5

← 4 5 6 →
พระคาร์ดินัลห้า
ลำดับที่ 5 (ที่ห้า)
ระบบตัวเลขควินารี
การแยกตัวประกอบสำคัญ
นายกรัฐมนตรี3
ตัวหาร1,5
เลขกรีกเอ๋'
เลขโรมันวี, วี
คำนำหน้าภาษากรีกเพนตะ-/เพนตะ-
คำนำหน้าภาษาละตินquinque-/quinqu-/quint-
ไบนารี่101 2
เทอร์นารี12 3
วุฒิสภา5 6
เลขฐานแปด5 8
ทศนิยม5 12
เลขฐานสิบหก5 16
กรีกε (หรือ Ε)
อาหรับ , เคิร์ด٥
เปอร์เซีย , ซินธี , อูรดู۵
เกซ
เบงกาลี
กันนาดา
ปัญจาบ
เลขจีน
เทวนาครี
ภาษาฮีบรูฮะ
เขมร
เตลูกู
มาลายาลัม
ทมิฬ
แบบไทย

5 ( ห้า ) คือตัวเลขตัวเลขและหลัก_ เป็นจำนวนธรรมชาติและจำนวนนับ ที่ อยู่ถัดจาก4และอยู่ข้างหน้า6และเป็นจำนวนเฉพาะ ได้รับความสนใจตลอดประวัติศาสตร์ในส่วนหนึ่งเนื่องจากส่วน ปลาย สุด ของมนุษย์มักจะมีตัวเลข ห้าหลัก

วิวัฒนาการของเลขอารบิค

วิวัฒนาการของหลักตะวันตกสมัยใหม่สำหรับเลข 5 ไม่สามารถย้อนกลับไปที่ระบบอินเดียได้ เช่นเดียวกับเลข 1 ถึง 4 อาณาจักร กุษณะและกุปตะซึ่งปัจจุบันคืออินเดียมีหลายรูปแบบซึ่งไม่คล้ายคลึงกับสมัยใหม่ หลัก นาการีและปัญจาบใช้ตัวเลขเหล่านี้และทั้งหมดก็เกิดรูปแบบที่คล้ายกับตัว "h" ตัวพิมพ์เล็กที่หมุน 180° ชาวอาหรับกูบาร์เปลี่ยนตัวเลขในหลายวิธี โดยเริ่มจากตัวเลขที่คล้ายกับตัวเลข 4 หรือ 3 มากกว่าเป็น 5 [1]จากตัวเลขเหล่านั้น ในที่สุดชาวยุโรปก็เกิด 5 สมัยใหม่ขึ้นมา

ในขณะที่รูปร่างของอักขระสำหรับตัวเลข 5 มีการเลื่อนขึ้นในแบบอักษร สมัยใหม่ส่วนใหญ่ ในแบบอักษรที่มีตัวเลขข้อความสัญลักษณ์นั้นมักจะมีการเรียงจากมาก ไปน้อย ดังเช่น ใน.

บนจอแสดงผลเจ็ดส่วนของเครื่องคิดเลขและนาฬิกาดิจิตอล จะแสดงด้วยห้าส่วนโดยมีสี่รอบติดต่อกันจากบนลงล่าง โดยหมุนทวนเข็มนาฬิกาก่อน จากนั้นตามเข็มนาฬิกา และในทางกลับกัน เป็นหนึ่งในสามตัวเลข พร้อมด้วย 4 และ 6 โดยที่จำนวนส่วนตรงกับตัวเลข

คณิตศาสตร์

ทริปเปิลพีทาโกรัสตัวแรกโดยมีด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น

ห้าเป็นจำนวนเฉพาะ ที่เล็กที่สุด เป็นอันดับสาม และซุปเปอร์ไพรม์ ตัวที่ สอง [2]เป็นไพรม์ที่ปลอดภัย ตัวแรก [ 3] ไพรม์ดีตัวแรก[4] ไพรม์สมดุลตัวแรก[5]และเป็นไพรม์ตัวแรกจากสามไพรม์วิลสัน ที่รู้จัก [6]ห้าคือจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์ตัว ที่สอง [2] ไพรม์โพรทตัวที่สอง[ 7]และเลขชี้กำลังไพรม์เมอร์แซนตัว ที่สาม [8]เช่นเดียวกับเลขคาตาลัน ตัวที่สาม [9]และนายกคนที่สามของโซฟี เจอร์แมง [2]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง 5 เท่ากับผลรวมของจำนวน เฉพาะ ที่อยู่ติดกัน เพียงตัว เดียว2 + 3 และเป็นตัวเลขเดียวที่เป็นส่วนหนึ่งของ จำนวนเฉพาะคู่มากกว่าหนึ่งคู่( 3 , 5) และ (5, 7 ) [10] [11]นอกจาก นี้ยังสร้าง จำนวนเฉพาะเซ็กซี่คู่แรกด้วย11 , [12]ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ห้าและเลข Heegner [13]เช่นเดียวกับจำนวนเฉพาะตัว แรก ที่ แทน ค่าทศนิยม; ฐานที่ 5 ยังเป็นเลข 1- ออโตมอร์ฟิกตัว แรกที่ไม่ไม่สำคัญด้วย [ 14 ]ห้าคือไพรม์แฟคทอเรียล ตัวที่สาม [15]และ แฟกทอเรียล แบบสลับ [16]นอกจากนี้ยังเป็นไพรม์ไอเซนสไตน์ ด้วย (เช่น 11) ที่ไม่มีส่วนจินตภาพและ ส่วน ที่แท้จริงของรูปแบบ [2]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ห้าเป็นจำนวนที่เท่ากัน ทุกประการ เนื่องจากมันคือความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีจำนวนเต็มที่เล็กที่สุด [17]

ทฤษฎีจำนวน

5 คือเลขฟีโบนักชีลำดับ ที่ 5 ซึ่งก็คือ 2 บวก 3 [2]เป็นเลขฟีโบนักชีเพียงตัวเดียวที่เท่ากับตำแหน่ง นอกเหนือจาก1ซึ่งเป็นทั้งเลขฟีโบนักชีตัวแรกและตัวที่สอง ห้ายังเป็นเลขเพลล์และเลขมาร์คอฟซึ่งปรากฏในคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ของมาร์คอฟ: (1, 2, 5), (1, 5, 13 ), (2, 5, 29 ), (5, 13, 194 ), (5, 29, 433), ... ( OEIS : A030452แสดงรายการหมายเลข Markov ที่ปรากฏในผลเฉลย โดยที่หนึ่งในสองพจน์ที่เหลือคือ 5) ในขณะที่ 5 นั้นไม่ซ้ำกันในลำดับฟีโบนัชชี แต่ในลำดับเพอร์ริน 5 นั้นเป็นทั้งตัวเลขเพอร์รินที่ห้าและหก[18]

5 เป็นจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์ตัว ที่สอง ของรูปแบบและโดยทั่วไปคือจำนวน Sierpiński ตัวที่สองของชนิดแรก [19]มีจำนวนเฉพาะเฟอร์มาต์ที่รู้จักทั้งหมด 5 ตัว ซึ่งรวมถึง3 , 17 , 257 และ 65537 ด้วย [20]ผลรวมของจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์สามตัวแรก 3, 5และ 17 จะได้ 25 หรือ 5 2ในขณะที่ 257 เป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ 55 การรวมกันจากจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์ทั้งห้านี้จะสร้าง รูปหลายเหลี่ยม 31 รูปโดยมีด้านจำนวนคี่ซึ่งสามารถสร้างได้ด้วยเข็มทิศและขอบตรงเท่านั้นซึ่งรวมถึงรูปห้าเหลี่ยมปกติห้าเหลี่ยมด้วย [21] [22] : หน้า 137–142 สมมุติว่า 31 ก็เท่ากับผลรวมของจำนวนพื้นที่สูงสุดภายในวงกลมที่เกิดจากด้านข้างและเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมห้า ด้านแรก ซึ่งก็คือ เท่ากับจำนวนพื้นที่สูงสุดที่เกิดจากรูปหลายเหลี่ยมหกด้าน ต่อปัญหาวงกลมของโมเซอร์ [23] [22] : หน้า 76-78 

5 ยังเป็น เลขชี้กำลัง ไพรม์เมอร์แซนน์ตัว ที่สาม ของรูปแบบซึ่งให้ผลเป็นจำนวนเฉพาะตัวที่สิบเอ็ด และซุปเปอร์ไพรม์ตัวที่ ห้า [24] [2] นี่คือดัชนีเฉพาะของเมอร์แซนไพรม์ตัว ที่สาม และสอง ตัวที่สอง ของเมอร์แซนไพรม์127 , [25]เช่นเดียวกับเลขชี้กำลังไพรม์เมอร์แซนสองตัวตัวที่สามสำหรับจำนวน2,147,483,647 , [25]ซึ่งเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดที่ฟิลด์จำนวนเต็ม32 บิต ที่เซ็นชื่อ สามารถเก็บได้ มีเฉพาะจำนวนเฉพาะ Mersenne คู่ที่ทราบกันเพียงสี่ตัวเท่านั้น โดยที่จำนวนเฉพาะ Mersenne คู่ตัวที่ห้า= 2 23058...93951 − 1 ใหญ่เกินกว่าจะคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ปัจจุบัน ในลำดับที่เกี่ยวข้องกัน คำศัพท์ห้าคำแรกในลำดับของตัวเลขคาตาลัน–เมอร์แซน เป็น คำศัพท์เฉพาะที่ทราบเท่านั้น โดยมีตัวเลือกที่เป็นไปได้อันดับที่หกตามลำดับ 10 10 37.7094 ลำดับเฉพาะเหล่านี้คาดเดาได้ว่าจะเป็นลำดับเฉพาะจนถึงขีดจำกัดที่กำหนด

มีจำนวนสมบูรณ์ รวมที่รู้จักทั้งหมดห้า จำนวน ซึ่งเป็นตัวเลขที่เป็นผลรวมของตัวหารรวมที่เหมาะสม ที่เป็นบวก [26] [27]จำนวนที่น้อยที่สุดคือ 6 และค่าที่ใหญ่ที่สุดในจำนวนนี้เทียบเท่ากับผลรวมของตัวหาร 4095 ตัว โดยที่ 4095 เป็นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดในจำนวนห้าหมายเลขรามานุจัน- นาเจลล์ที่เป็นทั้งเลขสามเหลี่ยมและเลขเมอร์แซนในรูปแบบทั่วไป . [28] [29]ผลรวมของจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะห้าตัวแรกที่มากกว่าศูนย์1 + 4 + 6 + 8 + 9และจำนวนเฉพาะห้าตัวแรก2 +3 + 5 + 7 + 11ทั้งคู่เท่ากับ 28 ; เลขสามเหลี่ยมตัวที่ 7และเช่น 6 เป็นจำนวนสมบูรณ์ซึ่งรวมถึง 496 ด้วย ซึ่งเป็นจำนวนสามเหลี่ยม 31 ตัวแรกและจำนวนสมบูรณ์ของรูปแบบ()โดยมี aofตามทฤษฎีบทยุคลิด–ออยเลอร์ [30] [31] [32]ภายในตระกูลขนาดใหญ่ของจำนวนแร่140และ 496 ตามลำดับสมาชิกที่สี่และหกตามลำดับทั้งสองมีชุดตัวหารที่สร้างจำนวนเต็มฮาร์มอนิกหมายถึงเท่ากับ 5 [33] [34]ไพรม์เมอร์แซนน์ตัวที่ห้า8191 , [ 24]แบ่งออกเป็น 4095 และ4096โดยตัวหลังเป็นจำนวนสมบูรณ์ยิ่งที่ห้า [35]และกำลังหกของสี่ 4 6

