมือนถ้วยในขณะที่ กราฟของ ฟังก์ชันเว้ามีรูปร่างเหมือน cap.

ฟังก์ชันนูนมีบทบาทสำคัญในหลายๆ ด้านของคณิตศาสตร์ สิ่งเหล่านี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในการศึกษา ปัญหา การปรับ ให้เหมาะสม ซึ่งมีคุณสมบัติที่สะดวกหลายประการ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัดในชุดที่เปิดอยู่ต้องมีค่าต่ำสุดไม่เกินหนึ่งค่า แม้ในช่องว่างอนันต์ ภายใต้สมมติฐานเพิ่มเติมที่เหมาะสม ฟังก์ชันนูนยังคงตอบสนองคุณสมบัติดังกล่าว และเป็นผลให้ ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันที่เข้าใจกันดีที่สุดในแคลคูลัสของการแปรผัน ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ฟังก์ชันนูนใช้กับค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มถูกจำกัดด้วยค่าที่คาดไว้ของฟังก์ชันนูนของตัวแปรสุ่มเสมอ ผลลัพธ์นี้เรียกว่าความไม่เท่าเทียมกันของเซ่นสามารถใช้ในการอนุมานความไม่เท่าเทียมกันได้ เช่น อสมการค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิตและความไม่เท่าเทียมกันของโฮ ลเด อร์

คำจำกัดความ

การแสดงภาพฟังก์ชันนูนและอสมการของเซ่น

ปล่อยเป็นเซตย่อยนูน ของสเป ซเวกเตอร์จริงและให้เป็นฟังก์ชัน

แล้วเรียกว่านูนก็ต่อเมื่อเงื่อนไขใด ๆ ที่เทียบเท่ากันต่อไปนี้ถือ:

  1. เพื่อทุกสิ่งและทั้งหมด:
    ด้านขวามือแสดงถึงเส้นตรงระหว่างและในกราฟของเป็นหน้าที่ของเพิ่มขึ้นจากถึงหรือลดลงจากถึงกวาดแถวนี้ ในทำนองเดียวกัน อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันทางด้านซ้ายมือแสดงถึงเส้นตรงระหว่างและในหรือ-แกนของกราฟของดังนั้น เงื่อนไขนี้กำหนดให้เส้นตรงระหว่างจุดคู่ใดๆ บนเส้นโค้งของให้อยู่เหนือหรือเพียงแค่ตรงตามกราฟ [2]
  2. เพื่อทุกสิ่งและทั้งหมดดังนั้น:
    ข้อแตกต่างของเงื่อนไขที่สองนี้เทียบกับเงื่อนไขแรกข้างต้นคือ เงื่อนไขนี้ไม่รวมจุดตัด (เช่นและ) ระหว่างเส้นตรงที่ผ่านจุดคู่บนเส้นโค้งของ(เส้นตรงแสดงโดยทางด้านขวามือของเงื่อนไขนี้) และเส้นโค้งของเงื่อนไขแรกรวมถึงจุดตัดตามที่มันกลายเป็นหรือที่หรือหรืออันที่จริงจุดตัดไม่จำเป็นต้องพิจารณาในสภาพนูนโดยใช้
    เพราะและเป็นจริงเสมอ (ดังนั้นจึงไม่มีประโยชน์ที่จะเป็นส่วนหนึ่งของเงื่อนไข)

คำสั่งที่สองแสดงลักษณะฟังก์ชันนูนที่มีค่าในบรรทัดจริงเป็นคำสั่งที่ใช้กำหนดฟังก์ชันนูนที่มีค่าในเส้นจำนวนจริงแบบขยาย โดยที่ฟังก์ชันดังกล่าวได้รับอนุญาตให้ (แต่ไม่จำเป็นต้อง) รับเป็นค่า คำสั่งแรกไม่ได้ใช้เพราะอนุญาตที่จะใช้หรือเป็นค่า ซึ่งในกรณีนี้ ถ้าหรือตามลำดับ แล้วจะไม่ถูกกำหนด (เพราะการคูณและไม่ได้กำหนดไว้) ผลรวมไม่ได้กำหนดไว้เช่นกัน ดังนั้นโดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันมูลค่าจริงที่ขยายแบบนูนจะอนุญาตให้ใช้เพียงหนึ่งอย่างเท่านั้นและเป็นค่า

