เลขคณิต

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา

ตารางเลขคณิตสำหรับเด็ก, โลซาน, 1835

เลขคณิต (จากภาษากรีกโบราณ ἀριθμός ( arithmós )  'number' และτική [ τέχνη ] ( tikḗ [tékhnē] )  'art, craft') เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยการศึกษาตัวเลขโดยเฉพาะเกี่ยวกับคุณสมบัติของแบบดั้งเดิมการบวกการลบการคูณ การหารการยกกำลังและการสกัดราก [1] [2]เลขคณิตเป็นส่วนพื้นฐานของ ทฤษฎีจำนวนและทฤษฎีจำนวนถือเป็นหนึ่งในแผนกระดับบนสุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ร่วมกับพีชคณิตเรขาคณิตและการวิเคราะห์ คำศัพท์เลขคณิตและ เลขคณิต ที่สูงกว่าถูกนำมาใช้จนถึงต้นศตวรรษที่ 20 เป็นคำพ้องความหมายสำหรับทฤษฎีจำนวนและบางครั้งยังคงใช้เพื่ออ้างถึงส่วนที่กว้างขึ้นของทฤษฎีจำนวน [3]

ประวัติศาสตร์

ยุคก่อนประวัติศาสตร์ของเลขคณิตถูกจำกัดไว้เพียงสิ่งประดิษฐ์จำนวนเล็กน้อย ซึ่งอาจบ่งบอกถึงแนวคิดของการบวกและการลบ ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีที่สุดคือกระดูก Ishangoจากแอฟริกากลางสืบมาจากที่ไหนสักแห่งระหว่าง 20,000 ถึง 18,000 ปีก่อนคริสตกาล แม้ว่าการตีความจะขัดแย้งกัน [4]

บันทึกที่เป็นลายลักษณ์อักษรที่เก่าแก่ที่สุดระบุว่าชาวอียิปต์และชาวบาบิโลนใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์เบื้องต้น ทั้งหมด กล่าวคือ การบวก การลบ การคูณ และการหาร ตั้งแต่ต้นปี 2000 ก่อนคริสตกาล สิ่งประดิษฐ์เหล่านี้ไม่ได้เปิดเผยกระบวนการเฉพาะที่ใช้สำหรับการแก้ปัญหาเสมอไป แต่ลักษณะของระบบตัวเลข เฉพาะ มีอิทธิพลอย่างมากต่อความซับซ้อนของวิธีการ ระบบอักษรอียิปต์โบราณสำหรับเลขอียิปต์เช่นเดียวกับเลขโรมัน รุ่นหลัง สืบเชื้อสายมาจากเครื่องหมายนับที่ใช้สำหรับการนับ ในทั้งสองกรณี ที่มานี้ส่งผลให้เกิดค่าที่ใช้ ฐาน ทศนิยมแต่ไม่ได้รวมสัญกรณ์ตำแหน่ง. การคำนวณที่ซับซ้อนด้วยตัวเลขโรมันต้องใช้กระดานนับ (หรือลูกคิดโรมัน ) เพื่อให้ได้ผลลัพธ์

ระบบตัวเลขเริ่มต้นที่รวมสัญกรณ์ตำแหน่งไม่ใช่ทศนิยม ซึ่งรวมถึงระบบ sexagesimal (ฐาน 60) สำหรับเลขบาบิโลนและระบบ vigesimal (ฐาน 20) ที่กำหนดตัวเลขมายา เนื่องจากแนวคิดของค่าสถานที่นี้ ความสามารถในการนำตัวเลขเดียวกันกลับมาใช้ใหม่สำหรับค่าต่างๆ ได้มีส่วนทำให้วิธีการคำนวณง่ายขึ้นและมีประสิทธิภาพมากขึ้น

การพัฒนาทางประวัติศาสตร์อย่างต่อเนื่องของเลขคณิตสมัยใหม่เริ่มต้นด้วยอารยธรรมขนมผสมน้ำยาของกรีกโบราณ แม้ว่าจะมีต้นกำเนิดมาช้ากว่าตัวอย่างของชาวบาบิโลนและอียิปต์ก็ตาม ก่อนงานของยุคลิดประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาลการศึกษาของกรีกในวิชาคณิตศาสตร์ซ้อนทับกับความเชื่อทางปรัชญาและความลึกลับ ตัวอย่างเช่นNicomachusได้สรุปมุมมองของ แนวทาง Pythagorean ก่อนหน้านี้ เกี่ยวกับตัวเลข และความสัมพันธ์ของตัวเลขเหล่านี้ระหว่างกันในIntroduction to Arithmeticของเขา

เลขกรีกถูกใช้โดย อา ร์คิมิดีสไดโอแฟนทั ส และเลขอื่นๆ ในสัญกรณ์ตำแหน่ง ซึ่ง ไม่แตกต่างจากสัญกรณ์สมัยใหม่มากนัก ชาวกรีกโบราณไม่มีสัญลักษณ์เป็นศูนย์จนกระทั่งถึงยุคขนมผสมน้ำยา และพวกเขาใช้สัญลักษณ์สามชุดแยกกันเป็นตัวเลข : ชุดหนึ่งสำหรับตำแหน่งของหน่วย ชุดหนึ่งสำหรับหลักสิบ และชุดสำหรับหลักร้อย สำหรับหลักพัน พวกเขาจะนำสัญลักษณ์สำหรับหลักหน่วยมาใช้ซ้ำ และอื่นๆ อัลกอริธึมการบวกของพวกเขาเหมือนกันกับวิธีการสมัยใหม่ และอัลกอริธึมการคูณต่างกันเพียงเล็กน้อยเท่านั้น อัลกอริธึมการหารยาวของพวกเขาเหมือนกัน และอัลกอริธึมรากที่สองแบบตัวเลขต่อหลักซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในศตวรรษที่ 20 เป็นที่รู้จักของอาร์คิมิดีส (ซึ่งอาจเป็นผู้คิดค้น) เขาชอบใช้วิธีประมาณแบบต่อเนื่องของฮีโร่เพราะเมื่อคำนวณแล้ว ตัวเลขจะไม่เปลี่ยนแปลง และรากที่สองของกำลังสองสมบูรณ์ เช่น 7485696 จะสิ้นสุดทันทีเป็น 2736 สำหรับตัวเลขที่มีเศษส่วน เช่น 546.934 จะใช้ พลังลบ 60—แทนที่จะเป็นพลังลบ 10 สำหรับเศษส่วน 0.934 [5]

