พื้นที่ขนาดกะทัดรัด

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา
ตามเกณฑ์ความเป็นปึกแผ่นสำหรับปริภูมิแบบยุคลิดตามที่ระบุไว้ในทฤษฎีบทไฮเนอ-บอเรลช่วงเวลาA = (−∞, −2]จะไม่หนาแน่นเพราะไม่มีขอบเขต ช่วงC = (2, 4)ไม่กระชับเพราะ ไม่ได้ปิด ช่วงเวลาB = [0, 1]กระชับเพราะทั้งปิดและล้อมรอบ

ในวิชาคณิตศาสตร์โดยเฉพาะโทโพโลยีทั่วไปความแน่นเป็นคุณสมบัติที่พยายามสรุปแนวคิดของเซตย่อย แบบ ปิดและ แบบ มีขอบเขต ของสเป ซแบบยุคลิด[1]โดยทำให้แนวคิดของพื้นที่ไม่มี "รู" หรือ "จุดสิ้นสุดที่ขาดหายไป" อย่างแม่นยำ กล่าวคือ ช่องว่างไม่รวม "ค่าจำกัด" ของคะแนน ตัวอย่างเช่น ช่วง "เปิด" (0,1) จะไม่กระชับเพราะไม่รวม "ค่าจำกัด" ของ 0 และ 1 ในขณะที่ช่วงปิด [0,1] จะมีขนาดกะทัดรัด ในทำนองเดียวกัน พื้นที่ของจำนวนตรรกยะ ℚ นั้นไม่แคบเพราะมี "รู" จำนวนมากที่สัมพันธ์กับจำนวนอตรรกยะเป็นอนันต์ และพื้นที่ของจำนวนจริง ℝ ก็ไม่แคบเช่นกันเพราะไม่รวมค่าจำกัดและ. อย่างไรก็ตามเส้นจำนวนจริง ที่ ขยายออกจะกระชับ เนื่องจากมีอนันต์ทั้งคู่ มีหลายวิธีที่จะทำให้แนวคิดฮิวริสติกนี้แม่นยำ วิธีการเหล่านี้มักจะเห็นด้วยในอวกาศแบบยุคลิด แต่อาจไม่เท่าเทียมกันในพื้นที่ทอพอโลยี อื่น ๆ

ลักษณะทั่วไปอย่างหนึ่งคือพื้นที่ทอพอโลยีจะกระชับตามลำดับถ้าทุกลำดับอนันต์ของจุดที่สุ่มตัวอย่างจากอวกาศมีลำดับอนันต์ที่บรรจบกันไปยังบางจุดของพื้นที่ [2]ทฤษฎีบทโบลซาโน–ไวเออร์ช ตรา ส ระบุว่าเซตย่อยของสเปซแบบยุคลิดมีขนาดกะทัดรัดในความหมายที่ต่อเนื่องกันนี้ ถ้าหากมันถูกปิดและมีขอบเขตเท่านั้น ดังนั้น หากใครเลือกจุดจำนวนอนันต์ในช่วงหน่วย ปิด [0, 1]บางจุดจะเข้าใกล้จำนวนจริงตามอำเภอใจในพื้นที่นั้น ตัวอย่างเช่น ตัวเลขบางตัวในลำดับ1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, … สะสมเป็น 0 (ในขณะที่คนอื่นสะสมเป็น 1) ชุดจุดเดียวกันจะไม่สะสมจนถึงจุดใดๆ ของช่วงหน่วยเปิด(0, 1)ดังนั้นช่วงของหน่วยเปิดจึงไม่กะทัดรัด แม้ว่าส่วนย่อย (สเปซย่อย) ของสเปซแบบยุคลิดสามารถกระชับได้ แต่พื้นที่ทั้งหมดนั้นไม่กะทัดรัดเนื่องจากไม่มีขอบเขต ตัวอย่างเช่น การพิจารณาเส้นจำนวนจริงทั้งหมด ลำดับของคะแนน0, 1, 2, 3, … , ไม่มีลำดับรองลงมาที่บรรจบกับจำนวนจริงใดๆ

ความกะทัดรัดได้รับการแนะนำอย่างเป็นทางการโดยMaurice Fréchetในปี 1906 เพื่อสรุปทฤษฎีบท Bolzano–Weierstrass จากช่องว่างของจุดเรขาคณิตไปยัง ช่องว่าง ของฟังก์ชัน ทฤษฎีบทอาร์เซลา–อัสโคลีและ ทฤษฎีบทการ มีอยู่ของพีอาโนเป็นตัวอย่างของการประยุกต์แนวคิดเรื่องความกะทัดรัดนี้กับการวิเคราะห์แบบคลาสสิก หลังจากการแนะนำครั้งแรก แนวคิดที่เทียบเท่ากันหลายอย่างของความเป็นปึกแผ่น ซึ่งรวมถึงความแน่นตามลำดับและ ความกะทัดรัด ของจุดจำกัดได้รับการพัฒนาในพื้นที่เมตริกทั่วไป [3]อย่างไรก็ตาม ในพื้นที่ทอพอโลยีทั่วไป แนวคิดเรื่องความเป็นปึกแผ่นเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน แนวคิดที่มีประโยชน์ที่สุด—และคำจำกัดความมาตรฐานของคำว่ากะทัดรัด อย่างไม่มีเงื่อนไข— ถูกใช้ในแง่ของการมีอยู่ของแฟมิลีอันจำกัดของเซตเปิดที่ " ครอบคลุม " ช่องว่างในแง่ที่ว่าแต่ละจุดของสเปซอยู่ในชุดบางชุดที่มีอยู่ใน ตระกูล. แนวคิดที่ละเอียดอ่อนกว่านี้ซึ่งนำเสนอโดยPavel AlexandrovและPavel Urysohnในปี 1929 จัดแสดงพื้นที่กะทัดรัดเป็นภาพรวมของเซตจำกัด ในพื้นที่ที่มีขนาดกะทัดรัดในแง่นี้ มักจะเป็นไปได้ที่จะรวมข้อมูลที่เก็บไว้ใน เครื่องเข้าด้วยกัน—นั่นคือ ในละแวกของแต่ละจุด—เป็นข้อความที่เกี่ยวข้องกันซึ่งคงอยู่ทั่วห้วงอวกาศ และทฤษฎีบทมากมายของตัวละครนี้

