ค่าสัมบูรณ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทาง ข้ามไปที่การค้นหา

กราฟ ของ ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์สำหรับจำนวนจริง
ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขอาจมองว่าเป็นระยะทางจากศูนย์

ในวิชาคณิตศาสตร์ค่าสัมบูรณ์หรือโมดูลัสของจำนวนจริง , หมายถึง,เป็นค่าที่ไม่เป็นลบของโดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมายของ มัน กล่าวคือถ้าxเป็นจำนวนบวกและถ้าเป็นค่าลบ (ในกรณีที่ปฏิเสธทำให้บวก) และ. ตัวอย่างเช่น ค่าสัมบูรณ์ของ 3 คือ 3และค่าสัมบูรณ์ของ -3 คือ3ด้วย ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขอาจถือว่าเป็นระยะทางจากศูนย์

ลักษณะทั่วไปของค่าสัมบูรณ์สำหรับจำนวนจริงเกิดขึ้นในการตั้งค่าทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น ค่าสัมบูรณ์ถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนเชิงซ้อนquaternionsวงแหวนสั่งฟิลด์และช่องว่างเวกเตอร์ ค่าสัมบูรณ์มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องขนาดระยะทางและบรรทัดฐานในบริบททางคณิตศาสตร์และกายภาพต่างๆ

คำศัพท์และสัญกรณ์

ในปี ค.ศ. 1806 ฌอง-โรเบิร์ต อาร์แกนด์ ได้แนะนำคำว่าโมดูลซึ่งหมายถึงหน่วยวัดในภาษาฝรั่งเศส โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับค่าสัมบูรณ์เชิงซ้อนเชิงซ้อน[1] [2] และมันถูกยืมเป็นภาษาอังกฤษในปี 2409 เป็น โมดูลัสเทียบเท่าภาษาละติน [1]คำว่าค่าสัมบูรณ์ถูกนำมาใช้ในแง่นี้ตั้งแต่อย่างน้อย 1806 ในภาษาฝรั่งเศส[3]และ 1857 ในภาษาอังกฤษ [4]สัญกรณ์| x | โดยมีแถบแนวตั้งอยู่แต่ละด้าน ได้รับการแนะนำโดยKarl Weierstrassในปี ค.ศ. 1841 [5]ชื่ออื่นๆ สำหรับค่าสัมบูรณ์ประกอบด้วยค่าตัวเลข[1 ] และขนาด [1]ในภาษาโปรแกรมและแพ็คเกจซอฟต์แวร์คำนวณ โดยทั่วไปค่าสัมบูรณ์ของxจะแทนด้วย, หรือนิพจน์ที่คล้ายกัน abs(x)

สัญกรณ์แถบแนวตั้งยังปรากฏในบริบททางคณิตศาสตร์อื่นๆ อีกจำนวนหนึ่ง เช่น เมื่อนำไปใช้กับเซต จะระบุคา ร์ดินาลลิตี้ ของ มัน เมื่อนำไปใช้กับเมทริกซ์มันแสดงถึง ดีเทอร์มี แนนต์ ของมัน แท่งแนวตั้งแสดงถึงค่าสัมบูรณ์สำหรับออบเจกต์เกี่ยวกับพีชคณิตที่มีการกำหนดแนวคิดของค่าสัมบูรณ์เท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งองค์ประกอบของพีชคณิตการหารแบบปกติ ตัวอย่างเช่น จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน หรือควอเตอร์เนียน สัญกรณ์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดแต่ชัดเจนคือการใช้แท่งแนวตั้งสำหรับบรรทัดฐานแบบยุคลิด[6]หรือบรรทัดฐานสนับสนุน[7]ของเวกเตอร์ในถึงแม้ว่าแถบแนวตั้งสองเท่าพร้อมตัวห้อย( และตามลำดับ) เป็นสัญกรณ์ทั่วไปและคลุมเครือน้อยกว่า

ความหมายและคุณสมบัติ

ตัวเลขจริง

สำหรับจำนวนจริง ใดๆ , ค่าสัมบูรณ์หรือโมดูลัส ของแสดงโดยโดยมีแถบแนวตั้งอยู่แต่ละด้านของปริมาณ และถูกกำหนดเป็น[8]

ค่าสัมบูรณ์ของจึงเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ แต่ไม่เคยเป็นลบ เมื่อไหร่ตัวเองเป็นลบ()ดังนั้นค่าสัมบูรณ์จึงจำเป็นต้องเป็นบวก().