ชาวจีนโบราณมีการศึกษาเลขคณิตขั้นสูงตั้งแต่สมัยราชวงศ์ซางและต่อเนื่องไปจนถึงราชวงศ์ถัง ตั้งแต่ตัวเลขพื้นฐานไปจนถึงพีชคณิตขั้นสูง ชาวจีนโบราณใช้สัญกรณ์ตำแหน่งคล้ายกับของชาวกรีก เนื่องจากพวกเขายังขาดสัญลักษณ์สำหรับศูนย์พวกเขามีชุดสัญลักษณ์หนึ่งชุดสำหรับตำแหน่งหน่วย และชุดที่สองสำหรับหลักสิบ สำหรับหลักร้อย พวกเขาจะนำสัญลักษณ์สำหรับหลักหน่วยมาใช้ซ้ำ และอื่นๆ สัญลักษณ์ของพวกเขามีพื้นฐานมาจากไม้นับโบราณ ไม่ทราบเวลาที่แน่นอนที่ชาวจีนเริ่มคำนวณด้วยการแสดงตำแหน่ง แม้ว่าจะทราบกันดีอยู่แล้วว่าการรับเลี้ยงบุตรบุญธรรมเริ่มต้นก่อน 400 ปีก่อนคริสตกาล [6]ชาวจีนโบราณเป็นคนแรกที่ค้นพบ ทำความเข้าใจ และใช้ตัวเลขเชิงลบอย่างมีความหมาย มีการอธิบายไว้ในNine Chapters on the Mathematical Art ( Jiuzhang Suanshu ) ซึ่งเขียนโดยLiu Huiย้อนหลังไปถึงศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช

การพัฒนา ระบบเลขฮินดู-อารบิกแบบค่อยเป็นค่อยไปได้คิดค้นแนวคิดเกี่ยวกับค่าสถานที่และสัญกรณ์ตำแหน่ง ซึ่งรวมวิธีการที่ง่ายกว่าสำหรับการคำนวณด้วยฐานทศนิยม และการใช้ตัวเลขแทน0 วิธีนี้ทำให้ระบบสามารถแสดงจำนวนเต็มขนาดใหญ่และขนาดเล็กได้อย่างสม่ำเสมอ ซึ่งเป็นแนวทางที่แทนที่ระบบอื่นๆ ทั้งหมดในที่สุด ในช่วงต้นศตวรรษที่ 6นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียAryabhataได้รวมเอาระบบที่มีอยู่แล้วไว้ในงานของเขา และทดลองด้วยสัญลักษณ์ต่างๆ ในคริสต์ศตวรรษที่ 7 พระพรหมคุปต์กำหนดการใช้ 0 เป็นตัวเลขแยกต่างหาก และกำหนดผลลัพธ์สำหรับการคูณ หาร บวก ลบศูนย์และตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมด—ยกเว้นผลลัพธ์ของการหารด้วยศูนย์ พระ สังฆราชSeverus Sebokht (ค.ศ. 650) ชาว ซีเรียร่วมสมัยของเขากล่าวว่า "ชาวอินเดียมีวิธีการคำนวณที่ไม่มีคำใดสรรเสริญเพียงพอ ระบบตรรกยะทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา หรือวิธีการคำนวณของพวกเขา ฉันหมายถึงระบบที่ใช้สัญลักษณ์เก้าตัว" [7]ชาวอาหรับได้เรียนรู้วิธีใหม่นี้และเรียกมันว่า hesab

Stepped Reckonerของ Leibniz เป็นเครื่องคิดเลขเครื่องแรกที่สามารถทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ทั้งสี่ได้

แม้ว่าCodex Vigilanusจะอธิบายรูปแบบแรกของเลขอารบิก (ละเว้น 0) โดย 976 AD แต่ Leonardo of Pisa ( Fibonacci ) มีหน้าที่หลักในการแพร่กระจายการใช้งานไปทั่วยุโรปหลังจากการตีพิมพ์หนังสือของเขาLiber Abaciในปี 1202 เขาเขียนว่า " วิธีการของชาวอินเดียนแดง (Latin Modus Indorum ) เหนือกว่าวิธีการคำนวณใดๆ ที่รู้จัก เป็นวิธีที่มหัศจรรย์ พวกเขาคำนวณโดยใช้ตัวเลขเก้าตัวและสัญลักษณ์ศูนย์ " [8]

ในยุคกลาง เลขคณิตเป็นหนึ่งในเจ็ดศิลปศาสตร์ที่สอนในมหาวิทยาลัย

ความเฟื่องฟูของพีชคณิตใน โลก อิสลามยุคกลาง และในยุโรปยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาเป็นผลพลอยได้จากการทำให้การคำนวณ ง่ายขึ้นอย่างมาก โดยใช้สัญกรณ์ ทศนิยม

มีการคิดค้นเครื่องมือประเภทต่างๆ และใช้กันอย่างแพร่หลายเพื่อช่วยในการคำนวณตัวเลข ก่อนยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา พวกเขาเป็นอาบา จิหลายประเภท ตัวอย่างล่าสุด ได้แก่กฎสไลด์โนโมแกรมและเครื่องคำนวณทางกลเช่นเครื่องคิดเลขของปาสกาล ปัจจุบันถูกแทนที่ด้วยเครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์ และคอมพิวเตอร์

