Funcția Dirac delta

Ecuații diferențiale
Domeniul de aplicare
Câmpuri Stiintele naturii Inginerie Astronomie Fizică Chimie Biologie Geologie Matematică aplicată Mecanica continuumului Teoria haosului Sisteme dinamice stiinte sociale Economie Dinamica populației Lista de ecuații diferențiale numite
Clasificare
Tipuri Comun Parţial Diferenţial-algebric Integral-diferențial Fracționat Liniar Neliniar După tipul de variabilă Variabile dependente și independente Autonom Cuplat/Decuplat Corect Omogen  / Neomogen Caracteristici Comanda Operator Notaţie
Relația cu procesele Diferență (analogic discret) Stochastic Stochastic parțial Întârziere
Soluţie
Existenta si unicitatea Teorema Picard–Lindelöf Teorema existenței Peano Teorema existenței lui Carathéodory Teorema Cauchy–Kowalevski
Subiecte generale Condiții inițiale Valori limită Dirichlet Neumann Robin Problema Cauchy Wronskian Portret de fază Lyapunov  / Asimptotic  / Stabilitate exponențială Rata de convergență  Soluții de serie / integrale Integrare numerică Funcția Dirac delta
Metode de rezolvare Inspecţie Metoda caracteristicilor Euler Formula de răspuns exponențial Diferență finită  ( Crank–Nicolson ) Element finit Element infinit Volum finit Galerkin Petrov-Galerkin Funcția lui Green Factorul integrator Transformări integrale Teoria perturbației Runge–Kutta Separarea variabilelor Coeficienți nedeterminați Variația parametrilor
Oameni
Listă Isaac Newton Gottfried Leibniz Jacob Bernoulli Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Józef Maria Hoene-Wroński Joseph Fourier Augustin-Louis Cauchy George Green Carl David Tolmé Runge Martin Kutta Rudolf Lipschitz Ernst Lindelöf Émile Picard Phyllis Nicolson John Crank
v t e

În analiza matematică , funcția delta Dirac (sau distribuția δ ), cunoscută și sub denumirea de impuls unitar , ^[1] este o funcție generalizată pe numerele reale , a cărei valoare este zero peste tot, cu excepția zero, și a cărei integrală pe întreaga linie reală. este egal cu unu. ^{[2] [3] [4]} Astfel poate fi reprezentat euristic ca

$${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}0,&x\neq 0\\{\infty },&x=0\end{cases}}}$$

astfel încât

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)=1.}$$

Deoarece nu există nicio funcție care să aibă această proprietate, modelarea „funcției” delta implică riguros utilizarea limitelor sau, așa cum este obișnuit în matematică, teoria măsurii și teoria distribuțiilor .

Funcția delta a fost introdusă de fizicianul Paul Dirac și de atunci a fost aplicată în mod obișnuit în fizică și inginerie pentru a modela masele punctuale și impulsurile instantanee. Se numește funcție delta deoarece este un analog continuu al funcției delta Kronecker , care este de obicei definită pe un domeniu discret și ia valori 0 și 1. Rigoarea matematică a funcției delta a fost contestată până când Laurent Schwartz a dezvoltat teoria distribuțiilor. , unde este definită ca o formă liniară care acționează asupra funcțiilor.

Graficul deltei Dirac este de obicei considerat ca urmând întreaga axa x și axa y pozitivă . ^{[5] : 174} Delta Dirac este folosită pentru a modela o funcție de vârf înalt și îngust (un impuls ) și alte abstracții similare , cum ar fi o sarcină punctuală , o masă punctuală sau un punct de electroni . De exemplu, pentru a calcula dinamica unei mingi de biliard care este lovită, se poate aproxima forța impactului unei delte Dirac. Procedând astfel, nu numai că se simplifică ecuațiile, ci și se poate calcula mișcarea mingii , luând în considerare doar impulsul total al ciocnirii, fără un model detaliat al întregului transfer de energie elastică la niveluri subatomice (de exemplu exemplu).

Pentru a fi concret, să presupunem că o minge de biliard este în repaus. La un moment dat este lovită de o altă minge, dându-i un impuls P , cu unitățile kg⋅m⋅s ⁻¹ . Schimbul de impuls nu este de fapt instantaneu, fiind mediat de procese elastice la nivel molecular și subatomic, dar în scopuri practice este convenabil să considerăm că transferul de energie este efectiv instantaneu. Prin urmare , forța este P δ ( t ) ; unitățile lui δ ( t ) sunt s ⁻¹ . ${\displaystyle t=0}$

Pentru a modela această situație mai riguros, să presupunem că forța este distribuită uniform pe un interval de timp mic . adica ${\displaystyle \Delta t=[0,T]}$

$${\displaystyle F_{\Delta t}(t)={\begin{cases}P/\Delta t&0<t\leq T,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Atunci impulsul în orice moment t este găsit prin integrare:

$${\displaystyle p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,d\tau ={\begin{cases}P&t\geq T\\P\,t/\Delta t&0\leq t\leq T\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Acum, situația modelului unui transfer instantaneu de impuls necesită luarea limitei ca Δ t → 0 , dând un rezultat peste tot, cu excepția 0 :

$${\displaystyle p(t)={\begin{cases}P&t>0\\0&t<0.\end{cases}}}$$

Aici funcțiile sunt considerate ca aproximări utile la ideea de transfer instantaneu al impulsului. ${\displaystyle F_{\Delta t}}$