คำสั่งที่สองยังสามารถแก้ไขเพื่อให้ได้คำจำกัดความของความนูนอย่างเข้มงวดโดยที่คำสั่งหลังได้มาจากการแทนที่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด อย่างชัดเจน แผนที่เรียกว่านูนออกมาก็ต่อเมื่อของจริงทั้งหมดและทั้งหมดดังนั้น:

ฟังก์ชั่นนูนอย่างเคร่งครัดเป็นฟังก์ชันที่เส้นตรงระหว่างจุดคู่ใดๆ บนเส้นโค้งอยู่เหนือเส้นโค้งยกเว้นจุดตัดระหว่างเส้นตรงกับเส้นโค้ง

ฟังก์ชั่นว่ากันว่าเว้า (resp. เว้าอย่างเคร่งครัด ) if(คูณด้วย -1) จะนูน (resp. นูนอย่างเคร่งครัด )

การตั้งชื่อแบบอื่น

คำว่านูนมักเรียกว่านูนลงหรือเว้าขึ้นและคำว่าเว้ามักเรียกว่าเว้าลงหรือนูนขึ้น [3] [4] [5]หากใช้คำว่า "นูน" โดยไม่มีคีย์เวิร์ด "ขึ้น" หรือ "ลง" จะหมายถึงกราฟรูปถ้วยอย่างเคร่งครัด. ตัวอย่างเช่นความไม่เท่าเทียมกันของเซ่นหมายถึงความไม่เท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันนูนหรือนูน (ขึ้น) [6]

คุณสมบัติ

คุณสมบัติหลายอย่างของฟังก์ชันนูนมีสูตรง่ายๆ เหมือนกันสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว เช่นเดียวกับฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว ดูคุณสมบัติด้านล่างสำหรับกรณีของตัวแปรหลายตัว เนื่องจากบางตัวไม่ได้ระบุไว้สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว

หน้าที่ของตัวแปรเดียว

  • สมมติเป็นฟังก์ชันของ ตัวแปร จริง หนึ่ง ตัวที่กำหนดไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง และให้
    (โปรดทราบว่าคือความชันของเส้นสีม่วงในรูปด้านบน ฟังก์ชั่นมีความสมมาตรในหมายความว่าไม่เปลี่ยนด้วยการแลกเปลี่ยนและ).จะนูนก็ต่อเมื่อเป็นmonotonically ไม่ลดลงในสำหรับทุกคงที่(หรือในทางกลับกัน). ลักษณะของความนูนนี้ค่อนข้างมีประโยชน์ในการพิสูจน์ผลลัพธ์ต่อไปนี้
  • ฟังก์ชันนูนของตัวแปรจริงหนึ่งตัวที่กำหนดไว้ในช่วงเปิดบางช่วง Cนั้นต่อเนื่องบน ยอมรับอนุพันธ์ด้านซ้ายและขวาและสิ่งเหล่านี้ ไม่ลดลง อย่างซ้ำซากจำเจ เป็นผลให้,ต่างกันได้ทั้งหมดแต่นับได้มากสุดหลายจุด คือ เซตที่ไม่สามารถแยกความแตกต่างได้ แต่ยังคงมีความหนาแน่น ถ้าปิดแล้วอาจล้มเหลวในการต่อเนื่องที่จุดสิ้นสุดของ(ตัวอย่างแสดงอยู่ในส่วนตัวอย่าง )
  • ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลของตัวแปรหนึ่งตัวจะนูนในช่วงเวลานั้นก็ต่อเมื่ออนุพันธ์ ของตัวแปร นั้นไม่ลดลงอย่างซ้ำซากจำเจในช่วงเวลานั้น ถ้าฟังก์ชันนั้นหาอนุพันธ์ได้และนูนออกมา ฟังก์ชันนั้นก็ หาอนุพันธ์ได้ อย่างต่อเนื่อง เช่น กัน
  • ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติ เอเบิลของตัวแปรหนึ่งตัวจะนูนในช่วงเวลานั้นก็ต่อเมื่อกราฟของตัวแปรนั้นอยู่เหนือแทนเจนต์ ทั้งหมด : [7] : 69 
    สำหรับxและy ทั้งหมด ในช่วงเวลา
  • ฟังก์ชันดิฟ เฟอเรนติเอเบิลสองเท่าของตัวแปรหนึ่งตัวจะนูนบนช่วงเวลาก็ต่อเมื่ออนุพันธ์อันดับสอง ของตัวแปร นั้นไม่เป็นค่าลบที่นั่น นี่เป็นการทดสอบภาคปฏิบัติเพื่อความนูน ฟังก์ชันนูนที่มีความแตกต่างได้สองเท่า "โค้งขึ้น" ทางสายตา โดยไม่มีการโค้งงออีกทางหนึ่ง ( จุดเปลี่ยน ) หากอนุพันธ์อันดับสองของมันเป็นบวกทุกจุด แสดงว่าฟังก์ชันนั้นนูนออกมาอย่างเข้มงวด แต่คอนเวิร์สจะไม่คงอยู่ ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับสองของเป็นซึ่งเป็นศูนย์สำหรับแต่จะนูนออกอย่างเคร่งครัด
    • คุณสมบัตินี้และคุณสมบัติข้างต้นในแง่ของ "...อนุพันธ์ของมันนั้นไม่ลดลงอย่างซ้ำซากจำเจ..." ไม่เท่ากันเพราะถ้าไม่เป็นค่าลบในช่วงเวลาแล้วเป็นแบบ monotonically ไม่ลดลงบนในขณะที่บทสนทนาไม่เป็นความจริง เช่นเป็นแบบ monotonically ไม่ลดลงบนในขณะที่อนุพันธ์ของมันไม่ได้กำหนดไว้ในบางจุดบน.
  • ถ้าเป็นฟังก์ชันนูนของตัวแปรจริงตัวเดียว และ, แล้วเป็นsuperadditiveบน จำนวนจริงที่เป็น บวกนั่นคือสำหรับจำนวนจริงบวกและ.
การพิสูจน์

