11 (หมายเลข)

← 10 11 12 →
พระคาร์ดินัลสิบเอ็ด
ลำดับที่ 11
(สิบเอ็ด)
ระบบตัวเลขทศนิยม
การแยกตัวประกอบสำคัญ
นายกรัฐมนตรีที่ 5
ตัวหาร1, 11
เลขกรีกเอ'
เลขโรมันจิน
คำนำหน้าภาษากรีกเฮนเดก้า-/เฮนเดก้า-
คำนำหน้าภาษาละตินอูนก้า-
ไบนารี่10112 _
เทอร์นารี102 3
วุฒิสภา15 6
เลขฐานแปด13 8
ทศนิยมบี12
เลขฐานสิบหกบี16
บางลา১১
ตัวเลขฮีบรูใช่
ตัวเลขเทวนาครี११
มาลายาลัม൰൧
ตัวเลขทมิฬகக
เตลูกู౧౧

11 ( สิบเอ็ด ) เป็นจำนวนธรรมชาติที่อยู่ถัดจาก10และอยู่ข้างหน้า12 มัน เป็น ตัวแทนคนแรก ในภาษาอังกฤษ เป็นจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุดซึ่งมีชื่อสามพยางค์

ชื่อ

"Eleven" มาจากภาษาอังกฤษโบราณ ęndleofonซึ่งได้รับการยืนยันครั้งแรกในประวัติศาสตร์ทางศาสนาของชาวอังกฤษในช่วงปลายศตวรรษที่ 9 ของBede [2] [3]มีต้นกำเนิดมาจากภาษาเจอร์แมนิก ทุกภาษา (เช่นเอลฟ์ เยอรมัน ) ซึ่ง บรรพบุรุษ ดั้งเดิมดั้งเดิมได้ถูกสร้างขึ้นใหม่เป็น* ainalifa- , [4]จากคำนำหน้า* aina- (คำคุณศัพท์ " one ") และ คำต่อท้าย* -lifa-ความหมายไม่แน่นอน [3]บางครั้งมีการเปรียบเทียบกับภาษาลิทัวเนียvienúolikaแม้ว่า-likaจะใช้เป็นส่วนต่อท้ายสำหรับตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 11 ถึง 19 (คล้ายกับ "-teen") [3]

รูป แบบ ภาษาอังกฤษเก่า มีความ ใกล้เคียงกันมากขึ้นในภาษาฟริเซียนเก่าแซ็กซอนและนอร์สซึ่งบรรพบุรุษได้รับการสร้างขึ้นใหม่เป็น* ainlifun เดิมเชื่อกันว่ามาจากภาษาเจอร์แมนิกดั้งเดิม* tehun (" ten "); [3] [5]บางครั้งเชื่อมโยงกับ* leikʷ-หรือ* leip- ("ซ้าย; เหลืออยู่") โดยมีความหมายโดยปริยายว่า "เหลืออีกหนึ่ง" หลังจากนับถึงสิบ [3]

ในภาษาต่างๆ

แม้ว่าเลข 11 จะมีชื่อเป็นของตัวเองในภาษาดั้งเดิม เช่น อังกฤษ เยอรมัน หรือสวีเดน และภาษาละตินบางภาษา เช่น สเปน โปรตุเกส และฝรั่งเศส แต่ก็เป็นเลขประสมตัวแรกในภาษาอื่นๆ อีกหลายภาษา: จีน十一shí , ภาษาเกาหลี열하나 ย อล ฮานาหรือ십일 ชิป อิ

ในวิชาคณิตศาสตร์

สิบเอ็ดเป็นจำนวนเฉพาะตัว ที่ห้า และ พาลินโดรมตัวเลขสองหลักแรกใน รูป แบบทศนิยม ก่อตัวเป็นจำนวนเฉพาะคู่ด้วย13 , [6]และเป็นสมาชิกตัวแรกของจำนวนเฉพาะจำนวนเฉพาะตัว ที่สอง (11, 13, 17, 19) [7] 11 เป็นเลขชี้กำลังเฉพาะตัวแรกที่ไม่ให้ค่าเฉพาะของMersenne โดยที่ซึ่งเป็นจำนวนประกอบ ในทางกลับกัน จำนวนเฉพาะตัวที่ 11 ของ31นั้นเป็นจำนวนเฉพาะของ Mersenne ตัวที่สาม ในขณะที่จำนวนเฉพาะ 31 ตัวแรกของ127ไม่เพียงแต่เป็นจำนวนเฉพาะของ Mersenne เท่านั้น แต่ยังรวมถึงจำนวนเฉพาะของMersenne คู่ ตัวที่สอง ด้วย 11 ยังเป็นเลข Heegner ตัวที่ 5 ซึ่งหมายความว่าวงแหวนของจำนวนเต็มของสนามมีคุณสมบัติในการแยกตัวประกอบเฉพาะและเลขคลาส1 11 คือ จำนวนเฉพาะจำนวนเฉพาะตัวแรกในรูปทศนิยม (และเรียกง่ายๆ ว่าจำนวนเฉพาะตัว แรก ) [8]เช่นเดียวกับจำนวนเฉพาะตัว ที่สอง ในฐานสิบ [9]เป็นไพรม์สตรองตัว แรก [ 10 ] ไพรม์ดีตัวที่สอง[11] ไพรม์ซุปเปอร์ไพรม์ ตัว ที่สามไพรม์ลูคัสที่สี่[12]และไพรม์เอกพจน์ ที่ห้าติดต่อกัน [13]