Funcția delta ne permite să construim o limită idealizată a acestor aproximări. Din păcate, limita reală a funcțiilor (în sensul convergenței punctuale ) este zero peste tot, cu excepția unui singur punct, unde este infinit. Pentru a înțelege corect Delta Dirac, ar trebui să insistăm în schimb ca proprietatea ${\textstyle \lim _{\Delta t\to 0^{+}}F_{\Delta t}}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{\Delta t}(t)\,dt=P,}$$

care este valabil pentru toți , ar trebui să continue să țină în limită. Deci, în ecuația , se înțelege că limita este întotdeauna luată în afara integralei . ${\displaystyle \Delta t>0}$${\textstyle F(t)=P\,\delta (t)=\lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)}$

În matematica aplicată, așa cum am făcut aici, funcția delta este adesea manipulată ca un fel de limită (o limită slabă ) a unei secvențe de funcții, fiecare membru al cărora are un vârf înalt la origine: de exemplu, o secvență de Distribuții gaussiene centrate la origine cu varianța tinde spre zero.

Delta Dirac nu este cu adevărat o funcție, cel puțin nu una obișnuită cu domeniu și interval în numere reale . De exemplu, obiectele f ( x ) = δ ( x ) și g ( x ) = 0 sunt egale peste tot, cu excepția cazului x = 0 , dar au integrale care sunt diferite. Conform teoriei integrării Lebesgue , dacă f și g sunt funcții astfel încât f = g aproape peste tot , atunci f este integrabil dacă și numai dacă g este integrabil și integralele lui f și g sunt identice. O abordare riguroasă a privirii funcției deltei Dirac ca un obiect matematic în sine necesită teoria măsurării sau teoria distribuțiilor .

Joseph Fourier a prezentat ceea ce se numește acum teorema integrală a lui Fourier în tratatul său Théorie analytique de la chaleur sub forma: ^[6]

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,}$$

ceea ce echivalează cu introducerea funcției δ sub forma: ^[7]

$${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .}$$

Mai târziu, Augustin Cauchy a exprimat teorema folosind exponențiale: ^{[8] [9]}

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp.}$$

Cauchy a subliniat că în unele împrejurări ordinea integrării este semnificativă în acest rezultat (contrast cu teorema lui Fubini ). ^{[10] [11]}

După cum se justifică folosind teoria distribuțiilor , ecuația Cauchy poate fi rearanjată pentru a se asemăna cu formularea originală a lui Fourier și să expună funcția δ ca

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp\right)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned}}}$$

unde funcţia δ este exprimată ca

$${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\,dp\ .}$$

O interpretare riguroasă a formei exponențiale și diferitele limitări ale funcției f necesare pentru aplicarea ei sa extins de-a lungul mai multor secole. Problemele unei interpretări clasice sunt explicate după cum urmează: ^[12]

Cel mai mare dezavantaj al transformării Fourier clasice este o clasă destul de restrânsă de funcții (originale) pentru care poate fi calculată eficient. Și anume, este necesar ca aceste funcții să scadă suficient de rapid la zero (în vecinătatea infinitului) pentru a asigura existența integralei Fourier. De exemplu, transformata Fourier a unor funcții simple precum polinoamele nu există în sensul clasic. Extinderea transformării Fourier clasice la distribuții a lărgit considerabil clasa de funcții care puteau fi transformate și acest lucru a înlăturat multe obstacole.

Evoluțiile ulterioare au inclus generalizarea integralei Fourier, „începând cu ^teoria lui Plancherel ( 1910), continuând cu lucrările lui Wiener și Bochner (în jurul anului 1930) și culminând cu amalgamarea în teoria distribuțiilor a lui L. Schwartz (1945)... ", ^[13] și conducând la dezvoltarea formală a funcției deltei Dirac.

O formulă infinitezimală pentru o funcție delta de impuls unitar infinit de înaltă (versiunea infinitezimală a distribuției Cauchy ) apare în mod explicit într-un text din 1827 al lui Augustin-Louis Cauchy . ^[14] Siméon Denis Poisson a analizat problema în legătură cu studiul propagării undelor, așa cum a făcut și Gustav Kirchhoff ceva mai târziu. Kirchhoff și Hermann von Helmholtz au introdus, de asemenea, impulsul unitar ca o limită a gaussienilor , care corespundea, de asemenea, noțiunii lordului Kelvin despre o sursă de căldură punctuală. La sfârșitul secolului al XIX-lea, Oliver Heaviside a folosit seriile formale Fourier pentru a manipula impulsul unității. ^[15] Funcția deltei Dirac ca atare a fost introdusă de Paul Dirac în lucrarea sa din 1927 The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics ^[16] și folosită în manualul său The Principles of Quantum Mechanics . ^[3] El a numit-o „funcția delta”, deoarece a folosit-o ca un analog continuu al deltei Kronecker discrete .