คำว่าชุดกะทัดรัดบางครั้งใช้เป็นคำพ้องความหมายสำหรับพื้นที่กะทัดรัด แต่มักหมายถึงพื้นที่ย่อยขนาดกะทัดรัดของพื้นที่ทอพอโลยีเช่นกัน

พัฒนาการทางประวัติศาสตร์

ในศตวรรษที่ 19 มีความเข้าใจคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันหลายอย่างซึ่งภายหลังจะถูกมองว่าเป็นผลพวงของความเป็นปึกแผ่น ในอีกด้านหนึ่งBernard Bolzano ( 2360 ) ทราบดีว่าลำดับจุดที่มีขอบเขตใดๆ (เช่น ในเส้นหรือระนาบ) มีลำดับรองลงมาซึ่งสุดท้ายแล้วจะต้องเข้าใกล้จุดอื่นโดยพลการ ซึ่งเรียกว่าจุดจำกัด หลักฐานของโบลซาโนอาศัยวิธีการผ่าครึ่ง: ลำดับถูกวางไว้ในช่วงเวลาที่แบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน และเลือกส่วนที่ประกอบด้วยเงื่อนไขของลำดับมากมายอย่างไม่สิ้นสุด จากนั้น กระบวนการนี้สามารถทำซ้ำได้โดยการแบ่งช่วงผลลัพธ์ที่เล็กลงเป็นส่วนที่เล็กลงและเล็กลง จนกว่าจะปิดลงในจุดจำกัดที่ต้องการ ความสำคัญอย่างเต็มที่ของทฤษฎีบทของโบลซาโนและวิธีการพิสูจน์ จะไม่ปรากฏให้เห็นจนกระทั่งเกือบ 50 ปีต่อมา เมื่อคาร์ล ไวเออร์ สตราสค้นพบมันอีก ครั้ง [4]

ในยุค 1880 เป็นที่ชัดเจนว่าผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทโบลซาโน–ไวเออร์ชตราสสามารถกำหนดสูตรสำหรับช่องว่างของฟังก์ชันมากกว่าแค่ตัวเลขหรือจุดเรขาคณิต แนวคิดเกี่ยวกับการทำงานที่เหมือนกับตัวเองชี้ให้เห็นถึงพื้นที่ทั่วไปมีขึ้นตั้งแต่การสืบสวนของGiulio AscoliและCesare Arzelà [5] จุดสุดยอดของการสืบสวนของพวกเขาทฤษฎีบทอาร์เซลา–อัสโคลีเป็นการสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทโบลซาโน–ไวเออร์ชตราสส์สำหรับครอบครัวของฟังก์ชันต่อเนื่องสรุปได้อย่างแม่นยำคือสามารถแยกการบรรจบกันที่สม่ำเสมอลำดับของฟังก์ชันจากตระกูลฟังก์ชันที่เหมาะสม ขีดจำกัดสม่ำเสมอของซีเควนซ์นี้มีบทบาทเหมือนกับ "จุดจำกัด" ของโบลซาโนอย่างแม่นยำ ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ผลลัพธ์ที่คล้ายกับของ Arzelà และ Ascoli เริ่มสะสมในพื้นที่ของสมการปริพันธ์ตามที่David HilbertและErhard Schmidt ตรวจ สอบ สำหรับฟังก์ชันของ Green บางกลุ่มที่ มาจากการแก้สมการปริพันธ์ ชามิดท์ได้แสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทอาร์เซลลา–อัสโคลีในแง่ของการ บรรจบกันของ ค่าเฉลี่ย หรือการ บรรจบกันในสิ่งที่ต่อมาจะถูกขนานนามว่าสเป ซ ฮิลแบร์ในที่สุดสิ่งนี้ก็นำไปสู่แนวคิดของผู้ปฏิบัติงานที่มีขนาดกะทัดรัดเป็นหน่อของแนวคิดทั่วไปของพื้นที่ขนาดกะทัดรัด อริซ เฟ รเชต์เป็น ผู้กลั่นกรองแก่นแท้ของสมบัติของโบลซาโน-ไวเออร์ชตราสในปี ค.ศ. 1906และได้บัญญัติศัพท์คำว่าความกะทัดรัดเพื่ออ้างถึงปรากฏการณ์ทั่วไปนี้ (เขาใช้คำนี้อยู่แล้วในบทความของปี 1904 [6]ซึ่งนำไปสู่วิทยานิพนธ์อันโด่งดังในปี ค.ศ. 1906 ).

อย่างไรก็ตาม แนวความคิดที่แตกต่างกันของความเป็นปึกแผ่นไปพร้อมกันก็ได้ปรากฏขึ้นอย่างช้าๆ ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 จากการศึกษา คอนตินิว อัมซึ่งถูกมองว่าเป็นพื้นฐานสำหรับการกำหนดสูตรการวิเคราะห์ที่เข้มงวด ในปีพ.ศ. 2413 Eduard Heineได้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันต่อเนื่องที่กำหนดไว้ในช่วงเวลาปิดและขอบเขตนั้นมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอกัน ในการพิสูจน์ เขาใช้บทแทรกที่จากการครอบคลุมที่นับได้ของช่วงโดยช่วงการเปิดที่เล็กกว่า เป็นไปได้ที่จะเลือกจำนวนจำกัดของสิ่งเหล่านี้ที่ครอบคลุมช่วงเวลานั้นด้วย ความสำคัญของบทแทรกนี้ได้รับการยอมรับโดยÉmile Borel ( พ.ศ. 2438 ) และนำมารวมกันเพื่อรวบรวมช่วงเวลาโดยพลการโดยPierre Cousin (1895) และHenri Lebesgue ( 1904 ) ทฤษฎีบทไฮเนอ-บอเรลดังที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเป็นสมบัติพิเศษอีกอย่างหนึ่งที่มีชุดจำนวนจริงแบบปิดและแบบมีขอบเขต