จาก มุมมองของ เรขาคณิตวิเคราะห์ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงคือระยะห่าง ของตัวเลขนั้น จากศูนย์ตามเส้นจำนวนจริงและโดยทั่วไป ค่าสัมบูรณ์ของผลต่างของจำนวนจริงสองจำนวนคือระยะห่างระหว่างกัน แนวคิดของฟังก์ชันระยะทาง นามธรรม ในวิชาคณิตศาสตร์สามารถเห็นได้ว่าเป็นลักษณะทั่วไปของค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่าง (ดู"ระยะทาง"ด้านล่าง)

เนื่องจากสัญลักษณ์ราก ที่สอง แสดงถึงรากที่สองที่เป็นค่าบวกเมื่อนำไปใช้กับจำนวนบวก จะเป็นไปตามนั้น

ซึ่งเทียบเท่ากับคำจำกัดความข้างต้น และอาจใช้เป็นคำจำกัดความทางเลือกของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง [9]

ค่าสัมบูรณ์มีคุณสมบัติพื้นฐานสี่ประการต่อไปนี้ ( a , bเป็นจำนวนจริง) ซึ่งใช้สำหรับการวางนัยทั่วไปของแนวคิดนี้กับโดเมนอื่น:

ไม่เป็นลบ
บวก-ความแน่นอน
การคูณ
Subadditivityโดยเฉพาะความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

การไม่ปฏิเสธ ความแน่นอนเชิงบวก และการทวีคูณนั้นชัดเจนจากคำจำกัดความ เพื่อที่จะเห็นว่า subadditivity นั้นมีอยู่ ก่อนอื่นให้สังเกตว่า ที่ไหนโดยเลือกเครื่องหมายเพื่อให้ผลเป็นบวก ตอนนี้ตั้งแต่ และ,มันตามว่า, แล้วแต่อย่างใดของเป็นค่าของ,หนึ่งมีอย่างแท้จริง. เพราะเหตุนี้,ได้ตามต้องการ

คุณสมบัติที่มีประโยชน์เพิ่มเติมบางอย่างแสดงไว้ด้านล่าง สิ่งเหล่านี้เป็นผลที่ตามมาในทันทีของคำจำกัดความหรือโดยนัยโดยคุณสมบัติพื้นฐานสี่ประการข้างต้น

Idempotence (ค่าสัมบูรณ์ของค่าสัมบูรณ์คือค่าสัมบูรณ์)
ความสม่ำเสมอ ( สมมาตรสะท้อนของกราฟ)
เอกลักษณ์ของสิ่งที่มองไม่เห็น (เทียบเท่ากับความแน่นอนในเชิงบวก)
ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม (เทียบเท่ากับ subadditivity)
(ถ้า) การคงไว้ซึ่งการหาร (เทียบเท่ากับการทวีคูณ)
ย้อนกลับความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม (เทียบเท่ากับ subadditivity)

คุณสมบัติที่มีประโยชน์อื่น ๆ อีกสองประการเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันคือ:

หรือ

ความสัมพันธ์เหล่านี้อาจใช้เพื่อแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับค่าสัมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น:

ค่าสัมบูรณ์ในฐานะ "ระยะทางจากศูนย์" ใช้เพื่อกำหนดความแตกต่างสัมบูรณ์ระหว่างจำนวนจริงตามอำเภอใจ ซึ่งเป็นตัวชี้วัด มาตรฐาน ของจำนวนจริง

ตัวเลขที่ซับซ้อน

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน คือระยะทาง ของจากแหล่งกำเนิด ในรูปยังเห็นอยู่ว่าและคอนจูเกตที่ซับซ้อน มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน

เนื่องจากไม่ได้เรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนคำจำกัดความที่กำหนดที่ด้านบนสุดสำหรับค่าสัมบูรณ์ที่แท้จริงจึงไม่สามารถใช้กับจำนวนเชิงซ้อนได้โดยตรง อย่างไรก็ตาม การตีความทางเรขาคณิตของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงที่ระยะห่างจาก 0 สามารถสรุปได้ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดโดยระยะทางแบบยุคลิดของจุดที่สอดคล้องกันในระนาบเชิงซ้อนจากจุดกำเนิด สามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส : สำหรับจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

ที่ไหนและเป็นจำนวนจริงค่าสัมบูรณ์หรือโมดูลัส ของแสดงว่าและถูกกำหนดโดย[10]
การบวกพีทาโกรัสของและ, ที่ไหนและหมายถึงส่วนจริงและจินตภาพของตามลำดับ เมื่อส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ ซึ่งตรงกับนิยามของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง.

เมื่อจำนวนเชิงซ้อนแสดงในรูปขั้ว เป็นค่าสัมบูรณ์ของมันคือ

เนื่องจากผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนใดๆและคอนจูเกตที่ซับซ้อน โดยมีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน จะเป็นจำนวนจริงไม่เป็นลบเสมอ,ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนเป็นรากที่สองของ ซึ่งจึงเรียกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสสัมบูรณ์หรือโมดูลัสกำลังสอง ของ:

นี่เป็นการสรุปคำจำกัดความทางเลือกสำหรับจำนวนจริง:.

ค่าสัมบูรณ์เชิงซ้อนจะแบ่งปันคุณสมบัติพื้นฐานสี่ประการที่ให้ไว้ข้างต้นสำหรับค่าสัมบูรณ์ที่แท้จริง

ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

กราฟ ของ ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์สำหรับจำนวนจริง
องค์ประกอบของค่าสัมบูรณ์ที่มีฟังก์ชันลูกบาศก์ในลำดับที่ต่างกัน

ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ที่แท้จริงจะต่อเนื่องในทุกที่ มัน หา อนุพันธ์ ได้ทุก ที่ยกเว้นx = 0 มันลดลงแบบโมโนโทนในช่วงเวลา(−∞, 0]และเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนในช่วงเวลา[0, +∞ ) เนื่องจากจำนวนจริงและค่าตรงข้ามมีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน จึงเป็นฟังก์ชันคู่ และด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถย้อนกลับได้ ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ที่แท้จริงคือ ฟังก์ชัน นูนเชิง เส้นตรง เป็นชิ้น ๆ

สำหรับทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์คือidempotent (หมายความว่าค่าสัมบูรณ์ของค่าสัมบูรณ์ใดๆ ก็คือตัวมันเอง)

ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันเครื่องหมาย

ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงจะส่งกลับค่าโดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมาย ในขณะที่ฟังก์ชันเครื่องหมาย (หรือซิกนัม)ส่งคืนค่าเครื่องหมายของตัวเลขโดยไม่คำนึงถึงค่าของตัวเลข สมการต่อไปนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันทั้งสองนี้:

หรือ

และสำหรับx ≠ 0 ,

อนุพันธ์

ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์จริงมีอนุพันธ์ของทุกๆx ≠ 0แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่x = 0 อนุพันธ์ของx ≠ 0ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันขั้นตอน : [11] [12]

ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์จริงเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่องที่บรรลุค่าต่ำสุดทั่วโลกโดยที่ไม่มีอนุพันธ์

ความแตกต่างย่อยของ  | x | ที่  x = 0คือช่วงเวลา [-1, 1] . [13]

ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์เชิงซ้อน จะต่อเนื่องในทุกที่ แต่ ไม่มีอนุพันธ์เชิงซ้อน เนื่องจากละเมิดสมการของCauchy –Riemann (11)