การดำเนินการเลขคณิต

การดำเนินการเลขคณิตพื้นฐานคือการบวก การลบ การคูณ และการหาร แม้ว่าเลขคณิตยังรวมถึงการดำเนินการขั้นสูงด้วย เช่น การคำนวณเปอร์เซ็นต์[2] รากที่สอง การยกกำลังฟังก์ชันลอการิทึมและแม้กระทั่งฟังก์ชันตรีโกณมิติในเส้นเดียวกับลอการิทึม ( ต่อมลูกหมากโต ). นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ต้องได้รับการประเมินตามลำดับการดำเนินการที่ตั้งใจไว้ มีหลายวิธีในการระบุสิ่งนี้—โดยส่วนใหญ่, ร่วมกับสัญกรณ์ infix — โดยใช้วงเล็บอย่างชัดแจ้งและอาศัยกฎการมาก่อน , หรือใช้คำนำหน้าหรือสัญกรณ์ postfixซึ่งแก้ไขลำดับการดำเนินการด้วยตัวเองโดยเฉพาะ ชุดของอ็อบเจ็กต์ใดๆ ที่การดำเนินการเลขคณิตทั้งสี่ (ยกเว้นการหารด้วยศูนย์ ) สามารถทำได้ และการดำเนินการทั้งสี่นี้เป็นไปตามกฎปกติ (รวมถึงการแจกแจง) เรียกว่าฟิลด์ [9]

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

นอกจากนี้แสดงด้วยสัญลักษณ์เป็นการดำเนินการขั้นพื้นฐานที่สุดของเลขคณิต ในรูปแบบง่ายๆ การบวกรวมตัวเลขสองจำนวน การบวกหรือเงื่อนไขเข้าเป็นตัวเลขเดียวผลรวมของตัวเลข (เช่น2 + 2 = 4หรือ3 + 5 = 8 )

การบวกตัวเลขจำนวนมากสามารถดูเป็นการบวกง่ายๆ ซ้ำๆ ได้ ขั้นตอนนี้เรียกว่าsummationซึ่งเป็นคำที่ใช้ระบุคำจำกัดความของ "การบวกจำนวนนับไม่ถ้วน" ใน ชุด จำนวนอนันต์ การบวกเลข  1 ซ้ำๆ เป็นรูปแบบพื้นฐานที่สุดในการนับ ผลลัพธ์ของการเพิ่ม1มักจะเรียกว่าตัวตายตัวแทนของหมายเลขเดิม

การ บวกเป็นการสับเปลี่ยนและเชื่อมโยงดังนั้นลำดับที่มีการเพิ่มเงื่อนไขจำนวนมากจึงไม่สำคัญ

หมายเลข0มีคุณสมบัติที่เมื่อบวกเข้ากับตัวเลขใด ๆ ก็จะได้ตัวเลขเดียวกันนั้น ดังนั้นจึงเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ของการเพิ่มหรือเอกลักษณ์ การ เพิ่มเติม

สำหรับทุกตัวเลขxมีตัวเลขกำกับxเรียกว่าตรงข้ามกับ x โดยที่x + (– x ) = 0และ (– x ) + x = 0 ดังนั้น ด้านตรงข้ามของxคือค่าผกผันของxเทียบกับการบวก หรือค่าผกผัน การ บวกของx ตัวอย่างเช่น ตรงกันข้ามกับ7คือ−7เนื่องจาก7 + (−7) = 0

นอกจากนี้ยังสามารถตีความทางเรขาคณิตได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ถ้าเรามีแท่งไม้ที่มีความยาว2และ5 สองแท่ง ถ้าแท่งไม้เรียงตัวกัน ความยาวของแท่งที่รวมกันจะกลายเป็น7เนื่องจาก2 + 5 = 7 .

การลบ

การลบแสดงด้วยสัญลักษณ์เป็นการดำเนินการผกผันที่จะบวก การลบจะพบความแตกต่างระหว่างตัวเลขสองตัวค่าminuendลบsubtrahend : D = MS จากการบวกที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ กล่าวได้ว่าผลต่างคือจำนวนที่เมื่อบวกเข้ากับ subtrahend แล้ว ผลลัพธ์จะเป็น minuend : D + S = M [1]

สำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกMและSจะถือ:

หาก minuend มากกว่า subtrahend ผลต่างDจะเป็นบวก
หาก minuend น้อยกว่า subtrahend ผลต่างDจะเป็นลบ

ไม่ว่าในกรณีใด ถ้า minuend และ subtrahend เท่ากัน ผลต่างD = 0

การ ลบไม่ใช่ทั้งการสลับสับเปลี่ยนหรือ การ เชื่อมโยงกัน ด้วยเหตุผลดังกล่าว การสร้างการดำเนินการผกผันนี้ในพีชคณิตสมัยใหม่มักจะถูกละทิ้งเพื่อสนับสนุนการแนะนำแนวคิดขององค์ประกอบผกผัน (ดังที่ร่างไว้ใน§ การบวก ) โดยที่การลบถือเป็นการบวกการบวกผกผันของ subtrahend ไปยัง minuend ซึ่ง คือab = a + (b ) ราคาทันทีของการละทิ้งการดำเนินการเลขฐานสองของการลบคือการแนะนำการดำเนินการเอกพจน์ (เล็กน้อย) การ ส่งค่าผกผันการบวกสำหรับตัวเลขใด ๆ และสูญเสียการเข้าถึงแนวคิดเรื่องความแตกต่าง ในทันทีซึ่งอาจทำให้เข้าใจผิดเมื่อมีข้อโต้แย้งเชิงลบ

สำหรับการแสดงตัวเลขใดๆ มีวิธีการคำนวณผลลัพธ์ ซึ่งบางวิธีมีประโยชน์อย่างยิ่งในการใช้ประโยชน์จากกระบวนการ ซึ่งมีอยู่ในการดำเนินการเดียว โดยการปรับเปลี่ยนเล็กน้อยสำหรับส่วนอื่นๆ ด้วย ตัวอย่างเช่น คอมพิวเตอร์ดิจิทัลสามารถนำวงจรบวกที่มีอยู่กลับมาใช้ใหม่และบันทึกวงจรเพิ่มเติมสำหรับการลบโดยใช้วิธีการเสริมของสองตัวเพื่อแทนค่าผกผันการบวก ซึ่งง่ายต่อการติดตั้งในฮาร์ดแวร์ (การปฏิเสธ ) การประนีประนอมคือการลดช่วงตัวเลขลงครึ่งหนึ่งสำหรับความยาวคำคงที่

