จำนวนแบร์นูลลี

เบอร์นูลลี่ ตัวเลขB^±
_น

น	เศษส่วน	ทศนิยม
0	1	+1.000000000
1	± ⁠1-2⁠	±0.500000000
2	⁠1-6⁠	+0.166666666
3	0	+0.000000000
4	- ⁠1-30⁠	-0.033333333
5	0	+0.000000000
6	⁠1-42⁠	+0.023809523
7	0	+0.000000000
8	- ⁠1-30⁠	-0.033333333
9	0	+0.000000000
10	⁠5-66⁠	+0.075757575
11	0	+0.000000000
12	- ⁠691-2730⁠	-0.253113553
13	0	+0.000000000
14	⁠7-6⁠	+1.166666666
15	0	+0.000000000
16	- ⁠3617-510⁠	-7.092156862 ครับ
17	0	+0.000000000
18	⁠43867-798⁠	+54.97117794
19	0	+0.000000000
20	- ⁠174611-330⁠	-529.1242424

ในทางคณิตศาสตร์จำนวนเบอร์นูลลี B _nคือลำดับของจำนวนตรรกยะที่มักพบในการวิเคราะห์จำนวนเบอร์นูลลีปรากฏใน (และสามารถกำหนดได้โดย) การขยายอนุกรม เทย์เลอร์ของ ฟังก์ชัน แทนเจนต์และไฮเปอร์โบลิกแทนเจนต์ในสูตรของฟอลฮาเบอร์สำหรับผลรวมของกำลังที่m ของ จำนวนเต็มบวกn ตัวแรก ใน สูตรออยเลอร์–แมคลอรินและในนิพจน์สำหรับค่าบางค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

ค่าของเลขเบอร์นูลลี 20 ตัวแรกแสดงอยู่ในตารางข้างเคียง ในเอกสารอ้างอิงมีการใช้หลักเกณฑ์ 2 ประการ ซึ่งแสดงด้วยและแตกต่างกันเฉพาะเมื่อn = 1โดยที่และสำหรับทุกเลขคี่n > 1 B n ₌ 0สำหรับทุกเลขคู่n > 0 B n _จะเป็นค่าลบหากnหารด้วย 4 ลงตัว และหากไม่หารด้วย 4 ลงตัว เลขเบอร์นูลลีเป็นค่าพิเศษของพหุนามเบอร์นูลลีโดยที่และ[ ^1]${\displaystyle บี_{n}^{-{}}}$${\displaystyle บี_{น}^{+{}}}$${\displaystyle B_{1}^{-{}}=-1/2}$${\displaystyle B_{1}^{+{}}=+1/2}$ ${\displaystyle ข_{น}(x)}$${\displaystyle B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)}$${\displaystyle B_{n}^{+}=B_{n}(1)}$

ตัวเลขเบอร์นูลลีถูกค้นพบในช่วงเวลาเดียวกันโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสชื่อจาคอบ เบอร์นูลลีซึ่งตั้งชื่อตามเขา และโดยอิสระจากนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นชื่อเซกิ ทาคาคาซึ การค้นพบของเซกิได้รับการตีพิมพ์หลังจากเสียชีวิตในปี 1712 ^{[2] [3] [4]}ในงานของเขาชื่อ Katsuyō Sanpōส่วนการค้นพบของเบอร์นูลลีก็ตีพิมพ์หลังจากเสียชีวิตเช่นกันในArs Conjectandiในปี 1713 บันทึกของAda Lovelace เรื่อง G on the Analytical Engineจากปี 1842 อธิบายถึงอัลกอริทึมสำหรับการสร้างตัวเลขเบอร์นูลลีด้วยเครื่องจักรของแบ็บเบจ^[5]เป็นที่ถกเถียงกันว่าเลิฟเลซหรือแบ็บเบจเป็นผู้พัฒนาอัลกอริทึมนี้กันแน่ เป็นผลให้ตัวเลขเบอร์นูลลีมีความโดดเด่นในฐานะหัวข้อของโปรแกรมคอมพิวเตอร์เชิงซ้อน ที่ตีพิมพ์เป็นชุดแรก

อักษรยกกำลัง±ที่ใช้ในบทความนี้จะแยกแยะรูปแบบเครื่องหมายสองแบบสำหรับจำนวนเบอร์นูลลี โดยจะมีผลกับพจน์ n = 1 เท่านั้น :

• บี^-
  _น กับบี^-
  ₁= − ⁠1-2 ( OEIS : A027641 / OEIS : A027642 ) เป็นข้อตกลงสัญลักษณ์ที่กำหนดโดย NIST และตำราเรียนสมัยใหม่ส่วนใหญ่ ^[6]
• บี⁺
  _นกับบี⁺
  ₁= + ⁠1-2⁠ ( OEIS : A164555 / OEIS : A027642 ) ถูกใช้ในวรรณกรรมเก่า ^[1]และ (ตั้งแต่ 2022) โดย Donald Knuth ^[7]ตาม "Bernoulli Manifesto" ของ Peter Luschny ^[8]

ในสูตรด้านล่างนี้ คุณสามารถสลับจากรูปแบบสัญลักษณ์หนึ่งไปเป็นอีกแบบหนึ่งได้โดยใช้ความสัมพันธ์หรือสำหรับจำนวนเต็มn = 2 หรือมากกว่านั้น เพียงแค่ละเว้นมัน ${\displaystyle B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}}$

เนื่องจากB _n = 0สำหรับn > 1 คี่ทั้งหมด และสูตรจำนวนมากเกี่ยวข้องกับจำนวนเบอร์นูลลีที่มีดัชนีคู่เท่านั้น ผู้เขียนบางคนจึงเขียน " B _n " แทนB _{2 n} บทความนี้ไม่ปฏิบัติตามสัญกรณ์ดังกล่าว

ตัวเลขแบร์นูลลีมีรากฐานมาจากประวัติศาสตร์ยุคแรกของการคำนวณผลรวมของกำลังจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นที่สนใจของนักคณิตศาสตร์มาตั้งแต่สมัยโบราณ

วิธีการคำนวณผลรวมของ จำนวนเต็มบวก nตัวแรก ผลรวมของกำลังสองและกำลังสามของ จำนวนเต็มบวก n ตัวแรก เป็นที่ทราบกันดี แต่ไม่มี "สูตร" ที่แท้จริง มีเพียงคำอธิบายที่ให้ไว้เป็นคำพูดเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ในสมัยโบราณที่พิจารณาปัญหานี้ ได้แก่พีทาโกรัส (ประมาณ 572–497 ปีก่อนคริสตกาล ประเทศกรีซ) อาร์คิมิดีส (287–212 ปีก่อนคริสตกาล ประเทศอิตาลี) อารยาภตา (เกิด 476 ปี อินเดีย) อาบูบักร อัล-คาราจี (เสียชีวิต 1019 เปอร์เซีย) และอาบู อาลี อัล-ฮะซัน อิบน์ อัล-ฮะซัน อิบน์ อัล-ไฮธัม (965–1039 อิรัก)

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 16 และต้นศตวรรษที่ 17 นักคณิตศาสตร์ได้ก้าวหน้าไปอย่างมากโทมัส แฮร์ริออต (1560–1621) แห่งอังกฤษโยฮันน์ ฟอลฮาเบอร์ (1580–1635) แห่งเยอรมนีปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ (1601–1665) และเพื่อนนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสเบลส ปาสกาล (1623–1662) ต่างก็มีบทบาทสำคัญ

ดูเหมือนว่าโทมัส แฮร์ริออตจะเป็นคนแรกที่ได้อนุมานและเขียนสูตรสำหรับผลรวมของกำลังโดยใช้สัญลักษณ์ แต่เขากลับคำนวณได้เพียงผลรวมของกำลังสี่เท่านั้น โยฮันน์ ฟอลฮาเบอร์ได้เสนอสูตรสำหรับผลรวมของกำลังถึงกำลัง 17 ในหนังสือ Academia Algebrae ของเขาในปี ค.ศ. 1631 ซึ่งสูงกว่าใครๆ ก่อนหน้าเขามาก แต่เขาไม่ได้ให้สูตรทั่วไป

Blaise Pascal ในปี ค.ศ. 1654 พิสูจน์เอกลักษณ์ของ Pascalที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของ กำลัง p ของจำนวนเต็มบวก nตัวแรกสำหรับp = 0, 1, 2, ... , k

นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส จาค็อบ เบอร์นูลลี (ค.ศ. 1654–1705) เป็นคนแรกที่ค้นพบการมีอยู่ของลำดับค่าคงที่B ₀ , B ₁ , B ₂ ,...ซึ่งให้สูตรสม่ำเสมอสำหรับผลรวมของกำลังทั้งหมด^[9]

ความสุขที่เบอร์นูลลีสัมผัสได้เมื่อเขาพบรูปแบบที่จำเป็นในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของสูตรของเขาสำหรับผลรวมของ กำลัง cสำหรับจำนวนเต็มบวกc ใดๆ ได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย นั้นสามารถเห็นได้จากความคิดเห็นของเขา เขาเขียนว่า:

"ด้วยความช่วยเหลือของตารางนี้ ฉันใช้เวลาไม่ถึงครึ่งชั่วโมงในการค้นพบว่ากำลังหนึ่งในสิบของตัวเลข 1,000 ตัวแรกเมื่อนำมาบวกกันแล้วจะได้ผลรวมเท่ากับ 91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500"