Funcția delta Dirac poate fi considerată vag ca o funcție pe linia reală care este zero peste tot, cu excepția originii, unde este infinită, ${\displaystyle \delta (x)}$

$${\displaystyle \delta (x)\simeq {\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$$

și care este, de asemenea, constrâns să satisfacă identitatea ^[17]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}$$

Aceasta este doar o caracterizare euristică . Delta Dirac nu este o funcție în sensul tradițional, deoarece nicio funcție extinsă cu valori numerice reale definite pe numerele reale nu are aceste proprietăți. ^[18]

O modalitate de a surprinde riguros noțiunea funcției delta Dirac este de a defini o măsură , numită măsură Dirac , care acceptă o submulțime A a liniei reale R ca argument și returnează δ ( A ) = 1 dacă 0 ∈ A , și δ ( A ) = 0 în caz contrar. ^[19] Dacă funcția delta este conceptualizată ca modelând o masă punctuală idealizată la 0, atunci δ ( A ) reprezintă masa conținută în mulțimea A . Se poate defini apoi integrala față de δ ca integrală a unei funcții față de această distribuție de masă. Formal, integrala Lebesgue oferă dispozitivul analitic necesar. Integrala Lebesgue în raport cu măsura δ satisface

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0)}$$

pentru toate funcțiile continue suportate compact f . Măsura δ nu este absolut continuă în raport cu măsura Lebesgue - de fapt, este o măsură singulară . În consecință, măsura delta nu are derivată Radon-Nikodym (în raport cu măsura Lebesgue) - nicio funcție adevărată pentru care proprietatea

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)}$$

tine. ^[20] Ca urmare, această din urmă notație este un abuz convenabil de notație și nu o integrală standard ( Riemann sau Lebesgue ).

Ca măsură de probabilitate pe R , măsura delta este caracterizată de funcția sa de distribuție cumulată , care este funcția pas unitară . ^[21]

$${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

Aceasta înseamnă că H ( x ) este integrala funcției indicator cumulativ 1 _{(−∞, x ]} în raport cu măsura δ ; adică,

$${\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (dt)=\delta \!\left((-\infty ,x]\right),}$$

aceasta din urmă fiind măsura acestui interval. Astfel, în special, integrarea funcției delta față de o funcție continuă poate fi înțeleasă în mod corespunzător ca o integrală Riemann–Stieltjes : ^[22]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).}$$

Toate momentele superioare ale lui δ sunt zero. În special, funcția caracteristică și funcția generatoare de moment sunt ambele egale cu unul.

În teoria distribuțiilor , o funcție generalizată este considerată nu o funcție în sine, ci doar prin modul în care afectează alte funcții atunci când este „integrată” împotriva lor. ^[23] În conformitate cu această filozofie, pentru a defini corect funcția delta, este suficient să spunem care este „integrala” funcției delta față de o funcție de test suficient de „bună” φ . Funcțiile de testare sunt cunoscute și sub denumirea de funcții bump . Dacă funcția delta este deja înțeleasă ca măsură, atunci integrala Lebesgue a unei funcții de testare față de măsura respectivă furnizează integrala necesară.

Un spațiu tipic al funcțiilor de testare constă din toate funcțiile netede pe R cu suport compact care au atâtea derivate câte sunt necesare. Ca distribuție, delta Dirac este o funcțională liniară pe spațiul funcțiilor de testare și este definită de ^[24]

${\displaystyle \delta [\varphi ]=\varphi (0)}$

( 1 )

pentru fiecare funcție de testare φ .

Pentru ca δ să fie corect o distribuție, trebuie să fie continuă într-o topologie adecvată în spațiul funcțiilor de testare. În general, pentru ca o funcțională liniară S pe spațiul funcțiilor de test să definească o distribuție, este necesar și suficient ca, pentru fiecare număr întreg pozitiv N să existe un întreg M _N și o constantă C _N astfel încât pentru fiecare funcție de test φ , cineva are inegalitatea ^[25]

$${\displaystyle \left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|}$$

unde sup reprezintă supremul . Cu distribuția δ , se are o astfel de inegalitate (cu C _N = 1) cu M _N = 0 pentru toți N . Astfel δ este o distribuție de ordinul zero. Este, în plus, o distribuție cu suport compact ( suportul fiind {0} ).

Distribuția delta poate fi, de asemenea, definită în mai multe moduri echivalente. De exemplu, este derivata distribuțională a funcției pasului Heaviside . Aceasta înseamnă că pentru fiecare funcție de testare φ , se are

$${\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx.}$$

Intuitiv, dacă integrarea pe părți ar fi permisă, atunci integrala din urmă ar trebui să se simplifice la

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx,}$$

și într-adevăr, o formă de integrare pe părți este permisă pentru integrala Stieltjes și, în acest caz, există

$${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).}$$

În contextul teoriei măsurii, măsura Dirac dă naștere distribuției prin integrare. În schimb, ecuația ( 1 ) definește o integrală Daniell pe spațiul tuturor funcțiilor continue φ suportate compact care, prin teorema de reprezentare Riesz , poate fi reprezentată ca integrală Lebesgue a lui φ în raport cu o măsură Radon .

În general, atunci când se folosește termenul de funcție delta Dirac , acesta este mai degrabă în sensul distribuțiilor decât al măsurilor, măsura Dirac fiind printre mai mulți termeni pentru noțiunea corespunzătoare în teoria măsurii. Unele surse pot folosi, de asemenea, termenul de distribuție delta Dirac .