แถวของสามเหลี่ยมปาสคาลสามารถเห็นได้ว่าเป็นตัวแทนของกำลังของ 11 [14]

เฮกโซมิโน 11 ตัวจากทั้งหมด35 ตัว สามารถพับเป็นทรงลูกบาศก์ได้ในขณะที่ออคเชียมอนด์ 11 ตัวจากทั้งหมด 66 ตัว สามารถพับเป็นทรงแปดหน้า ปกติ ได้

การแกะสลักทองแดงรูปหกเหลี่ยมโดย Anton Ernst Burkhard von Birckenstein (1698)

รูปหลายเหลี่ยม 11 ด้านเรียกว่ารูปห้าเหลี่ยมหรือรูปหลายเหลี่ยม กราฟที่สมบูรณ์ มีขอบทั้งหมด 55 เส้น ซึ่งรวมกันแสดงถึงเส้นทแยงมุมและด้านข้างของรูปห้าเหลี่ยม

เฮนเดคาเหลี่ยมปกติไม่สามารถสร้างด้วยเข็มทิศและขอบตรง เพียงอย่างเดียว ได้เนื่องจาก 11 ไม่ใช่ผลคูณของ จำนวนเฉพาะ แฟร์มาต์ที่ แตก ต่างกัน และยังเป็นรูปหลายเหลี่ยมแรกที่ไม่สามารถสร้างได้ด้วยความช่วยเหลือของไตรเซกเตอร์มุม [15]

11 และจำนวนทวีคูณบางส่วนปรากฏเป็นการนับของเทสเซลเลชันที่สม่ำเสมอในมิติและช่องว่างต่างๆ มี:

การปูกระเบื้องแบบสม่ำเสมอ 22 แบบแบบขอบจรดขอบที่มี รูปหลายเหลี่ยม นูนและรูปดาวและการปูกระเบื้องแบบสม่ำเสมอ 33 แบบที่มีapeirogons ซิซแซ็กที่สลับกันระหว่างสองมุม [17] [18]
  • apeirogons เชิงซ้อนปกติ 11 อันซึ่งเรียงต่อกันด้วยรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านนับไม่ถ้วน คำตอบ 8 ข้อในรูปแบบp {q} rเป็นไปตาม δพี ,
    2
    โดยที่ถูกจำกัดให้ในขณะที่สามโหนดมีโหนดที่สัมพันธ์กันและรวมโซลูชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด สองโหนดในและอีกหนึ่งโหนดใน [19]
22 apeirohedra เชิงซ้อนปกติในรูปแบบp { a} q {b} rโดยที่ 21 มีอยู่ในและ 1 ใน [20]
รังผึ้งไฮเปอร์โบลิกปกติทั้งหมด 11 ชิ้นในมิติที่สี่ : สารละลาย ขนาดกะทัดรัด 9 ชิ้น ถูกสร้างขึ้นจาก4-โพลีโทปปกติและ4-โพลีโทปแบบดาวปกติควบคู่ไปกับสารละลายพาราคอมแพ็ค 2 รายการ [21]

11 เซลล์เป็นโพลีโทปนามธรรม 4 ตัวที่มี 11 จุดยอด55 ขอบ 55 ใบหน้าสามเหลี่ยม และ 11 เซลล์ครึ่งไอโคซาฮีดรัล เป็นสากลในแง่ที่ว่าเป็นโพลีโทปเชิงนามธรรมเพียงชนิดเดียวที่มีด้านครึ่งไอโคซาฮีดรัลและจุดยอด ครึ่งสิบสอง หน้า 11 เซลล์มีจำนวนจุดยอดและขอบเท่ากันกับกราฟที่สมบูรณ์และ10 ซิมเพล็กซ์ซึ่งเป็นโพลีโทปปกติใน10มิติ

มีระบบพิกัด เส้นโค้งตั้งฉาก 11 ระบบ (ภายในสมมาตรโครงสร้าง) ซึ่งสามารถแก้สมการเฮล์มโฮลทซ์ 3 ตัวแปรได้โดยใช้ เทคนิค การแยกตัวแปร