คุณสมบัตินี้มีความสำคัญเนื่องจากอนุญาตให้ส่งข้อมูลจากข้อมูลท้องถิ่นเกี่ยวกับชุด (เช่น ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน) ไปยังข้อมูลส่วนกลางเกี่ยวกับชุด (เช่น ความต่อเนื่องสม่ำเสมอของฟังก์ชัน) ความรู้สึกนี้แสดงออกโดยLebesgue (1904)ผู้ซึ่งใช้ประโยชน์จากมันในการพัฒนาอินทิกรัลซึ่งขณะนี้มีชื่อของเขา ในที่สุด โทโพโลยีแบบจุดชุดของรัสเซียภายใต้การดูแลของPavel AlexandrovและPavel Urysohnได้กำหนดความกะทัดรัดของ Heine–Borel ในลักษณะที่สามารถนำไปใช้กับแนวคิดสมัยใหม่ของ พื้นที่ทอพอ โล ยี อเล็กซานดรอฟ & อูรีซอห์น (1929)แสดงให้เห็นว่ารุ่นก่อนหน้าของความเป็นปึกแผ่นเนื่องจาก Fréchet ซึ่งปัจจุบันเรียกว่า (สัมพัทธ์) ความกะทัดรัดตามลำดับภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสมตามมาจากรุ่นของความเป็นปึกแผ่นที่ถูกกำหนดขึ้นในแง่ของการมีอยู่ของซับไฟไนต์ แนวคิดเรื่องความเป็นปึกแผ่นนี้กลายเป็นแนวคิดหลัก เพราะมันไม่ใช่แค่คุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่าเท่านั้น แต่สามารถกำหนดสูตรในการตั้งค่าทั่วไปที่มากขึ้นด้วยเครื่องจักรทางเทคนิคเพิ่มเติมขั้นต่ำ เนื่องจากอาศัยเฉพาะโครงสร้างของชุดเปิด ในพื้นที่

ตัวอย่างพื้นฐาน

พื้นที่จำกัดใดๆมีขนาดกะทัดรัด สามารถรับปกย่อยแบบจำกัดโดยการเลือก สำหรับแต่ละจุด ชุดเปิดที่บรรจุมันไว้ ตัวอย่างที่ไม่น่าสนใจของพื้นที่กะทัดรัดคือช่วงหน่วย (ปิด) [0,1]ของจำนวนจริง หากเลือกจุดที่แตกต่างกันจำนวนอนันต์ในช่วงหน่วย ก็จะต้องมีจุดสะสมในช่วงเวลานั้น ตัวอย่างเช่น พจน์เลขคี่ของลำดับ1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ...เข้าใกล้ 0 โดยพลการ ในขณะที่เลขคู่เข้าใกล้ 1 โดยพลการ ตัวอย่างที่กำหนดให้แสดงความสำคัญของการรวม จุด ขอบเขตของช่วง เนื่องจากจุดจำกัดต้องอยู่ในช่องว่าง - ช่วงเวลาเปิด (หรือครึ่งเปิด) ของจำนวนจริงนั้นไม่แน่น เป็นสิ่งสำคัญเช่นกันที่ช่วงจะถูกจำกัดเนื่องจากในช่วงเวลา[0,∞)เราสามารถเลือกลำดับของคะแนน0, 1, 2, 3, ...ซึ่งไม่มีลำดับย่อยใดเข้าใกล้โดยพลการในท้ายที่สุด จำนวนจริงใดๆ ที่กำหนด

ในสองมิติดิสก์ แบบปิด นั้นมีขนาดกะทัดรัด เนื่องจากสำหรับจุดจำนวนอนันต์ที่สุ่มตัวอย่างจากดิสก์ เซตย่อยของจุดเหล่านั้นบางส่วนจะต้องเข้าใกล้จุดหนึ่งในดิสก์หรือจุดบนขอบเขตตามอำเภอใจ อย่างไรก็ตาม ดิสก์ที่เปิดอยู่นั้นไม่กะทัดรัด เนื่องจากลำดับของจุดสามารถโน้มน้าวไปยังขอบเขต—โดยไม่ต้องเข้าใกล้จุดใดๆ ในภายในโดยพลการ ในทำนองเดียวกัน ทรงกลมก็มีขนาดกะทัดรัด แต่ทรงกลมที่หายไปจากจุดหนึ่งไม่ใช่เนื่องจากลำดับของจุดยังคงสามารถชี้ไปที่จุดที่ขาดหายไป ดังนั้นจึงไม่ได้เข้าใกล้จุดใดๆในอวกาศ โดยพลการ เส้นและระนาบไม่แคบ เนื่องจากเราสามารถนำชุดของจุดที่เว้นระยะเท่ากันไปในทิศทางใดก็ได้โดยไม่ต้องเข้าใกล้จุดใดๆ

คำจำกัดความ

อาจใช้คำจำกัดความต่างๆ ของความเป็นปึกแผ่น ขึ้นอยู่กับระดับทั่วไป เซตย่อยของส เป ซแบบยุคลิดโดยเฉพาะจะเรียกว่าคอมแพคหากมันถูกปิดและมีขอบเขต ตามทฤษฎีบทโบลซาโน–ไวเออ ร์ชตราส ลำดับอนันต์ใดๆจากเซตมีลำดับ ย่อย ที่บรรจบกันถึงจุดในชุด แนวคิดที่เทียบเท่ากันต่างๆ ของความเป็นปึกแผ่น เช่นความกะทัดรัดตามลำดับและ ความแน่น ของจุดจำกัดสามารถพัฒนาในพื้นที่เมตริก ทั่วไป ได้ [3]

ในทางตรงกันข้าม แนวคิดที่แตกต่างกันของความเป็นปึกแผ่นนั้นไม่เท่ากันในช่องว่างโทโพโลยี ทั่วไป และแนวคิดที่มีประโยชน์ที่สุดของความเป็นปึกแผ่น—แต่เดิมเรียกว่าความกะทัดรัดถูกกำหนดโดยใช้ แผ่น ปิด ที่ ประกอบด้วยชุดเปิด (ดูคำจำกัดความของปกเปิดด้านล่าง) รูปแบบของความเป็นปึกแผ่นนี้ถือสำหรับเซตย่อยแบบปิดและแบบมีขอบเขตของสเปซแบบยุคลิดเรียกว่าทฤษฎีบทไฮเนอ-บอเรความกะทัดรัด เมื่อกำหนดในลักษณะนี้ มักจะอนุญาตให้นำข้อมูลที่เป็นที่รู้จักในท้องถิ่น —ในละแวกใกล้เคียงของแต่ละจุดของพื้นที่—และเพื่อขยายไปยังข้อมูลที่เก็บไว้ทั่วโลกทั่วทั้งพื้นที่ ตัวอย่างของปรากฏการณ์นี้คือทฤษฎีบทของ Dirichlet ซึ่ง Heine นำมาใช้ในขั้นต้นว่าฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลา สั้น ๆ จะ ต่อเนื่องกันอย่างสม่ำเสมอ ที่นี่ ความต่อเนื่องเป็นคุณสมบัติท้องถิ่นของฟังก์ชัน และความต่อเนื่องสม่ำเสมอของคุณสมบัติส่วนกลางที่สอดคล้องกัน