Funcția delta poate fi definită în spațiul euclidian n -dimensional R ⁿ ca măsură astfel încât

$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (d\mathbf {x} )=f(\mathbf {0} )}$$

pentru fiecare funcție continuă f . Ca măsură, funcția delta n -dimensională este măsura de produs a funcțiilor delta unidimensionale în fiecare variabilă separat. Astfel, formal, cu x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) , se are ^[26]

${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\,\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).}$

( 2 )

Funcția delta poate fi definită și în sensul distribuțiilor exact ca mai sus în cazul unidimensional. ^[27] Cu toate acestea, în ciuda utilizării pe scară largă în contexte de inginerie, ( 2 ) ar trebui manipulat cu grijă, deoarece produsul distribuțiilor poate fi definit doar în circumstanțe destul de restrânse. ^{[28] [29]}

Noțiunea de măsură Dirac are sens pe orice platou. ^[30] Astfel, dacă X este o mulțime, x ₀ ∈ X este un punct marcat și Σ este orice algebră sigma a submulțimii lui X , atunci măsura definită pe mulțimile A ∈ Σ prin

$${\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}}$$

este măsura delta sau unitatea de masă concentrată la x ₀ .

O altă generalizare comună a funcției delta este la o varietate diferențiabilă unde majoritatea proprietăților sale ca distribuție pot fi exploatate și datorită structurii diferențiabile . Funcția delta pe o varietate M centrată în punctul x ₀ ∈ M este definită ca următoarea distribuție:

${\displaystyle \delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})}$

( 3 )

pentru toate funcțiile netede cu valori reale suportate compact φ pe M . ^[31] Un caz special comun al acestei construcții este cazul în care M este o mulțime deschisă în spațiul euclidian R ⁿ .

Pe un spațiu Hausdorff X local compact , măsura deltei Dirac concentrată într-un punct x este măsura Radonului asociată cu integrala Daniell ( 3 ) pe funcții continue φ suportate compact . ^[32] La acest nivel de generalitate, calculul ca atare nu mai este posibil, totuși sunt disponibile o varietate de tehnici de analiză abstractă. De exemplu, maparea este o încorporare continuă a lui X în spațiul măsurilor finite ale radonului pe X , echipat cu topologia sa vagă . Mai mult, învelișul convex al imaginii lui X sub această încorporare este dens în spațiul măsurilor de probabilitate pe X . ^[33]${\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}}$

Funcția delta satisface următoarea proprietate de scalare pentru un scalar α diferit de zero : ^[34]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}}$$

și așa

${\displaystyle \delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.}$

( 4 )

Dovada proprietății de scalare: unde se folosește o modificare a variabilei x′ = ax . Dacă a este negativ, adică a = −| a | , apoi Astfel, .$${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{a}}g(0).}$$$${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{-\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{\infty }^{-\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}g(0).}$$${\displaystyle \delta (ax)={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\delta (x)}$

În special, funcția delta este o distribuție uniformă (simetrie), în sensul că

$${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}$$

care este omogen de gradul −1 .

Produsul de distribuție al lui δ cu x este egal cu zero:

$${\displaystyle x\,\delta (x)=0.}$$

Mai general, pentru toate numerele întregi pozitive . ${\displaystyle (x-a)^{n}\delta (x-a)=0}$${\displaystyle n}$

În schimb, dacă xf ( x ) = xg ( x ) , unde f și g sunt distribuții, atunci

$${\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x)}$$

pentru o constantă c . ^[35]

Integrala oricărei funcții înmulțită cu delta Dirac întârziată este ${\displaystyle \delta _{T}(t){=}\delta (t{-}T)}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T).}$$

Aceasta este uneori denumită proprietatea de cernere ^[36] sau proprietatea de eșantionare . ^[37] Se spune că funcția delta „cerne” valoarea lui f(t) la t = T . ^[38]

Rezultă că efectul convoluției unei funcții f ( t ) cu delta Dirac întârziată este de a întârzia în timp f ( t ) cu aceeași valoare: ^[39]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}}$$

Proprietatea de cernere este valabilă cu condiția precisă ca f să fie o distribuție temperată (vezi discuția despre transformata Fourier de mai jos). Ca caz special, de exemplu, avem identitatea (înțeleasă în sensul distribuției)

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).}$$

Mai general, distribuția delta poate fi compusă cu o funcție netedă g ( x ) în așa fel încât să fie valabilă formula familiară de modificare a variabilelor, încât

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du}$$

cu condiția ca g să fie o funcție diferențiabilă continuu cu g′ nicăieri zero. ^[40] Adică, există o modalitate unică de a atribui semnificație distribuției, astfel încât această identitate să fie valabilă pentru toate funcțiile de testare f . Prin urmare, domeniul trebuie defalcat pentru a exclude punctul g′ = 0 . Această distribuție satisface δ ( g ( x )) = 0 dacă g nu este nicăieri zero și, în caz contrar, dacă g are o rădăcină reală la x ₀ , atunci ${\displaystyle \delta \circ g}$

$${\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}$$

Prin urmare, este firesc să se definească compoziția δ ( g ( x )) pentru funcțiile diferențiabile continuu g by

$${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$$

unde suma se extinde peste toate rădăcinile lui g ( x ) , care se presupune că sunt simple . Astfel, de exemplu

$${\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.}$$

În forma integrală, proprietatea de scalare generalizată poate fi scrisă ca

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.}$$

Pentru o constantă și o funcție arbitrară cu valoare reală „bine comportată” y ( x ) , unde H ( x ) este funcția pas Heaviside și c este o constantă de integrare. ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle \displaystyle {\int }y(x)\delta (x-a)dx=y(a)H(x-a)+c,}$$

Distribuția delta într-un spațiu n -dimensional satisface în schimb următoarea proprietate de scalare, astfel încât δ este o distribuție omogenă de grad - n . $${\displaystyle \delta (\alpha {\boldsymbol {x}})=|\alpha |^{-n}\delta ({\boldsymbol {x}})~,}$$