อนุพันธ์อันดับสองของ  | x | เทียบกับ  xเป็นศูนย์ทุกที่ยกเว้นศูนย์ซึ่งไม่มีอยู่จริง ในฐานะที่เป็นฟังก์ชันทั่วไปอนุพันธ์อันดับสองอาจเป็นสองเท่าของฟังก์ชันเดลต้าไดแร

แอนติเดริเวทีฟ

แอน ติเดริเวทีฟ (อินทิกรัลไม่แน่นอน) ของ ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์จริงคือ

โดยที่C คือ ค่าคงที่ของการรวมโดยพลการ นี่ไม่ใช่ แอนติเดริเวที ฟเชิงซ้อน เนื่องจากแอนติเดริเวทีฟเชิงซ้อน สามารถมีอยู่ได้เฉพาะสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อนที่มีความแตกต่างเชิงซ้อน ( โฮโลมอร์ฟิค) ซึ่งไม่มีฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์เชิงซ้อน

ระยะทาง

ค่าสัมบูรณ์สัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องระยะทาง ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนคือระยะห่างจากจำนวนนั้นไปยังจุดกำเนิด ตามเส้นจำนวนจริง สำหรับจำนวนจริง หรือในระนาบเชิงซ้อนสำหรับจำนวนเชิงซ้อน และโดยทั่วไปแล้ว ค่าสัมบูรณ์ ของผลต่างของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนสองตัวคือระยะห่างระหว่างกัน

ระยะมาตรฐานแบบยุคลิดระหว่างจุดสองจุด

และ

ในEuclidean n -spaceถูกกำหนดเป็น:

นี้สามารถเห็นได้เป็นลักษณะทั่วไปตั้งแต่สำหรับและจริงคือใน 1-space ตามคำจำกัดความทางเลือกของค่าสัมบูรณ์

และสำหรับและจำนวนเชิงซ้อน เช่น ในช่องว่าง 2 ช่อง

ด้านบนแสดงให้เห็นว่า "ค่าสัมบูรณ์" - ระยะทางสำหรับจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน สอดคล้องกับระยะทางมาตรฐานแบบยุคลิดซึ่งพวกมันได้รับมาจากการพิจารณาว่าเป็นช่องว่างแบบยุคลิดหนึ่งและสองมิติ ตามลำดับ

คุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์ของผลต่างของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน: ค่าที่ไม่ใช่ค่าลบ เอกลักษณ์ของค่าที่ไม่ระบุตัวตน ความสมมาตร และความไม่เท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมที่ให้ไว้ข้างต้น สามารถมองเห็นได้เพื่อกระตุ้นแนวคิดทั่วไปของฟังก์ชันระยะทางดังนี้

ฟังก์ชันที่มีค่าจริงdในชุดX  ×  Xเรียกว่าmetric (หรือฟังก์ชันระยะทาง ) บน  Xหากเป็นไปตามสัจพจน์สี่ประการต่อไปนี้: [14]

ไม่เป็นลบ
เอกลักษณ์ของสิ่งที่มองไม่เห็น
สมมาตร
อสมการสามเหลี่ยม

ลักษณะทั่วไป

สั่งซื้อแหวน

คำจำกัดความของค่าสัมบูรณ์ที่กำหนดสำหรับจำนวนจริงข้างต้นสามารถขยายไปยังวงแหวนที่สั่งได้ นั่นคือถ้า  aเป็นองค์ประกอบของแหวนที่สั่ง  Rดังนั้นค่าสัมบูรณ์ของ  aจะแสดงด้วย| a | , ถูกกำหนดให้เป็น: [15]

โดยที่aเป็นตัวผกผัน การบวก ของ  a 0 คือเอกลักษณ์ของการเติมและ < และ ≥ มีความหมายปกติในแง่ของลำดับในวงแหวน

ฟิลด์

คุณสมบัติพื้นฐานสี่ประการของค่าสัมบูรณ์สำหรับจำนวนจริงสามารถใช้ในการสรุปแนวคิดของค่าสัมบูรณ์ให้กับเขตข้อมูลที่กำหนดเองได้ดังนี้