ผลลัพธ์ของเบอร์นูลลีได้รับการตีพิมพ์ในArs Conjectandiในปี ค.ศ. 1713 หลังจากที่ เซกิ ทาคาคาซึค้นพบจำนวนเบอร์นูลลีด้วยตนเอง และผลลัพธ์ของเขาได้รับการตีพิมพ์หนึ่งปีก่อนหน้านั้นในปี ค.ศ. 1712 หลังจากที่เซกิเสียชีวิตเช่นกัน^[2]อย่างไรก็ตาม เซกิไม่ได้นำเสนอวิธีการของเขาเป็นสูตรที่อิงจากลำดับค่าคงที่

สูตรของเบอร์นูลลีสำหรับผลรวมของกำลังเป็นสูตรที่มีประโยชน์และนำไปใช้ทั่วไปได้มากที่สุดจนถึงปัจจุบัน ค่าสัมประสิทธิ์ในสูตรของเบอร์นูลลีเรียกว่าจำนวนเบอร์นูลลีตามคำแนะนำของอับราฮัม เดอ มัวฟร์

บางครั้งสูตรของเบอร์นูลลีถูกเรียกว่าสูตรของฟอลฮาเบอร์ตามชื่อของโยฮันน์ ฟอลฮาเบอร์ ผู้ค้นพบวิธีที่น่าทึ่งในการคำนวณผลรวมของกำลังแต่ไม่เคยระบุสูตรของเบอร์นูลลี ตามที่ Knuth ^[9]หลักฐานอันเข้มงวดของสูตรของฟอลฮาเบอร์ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกโดยCarl Jacobiในปี 1834 ^[10]การศึกษาเชิงลึกของ Knuth เกี่ยวกับสูตรของฟอลฮาเบอร์สรุปได้ดังนี้ (สัญกรณ์ที่ไม่เป็นมาตรฐานบน LHS จะอธิบายเพิ่มเติมในภายหลัง):

"ฟอลฮาเบอร์ไม่เคยค้นพบจำนวนแบร์นูลลี นั่นคือ เขาไม่เคยตระหนักว่าลำดับค่าคงที่ B ₀ , B ₁ , B ₂ , ... จะให้ผลลัพธ์ที่สม่ำเสมอ

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

สำหรับผลรวมของกำลังทั้งหมด เขาไม่เคยพูดถึง ตัวอย่างเช่น ข้อเท็จจริงที่ว่าค่าสัมประสิทธิ์เกือบครึ่งหนึ่งกลายเป็นศูนย์หลังจากที่เขาแปลงสูตรสำหรับ Σ n ^m จากพหุนามในNเป็นพหุนามในn " ^[11]

ในข้างต้น Knuth หมายถึง; แทนที่จะใช้สูตรเพื่อหลีกเลี่ยงการลบ: ${\displaystyle บี_{1}^{-}}$${\displaystyle บี_{1}^{+}}$

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right).}$

ตัวเลขเบอร์นูลลีOEIS : A164555 (n) / OEIS : A027642 (n) ได้รับการแนะนำโดย Jakob Bernoulli ในหนังสือArs Conjectandiซึ่งตีพิมพ์หลังมรณกรรมในปี 1713 หน้า 97 สูตรหลักสามารถดูได้ในครึ่งหลังของสำเนาที่เกี่ยวข้อง ค่าสัมประสิทธิ์คงที่ที่แสดงโดยA , B , CและDโดย Bernoulli ถูกแมปกับสัญกรณ์ที่ใช้กันทั่วไปในปัจจุบันดังนี้A = B ₂ , B = B ₄ , C = B ₆ , D = B ₈นิพจน์c · c −1· c −2· c −3หมายถึงc ·( c −1)·( c −2)·( c −3) – จุดเล็กๆ ถูกใช้เป็นสัญลักษณ์การจัดกลุ่ม โดยใช้คำศัพท์ในปัจจุบัน นิพจน์เหล่านี้เป็นเลขชี้กำลังแฟกทอเรียลแบบตก c ^kสัญกรณ์แฟกทอเรียลk !เพื่อเป็นทางลัดสำหรับ1 × 2 × ... × kไม่ได้รับการแนะนำจนกระทั่ง 100 ปีต่อมา สัญลักษณ์อินทิกรัลทางด้านซ้ายมือมีต้นกำเนิดมาจากGottfried Wilhelm Leibnizในปี 1675 ซึ่งใช้มันเป็นตัวอักษรS ยาว สำหรับ "summa" (ผลรวม) ^[b]ตัวอักษรnทางด้านซ้ายมือไม่ใช่ดัชนีของผลรวมแต่ให้ขอบเขตบนของช่วงของผลรวมซึ่งจะต้องเข้าใจเป็น1, 2, ..., nเมื่อนำสิ่งต่างๆ มารวมกัน สำหรับค่าบวกcในปัจจุบัน นักคณิตศาสตร์มักจะเขียนสูตรของ Bernoulli ว่า:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.}$

สูตรนี้แนะนำการตั้งค่าB ₁ = ⁠1-2เมื่อเปลี่ยนจากการแจงนับแบบที่เรียกว่า 'โบราณ' ซึ่งใช้เฉพาะดัชนีคู่ 2, 4, 6... เป็นรูปแบบสมัยใหม่ (อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุสัญญาต่างๆ ในย่อหน้าถัดไป) สิ่งที่สะดุดตาที่สุดในบริบทนี้คือข้อเท็จจริงที่ว่าแฟกทอเรียลที่ลดลง c ^{k −1} มี ค่าเท่ากับ k = 01-ซี +1⁠ . ^[12]ดังนั้นสามารถเขียนสูตรของเบอร์นูลลีได้

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}}$

ถ้าB ₁ = 1/2จะนำค่าที่ Bernoulli ให้กับสัมประสิทธิ์ในตำแหน่งนั้นกลับมาใช้

สูตรในครึ่งแรกของคำพูดของ Bernoulli ข้างต้นมีข้อผิดพลาดในเทอมสุดท้าย ควรเป็น แทน${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}}$${\displaystyle -{\tfrac {3}{20}}น^{2}}$${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}น^{2}}$

ในช่วง 300 ปีที่ผ่านมา มีการค้นพบลักษณะเฉพาะของจำนวนแบร์นูลลีมากมาย ซึ่งแต่ละลักษณะสามารถนำมาใช้เป็นแนวทางในการกำหนดจำนวนเหล่านี้ได้ ในที่นี้จะกล่าวถึงลักษณะที่มีประโยชน์ที่สุดเพียง 4 ประการเท่านั้น:

• สมการเชิงเรียกซ้ำ
• สูตรที่ชัดเจน
• ฟังก์ชันการสร้าง
• การแสดงออกเชิงปริพันธ์

เพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของแนวทางทั้งสี่^[13]

จำนวนแบร์นูลลีเป็นไปตามสูตรผลรวม^[1]

${\displaystyle {\begin{จัดแนว}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{จัดแนว}}}$

โดยที่δหมายถึงค่าเดลต้าของโครเนกเกอร์การแก้ปัญหาจะได้สูตรแบบเรียกซ้ำ ${\displaystyle m=0,1,2...}$${\displaystyle บี_{ม}^{\mp {}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}}$

ในปี พ.ศ. 2436 หลุยส์ ซาลชุตซ์ได้ระบุสูตรสำหรับจำนวนแบร์นูลลีอย่างชัดเจนไว้ทั้งหมด 38 สูตร^[14]โดยปกติจะอ้างอิงถึงเอกสารเก่าๆ สูตรหนึ่งคือ (สำหรับ): ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}j^{m}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{m}.\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันการสร้างเลขชี้กำลังคือ

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\\{\frac {te^{t}}{e^{t}-1}}={\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{จัดตำแหน่งที่}}}$

โดยที่การแทนที่คือฟังก์ชันการสร้างทั้งสองต่างกันเพียงtเท่านั้น ${\displaystyle t\to-t}$

ฟังก์ชันการสร้าง (แบบธรรมดา)

${\displaystyle z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m} }$

เป็นอนุกรมอะซิมโทติกประกอบด้วย ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ψ ₁

จากฟังก์ชันการสร้างข้างต้น เราสามารถหาสูตรอินทิกรัลสำหรับจำนวนเบอร์นูลลีคู่ได้ดังนี้:

${\displaystyle B_{2n}=4n(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n-1}}{e^{2\pi t}-1}}\mathrm {d} t}$

จำนวนแบร์นูลลีสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ :

บี⁺
_น= − n ζ (1 − n )           สำหรับn ≥ 1  .

ที่นี่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันซีตาคือ0หรือค่าลบ เช่นเดียวกับศูนย์สำหรับจำนวนเต็มคู่ลบ ( ศูนย์ธรรมดา ) ถ้าn>1เป็นคี่จะเป็นศูนย์ ${\displaystyle \zeta (k)}$${\displaystyle \zeta (1-n)}$

โดยใช้สมการฟังก์ชัน ซีตาและ สูตรการสะท้อนแกมมาเราสามารถหาความสัมพันธ์ต่อไปนี้ได้: ^[15]

${\displaystyle B_{2n}={\frac {(-1)^{n+1}2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n)\quad }$สำหรับn ≥ 1  .