เนื่องจากเป็นนูน โดยใช้นิยามของฟังก์ชันนูนด้านบนและปล่อยให้มันเป็นไปตามนั้นจริงทั้งหมด

จากนี้ไปก็เป็นไปตามนั้น

  • ฟังก์ชันเป็นจุดกึ่งกลางนูนบนช่วงเวลาถ้าทั้งหมด
    เงื่อนไขนี้อ่อนกว่านูนเล็กน้อยเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่วัดได้ของ Lebesgueมูลค่าจริงที่จุดกึ่งกลาง-นูนคือนูน: นี่คือทฤษฎีบทของSierpinski [8]โดยเฉพาะ ฟังก์ชันต่อเนื่องที่นูนตรงกลางจะเป็นนูน

หน้าที่ของตัวแปรหลายตัว

  • ฟังก์ชั่นมูลค่าในจำนวนจริงขยาย จะนูนก็ต่อเมื่อepigraph
    เป็นชุดนูน
  • ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลที่กำหนดไว้ในโดเมนนูนจะนูนก็ต่อเมื่อมีไว้สำหรับทุกคนในโดเมน
  • ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล ได้สองเท่าของตัวแปรหลายตัวจะนูนบนเซตนูนก็ต่อเมื่อเมทริกซ์เฮสเซียนของอนุพันธ์ย่อยบางส่วน ที่สอง มี ค่ากึ่งกำหนด บวกที่ด้านในของเซตนูน
  • สำหรับฟังก์ชั่นนูนชุดระดับย่อย และกับเป็นชุดนูน ฟังก์ชันที่ตรงตามคุณสมบัตินี้เรียกว่าฟังก์ชัน quasiconvexและอาจไม่สามารถเป็นฟังก์ชันนูนได้
  • ดังนั้น เซตของglobal minimisersของฟังก์ชันนูนเป็นชุดนูน:- นูน
  • ฟังก์ชันนูนขั้นต่ำในพื้นที่ใดๆ ก็เป็น ค่าต่ำสุดทั่วโลกเช่นกัน ฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัดจะมีค่าต่ำสุดของโลกอย่างน้อยหนึ่งอย่าง [9]
  • อสมการของเซ่นใช้กับทุกฟังก์ชันนูน. ถ้าเป็นตัวแปรสุ่มรับค่าในโดเมนของแล้วโดยที่Eหมายถึง ความคาดหวัง ทางคณิตศาสตร์ อันที่จริง ฟังก์ชันนูนคือสิ่งที่ตรงตามสมมติฐานของอสมการของเจนเซ่นพอดี
  • ฟังก์ชันเอกพันธ์อันดับหนึ่งของตัวแปรบวกสองตัวและ(กล่าวคือเป็นหน้าที่ที่พึงใจสำหรับทั้งหมดบวกจริง) ที่นูนในตัวแปรหนึ่งจะต้องนูนในอีกตัวแปรหนึ่ง [10]