วิธีการแพร่กระจายแบบกว้างก่อนหน้านี้เพื่อให้ได้จำนวนการเปลี่ยนแปลงที่ถูกต้อง โดยทราบจำนวนเงินที่ครบกำหนดและที่กำหนด คือวิธีการนับซึ่งไม่ได้สร้างมูลค่าของส่วนต่างอย่างชัดเจน สมมติว่ามีการกำหนดจำนวนPเพื่อชำระจำนวนเงินที่ต้องการQโดยที่Pมากกว่าQ แทนที่จะดำเนินการลบอย่างชัดเจนPQ = CและนับจำนวนC ที่ เปลี่ยนแปลง เงินจะถูกนับโดยเริ่มจากผู้สืบทอดของQและดำเนินการตามขั้นตอนของสกุลเงินจนกระทั่งPถึง. แม้ว่าจำนวนที่นับออกจะต้องเท่ากับผลลัพธ์ของการลบPQการลบไม่เคยทำได้จริงและวิธีนี้ไม่ได้ระบุ ค่าของ PQ

การคูณ

การคูณแสดงด้วยสัญลักษณ์หรือเป็นการดำเนินการพื้นฐานที่สองของเลขคณิต การคูณยังรวมตัวเลขสองตัวเป็นตัวเลขเดียว นั่นคือผลคูณ ตัวเลขดั้งเดิมสองตัวเรียกว่าตัวคูณและตัวคูณส่วนใหญ่เรียกง่ายๆว่า ตัวประกอบ

การคูณอาจถูกมองว่าเป็นการดำเนินการมาตราส่วน หากจินตนาการว่าตัวเลขนอนอยู่ในเส้นตรง การคูณด้วยจำนวนที่มากกว่า 1 ให้พูดว่าxก็เหมือนกับการยืดทุกอย่างออกจาก 0 อย่างเท่าๆ กัน ในลักษณะที่ตัวเลข 1 เองถูกขยายไปยังตำแหน่งที่xอยู่ ในทำนองเดียวกัน การคูณด้วยจำนวนที่น้อยกว่า 1 สามารถจินตนาการได้ว่าเป็นการบีบเข้าหา 0 ในลักษณะที่ 1 ไปที่ตัวคูณ

อีกมุมมองหนึ่งเกี่ยวกับการคูณจำนวนเต็ม (ขยายเป็นตรรกยะแต่เข้าถึงไม่ได้สำหรับจำนวนจริงมาก) คือการพิจารณาว่าเป็นการบวกซ้ำ ตัวอย่างเช่น. 3 × 4สอดคล้องกับการบวก3คูณ4หรือ4คูณ3ให้ผลลัพธ์เหมือนกัน มีความคิดเห็นที่แตกต่างกันเกี่ยวกับความได้เปรียบของกระบวนทัศน์ เหล่านี้ ในการศึกษาคณิตศาสตร์

การคูณเป็นแบบสับเปลี่ยนและเชื่อมโยงกัน ยิ่งกว่านั้น มันคือการกระจายมากกว่าการบวกและการลบ เอกลักษณ์การคูณคือ1 เนื่องจากการคูณตัวเลขใดๆ ด้วย 1 ได้จำนวนเดียวกัน ตัว ผกผันการคูณสำหรับจำนวนใดๆ ยกเว้น  0คือส่วน กลับ ของจำนวนนี้ เนื่องจากการคูณส่วนกลับของจำนวนใดๆ ด้วยตัวมันเองจะทำให้ได้เอกลักษณ์การคูณ 1 0  เป็นตัวเลขเดียวที่ไม่มีตัวผกผันการคูณ และผลลัพธ์ของการคูณจำนวนใดๆ และ0 ก็คือ 0อีกครั้งหนึ่งบอกว่า0ไม่มีอยู่ในกลุ่ม การคูณของตัวเลข

ผลคูณของa และ b เขียนเป็นa × bหรือa · b เมื่อaหรือbเป็นนิพจน์ที่ไม่ได้เขียนด้วยตัวเลขเพียงอย่างเดียว ก็จะถูกเขียนด้วยการตีข่าวอย่างง่ายด้วย  : ab ในภาษาโปรแกรมคอมพิวเตอร์และแพ็คเกจซอฟต์แวร์ (ซึ่งปกติแล้วจะพบได้เฉพาะบนแป้นพิมพ์เท่านั้น) มักเขียนด้วยเครื่องหมายดอกจัน:  a * b.

อัลกอริทึมที่ใช้การดำเนินการของการคูณสำหรับการแทนค่าตัวเลขต่างๆ นั้นมีค่าใช้จ่ายสูงและลำบากกว่าการบวก สิ่งเหล่านั้นที่สามารถเข้าถึงได้สำหรับการคำนวณด้วยตนเองนั้นขึ้นอยู่กับการแยกปัจจัยออกเป็นค่าสถานที่เดียวและนำการบวกซ้ำมาใช้ หรือการใช้ตารางหรือกฎสไลด์ดังนั้นการแมปการคูณกับการบวกและในทางกลับกัน วิธีการเหล่านี้ล้าสมัยและค่อยๆ ถูกแทนที่ด้วยอุปกรณ์พกพา คอมพิวเตอร์ใช้อัลกอริธึมที่ซับซ้อนและปรับให้เหมาะสมอย่างหลากหลาย เพื่อใช้การคูณและการหารสำหรับรูปแบบตัวเลขต่างๆ ที่รองรับในระบบของพวกเขา

แผนก

กองแสดงด้วยสัญลักษณ์หรือโดยพื้นฐานแล้วคือการดำเนินการผกผันกับการคูณ หารหาผลหารของตัวเลขสองตัว, เงินปันผลหารด้วยตัวหาร . ภายใต้กฎทั่วไป การจ่ายเงินปันผลหารด้วยศูนย์จะไม่ถูกกำหนดไว้ สำหรับจำนวนบวกที่ชัดเจน หากเงินปันผลมากกว่าตัวหาร ผลหารจะมากกว่า 1 มิฉะนั้นจะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 (กฎที่คล้ายกันใช้กับจำนวนลบ) ผลหารคูณด้วยตัวหารจะได้เงินปันผลเสมอ

การหารไม่ใช่การสับเปลี่ยนหรือเชื่อมโยง ดังที่อธิบายใน§ การลบการสร้างการหารในพีชคณิตสมัยใหม่ถูกยกเลิกไป เพื่อสร้างองค์ประกอบผกผันเกี่ยวกับการคูณ ตามที่แนะนำใน§การ คูณ ดังนั้นการหารคือการคูณเงินปันผลโดยมีส่วนกลับของตัวหารเป็นตัวประกอบ นั่นคือa ÷ b = a ×1/.