ตอนนี้อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันซีตาเป็นบวก

จากนั้นจึงได้จากζ → 1 ( n → ∞ ) และสูตรของสเตอร์ลิงว่า

${\displaystyle |B_{2n}|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}\quad }$สำหรับn →  ∞

ในบางแอปพลิเคชัน การคำนวณจำนวนเบอร์นูลลี B0 ถึง Bp − 3 โมดูโล p นั้นมีประโยชน์_โดยที่ p เป็น_{จำนวน}เฉพาะตัวอย่างเช่นเพื่อทดสอบว่าข้อสันนิษฐานของแวนดิเวอร์เป็นจริงสำหรับp หรือ _ไม่หรือแม้แต่เพื่อพิจารณาว่าpเป็นจำนวนเฉพาะผิดปกติ^หรือไม่ การคำนวณดังกล่าวโดยใช้สูตรเรียกซ้ำข้างต้นไม่สามารถทำได้ เนื่องจากจำเป็นต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์p2 ^{อย่างน้อย (ผลคูณคงที่ของ) โชคดีที่มีการพัฒนาวิธีการที่เร็วกว่า [16]}ซึ่งต้องการเพียง การดำเนินการ O ( p (log p ) ² ) เท่านั้น (ดูสัญลักษณ์Oขนาดใหญ่ )

David Harvey ^[17]อธิบายอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณจำนวนเบอร์นูลลีโดยการคำนวณB _nโมดูโลpสำหรับจำนวนเฉพาะขนาดเล็กจำนวนมากpจากนั้นสร้างB _n ใหม่ โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน Harvey เขียนว่าความซับซ้อนของเวลาเชิงอะซิมโทติก ของอัลกอริทึมนี้คือO ( n ² log( n ) ^{2 + ε} )และอ้างว่าการใช้งาน นี้ เร็วกว่าการใช้งานที่ใช้หลักการอื่นอย่างเห็นได้ชัด โดยใช้การใช้งานนี้ Harvey คำนวณB _nสำหรับn = 10 ⁸การใช้งานของ Harvey รวมอยู่ในSageMathตั้งแต่เวอร์ชัน 3.1 ก่อนหน้านั้น Bernd Kellner ^[18]คำนวณB _nด้วยความแม่นยำเต็มที่สำหรับn = 10 ⁶ในเดือนธันวาคม 2002 และ Oleksandr Pavlyk ^[19]สำหรับn = 10 ⁷ด้วยMathematicaในเดือนเมษายน 2008

คอมพิวเตอร์	ปี	น	ตัวเลข*
เจ. เบอร์นูลลี่	~1689	10	1
แอล. ออยเลอร์	1748	30	8
เจซี อดัมส์	1878	62	36
ดีอี คนุธ, ทีเจ บัคโฮลต์ซ	1967	1 672	3 330
จี. ฟี, เอส. พลัฟฟ์	1996	10,000​	27 677
จี. ฟี, เอส. พลัฟฟ์	1996	100 000	376 755
บีซี เคลล์เนอร์	2002	1 000 000	4 767 529
โอ. พาฟลีค	2008	10 000 000	57 675 260
ดี. ฮาร์วีย์	2008	100 000 000	676 752 569

* หลักจะต้องเข้าใจได้ว่าเป็นเลขยกกำลังของ 10 เมื่อB _nเขียนเป็นจำนวนจริงในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ ที่ได้รับการทำให้เป็น มาตรฐาน

อาจกล่าวได้ว่าการประยุกต์ใช้ตัวเลขเบอร์นูลลีที่สำคัญที่สุดในทางคณิตศาสตร์คือการนำไปใช้ในสูตรออยเลอร์–แมคลอรินโดยถือว่าfเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บ่อยเพียงพอ จึงสามารถเขียนสูตรออยเลอร์–แมคลอรินเป็น^[20]

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).}$

การกำหนดสูตรนี้ถือว่าเป็นไปตามอนุสัญญาB^-
₁= − ⁠1-2⁠ . โดยใช้อนุสัญญา B⁺
₁= + ⁠1-2สูตรจะกลาย เป็น

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).}$

ที่นี่(คืออนุพันธ์ลำดับที่ศูนย์ของเป็นเพียง) นอกจากนี้ ให้แสดงถึงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์ของโดยทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส ${\displaystyle f^{(0)}=f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{(-1)}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).}$

ดังนั้นสูตรสุดท้ายสามารถลดความซับซ้อนลงเหลือสูตรออยเลอร์–แมคลอรินในรูปแบบย่อดังต่อไปนี้

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).}$

แบบฟอร์มนี้เป็นตัวอย่างแหล่งที่มาของการขยายออยเลอร์–แมกคลอรินที่สำคัญของฟังก์ชันซีตา

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}}$

ที่นี่s ^kหมายถึงกำลังแฟกทอเรียลที่เพิ่มขึ้น [ ^21]

ตัวเลขเบอร์นูลลียังมักใช้ในการขยายเชิงอาการ แบบอื่น ด้วย ตัวอย่างต่อไปนี้คือการขยายเชิงอาการแบบปวงกาเรแบบคลาสสิกของฟังก์ชันดิ แกมมา ψ

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}}$

จำนวนเบอร์นูลลีมีลักษณะเด่นใน นิพจน์ รูปแบบปิดของผลรวมของ กำลัง m ของจำนวนเต็มบวก nตัวแรกสำหรับm , n ≥ 0ให้กำหนด

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.}$

นิพจน์นี้สามารถเขียนใหม่เป็นพหุนามใน หน่วย nที่มีดีกรีm + 1 ได้เสมอ ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามเหล่านี้เกี่ยวข้องกับจำนวนเบอร์นูลลีโดยสูตรของเบอร์นูลลี :

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},}$

ที่ไหน(^{ม. + 1}
_กิโล)หมายถึงค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม

ตัวอย่างเช่น กำหนดให้m มีค่า เท่ากับ 1 จะได้จำนวนสามเหลี่ยมดังนี้ 0, 1, 3, 6, ... OEIS : A000217

${\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

เมื่อกำหนดให้mเท่ากับ 2 จะได้จำนวนพีระมิดกำลังสองคือ 0, 1, 5, 14, ... OEIS : A000330

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={\tfrac {1}{3}}\left(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\right).}$

ผู้เขียนบางคนใช้แบบแผนทางเลือกสำหรับจำนวนเบอร์นูลลีและระบุสูตรของเบอร์นูลลีดังนี้:

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.}$

บางครั้งสูตรของแบร์นูลลีถูกเรียกว่าสูตรของฟอลฮาเบอร์ตามชื่อโยฮันน์ ฟอลฮาเบอร์ซึ่งยังพบวิธีการอันน่าทึ่งในการคำนวณผลรวมของกำลัง อีก ด้วย

สูตรของ Faulhaber ได้รับการสรุปโดยทั่วไปโดย V. Guo และ J. Zeng เป็นq -analog [ ^22]

ตัวเลขเบอร์นูลลีปรากฏในการ ขยาย อนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก จำนวนมาก

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\\\cot x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\\\tanh x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&|x|<{\frac {\pi }{2}}.\\\coth x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

หมายเลขแบร์นูลลีปรากฏในชุดลอเรนต์ ต่อไปนี้ : ^[23]

ฟังก์ชั่นไดแกมมา :${\displaystyle \psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}}$

สูตรKervaire–Milnorสำหรับลำดับของกลุ่มวงจรของคลาส diffeomorphism ของทรงกลมแปลก(4 n − 1)ซึ่งผูกมัดท่อร่วมขนานได้เกี่ยวข้องกับจำนวน Bernoulli ให้ES _nเป็นจำนวนของทรงกลมแปลกดังกล่าวสำหรับn ≥ 2ดังนั้น

${\displaystyle {\textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})\operatorname {Numerator} \left({\frac {B_{4n}}{4n}}\right).}$

ทฤษฎีบทลายเซ็นของ HirzebruchสำหรับสกุลLของท่อร่วมปิดที่มีทิศทางเรียบ ที่มีมิติ 4 nยังเกี่ยวข้องกับจำนวนแบร์นูลลีด้วย

การเชื่อมโยงระหว่างจำนวนเบอร์นูลลีกับจำนวนเชิงจัดกลุ่มประเภทต่างๆ ขึ้นอยู่กับทฤษฎีคลาสสิกเกี่ยวกับความแตกต่างจำกัด และการตีความเชิงจัดกลุ่มของจำนวนเบอร์นูลลีในฐานะตัวอย่างของหลักการจัดกลุ่มพื้นฐานที่เรียกว่าหลักการ รวม-แยกออก

คำจำกัดความในการดำเนินการได้รับการพัฒนาโดย Julius Worpitzky ในปี 1883 นอกจากเลขคณิตเบื้องต้นแล้ว มีเพียงฟังก์ชันแฟกทอเรียลn !และฟังก์ชันกำลังk ^m เท่านั้น ที่ใช้งานได้ จำนวน Worpitzky ที่ไม่มีเครื่องหมายถูกกำหนดเป็น

${\displaystyle W_{n,k}=\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{\frac {k!}{v!(k-v)!}}.}$

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ผ่านจำนวนสเตอร์ลิงประเภทที่สอง

${\displaystyle W_{n,k}=k!\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}.}$

จากนั้นจะมีการนำเสนอหมายเลขเบอร์นูลลีเป็นผลรวมการรวมและการแยกของหมายเลขวอร์พิตสกี้ที่ถ่วงน้ำหนักด้วยลำดับฮาร์มอนิก 1 1-2⁠ ,  ⁠1-3⁠ , ...