Sub orice reflexie sau rotație ρ , funcția delta este invariantă, $${\displaystyle \delta (\rho {\boldsymbol {x}})=\delta ({\boldsymbol {x}})~.}$$

Ca și în cazul cu o singură variabilă, este posibil să se definească compoziția lui δ cu o funcție bi-Lipschitz ^[41] g : R ⁿ → R ⁿ în mod unic, astfel încât următoarele să fie valabile pentru toate funcțiile f suportate compact . $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,f(g({\boldsymbol {x}}))\left|\det g'({\boldsymbol {x}})\right|d{\boldsymbol {x}}=\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta ({\boldsymbol {u}})f({\boldsymbol {u}})\,d{\boldsymbol {u}}}$$

Folosind formula coareei din teoria măsurării geometrice , se poate defini și compoziția funcției delta cu o scufundare dintr-un spațiu euclidian în altul de dimensiune diferită; rezultatul este un tip de curent . În cazul special al unei funcții diferențiabile continuu g  : R ⁿ → R astfel încât gradientul lui g nu este nicăieri zero, este valabilă următoarea identitate ^[42] unde integrala din dreapta este peste g ⁻¹ (0) , ( n − 1) suprafață dimensională definită de g ( x ) = 0 în raport cu măsura conținutului Minkowski . Aceasta este cunoscută ca o integrală de strat simplă . $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\boldsymbol {x}})\,\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f({\boldsymbol {x}})}{|{\boldsymbol {\nabla }}g|}}\,d\sigma ({\boldsymbol {x}})}$$

Mai general, dacă S este o suprafață netedă a lui R ⁿ , atunci putem asocia lui S distribuția care integrează orice funcție netedă suportată compact g peste S : $${\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}})}$$

unde σ este măsura hipersuprafeței asociată cu S . Această generalizare este asociată cu teoria potențialului potențialelor simple de strat pe S . Dacă D este un domeniu în R ⁿ cu granița netedă S , atunci δ _S este egal cu derivata normală a funcției indicator a lui D în sensul distribuției,

$${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\boldsymbol {x}})\,{\frac {\partial 1_{D}({\boldsymbol {x}})}{\partial n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{S}\,g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}}),}$$

unde n este normala exterioară. ^{[43] [44]} Pentru o demonstrație, vezi de exemplu articolul despre funcția delta de suprafață .

În trei dimensiuni, funcția delta este reprezentată în coordonate sferice prin:

$${\displaystyle \delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})\delta (\phi -\phi _{0})&x_{0},y_{0},z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{2\pi r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})&x_{0}=y_{0}=0,\ z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi r^{2}}}\delta (r-r_{0})&x_{0}=y_{0}=z_{0}=0\end{cases}}}$$

Funcția delta este o distribuție temperată și, prin urmare, are o transformată Fourier bine definită . Formal, se găsește ^[45]

$${\displaystyle {\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1.}$$

Corect vorbind, transformata Fourier a unei distribuții este definită prin impunerea de auto-ajungere a transformării Fourier sub împerecherea duală a distribuțiilor temperate cu funcțiile Schwartz . Astfel este definită ca o distribuție unică temperată satisfăcătoare ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle {\widehat {\delta }}}$

$${\displaystyle \langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle }$$

pentru toate funcțiile Schwartz φ . Și într-adevăr de aici rezultă că${\displaystyle {\widehat {\delta }}=1.}$

Ca rezultat al acestei identități, convoluția funcției delta cu orice altă distribuție temperată S este pur și simplu S :

$${\displaystyle S*\delta =S.}$$

Adică δ este un element de identitate pentru convoluția pe distribuțiile temperate și, de fapt, spațiul distribuțiilor susținute compact sub convoluție este o algebră asociativă cu identitatea funcției delta. Această proprietate este fundamentală în procesarea semnalului , deoarece convoluția cu o distribuție temperată este un sistem liniar invariant în timp , iar aplicarea sistemului liniar invariant în timp măsoară răspunsul său la impuls . Răspunsul la impuls poate fi calculat la orice grad de precizie dorit prin alegerea unei aproximări adecvate pentru δ și, odată ce este cunoscut, caracterizează sistemul complet. Vezi teoria sistemului LTI § Răspunsul la impuls și convoluția .

Transformata Fourier inversă a distribuției temperate f ( ξ ) = 1 este funcția delta. Formal, aceasta este exprimată ca și mai riguros, rezultă că pentru toate funcțiile Schwartz f . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)}$$$${\displaystyle \langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$$

În acești termeni, funcția delta oferă o declarație sugestivă a proprietății de ortogonalitate a nucleului Fourier pe R . Formal, unul are $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).}$$

Aceasta este, desigur, prescurtarea aserției că transformata Fourier a distribuției temperate este cea care urmează din nou prin impunerea auto-adivării transformării Fourier. $${\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}$$$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})}$$

Prin continuarea analitică a transformării Fourier, transformata Laplace a funcției delta se găsește a fi ^[46] $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}$$

Derivata distribuției delta Dirac, notată δ′ și numită și prima delta Dirac sau derivata delta Dirac așa cum este descrisă în Laplacian al indicatorului , este definită pe funcțiile de test netede φ suportate compact prin ^[47] $${\displaystyle \delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).}$$

Prima egalitate aici este un fel de integrare pe părți , pentru că dacă δ ar fi o funcție adevărată atunci $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=\delta (x)\varphi (x)|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\varphi '(0).}$$

Prin inducție matematică , k -a derivată a lui δ este definită în mod similar cu distribuția dată pe funcțiile de test de

$${\displaystyle \delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).}$$

În special, δ este o distribuție infinit derivabilă.