ภายในจำนวนธรรมชาติ ยังมีแนวคิดที่แตกต่างกันแต่เกี่ยวข้องกันซึ่งเรียกว่า การ หารแบบยุคลิดซึ่งให้ผลลัพธ์สองจำนวนหลังจาก "หาร" N ตามธรรมชาติ (ตัวเศษ) ด้วยD ตามธรรมชาติ (ตัวส่วน): ตัวแรกเป็นQ ตามธรรมชาติ (ผลหาร) และตัวที่สอง a ธรรมชาติR (ส่วนที่เหลือ) เช่นนั้นN = D × Q + Rและ0 ≤ R < Q .

ในบางบริบท รวมทั้งการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์และเลขคณิตขั้นสูง การหารจะถูกขยายด้วยผลลัพธ์อื่นสำหรับส่วนที่เหลือ การดำเนินการนี้มักจะถูกมองว่าเป็นการดำเนินการที่แยกจากกัน การดำเนินการของโมดูโล แสดงด้วยสัญลักษณ์หรือคำว่าแม้ว่าบางครั้งจะเป็นเอาต์พุตที่สองสำหรับการดำเนินการ "divmod" หนึ่งครั้ง [10]ไม่ว่าในกรณีใดเลขคณิตแบบแยกส่วนมีกรณีการใช้งานที่หลากหลาย การใช้งานที่แตกต่างกันของการแบ่งส่วน (พื้น, การตัดทอน, ยุคลิด, ฯลฯ ) สอดคล้องกับการใช้งานโมดูลัสที่แตกต่างกัน

ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต

ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตระบุว่าจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 มีการแยกตัวประกอบเฉพาะเฉพาะ (การแสดงตัวเลขเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ) ยกเว้นลำดับของปัจจัย ตัวอย่างเช่น 252 มีการแยกตัวประกอบเฉพาะเพียงตัวเดียว:

252 = 2 2 × 3 2 × 7 1

องค์ประกอบของยุคลิดได้แนะนำทฤษฎีบทนี้เป็นครั้งแรก และให้การพิสูจน์บางส่วน (ซึ่งเรียกว่าบทแทรกของยุคลิด ) ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยCarl Friedrich Gauss

ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตเป็นหนึ่งในสาเหตุที่ 1 ไม่ถือเป็นจำนวนเฉพาะ เหตุผลอื่นๆ ได้แก่ตะแกรงของ Eratosthenesและคำจำกัดความของจำนวนเฉพาะ (จำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้จากการคูณจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่าสองตัว)

เลขคณิตทศนิยม

การ แสดงทศนิยมหมายถึงเฉพาะในระบบตัวเลข ที่เขียน โดยใช้ตัวเลขอารบิกเป็นตัวเลขสำหรับฐาน 10 ("ทศนิยม") สัญกรณ์ตำแหน่ง ; อย่างไรก็ตามระบบตัวเลข ใดๆ ที่ อิงจากเลขยกกำลัง 10 เช่นกรีกซิริลลิกโรมันหรือตัวเลขจีนอาจอธิบายตามแนวคิดว่าเป็น "สัญกรณ์ทศนิยม" หรือ "การแสดงแทนทศนิยม"

วิธีการสมัยใหม่สำหรับการดำเนินการพื้นฐานสี่ประการ (การบวก การลบ การคูณ และการหาร) ถูกคิดค้นขึ้นครั้งแรกโดยBrahmaguptaแห่งอินเดีย สิ่งนี้เป็นที่รู้จักในช่วงยุโรปยุคกลางว่า "Modus Indorum" หรือวิธีการของชาวอินเดียนแดง สัญกรณ์ตำแหน่ง (เรียกอีกอย่างว่า "สัญกรณ์ค่าตำแหน่ง") หมายถึงการแสดงหรือการเข้ารหัสตัวเลขโดยใช้สัญลักษณ์เดียวกันสำหรับลำดับความสำคัญ ที่แตกต่างกัน (เช่น "หนึ่งตำแหน่ง", "หลักสิบ", "หลักร้อย") และด้วยจุดฐานโดยใช้สัญลักษณ์เดียวกันนั้นแทนเศษส่วน (เช่น "หลักสิบ", "หลักร้อย") ตัวอย่างเช่น 507.36 หมายถึง 5 ร้อย (10 2 )0 ) บวก 3 ในสิบ (10 -1 ) บวก 6 ในร้อย (10 −2 )

แนวคิดของ0เป็นตัวเลขที่เทียบได้กับตัวเลขพื้นฐานอื่นๆ มีความสำคัญต่อสัญกรณ์นี้ เช่นเดียวกับแนวคิดของการใช้ 0 เป็นตัวยึดตำแหน่ง และเช่นเดียวกับคำจำกัดความของการคูณและการบวกด้วย 0 การใช้ 0 เป็นตัวยึดตำแหน่งและ ดังนั้น การใช้สัญกรณ์ระบุตำแหน่งจึงได้รับการยืนยันเป็นครั้งแรกใน ข้อความ เชนจากอินเดียเรื่องโลกวิภากา ลงวันที่ 458 AD และในช่วงต้นศตวรรษที่ 13 เท่านั้นที่มีการแนะนำ แนวคิดเหล่านี้ซึ่งถ่ายทอดผ่าน ทุนของโลกอาหรับเข้าสู่ยุโรปโดยฟีโบนักชี[11]โดยใช้ระบบเลขฮินดู-อารบิก

อัลกอริทึมประกอบด้วยกฎทั้งหมดสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์โดยใช้ตัวเลขที่เป็นลายลักษณ์อักษรประเภทนี้ ตัวอย่างเช่น การบวกทำให้เกิดผลรวมของตัวเลขสองจำนวนโดยพลการ ผลลัพธ์คำนวณโดยการบวกเลขหลักเดียวซ้ำๆ จากแต่ละตัวเลขที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกัน เริ่มจากขวาไปซ้าย ตารางเพิ่มเติมที่มีสิบแถวและสิบคอลัมน์จะแสดงค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับแต่ละผลรวม หากผลรวมแต่ละรายการเกินค่า 9 ผลลัพธ์จะแสดงเป็นตัวเลขสองหลัก หลักขวาสุดคือค่าของตำแหน่งปัจจุบัน และผลลัพธ์สำหรับการเพิ่มหลักทางด้านซ้ายครั้งถัดไปจะเพิ่มขึ้นตามค่าของหลักที่สอง (ซ้ายสุด) ซึ่งจะเป็นหนึ่งเสมอ (ถ้าไม่ใช่ศูนย์) การปรับค่าใช้จ่ายนี้เรียกว่าการพกพามูลค่า 1