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {W_{n,k}}{k+1}}\ =\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .}$

บี₀ = 1

บี₁ = 1 −1-2⁠

บี₂ = 1 −3-2+ +​2-3⁠

บี₃ = 1 −7-2+ +​12-3− ⁠​6-4⁠

บี₄ = 1 −15-2+ +​50-3− ⁠​60-4+ +​24-5⁠

บี₅ = 1 −31-2+ +​180-3− ⁠​390-4+ +​360-5− ⁠​120-6⁠

ข₆ = 1 −63-2+ +​602-3− ⁠​2100-4+ +​3360-5− ⁠​2520-6+ +​720-7⁠

การแสดงนี้มีB⁺
₁= + ⁠1-2⁠ .

พิจารณาลำดับs _n , n ≥ 0จากตัวเลขของ Worpitzky OEIS : A028246 , OEIS : A163626ที่ใช้กับs ₀ , s ₀ , s ₁ , s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...จะเหมือนกับการแปลง Akiyama–Tanigawa ที่ใช้กับs _n (ดูการเชื่อมต่อกับตัวเลขสเตอร์ลิงประเภทแรก) สามารถดูได้จากตาราง:

ตัวตนของ
การนำเสนอของ Worpitzky และการแปลง Akiyama–Tanigawa

1						0	1					0	0	1				0	0	0	1			0	0	0	0	1
1	-1					0	2	-2				0	0	3	-3			0	0	0	4	-4
1	-3	2				0	4	-10	6			0	0	9	-21	12
1	-7	12	-6			0	8	-38 ตร.ม.	54	-24
1	-15	50	-60	24

แถวแรกแสดงถึง s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₃ , s ₄

ดังนั้นสำหรับจำนวนออยเลอร์เศษส่วนที่สองOEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ):

อี₀ = 1

อี₁ = 1 −1-2⁠

อี₂ = 1 −3-2+ +​2-4⁠

อี₃ = 1 −7-2+ +​12-4− ⁠​6-8⁠

อี₄ = 1 −15-2+ +​50-4− ⁠​60-8+ +​24-16⁠

อี₅ = 1 −31-2+ +​180-4− ⁠​390-8+ +​360-16− ⁠​120-32⁠

อี₆ = 1 − ⁠63-2+ +​602-4− ⁠​2100-8+ +​3360-16− ⁠​2520-32+ +​720-64⁠

สูตรที่สองที่แสดงจำนวนเบอร์นูลลีด้วยจำนวนวอร์พิตสกี้คือสำหรับn ≥ 1

${\displaystyle B_{n}={\frac {n}{2^{n+1}-2}}\sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k}\,W_{n-1,k}.}$

การแสดงจำนวนแบร์นูลลีที่สองแบบง่ายของวอร์พิตสกี้ที่สองคือ:

OEIS : A164555 ( n + 1 ) / OEIS : A027642 ( n + 1 ) = ⁠n +1 เอ็น+1-2 ^{n + 2} − 2× OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 )

ซึ่งเชื่อมโยงจำนวนแบร์นูลลีที่สองกับจำนวนออยเลอร์เศษส่วนที่สอง จุดเริ่มต้นคือ:

⁠1-2⁠ , ⁠1-6⁠ , 0, − ⁠1-30⁠ , 0, ⁠1-42⁠ , ... = ( ⁠1-2⁠ , ⁠1-3⁠ , ⁠3-14⁠ , ⁠2-15⁠ , ⁠5-62⁠ , ⁠1-21⁠ , ...) × (1, ⁠1-2⁠ , 0, − ⁠1-4⁠ , 0, ⁠1-2⁠ , ...)

ตัวเศษของวงเล็บแรกคือOEIS : A111701 (ดูการเชื่อมโยงกับจำนวนสเตอร์ลิงประเภทแรก)

หากเรากำหนดพหุนามเบอร์นูลลี B _k ( j )ให้เป็น: ^[24]

${\displaystyle B_{k}(j)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {j}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}}$

โดยที่B _kสำหรับk = 0, 1, 2,...เป็นจำนวนแบร์นูลลี และS(k,m)เป็นจำนวนสเตอร์ลิงประเภทที่สอง

นอกจากนี้ยังมีสิ่งต่อไปนี้สำหรับพหุนามเบอร์นูลลี^[24]

${\displaystyle B_{k}(j)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}j^{k-n}.}$

ค่าสัมประสิทธิ์ของjใน(^เจ
_{เอ็ม + 1})คือ ⁠(−1) ^ม.-ม. +1⁠ .

เมื่อเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของjในนิพจน์ทั้งสองของพหุนามเบอร์นูลลี จะได้ดังนี้:

${\displaystyle B_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k-1,m)}$

(ส่งผลให้B ₁ = + ⁠1-2)ซึ่งเป็นสูตรชัดเจนสำหรับจำนวนแบร์นูลลีและสามารถใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทฟอน-สเตาด์ท คลอเซนได้ ^{[25] [26] [27]}

สูตรหลักสองสูตรที่เกี่ยวข้องกับจำนวนสเตอร์ลิงที่ไม่มีเครื่องหมายของประเภทแรก [^น.ม.
_​]เป็นจำนวนแบร์นูลลี (โดยที่ B ₁ = + ⁠1-2⁠ ) ​​คือ

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{k}={\frac {1}{m+1}},}$

และการผกผันของผลรวมนี้ (สำหรับn ≥ 0 , m ≥ 0 )

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.}$

ที่นี่จำนวนA _{n , m}คือจำนวน Akiyama–Tanigawa ตรรกยะ โดยจำนวนสองสามตัวแรกแสดงอยู่ในตารางต่อไปนี้

หมายเลขอากิยามะ–ทานิงาวะ

ม. น	0	1	2	3	4
0	1	⁠1-2⁠	⁠1-3⁠	⁠1-4⁠	⁠1-5⁠
1	⁠1-2⁠	⁠1-3⁠	⁠1-4⁠	⁠1-5⁠	-
2	⁠1-6⁠	⁠1-6⁠	⁠3-20⁠	-	-
3	0	⁠1-30⁠	-	-	-
4	- ⁠1-30⁠	-	-	-	-

ตัวเลขอากิยามะ–ทานิงาวะตอบสนองความสัมพันธ์การเกิดซ้ำแบบง่าย ซึ่งสามารถนำไปใช้ในการคำนวณตัวเลขเบอร์นูลลีซ้ำๆ ได้ ซึ่งนำไปสู่อัลกอริทึมที่แสดงในหัวข้อ "คำอธิบายอัลกอริทึม" ด้านบน ดูOEIS : A051714 / OEIS : A051715

ลำดับอัตโนมัติคือลำดับที่มีการแปลงทวินามผกผันเท่ากับลำดับที่มีเครื่องหมาย ถ้าเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ = OEIS : A000004ลำดับอัตโนมัติจะเป็นประเภทแรก ตัวอย่าง: OEIS : A000045คือจำนวนฟีโบนัชชี ถ้าเส้นทแยงมุมหลักเป็นเส้นทแยงมุมบนตัวแรกคูณด้วย 2 จะเป็นประเภทที่สอง ตัวอย่าง: OEIS : A164555 / OEIS : A027642คือจำนวนเบอร์นูลลีตัวที่สอง (ดูOEIS : A190339 ) การแปลง Akiyama–Tanigawa ที่ใช้กับ2 ^{− n} = 1/ OEIS : A000079จะนำไปสู่​​OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A06519 ( n + 1 ) ดังนั้น:

การแปลง Akiyama–Tanigawa สำหรับจำนวนออยเลอร์ที่สอง

ม. น	0	1	2	3	4
0	1	⁠1-2⁠	⁠1-4⁠	⁠1-8⁠	⁠1-16⁠
1	⁠1-2⁠	⁠1-2⁠	⁠3-8⁠	⁠1-4⁠	-
2	0	⁠1-4⁠	⁠3-8⁠	-	-
3	- ⁠1-4⁠	- ⁠1-4⁠	-	-	-
4	0	-	-	-	-

ดูOEIS : A209308และOEIS : A227577 OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ) เป็นจำนวนออยเลอร์ตัวที่สอง (เศษส่วน) และลำดับอัตโนมัติของประเภทที่สอง

( ⁠อออีเอส : A164555 ( n + 2 )-อออีเอส : A027642 ( n + 2 )= ⁠​1-6⁠ , 0, − ⁠1-30⁠ , 0, ⁠1-42⁠ , ... ) × ( ⁠2 ^{n + 3} − 2-n +2 เอ็น+2= 3 ,​14-3⁠ , ⁠15-2⁠ , ⁠62-5, 21, ... ) = ⁠OEIS : A198631 ( n + 1 )-OEIS : A006519 (น + 2 )= ⁠​1-2⁠ , 0, − ⁠1-4⁠ , 0, ⁠1-2⁠ , ... .