ปฏิบัติการที่คงความนูนไว้

  • เว้าก็ต่อเมื่อเป็นนูน
  • ถ้าเป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วจะนูนก็ต่อเมื่อเป็นนูน
  • ผลรวมถ่วงน้ำหนักไม่ติดลบ:
    • ถ้าและทั้งหมดนูนออกมาก็เป็นเช่นนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลรวมของสองฟังก์ชันนูนคือนูน
    • คุณสมบัตินี้ขยายไปถึงผลรวม ปริพันธ์ และค่าที่คาดหวังได้ไม่จำกัดเช่นกัน (หากมีอยู่)
  • สูงสุดตามองค์ประกอบ: ให้เป็นชุดของฟังก์ชันนูน แล้วเป็นนูน โดเมนของคือการสะสมจุดที่นิพจน์มีขอบเขต กรณีพิเศษที่สำคัญ:
    • ถ้าเป็นฟังก์ชันนูนก็เป็นเช่นนั้น
    • ทฤษฎีบทของ Danskin : Ifนูนออกมาแล้วนูนออกมาแม้ว่าไม่ใช่ชุดนูน
  • องค์ประกอบ:
    • ถ้าและเป็นฟังก์ชันนูนและไม่ลดลงในโดเมนที่ไม่มีตัวแปร ดังนั้นเป็นนูน ตัวอย่างเช่น ถ้านูนก็เป็นเช่นนั้น. เพราะนูนและเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ
    • ถ้าเว้าและจะนูนและไม่เพิ่มขึ้นบนโดเมนที่ไม่มีตัวแปร ดังนั้นเป็นนูน
    • ความนูนเป็นค่าคงที่ภายใต้ affine map นั่นคือ ifนูนด้วยโดเมนก็เป็นเช่นนั้น, ที่ไหนกับโดเมน
  • การย่อเล็กสุด: Ifนูนออกมาแล้วนูนออกมาโดยมีเงื่อนไขว่าเป็นเซตนูนและนั่น
  • ถ้าคือนูน แล้วมุมมองของมันกับโดเมนเป็นนูน
  • ฟังก์ชั่นกำหนดบนช่องว่างเวกเตอร์นั้นนูนและตอบสนองถ้าและเท่านั้นถ้าสำหรับใดๆและจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบใดๆที่พึงพอใจ

ฟังก์ชั่นนูนอย่างมาก

แนวคิดเรื่องการนูนสูงขยายและทำให้แนวคิดของการนูนที่เข้มงวดเป็นพารามิเตอร์ ฟังก์ชันนูนมากก็นูนออกอย่างเคร่งครัดเช่นกัน แต่จะไม่กลับกัน

ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลเรียกว่านูนอย่างมากด้วยพารามิเตอร์m > 0หากอสมการต่อไปนี้คงอยู่สำหรับทุกจุดx , yในโดเมนของมัน: [11]

หรือโดยทั่วไปแล้ว
ที่ไหนเป็นบรรทัดฐาน ใด ๆ ผู้เขียนบางคน เช่น[12]อ้างถึงฟังก์ชันที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นฟังก์ชัน วงรี

เงื่อนไขที่เทียบเท่ามีดังต่อไปนี้: [13]

ไม่จำเป็นที่ฟังก์ชันจะต้องสร้างความแตกต่างเพื่อให้นูนสูง คำจำกัดความที่สาม[13]สำหรับฟังก์ชันนูนอย่างแรง โดยมีพารามิเตอร์mนั่นคือ สำหรับxทั้งหมดyในโดเมนและ

ขอให้สังเกตว่าคำจำกัดความนี้เข้าใกล้คำจำกัดความสำหรับการนูนอย่างเข้มงวดเป็นm → 0 และเหมือนกันกับคำจำกัดความของฟังก์ชันนูนเมื่อm = 0 อย่างไรก็ตาม เรื่องนี้ มีฟังก์ชันที่นูนอย่างเข้มงวดแต่จะไม่นูนมากสำหรับm > 0 ใดๆ ( ดูตัวอย่างด้านล่าง)