กระบวนการคูณเลขสองจำนวนโดยพลการนั้นคล้ายกับกระบวนการบวก ตารางสูตรคูณที่มีสิบแถวและสิบคอลัมน์แสดงผลลัพธ์สำหรับตัวเลขแต่ละคู่ หากผลคูณของตัวเลขคู่หนึ่งเกิน 9 การปรับ การพกพาจะเพิ่มผลลัพธ์ของการคูณภายหลังจากหลักไปทางซ้ายด้วยค่าที่เท่ากับหลักที่สอง (ซ้ายสุด) ซึ่งเป็นค่าใดๆ ตั้งแต่1 ถึง 8 ( 9 × 9 = 81 ). ขั้นตอนเพิ่มเติมกำหนดผลลัพธ์สุดท้าย

มีเทคนิคที่คล้ายกันสำหรับการลบและการหาร

การสร้างกระบวนการที่ถูกต้องสำหรับการคูณขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างค่าของตัวเลขที่อยู่ติดกัน ค่าสำหรับหลักเดียวในตัวเลขขึ้นอยู่กับตำแหน่ง นอกจากนี้ แต่ละตำแหน่งทางด้านซ้ายแสดงถึงค่าที่มากกว่าตำแหน่งทางด้านขวาสิบเท่า ในทางคณิตศาสตร์เลขชี้กำลังของฐาน (ฐาน) ของ 10 เพิ่มขึ้น 1 (ทางซ้าย) หรือลดลง 1 (ทางขวา) ดังนั้น ค่าของตัวเลขใดๆ ก็ตามจะถูกคูณด้วยค่าของรูปแบบ 10 nที่มีจำนวนเต็ม n รายการค่าที่สอดคล้องกับตำแหน่งที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับตัวเลขหลักเดียวเขียนเป็น {..., 10 2 , 10, 1, 10 −1 , 10 −2 , ...}

การคูณค่าใดๆ ในรายการนี้ซ้ำด้วย 10 จะสร้างค่าอื่นในรายการ ในคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ คุณลักษณะนี้ถูกกำหนดให้เป็นclosureและรายการก่อนหน้านี้ถูกอธิบายว่า ปิดภาย ใต้การคูณ เป็นพื้นฐานในการหาผลคูณได้อย่างถูกต้องโดยใช้เทคนิคเดิม ผลลัพธ์นี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของการใช้ทฤษฎีจำนวน

เลขคณิตหน่วยผสม

สารประกอบ[12]หน่วยเลขคณิตคือการประยุกต์ใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับ ปริมาณ ฐานผสมเช่นฟุตและนิ้ว แกลลอนและไพน์; ปอนด์ ชิลลิง และเพนนี; และอื่นๆ ก่อนระบบเงินที่เป็นฐานทศนิยมและหน่วยวัด การคำนวณหน่วยคำนวณแบบผสมถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการค้าและอุตสาหกรรม

การคำนวณทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐาน

เทคนิคที่ใช้ในการคำนวณหน่วยผสมได้รับการพัฒนามาเป็นเวลาหลายศตวรรษและได้รับการบันทึกไว้อย่างดีในตำราเรียนในภาษาต่างๆ มากมาย [13] [14] [15] [16]นอกจากฟังก์ชันเลขคณิตพื้นฐานที่พบในเลขคณิตทศนิยมแล้ว หน่วยเลขคณิตประกอบยังใช้ฟังก์ชันเพิ่มเติมอีกสามฟังก์ชัน:

  • Reductionซึ่งปริมาณทบต้นจะลดลงเหลือปริมาณเดียว ตัวอย่างเช่น การแปลงระยะทางที่แสดงเป็นหลา ฟุต และนิ้วเป็นหนึ่งแสดงเป็นนิ้ว [17]
  • การขยายฟังก์ชันผกผันกับการลดลง คือการแปลงปริมาณที่แสดงเป็นหน่วยวัดเดียวเป็นหน่วยผสม เช่น การขยาย 24 ออนซ์เป็น1 ปอนด์ 8 ออนซ์
  • การทำให้เป็น มาตรฐานคือการแปลงชุดของหน่วยผสมเป็นรูปแบบมาตรฐาน—เช่น การเขียนใหม่ " 1 ฟุต 13 ใน " เป็น " 2 ft 1 ใน "

ความรู้เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างหน่วยวัดต่างๆ ตัวคูณและตัวคูณย่อยของหน่วยวัดเป็นส่วนสำคัญของเลขคณิตหน่วยผสม

หลักการคำนวณหน่วยผสม

มีวิธีพื้นฐานสองวิธีในการคำนวณหน่วยผสม:

  • วิธีการลด–การขยาย โดยที่ตัวแปรหน่วยผสมทั้งหมดถูกลดเป็นตัวแปรหน่วยเดียว การคำนวณที่ดำเนินการ และผลลัพธ์ขยายกลับไปยังหน่วยผสม วิธีนี้เหมาะสำหรับการคำนวณอัตโนมัติ ตัวอย่างทั่วไปคือการจัดการเวลาโดยMicrosoft Excelซึ่งช่วงเวลาทั้งหมดจะได้รับการประมวลผลภายในเป็นวันและเศษทศนิยมของวัน
  • วิธีการทำให้เป็นมาตรฐานอย่างต่อเนื่องซึ่งแต่ละหน่วยได้รับการปฏิบัติแยกจากกันและปัญหาจะได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานอย่างต่อเนื่องเมื่อโซลูชันพัฒนาขึ้น แนวทางนี้ ซึ่งมีการอธิบายอย่างกว้างขวางในตำราคลาสสิก เหมาะที่สุดสำหรับการคำนวณด้วยตนเอง ตัวอย่างของวิธีการทำให้เป็นมาตรฐานอย่างต่อเนื่องซึ่งใช้กับการเติมมีดังแสดงด้านล่าง
MixedUnitAddition.svg