ยังมีค่าสำหรับOEIS : A027641 / OEIS : A027642 (ดูการเชื่อมต่อกับหมายเลข Worpitzky)

มีสูตรเชื่อมโยงสามเหลี่ยมปาสกาลกับจำนวนแบร์นูลลี^[c]

${\displaystyle B_{n}^{+}={\frac {|A_{n}|}{(n+1)!}}~~~}$

ซึ่งเป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์เฮสเซนเบิร์กขนาด n-by-n ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของสามเหลี่ยมปาสกาลที่มีองค์ประกอบดังนี้:${\displaystyle |A_{n}|}$${\displaystyle a_{i,k}={\begin{cases}0&{\text{if }}k>1+i\\{i+1 \choose k-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ตัวอย่าง:

${\displaystyle B_{6}^{+}={\frac {\det {\begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0\\1&4&6&4&0&0\\1&5&10&10&5&0\\1&6&15&20&15&6\\1&7&21&35&35&21\end{pmatrix}}}{7!}}={\frac {120}{5040}}={\frac {1}{42}}}$

มีสูตรเชื่อมโยงจำนวนออยเลอร์ ⟨^น.ม.
_​⟩ถึงจำนวนแบร์นูลลี:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle &=2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}},\\\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {\binom {n}{m}}^{-1}&=(n+1)B_{n}.\end{aligned}}}$

สูตรทั้งสองนี้ใช้ได้สำหรับn ≥ 0หากB ₁ถูกตั้งค่าเป็น1-2⁠ . ถ้าB ₁ถูกตั้งเป็น − ⁠1-2⁠ใช้ได้เฉพาะกับn ≥ 1และn ≥ 2ตามลำดับ

พหุนามสเตอร์ลิงσ _n ( x )เกี่ยวข้องกับจำนวนแบร์นูลลีโดยB _n = n ! σ _n (1) SC Woon อธิบายอัลกอริทึมในการคำนวณσ _n (1)ในรูปแบบไบนารีทรี: ^[28]

อัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำของ Woon (สำหรับn ≥ 1 ) เริ่มต้นด้วยการกำหนดN = [1,2] ให้กับโหนดราก กำหนดโหนดN = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ]ของต้นไม้ ลูกทางซ้ายของโหนดคือL ( N ) = [− a ₁ , a ₂ + 1, a ₃ , ..., a _k ]และลูกทางขวาR ( N ) = [ a ₁ , 2, a ₂ , ..., a _k ]โหนดN = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ]เขียนเป็น±[ a ₂ , ..., a _k ] ในส่วนเริ่มต้นของต้นไม้ที่แสดงไว้ด้านบน โดย ที่ ± แสดงถึงเครื่องหมายของa ₁

เมื่อกำหนดโหนดNแฟกทอเรียลของNจะถูกกำหนดให้เป็น

${\displaystyle N!=a_{1}\prod _{k=2}^{\operatorname {length} (N)}a_{k}!.}$

จำกัดเฉพาะโหนดNของระดับต้นไม้คงที่n คือผลรวมของ1-น !คือσ _n (1 ) ดังนั้น

${\displaystyle B_{n}=\sum _{\stackrel {N{\text{ node of}}}{{\text{ tree-level }}n}}{\frac {n!}{N!}}.}$

ตัวอย่างเช่น:

บี₁ = 1! (1-2!)​

บี₂ = 2!(− ⁠1-3!+ +​1-2!2!)​

บี₃ = 3! (1-4!− ⁠​1-2!3!− ⁠​1-3!2!+ +​1-2!2!2!)​

อินทิกรัล

${\displaystyle b(s)=2e^{si\pi /2}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}={\frac {s!}{2^{s-1}}}{\frac {\zeta (s)}{{}\pi ^{s}{}}}(-i)^{s}={\frac {2s!\zeta (s)}{(2\pi i)^{s}}}}$

มีค่าพิเศษคือb (2 n ) = B _{2 n}สำหรับn > 0

ตัวอย่างเช่นb (3) = ⁠3-2ζ (3) π ⁻³ iและ b (5) = − ⁠15-2⁠ ζ (5) π ⁻⁵ iในที่นี้ ζคือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์และ iคือหน่วยจินตภาพ Leonhard Euler ( Opera Omnia , Ser. 1, Vol. 10, p. 351) ได้พิจารณาตัวเลขเหล่านี้และคำนวณ

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {3}{2\pi ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \right)=0.0581522\ldots \\q&={\frac {15}{2\pi ^{5}}}\left(1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \right)=0.0254132\ldots \end{aligned}}}$

การแสดง อินทิกรัลที่คล้ายคลึงกันอีกประการหนึ่งคือ

${\displaystyle b(s)=-{\frac {e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{\sinh \pi t}}{\frac {dt}{t}}={\frac {2e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{\pi t}st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}.}$

จำนวนออยเลอร์เป็นลำดับของจำนวนเต็มซึ่งเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับจำนวนเบอร์นูลลี เมื่อเปรียบเทียบการขยายแบบอะซิมโทติกของจำนวนเบอร์นูลลีและจำนวนออยเลอร์ จะเห็นได้ว่าจำนวนออยเลอร์E _{2 n}มีขนาดโดยประมาณ2-π(4 ^{2 n} − 2 ^{2 n} ) มีขนาดใหญ่กว่าจำนวนแบร์นูลลี B _{2 n} มาก ดังนั้น:

${\displaystyle \pi \sim 2(2^{2n}-4^{2n}){\frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.}$

สมการเชิงอาการนี้แสดงให้เห็นว่าπอยู่ในรากร่วมของทั้งจำนวนแบร์นูลลีและจำนวนออยเลอร์ ในความเป็นจริงπสามารถคำนวณได้จากการประมาณค่าตรรกยะเหล่านี้

จำนวนเบอร์นูลลีสามารถแสดงได้โดยใช้จำนวนออยเลอร์และในทางกลับกัน เนื่องจากสำหรับn ที่เป็น คี่B _n = E _n = 0 (ยกเว้นB ₁ ) จึงเพียงพอที่จะพิจารณากรณีที่nเป็นเลขคู่

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{4^{n}-2^{n}}}E_{k}&n&=2,4,6,\ldots \\[6pt]E_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}{\frac {2^{k}-4^{k}}{k}}B_{k}&n&=2,4,6,\ldots \end{aligned}}}$

สูตรการแปลงเหล่านี้แสดงถึงความเชื่อมโยงระหว่างเบอร์นูลลีและจำนวนออยเลอร์ แต่ที่สำคัญกว่านั้นก็คือ รากเลขคณิตเชิงลึกที่เหมือนกันสำหรับจำนวนทั้งสองประเภท ซึ่งสามารถแสดงได้ผ่านลำดับจำนวนพื้นฐานกว่าซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับπ เช่นกัน จำนวนเหล่านี้ถูกกำหนดสำหรับn ≥ 1เป็น^{[29] [30]}

${\displaystyle S_{n}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kn}}{(2k+1)^{n}}}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\lim _{K\to \infty }\sum _{k=-K}^{K}(4k+1)^{-n}.}$

ความมหัศจรรย์ของตัวเลขเหล่านี้อยู่ที่การที่ตัวเลขเหล่านี้กลายเป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่งLeonhard Euler ได้พิสูจน์เรื่องนี้เป็นครั้งแรก ในเอกสารสำคัญเรื่องDe summis serierum reciprocarum (เกี่ยวกับผลรวมของอนุกรมส่วนกลับ) และนับแต่นั้นมาก็ทำให้บรรดานักคณิตศาสตร์หลงใหล^[31]ตัวเลขแรกๆ เหล่านี้ได้แก่

${\displaystyle S_{n}=1,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {5}{24}},{\frac {2}{15}},{\frac {61}{720}},{\frac {17}{315}},{\frac {277}{8064}},{\frac {62}{2835}},\ldots }$( OEIS : A099612 / OEIS : A099617 )

สิ่ง เหล่า นี้คือสัมประสิทธิ์ในการขยายตัวของsec x + tan x

จำนวนแบร์นูลลีและจำนวนออยเลอร์สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นมุมมองพิเศษ ของจำนวนเหล่านี้ _ซึ่งเลือกจากลำดับSnและปรับขนาดสำหรับใช้ในแอปพลิเคชันพิเศษ

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n!}{2^{n}-4^{n}}}\,S_{n}\ ,&n&=2,3,\ldots \\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]n!\,S_{n+1}&n&=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

นิพจน์ [ nคู่] จะมีค่า 1 ถ้าnเป็นคู่ และมีค่า 0 หากไม่เป็นเช่นนั้น ( วงเล็บ Iverson )

เอกลักษณ์เหล่านี้แสดงให้เห็นว่าผลหารของจำนวนแบร์นูลลีและออยเลอร์ในตอนต้นของส่วนนี้เป็นเพียงกรณีพิเศษของR _n = ⁠2 วินาที_​-เอส_{เอ็น +1}เมื่อ nเป็นเลขคู่ R _nเป็นการประมาณค่าตรรกยะของ πและพจน์สองพจน์ติดต่อกันจะครอบคลุมค่าจริงของ π เสมอ เริ่มต้นด้วย n = 1ลำดับเริ่มต้น ( OEIS : A132049 / OEIS : A132050 ):

${\displaystyle 2,4,3,{\frac {16}{5}},{\frac {25}{8}},{\frac {192}{61}},{\frac {427}{136}},{\frac {4352}{1385}},{\frac {12465}{3968}},{\frac {158720}{50521}},\ldots \quad \longrightarrow \pi .}$

ตัวเลขตรรกยะเหล่านี้ยังปรากฏในย่อหน้าสุดท้ายของบทความของออยเลอร์ที่อ้างข้างต้นด้วย

พิจารณาการแปลง Akiyama–Tanigawa สำหรับลำดับOEIS : A046978 ( n + 2 ) / OEIS : A016116 ( n + 1 ):

0	1	⁠1-2⁠	0	- ⁠1-4⁠	- ⁠1-4⁠	- ⁠1-8⁠	0
1	⁠1-2⁠	1	⁠3-4⁠	0	- ⁠5-8⁠	- ⁠3-4⁠
2	- ⁠1-2⁠	⁠1-2⁠	⁠9-4⁠	⁠5-2⁠	⁠5-8⁠
3	-1	- ⁠7-2⁠	- ⁠3-4⁠	⁠15-2⁠
4	⁠5-2⁠	- ⁠11-2⁠	- ⁠99-4⁠
5	8	⁠77-2⁠
6	- ⁠61-2⁠

จากคอลัมน์ที่สอง ตัวเศษของคอลัมน์แรกคือตัวส่วนของสูตรของออยเลอร์ คอลัมน์แรกคือ−1-2⁠ × OEIS : A163982 .