คิดตัวเลขและตัวเลขมหัศจรรย์

ในการเป็นรูปเป็นร่างตัวเลข 5 เป็นตัวเลขห้าเหลี่ยมโดยมีลำดับของตัวเลขห้าเหลี่ยมเริ่มต้น: 1, 5 , 12, 22, 35, ... [36]

แฟกทอเรียลของห้าจะคูณเลขสมบูรณ์ได้เช่น 28 และ 496 [41]มันคือผลรวมของจำนวนเต็มบวกที่ไม่ใช่ศูนย์ 15 ตัวแรกกับเลขสามเหลี่ยมตัวที่ 15 ซึ่งในทางกลับกันคือผลรวมของจำนวนเต็มบวกที่ไม่ใช่ศูนย์5 ตัวแรกและ เลขสามเหลี่ยมตัวที่ 5 นอกจากนี้โดยที่125เป็นเลขตัวที่สองที่มีผลรวมลงตัวเป็น 31 (หลังเลขยกกำลัง ที่ห้า ของ2 , 32) [42] ด้วยตัว มัน เอง 31 เป็นเลขห้าเหลี่ยมที่มีศูนย์กลาง เฉพาะตัวแรก [43]และตัวที่ห้าจำนวนสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงกลาง [44]โดยรวมแล้ว ห้าและสามสิบเอ็ดสร้างผลรวมเป็น36 ( กำลังสองของ6 ) และผลต่างของ26ซึ่งเป็นตัวเลขเดียวที่อยู่ระหว่างสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับลูกบาศก์ (ตามลำดับ 25 และ27 ) [45]

ตัวเลข ห้าเหลี่ยมและจัตุรมุข ที่ห้า คือ35ซึ่งเท่ากับผลรวมของตัวเลขสามเหลี่ยมห้าตัวแรก: 1, 3, 6, 10, 15 [46]ในลำดับของตัวเลขห้าเหลี่ยมที่เริ่มต้นจากตัวเลขแรก (หรือที่ห้า) เซลล์ของแถวที่ห้าของสามเหลี่ยมปาสคาล (จากซ้ายไปขวาหรือจากขวาไปซ้าย) คำศัพท์สองสามคำแรกคือ: 1, 5, 15, 35, 70 , 126, 210, 330, 495, ... [47 ] สมาชิกห้าคนแรกในลำดับนี้บวกกับ126ซึ่งเป็นจำนวนปิรามิดห้าเหลี่ยมที่ไม่สำคัญ ลำดับที่ห้า [48]เช่นเดียวกับหมายเลขที่ห้า- หมายเลขแกรนวิลล์ ที่สมบูรณ์แบบ. [49]นี่เป็นตัวเลขแกรนวิลล์ตัวที่สามที่ไม่สมบูรณ์แบบและเป็นตัวเลขเดียวที่รู้จักซึ่งมีตัวประกอบเฉพาะสามตัวที่แตกต่างกัน [50]

จัตุรัสเวทมนตร์ที่เล็กที่สุดที่ไม่สำคัญ

5 คือค่าของเซลล์ ตรงกลางของ จัตุรัสเวทมนตร์ปกติอันไม่สำคัญแห่งแรกที่เรียกว่าจัตุรัสหลัวซู่ อาร์เรย์x มีค่าคงที่เวทย์มนตร์เป็นโดยที่ผลรวมของแถว คอลัมน์ และเส้นทแยงมุมทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 15 [51] 5 ยังเป็นค่าของเซลล์ส่วนกลางซึ่งเป็นรูปหกเหลี่ยมเวทมนตร์ปกติที่ ไม่สำคัญเพียงเซลล์เดียว ที่สร้างขึ้นจากสิบเก้าเซลล์ [52]

การคาดเดาของ Collatz

ในโจทย์Collatz 3 x + 1 นั้น 5 ต้องใช้ห้าขั้นตอนในการไปถึงหนึ่งโดยการคูณพจน์ด้วยสามและเพิ่มหนึ่งถ้าเทอมเป็นเลขคี่ (เริ่มด้วยห้าตัวเอง) และหารด้วยสองหากเป็นเลขคู่: {5 ➙ 16 ➙ 8 ➙ 4 ➙ 2 ➙ 1}; อีกหมายเลขเดียวที่ต้องใช้ห้าขั้นตอนคือ32 (เนื่องจาก 16 ต้องเป็นส่วนหนึ่งของเส้นทางดังกล่าว) [53] [54]เมื่อสรุป การคาดเดา ของCollatzกับจำนวนเต็ม บวกหรือลบทั้งหมด −5กลายเป็นหนึ่งในสี่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของวงจรที่เป็นไปได้ที่ทราบ และในกรณีนี้จะมีห้าขั้นตอนด้วย: {−5 ➙ −14 ➙ −7 ➙ −20 ➙ −10 ➙ −5 ➙ ...} วงจรที่เป็นไปได้อื่นๆ เริ่มต้นและสิ้นสุดที่ −17 ในสิบแปดขั้นตอน, −1 ในสองขั้นตอน และ 1 ในสามขั้นตอน พฤติกรรมนี้คล้ายคลึงกับวงจรเส้นทางของ 5 ใน ปัญหา 3 x − 1โดยที่ 5 ดำเนินการห้าขั้นตอนเพื่อย้อนกลับแบบวน ในกรณีนี้โดยการคูณพจน์ด้วย 3 และลบ 1 ถ้าเงื่อนไขเป็นเลขคี่ และยังลดลงครึ่งหนึ่งหากเป็นเลขคู่ด้วย [55]นอกจากนี้ยังเป็นตัวเลขแรกที่สร้างวงจรที่ไม่สำคัญ (เช่น 1 ➙ 2 ➙ 1 ➙ ...) [56]

ลักษณะทั่วไป

เลขห้าถูกคาดเดาว่าเป็นเลขคี่เลขเดียวที่ไม่สามารถแตะต้องได้และหากเป็นกรณีนี้ เลขห้าจะเป็นเลขเฉพาะคี่เลขเดียวที่ไม่ใช่ฐานของต้นไม้ลงตัว (57)ในขณะเดียวกัน:

  • จำนวนคี่ทุกจำนวนที่มากกว่าคือผลรวมของจำนวนเฉพาะไม่เกิน 5 ตัว[58]และ
  • จำนวนคี่ทุกจำนวนที่มากกว่าจะถูกคาดเดาว่าเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสามจำนวน [59] เฮลฟ์ก็อตต์ได้จัดเตรียมข้อพิสูจน์เรื่องนี้ หรือที่รู้จักในชื่อการคาดคะเนโกลด์บัคแบบแปลกซึ่งนักคณิตศาสตร์ยอมรับอย่างกว้างขวางแล้วในขณะที่ยังคงผ่านการทบทวนโดยผู้ทรงคุณวุฒิ

สมการ พหุนามระดับ4และต่ำกว่าสามารถแก้ไขได้ด้วยเครื่องหมายราก ในขณะที่สมการควินติกระดับ 5 และสูงกว่าโดยทั่วไปไม่สามารถแก้ไขได้ (ดูทฤษฎีบทอาเบล–รัฟฟินี ) สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่ากลุ่มสมมาตร เป็นกลุ่มที่แก้ไขได้สำหรับ และไม่ใช่สำหรับ

มีการเรียงสับเปลี่ยนแรมซีย์แบบนับ ไม่ถ้วนห้าประเภท โดยที่อายุของการเรียงสับเปลี่ยนเนื้อเดียวกันที่นับได้แต่ละครั้งจะก่อให้เกิดคลาสแรมซีย์แต่ละรายการของวัตถุโดยที่สำหรับแต่ละจำนวนธรรมชาติและแต่ละตัวเลือกของวัตถุไม่มีวัตถุใดที่มีการใช้สีใด ๆ ของวัตถุย่อย ทั้งหมด ของisomorphicถึงมี วัตถุย่อย monochromatic isomorphic ถึง [60] : หน้า 1, 2 นอกเหนือจาก การเรียงสับเปลี่ยนแรมซีย์ทั้งห้าประเภท ได้แก่ ชั้นของการเรียงสับเปลี่ยนเอกลักษณ์ ชั้นของการกลับรายการ ชั้นของลำดับที่เพิ่มขึ้นของลำดับที่ลดลง ชั้นของลำดับที่ลดลงของลำดับที่เพิ่มขึ้น และชั้นของการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด [60] : p.4 โดยทั่วไปขีดจำกัด Fraïsséของคลาส ของ โครงสร้างสัมพันธ์อันจำกัดคืออายุของโครงสร้างเชิงสัมพันธ์เนื้อเดียวกันที่นับได้ ถ้าหากเงื่อนไขห้าประการยึดถือ: มันถูกปิดภายใต้มอร์ฟิซึ่มนิยม มันก็มีเพียง มอร์ฟิซึ่มหลายตัวที่นับได้เท่านั้นคลาสมันเป็นกรรมพันธุ์มันฝังร่วมกันและมันถือ ทรัพย์สินการควบรวม [60] : หน้า 3 

ในการจำแนกประเภทของระบบตัวเลข จำนวนจริงและ โครงสร้างพีชคณิตของเคย์ลีย์-ดิกสัน สามรูปแบบที่ตาม มาในสนามของจำนวนจริง (เช่นจำนวนเชิงซ้อนวอเทอร์เนียนและออกตอนเนียน ) ถือเป็นพีชคณิตการหารบรรทัดฐานซึ่งมีได้ถึงห้าแบบที่แตกต่างกัน คุณสมบัติทางพีชคณิต หลักที่น่าสนใจ: ไม่ว่าพีชคณิตจะถูกเรียงลำดับหรือไม่ และมีคุณสมบัติการสับเปลี่ยนการเชื่อมโยงทางเลือกและการเชื่อมโยงกำลังหรือไม่ [61] แม้ว่าจำนวนจริงจะมีคุณสมบัติทั้งห้าประการ แต่ออคตอนเนี่ยนเป็นเพียงทางเลือกและการเชื่อมโยงกำลังเท่านั้น ในทางกลับกันsedenions ซึ่งเป็นตัวแทนของพีชคณิตลำดับที่ห้าในชุดนี้ ไม่ใช่พีชคณิตการเรียบเรียงที่ไม่เหมือนและ เป็นเพียงการเชื่อมโยงกำลังเท่านั้น และเป็นพีชคณิตตัวแรกที่มี ตัวหาร 0แบบไม่สำคัญเช่นเดียวกับพีชคณิตอื่นๆ ทั้งหมดในส่วนที่ใหญ่กว่า สาขา [62]โดยรวมแล้ว พีชคณิตทั้งห้านี้ทำงานตามลำดับ บนช่องมิติ 1, 2, 4, 8 และ 16