ถ้าฟังก์ชันมีค่าอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องเป็นสองเท่า, จากนั้นจะนูนออกมาอย่างรุนแรงด้วยพารามิเตอร์m if และ only ifสำหรับx ทั้งหมด ในโดเมนโดยที่ฉันคือตัวตนและคือเมทริกซ์เฮสเซียนและอสมการหมายความว่าเป็นบวกกึ่งแน่นอน ซึ่งเทียบเท่ากับการกำหนดให้ค่าลักษณะเฉพาะต่ำสุดของอย่างน้อยmสำหรับxทั้งหมด หากโดเมนเป็นเพียงเส้นจริง ดังนั้นเป็นเพียงอนุพันธ์อันดับสองเงื่อนไขจึงกลายเป็น. ถ้าm = 0 แสดงว่า Hessian เป็น semidefinite บวก (หรือถ้าโดเมนเป็นเส้นจริง แสดงว่า) ซึ่งบอกเป็นนัยว่าฟังก์ชันนูนและอาจนูนออกอย่างเข้มงวด แต่ไม่นูนมาก

สมมติให้ฟังก์ชันนี้สร้างอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องเป็นสองเท่า แสดงว่าขอบล่างของแสดงว่านูนออกมาอย่างแรง การใช้ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์มีอยู่จริง

ดังนั้น
แล้ว
โดยสมมติฐานเกี่ยวกับค่าลักษณะเฉพาะ และด้วยเหตุนี้เราจึงกู้คืนสมการการนูนอย่างแรงข้อที่สองข้างต้น

ฟังก์ชั่นจะนูนออกมาอย่างมากด้วยพารามิเตอร์mถ้าหากฟังก์ชัน

เป็นนูน

ความแตกต่างระหว่างนูน นูนอย่างแน่นหนา และนูนอย่างยิ่ง สามารถบอบบางได้ในแวบแรก ถ้าหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องเป็นสองเท่า และโดเมนคือเส้นจริง จากนั้นเราสามารถอธิบายลักษณะได้ดังนี้:

  • นูนก็ต่อเมื่อสำหรับxทั้งหมด
  • นูนอย่างเคร่งครัด ifสำหรับx ทั้งหมด (หมายเหตุ: นี่เพียงพอ แต่ไม่จำเป็น)
  • นูนอย่างมากก็ต่อเมื่อสำหรับxทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น ให้ให้นูนออกมาอย่างแน่นหนา และสมมุติว่ามีลำดับของจุดอยู่ดังนั้น. แม้ว่า, ฟังก์ชันไม่นูนมากเพราะจะกลายเป็นเรื่องเล็กตามอำเภอใจ

ฟังก์ชันสร้างอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องสองครั้งบนโดเมนขนาดกะทัดรัดที่พอใจเพื่อทุกสิ่งมีความนูนสูง การพิสูจน์ข้อความนี้สืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทค่าสุดขั้วซึ่งระบุว่าฟังก์ชันต่อเนื่องในชุดกะทัดรัดมีค่าสูงสุดและต่ำสุด

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันนูนมากมักจะใช้งานได้ง่ายกว่าฟังก์ชันนูนหรือฟังก์ชันนูนอย่างเข้มงวด เนื่องจากเป็นคลาสที่เล็กกว่า เช่นเดียวกับฟังก์ชันนูนอย่างเข้มงวด ฟังก์ชันนูนอย่างยิ่งจะมีค่าต่ำสุดเฉพาะในชุดกะทัดรัด

ฟังก์ชั่นนูนสม่ำเสมอ

ฟังก์ชันนูนสม่ำเสมอ[14] [15]พร้อมโมดูลัส, เป็นฟังก์ชันที่สำหรับxทั้งหมดyในโดเมนและt ∈ [0, 1]ตอบสนอง

ที่ไหนเป็นฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบและหายไปที่ 0 เท่านั้น นี่คือลักษณะทั่วไปของแนวคิดของฟังก์ชันนูนอย่างแรง โดยการรับเรากู้คืนคำจำกัดความของการนูนที่แข็งแกร่ง

เป็นที่น่าสังเกตว่าผู้เขียนบางคนต้องการโมดูลัสเพื่อเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น[15]แต่เงื่อนไขนี้ไม่จำเป็นสำหรับผู้เขียนทุกคน [14]