ลำดับS _nมีคุณสมบัติที่สำคัญอีกอย่างที่คาดไม่ถึง นั่นคือ ตัวส่วนของS _{n +1}หารแฟกทอเรียลn !กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ ตัวเลขT _n  =  S _{n + 1} n !ซึ่งบางครั้งเรียกว่าตัวเลขซิกแซกออยเลอร์เป็นจำนวนเต็ม

${\displaystyle T_{n}=1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0,1,2,3,\ldots }$( OEIS : A000111 ) ดู ( OEIS : A253671 )

ฟังก์ชันสร้างเลขชี้กำลังคือผลรวมของฟังก์ชัน ซีแคนต์และแทนเจนต์

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)=\sec x+\tan x}$-

ดังนั้นการแสดงค่าเบอร์นูลลีและออยเลอร์ข้างต้นสามารถเขียนใหม่ในรูปของลำดับนี้ได้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n}{2^{n}-4^{n}}}\,T_{n-1}\ &n&\geq 2\\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]T_{n}&n&\geq 0\end{aligned}}}$

เอกลักษณ์เหล่านี้ทำให้คำนวณจำนวนเบอร์นูลลีและออยเลอร์ได้ง่าย: จำนวนออยเลอร์E _{2 n}กำหนดให้ทันทีโดยT _{2 n}และจำนวนเบอร์นูลลีB _{2 n}คือเศษส่วนที่ได้จากT _{2 n - 1}โดยการเลื่อนง่ายๆ โดยหลีกเลี่ยงเลขคณิตตรรกยะ

สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาวิธีที่สะดวกใน การคำนวณตัวเลขT _nอย่างไรก็ตาม ในปี 1877 Philipp Ludwig von Seidelได้เผยแพร่อัลกอริทึมที่ชาญฉลาดซึ่งทำให้การคำนวณT _n ^{เป็นเรื่องง่าย [32]}

1. เริ่มต้นโดยใส่ 1 ลงในแถว 0 และให้kแทนจำนวนแถวที่กำลังถูกเติมในปัจจุบัน
2. หากkเป็นเลขคี่ ให้ใส่ตัวเลขที่ปลายซ้ายของแถวk − 1ในตำแหน่งแรกของแถวkและเติมแถวจากซ้ายไปขวา โดยให้ทุกค่าเป็นผลรวมของตัวเลขทางซ้ายและตัวเลขทางบน
3. ที่ส่วนท้ายของแถวให้ทำซ้ำตัวเลขสุดท้าย
4. หากkเป็นเลขคู่ ให้ดำเนินการแบบเดียวกันในทิศทางตรงข้าม

จริงๆ แล้วอัลกอริทึมของ Seidel มีความทั่วไปมากกว่านั้นมาก (ดูคำอธิบายของ Dominique Dumont ^[33] ) และถูกค้นพบใหม่อีกหลายครั้งหลังจากนั้น

คล้ายกับแนวทางของ Seidel DE Knuth และ TJ Buckholtz ได้ให้สมการการเกิดซ้ำสำหรับตัวเลขT _{2 n}และแนะนำวิธีนี้สำหรับการคำนวณB _{2 n}และE _{2 n} 'บนคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์โดยใช้การดำเนินการแบบง่ายกับจำนวนเต็มเท่านั้น' ^[34]

VI Arnold ^[35]ค้นพบอัลกอริทึมของ Seidel อีกครั้ง และต่อมา Millar, Sloane และ Young ได้ทำให้อัลกอริทึมของ Seidel เป็นที่นิยมภายใต้ชื่อการแปลงบูสโทรเฟดอน

รูปแบบสามเหลี่ยม:

						1
					1		1
				2		2		1
			2		4		5		5
		16		16		14		10		5
	16		32		46		56		61		61
272		272		256		224		178		122		61

มี OEISเพียงตัวเดียวคือ A000657ที่มีเลข 1 หนึ่งตัว และOEISคือ A214267ที่มีเลข 1 สองตัวอยู่ใน OEIS

แจกแจงด้วยเลขเสริม 1 และ 0 หนึ่งตัวในแถวต่อไปนี้:

						1
					0		1
				-1		-1		0
			0		-1		-2		-2
		5		5		4		2		0
	0		5		10		14		16		16
-61		-61		-56		-46		-32		-16		0

นี่คือOEIS : A239005ซึ่งเป็นเวอร์ชันที่มีเครื่องหมายของOEIS : A008280กราฟแนวทแยงมุมหลักคือOEIS : A122045กราฟแนวทแยงมุมหลักคือOEIS : A155585 คอลัมน์ตรงกลางคือOEIS : A099023ผลรวมแถว: 1, 1, −2, −5, 16, 61.... ดูOEIS : A163747ดูอาร์เรย์ที่ขึ้นต้นด้วย 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 ด้านล่าง

อัลกอริทึม Akiyama–Tanigawa ที่ใช้กับOEIS : A046978 ( n + 1 ) / OEIS : A016116 ( n ) ให้ผลตอบแทน:

1	1	⁠1-2⁠	0	- ⁠1-4⁠	- ⁠1-4⁠	- ⁠1-8⁠
0	1	⁠3-2⁠	1	0	- ⁠3-4⁠
-1	-1	⁠3-2⁠	4	⁠15-4⁠
0	-5	- ⁠15-2⁠	1
5	5	- ⁠51-2⁠
0	61
-61

1.คอลัมน์แรกคือOEIS : A122045การแปลงทวินามจะนำไปสู่:

1	1	0	-2	0	16	0
0	-1	-2	2	16	-16
-1	-1	4	14	-32
0	5	10	-46
5	5	-56
0	-61
-61

แถวแรกของอาร์เรย์นี้คือOEIS : A155585ค่าสัมบูรณ์ของค่าแอนติไดอะโกนัลที่เพิ่มขึ้นคือOEIS : A008280ผลรวมของแอนติไดอะโกนัลคือ− OEIS : A163747 ( n + 1 )

2.คอลัมน์ที่สองคือ1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385...การแปลงทวินามให้ผลลัพธ์ดังนี้:

1	2	2	-4	-16	32	272
1	0	-6	-12	48	240
-1	-6	-6	60	192
-5	0	66	32
5	66	66
61	0
-61

แถวแรกของอาร์เรย์นี้คือ1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584...ค่าสัมบูรณ์ของการแบ่งครึ่งที่สองคือสองเท่าของค่าสัมบูรณ์ของการแบ่งครึ่งแรก

พิจารณาอัลกอริธึมอากิยามะ-ทานิกาวะที่ใช้กับOEIS : A046978 ( n ) / ( OEIS : A158780 ( n + 1 ) = abs( OEIS : A117575 ( n )) + 1 = 1, 2, 2, ⁠3-2⁠ , 1, ⁠3-4⁠ , ⁠3-4⁠ , ⁠7-8⁠ , 1, ⁠17-16⁠ , ⁠17-16⁠ , ⁠33-32⁠ ... .