เรขาคณิต

รูปดาวห้าแฉกหรือรูปหลายเหลี่ยม ห้าแฉก เป็นรูปดาวหลายเหลี่ยมที่เหมาะสมรูปแรกที่สร้างขึ้นจากเส้นทแยงมุมของรูปห้าเหลี่ยมปกติเป็นขอบที่ตัดกันเองซึ่งมีสัดส่วนเป็นอัตราส่วนทองคำ เรขาคณิตภายในปรากฏอย่างเด่นชัดในการปูกระเบื้องเพนโรสและเป็นด้านภายในรูปทรงหลายเหลี่ยมดาวเคปเลอร์-พอยโซต์และรูปทรงหลายเหลี่ยมดาวชลาฟลี–เฮสส์ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ Schläfli {5/2 } ตัวเลขที่คล้ายกับรูปดาวห้าแฉกคือไอโซทอกซัลแบบง่ายห้าแฉก ติดดาว ☆ โดยไม่มีขอบตัดกันในตัว มักพบเป็นด้านหนึ่งในกระเบื้อง Girih ของอิสลาม ซึ่งมีประเภทพื้นฐานที่แตกต่างกันห้าประเภท [63]โดยทั่วไปสตาร์โพลีโทปที่เป็นปกติจะมีอยู่ในมิติ < เท่านั้น และสามารถสร้างได้โดยใช้กฎมิลเลอร์ห้า ข้อ สำหรับการบอกดาวโพลีเฮดราหรือโพลีโทป ที่มีมิติสูงกว่า [64]

ทฤษฎีกราฟ และเรขาคณิตเชิงระนาบ

ในทฤษฎีกราฟกราฟทั้งหมดที่มีจุดยอดสี่จุดหรือน้อยกว่านั้นจะเป็นระนาบอย่างไรก็ตาม มีกราฟที่มีจุดยอดห้าจุดที่ไม่ใช่: K 5ซึ่งเป็นกราฟที่สมบูรณ์ซึ่งมีจุดยอดห้าจุด โดยที่จุดยอดที่แตกต่างกันทุกคู่ในรูปห้าเหลี่ยมจะเชื่อมกันด้วยค่าเฉพาะ ขอบที่เป็นของรูปดาวห้าแฉก ตามทฤษฎีบทของคูราโตฟส กี้ กราฟจำกัดจะเป็น กราฟระนาบหากไม่มีกราฟย่อยที่เป็นส่วนย่อยของK 5หรือกราฟอรรถประโยชน์ แบบ ทวิภาคีที่สมบูรณ์ K 3,3 [65]กราฟที่คล้ายกันคือกราฟปีเตอร์เสนซึ่งก็คือเชื่อมต่ออย่างแน่นหนาและไม่เป็นระนาบ อธิบายได้ง่ายที่สุดคือกราฟของรูปดาวห้าแฉกที่ฝัง อยู่ภายในรูปห้าเหลี่ยม โดยมี จุด ตัด ทั้งหมด 5 เส้นเส้นรอบวงเท่ากับ 5 และเลขพฤหัสเท่ากับ 5 [66] [67]กราฟปีเตอร์เสน ซึ่งก็เป็นระยะทาง - กราฟปกติเป็นหนึ่งใน 5 กราฟจุดยอด-สกรรมกริยาที่เชื่อมต่อกันซึ่งเป็นที่รู้จัก โดยไม่มีวัฏจักรแฮมิลตัน [68] กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของกราฟปีเตอร์เซนคือกลุ่มสมมาตรของลำดับ120 = 5!

เลข โคร มาติกของระนาบคืออย่างน้อย 5 ขึ้นอยู่กับการเลือกสัจพจน์เซตทฤษฎี : จำนวนสี ขั้นต่ำ ที่ต้องใช้ในการระบายสีระนาบ โดยที่ไม่มีจุดคู่ใดที่ระยะ 1 จะมีสีเดียวกัน [69] [70]ในขณะที่กราฟโกลอมบ์ หกเหลี่ยม และการปูกระเบื้องหกเหลี่ยม ปกติสร้างเลขโครมาติกเป็น 4 และ 7 ตามลำดับ การใส่สีโครมาติกเป็น 5 สามารถบรรลุได้ภายใต้กราฟที่ซับซ้อนมากขึ้น โดยที่ สปินเดิลของโมเซอร์สี่สีหลายตัวมีการเชื่อมโยงกันเพื่อไม่ให้มีเอกโครมาติกสามสีในการระบายสีใดๆ ของกราฟโดยรวม เนื่องจากจะสร้างการจัดเรียงด้านเท่ากันหมดที่มีแนวโน้มไปสู่โครงสร้างหกเหลี่ยมล้วนๆ

เครื่องบินยังประกอบด้วย โครงตาข่าย Bravaisจำนวน 5 ชิ้นหรืออาร์เรย์ของจุดที่กำหนดโดย การดำเนิน การแปลแบบไม่ต่อเนื่องได้แก่โครงหกเหลี่ยมเฉียงสี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมกึ่งกลางและโครงสี่เหลี่ยม การปูกระเบื้องสม่ำเสมอของระนาบยังถูกสร้างขึ้นจากการรวมกันของรูปหลายเหลี่ยมปกติเพียงห้ารูป ได้แก่สามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมจัตุรัสหกเหลี่ยมแปดเหลี่ยมและสิบสองเหลี่ยม [71]เครื่องบินยังสามารถปูกระเบื้องแบบโมโนเฮดราลโดยมีส่วนนูนได้รูปห้าเหลี่ยมในรูปแบบที่แตกต่างกันสิบห้าแบบ โดยสามแบบมีการปูกระเบื้องแบบ Lavesเป็นกรณีพิเศษ [72]

รูปทรงหลายเหลี่ยม

ภาพประกอบโดยเลโอนาร์โด ดา วินชีของรูปทรงสิบสองหน้าปกติจากสัดส่วนดีวินาของลูก้า ปาซิโอลี

ของแข็งพลาโตนิกในอวกาศสามมิติมีอยู่ห้าชนิดได้แก่ จัตุรมุข ลูกบาศก์ แปดหน้า สิบสองหน้า และไอโคซาฮีดรอน [73]โดยเฉพาะรูปทรงสิบ สองหน้ามี ใบหน้าห้าเหลี่ยม ในขณะที่ ไอโคซา เฮดรอน ซึ่งเป็น รูปทรง หลายเหลี่ยมคู่มีจุดยอดที่เป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ นอกจากนี้ยังมีห้า:

นอกจากนี้ยังมีปริซึมกึ่งปกติ 5 ชิ้น ที่เป็นด้าน ภายใน รูปทรงสี่มิติที่ไม่เป็นแท่งปริซึมได้แก่ ปริซึมสามเหลี่ยม ห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม แปดเหลี่ยม และปริซึมสิบเหลี่ยม ปริซึมและแอนติปริซึม ที่เหมือนกันห้าอันประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยมหรือรูปห้า เหลี่ยมได้แก่ปริซึมห้าเหลี่ยมและแอนติ ปริซึม และ ปริซึมเพนตาแกรม แอ ติปริซึมและแอนติปริซึมแบบไขว้ [79]

มิติที่สี่

5 เซลล์สี่มิติ เป็น โพลีโครอนปกติที่ง่ายที่สุด

เพนทาโทปหรือ 5 เซลล์ เป็นอะนาล็อกมิติที่สี่แบบคู่ในตัวของจัตุรมุขโดยมีสมมาตรกลุ่มค็อกซีเตอร์เป็นลำดับ120 = 5 ! และโครงสร้างกลุ่ม รูปหลายเหลี่ยม Petrieของมันคือรูป ห้าเหลี่ยม ปกติซึ่งทำจากจัตุรมุขห้าแฉกและการฉายภาพออร์โธกราฟิกเทียบเท่ากับ กราฟ K 5ที่สมบูรณ์ เป็นหนึ่งในหกโพลีโทปปกติ ซึ่งประกอบด้วย องค์ประกอบ 31 องค์ประกอบ ได้แก่ จุดยอด 5 จุด ขอบ 10 ด้าน 10 หน้า 5 เซลล์เตตราฮีดรัล และเซลล์4 หน้า หนึ่ง เซลล์ [80]

โดยรวมแล้ว มิติที่สี่ประกอบด้วยหมู่ไวล์ พื้นฐานห้าหมู่ที่ก่อตัวเป็น โพลีคอราที่สม่ำเสมอในจำนวนจำกัดได้แก่, , , , และร่วมกับกลุ่มทั่วไปที่ห้าหรือหกของปริซึม4 ปริซึม ที่มีลักษณะเฉพาะ ของของแข็งพลาโตนิกและอาร์คิมีดีน โพลีโทป 4 รูปทรงเดียวกันทั้งหมดนี้กำเนิดจากรูปทรงหลายเหลี่ยม สม่ำเสมอ 25 ชิ้น ซึ่งประกอบด้วยของแข็งพลาโตนิก 5 ชิ้น ของแข็งอาร์คิมีดีน 15 ชิ้นนับรูป แบบ เอแนนทิโอมอร์ฟิก 2 รูป แบบ และปริซึม 5 ชิ้น นอกจากนี้ยังมี กลุ่ม Coxeterทั้งหมดห้า กลุ่มที่สร้าง รวงผึ้งแบบยุคลิดที่ไม่ใช่ปริซึมในปริภูมิ 4 มิติ ควบคู่ไปกับห้ากลุ่มกลุ่ม Coxeter ไฮเปอร์โบลิกขนาดกะทัดรัดที่สร้างรังผึ้งไฮเปอร์โบลิกขนาดกะทัดรัด ปกติจำนวน 5 ชิ้น ที่มีด้าน จำกัด เช่นเดียวกับรังผึ้งลำดับ 5 ที่มี 5 เซลล์และรังผึ้งลำดับที่ 5 ที่มีขนาด 120 เซลล์ซึ่งทั้งสองมีเซลล์ห้าเซลล์รอบๆ แต่ละหน้า รวงผึ้งไฮเปอร์โบลิกแบบคอมแพ็กต์มีอยู่ในมิติที่สี่เท่านั้น หรืออันดับ 5โดยมี คำตอบ ไฮเปอร์โบลิกแบบพาราคอมแพ็คจนถึงระดับ 10 ในทำนองเดียวกัน ความคล้ายคลึงของ สมมาตร แบบเฮกซาเดคาคอริก สี่มิติ หรือ สมมาตร ไอโซไซต์ทราโคริกไม่มีอยู่ในมิติ; อย่างไรก็ตามยังมีกลุ่มปริซึมในมิติที่ 5 ซึ่งประกอบด้วย ปริซึม ของ โพลีโทป 4ตัวสม่ำเสมอและสม่ำเสมอซึ่งมีและสมมาตร นอกจากนี้ยังมีโปรเจ็กต์ 4 โพลีโทป ปกติห้าโพลีโท ปในมิติที่สี่ ซึ่งทั้งหมดเป็นโพลีโทปแบบกึ่งโพลีโทปของ 4 โพลีโทปปกติ ยกเว้น 5 เซลล์ [85]มีโปรเจ็กต์โพลีโทปปกติเพียงสองตัวเท่านั้นในแต่ละปริภูมิมิติที่สูงกว่า