การดำเนินการเพิ่มเติมจะดำเนินการจากขวาไปซ้าย ในกรณีนี้ เพนนีจะถูกประมวลผลก่อน แล้วจึงชิลลิงตามด้วยปอนด์ ตัวเลขใต้ "บรรทัดคำตอบ" เป็นผลลัพธ์ที่เป็นกลาง

ผลรวมในคอลัมน์เพนนีคือ 25 เนื่องจากมี 12 เพนนีในชิลลิง 25 หารด้วย 12 เพื่อให้ 2 เหลือเศษ 1 ค่า "1" จะถูกเขียนลงในแถวคำตอบและค่า "2" ส่งต่อไปยังคอลัมน์ชิลลิง การดำเนินการนี้ทำซ้ำโดยใช้ค่าในคอลัมน์ชิลลิง โดยมีขั้นตอนเพิ่มเติมในการเพิ่มมูลค่าที่ยกไปข้างหน้าจากคอลัมน์เพนนี ยอดรวมขั้นกลางหารด้วย 20 เนื่องจากมี 20 ชิลลิงในหนึ่งปอนด์ คอลัมน์ปอนด์จะได้รับการประมวลผล แต่เนื่องจากปอนด์เป็นหน่วยที่ใหญ่ที่สุดที่มีการพิจารณา จึงไม่มีการยกค่าไปข้างหน้าจากคอลัมน์ปอนด์

เพื่อความเรียบง่าย ตัวอย่างที่เลือกไม่ได้มีอะไรไกล

ปฏิบัติการในทางปฏิบัติ

มาตราส่วนสอบเทียบในหน่วยอิมพีเรียลพร้อมการแสดงต้นทุนที่เกี่ยวข้อง

ในช่วงศตวรรษที่ 19 และ 20 มีการพัฒนาเครื่องมือช่วยต่างๆ เพื่อช่วยในการจัดการหน่วยผสม โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการใช้งานเชิงพาณิชย์ ความช่วยเหลือที่พบบ่อยที่สุดคือการไถพรวนทางกลซึ่งได้รับการดัดแปลงในประเทศต่างๆ เช่น สหราชอาณาจักรเพื่อรองรับปอนด์ ชิลลิง เพนนี และฟาร์ธิงส์ และ นักคำนวณ พร้อมซึ่งเป็นหนังสือที่มุ่งเป้าไปที่ผู้ค้าที่จัดทำรายการผลลัพธ์ของการคำนวณตามปกติต่างๆ เช่น เปอร์เซ็นต์หรือ ทวีคูณของจำนวนเงินต่างๆ หนังสือเล่มเล็กทั่วไปเล่มหนึ่ง[18]ที่มีจำนวนหน้า 150 หน้าแบบตารางทวีคูณ "จากหนึ่งถึงหมื่นที่ราคาต่างๆ ตั้งแต่หนึ่งถึงหนึ่งปอนด์"

ลักษณะที่ยุ่งยากของการคำนวณหน่วยผสมเป็นที่รู้กันมานานหลายปีแล้ว—ในปี ค.ศ. 1586 Simon Stevin นักคณิตศาสตร์ชาวเฟลมิช ได้ตีพิมพ์จุลสารขนาดเล็กชื่อDe Thiende ("ที่สิบ") [19]ซึ่งเขาได้ประกาศการนำเหรียญกษาปณ์แบบทศนิยมมาใช้เป็นสากล การวัด และน้ำหนักเป็นเพียงคำถามของเวลา ในยุคปัจจุบัน โปรแกรมการแปลงจำนวนมาก เช่น ที่รวมอยู่ในเครื่องคำนวณระบบปฏิบัติการ Microsoft Windows 7 จะแสดงหน่วยผสมในรูปแบบทศนิยมแบบย่อแทนที่จะใช้รูปแบบขยาย (เช่น "2.5 ฟุต" จะแสดงแทน"2 ฟุต 6") ใน" )

ทฤษฎีจำนวน

จนถึงศตวรรษที่ 19 ทฤษฎีจำนวนเป็นคำพ้องความหมายของ "เลขคณิต" ปัญหาที่กล่าวถึงนั้นเกี่ยวข้องโดยตรงกับการดำเนินการพื้นฐานและความเป็นมาเบื้องต้น การหารและการแก้สมการในจำนวนเต็มเช่นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ปรากฏว่าปัญหาเหล่านี้ส่วนใหญ่แม้จะเป็นระดับประถมศึกษาถึงระดับประถมศึกษา แต่ก็ยากมากและอาจแก้ไขไม่ได้หากไม่มีคณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้งมากซึ่งเกี่ยวข้องกับแนวคิดและวิธีการจากสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ สิ่งนี้นำไปสู่สาขาใหม่ของทฤษฎีจำนวน เช่น ทฤษฎีจำนวนวิเคราะห์ ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์และเรขาคณิตเชิงพีชคณิต. การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ของไวลส์เป็นตัวอย่างทั่วไปของความจำเป็นของวิธีการที่ซับซ้อน ซึ่งไปไกลกว่าวิธีการทางคณิตศาสตร์แบบคลาสสิก สำหรับการแก้ปัญหาที่สามารถระบุได้ในเลขคณิตเบื้องต้น

เลขคณิตในการศึกษา

การศึกษาระดับประถมศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์มักให้ความสำคัญกับอัลกอริทึมสำหรับเลขคณิตของจำนวนธรรมชาติ เลขจำนวนเต็มเศษส่วนและทศนิยม ( โดยใช้ระบบค่าตำแหน่งทศนิยม) การศึกษานี้บางครั้งเรียกว่าอัลกอริทึม

ความยากและลักษณะที่ปรากฏของอัลกอริธึมเหล่านี้ทำให้นักการศึกษาตั้งคำถามกับหลักสูตรนี้มาช้านาน โดยสนับสนุนการสอนเบื้องต้นเกี่ยวกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เป็นศูนย์กลางและเป็นธรรมชาติมากขึ้น การเคลื่อนไหวที่โดดเด่นอย่างหนึ่งในทิศทางนี้คือNew Mathของทศวรรษ 1960 และ 1970 ซึ่งพยายามสอนเลขคณิตด้วยจิตวิญญาณของการพัฒนาแบบสัจพจน์จากทฤษฎีเซต ซึ่งเป็นเสียงสะท้อนของแนวโน้มในวิชาคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น (20)