1	2	2	⁠3-2⁠	1	⁠3-4⁠	⁠3-4⁠
-1	0	⁠3-2⁠	2	⁠5-4⁠	0
-1	-3	- ⁠3-2⁠	3	⁠25-4⁠
2	-3	- ⁠27-2⁠	-13
5	21	- ⁠3-2⁠
-16	45
-61

คอลัมน์แรกซึ่งค่าสัมบูรณ์เป็นOEIS : A000111อาจเป็นตัวเศษของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

OEIS : A163747เป็นลำดับอัตโนมัติประเภทแรก (เส้นทแยงมุมหลักคือ OEIS : A000004 ) อาร์เรย์ที่สอดคล้องกันคือ:

0	-1	-1	2	5	-16	-61
-1	0	3	3	-21	-45
1	3	0	-24	-24
2	-3	-24	0
-5	-21	24
-16	45
-61

เส้นทแยงมุมสองเส้นแรกด้านบนคือ−1 3 −24 402... = (−1) ^{n + 1}  ×  OEIS : A002832ผลรวมของเส้นทแยงมุมตรงข้ามคือ0 −2 0 10... = 2 ×  OEIS : A122045 ( n  + 1)

− OEIS : A163982เป็นลำดับอัตโนมัติประเภทที่สอง เช่นOEIS : A164555 / OEIS : A027642ดังนั้นอาร์เรย์จึงมีลักษณะดังนี้:

2	1	-1	-2	5	16	-61
-1	-2	-1	7	11	-77
-1	1	8	4	-88
2	7	-4	-92
5	-11	-88
-16	-77
-61

เส้นทแยงมุมหลักในที่นี้คือ2 −2 8 −92...ซึ่งเป็นเส้นคู่ของเส้นทแยงมุมแรกบนในที่นี้คือOEIS : A099023ผลรวมของเส้นทแยงมุมตรงข้ามคือ2 0 −4 0... = 2 ×  OEIS : A155585 ( n + 1) OEIS : A163747  −  OEIS : A163982 = 2 ×  OEIS : A122045

ประมาณปีพ.ศ. 2423 ซึ่งเป็นเวลาสามปีหลังจากที่อัลกอริทึมของ Seidel ได้รับการตีพิมพ์Désiré Andréได้พิสูจน์ผลลัพธ์คลาสสิกของการวิเคราะห์เชิงผสมผสาน^{[36] [37]}เมื่อพิจารณาพจน์แรกของการขยายเทย์เลอร์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ tan xและsec x André ก็ได้ค้นพบสิ่งที่น่าทึ่ง

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=x+{\frac {2x^{3}}{3!}}+{\frac {16x^{5}}{5!}}+{\frac {272x^{7}}{7!}}+{\frac {7936x^{9}}{9!}}+\cdots \\[6pt]\sec x&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {5x^{4}}{4!}}+{\frac {61x^{6}}{6!}}+{\frac {1385x^{8}}{8!}}+{\frac {50521x^{10}}{10!}}+\cdots \end{aligned}}}$

ค่าสัมประสิทธิ์คือจำนวนออยเลอร์ของดัชนีคี่และคู่ตามลำดับ ดังนั้น การขยายสามัญของtan x + sec xจึงมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะS _n

${\displaystyle \tan x+\sec x=1+x+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots }$

จากนั้น André ก็ประสบความสำเร็จโดยใช้การโต้แย้งการเกิดซ้ำเพื่อแสดงว่าการเรียงสับเปลี่ยนแบบสลับกันที่มีขนาดคี่จะถูกนับโดยจำนวนออยเลอร์ของดัชนีคี่ (เรียกอีกอย่างว่าจำนวนแทนเจนต์) และการเรียงสับเปลี่ยนแบบสลับกันที่มีขนาดคู่จะถูกนับโดยจำนวนออยเลอร์ของดัชนีคู่ (เรียกอีกอย่างว่าจำนวนซีแคนต์)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนเบอร์นูลลีตัวแรกและตัวที่สองคือจำนวนเบอร์นูลลีที่เกี่ยวข้อง: B ₀ = 1 , B ₁ = 0 , B ₂ = ⁠1-6, B3 ₌ 0 , B4 = −​_​1-30⁠ OEIS : A176327 / OEIS : A027642 ผ่านแถวที่สองของการแปลง Akiyama–Tanigawa ผกผัน OEIS : A177427พวกมันนำไปสู่อนุกรม Balmer OEIS : A061037 / OEIS : A061038

อัลกอริทึม Akiyama–Tanigawa ที่นำไปใช้กับOEIS : A060819 ( n + 4 ) / OEIS : A145979 ( n ) จะนำไปสู่จำนวนแบร์นูลลีOEIS : A027641 / OEIS : A027642 , OEIS : A164555 / OEIS : A027642หรือOEIS : A176327 OEIS : A176289โดยไม่มีB ₁ซึ่งเรียกว่าจำนวนแบร์นูลลีที่แท้จริงB _i ( n )

1	⁠5-6⁠	⁠3-4⁠	⁠7-10⁠	⁠2-3⁠
⁠1-6⁠	⁠1-6⁠	⁠3-20⁠	⁠2-15⁠	⁠5-42⁠
0	⁠1-30⁠	⁠1-20⁠	⁠2-35⁠	⁠5-84⁠
- ⁠1-30⁠	- ⁠1-30⁠	- ⁠3-140⁠	- ⁠1-105⁠	0
0	- ⁠1-42⁠	- ⁠1-28⁠	- ⁠4-105⁠	- ⁠1-28⁠

ดังนั้นจึงมีความเชื่อมโยงอีกประการหนึ่งระหว่างจำนวนแบร์นูลลีที่แท้จริงและอนุกรมบัลเมอร์ผ่านOEIS : A145979 ( n )

OEIS : A145979 ( n − 2 ) = 0, 2, 1, 6,... เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของจำนวนที่ไม่เป็นลบ

เทอมของแถวแรกคือ f(n) = ⁠1-2+ +​1-n +2 เอ็น+2⁠ . 2, f(n) เป็นออโตซีเควนซ์ของประเภทที่สอง 3/2, f(n) นำโดยการแปลงทวินามผกผันเป็น 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + log 2

พิจารณา g(n) = 1/2 – 1 / (n+2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3 การแปลง Akiyama-Tanagiwa จะให้ผลลัพธ์ดังนี้:

0	⁠1-6⁠	⁠1-4⁠	⁠3-10⁠	⁠1-3⁠	⁠5-14⁠	-
- ⁠1-6⁠	- ⁠1-6⁠	- ⁠3-20⁠	- ⁠2-15⁠	- ⁠5-42⁠	- ⁠3-28⁠	-
0	- ⁠1-30⁠	- ⁠1-20⁠	- ⁠2-35⁠	- ⁠5-84⁠	- ⁠5-84⁠	-
⁠1-30⁠	⁠1-30⁠	⁠3-140⁠	⁠1-105⁠	0	- ⁠1-140⁠	-

0, g(n) เป็นออโตซีเควนซ์ของประเภทที่สอง

ออยเลอร์OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ) โดยไม่มีเทอมที่สอง ( ⁠1-2⁠ ) ​​เป็นจำนวนออยเลอร์ที่เป็นเศษส่วนE _i ( n ) = 1, 0, − ⁠1-4⁠ , 0, ⁠1-2⁠ , 0, − ⁠17-8⁠ , 0, ...การแปลงอากิยามะที่สอดคล้องกันคือ:

1	1	⁠7-8⁠	⁠3-4⁠	⁠21-32⁠
0	⁠1-4⁠	⁠3-8⁠	⁠3-8⁠	⁠5-16⁠
- ⁠1-4⁠	- ⁠1-4⁠	0	⁠1-4⁠	⁠25-64⁠
0	- ⁠1-2⁠	- ⁠3-4⁠	- ⁠9-16⁠	- ⁠5-32⁠
⁠1-2⁠	⁠1-2⁠	- ⁠9-16⁠	- ⁠13-8⁠	- ⁠125-64⁠

บรรทัดแรกคือEu ( n ) Eu ( n )ที่นำหน้าด้วยศูนย์เป็นลำดับอัตโนมัติของประเภทแรก ซึ่งเชื่อมโยงกับตัวเลข Oresme ตัวเศษของบรรทัดที่สองคือOEIS : A069834ที่นำหน้าด้วย 0 ตารางความแตกต่างคือ:

0	1	1	⁠7-8⁠	⁠3-4⁠	⁠21-32⁠	⁠19-32⁠
1	0	- ⁠1-8⁠	- ⁠1-8⁠	- ⁠3-32⁠	- ⁠1-16⁠	- ⁠5-128⁠
-1	- ⁠1-8⁠	0	⁠1-32⁠	⁠1-32⁠	⁠3-128⁠	⁠1-64⁠

จำนวนเบอร์นูลลีสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ได้ดังนี้: B _n = − nζ (1 − n )สำหรับจำนวนเต็มn ≥ 0โดยที่n = 0นิพจน์− nζ (1 − n )ถือเป็นค่าจำกัด และอนุสัญญาB ₁ = ⁠1-2⁠ถูกใช้ ซึ่งเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับค่าของฟังก์ชันซีตาในจำนวนเต็มลบ ดังนั้น จึงคาดหวังได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้จะมีและมีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์เชิงลึก ตัวอย่างเช่นสมมติฐานของ Agoh–Giugaระบุว่า pเป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ pB _{p − 1}สอดคล้องกับ −1 โมดูโล pคุณสมบัติการหารของจำนวนเบอร์นูลลีเกี่ยวข้องกับกลุ่มคลาสในอุดมคติของฟิลด์ไซโคลโท มิก โดยทฤษฎีบทของคุมเมอร์และการเสริมความแข็งแกร่งในทฤษฎีบทของเฮอร์บรันด์-ริเบต์และเกี่ยวข้องกับกลุ่มคลาสของฟิลด์กำลังสองจริงโดยแอนเคอนี–อาร์ทิน–โชวลา

จำนวนแบร์นูลลีเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (FLT) ตามทฤษฎีบทของคุมเมอร์^[38]ซึ่งกล่าวว่า:

หากจำนวนเฉพาะคี่pไม่สามารถหารตัวเศษใดๆ ของจำนวนแบร์นูลลีB ₂ , B ₄ , ..., B _{p − 3 ได้}ดังนั้นx ^p + y ^p + z ^p = 0จะไม่มีคำตอบในจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์