หมู่มาติเยอ เป็นกลุ่มที่เล็กที่สุดใน บรรดาหมู่กระจัดกระจาย 26 กลุ่ม ซึ่งนิยามว่าเป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนแบบ 4 สกรรมกริยาบนวัตถุ 11 ชิ้น มีลำดับโดยที่ 11 เป็นตัวประกอบเฉพาะที่ใหญ่ที่สุด และการแสดงจำนวนเชิงซ้อนที่เที่ยงตรง น้อยที่สุด ในสิบมิติ การกระทำแบบกลุ่มคือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของระบบ Steinerโดยมีการกระทำที่เกิดขึ้นกับคู่คะแนนที่ไม่เรียงลำดับซึ่งให้การกระทำอันดับ 3ใน 55 คะแนน ในทางกลับกันกลุ่ม Mathieu ถูกสร้างขึ้นจากการเรียงสับเปลี่ยนของ กลุ่มเชิงเส้นพิเศษที่ฉายภาพ ด้วย กลุ่มของ เป็นกลุ่มประปรายที่เล็กเป็นอันดับสอง และถือเป็นกลุ่มย่อยสูงสุดและตัวทำให้เสถียรจุดโดยมีลำดับเท่ากับโดยที่ 11 ก็เป็นปัจจัยเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดเช่นกันเช่น ยังรวมศูนย์องค์ประกอบของลำดับ 11 ไว้ในยักษ์ใหญ่ที่เป็นมิตรซึ่งเป็นกลุ่มประปรายที่ใหญ่ที่สุด และเป็นตัวแทนที่ซับซ้อนอย่างซื่อสัตย์ อย่างลดไม่ได้ ในสิบเอ็ดมิติ

จำนวนเฉพาะสิบเอ็ดตัวแรก (ตั้งแต่2ถึง31 ) เป็นจำนวนเฉพาะเหนือเอกพจน์ที่ต่อเนื่องกันซึ่งแบ่งลำดับของจำนวนเฉพาะยักษ์ที่เป็นมิตร โดยที่เหลืออีกสี่จำนวนเฉพาะเหนือเอกพจน์ (41, 47, 59 และ 71) อยู่ระหว่างจำนวนเฉพาะที่ไม่เป็นเอกพจน์ห้าตัว [13]มีเพียงห้ากลุ่มจากยี่สิบหกกลุ่ม เท่านั้น ที่ไม่มี 11 กลุ่มเป็นตัวประกอบสำคัญในการแบ่งลำดับกลุ่ม ( , , , และ) 11 ไม่ใช่ปัจจัยสำคัญของการจัดลำดับของกลุ่มหัวนมซึ่งบางครั้งจัดอยู่ในกลุ่มประเภทโกหก ที่ไม่เข้มงวด หรือกลุ่มประปราย

11 เป็นสมาชิกตัวที่สองของคู่ที่สอง (5, 11) ของตัวเลขสีน้ำตาล มีเพียงสามคู่ของตัวเลขเท่านั้นและทราบที่ใด คู่ที่ใหญ่ที่สุด (7, 71) พอใจ ในคู่สุดท้ายนี้5040เป็นแฟกทอเรียลของ7ซึ่งหารด้วยจำนวนเต็มทั้งหมดที่น้อยกว่า13ยกเว้น 11 สมาชิกของคู่แรก ( 4 , 5 ) คูณด้วย20ดัชนีเฉพาะของ71 — นั่นคือเช่นกันจำนวนประกอบที่สิบเอ็ด [22]

ภายในไพรม์เซฟและโซฟี เจอร์เมนของแบบฟอร์ม11 เป็นไพรม์ปลอดภัยตัว ที่สาม จาก a ของ5 , [23]และไพรม์ไพรม์โซฟี เจอร์เมน ตัวที่ สี่ซึ่งให้ผลลัพธ์23 [24]

เป็นทศนิยม

11 เป็นจำนวนเฉพาะสองหลักที่เล็กที่สุด บนจอแสดงผลเจ็ดส่วนของเครื่องคิดเลข จะเป็นทั้ง ไพร ม์สโตรโบแกรมมาติกและไพรม์ไดฮีดรัล [25]

ผลคูณของ 11 ด้วยตัวเลขหนึ่งหลักจะได้ตัวเลขพาลินโดรมที่มีเลขคู่ตรงกัน: 00 , 11 , 22 , 33 , 44ฯลฯ

ผลรวมของจำนวนเต็ม บวกที่ไม่ใช่ศูนย์ 11 ตัว แรก ซึ่งเทียบเท่ากับ เลขสามเหลี่ยมตัวที่ 11 คือ66 ในทางกลับกัน ผลรวมของจำนวนเต็ม 11 ตัวแรกจาก 0ถึง10คือ55

สี่กำลัง แรก ของ 11 ให้ผลเป็นเลขพาลินโดรม: ​​11 1 = 11, 11 2 = 121, 11 3 = 1331 และ 11 4 = 14641