รูปหลายเหลี่ยมพื้นฐานสำหรับ เส้นโค้ง ของBringคือไอโคเหลี่ยมยี่สิบเหลี่ยมไฮเปอร์ โบลิกปกติ

โดยเฉพาะอย่างยิ่งพื้นผิวของบริงคือเส้นโค้งในระนาบฉายภาพ ที่แสดงด้วยสมการเอกพันธ์ : [86]

มีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม ที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ ของเส้น โค้ง ที่ซับซ้อนสี่ ประเภท โดยมีโครงสร้างกลุ่ม นี่คือพื้นผิวรีมันน์ที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดเล็กซึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมพื้นฐานเป็นไอโคซากอน ไฮเปอร์โบลิกปกติ โดยมีพื้นที่(ตามทฤษฎีบทเกาส์-บอนเน็ต ) รวมภาพสะท้อน กลุ่มสมมาตรทั้งหมดคือลำดับ240 ; ซึ่งเป็นจำนวน(2,4,5)สามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกที่เทสเซลเลตรูปหลายเหลี่ยมพื้นฐานของมัน นำควินติกยึดราก ที่ตอบสนองเส้นโค้งของบริง

มิติที่ห้า

5-ซิมเพล็กซ์หรือเฮกซาเตรอนเป็น อะนาล็อก ห้ามิติของ 5 เซลล์หรือ 4-ซิมเพล็กซ์ มีหมู่ Coxeter เป็นกลุ่มสมมาตร ตามลำดับ 720 = 6 ! ซึ่งมีโครงสร้างกลุ่มแสดงโดยกลุ่มสมมาตร ซึ่งเป็นกลุ่มสมมาตรจำกัดเพียงกลุ่มเดียวซึ่งมีออโตมอร์ฟิซึมภายนอก ลูกบาศก์5 เหลี่ยมทำจากเทสเซอร์แรค 10 ชิ้นและมี 5 เซลล์เป็นจุดยอด ยังเป็นรูปทรงปกติและเป็นหนึ่งใน5 โพลีโทปที่มีรูปแบบ เดียวกันจำนวน 31 ชิ้นภายใต้ กลุ่มไฮเปอร์คิวบิกของ Coxeter demienteract ซึ่งมี เซลล์ 120 เซลล์ เป็นมิติ ที่ 5 เพียงมิติเดียวโพลีโทปกึ่งปกติและมี5 เซลล์ที่แก้ไขแล้ว เป็นรูปจุดยอด ซึ่งเป็นหนึ่งในสามโพลีโทปแบบกึ่งปกติ 4 เซลล์ที่อยู่เคียงข้าง600 เซลล์ที่แก้ไขและ24 เซลล์ที่ดูแคลน ในมิติที่ห้า มีรวงผึ้งพาราคอมแพคธรรมดาอยู่ห้ารวง ซึ่งทั้งหมดมีเหลี่ยมมุมและ จุดยอดเป็นอนันต์ ไม่มีรังผึ้งพาราคอมแพ็คทั่วไปอื่นใดในมิติที่สูงกว่า [87]นอกจากนี้ยังมีaperiotopes ที่ซับซ้อน เพียงสิบสองแห่ง ในปริภูมิที่ซับซ้อนของมิติ ⩾  ; ควบคู่ไปกับโพลีโทปเชิงซ้อนในและสูงกว่าภายใต้ซิมเพล็กซ์กลุ่ม ไฮเปอร์คิวบิกและออร์โธเพล็กซ์ (พร้อมโพลีท็อปของ van Oss ) [88]

พื้นผิว Veroneseในระนาบฉายภาพ จะสรุปเงื่อนไขเชิงเส้นสำหรับจุดที่จะบรรจุอยู่ภายในทรงกรวยซึ่งต้องใช้จุดห้าจุดในลักษณะเดียวกับจุดสองจุดที่จำเป็นในการกำหนดเส้น [89]

กลุ่มง่ายๆจำนวนจำกัด

มีพีชคณิตโกหกพิเศษห้า แบบ : , , , และ ลูกที่เล็กที่สุดสามารถแสดงได้ในพื้นที่เชิงซ้อนห้ามิติและฉายเป็นลูกบอลกลิ้งไปทับลูกบอลอีกลูกหนึ่ง ซึ่ง มีคำอธิบาย การเคลื่อนที่ในอวกาศสองมิติ [90]เป็นกลุ่มที่ใหญ่ที่สุดในบรรดากลุ่มพิเศษทั้งหมดห้ากลุ่ม โดยอีกสี่กลุ่มเป็นกลุ่มย่อยและโครงตาข่าย ที่เกี่ยวข้องกันซึ่งสร้างด้วยไอโค เซียนหน่วยควอเทอร์ไอออนิกจำนวนหนึ่งร้อยยี่สิบเซลล์ที่ประกอบเป็นจุดยอดของเซลล์600 เซลล์ซึ่งมีบรรทัดฐาน แบบยุคลิด กำหนดรูปแบบกำลังสองบนโครงสร้างขัดแตะแบบไอโซมอร์ฟิกเพื่อให้ได้รูปทรงที่เหมาะสมที่สุดของทรงกลมในแปดมิติ โครงสร้าง ขัดแตะทรงกลมที่บรรจุในปริภูมิ 8อยู่โดยการจัดเรียงจุดยอดของรังผึ้ง5 21ซึ่งเป็นหนึ่งในห้ารวงผึ้งแบบยุคลิดที่ยอมรับคำจำกัดความดั้งเดิมของGosset ของ รังผึ้งกึ่ง ปกติ ซึ่งรวมถึง รังผึ้งลูกบาศก์สลับสามมิติด้วย [92] [93]ในขณะที่มีกลุ่มที่แก้ไขได้ ห้ากลุ่มโดยเฉพาะ ซึ่งแยกออกจากกลุ่มง่ายๆ ที่มีขอบเขตจำกัด ของประเภท Lie จำนวนซ้ำที่เล็กที่สุดที่พบในกลุ่ม Lie แบบง่ายที่มีจำกัดคือโดยที่แสดงถึงกลุ่มที่สลับกันและกลุ่ม Chevalley แบบคลาสสิก กลุ่มการสลับที่เล็กที่สุดที่เรียบง่ายคือกลุ่มการสลับที่มีตัวอักษรห้าตัว

กลุ่มมาติเยอทั้งห้า กลุ่ม ถือเป็นรุ่นแรกในครอบครัวสุขสันต์ที่ มี กลุ่มประปราย นอกจากนี้ ยังเป็นกลุ่มประปรายห้ากลุ่มแรกที่ได้รับการอธิบายซึ่งกำหนดเป็น กลุ่ม การเรียงสับเปลี่ยนสกรรมกริยาแบบทวีคูณบนวัตถุโดยมี {11, 12, 22, 23, 24} [94] : หน้า 54 โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มที่เล็กที่สุดในบรรดากลุ่มประปรายทั้งหมด มีการกระทำอันดับ 3บนห้าสิบห้าคะแนนจากการกระทำที่เหนี่ยวนำบนคู่ที่ไม่เรียงลำดับเช่นเดียวกับการแทนค่าที่ซับซ้อนแบบซื่อสัตย์ห้ามิติ สองอันที่ลดไม่ได้ เหนือฟิลด์ที่มีสามองค์ประกอบ ซึ่งเป็นการแสดงมิติที่ลดไม่ได้ต่ำสุดของกลุ่มประปรายทั้งหมดเหนือฟิลด์ตามลำดับด้วยองค์ประกอบ [95]จากคลาสการผันคำกริยา ที่แตกต่างกันห้าคลาส ของกลุ่มย่อยสูงสุดของคลาสหนึ่งคือกลุ่มสมมาตรที่เกือบจะเรียบง่าย (ของลำดับ 5 ! ) และอีกคลาสหนึ่งคือเกือบจะง่ายเช่นกัน ซึ่งทำหน้าที่เป็นตัวทำให้เสถียรจุดซึ่งมีห้าคลาสเป็นตัวประกอบเฉพาะ ที่ใหญ่ที่สุด ตามลำดับกลุ่ม : 2 4 ·3 2 ·5 = 2 · 3· 4 ·5· 6 = 8 · 9 · 10 = 720 . ในทางกลับกัน ในขณะที่สกรรมกริยา 4 แบบคมชัด นั้น เป็นสกรรมกริยา 5 แบบเฉียบพลันและเป็นสกรรมกริยา 5 แบบ และด้วยเหตุนี้พวกมันจึงเป็นกลุ่ม 5-สกรรมกริยาเพียงสองกลุ่มเท่านั้นที่ไม่ใช่กลุ่มสมมาตรหรือกลุ่มสลับกัน [96]มีจำนวนเฉพาะห้าตัวแรกเป็นตัวประกอบเฉพาะแยกกันตามลำดับ2 7 ·3 2 ·5· 7 · 11และเป็นกลุ่มที่เล็กที่สุดในกลุ่มประปรายห้ากลุ่มโดยมีตัวประกอบเฉพาะต่างกันห้าตัวตามลำดับ [94] : หน้า 17 หมู่  Mathieu ทั้งหมดเป็นกลุ่มย่อยของซึ่งภายใต้การออกแบบของ Wittของระบบ Steinerทำให้เกิดการสร้างรหัสไบนารี่ Golay ที่ขยายออกไปซึ่งมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมัน [94] : หน้า 39, 47, 55 สร้าง octadจากคำรหัสของ Hamming น้ำหนัก 8 จากรหัสไบนารี Golay แบบขยาย หนึ่งในห้าน้ำหนัก Hamming ที่แตกต่างกันซึ่งรหัสไบนารี Golay แบบขยายใช้: 0, 8, 12, 16 และ 24 [94] : หน้า 38 การออกแบบ Witt และรหัส Golay ไบนารีที่ขยายออกไปสามารถนำมาใช้เพื่อสร้างโครงสร้างที่ซื่อสัตย์ของ 24มิติ Leech lattice Λ 24ซึ่งเป็นเรื่องของรุ่นที่สอง จากเจ็ด กลุ่มประปรายที่เป็นsubquotientsของ automorphism ของ Leech lattice, Conway group [94] : หน้า 99, 125 