จำนวนเฉพาะที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่าจำนวนเฉพาะปกติผลลัพธ์คลาสสิกอีกประการหนึ่งของคุมเมอร์คือความสอดคล้องกัน ดังต่อไป นี้^[39]

ให้pเป็นจำนวนเฉพาะคี่และbเป็นจำนวนคู่ โดยที่p  − 1ไม่หารbจากนั้นสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบk ใดๆ

${\displaystyle {\frac {B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b}}\equiv {\frac {B_{b}}{b}}{\pmod {p}}.}$

การสรุปความสอดคล้องเหล่านี้โดยทั่วไปเรียกว่าความ ต่อเนื่อง แบบ p -adic

หากb , mและnเป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งmและn หารด้วย p − 1ไม่ลงตัวและm ≡ n (mod p ^{b − 1} ( p − 1))แล้ว

${\displaystyle (1-p^{m-1}){\frac {B_{m}}{m}}\equiv (1-p^{n-1}){\frac {B_{n}}{n}}{\pmod {p^{b}}}.}$

เนื่องจากB _n = − nζ (1 − n )จึงเขียนได้เช่นกัน

${\displaystyle \left(1-p^{-u}\right)\zeta (u)\equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta (v){\pmod {p^{b}}},}$

โดยที่u = 1 − mและv = 1 − nดังนั้นuและvไม่เป็นบวกและไม่สอดคล้องกับ 1 โมดูโลp − 1ซึ่งบอกเราว่าฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ โดยที่1 − p ^{− s}ถูกนำออกจากสูตรผลคูณของออยเลอร์ จะต่อเนื่องใน จำนวน p -adicบนจำนวนเต็มลบคี่ที่สอดคล้องกันโมดูโลp − 1 ไปยัง a ≢ 1 mod ( p − 1)เฉพาะเจาะจงและจึงสามารถขยายเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องζ _p ( s )สำหรับจำนวนเต็มp -adic ทั้งหมด ของฟังก์ชันซีตาp -adic ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$

ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ ซึ่งเกิดจากRamanujanมอบวิธีการคำนวณจำนวนแบร์นูลลีที่มีประสิทธิภาพมากกว่าวิธีการที่กำหนดไว้ในคำจำกัดความแบบเรียกซ้ำเดิม:

${\displaystyle {\binom {m+3}{m}}B_{m}={\begin{cases}{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 0{\pmod {6}};\\{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-2}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 2{\pmod {6}};\\-{\frac {m+3}{6}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-4}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 4{\pmod {6}}.\end{cases}}}$

ทฤษฎีบทของฟอน ซเตาท์–คลอเซินตั้งขึ้นโดยคาร์ล เกออร์ก คริสเตียน ฟอน สตาอุดต์^[40]และโธมัส เคลาเซน^[41]อย่างเป็นอิสระในปี ค.ศ. 1840 ทฤษฎีบทระบุว่าสำหรับทุก ๆn > 0

${\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)\,\mid \,2n}{\frac {1}{p}}}$

เป็นจำนวนเต็ม ผลรวมครอบคลุมจำนวนเฉพาะ p ทั้งหมด ซึ่งp − 1หาร2 nได้

ผลที่ตามมาคือ ส่วนของB _{2 n}ได้จากผลคูณของจำนวนเฉพาะp ทั้งหมด ซึ่งp − 1หาร2 n ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ส่วนประกอบเหล่านี้ไม่มีกำลังสองและหารด้วย 6 ลงตัว

ผลรวม

${\displaystyle \varphi _{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}i^{k}-{\frac {n^{k}}{2}}}$

สามารถประเมินค่าดัชนีn เป็นค่าลบได้ การทำเช่นนี้จะแสดงให้เห็นว่าเป็นฟังก์ชันคี่สำหรับค่าคู่ของkซึ่งหมายความว่าผลรวมมีเฉพาะพจน์ของดัชนีคี่เท่านั้น สิ่งนี้และสูตรสำหรับผลรวมเบอร์นูลลีบ่งบอกว่าB _{2 k + 1 − m}เท่ากับ 0 สำหรับmคู่ และ2 k + 1 − m > 1และเงื่อนไขสำหรับB ₁จะถูกยกเลิกโดยการลบ ทฤษฎีบทฟอน สเตาด์–คลอเซนที่รวมกับการแสดงของวอร์พิตสกี้ยังให้คำตอบแบบผสมผสานสำหรับคำถามนี้ (ใช้ได้กับn > 1)

จากทฤษฎีบทฟอน สเตาด์ท–คลอเซน เป็นที่ทราบกันดีว่าสำหรับn > 1 คี่ จำนวน2 B _nจะเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งดูเหมือนจะไม่สำคัญหากเรารู้ล่วงหน้าว่าจำนวนเต็มที่เป็นปัญหาคือศูนย์ อย่างไรก็ตาม เมื่อนำการแทนค่าของวอร์พิตสกี้ไปใช้ เราจะได้

${\displaystyle 2B_{n}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\frac {2}{m+1}}m!\left\{{n+1 \atop m+1}\right\}=0\quad (n>1{\text{ is odd}})}$

เป็นผลรวมของจำนวนเต็มซึ่งไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย ในที่นี้ ข้อเท็จจริงเชิงผสมผสานปรากฏขึ้น ซึ่งอธิบายการหายไปของจำนวนแบร์นูลลีที่ดัชนีคี่ ให้S _{n , m}เป็นจำนวนแผนที่เซอร์เจกทีฟจาก{1, 2, ..., n } ถึง{1, 2, ..., m } จากนั้นS _{n , m} = m ! {^น.ม.
_​}สมการสุดท้ายสามารถเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \sum _{{\text{odd }}m=1}^{n-1}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}=\sum _{{\text{even }}m=2}^{n}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}\quad (n>2{\text{ is even}}).}$

สมการนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการอุปนัย ตัวอย่างสองข้อแรกของสมการนี้คือ

น = 4: 2 + 8 = 7 + 3 ,

น = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40 .

ดังนั้น จำนวนแบร์นูลลีจึงหายไปในดัชนีคี่ เนื่องจากเอกลักษณ์เชิงการรวมกันที่ไม่ชัดเจนบางประการถูกนำมารวมอยู่ในจำนวนแบร์นูลลี

ความเชื่อมโยงระหว่างจำนวนเบอร์นูลลีและฟังก์ชันซีตาของรีมันน์มีความแข็งแกร่งเพียงพอที่จะให้สูตรทางเลือกของสมมติฐานรีมันน์ (RH) ซึ่งใช้เฉพาะจำนวนเบอร์นูลลีเท่านั้น ในความเป็นจริงมาร์เซล รีซซ์ได้พิสูจน์แล้วว่า RH เทียบเท่ากับข้อความยืนยันต่อไปนี้: ^[42]

สำหรับทุกε > ⁠1-4มีค่าคงที่ C ε _> 0 (ขึ้นอยู่กับ ε ) อยู่ โดยที่ | R ( x ) | < C _ε x ^εเมื่อ x → ∞

ที่นี่R ( x )คือฟังก์ชัน Riesz

${\displaystyle R(x)=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\left({\frac {B_{2k}}{2k}}\right)}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\beta _{2k}}}.}$

n ^kหมายถึงกำลังแฟกทอเรียลที่เพิ่มขึ้นในสัญกรณ์ของ DE Knuthตัวเลข β _n = ⁠บี_เอ็น-น⁠เกิดขึ้นบ่อยครั้งในการศึกษาฟังก์ชันซีตาและมีความสำคัญเนื่องจาก β _nเป็น จำนวนเต็ม pสำหรับจำนวนเฉพาะ pโดยที่ p − 1ไม่หาร n β _nเรียกว่าจำนวนแบร์นูลลีที่หารแล้ว

จำนวนแบร์นูลลีทั่วไปคือจำนวนพีชคณิต บางตัว ที่มีการกำหนดคล้ายกับจำนวนแบร์นูลลี ซึ่งเกี่ยวข้องกับค่าพิเศษของฟังก์ชันDirichlet Lในลักษณะเดียวกับที่จำนวนแบร์นูลลีเกี่ยวข้องกับค่าพิเศษของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

ให้χเป็นอักขระ Dirichletโมดูโลfจำนวน Bernoulli ทั่วไปที่แนบกับχถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \sum _{a=1}^{f}\chi (a){\frac {te^{at}}{e^{ft}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k,\chi }{\frac {t^{k}}{k!}}.}$

นอกจากB _{1,1 ที่โดดเด่น} แล้ว ⁠1-2เราจะได้อักขระ Dirichlet ใดๆ χว่า B k _{, χ =} 0ถ้า χ (−1) ≠ (−1 ) ^k

การสรุปความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนแบร์นูลลีและค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่จำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก จะได้ว่าสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมดk ≥ 1 :

${\displaystyle L(1-k,\chi )=-{\frac {B_{k,\chi }}{k}},}$

โดยที่L ( s , χ )คือฟังก์ชัน Dirichlet L ของ χ [ ^43]

จำนวนไอเซนสไตน์–โครเนกเกอร์เป็นอนาล็อกของจำนวนเบอร์นูลลีทั่วไปสำหรับฟิลด์กำลังสองในจินตนาการ^{[44] [45]}พวกมันเกี่ยวข้องกับค่าวิกฤตLของอักขระเฮคเคอ [ ^45]