นอกจากนี้ นักวิชาการอิสลามยังใช้เลขคณิตเพื่อสอนการประยุกต์ใช้คำวินิจฉัยที่เกี่ยวข้องกับซะกา ต และอิรฺสิ่งนี้ทำในหนังสือชื่อThe Best of Arithmeticโดย Abd-al-Fattah-al-Dumyati (21)

หนังสือเล่มนี้เริ่มต้นด้วยพื้นฐานทางคณิตศาสตร์และนำไปประยุกต์ใช้ในบทต่อๆ ไป

ดูสิ่งนี้ด้วย

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

หมายเหตุ

  1. ^ a b "เลขคณิต" . สารานุกรมบริแทนนิกา . สืบค้นเมื่อ2020-08-25 .
  2. ^ a b "คำจำกัดความของเลขคณิต" . mathsisfun.com _ สืบค้นเมื่อ2020-08-25 .
  3. Davenport, Harold , The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers (7th ed.), Cambridge University Press, Cambridge, 1999, ISBN 0-521-63446-6 . 
  4. รัดแมน, ปีเตอร์ สตรอม (2007). คณิตศาสตร์เกิดขึ้นได้อย่างไร: 50,000 ปีแรก หนังสือโพรมีธีอุส หน้า 64 . ISBN 978-1-59102-477-4.
  5. ผลงานของอาร์คิมิดีสบทที่ 4เลขคณิตในอาร์คิมิดีสแก้ไขโดย TL Heath, Dover Publications Inc, New York, 2002
  6. โจเซฟ นีดแฮม,วิทยาศาสตร์และอารยธรรมในประเทศจีน , ฉบับที่. 3 หน้า 9 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ 2502
  7. ข้อมูลอ้างอิง: Revue de l'Orient Chretien โดย François Nau pp. 327–338 (1929)
  8. ข้อมูลอ้างอิง: Sigler, L., "Fibonacci's Liber Abaci", Springer, 2003
  9. แทปสัน, แฟรงค์ (1996). พจนานุกรมการศึกษาคณิตศาสตร์ออกซ์ฟอร์สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด. ISBN 0-19-914551-2.
  10. ^ "ฟังก์ชัน Python divmod () " โรงเรียนW3School ข้อมูลอ้างอิง สืบค้นเมื่อ2021-03-13 .
  11. เลโอนาร์โด ปิซาโน – พี. 3: "การมีส่วนร่วมในทฤษฎีจำนวน" ถูก เก็บถาวร 2008-06-17 ที่Wayback Machine Encyclopædia Britannica Online, 2006. สืบค้นเมื่อ 18 กันยายน 2549.
  12. วอล์คคาม, ฟรานซิส (1860). "สหายของติวเตอร์ หรือ เลขคณิตปฏิบัติสมบูรณ์" (PDF ) Webb, Millington & Co. หน้า 24–39 เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2015-05-04
  13. ปาเลโซ เจเอฟจี (ตุลาคม 1816) Métrologie universelle, ancienne et moderne: ou rapport des poids et mesures des Empires, royaumes, duchés et principautés des quatre parties du monde [ มาตรวิทยาโบราณและสมัยใหม่: หรือรายงานการชั่งน้ำหนักและการวัดของจักรวรรดิ อาณาจักร ขุนนางและอาณาเขตทั้งหมด ส่วนต่างๆ ของโลก ] (เป็นภาษาฝรั่งเศส). บอร์ กโด ซ์ สืบค้นเมื่อ30 ตุลาคม 2011 .
  14. เจคอบ เดอ เกลเดอร์ (1824). Allereerste Gronden der Cijferkunst [ Introduction to Numeracy ] (ในภาษาดัตช์). Gravenhage และ Amsterdam: de Gebroeders van Cleef น. 163–176. เก็บจากต้นฉบับเมื่อ 5 ตุลาคม 2015 . สืบค้นเมื่อ2 มีนาคม 2011 .
  15. มาเลเซ, เฟอร์ดินานด์ (1842). Theoretisch-Praktischer Unterricht im Rechnen für die niederen Classen der Regimentsschulen der Königl. ไบเออร์. Infantrie und Cavalerie [ การสอนภาคทฤษฎีและภาคปฏิบัติในวิชาเลขคณิตสำหรับชนชั้นล่างของ Royal Bavarian Infantry and Cavalry School ] (ภาษาเยอรมัน) มิวนิค. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 25 กันยายน 2555 . สืบค้นเมื่อ20 มีนาคม 2555 .
  16. สารานุกรมบริแทนนิกา , vol. I, เอดินบะระ, 1772, Arithmetic
  17. วอล์คคาม, ฟรานซิส (1860). "สหายของติวเตอร์ หรือ เลขคณิตปฏิบัติสมบูรณ์" (PDF ) Webb, Millington & Co. หน้า 43–50 เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2015-05-04
  18. ^ ทอมสัน เจ (1824) Ready Reckoner ในรูปแบบย่อส่วนที่มีตารางที่แม่นยำตั้งแต่หนึ่งถึงหลักพันในราคาต่างๆ ตั้งแต่หนึ่งถึง หนึ่งปอนด์ มอนทรีออล. ISBN 9780665947063. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 28 กรกฎาคม 2556 . สืบค้นเมื่อ25 มีนาคม 2555 .
  19. โอคอนเนอร์ จอห์น เจ. ; Robertson, Edmund F. (มกราคม 2547), "เลขคณิต" , MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews
  20. ^ ถูกต้องทางคณิตศาสตร์: อภิธานศัพท์ของข้อกำหนด
  21. ↑ al- Dumyati , Abd-al-Fattah Bin Abd-al-Rahman al-Banna (1887) "ที่สุดของเลขคณิต" . ห้องสมุดดิจิตอลโลก (ภาษาอาหรับ) . สืบค้นเมื่อ30 มิถุนายน 2556 .

อ้างอิง

ลิงค์ภายนอก