ตัวอย่าง

หน้าที่ของตัวแปรเดียว

  • ฟังก์ชั่นมีดังนั้นfเป็นฟังก์ชันนูน นอกจากนี้ยังนูนอย่างมาก (และด้วยเหตุนี้จึงนูนอย่างเคร่งครัดด้วย) โดยมีค่าคงตัวการนูนสูง 2
  • ฟังก์ชั่นมีดังนั้นfเป็นฟังก์ชันนูน มันนูนออกมาอย่างเข้มงวด แม้ว่าอนุพันธ์อันดับสองจะไม่เป็นค่าบวกอย่างเด็ดขาดในทุกจุด มันไม่นูนมาก
  • ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ _นูน (ตามที่สะท้อนในอสมการสามเหลี่ยม ) แม้ว่าจะไม่มีอนุพันธ์ที่จุด  x  = 0 ก็ตาม มันไม่นูนอย่างเด็ดขาด
  • ฟังก์ชั่นสำหรับเป็นนูน
  • ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เป็นนูน นอกจากนี้ยังนูนอย่างเคร่งครัดเนื่องจากแต่จะไม่นูนออกมามากนักเนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองมีค่าเข้าใกล้ศูนย์โดยพลการ โดยทั่วไป ฟังก์ชันจะนูนลอการิทึมถ้าfเป็นฟังก์ชันนูน บางครั้งใช้คำว่า "superconvex" แทน [16]
  • ฟังก์ชั่นด้วยโดเมน [0,1] กำหนดโดยสำหรับนูน; เป็นต่อเนื่องในช่วงเวลาเปิด (0, 1) แต่ไม่ต่อเนื่องที่ 0 และ 1
  • ฟังก์ชันx 3มีอนุพันธ์อันดับสอง 6 x ; ดังนั้นจึงนูนบนเซตโดยที่x ≥ 0 และเว้าบนเซตโดยที่  x  ≤ 0
  • ตัวอย่างของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนแต่ไม่นูน ได้แก่และ.
  • ตัวอย่างของฟังก์ชันที่นูนแต่ไม่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนได้แก่และ.
  • ฟังก์ชั่นมีซึ่งมากกว่า 0 ถ้าx > 0 ดังนั้นนูนบนช่วงเวลา. มันเว้าบนช่วงเวลา.
  • ฟังก์ชั่นกับ, นูนบนช่วงเวลาและนูนบนช่วงเวลาแต่ไม่นูนบนช่วงเวลาเนื่องจากภาวะเอกฐานที่  x  = 0