มีจำนวนเฉพาะ จำนวน เฉพาะที่ไม่เหนือเอกพจน์จำนวนห้าจำนวน — 37 , 43 , 53 , 61และ67 — น้อยกว่า71ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ที่ใหญ่ที่สุดในสิบห้าจำนวน เฉพาะที่แบ่งลำดับของยักษ์ที่เป็นมิตรซึ่งเป็นกลุ่มประปรายที่ใหญ่ที่สุด [97]โดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวรวมศูนย์ขององค์ประกอบอันดับ 5 ภายในกลุ่มนี้เกิดขึ้นจากผลคูณระหว่างกลุ่มประปรายฮาราดะ-นอร์ตันและกลุ่มอันดับ 5 [98] [99]ด้วยตัวมันเองสามารถแสดงได้โดยใช้เครื่องกำเนิดไฟฟ้ามาตรฐาน ที่กำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมโดยที่ [100] [101] เงื่อนไขนี้ยังเกิดขึ้นโดยเครื่องกำเนิดอื่น ที่อยู่ในกลุ่มหัวนม[102] กลุ่มง่าย ๆเดียว ที่มีขอบเขตจำกัด ซึ่งเป็นกลุ่มประเภทโกหกที่ไม่เข้มงวด ซึ่งสามารถจัดประเภทเป็นประปรายได้ นอกจากนี้ เหนือสนามที่มีองค์ประกอบทั้ง 5 มีการแสดงมิติ 133 มิติ โดยที่ 5 ทำหน้าที่กับ ผล คูณการสับเปลี่ยนที่ไม่เชื่อมโยงกันเป็นอะนาล็อก 5 โมดูลาร์ของพีชคณิต Griess , [103]ซึ่งยึดยักษ์ใหญ่ที่เป็นมิตรเป็น กลุ่มออโตมอร์ฟิซึม

ตัวตนของออยเลอร์

ข้อมูล ประจำตัวของออยเลอร์ + = ประกอบด้วยตัวเลขสำคัญ 5 ตัวที่ใช้ กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์ ได้แก่ ค่า คงที่ของอาร์คิมิดีส เลข ออยเลอร์ เลขจินตภาพเอกภาพและศูนย์ [104] [105] [106]

รายการการคำนวณพื้นฐาน

การคูณ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
5 × x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
แผนก 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 ۞ x 5 2.5 1. 6 1.25 1 0.8 3 0.714285 _ 0.625 0. 5 0.5 0.45 _ 0.41 6 0.384615 _ 0.3 571428 0. 3
xหาร 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
การยกกำลัง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 ครั้ง 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 9765625 48828125 244140625 1220703125 6103515625 30517578125
x5 _ 1 32 243 1,024 7776 16807 32768 59049 100000 161051 248832 371293 537824 759375

เป็นทศนิยม

ผลคูณของ 5 ทั้งหมดจะลงท้ายด้วย 5 หรือ0และเศษส่วนหยาบคายที่มี 5 หรือ2ในตัวส่วนจะไม่ให้การขยายทศนิยมอนันต์เนื่องจากเป็นตัวประกอบเฉพาะของ10ซึ่งเป็นฐาน

ในเลขยกกำลัง 5 ทุกเลขยกกำลังจะลงท้ายด้วยเลข 5 และตั้งแต่ 5 3เป็นต้นไป ถ้าเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่หลักร้อยจะเป็น1และถ้าเป็นเลขคู่ หลักร้อยคือ 6

ตัวเลขยกกำลังห้าจะลงท้ายด้วยเลขหลักเดียวกับเสมอ

ศาสตร์

ดาราศาสตร์

ชีววิทยา

คอมพิวเตอร์

ศาสนาและวัฒนธรรม

ศาสนาฮินดู

ศาสนาคริสต์

ลัทธินอสติก

อิสลาม

ศาสนายิว

ศาสนาซิกข์

  • สัญลักษณ์ ซิกข์ศักดิ์สิทธิ์ทั้งห้า ที่ กำหนดโดยGuru Gobind Singhเป็นที่รู้จักกันทั่วไปในชื่อpanj kakarsหรือ " Five Ks " เนื่องจากสัญลักษณ์เหล่านี้ขึ้นต้นด้วยตัวอักษร K แทนkakka (ਕ)ในอักษร Gurmukhiของภาษาปัญจาบ ได้แก่: เคช (ผมที่ไม่ได้โกน), กังหะ (หวี), คารา (กำไลเหล็ก), คัชเฮห์รา (กางเกงขาสั้นของทหาร) และกีร์ปัน (ดาบ) (ในภาษากุรมูคี: ਕੇਸ, ਕੰਘਾ, ਕੜਾ, ਕਛਹਰਾ, ਕਿਰਪਾ ਨ ). (125)นอกจากนี้ ยังมีบาปร้ายแรง 5 ประการ ได้แก่กาม (ตัณหา)โครธ (ความโกรธ)โมห์ (ความผูกพัน)โลภ (ความโลภ) และอังคาร (อัตตา)

ลัทธิเต๋า

ศาสนาและวัฒนธรรมอื่นๆ

ศิลปะ ความบันเทิง และสื่อ

หน่วยงานสมมติ

  • เจมส์ เดอะ เรด เอ็นจิ้นตัวละครหมายเลข 5 [131]
  • จอห์นนี่ 5เป็นตัวเอกในภาพยนตร์เรื่องShort Circuit (1986) [132]
  • Number Five เป็นตัวละครในLorien Legacies [133]
  • หมายเลข 5ชื่อจริง อาบิเกล ลินคอล์น จากCodename: Kids Next Door
  • Sankara Stones หินวิเศษห้าก้อนในIndiana Jones และ Temple of Doomที่พวกอันธพาลตามหาเพื่อจุดประสงค์อันชั่วร้าย[134]
  • มัคไฟว์มะฮะโกะ? (マッハ号)รถแข่ง Speed ​​Racer ( โก มิฟุเนะ)ในเวอร์ชั่นญี่ปุ่น) ขับรถในซีรีส์อนิเมะชื่อเดียวกัน (รู้จักกันในชื่อ "Mach Go! Go! Go!" ในญี่ปุ่น)
  • ในงานของJRR Tolkienพ่อมดทั้งห้าคน ( ซารู มาน แกน ดัล์ฟ ราดากัสต์ อลาตา ร์และปัลลันโด ) ถูกส่งไปยังมิดเดิลเอิร์ธเพื่อช่วยเหลือต่อต้านการคุกคาม ของดาร์กลอร์ดเซารอน
  • ใน ซีรีส์ A Song of Ice and Fireสงครามของราชาทั้งห้าเป็นการต่อสู้ระหว่างผู้อ้างสิทธิที่แตกต่างกันในบัลลังก์เหล็กแห่งเวสเตรอส เช่นเดียวกับบัลลังก์ของแต่ละภูมิภาคของเวสเทอรอส (จอฟฟรีย์ บาราเธียน , สแตนนิส บาราเธียน , เรนลีบาราเธี ) ร็อบ สตาร์คและบาลอน เกรย์จอย ) [136]
  • ใน ซีรีส์ The Wheel of Time "Emond's Field Five" คือกลุ่มของตัวละครหลัก 5 ตัวจากทั้งหมดมาจากหมู่บ้าน Emond's Field ( Rand al'Thor , Matrim Cauthon , Perrin Aybara , Egwene al'Vereและนีนาเว อัลเมียรา )
  • Mystใช้หมายเลข 5 เป็นระบบการนับฐานที่เป็นเอกลักษณ์ ใน ซีรีส์ The Myst Readerมีการอธิบายเพิ่มเติมว่าเลข 5 ถือเป็นเลขศักดิ์สิทธิ์ในสังคม D'ni ที่สมมติขึ้นมา
  • Number Five ยังเป็นตัวละครในหนังสือการ์ตูนและซีรีส์ทางโทรทัศน์ของ The Umbrella Academyอีกด้วย

ภาพยนตร์

ดนตรี

กลุ่ม

  • ไฟว์ (กลุ่ม) , วงบอยแบนด์แห่งสหราชอาณาจักร[146]
  • The Five (นักแต่งเพลง)นักแต่งเพลงชาวรัสเซียในศตวรรษที่ 19 [147]
  • 5 Seconds of Summerวงดนตรีป๊อปที่มีต้นกำเนิดในซิดนีย์ ประเทศออสเตรเลีย
  • Five Americans , วงดนตรีร็อคอเมริกันที่มีบทบาทระหว่างปี 1965–1969 [148]
  • Five Finger Death Punchวงดนตรีเฮฟวีเมทัลสัญชาติอเมริกันจากลาสเวกัส รัฐเนวาดา ใช้งานอยู่ พ.ศ. 2548–ปัจจุบัน
  • Five Man Electrical Bandวงดนตรีร็อกสัญชาติแคนาดาที่เรียกเก็บเงิน (และใช้งานอยู่) ในชื่อ Five Man Electrical Band, พ.ศ. 2512–2518 [149]
  • มารูนไฟฟ์วงดนตรีป๊อปร็อกอเมริกันที่มีต้นกำเนิดในลอสแองเจลิส แคลิฟอร์เนีย[150]
  • MC5 , วงดนตรีพังก์ร็อกอเมริกัน[151]
  • Pentatonixเป็นกลุ่มอะแคปเปลลาที่ชนะรางวัลแกรมมี่ มีต้นกำเนิดในเมืองอาร์ลิงตัน รัฐเท็กซัส[152]
  • มิติที่ 5 , วงดนตรีป๊อปอเมริกัน, ใช้งาน พ.ศ. 2520–ปัจจุบัน[153]
  • The Dave Clark Fiveหรือที่รู้จักในชื่อ DC5 วงดนตรีป๊อปร็อกสัญชาติอังกฤษที่ประกอบด้วยDave Clark , Lenny Davidson , Rick Huxley , Denis PaytonและMike Smith ; ใช้งานอยู่ พ.ศ. 2501–2513 [154]
  • เดอะแจ็กสันไฟว์วงดนตรีป๊อปร็อกสัญชาติอเมริกันที่มีสมาชิกหลายคนในครอบครัวแจ็คสัน; พวกเขาถูกเรียกเก็บเงิน (และใช้งานอยู่) ในฐานะ The Jackson 5, 1966–1975 [155]
  • Hi-5เป็นกลุ่มเด็กป๊อปสัญชาติออสเตรเลียที่มีการดัดแปลงจากต่างประเทศหลายรายการ และมีสมาชิกหลายคนตลอดประวัติศาสตร์ของวง มันก็เป็นรายการทีวีด้วย
  • วีไฟว์ : วงดนตรีโฟล์กร็อกสัญชาติอเมริกันที่ใช้งานระหว่างปี 1965–1967 และ 1968–1977
  • ปรมาจารย์แฟลชและเดอะฟิวเรียสไฟว์ : วงแร็พอเมริกัน, คริสต์ศักราช 1970–80 [156]
  • Fifth Harmony เกิร์ ลกรุ๊ปสัญชาติอเมริกัน [157]
  • เบ็น โฟลด์สไฟว์ วงอัลเทอร์เนทีฟร็อกทั้งสามวงของอเมริกา พ.ศ. 2536–2543, 2551 และ 2554–2556 [158]
  • อาร์ไฟว์ (วงดนตรี) , วงดนตรีป๊อปและอัลเทอร์เนทีฟร็อกสัญชาติอเมริกัน, พ.ศ. 2552–2561 [159]