ฟังก์ชันมูลค่าจริง  v บนฟิลด์F  เรียกว่าค่าสัมบูรณ์ (เช่นโมดูลัสขนาดค่าหรือค่า) [ 16]หากเป็นไปตามสัจพจน์สี่ประการต่อไปนี้:

ไม่เป็นลบ
บวก-ความแน่นอน
การคูณ
Subadditivity หรือความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

โดยที่0หมายถึงเอกลักษณ์ การ บวกของ  F ตามมาจากความแน่นอนเชิงบวกและการคูณที่v ( 1 ) = 1โดยที่1หมายถึงเอกลักษณ์การคูณของ  F ค่าสัมบูรณ์ที่แท้จริงและซับซ้อนที่กำหนดไว้ข้างต้นเป็นตัวอย่างของค่าสัมบูรณ์สำหรับฟิลด์ที่กำหนดเอง

ถ้าvเป็นค่าสัมบูรณ์ของ  Fดังนั้นฟังก์ชัน  dบนF  ×  Fซึ่งกำหนดโดยd ( a ,  b ) = v ( ab )เป็นหน่วยเมตริกและค่าที่เท่ากันต่อไปนี้:

  • dตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน ของ อุลตร้าเมตริกสำหรับx , y , zทั้งหมดใน  F
  • มีขอบเขตใน  R _
  • สำหรับทุกคน.
  • เพื่อทุกสิ่ง.
  • เพื่อทุกสิ่ง.

ค่าสัมบูรณ์ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้นใดๆ (ด้วยเหตุนี้ทั้งหมด) จึงเรียกว่าไม่ใช่อาร์คิมีดีน มิฉะนั้นจะเรียกว่า อาร์ คิ มีดี น [17]

ช่องว่างเวกเตอร์

คุณสมบัติพื้นฐานของค่าสัมบูรณ์สำหรับจำนวนจริงสามารถนำมาใช้อีกครั้งได้ โดยมีการปรับเปลี่ยนเล็กน้อย เพื่อสรุปแนวคิดไปสู่ปริภูมิเวกเตอร์ตามอำเภอใจ

ฟังก์ชันค่าจริงบนเวคเตอร์ สเปซ  Vบนฟิลด์  Fแสดงเป็น|| · || เรียกว่าค่าสัมบูรณ์แต่มักจะเป็นบรรทัดฐานมากกว่า หากเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้:

สำหรับ  aใน  Fทั้งหมด และv , uใน  V ,

ไม่เป็นลบ
บวก-ความแน่นอน
ความเป็นเนื้อเดียวกันในเชิงบวกหรือความสามารถในการปรับขยายในเชิงบวก
Subadditivity หรือความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

บรรทัดฐานของเวกเตอร์เรียกอีกอย่างว่า ความยาวหรือขนาดของมัน

ในกรณีของอวกาศแบบยุคลิด , ฟังก์ชั่นที่กำหนดโดย

เป็นบรรทัดฐานที่เรียกว่า บรรทัดฐาน แบบยุคลิด เมื่อตัวเลขจริงถือเป็นปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติค่าสัมบูรณ์เป็นบรรทัดฐานและเป็นp -norm (ดูL p space ) สำหรับ  p ใด ๆ อันที่จริงค่าสัมบูรณ์เป็นบรรทัดฐาน "เท่านั้น" บนในแง่ที่ว่าสำหรับทุกบรรทัดฐาน|| · || บน, || x || = || 1 || | x | .

ค่าสัมบูรณ์เชิงซ้อนเป็นกรณีพิเศษของบรรทัดฐานในพื้นที่ผลิตภัณฑ์ภายในซึ่งเหมือนกับบรรทัดฐานแบบยุคลิดเมื่อ มีการ ระบุระนาบเชิงซ้อน เป็น ระนาบแบบยุคลิด .