11 คือดัชนีหรือสมาชิกลำดับที่ 11 ในลำดับของเลขพาลินโดรม และ 121 เท่ากับคือลำดับที่ 22 [26]

แฟกทอเรียลของ 11 , มีความแตกต่างประมาณ 0.2% จากจำนวนรอบหรือ 40 ล้าน ในบรรดา 100 แฟกทอเรียลแรก จำนวนถัด ไปที่ใกล้เคียงที่สุดกับจำนวนรอบคือ 96 ( ) ซึ่งน้อยกว่า 10 149 ประมาณ 0.8% [27]

หากตัวเลขหารด้วย 11 ลงตัว การกลับหลักจะทำให้เกิดผลคูณของ 11 อีกจำนวนหนึ่ง ตราบใดที่ไม่มีหลักสองหลักที่อยู่ติดกันของตัวเลขบวกกันเกิน 9 ให้คูณตัวเลขด้วย 11 กลับหลักผลคูณแล้วหาร ตัวเลขใหม่คูณ 11 จะทำให้ได้ตัวเลขที่ตรงกันข้ามกับตัวเลขเดิม เช่นเดียวกับใน:

142,312 × 11 = 1,565,432 → 2,345,651 ÷ 11 = 213,241

การทดสอบการแบ่งแยก

การทดสอบง่ายๆ เพื่อพิจารณาว่าจำนวนเต็มหารด้วย 11 ลงตัวหรือไม่ คือการนำตัวเลขทุกหลักในตำแหน่งคี่มาบวกกัน จากนั้นนำตัวเลขที่เหลือมาบวกกัน ถ้าผลต่างระหว่างผลรวมทั้งสองคือผลคูณของ 11 รวมทั้ง 0 ด้วย ตัวเลขนั้นจะหารด้วย 11 ลงตัว[28]ตัวอย่างเช่น ด้วยตัวเลข 65,637:

(6 + 6 + 7) - (5 + 3) = 19 - 8 = 11 ดังนั้น 65,637 หารด้วย 11 ลงตัว

เทคนิคนี้ยังใช้ได้กับกลุ่มของตัวเลขมากกว่าแต่ละหลัก ตราบใดที่จำนวนหลักในแต่ละกลุ่มเป็นเลขคี่ แม้ว่าทุกกลุ่มไม่จำเป็นต้องมีจำนวนหลักเท่ากันก็ตาม หากใช้ตัวเลขสามหลักในแต่ละกลุ่ม จะได้จากการคำนวณ 65,637

(065) - 637 = -572 ซึ่งหารด้วย 11 ลงตัว

การทดสอบการหารอีกอย่างหนึ่งคือการแบ่งตัวเลขออกเป็นกลุ่มๆ โดยมีตัวเลขสองหลักติดต่อกัน (บวกศูนย์นำหน้าหากมีจำนวนหลักเป็นเลขคี่) จากนั้นจึงบวกตัวเลขที่เกิดขึ้น หากผลลัพธ์หารด้วย 11 ลงตัว ตัวเลขก็จะหารด้วย 11 ลงตัว:

06 + 56 + 37 = 99 ซึ่งหารด้วย 11 ลงตัว

วิธีนี้ยังใช้งานได้โดยเพิ่มศูนย์ต่อท้ายแทนที่จะเป็นเลขนำหน้า และสำหรับกลุ่มตัวเลขที่ใหญ่กว่า โดยมีเงื่อนไขว่าแต่ละกลุ่มจะต้องมีจำนวนหลักเป็นเลขคู่ (ไม่ใช่ทุกกลุ่มจะต้องมีจำนวนหลักเท่ากัน):

65 + 63 + 70 = 198 ซึ่งหารด้วย 11 ลงตัว

การคูณ 11

วิธีง่ายๆ ในการคูณตัวเลขด้วย 11 ในฐาน 10 คือ:

หากหมายเลขมี:

  • 1 หลัก ทำซ้ำหลัก: 2 × 11 กลายเป็น 22
  • 2 หลัก เพิ่ม 2 หลักแล้ววางผลลัพธ์ไว้ตรงกลาง: 47 × 11 กลายเป็น 4 (11) 7 หรือ 4 (10+1) 7 หรือ (4+1) 1 7 หรือ 517
  • 3 หลัก ให้เก็บหลักแรกไว้แทนหลักแรกของผลลัพธ์ เพิ่มหลักแรกและหลักที่สองเพื่อสร้างผลลัพธ์หลักที่สอง เพิ่มหลักที่สองและสามเพื่อสร้างหลักที่สามของผลลัพธ์ และเก็บหลักที่สามไว้เป็นผลลัพธ์ หลักที่สี่ สำหรับตัวเลขผลลัพธ์ใดๆ ที่มากกว่า 9 ให้นำ 1 ไปทางซ้าย
    123 × 11 กลายเป็น 1 (1+2) (2+3) 3 หรือ 1353
    481 × 11 กลายเป็น 4 (4+8) (8+1) 1 หรือ 4 (10+2) 9 1 หรือ (4+1) 2 9 1 หรือ 5291
  • 4 หลักขึ้นไป ทำตามรูปแบบเดียวกับ 3 หลัก