คำจำกัดความของปกเปิด

ตามหลักการแล้วพื้นที่ทอพอโลยี Xจะถูกเรียกว่าคอมแพคถ้าฝาครอบที่เปิดอยู่ แต่ละ อันมีซับซับจำกัด [7]นั่นคือXมีขนาดกะทัดรัดหากสำหรับทุกคอลเลกชันCของชุดย่อยที่เปิดอยู่ของXเช่นนั้น

,

มีคอลเลกชันย่อยที่แน่นอนFCเช่นนั้น

คณิตศาสตร์บางสาขา เช่นเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตซึ่งโดยทั่วไปแล้วได้รับอิทธิพลจากโรงเรียนฝรั่งเศสแห่งBourbakiใช้คำว่าquasi-compact สำหรับแนวคิดทั่วไป และสงวนคำศัพท์นี้ไว้สำหรับช่องว่างทอพอโลยีที่มีทั้งHausdorffและquasi-compact ชุดกะทัดรัดบางครั้งเรียกว่าcompactum ,พหูพจน์compacta

ความกะทัดรัดของเซตย่อย

เซตย่อยKของทอพอโลยี สเปซ Xถูกกล่าวถึงว่ากะทัดรัด หากมีขนาดกะทัดรัดเป็นสเปซย่อย (ในซับสเปซทอพอโลยี ) นั่นคือKมีขนาดกะทัดรัดหากสำหรับทุกคอลเล็กชั่ น Cของเซตย่อยที่เปิดอยู่ของXเช่นนั้น

,

มีคอลเลกชันย่อยที่แน่นอนFCเช่นนั้น

.

ความกะทัดรัดเป็นคุณสมบัติ "โทโพโลยี" นั่นคือถ้าด้วยเซตย่อยZที่ติดตั้งด้วยโทโพโลยีสเปซย่อย ดังนั้นKจะมีขนาดกะทัดรัดในZก็ต่อเมื่อK มี ขนาด กะทัดรัดในY

คำจำกัดความที่เทียบเท่า

ถ้าXเป็นปริภูมิทอพอโลยี ค่าต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

  1. Xมีขนาดกะทัดรัด
  2. ทุกหน้าปกที่เปิดอยู่ของX จะมีปก ย่อยที่มีขอบเขตจำกัด
  3. Xมี sub-base ที่ทุกส่วนของ space โดยสมาชิกของ sub-base จะมี finite subcover ( ทฤษฎีบทฐานย่อยของ Alexander )
  4. XคือLindelöfและมีขนาดกะทัดรัดนับได้ [8]
  5. คอลเล็กชันของเซตย่อยแบบปิดของXที่มีคุณสมบัติจุดตัดจำกัดมีทางแยกที่ไม่ว่างเปล่า
  6. ทุกเครือข่ายบนXมีซับเน็ตที่บรรจบกัน (ดูบทความเกี่ยวกับอวนเพื่อเป็นหลักฐาน)
  7. ทุกฟิ ลเตอร์ ในXมีการปรับแต่งมาบรรจบกัน
  8. ทุกเครือข่ายบนXมีจุดคลัสเตอร์
  9. ทุกตัวกรองในXมีจุดคลัสเตอร์
  10. อัลต ร้าฟิ ลเตอร์ ทุกตัวบนXมาบรรจบกันที่จุดอย่างน้อยหนึ่งจุด
  11. ทุกเซตย่อยอนันต์ของXมีจุดสะสม ที่ สมบูรณ์ [9]
  12. หน้าปกที่เปิดอยู่ของX ทุกเล่ม ที่เรียงลำดับโดยการรวมเซตย่อยทั้งหมดจะมีXเอง

พื้นที่ยุคลิด

สำหรับเซตย่อย A ใดๆ ของสเปซแบบยุคลิดAจะมีขนาดกะทัดรัดก็ต่อเมื่อมันถูกปิดและล้อมรอบ นี่คือทฤษฎีบทไฮเนอ-บอเร

เนื่องจากสเป ซ แบบยุคลิด เป็นปริภูมิ เมตริก เงื่อนไขในหัวข้อย่อยถัดไปจึงนำไปใช้กับส่วนย่อยทั้งหมดด้วย จากเงื่อนไขที่เท่าเทียมกันทั้งหมด ในทางปฏิบัติที่ง่ายที่สุดในการตรวจสอบว่าเซตย่อยถูกปิดและถูกจำกัด ตัวอย่างเช่น สำหรับช่วงเวลา ที่ปิด หรือn -ball ที่ปิด

ช่องว่างเมตริก

สำหรับพื้นที่เมตริกใดๆ( X , d )สิ่งต่อไปนี้เทียบเท่า (สมมติว่าตัวเลือกที่นับ ได้ ):