อื่น

โทรทัศน์

สถานี
  • ช่อง 5 (UK)ซึ่งเป็นช่องโทรทัศน์ที่ออกอากาศในสหราชอาณาจักร[160]
  • 5 (ช่องทีวี) ( เดิมชื่อ ABC 5 และ TV5 ) ( DWET-TVช่อง 5 ในเมโทรมะนิลา) เครือข่ายโทรทัศน์ในประเทศฟิลิปปินส์ [161]
ชุด
  • บาบิโลน 5ละครโทรทัศน์แนวนิยายวิทยาศาสตร์ [162]
  • ฟีเจอร์หมายเลข 5 ในซีรีส์ทางโทรทัศน์เรื่องBattlestar Galacticaที่เกี่ยวข้องกับFinal Five Cylonsและ Temple of Five
  • Hi-5 (ละครโทรทัศน์ออสเตรเลีย)ละครโทรทัศน์จากประเทศออสเตรเลีย [163]
  • Hi-5 (ละครโทรทัศน์ของสหราชอาณาจักร)รายการโทรทัศน์จากสหราชอาณาจักร
  • Hi-5 Philippinesรายการโทรทัศน์จากประเทศฟิลิปปินส์
  • โอดิสซีย์ 5 , ซีรีส์โทรทัศน์แนวนิยายวิทยาศาสตร์ พ.ศ. 2545 [164]
  • Tillbaka จนถึง Vintergatanซีรีส์ทางโทรทัศน์สำหรับเด็กของสวีเดนที่มีตัวละครชื่อ "Femman" (แปลว่า ห้าคน) ซึ่งพูดได้เพียงคำว่า "ห้า" เท่านั้น
  • The Five (ทอล์คโชว์) : รายการโทรทัศน์เหตุการณ์ปัจจุบันของ Fox News Channel ออกอากาศรอบปฐมทัศน์ในปี 2011 ตั้งชื่อตามคณะผู้แสดงความเห็น 5 คน
  • ใช่! PreCure 5เป็นซีรีส์อนิเมะปี 2007 ที่ติดตามการผจญภัยของโนโซมิและเพื่อนๆ ของเธอ ตามมาด้วยภาคต่อของปี 2008ใช่! พริตตี้เคียว 5 โกโก!
  • The Quintessential Quintupletsเป็นซีรีส์อนิเมะโรแมนติกในชีวิตปี 2019 ซึ่งติดตามชีวิตประจำวันของห้าแฝดที่เหมือนกันและการโต้ตอบของพวกเขากับครูสอนพิเศษของพวกเขา มีสองซีซั่นและภาพยนตร์เรื่องสุดท้ายมีกำหนดในช่วงฤดูร้อนปี 2022
  • Hawaii Five-0 ,ซีรีส์โทรทัศน์อเมริกันของ CBS [165]

วรรณกรรม

  • The Famous Fiveเป็นชุดหนังสือเด็กของนักเขียนชาวอังกฤษ Enid Blyton
  • The Power of Fiveเป็นชุดหนังสือสำหรับเด็กโดยนักเขียนและผู้เขียนบทชาวอังกฤษ Anthony Horowitz
  • The Fall of Fiveเป็นหนังสือที่เขียนโดยใช้นามแฝงรวม Pittacus Lore ในซีรีส์ Lorien Legacies
  • หนังสือห้าห่วงเป็นข้อความเกี่ยวกับเคนจุสึและศิลปะการต่อสู้โดยทั่วไป เขียนโดยนักดาบ มิยาโมโตะ มูซาชิ ประมาณปี 1645
  • Slaughterhouse-Fiveเป็นหนังสือของ Kurt Vonnegut เกี่ยวกับสงครามโลกครั้งที่สอง [166]

กีฬา

  • การแข่งขันกีฬาโอลิมปิกมีวงแหวนที่เชื่อมต่อกัน 5 วงเป็นสัญลักษณ์ ซึ่งแสดงถึงจำนวนทวีป ที่มีประชากรอาศัยอยู่ ซึ่งเป็นตัวแทนของนักกีฬาโอลิมปิก (ยุโรป เอเชีย แอฟริกา ออสเตรเลีย โอเชียเนีย และอเมริกา) [167]
  • ในAFL Women's ซึ่ง เป็น ฟุตบอลหญิง ตามกฎกติกา ระดับสูงสุดของ ประเทศออสเตรเลีย แต่ละทีมจะได้รับอนุญาตให้ " เปลี่ยนตัว " ได้ 5 ครั้ง(ผู้เล่นสำรอง) ซึ่งสามารถเปลี่ยนตัวได้ตลอดเวลาโดยอิสระ
  • ในการรักษาคะแนนเบสบอลเลข 5 แสดงถึงตำแหน่งของเบสคนที่สาม
  • ในบาสเก็ตบอล :
    • เลข 5 ใช้แทนตำแหน่งตรงกลาง
    • แต่ละทีมมีผู้เล่นห้าคนในสนามในเวลาที่กำหนด ดังนั้น วลี "ห้าต่อห้า" จึงมักใช้เพื่ออธิบายบาสเกตบอลที่มีการแข่งขันมาตรฐาน [168]
    • " กฎ5 วินาที"หมายถึงกฎที่เกี่ยวข้องหลายข้อซึ่งออกแบบมาเพื่อส่งเสริมการเล่นอย่างต่อเนื่อง ในทุกกรณี การละเมิดกฎจะส่งผลให้มีการหมุนเวียน
    • ภายใต้FIBA ​​(ใช้สำหรับการเล่นระดับนานาชาติทั้งหมด และลีกส่วนใหญ่ที่ไม่ใช่ของสหรัฐอเมริกา) และ ชุดกฎ หญิงของ NCAAทีมจะเริ่มยิงโบนัสโยนโทษเมื่อคู่ต่อสู้ทำฟาวล์ส่วนตัว ห้าครั้ง ในหนึ่งควอเตอร์
    • ภายใต้กฎของ FIBA ​​ผู้เล่นคนหนึ่งจะทำฟาวล์ออกและต้องออกจากเกมหลังจากทำฟาวล์ครบห้าครั้ง
  • ฟุตบอลห้าคนเป็นรูปแบบหนึ่งของฟุตบอลสมาคมซึ่งแต่ละทีมมีผู้เล่นห้าคน [169]
  • ในฮ็อกกี้น้ำแข็ง :
    • การลงโทษครั้งใหญ่ใช้เวลาห้านาที [170]
    • มีห้าวิธีที่แตกต่างกันที่ผู้เล่นสามารถทำประตูได้ (ทีมที่มีความแข็งแกร่งเท่ากัน ทีมที่เล่นอย่างเข้มข้น ทีมที่เล่นชอร์ตแฮนด์ ยิงลูกโทษ และตาข่ายว่าง) [171]
    • พื้นที่ระหว่างขาของผู้ รักษาประตูเรียกว่าห้าหลุม [172]
  • ในการแข่งขันรักบี้ลีก ส่วนใหญ่ ฝ่ายซ้ายจะสวมหมายเลขนี้ ข้อยกเว้นคือซูเปอร์ลีกซึ่งใช้การกำหนดหมายเลขทีมแบบคงที่
  • ในสมาคมรักบี้ :
    • ความพยายามมีค่า 5 คะแนน [173]
    • หนึ่งในสองตัวล็อค สตาร์ท สวมหมายเลข 5 และมักจะกระโดดไปที่หมายเลข 4 ในไลน์เอาท์
    • ในระบบคะแนนโบนัส รูปแบบหนึ่ง ของฝรั่งเศสคะแนนโบนัสในอันดับลีกจะมอบให้กับทีมที่เสียคะแนน 5 คะแนนหรือน้อยกว่า

เทคโนโลยี

5 เป็นรหัสระบุเรซินที่ใช้ในการรีไซเคิล
5 เป็นรหัสระบุเรซินที่ใช้ในการรีไซเคิล
  • 5 คือจำนวนเกียร์ที่พบบ่อยที่สุดสำหรับรถยนต์ที่มีเกียร์ธรรมดา [174]
  • ในการสื่อสารทางวิทยุ คำว่า " ห้าคูณห้า " ใช้เพื่อระบุความแรงและความชัดเจนของสัญญาณที่สมบูรณ์แบบ [175]
  • ในอุปกรณ์เกือบทั้งหมดที่มีแป้นพิมพ์ตัวเลขเช่น โทรศัพท์ คอมพิวเตอร์ ฯลฯ ปุ่ม 5 จะมีจุดหรือแถบที่ยกขึ้นเพื่อให้โทรออกได้ง่ายขึ้น ผู้พิการทางสายตาหรือผู้ที่มองเห็นได้ไม่ชัดจะพบว่าการสามารถสัมผัสปุ่มโทรศัพท์ได้มีประโยชน์ ตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมดสามารถพบได้ในตำแหน่งสัมพัทธ์รอบๆ ปุ่ม 5 (บนแป้นพิมพ์คอมพิวเตอร์ ปุ่ม 5 ของแป้นตัวเลขจะมีจุดหรือแถบที่ยกขึ้น แต่ปุ่ม 5 ที่เลื่อนด้วย % ไม่มี) [176]
  • บนโทรศัพท์ ส่วนใหญ่ ปุ่ม 5 เชื่อมโยงกับตัวอักษรJ , KและL , [177]แต่ในโทรศัพท์ BlackBerry บางรุ่น ปุ่มนี้เป็นปุ่มสำหรับGและH
  • Pentium ซึ่งก่อตั้งโดยIntel Corporationเป็นไมโครโปรเซสเซอร์สถาปัตยกรรมx86 รุ่น ที่ ห้า [178]
  • รหัสระบุเรซินที่ใช้ในการรีไซเคิลเพื่อระบุโพลีโพรพีลี[179]