หน้าที่ของตัวแปรn

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

  1. ^ "บันทึกการบรรยาย 2" (PDF) . www.stat.cmu.edu _ สืบค้นเมื่อ3 มีนาคม 2560 .
  2. ^ "เว้าขึ้นและลง" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2013-12-18
  3. ^ สจ๊วต, เจมส์ (2015). แคลคูลัส (ฉบับที่ 8) การเรียนรู้ Cengage น. 223–224. ISBN 978-1305266643.
  4. ^ ดับเบิลยู. แฮมมิง, ริชาร์ด (2012). วิธีการคณิตศาสตร์ประยุกต์กับแคลคูลัส ความน่าจะเป็น และสถิติ (ภาพประกอบ ed.) บริษัท เคอรี่ คอร์ปอเรชั่น. หน้า 227. ISBN 978-0-486-13887-9. สารสกัดจากหน้า 227
  5. ↑ อูวารอฟ, วาซิลิ ĭ โบริโซวิช (1988). การ วิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ . สำนักพิมพ์เมียร์ หน้า 126-127. ISBN 978-5-03-000500-3.
  6. พรูเกล-เบนเน็ตต์, อดัม (2020). The Probability Companion for Engineering and Computer Science (ภาพประกอบฉบับแก้ไข) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. หน้า 160. ISBN 978-1-108-48053-6. สารสกัดจากหน้า 160
  7. อรรถเป็น บอยด์ สตีเฟน พี.; แวนเดนเบิร์ก, ลีเวน (2004). การเพิ่มประสิทธิภาพนูน (pdf ) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN  978-0-521-83378-3. สืบค้นเมื่อ15 ตุลาคม 2011 .
  8. โดโนฮิว, วิลเลียม เอฟ. (1969). การแจกแจงและการแปลงฟูริเยร์ สื่อวิชาการ. หน้า 12. ISBN 9780122206504. สืบค้นเมื่อ29 สิงหาคม 2555 .
  9. ^ "ถ้า f เป็นชุดนูนอย่างเข้มงวด แสดงว่าไม่มีค่าต่ำสุดเกิน 1รายการ " คณิตศาสตร์ StackExchange 21 มี.ค. 2556 . สืบค้นเมื่อ14 พฤษภาคม 2559 .
  10. ^ Altenberg, L., 2012. ตัวดำเนินการเชิงเส้นตรงที่เป็นบวกของสารละลายแสดงปรากฏการณ์การลดลง การดำเนินการของ National Academy of Sciences, 109(10), pp.3705-3710.
  11. ดิมิทรี เบิร์ตเซคาส (2003). การวิเคราะห์นูนและการเพิ่มประสิทธิภาพ ผู้ร่วมให้ข้อมูล: Angelia Nedic และ Asuman E. Ozdaglar อะธีน่า ไซแอนทิฟิค. หน้า 72 . ISBN 9781886529458.
  12. ↑ Philippe G. Ciarlet (1989). ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขและการเพิ่มประสิทธิภาพ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 9780521339841.
  13. ^ a b Yurii Nesterov (2004). การบรรยายเบื้องต้นเกี่ยวกับการเพิ่มประสิทธิภาพนูน: หลักสูตรพื้นฐาน สำนักพิมพ์ทางวิชาการของ Kluwer น.  63 –64. ISBN 978140205537.
  14. ^ a b C. Zalinescu (2002). การวิเคราะห์นูนในช่องว่างเวกเตอร์ทั่วไป วิทยาศาสตร์โลก. ISBN 9812380671.
  15. อรรถเป็น H. Bauschke และ PL Combettes (2011) การวิเคราะห์นูนและทฤษฎีตัวดำเนินการเสียงเดียวใน Hilbert Spaces สปริงเกอร์. หน้า 144 . ISBN 978-1-4419-9467-7.
  16. คิงแมน เจเอฟซี (1961). "คุณสมบัตินูนของเมทริกซ์บวก". วารสารคณิตศาสตร์รายไตรมาส . 12 : 283–284. ดอย : 10.1093/qmath/12.1.283 .
  17. Cohen, JE, 1981.ความนูนของค่าลักษณะเฉพาะที่โดดเด่นของเมทริกซ์ที่ไม่เป็นลบโดยพื้นฐานแล้ว การดำเนินการของ American Mathematical Society, 81(4), pp.657-658.

อ้างอิง

  • เบิร์ตเซคาส, ดิมิทรี (2003). การวิเคราะห์นูนและการเพิ่มประสิทธิภาพ อะธีน่า ไซแอนทิฟิค.
  • บอร์ไวน์, โจนาธานและ ลูอิส, เอเดรียน. (2000). การวิเคราะห์นูนและการเพิ่มประสิทธิภาพแบบไม่เชิงเส้น สปริงเกอร์.
  • โดโนฮิว, วิลเลียม เอฟ. (1969). การแจกแจงและการแปลงฟูริเยร์ สื่อวิชาการ.
  • Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste และLemaréchal, Claude . (2004). พื้นฐานของการวิเคราะห์นูน เบอร์ลิน: สปริงเกอร์.
  • Krasnosel'skii MA , Rutickii Ya.B. (1961). ฟังก์ชั่น นูนและ Orlicz Spaces โกรนิงเก้น: P.Noordhoff Ltd.
  • เลาริตเซ่น, นีลส์ (2013). ระดับปริญญาตรี นูน . สำนักพิมพ์วิทยาศาสตร์โลก
  • ลูเบอเกอร์, เดวิด (1984). การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น แอดดิสัน-เวสลีย์.
  • ลูเบอเกอร์, เดวิด (1969). การเพิ่มประสิทธิภาพโดยวิธีเวคเตอร์สเปไวลีย์ แอนด์ ซันส์.
  • ร็ อคคาเฟลลาร์, RT (1970). การวิเคราะห์นูน พรินซ์ตัน: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน.
  • ทอมสัน, ไบรอัน (1994). คุณสมบัติสมมาตรของฟังก์ชันจริง ซีอาร์ซี เพรส.
  • Zălinescu, C. (2002). การวิเคราะห์นูนในช่องว่างเวกเตอร์ทั่วไป River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. หน้า xx+367 ISBN 981-238-067-1. มร.  1921556 .

ลิงค์ภายนอก