  1. ( X , d )มีขนาดกะทัดรัด
  2. ( X , d ) สมบูรณ์และมีขอบเขตทั้งหมด (ซึ่งเทียบเท่ากับความกะทัดรัดสำหรับพื้นที่สม่ำเสมอ ) [10]
  3. ( X , d )มีขนาดกะทัดรัดตามลำดับ; นั่นคือ ทุกลำดับในXมีลำดับการบรรจบกันซึ่งมีขีด จำกัด อยู่ในX (นี่เทียบเท่ากับความกะทัดรัดสำหรับช่องว่างที่นับได้ครั้งแรก )
  4. ( X , d )เป็น ลิ มิตพอยต์คอมแพ็ก (เรียกอีกอย่างว่าคอมแพคนับอย่างอ่อน); นั่นคือ ทุกเซตย่อยอนันต์ของX มี จุดจำกัดอย่างน้อยหนึ่งจุดในX
  5. ( X , d )มีขนาดกะทัดรัดนับ ได้ ; นั่นคือ ทุกปกที่เปิดนับได้ของXมีปกย่อยที่มีขอบเขตจำกัด
  6. ( X , d )เป็นภาพของฟังก์ชันต่อเนื่องจากชุดต้นเสียง (11)
  7. ทุกๆ ลำดับที่ซ้อนกันลดลงของชุดย่อยปิด ที่ไม่ว่างเปล่า S1S2 ⊇ …ใน( X , d )มีทางแยกที่ไม่ว่างเปล่า
  8. ลำดับที่ซ้อนกันที่เพิ่มขึ้นของชุดย่อยเปิดที่เหมาะสมS1S2 ⊆ …ใน( X , d ) ล้ม เหลวในการครอบคลุมX

พื้นที่เมตริกขนาดกะทัดรัด( X , d )ยังเป็นไปตามคุณสมบัติต่อไปนี้:

  1. บทแทรกหมายเลขของ Lebesgue : สำหรับปกที่เปิดอยู่ของX ทุกเล่ม จะมีตัวเลขδ > 0ซึ่งทุกชุดย่อยของXของเส้นผ่านศูนย์กลาง < δจะมีอยู่ในบางส่วนของหน้าปก
  2. ( X , d )สามารถนับได้ที่สองแยกออกได้และLindelöf เงื่อนไขทั้งสามนี้เทียบเท่ากับช่องว่างเมตริก การสนทนาไม่เป็นความจริง เช่น พื้นที่ที่ไม่ต่อเนื่องที่นับได้ตรงตามเงื่อนไขทั้งสามนี้ แต่ไม่กะทัดรัด
  3. Xถูกปิดและถูกจำกัดไว้ (เป็นส่วนย่อยของช่องว่างเมตริกใดๆ ที่มีเมตริกจำกัดคือd ) บทสนทนาอาจล้มเหลวสำหรับพื้นที่ที่ไม่ใช่แบบยุคลิด เช่นเส้นจริงที่ติดตั้งตัววัดแบบแยกส่วนถูกปิดและล้อมรอบแต่ไม่แน่น เนื่องจากกลุ่มของsingletons ทั้งหมด ของพื้นที่เป็นหน้าปกแบบเปิดซึ่งยอมรับว่าไม่มีส่วนย่อยที่มีขอบเขตจำกัด มีครบแต่ไม่จำกัด

พื้นที่สั่งซื้อ

สำหรับพื้นที่ที่สั่งซื้อ( X , <) (เช่น ชุดที่สั่งซื้อทั้งหมดที่ติดตั้งโทโพโลยีลำดับ) สิ่งต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

  1. ( X , <)มีขนาดกะทัดรัด
  2. ทุกเซตย่อยของXมีค่าสูงสุด (เช่น ขอบบนที่น้อยที่สุด) ในX
  3. ทุกชุดย่อยของXมี infimum (เช่นขอบเขตล่างที่ยิ่งใหญ่ที่สุด) ในX
  4. ทุกเซ็ตย่อยที่ปิด nonempty ของXมีองค์ประกอบสูงสุดและต่ำสุด

พื้นที่ที่ได้รับคำสั่งซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขเหล่านี้ (อย่างใดอย่างหนึ่ง) เรียกว่าโครงตาข่ายที่สมบูรณ์

นอกจากนี้ สิ่งต่อไปนี้เทียบเท่ากับช่องว่างที่เรียงลำดับทั้งหมด( X , <)และเป็นจริงเมื่อใดก็ตามที่( X , <)มีขนาดกะทัดรัด (การสนทนาโดยทั่วไปจะล้มเหลวหาก( X , <)ไม่สามารถวัดได้ด้วยเช่นกัน):

  1. ทุกลำดับใน( X , <)มีลำดับย่อยที่มาบรรจบกันใน( X , < )
  2. ลำดับที่เพิ่มขึ้นของเสียงเดียวในXจะบรรจบกันเป็นขีดจำกัดเฉพาะในX
  3. ลำดับการลดเสียงเดียวในXจะบรรจบกันเป็นขีดจำกัดเฉพาะในX
  4. ทุกๆ ลำดับที่ซ้อนกันลดลงของชุดย่อยปิด ที่ไม่ว่างเปล่า S1S2 ⊇ … ใน( X , <)มีทางแยกที่ไม่ว่างเปล่า
  5. ทุกลำดับที่ซ้อนกันที่เพิ่มขึ้นของชุดย่อยที่เปิดที่เหมาะสมS1S2 ⊆ … ใน( X , <) ไม่ สามารถครอบคลุมX

การกำหนดลักษณะโดยฟังก์ชันต่อเนื่อง

ให้Xเป็นพื้นที่ทอพอโลยี และC( X )เป็นวงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่องจริงบนX สำหรับแต่ละpX , แผนที่การประเมิน ให้โดยev p ( f ) = f ( p )เป็น homomorphism ของวงแหวน เคอร์เนลของev pเป็นอุดมคติสูงสุดเนื่องจากสนาม เรซิดิว C( X )/ker ev pคือสนามของจำนวนจริง โดยทฤษฎีบท isomorphismแรก ปริภูมิเชิงทอพอโลยีXเป็น แบบ คอมแพคเทียมก็ต่อเมื่อทุกอุดมคติสูงสุดในC( X )มีฟิลด์เรซิดิวเป็นจำนวนจริง สำหรับพื้นที่ปกติอย่างสมบูรณ์ซึ่งเทียบเท่ากับทุกอุดมคติสูงสุดที่เป็นแก่นของการประเมิน homomorphism [12] มีช่องว่างเทียมที่ไม่กะทัดรัดแม้ว่า

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับช่องว่างที่ไม่ใช่แบบคอมแพ็คเทียม จะมีอุดมคติสูงสุดเสมอmในC( X )โดยที่ฟิลด์ เรซิดิว C( X )/ mเป็นสนามไฮเปอร์เรียล ( ไม่ใช่อาร์คิมีดี) กรอบงานของการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นไปตามมาตรฐานช่วยให้สามารถกำหนดลักษณะทางเลือกของความหนาแน่นได้ดังต่อไปนี้[13]พื้นที่ทอพอโลยีXจะมีขนาดกะทัดรัดก็ต่อเมื่อทุกจุดxของส่วนขยายตามธรรมชาติ*Xอยู่ใกล้กับจุดx 0ของX อย่างไม่สิ้นสุด (เพิ่มเติม แม่นยำ,xมีอยู่ในmonadของx 0 )