รายการการคำนวณพื้นฐาน

การคูณ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 50 100 1,000
11 × x 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220 275 550 1100 11000
แผนก 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
11 เสี่ยวx 11 5.5 3. 6 2.75 2.2 1.8 3 1.571428 _ 1.375 1. 2 1.1 1 0.91 6 0.846153 _ 0.7 857142 0.7 3
x ۞ 11 0.09 _ 0. 18 0.27 _ 0.36 _ 0.45 _ 0.54 _ 0.63 _ 0.72 _ 0.81 _ 0.90 _ 1 1.09 _ 1. 18 1.27 _ 1.36 _
การยกกำลัง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
11x _ 11 121 1331 14641 161051 1771561 19487171 214358881 2357947691 25937424601 285311670611
x11 _ 1 2048 177147 4194304 48828125 362797056 1977326743 8589934592 31381059609 100000000000 285311670611

ในฐานอื่นๆ

ใน ฐาน สิบสองและฐานที่สูงกว่า (เช่นเลขฐานสิบหก ) 11 จะแสดงเป็น B, E, Z หรือ ↋ (el) โดยที่ 10 คือ A, T, W, X หรือ ↊ (dek)

Radix 1 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100
110 120 130 140 150 200 250 500 1,000 10,000 100000 1000000
x11 _ 1 5 เอ11 14 11 19 11 23 11 28 11 37 11 46 11 55 11 64 11 73 11 82 11 91 11
A0 11 อเอ11 109 11 118 11 127 11 172 11 208 11 415 11 82เอ11 7572 11 6914A 11 623351 11

ในทางวิทยาศาสตร์

ดาราศาสตร์

ในศาสนาและจิตวิญญาณ

ศาสนาคริสต์

หลังจากที่ยูดาส อิสคาริโอทได้รับความอับอาย บางครั้ง อัครสาวกที่เหลือของพระเยซูก็ถูกเรียกว่า "สิบเอ็ดคน" (มาระโก 16:11; ลูกา 24:9 และ 24:33) แม้ว่าหลังจาก เพิ่ม มัทธีอัสแล้วเพื่อนำจำนวนกลับมาเป็น 12 ดังเช่นในกิจการอัครทูต 2:14: [30] เปโตรยืนขึ้นพร้อมกับอัครสาวกทั้งสิบเอ็ดคน ( New International Version ) The New Living Translationกล่าวว่าเปโตรก้าวไปข้างหน้าพร้อมกับอัครสาวกอีกสิบเอ็ดคนทำให้ชัดเจนว่าจำนวนอัครสาวกตอนนี้อยู่ที่ 12 คน

กล่าวกันว่า นักบุญอูร์ซูลาสิ้นพระชนม์ในศตวรรษที่ 3 หรือ 4 ในเมืองโคโลญจน์พร้อมกับสหายจำนวนหนึ่ง ซึ่งจำนวนรายงาน "แตกต่างกันไปตั้งแต่ห้าถึงสิบเอ็ดคน" [31]ตำนานที่เออร์ซูลาเสียชีวิตพร้อมกับสหายพรหมจารี 11,000 คน[32]เชื่อกันว่าปรากฏขึ้นจากการอ่านXI ผิด MV (คำย่อภาษาละตินสำหรับ "Eleven Martyr Virgins") ว่า "Eleven Thousand Virgins"

อิสลาม

พี่น้องทั้งสิบเอ็ดคนและพ่อแม่ของ โจเซฟได้รับการกล่าวถึงในเชิงเปรียบเทียบในอัลกุรอานและความฝันของเขาเป็นจริงเมื่อในที่สุดพวกเขาก็หมอบราบต่อหน้าเขาในอียิปต์ [33]

˹จงจำไว้เถิดว่า เมื่อโยเซฟพูดกับบิดาของเขาว่า “โอ้ บิดาที่รักของฉัน! แท้จริงฉันฝันถึงดวงดาวสิบเอ็ดดวง ดวงอาทิตย์ และดวงจันทร์ ฉันเห็นพวกมันสุญูดให้ฉัน!”