Prima derivată a funcției delta este limita de distribuție a coeficientilor de diferență: ^[48] $${\displaystyle \delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}.}$$

Mai corect, se are unde τ _h este operatorul de translație, definit pe funcții prin τ _h φ ( x ) = φ ( x + h ) și pe o distribuție S prin $${\displaystyle \delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )}$$$${\displaystyle (\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].}$$

În teoria electromagnetismului , prima derivată a funcției delta reprezintă un dipol magnetic punctual situat la origine. În consecință, este denumită un dipol sau funcția dublet . ^[49]

Derivata funcției delta satisface o serie de proprietăți de bază, printre care: ^[50] care pot fi arătate prin aplicarea unei funcții de test și integrarea pe părți. $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta '(-x)&=-\delta '(x)\\x\delta '(x)&=-\delta (x)\end{aligned}}}$$

Ultima dintre aceste proprietăți poate fi demonstrată și prin aplicarea definiției derivatei distribuționale, a teoremei lui Leibniz și a liniarității produsului interior: ^[51]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x\delta ',\varphi \rangle \,&=\,\langle \delta ',x\varphi \rangle \,=\,-\langle \delta ,(x\varphi )'\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi +x\varphi '\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi \rangle -\langle \delta ,x\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\varphi (0)-x(0)\varphi '(0)\\&=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle -x(0)\langle \delta ,\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle +x(0)\langle \delta ',\varphi \rangle \,=\,\langle x(0)\delta '-x'(0)\delta ,\varphi \rangle \\\Longrightarrow x(t)\delta '(t)&=x(0)\delta '(t)-x'(0)\delta (t)=-x'(0)\delta (t)=-\delta (t)\end{aligned}}}$$

În plus, convoluția lui δ′ cu o funcție compactă, netedă f este

$${\displaystyle \delta '*f=\delta *f'=f',}$$

care rezultă din proprietăţile derivatei distribuţionale a unei convoluţii.

Mai general, pe o mulțime deschisă U în spațiul euclidian n -dimensional , distribuția deltă Dirac centrată într-un punct a ∈ U este definită de ^[52] pentru toate , spațiul tuturor funcțiilor netede cu suport compact pe U . Dacă este orice multi-index cu și denotă operatorul derivat parțial mixt asociat , atunci derivata α -a ∂ ^α δ _a a lui δ _a este dată de ^[52] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}$$${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$

$${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}\quad {\text{ for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(U).}$$

Adică, derivata α -a a lui δ _a este distribuția a cărei valoare pe orice funcție de testare φ este derivata α -a a lui φ la a (cu semnul pozitiv sau negativ corespunzător).

Primele derivate parțiale ale funcției delta sunt considerate ca straturi duble de-a lungul planurilor de coordonate. Mai general, derivata normală a unui strat simplu sprijinit pe o suprafață este un strat dublu sprijinit pe acea suprafață și reprezintă un monopol magnetic laminar. Derivatele superioare ale funcției delta sunt cunoscute în fizică ca multipoli .

Derivatele superioare intră în matematică în mod natural ca elemente de bază pentru structura completă a distribuțiilor cu suport punctual. Dacă S este orice distribuție pe U susținută pe mulțimea { a } constând dintr-un singur punct, atunci există un întreg m și coeficienți c _α astfel încât ^{[52] [53]} $${\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}$$

Funcția delta poate fi privită ca limita a unei secvențe de funcții

$${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),}$$

unde η _ε ( x ) este uneori numită funcție delta în curs de dezvoltare. Această limită este înțeleasă într-un sens slab: fie că

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\eta _{\varepsilon }(x)f(x)\,dx=f(0)}$

( 5 )

pentru toate funcțiile continue f cu suport compact sau că această limită este valabilă pentru toate funcțiile netede f cu suport compact. Diferența dintre aceste două moduri ușor diferite de convergență slabă este adesea subtilă: primul este convergența în topologia vagă a măsurilor, iar cel de-al doilea este convergența în sensul distribuțiilor .

De obicei, o funcție delta în curs de dezvoltare η _ε poate fi construită în felul următor. Fie η o funcție absolut integrabilă pe R a integralei totale 1 și definiți $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

În n dimensiuni, se folosește în schimb scalarea $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

Atunci o simplă schimbare a variabilelor arată că η _ε are și integrală 1 . Se poate arăta că ( 5 ) este valabilă pentru toate funcțiile continue f , ^[54] și astfel η _ε converge slab către δ în sensul măsurilor.

η _ε construite în acest fel sunt cunoscute ca o aproximare a identităţii . ^[55] Această terminologie se datorează faptului că spațiul L ¹ ( R ) al funcțiilor absolut integrabile este închis sub operația de convoluție a funcțiilor: f ∗ g ∈ L ¹ ( R ) ori de câte ori f și g sunt în L ¹ ( R ) . Totuși, nu există identitate în L ¹ ( R ) pentru produsul de convoluție: niciun element h astfel încât f ∗ h = f pentru toate f . Cu toate acestea, șirul η _ε aproximează o astfel de identitate în sensul că

$${\displaystyle f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{as }}\varepsilon \to 0.}$$

Această limită este valabilă în sensul convergenței medii (convergența în L ¹ ). Alte condiții privind η _ε , de exemplu ca acesta să fie un molifiant asociat unei funcții suportate compact, ^[56] sunt necesare pentru a asigura convergența punctuală aproape peste tot .