สาขาเบ็ดเตล็ด

ธงสัญญาณทางทะเลระหว่างประเทศ ครั้งที่ 5
รถไฟใต้ดินเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก สาย 5
รถไฟใต้ดินเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก สาย 5
ไพ่ห้าใบจากทั้งสี่ชุด

ห้าสามารถอ้างถึง:

ดูสิ่งนี้ด้วย

อ้างอิง

  1. Georges Ifrah, ประวัติศาสตร์สากลของตัวเลข: จากยุคก่อนประวัติศาสตร์ถึงการประดิษฐ์การแปลด้วยคอมพิวเตอร์. เดวิด เบลลอส และคณะ ลอนดอน: The Harvill Press (1998): 394, รูปที่ 24.65
  2. ↑ abcdef Weisstein, เอริก ดับเบิลยู. "5" mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-07-30 .
  3. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A005385 (จำนวนเฉพาะที่ปลอดภัย p: (p-1)/2 ก็เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-02-14 .
  4. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A028388 (จำนวนเฉพาะที่ดี)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส
  5. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A006562 (จำนวนเฉพาะที่สมดุล (ของลำดับที่หนึ่ง): จำนวนเฉพาะซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของจำนวนเฉพาะก่อนหน้าและจำนวนเฉพาะถัดไป)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-02-14 .
  6. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A028388 (จำนวนเฉพาะที่ดี)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2016-06-01 .
  7. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A080076 (ไพรม์ Proth)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-06-21 .
  8. ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "เมอร์แซนน์ ไพรม์". mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-07-30 .
  9. ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "หมายเลขคาตาลัน". mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-07-30 .
  10. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A001359 (จำนวนเฉพาะแฝดน้อยกว่า)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-02-14 .
  11. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A006512 (จำนวนเฉพาะมากกว่าแฝด)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-02-14 .
  12. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A023201 (ไพรม์ p โดยที่ p + 6 ก็เป็นไพรม์ด้วย (ไพรม์เซ็กซี่น้อยกว่าคู่หนึ่ง))" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-01-14 .
  13. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A003173 (หมายเลข Heegner: สนามกำลังสองจินตภาพที่มีการแยกตัวประกอบเฉพาะ (หรือหมายเลขคลาส 1))" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-06-20 .
  14. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A003226 (ตัวเลขอัตโนมัติ: m^2 ลงท้ายด้วย m.)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ26-05-2023 .
  15. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A088054 (จำนวนเฉพาะแฟคทอเรียล: จำนวนเฉพาะที่อยู่ภายใน 1 ของจำนวนแฟคทอเรียล)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-02-14 .
  16. ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ทวิน ไพรม์ส" mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-07-30 .
  17. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A003273 (ตัวเลขที่ตรงกัน)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2016-06-01 .
  18. ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ลำดับเพอร์ริน". mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-07-30 .
  19. ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "Sierpinski Number of the First Kind". mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-07-30 .
  20. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A019434 (เฟอร์มาต์ไพรม์)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2022-07-21 .
  21. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A004729 (... รูปหลายเหลี่ยมปกติ 31 รูปที่มีด้านจำนวนคี่สามารถสร้างได้ด้วยไม้บรรทัดและเข็มทิศ)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ26-05-2023 .
  22. ↑ อับ คอนเวย์, จอห์น เอช. ; กาย, ริชาร์ด เค. (1996) หนังสือตัวเลข. นิวยอร์ก รัฐนิวยอร์ก: โคเปอร์นิคัส ( สปริงเกอร์ ) หน้า ix, 1–310. ดอย :10.1007/978-1-4612-4072-3. ไอเอสบีเอ็น 978-1-4612-8488-8. โอซีแอลซี  32854557. S2CID  115239655.
  23. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A000127 (จำนวนขอบเขตสูงสุดที่ได้จากการรวม n จุดรอบวงกลมด้วยเส้นตรง และจำนวนขอบเขตในปริภูมิ 4 มิติที่เกิดจากไฮเปอร์เพลน n-1)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ31-10-2022 .
  24. ↑ อับ สโลน, นิวเจอร์ซีย์ (เอ็ด.) "ลำดับ A000668 (จำนวนเฉพาะ Mersenne (จำนวนเฉพาะของรูปแบบ 2^n - 1))" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-07-03 .
  25. ↑ อับ สโลน, นิวเจอร์ซีย์ (เอ็ด.) "ลำดับ A103901 (จำนวนเฉพาะของ Mersenne p โดยที่ M(p) เท่ากับ 2^p - 1 ก็เป็นจำนวนเฉพาะ (Mersenne) เช่นกัน)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-07-03 .
  26. ริชาร์ด เค. กาย (2004) ปัญหาที่แก้ ไม่ได้ในทฤษฎีจำนวน สปริงเกอร์-แวร์แล็ก . หน้า 84–86. ไอเอสบีเอ็น 0-387-20860-7.
  27. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A002827 (จำนวนสมบูรณ์หน่วยเดียว)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-01-10 .
  28. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A076046 (ตัวเลขรามานุจัน-นาเจล: ตัวเลขสามเหลี่ยม...ซึ่งอยู่ในรูปแบบ 2^b - 1 เช่นกัน)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-01-10 .
  29. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A000225 (... (บางครั้งเรียกว่าหมายเลข Mersenne แม้ว่าชื่อนั้นจะสงวนไว้สำหรับ A001348 ก็ตาม))" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-01-13 .
  30. บูร์เซอโร (19-08-2015) "28". นายกรัฐมนตรีอยากรู้อยากเห็น! . PrimePages _ สืบค้นเมื่อ2022-10-13 . จำนวนเดียวที่ทราบซึ่งสามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบตัวแรก (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) จำนวนเฉพาะตัวแรก (2 + 3 + 5 + 7 + 11) และ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะตัวแรก (1 + 4 + 6 + 8 + 9) อาจไม่มีหมายเลขอื่นที่มีคุณสมบัตินี้
  31. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A000396 (จำนวนสมบูรณ์ k: k เท่ากับผลรวมของตัวหารแท้ของ k)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2022-10-13 .
  32. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A000217 (ตัวเลขสามเหลี่ยม)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2022-10-13 .
  33. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A001599 (ตัวเลขฮาร์มอนิกหรือแร่: ตัวเลข n โดยที่ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของตัวหารของ n เป็นจำนวนเต็ม)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ26-12-2022 .
  34. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) ลำดับ A001600 (ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของตัวหารจำนวนฮาร์มอนิก) สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ26-12-2022 .
  35. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A019279 (ตัวเลขสมบูรณ์แบบมาก: ตัวเลข k โดยที่ซิกมา (ซิกมา (k)) เท่ากับ 2*k โดยที่ซิกมาคือฟังก์ชันผลรวมของตัวหาร)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ26-07-2023 .
  36. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A000326 (ตัวเลขห้าเหลี่ยม)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2022-11-08 .
  37. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A005894 (ตัวเลขจัตุรมุขตรงกลาง)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2022-11-08 .
  38. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A000330 (เลขปิรามิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2022-11-08 .
  39. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A001844 (เลขกำลังสองตรงกลาง...ผลรวมของสองกำลังสอง)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2022-11-08 .
  40. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) ลำดับ A103606 (พีทาโกรัสดึกดำบรรพ์เป็นสามเท่าในลำดับเส้นรอบรูปไม่ลดลง โดยแต่ละสามเท่าในลำดับที่เพิ่มขึ้น และหากเส้นรอบวงตรงกัน ก็จะเพิ่มลำดับของสมาชิกคู่ด้วย) สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ26-05-2023 .
  41. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A007691 (จำนวนสมบูรณ์คูณ: n หารซิกมา(n))" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-06-28 .
  42. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A001065" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-08-11 .
  43. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A005891 (ตัวเลขห้าเหลี่ยมตรงกลาง)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-06-21 .
  44. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A005448 (ตัวเลขสามเหลี่ยมตรงกลาง)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-06-21 .
  45. Conrad, Keith E. "ตัวอย่างสมการของมอร์เดลล์" (PDF) (หมายเหตุของศาสตราจารย์) มหาวิทยาลัยคอนเนตทิคัต (โฮมเพจ) พี 10. S2CID  5216897.
  46. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A000217 (ตัวเลขสามเหลี่ยม)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2022-11-08 .โดยทั่วไป ผลรวมของ จำนวนสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกัน nตัวคือจำนวนจัตุรมุขที่n