คำจำกัดความ Hyperreal

ช่องว่างXมีขนาดกะทัดรัดหากส่วนขยาย ไฮเปอร์เรียลของมัน *X (สร้าง ตัวอย่างเช่น โดยโครงสร้างultrapower ) มีคุณสมบัติที่ทุกจุดของ*Xอยู่ใกล้กับจุดใดจุดหนึ่งของX*Xอย่างไม่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลาจริงที่เปิดอยู่X = (0, 1)นั้นไม่กะทัดรัดเพราะส่วนขยายไฮเปอร์ เรียลของมัน *(0,1)มีอนันต์ซึ่งใกล้เคียงกับ 0 อย่างไม่สิ้นสุด ซึ่งไม่ใช่จุดของ X

เงื่อนไขที่เพียงพอ

  • เซตย่อยแบบปิดของพื้นที่กะทัดรัดมีขนาดกะทัดรัด [14]
  • การ รวมกันอย่างจำกัดของชุดคอมแพคมีขนาดกะทัดรัด
  • ภาพต่อเนื่องของพื้นที่ขนาดกะทัดรัดมีขนาดกะทัดรัด [15]
  • จุดตัดของคอลเลกชันที่ไม่ว่างเปล่าของชุดย่อยขนาดกะทัดรัดของพื้นที่ Hausdorff มีขนาดกะทัดรัด (และปิด)
    • ถ้าXไม่ใช่ Hausdorff จุดตัดของชุดย่อยแบบย่อสองชุดอาจล้มเหลวในการกระชับ (ดูตัวอย่างเชิงอรรถ) [หมายเหตุ 1]
  • ผลิตภัณฑ์จากคอลเลกชั่นพื้นที่กะทัดรัดมีขนาดกะทัดรัด (นี่คือทฤษฎีบทของ Tychonoffซึ่งเทียบเท่ากับสัจพจน์ของทางเลือก )
  • ในพื้นที่ที่วัดได้ เซตย่อยจะมีขนาดกะทัดรัดก็ต่อเมื่อมีขนาดกะทัดรัดตามลำดับ (สมมติว่าตัวเลือกที่นับ ได้ )
  • เซตจำกัดที่กอปรด้วยโทโพโลยีใดๆ มีขนาดกะทัดรัด

คุณสมบัติของพื้นที่ขนาดกะทัดรัด

  • เซตย่อยขนาดกะทัดรัดของHausdorff space Xถูกปิด
    • หากXไม่ใช่ Hausdorff เซตย่อยแบบย่อของXอาจล้มเหลวในการเป็นเซตย่อยแบบปิดของX (ดูตัวอย่างเชิงอรรถ) [โน้ต 2]
    • หากXไม่ใช่ Hausdorff การปิดชุดคอมแพคอาจล้มเหลวได้ (ดูตัวอย่างเชิงอรรถ) [หมายเหตุ 3]
  • ในพื้นที่เวกเตอร์ทอพอโลยี (TVS) เซต ย่อยขนาดกะทัดรัดจะสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม TVS ที่ไม่ใช่ของ Hausdorff ทั้งหมดมีชุดย่อยขนาดกะทัดรัด (และสมบูรณ์ด้วยเหตุนี้) ที่ไม่ได้ปิด
  • ถ้าAและBเป็นเซตย่อยที่ไม่ปะติดปะต่อกันของ Hausdorff space Xแสดงว่ามีเซตUและV ที่ ไม่ ปะติดปะต่ออยู่ ในXดังนั้นAUและBV
  • การแบ่งแยกอย่างต่อเนื่องจากพื้นที่กะทัดรัดไปยังพื้นที่ Hausdorff คือโฮโมมอร์ฟิซึม
  • พื้นที่ Hausdorff ขนาดกะทัดรัดเป็นเรื่องปกติและสม่ำเสมอ
  • หากช่องว่างXมีขนาดกะทัดรัดและ Hausdorff แสดงว่าไม่มีโทโพโลยีที่ละเอียดกว่าบนXที่มีขนาดกะทัดรัดและไม่มีโครงสร้างที่หยาบกว่าบนXคือ Hausdorff
  • หากเซตย่อยของ สเปซเมทริก ( X , d )มีขนาดกะทัดรัด แสดงว่ามีขอบเขตd

ฟังก์ชั่นและพื้นที่ขนาดกะทัดรัด

เนื่องจาก ภาพที่ ต่อเนื่องกันของพื้นที่กะทัดรัดมีขนาดกะทัดรัดทฤษฎีบทค่าสุดขีด : ฟังก์ชันมูลค่าจริงที่ต่อเนื่องกันบนพื้นที่กะทัดรัดที่ไม่ว่างเปล่านั้นถูกล้อมรอบด้านบนและบรรลุถึงระดับสูงสุด [16] (โดยทั่วไปมากขึ้นเล็กน้อย นี่เป็นจริงสำหรับฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องระดับบน) เพื่อเป็นการโต้ตอบกับข้อความข้างต้น ภาพก่อนหน้าของพื้นที่กะทัดรัดภายใต้แผนที่ที่เหมาะสมจะมีขนาดกะทัดรัด

การทำให้กระชับ

ทุกทอพอโลยี สเปซ Xเป็นสเปซย่อยแบบเปิดที่มีความหนาแน่นสูงของสเปซที่มีขนาดกะทัดรัดซึ่งมีจุดมากกว่าX มากที่สุดหนึ่งจุด โดยการบดอัดแบบจุดเดียวของอเล็กซานดรอฟ ด้วยโครงสร้างแบบเดียวกัน ทุกพื้นที่ Hausdorff ขนาดกะทัดรัดใน พื้นที่ Xเป็นพื้นที่ย่อยแบบเปิดที่มีความหนาแน่นสูงของพื้นที่ Hausdorff ขนาดกะทัดรัดซึ่งมีจุดมากกว่าXไม่ เกินหนึ่งจุด