—  ซูเราะห์ ยูซุฟ (โยเซฟ):4 [34]

ชาวบาบิลอน

ในEnûma Elišเทพธิดา Tiamat ได้สร้างสัตว์ประหลาด 11 ตัวเพื่อล้างแค้นให้กับการตายของสามีของเธอ Apsû

เวทย์มนต์

หมายเลข 11 (ข้างตัวคูณ 22 และ 33) เป็นตัวเลขหลักในศาสตร์ แห่ง ตัวเลขโดยเฉพาะในยุคใหม่ [35]ในทางโหราศาสตร์ราศีกุมภ์เป็นราศี ที่ 11 ของจักรราศี [36]

ในด้านดนตรี

ในการเล่นกีฬา

ในด้านการทหาร

ในการคำนวณ

ในแคนาดา

ในด้านอื่นๆ

ดูสิ่งนี้ด้วย

อ้างอิง

  1. บีเด , ปัญญาจารย์. ประวัติความเป็นมา ,บีเค. วี ช. xviii
  2. โดยเฉพาะในบรรทัดjjvjv ðæt rice hæfde endleofan wintra [1]
  3. ↑ abcde Oxford English Dictionary , ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1. "eleven, adj.และn. " สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด (อ็อกซ์ฟอร์ด), พ.ศ. 2434
  4. ครูเนน, กุส (2013) พจนานุกรมนิรุกติศาสตร์ของโปรโต - ดั้งเดิม . ไลเดน: ยอดเยี่ยม พี 11ฟ. ไอเอสบีเอ็น 978-90-04-18340-7.
  5. Dantzig, Tobias (1930), หมายเลข: ภาษาแห่งวิทยาศาสตร์.
  6. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A001359 (จำนวนเฉพาะแฝดน้อยกว่า)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-01-22 .
  7. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A136162 (รายชื่อจำนวนเฉพาะสี่เท่า {p, p+2, p+6, p+8})" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-03-02 .
    "{11, 13, 17, 19} เป็นเพียงจำนวนไพรม์สี่เท่า {p, p+2, p+6, p+8} เท่านั้นที่อยู่ในรูปแบบ {Q-4, Q-2, Q+2, Q+4} โดยที่ Q คือผลคูณของจำนวนเฉพาะคู่ {q, q+2} (สำหรับจำนวนเฉพาะ q = 3) เพราะจำนวน Q-2 และ Q+4 ใช้สำหรับประกอบ q>3 รูปแบบ 3*(12*k^ 2-1) และ 3*(12*k^2+1) ตามลำดับ (k คือจำนวนเต็ม)
  8. "A004022 ของสโลน : จำนวนเฉพาะของแบบฟอร์ม (10^n - 1)/9" สารานุกรมออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2016-06-01 .
  9. "A040017 ของสโลน : จำนวนเฉพาะเฉพาะ (ไม่มีจำนวนเฉพาะใดที่มีระยะเวลาเท่ากันกับ 1/p) ตามลำดับ (ระบุระยะเวลาไว้ใน A051627)" สารานุกรมออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2018-11-20 .
  10. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A051634 (จำนวนเฉพาะแบบ Strong: prime(n) > (prime(n-1) + prime(n+1))/2)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2022-08-10 .
  11. "A028388 ของสโลน : จำนวนเฉพาะที่ดี" สารานุกรมออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2016-06-01 .
  12. "A005479 ของสโลน : ตัวเลขไพร์มลูคัส" สารานุกรมออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2016-06-01 .
  13. ↑ อับ สโลน, นิวเจอร์ซีย์ (เอ็ด.) "ลำดับ A002267 (จำนวนเฉพาะเหนือเอกพจน์ 15 ตัว: จำนวนเฉพาะที่หารลำดับของกลุ่มแบบง่ายของมอนสเตอร์)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-01-22 .
  14. มุลเลอร์, ฟรานซิส เจ. (1965) "เพิ่มเติมเกี่ยวกับสามเหลี่ยมปาสคาลและพลังของ 11" ครูคณิตศาสตร์ . 58 (5): 425–428. ดอย :10.5951/MT.58.5.0425. จสตอร์  27957164.
  15. กลีสัน, แอนดรูว์ เอ็ม. (1988) "การแยกมุม เจ็ดเหลี่ยม และไตรไกเดคาเหลี่ยม" คณิตศาสตร์อเมริกันรายเดือน เทย์เลอร์ แอนด์ ฟรานซิสจำกัด 95 (3): 191–194. ดอย :10.2307/2323624. จสตอร์  2323624 คุณ  0935432 S2CID  119831032
  16. กรุนบัม, แบรนโก ; เชพเพิร์ด, เจฟฟรีย์ (พฤศจิกายน 2520) "การปูกระเบื้องด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติ" ( PDF) นิตยสารคณิตศาสตร์ . เทย์เลอร์แอนด์ฟรานซิส จำกัด50 (5): 233. doi :10.2307/2689529. JSTOR  2689529. S2CID  123776612. Zbl  0385.51006.