  47. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A000332 (หาตัวเลขตามโพลีโทปนูนปกติ 4 มิติที่เรียกว่า 4-ซิมเพล็กซ์ธรรมดา, เพนทาโครอน, 5 เซลล์, เพนทาโทป หรือ 4-ไฮเปอร์เตตราเฮดรอนที่มีสัญลักษณ์ Schlaefli {3,3,3}...)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-06-14 .
  48. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A002411 (ตัวเลขปิรามิดห้าเหลี่ยม)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-06-28 .
  49. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A118372 (เลขสมบูรณ์ S)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-06-28 .
  50. เดอ โคนินค์, ฌอง-มารี (2008) ตัวเลขที่น่าทึ่งเหล่านั้น แปลโดย de Koninck, JM Providence, RI: American Mathematical Society . พี 40. ไอเอสบีเอ็น 978-0-8218-4807-4. นาย  2532459. โอ ซีแอลซี  317778112.
  51. วิลเลียม เอช. ริชาร์ดสัน "สี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์ลำดับที่ 3" สาขาวิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยวิชิต้าสเตท. สืบค้นเมื่อ2022-07-14 .
  52. ทริกก์, ซีดับเบิลยู (กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2507) "เวทมนตร์หกเหลี่ยมอันเป็นเอกลักษณ์" นิตยสารคณิตศาสตร์นันทนาการ. สืบค้นเมื่อ2022-07-14 .
  53. สโลน, นิวเจอร์ซีย์ "ปัญหา 3x+1" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิOEIS สืบค้นเมื่อ2023-01-24 .
  54. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A006577 (จำนวนขั้นของการลดลงครึ่งหนึ่งและสามขั้นตอนเพื่อให้ถึง 1 ในปัญหา '3x+1' หรือ -1 หากไม่ถึง 1)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-01-24 .
    "ตารางของ n, a(n) สำหรับ n = 1..10000"
  55. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A003079 (หนึ่งในวงจรพื้นฐานในปัญหา x->3x-1 (x คี่) หรือ x/2 (x คู่)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-01-24 .
    {5 ➙ 14 ➙ 7 ➙ 20 ➙ 10 ➙ 5 ➙ ...}
  56. สโลน, นิวเจอร์ซีย์ "ปัญหา 3x-1" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิOEIS สืบค้นเมื่อ2023-01-24 .
  57. โปเมอรันซ์, คาร์ล (2012) "ว่าด้วยตัวเลขที่ไม่สามารถแตะต้องได้และปัญหาที่เกี่ยวข้อง" (PDF ) วิทยาลัยดาร์ตมัธ : 1. S2CID  30344483.
  58. เทา, เทอเรนซ์ (มีนาคม 2014). "ทุกจำนวนคี่ที่มากกว่า 1 คือผลรวมของจำนวนเฉพาะสูงสุด 5 ตัว" (PDF ) คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ . 83 (286): 997–1038. ดอย :10.1090/S0025-5718-2013-02733-0. นาย  3143702. S2CID  2618958.
  59. เฮลฟ์ก็อตต์, ฮาราลด์ อันเดรส (มกราคม 2558) "ปัญหาโกลด์บัคแบบไตรภาค" arXiv : 1501.05438 [math.NT].
  60. ↑ เอบีซี บอตต์เชอร์, จูเลีย; ฟอนิก ม.ค. (2013) "คุณสมบัติของแรมซีย์ของการเรียงสับเปลี่ยน" วารสารอิเล็กทรอนิกส์ของ Combinatorics . 20 (1): P2. arXiv : 1103.5686v2 . ดอย :10.37236/2978. S2CID  17184541. Zbl  1267.05284.
  61. คันตอร์, อิลลินอยส์; โซโลดาวิโคฟ, AS (1989) ตัวเลขไฮเปอร์คอมเพล็กซ์: ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับพีชคณิต แปลโดย Shenitzer., A. New York, NY: Springer-Verlag . หน้า 109–110. ไอเอสบีเอ็น 978-1-4612-8191-7. โอซีแอลซี  19515061. S2CID  60314285.
  62. อิมาเอดะ, เค.; อิมาเอดะ, เอ็ม. (2000). "Sedenions: พีชคณิตและการวิเคราะห์" คณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ อัมสเตอร์ดัม, เนเธอร์แลนด์: เอลส์เวียร์ . 115 (2): 77–88. ดอย :10.1016/S0096-3003(99)00140-X. นาย  1786945. S2CID  32296814. Zbl  1032.17003.
  63. ซาฮังกี, เรซา (2012) "รูปหลายเหลี่ยมที่เชื่อมต่อกันในสถาปัตยกรรมเปอร์เซีย: กรณีพิเศษของ Decagram ในการออกแบบโมเสก" ( PDF) วารสารเครือข่าย Nexus 14 (2): 350. ดอย :10.1007/s00004-012-0117-5. S2CID  124558613.
  64. ค็อกซีเตอร์, HSM ; ดู วาล, ป. ; และคณะ (1982) ห้าสิบเก้า Icosahedra (1 เอ็ด) นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-แวร์แลก . หน้า 7, 8. ดอย :10.1007/978-1-4613-8216-4. ไอเอสบีเอ็น 978-0-387-90770-3. โอซีแอลซี  8667571. S2CID  118322641.
  65. เบิร์นสไตน์, ไมเคิล (1978) "ทฤษฎีบทคูราตอฟสกี้-ปอนทรายากินบนกราฟระนาบ" วารสารทฤษฎีเชิงผสมผสาน . ซีรีส์บี24 (2): 228–232 ดอย : 10.1016/0095-8956(78)90024-2 .
  66. ฮอลตัน, ดา. ชีฮาน เจ. (1993) กราฟปีเตอร์เสน สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . หน้า 9.2, 9.5 และ 9.9 ไอเอสบีเอ็น 0-521-43594-3.
  67. อลอน, โนกา ; กริทชุก, ยาโรสลาฟ; ฮาลุสซ์ซัค, มาริอุสซ์; ริออร์แดน, โอลิเวอร์ (2002) "การระบายสีกราฟแบบไม่ซ้ำกัน" ( PDF) โครงสร้างสุ่มและอัลกอริทึม 2 (3–4): 337. ดอย :10.1002/rsa.10057. MR  1945373 S2CID  5724512 การระบายสีชุดของขอบของกราฟGเรียกว่าไม่ซ้ำถ้าลำดับของสีบนเส้นทางใดๆ ในGนั้นไม่ซ้ำกัน...ในรูปที่ 1 เราจะแสดงลำดับสีที่ไม่ซ้ำกัน 5 -การระบายสีขอบของP ... เนื่องจากสามารถตรวจสอบได้ง่ายว่า 4 สีไม่เพียงพอสำหรับงานนี้ เราจึงมี π( P ) = 5
  68. Royle, G. "กราฟลูกบาศก์สมมาตร (การสำรวจสำมะโนอุปถัมภ์)" เก็บไว้เมื่อ 20-07-2008 ที่Wayback Machine
  69. เดอ เกรย์, ออเบรย์ DNJ (2018) "เลขโครมาติกของระนาบอย่างน้อย 5" ภูมิพลศาสตร์ . 28 : 5–18. arXiv : 1804.02385 . นาย  3820926. S2CID  119273214.
  70. เอ็กซู, เจฟฟรีย์; อิสไมเลสคู, แดน (2020) "เลขโครมาติกของระนาบอย่างน้อย 5: ข้อพิสูจน์ใหม่" เรขาคณิตที่ ไม่ต่อเนื่องและการคำนวณ นครนิวยอร์ก รัฐนิวยอร์ก: สปริงเกอร์ . 64 : 216–226. arXiv : 1805.00157 . ดอย :10.1007/s00454-019-00058-1. นาย  4110534. S2CID  119266055. Zbl  1445.05040.
  71. กรุนบัม, แบรนโก ; เชพเพิร์ด, เจฟฟรีย์ (พฤศจิกายน 2520) "การปูกระเบื้องด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติ" ( PDF) นิตยสารคณิตศาสตร์ . เทย์เลอร์แอนด์ฟรานซิส จำกัด50 (5): 227–236 ดอย :10.2307/2689529. JSTOR  2689529. S2CID  123776612. Zbl  0385.51006.
  72. กรุนบัม, แบรนโก ; เชพเพิร์ด, เจฟฟรีย์ ซี. (1987) "การปูกระเบื้องด้วยรูปหลายเหลี่ยม" การปูกระเบื้องและลวดลาย นิวยอร์ก: WH ฟรีแมนและบริษัท ไอเอสบีเอ็น 978-0-7167-1193-3. คุณ  0857454.ส่วนที่ 9.3: "การปูกระเบื้อง Monohedral อื่น ๆ โดยรูปหลายเหลี่ยมนูน"
  73. ไบรอัน บันช์, อาณาจักรแห่งจำนวนอนันต์ . นิวยอร์ก: WH Freeman & Company (2000): 61
  74. สกิลลิง, จอห์น (1976) "สารประกอบสม่ำเสมอของรูปทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ" การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของสมาคมปรัชญาเคมบริดจ์ . 79 (3): 447–457. Bibcode :1976MPPCS..79..447S. ดอย :10.1017/S0305004100052440. คุณ  0397554. S2CID  123279687.
  75. เคปเลอร์, โยฮันเนส (2010) เกล็ดหิมะหกมุม หนังสือพอลดราย. เชิงอรรถ 18, น. 146. ไอเอสบีเอ็น 978-1-58988-285-0.
  76. ↑ อ เล็กซานดรอฟ, AD (2005) "8.1 ด้านขนาน" รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน สปริงเกอร์. หน้า 349–359.
  77. เวบบ์, โรเบิร์ต. "การนับดาวฤกษ์" www.software3d.com . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 25-11-2022 . สืบค้นเมื่อ2023-01-12 .
  78. พินัยกรรม, เจเอ็ม (1987) "รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเชิงรวมกันของดัชนี 2" สมการคณิตศาสตร์ . 34 (2–3): 206–220. ดอย :10.1007/BF01830672. S2CID  121281276.
  79. ฮาร์เอล, ซวี (1993) "วิธีแก้ปัญหาแบบสม่ำเสมอสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสม่ำเสมอ" ( PDF) Geometriae Dedicata เนเธอร์แลนด์: สำนักพิมพ์ Springer . 47 : 57–110. ดอย :10.1007/BF01263494. นาย  1230107. S2CID  120995279. Zbl  0784.51020.
    "ในตารางที่ 4 ถึง 8 เราแสดงรายการรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบไม่มีไดฮีดราจำนวน 75 ชิ้น เช่นเดียวกับปริซึมห้าเหลี่ยมและแอนติปริซึม 5 ชิ้น ซึ่งจัดกลุ่มตามการสร้างสามเหลี่ยมชวาร์ซ"
    ภาคผนวก II: รูปทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ
  80. เอชเอสเอ็ม ค็อกซีเตอร์ (1973) โพลีท็อปธรรมดา (ฉบับที่ 3) นิวยอร์ก: Dover Publications, Inc. p. 120. ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-61480-9.
  81. เอชเอสเอ็ม ค็อกซีเตอร์ (1973) โพลีท็อปธรรมดา (ฉบับที่ 3) นิวยอร์ก: Dover Publications, Inc. p. 124. ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-61480-9.
  82. จอห์น ฮอร์ตัน คอนเวย์ ; ไฮดี้ เบอร์จิล; ไชม์ กู๊ดแมน-สตราส (2008) ความสมมาตรของสรรพสิ่ง เอเค ปีเตอร์ส /สำนักพิมพ์ CRC ไอเอสบีเอ็น 978-1-56881-220-5.บทที่ 26: "การต่อต้านปริซึมอันยิ่งใหญ่"
  83. ค็อกซีเตอร์, HSM (1982) "โทรอยด์สิบอันและเฮมิโดคาเฮดราห้าสิบเจ็ด" Geometriae Dedicata 13 (1): 87–99. ดอย :10.1007/BF00149428. คุณ  0679218. S2CID  120672023..
  84. ค็อกซีเตอร์, HS M (1984) "การจัดวางแบบสมมาตรของสิบเอ็ดเฮมิ-อิโคซาเฮดรา" พงศาวดารของคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง . คณิตศาสตร์ศึกษานอร์ธฮอลแลนด์ 87 (20): 103–114. ดอย :10.1016/S0304-0208(08)72814-7. ไอเอสบีเอ็น 978-0-444-86571-7.
  85. แมคมัลเลน, ปีเตอร์ ; ชูลเต้, เอกอน (2002) บทคัดย่อ Polytopes ปกติ สารานุกรมคณิตศาสตร์และการประยุกต์. ฉบับที่ 92. เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. หน้า 162–164. ดอย :10.1017/CBO9780511546686. ไอเอสบีเอ็น 0-521-81496-0. นาย  1965665. S2CID  115688843.
  86. เอดจ์, วิลเลียม แอล. (1978) "นำโค้ง". วารสารสมาคมคณิตศาสตร์ลอนดอน . ลอนดอน: สมาคมคณิตศาสตร์ลอนดอน . 18 (3): 539–545. ดอย :10.1112/jlms/s2-18.3.539. ISSN  0024-6107. นาย  0518240 S2CID  120740706 Zbl  0397.51013