Dacă inițiala η = η ₁ este ea însăși netedă și susținută compact, atunci secvența se numește molificator . Molificatorul standard este obținut prin alegerea η pentru a fi o funcție bump normalizată adecvat , de exemplu

$${\displaystyle \eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1.\end{cases}}}$$

În unele situații, cum ar fi analiza numerică , este de dorit o aproximare liniară pe bucăți a identității. Acest lucru poate fi obținut luând η ₁ ca o funcție hat . Cu această alegere a lui η ₁ , se are

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)}$$

care sunt toate continue și susținute compact, deși nu netede și, prin urmare, nu sunt un molifiant.

În contextul teoriei probabilităților , este firesc să se impună condiția suplimentară ca η ₁ inițial într-o aproximare a identității să fie pozitivă, deoarece o astfel de funcție reprezintă atunci o distribuție de probabilitate . Convoluția cu o distribuție de probabilitate este uneori favorabilă deoarece nu are ca rezultat depășire sau depășire, deoarece ieșirea este o combinație convexă a valorilor de intrare și, astfel, se încadrează între maximul și minimul funcției de intrare. Luând η ₁ ca fiind orice distribuție de probabilitate, și lăsând η _ε ( x ) = η ₁ ( x / ε )/ ε ca mai sus va da naștere la o aproximare a identității. În general, aceasta converge mai rapid către o funcție delta dacă, în plus, η are o medie 0 și are momente mici mai mari. De exemplu, dacă η ₁ este distribuția uniformă pe , cunoscută și sub numele de funcție dreptunghiulară , atunci: ^[57]${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}$ $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Un alt exemplu este cu distribuția semicercală Wigner $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon ,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Acesta este continuu și susținut compact, dar nu este un calmant, deoarece nu este neted.

Funcțiile delta naștere apar adesea ca semigrupuri de convoluție . ^[58] Aceasta înseamnă o constrângere suplimentară pe care trebuie să o satisfacă convoluția lui η _ε cu η _δ$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }}$$

pentru toate ε , δ > 0 . Semigrupurile de convoluție din L ¹ care formează o funcție delta în curs de dezvoltare sunt întotdeauna o aproximare a identității în sensul de mai sus, totuși condiția de semigrup este o restricție destul de puternică.

În practică, semigrupurile care aproximează funcția delta apar ca soluții fundamentale sau funcții lui Green la ecuații diferențiale parțiale eliptice sau parabolice motivate fizic . În contextul matematicii aplicate , semigrupurile apar ca rezultat al unui sistem liniar invariant în timp . În mod abstract, dacă A este un operator liniar care acționează asupra funcțiilor lui x , atunci apare un semigrup de convoluție prin rezolvarea problemei valorii inițiale

$${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}}$$

în care limita este înțeleasă ca de obicei în sensul slab. Setarea η _ε ( x ) = η ( ε , x ) dă funcția delta naștere asociată.

Câteva exemple de semigrupuri de convoluție importante din punct de vedere fizic care decurg dintr-o astfel de soluție fundamentală includ următoarele.

Miezul de căldură , definit de

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}}$$

reprezintă temperatura într-un fir infinit la momentul t > 0 , dacă la originea firului este stocată o unitate de energie termică la momentul t = 0 . Acest semigrup evoluează conform ecuației unidimensionale a căldurii :

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$$

În teoria probabilităților , η _ε ( x ) este o distribuție normală a varianței ε și a mediei 0 . Reprezintă densitatea de probabilitate la momentul t = ε a poziției unei particule care începe de la origine urmând o mișcare browniană standard . În acest context, condiția de semigrup este atunci o expresie a proprietății Markov a mișcării browniene.

În spațiul euclidian de dimensiuni superioare R ⁿ , miezul de căldură este și are aceeași interpretare fizică, mutatis mutandis . De asemenea, reprezintă o funcție delta în curs de dezvoltare în sensul că η _ε → δ în sensul distribuției ca ε → 0 . $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},}$$

Miezul Poisson $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\right\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\,d\xi }$$

este soluția fundamentală a ecuației Laplace în semiplanul superior. ^[59] Reprezintă potențialul electrostatic dintr-o placă semi-infinită al cărei potențial de-a lungul marginii este menținut fix la funcția delta. Nucleul Poisson este, de asemenea, strâns legat de distribuția Cauchy și de funcțiile nucleului Epanechnikov și Gaussian . ^[60] Acest semigrup evoluează conform ecuației $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}u(t,x)}$$

unde operatorul este riguros definit ca multiplicator Fourier $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).}$$

În domenii ale fizicii, cum ar fi propagarea undelor și mecanica undelor , ecuațiile implicate sunt hiperbolice și, prin urmare, pot avea soluții mai singulare. Ca rezultat, funcțiile deltei în curs de dezvoltare care apar ca soluții fundamentale ale problemelor Cauchy asociate sunt în general integrale oscilatorii . Un exemplu, care provine dintr-o soluție a ecuației Euler-Tricomi a dinamicii gazelor transonice , ^{[61] este} funcția Airy redimensionată $${\displaystyle \varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).}$$

Deși se folosește transformata Fourier, este ușor de observat că aceasta generează un semigrup într-un anumit sens - nu este absolut integrabil și, prin urmare, nu poate defini un semigrup în sensul puternic de mai sus. Multe funcții delta în curs de dezvoltare construite ca integrale oscilatorii converg doar în sensul distribuțiilor (un exemplu este nucleul Dirichlet de mai jos), mai degrabă decât în ​​sensul măsurilor.