  17. กรุนบัม, แบรนโก ; เชพเพิร์ด, GC (1987) "ส่วนที่ 2.5 การปูกระเบื้องโดยใช้รูปหลายเหลี่ยมรูปดาว" การปูกระเบื้องและลวดลาย นิวยอร์ก: WH ฟรีแมนและบริษัท หน้า 82–89. ดอย :10.2307/2323457. ไอเอสบีเอ็น 0-7167-1193-1. JSTOR  2323457. OCLC  13092426. S2CID  119730123.
  18. กรุนบัม, แบรนโก ; มิลเลอร์, JCP ; เชพเพิร์ด, GC (1981) "การปูกระเบื้องสม่ำเสมอด้วยกระเบื้องกลวง" หลอดเลือดดำเรขาคณิต : Coxeter Festschrift นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-แวร์แลก . หน้า 47–48. ดอย :10.1007/978-1-4612-5648-9_3. ไอเอสบีเอ็น 978-1-4612-5650-2. คุณ  0661769. โอซี แอลซี  7597141.
  19. ค็อกซีเตอร์, HSM (1991) "11.6 อะเปโรกอน" โพลีโทปเชิงซ้อนปกติ (ฉบับที่ 2) ลอนดอน: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . พี 111, 112. ดอย :10.2307/3617711. ไอเอสบีเอ็น 978-0521394901. JSTOR  3617711. MR  1119304. OCLC  21562167. S2CID  116900933.
  20. ค็อกซีเตอร์, HSM (1991) "12.8 รอบรังผึ้ง" โพลีโทปเชิงซ้อนปกติ (ฉบับที่ 2) ลอนดอน: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . พี 138-140. ดอย :10.2307/3617711. ไอเอสบีเอ็น 978-0521394901. JSTOR  3617711. MR  1119304. OCLC  21562167. S2CID  116900933.
  21. อรรถ ab ค็อกซีเตอร์, HSM (1956) "รังผึ้งปกติในอวกาศไฮเปอร์โบลิก" ( PDF) การดำเนินการของสภานักคณิตศาสตร์นานาชาติ (1954) . อัมสเตอร์ดัม: บริษัท สำนักพิมพ์นอร์ทฮอลแลนด์3 : 167–168 นาย  0087114. S2CID  18079488. Zbl  0073.36603. เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 02-04-2015
  22. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A002808 (จำนวนประกอบ: ตัวเลข n ในรูปแบบ x*y สำหรับ x > 1 และ y > 1)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2023-09-10 .
  23. "A005385 ของสโลน : ไพรม์ปลอดภัย" สารานุกรมออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2016-06-01 .
  24. "A005384 ของสโลน : จำนวนเฉพาะของโซฟี เจอร์เมน" สารานุกรมออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2016-06-01 .
  25. "A134996 ของสโลน : จำนวนเฉพาะของเครื่องคิดเลขไดฮีดรัล: p, p กลับหัว, p ในกระจก, p กลับหัวและในกระจก ล้วนเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด" สารานุกรมออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2020-12-17 .
  26. สโลน, นิวเจอร์ซีย์. (เอ็ด.) "ลำดับ A002113 (พาลินโดรมในฐาน 10)" สารานุกรม ออนไลน์ เรื่องลำดับจำนวนเต็ม มูลนิธิโออีไอเอส. สืบค้นเมื่อ2022-08-11 .
  27. "รายการตัวเลขแฟคทอเรียล 100 หลักแรก" สารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์ (OEIS ) สืบค้นเมื่อ 30 สิงหาคม 2565 .
  28. ฮิกกินส์, ปีเตอร์ (2008) เรื่องราวเกี่ยวกับจำนวน: จากการนับจนถึงการเข้ารหัส นิวยอร์ก: โคเปอร์นิคัส. พี 47. ไอเอสบีเอ็น 978-1-84800-000-1.
  29. ภาพถ่าย, Robert Erdmann, Bob Erdmann, Robert, Bob, Erdmann, NGC, IC, ดาราศาสตร์, Deep-Sky, ฐานข้อมูล, กาแล็กซี, กาแล็กซี, เดรเยอร์, ​​เฮอร์เชล, กล้องโทรทรรศน์, คอร์วิน, สคิฟฟ์, บูทา, อาร์ชินัล, แครจิน, หลิง, Gottlieb, ลึก, ท้องฟ้า, อวกาศ, แคตตาล็อก, แคตตาล็อก, รูปภาพ "โครงการ NGC / IC - แหล่งรวมแคตตาล็อกทั่วไปใหม่ (HCNGC) ที่ได้รับการแก้ไขในอดีตตั้งแต่ปี 1993" ngcicproject.org _ เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2013-01-15 . สืบค้นเมื่อ2011-06-20 .{{cite web}}: CS1 maint: หลายชื่อ: รายชื่อผู้แต่ง ( ลิงก์ )
  30. "กิจการ 2:14 เปโตรจึงยืนขึ้นพร้อมกับอัครสาวกสิบเอ็ดคน เปล่งเสียงกล่าวแก่ฝูงชนว่า "ชาวแคว้นยูเดียและบรรดาผู้อยู่ในกรุงเยรูซาเล็ม ขอให้ท่านทราบเรื่องนี้ และตั้งใจฟังถ้อยคำของเรา" พระคัมภีร์.ซีซี
  31. Ursulines of the Roman Union, Province of Southern Africa, St. Ursula and Companions Archived 2016-03-19 at the Wayback Machineเข้าถึงเมื่อ 10 กรกฎาคม 2016