สั่งซื้อพื้นที่ขนาดกะทัดรัด

เซตย่อยกระชับ nonempty ของจำนวนจริงมีองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและองค์ประกอบน้อยที่สุด

ให้Xเป็นชุดคำสั่งง่ายๆ ที่มี โทโพโลยีลำดับ จากนั้นXจะมีขนาดกะทัดรัดก็ต่อเมื่อXเป็นโครงข่ายที่สมบูรณ์ (เช่น เซตย่อยทั้งหมดมี suprema และ infima) [17]

ตัวอย่าง

  • พื้นที่โทโพโลยีที่จำกัดใดๆรวมถึงเซตว่างนั้นมีขนาดกะทัดรัด โดยทั่วไปแล้ว พื้นที่ใดๆ ที่มีโทโพโลยีจำกัด (มีเพียงชุดเปิดจำนวนมากเท่านั้น) มีขนาดกะทัดรัด ซึ่งรวมถึงโดยเฉพาะอย่างยิ่งโทโพโลยีเล็กน้อย
  • พื้นที่ใดๆ ที่มีโทโพโลยีแบบโคไฟต์มีขนาดกะทัดรัด
  • พื้นที่ Hausdorff ที่มีขนาดกะทัดรัดในพื้นที่สามารถเปลี่ยนเป็นพื้นที่ขนาดกะทัดรัดได้โดยการเพิ่มจุดเดียวเข้าไปโดยใช้ การบดอัด แบบจุดเดียวของ Alexandroff การบดอัดแบบจุดเดียวของเป็นชีวมอร์ฟิคกับวงกลมS 1 ; การบดอัดแบบจุดเดียวของ2คือโฮโมมอร์ฟิคกับทรงกลมS 2 การใช้การบดอัดแบบจุดเดียว ยังสามารถสร้างพื้นที่กะทัดรัดซึ่งไม่ใช่ Hausdorff ได้อย่างง่ายดาย โดยเริ่มจากพื้นที่ที่ไม่ใช่ Hausdorff
  • โทโพโลยีลำดับที่ ถูกต้อง หรือ โทโพโลยี ลำดับด้านซ้ายบนชุดลำดับที่มีขอบเขตโดยสิ้นเชิงมีขนาดกะทัดรัด โดยเฉพาะอย่างยิ่งพื้นที่ Sierpińskiมีขนาดกะทัดรัด
  • ไม่มีพื้นที่ว่างที่มีจำนวนจุดไม่จำกัดที่มีขนาดกะทัดรัด คอลเล็กชั่นซิงเกิลตัน ทั้งหมด ของสเปซนั้นเป็นปกแบบเปิดซึ่งยอมรับว่าไม่มีปกย่อยที่มีขอบเขตจำกัด พื้นที่ไม่ต่อเนื่องแบบจำกัดมีขนาดกะทัดรัด
  • ในที่มีโทโพโลยีขีดจำกัดล่างไม่มีชุดที่นับไม่ได้ที่มีขนาดกะทัดรัด
  • ในโทโพโลยีที่นับได้บนเซตที่นับไม่ได้ ไม่มีเซ็ตอนันต์ที่มีขนาดกะทัดรัด เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ พื้นที่โดยรวมไม่ได้มีขนาดกะทัดรัดแต่ยังคงเป็นLindelöf
  • ช่วงหน่วย ปิด[0, 1]มีขนาดกะทัดรัด ตามมาจากทฤษฎีบทไฮเนอ-บอเรช่วงการเปิด(0, 1)ไม่กะทัดรัด: ฝาครอบที่เปิดอยู่ สำหรับn = 3, 4, … ไม่มีส่วนย่อยที่แน่นอน ในทำนองเดียวกัน เซตของจำนวนตรรกยะในช่วงปิด[0,1]ไม่กระชับ : ชุดของจำนวนตรรกยะในช่วงเวลาครอบคลุมเหตุผลทั้งหมดใน [0, 1] สำหรับn = 4, 5, ... แต่ปกนี้ไม่มีปกย่อยที่มีขอบเขตจำกัด ที่นี่ ชุดเปิดอยู่ในโทโพโลยีซับสเปซ แม้ว่าจะไม่ได้เปิดเป็นเซตย่อย  ของ
  • เซตของจำนวนจริงทั้งหมดไม่กระชับ เนื่องจากมีช่วงเปิดที่ไม่มีปกย่อยแบบจำกัด ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลา( n − 1,  n + 1)โดยที่nรับค่าจำนวนเต็มทั้งหมดในZครอบคลุมแต่ไม่มีส่วนย่อยที่จำกัด
  • ในทางกลับกันเส้นจำนวนจริงที่ขยายออกซึ่งมีโทโพโลยีที่คล้ายคลึงกันนั้นมีขนาดกะทัดรัด โปรดทราบว่าหน้าปกที่อธิบายข้างต้นจะไม่มีวันไปถึงจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดและจะไม่ครอบคลุมเส้นจริงที่ขยายออกไป อันที่จริง เซตมีโฮโมมอร์ฟิซึมเป็น [-1, 1] ของการแมปอินฟินิตี้แต่ละอันกับหน่วยที่สัมพันธ์กัน และจำนวนจริงทุกจำนวนกับเครื่องหมายของมันคูณด้วยจำนวนเฉพาะในส่วนบวกของช่วงเวลาซึ่งส่งผลให้ค่าสัมบูรณ์เมื่อหารด้วย หนึ่งลบด้วยตัวมันเอง และเนื่องจากโฮโมมอร์ฟิซึมยังคงปกอยู่ คุณสมบัติ Heine-Borel สามารถอนุมานได้
  • สำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน nทรงกลมnจะมีขนาดกระทัดรัด จากทฤษฎีบท Heine–Borel อีกครั้งหนึ่ง ลูกบอลหน่วยปิดของปริภูมิเวกเตอร์ที่ มีมิติจำกัดใดๆ มีขนาดกะทัดรัด สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงสำหรับมิติอนันต์ อันที่จริงแล้วปริภูมิเวกเตอร์ที่เป็นบรรทัดฐานนั้นจะมีมิติจำกัดก็ต่อเมื่อบอลยูนิตปิด ของมัน นั้นกระทัดรัด
  • ในทางกลับกัน บอลยูนิตปิดของ dual ของสเปซปกตินั้นมีขนาดกะทัดรัดสำหรับโทโพโลยีที่อ่อนแอ-* ( ทฤษฎีบทของอเลาลู )
  • ชุดคันทอร์มีขนาดกะทัดรัด อันที่จริง ทุกพื้นที่เมตริกขนาดกะทัดรัดคือภาพที่ต่อเนื่องกันของชุดคันทอร์
  • พิจารณาเซตKของฟังก์ชันทั้งหมดf  : ℝ → [0, 1]จากเส้นจำนวนจริงถึงช่วงหน่วยปิด และกำหนดโทโพโลยีบนKเพื่อให้มีลำดับในKมาบรรจบกันเข้าหาfKถ้าและก็ต่อเมื่อมาบรรจบกันที่f ( x )สำหรับจำนวนจริงxทั้งหมด มีเพียงโทโพโลยีดังกล่าวเท่านั้น เรียกว่าโทโพโลยีของการบรรจบกันแบบจุดหรือ โทโพ โลยีผลิตภัณฑ์ จากนั้นKคือพื้นที่ทอพอโลยีขนาดกะทัดรัด นี้ตามมาจากทฤษฎีบทTychonoff
  • พิจารณาเซตKของฟังก์ชันทั้งหมดf  : [0, 1]  → [0, 1]ตรงตามเงื่อนไขของ Lipschitz | f ( x ) −  f ( y ) | ≤ | x  −  y | สำหรับxy  ∈  [0,1]ทั้งหมด พิจารณาKเมตริกที่เกิดจากระยะทางสม่ำเสมอ จากนั้นโดยทฤษฎีบทอาร์เซลา–แอสโคลี สเป ซ Kมีขนาดกะทัดรัด
  • สเปกตรัมของโอเปอเรเตอร์เชิงเส้นที่มีขอบเขตใดๆบนสเป ซ Banachเป็นเซตย่อยกระชับไม่ว่าง เปล่า ของจำนวนเชิงซ้อน ในทางกลับกัน เซตย่อยกะทัดรัดใดๆ ของเกิดขึ้นในลักษณะนี้ เนื่องจากสเปกตรัมของโอเปอเรเตอร์เชิงเส้นที่มีขอบเขตบางตัว ตัวอย่างเช่น โอเปอเรเตอร์ในแนวทแยงบนสเปซฮิลแบร์ตอาจมีเซตย่อย nonempty กะทัดรัดใดๆ ของเป็นสเปกตรัม