พีชคณิตองค์ประกอบ

ทุกองค์ประกอบพีชคณิตAมีการหมุนเวียน xx * เรียกว่า การผันคำกริยา ผลิตภัณฑ์ในAขององค์ประกอบxและคอนจูเกตx * เขียนว่าN ( x ) = xx * และเรียกว่าบรรทัดฐานของ x

ตัวเลขจริง, จำนวนเชิงซ้อนและควอเทอร์เนียนเป็นพีชคณิตองค์ประกอบทั้งหมดที่มีบรรทัดฐานที่กำหนดโดยรูปแบบกำลังสอง ที่ แน่นอน ค่าสัมบูรณ์ในพีชคณิตหาร เหล่านี้ กำหนดโดยสแควร์รูทของบรรทัดฐานพีชคณิตองค์ประกอบ

โดยทั่วไป บรรทัดฐานของพีชคณิตองค์ประกอบอาจเป็นรูปแบบกำลังสองที่ไม่แน่นอนและมีเวกเตอร์เป็น โมฆะ อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับในกรณีของพีชคณิตหาร เมื่อองค์ประกอบxมีบรรทัดฐานที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นxจะมีค่าผกผันการคูณ ที่ กำหนดโดยx */ N ( x )

หมายเหตุ

  1. ^ a b c d Oxford English Dictionary , Draft Revision, มิถุนายน 2008
  2. นาฮินโอคอนเนอร์ และโรเบิร์ตสันและ functions.Wolfram.com ; สำหรับความหมายภาษาฝรั่งเศส ดูที่ Littré , 1877
  3. Lazare Nicolas M. Carnot , Mémoire sur la Relation quiมีอยู่ entre les Distances ตามลำดับ de cinq point quelconques pris dans l'espace , p. 105ที่ Google หนังสือ
  4. James Mill Peirce, A Text-book of Analytic Geometry ที่ Internet Archive การอ้างอิงที่เก่าแก่ที่สุดในพจนานุกรม Oxford English ฉบับที่ 2 มาจากปี 1907 คำว่าค่าสัมบูรณ์ยังใช้ในทางตรงกันข้ามกับค่าสัมพัทธ์
  5. Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the Mathematical Sciences , SIAM. ISBN  0-89871-420-6 , น. 25
  6. สปิแวก, ไมเคิล (1965). แคลคูลัสบนท่อร่วมไอดี โบลเดอร์ โคโลราโด: Westview หน้า 1. ISBN 0805390219.
  7. มังเครส, เจมส์ (1991). การวิเคราะห์ Manifolds โบลเดอร์ โคโลราโด: Westview หน้า 4. ISBN 0201510359.
  8. ^ เมนเดลสัน,พี. 2 .
  9. สจ๊วต, เจมส์ บี. (2001). แคลคูลัส: แนวคิดและบริบท ออสเตรเลีย: บรู๊คส์/โคล ISBN 0-534-37718-1., พี. A5
  10. กอนซาเลซ, มาริโอ โอ. (1992). การ วิเคราะห์เชิงซ้อนคลาสสิก . ซีอาร์ซี เพรส. หน้า 19. ISBN 9780824784157.
  11. a b "Weisstein, Eric W. Absolute Value. From MathWorld – A Wolfram Web Resource" .
  12. บาร์เทิลและเชอร์เบิร์ต, พี. 163
  13. ↑ Peter Wriggers , Panagiotis Panatiotopoulos, eds., New Developments in Contact Problems , 1999, ISBN 3-211-83154-1 , p. 31–32 
  14. ^ สัจพจน์เหล่านี้มีไม่น้อย ตัวอย่างเช่น ค่าความไม่เป็นลบสามารถหาได้จากอีกสามค่าที่เหลือ: 0 = d ( a ,  a ) ≤ d ( a ,  b ) + d ( b ,  a ) = 2 d ( a ,  b )
  15. ^ แม็คเลนพี. 264 .
  16. ^ เชคเตอร์,พี. 260 . ความหมายของการประเมินมูลค่านี้หายาก โดยปกติ การประเมินมูลค่าจะเป็นลอการิทึมของค่าผกผันของค่าสัมบูรณ์
  17. ^ เชคเตอร์น. 260–261 .

อ้างอิง

ลิงค์ภายนอก