  32. สี่ฉากจากชีวิตของนักบุญเออร์ซูลา เข้าถึงเมื่อ 10 กรกฎาคม พ.ศ. 2559
  33. "ซูเราะห์ ยูซุฟ - 100". คัมภีร์อัลกุรอาน. com สืบค้นเมื่อ2023-08-11 .
  34. "ซูเราะห์ ยูซุฟ - 4". คัมภีร์อัลกุรอาน. com สืบค้นเมื่อ2023-08-11 .
  35. ชาร์ป, เดเมียน (2001) หนังสือ ศาสตร์แห่งตัวเลขอย่างง่าย: หนังสือภูมิปัญญาอย่างง่าย (ชุดหนังสือภูมิปัญญาอย่างง่าย) . ล้อแดง. พี 7. ไอเอสบีเอ็น 978-1573245609.
  36. ^ "ราศีกุมภ์". พจนานุกรมออกซ์ฟอร์ด . nd เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 9 สิงหาคม 2018 . สืบค้นเมื่อวันที่ 27 มิถุนายน 2565 .
  37. สิบเอ็ด - กตัญญูรู้คุณ | ข้อมูลเพลง | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  38. โคราซอน, บิลลี่ (1 กรกฎาคม พ.ศ. 2552). บทสัมภาษณ์ในจินตนาการ: เจสัน เวบลีย์ สามสาวในจินตนาการ เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2012-04-04 . สืบค้นเมื่อ2012-09-06 .
  39. สิบเอ็ด - มาเลย | เพลง บทวิจารณ์ เครดิต | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  40. ^ สิบเอ็ด - ไม่ระบุตัวตน | เพลง บทวิจารณ์ เครดิต | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  41. อีเลฟเว่น - มาร์ตินา แม็คไบรด์ | เพลง บทวิจารณ์ เครดิต | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  42. สิบเอ็ด - 22-Pistepirkko | เพลง บทวิจารณ์ เครดิต | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  43. สิบเอ็ด - สิบเอ็ด | เพลง บทวิจารณ์ เครดิต | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  44. สิบเอ็ด - แฮร์รี คอนนิค จูเนียร์ | เพลง บทวิจารณ์ เครดิต | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  45. สิบเอ็ด - ทีน่าอารีน่า | เพลง บทวิจารณ์ เครดิต | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  46. สิบเอ็ด - เจฟฟ์ ลอร์เบอร์, เดอะ เจฟฟ์ ลอร์เบอร์ ฟิวชั่น, ไมค์ สเติร์น | เพลง บทวิจารณ์ เครดิต | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  47. สิบเอ็ด - เรมอนน์ | เพลง บทวิจารณ์ เครดิต | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  48. ↑ สิบ เอ็ด - Wagon Cookin' | เพลง บทวิจารณ์ เครดิต | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  49. สิบเอ็ด - มิสเตอร์ฟ็อกก์ | เพลง บทวิจารณ์ เครดิต | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  50. สิบเอ็ด - The Birdland Big Band, Tommy Igoe | เพลง บทวิจารณ์ เครดิต | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  51. สิบเอ็ด - เพิร์ล จังโก้ | เพลง บทวิจารณ์ เครดิต | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  52. สิบเอ็ด - ดาเนียล พีนา, ดาเนียล เพนญา | เพลง บทวิจารณ์ เครดิต | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  53. สิบเอ็ด - เดอะนัคซ์ | รีวิวจากผู้ใช้ | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  54. สิบเอ็ด - อิกอร์ ลัมเพิร์ต และ Innertextures | รีวิวจากผู้ใช้ | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2020-08-10
  55. ^ 11 - The Smithereens| เพลง บทวิจารณ์ เครดิต | AllMusic ดึงข้อมูลเมื่อ2022-12-04
  56. ESMD, สาขาพัฒนาการจัดหมวดหมู่สำนักสำรวจสำมะโนสหรัฐ. "หน้าหลักของเว็บไซต์สำนักงานสำรวจสำมะโนประชากรของสหรัฐอเมริกา ระบบการจำแนกประเภทอุตสาหกรรมในอเมริกาเหนือ" สำมะโนประชากร gov
  57. ^ "หน่วยการสำรวจและข้อกำหนด" ไดเร็คไลน์ซอฟต์แวร์ดอทคอม 30-07-2555 . สืบค้นเมื่อ2012-08-20 .

ลิงค์ภายนอก

  • กริมส์, เจมส์. "สิบเอ็ด". นัมเบอร์ฟิล . เบรดี้ ฮาราน . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2017-10-15 . ดึงข้อมูลเมื่อ2016-01-03 .