ตัวอย่างพีชคณิต

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

  1. ^ ให้ X = { a , b } ∪ ℕ , U = { a } ∪ ℕและ V = { b } ∪Endow Xด้วยโทโพโลยีที่สร้างโดยชุดเปิดพื้นฐานต่อไปนี้: ทุกชุดย่อยของเปิดอยู่ ชุดเปิดเดียวที่มี aคือ Xและ U ; และชุดเปิดเดียวที่มี bคือ Xและ V จากนั้น Uและ Vต่างก็เป็นสับเซตย่อยแต่จุดตัดของพวกมัน คือ,ไม่กระชับ. โปรดทราบว่าทั้งUและVเป็นคอมแพคโอเพนซับเซ็ต ซึ่งไม่มีอันใดอันหนึ่งถูกปิด
  2. ^ ให้ X = { a , b }และให้ Xด้วยโทโพโลยี { X , ∅, { a }} จากนั้น { a }จะเป็นชุดที่กะทัดรัดแต่ยังไม่ปิด
  3. ^ ให้ Xเป็นเซตของจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ เรามอบ Xด้วยโทโพโลยีเฉพาะจุดโดยกำหนดเซตย่อย UXให้เปิดก็ต่อเมื่อ 0 ∈ Uเท่านั้น จากนั้น S  := {0}จะมีขนาดกะทัดรัด ส่วนปิดของ Sคือ X ทั้งหมด แต่ Xไม่ได้กะทัดรัดเนื่องจากคอลเล็กชันของชุดย่อยที่เปิดอยู่ {{0, x } : xX }ไม่มีส่วนย่อยที่มีขอบเขต

อ้างอิง

  1. ^ "ความกะทัดรัด | คณิตศาสตร์" . สารานุกรมบริแทนนิกา. สืบค้นเมื่อ2019-11-25 .
  2. เอนเกลคิง, ริสซาร์ด. (1977). โทโพโลยีทั่วไป วอร์ซอ: PWN. หน้า 266.
  3. ^ a b "ความกระชับตามลำดับ" . www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk . สืบค้นเมื่อ2019-11-25 .
  4. ^ ไคลน์ 1972 , pp. 952–953; Boyer & Merzbach 1991 , พี. 561
  5. ^ Kline 1972 , บทที่ 46, §2
  6. Frechet, M. 1904. Generalization d'un theorem de Weierstrass. วิเคราะห์คณิตศาสตร์.
  7. ↑ Weisstein , Eric W. "พื้นที่กะทัดรัด" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2019-11-25 .
  8. ^ Howes 1995 , pp. xxvi–xxviii.
  9. ^ ตวัด 1955 , p. 163
  10. ^ Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990 , Theorem 5.3.7
  11. วิลลาร์ด 1970ทฤษฎีบท 30.7.
  12. ^ Gillman & Jeison 1976 , §5.6
  13. ^ โรบินสัน 1996 , ทฤษฎีบท 4.1.13
  14. ^ Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990 , ทฤษฎีบท 5.2.3; ชุดปิดในพื้นที่กะทัดรัดมีขนาดกะทัดรัดที่ PlanetMath .; ชุดย่อยแบบปิดของชุดคอมแพคมีขนาดกะทัดรัดที่ PlanetMath
  15. ^ Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990 , ทฤษฎีบท 5.2.2; ดูเพิ่มเติม ที่ Compactness ถูกเก็บรักษาไว้ภายใต้แผนที่ต่อเนื่องที่ PlanetMath
  16. Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990 , ข้อพิสูจน์ 5.2.1
  17. สตีน & ซีบัค 1995 , p. 67

บรรณานุกรม

ลิงค์ภายนอก


บทความนี้รวบรวมเนื้อหาจากตัวอย่างพื้นที่ขนาดกะทัดรัดบนPlanetMathซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License