Un alt exemplu este problema Cauchy pentru ecuația de undă în R ¹⁺¹ : ^[62] $${\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}}$$

Soluția u reprezintă deplasarea de la echilibru a unei corzi elastice infinite, cu o perturbare inițială la origine.

Alte aproximări ale identităţii de acest fel includ funcţia sinc (folosită pe scară largă în electronică şi telecomunicaţii) $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk}$$

și funcția Bessel $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).}$$

O abordare a studiului unei ecuații diferențiale parțiale liniare $${\displaystyle L[u]=f,}$$

unde L este un operator diferențial pe R ⁿ , înseamnă a căuta mai întâi o soluție fundamentală, care este o soluție a ecuației $${\displaystyle L[u]=\delta .}$$

Când L este deosebit de simplă, această problemă poate fi adesea rezolvată folosind transformarea Fourier direct (ca în cazul nucleului Poisson și nucleului de căldură deja menționate). Pentru operatorii mai complicați, uneori este mai ușor să luați în considerare mai întâi o ecuație a formei $${\displaystyle L[u]=h}$$

unde h este o funcție de undă plană , adică are forma $${\displaystyle h=h(x\cdot \xi )}$$

pentru un vector ξ . O astfel de ecuație poate fi rezolvată (dacă coeficienții lui L sunt funcții analitice ) prin teorema Cauchy–Kovalevskaya sau (dacă coeficienții lui L sunt constanți) prin cuadratura. Deci, dacă funcția delta poate fi descompusă în unde plane, atunci se pot rezolva în principiu ecuații diferențiale parțiale liniare.

O astfel de descompunere a funcției deltă în unde plane a făcut parte dintr-o tehnică generală introdusă mai întâi de Johann Radon și apoi dezvoltată în această formă de Fritz John (1955). ^[63] Alegeți k astfel încât n + k să fie un întreg par, iar pentru un număr real s , puneți $${\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\[5pt]-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}}$$

Atunci δ se obține prin aplicarea unei puteri a Laplacianului la integrală în raport cu sfera unitară de măsură dω a lui g ( x · ξ ) pentru ξ în sfera unitară S ^{n −1} : $${\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

Laplacianul aici este interpretat ca o derivată slabă, astfel încât această ecuație este considerată că, pentru orice funcție de test φ , $${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

Rezultatul rezultă din formula potenţialului newtonian (soluţia fundamentală a ecuaţiei lui Poisson). Aceasta este în esență o formă a formulei de inversare pentru transformarea Radon , deoarece recuperează valoarea lui φ ( x ) din integralele sale peste hiperplane. De exemplu, dacă n este impar și k = 1 , atunci integrala din partea dreaptă este $${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]&\qquad =c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned}}}$$

unde Rφ ( ξ , p ) este transformata Radon a lui φ : $${\displaystyle R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.}$$

O expresie echivalentă alternativă a descompunerii undei plane este: ^[64] $${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}{\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }&n{\text{ even}}\\{\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }&n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

În studiul seriei Fourier , o întrebare majoră constă în a determina dacă și în ce sens seria Fourier asociată cu o funcție periodică converge către funcție. A n -a sumă parțială a seriei Fourier a unei funcții f de perioada 2π este definită prin convoluție (pe intervalul [−π,π] ) cu nucleul Dirichlet : Astfel, unde Un rezultat fundamental al seriei elementare Fourier afirmă că Nucleul Dirichlet limitat la intervalul  [−π,π] tinde spre un multiplu al funcției delta ca N → ∞ . Aceasta este interpretată în sensul distribuției, că pentru fiecare funcție netedă suportată compact f . Astfel, formal se are pe intervalul [−π,π] . $${\displaystyle D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.}$$$${\displaystyle s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}}$$$${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.}$$$${\displaystyle s_{N}(f)(0)=\int _{-\pi }^{\pi }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$$$${\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}}$$

În ciuda acestui fapt, rezultatul nu este valabil pentru toate funcțiile continue suportate compact : adică D _N nu converge slab în sensul măsurilor. Lipsa de convergență a seriei Fourier a condus la introducerea unei varietăți de metode de sumabilitate pentru a produce convergență. Metoda de însumare Cesàro conduce la nucleul Fejér ^[65]

$${\displaystyle F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.}$$

Nuezele Fejér tind spre funcția delta într-un sens mai puternic decât ^[66]

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$$

pentru fiecare funcție continuă f . Implicația este că seria Fourier a oricărei funcții continue este Cesàro însumabilă la valoarea funcției în fiecare punct.

Distribuția deltă Dirac este o funcțională liniară nemărginită dens definită pe spațiul Hilbert L ² al funcțiilor pătrat-integrabile . Într-adevăr, funcțiile netede suportate compact sunt dense în L2 , iar acțiunea distribuției delta asupra unor astfel de funcții este bine definită ^. În multe aplicații, este posibil să se identifice subspații ale L ² și să se dea o topologie mai puternică pe care funcția delta definește o funcțională liniară mărginită .

Teorema de încorporare Sobolev pentru spațiile Sobolev pe dreapta reală R implică că orice funcție integrabilă în pătrat f astfel încât

$${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty }$$

este automat continuu si satisface in special

$${\displaystyle \delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.}$$

Astfel δ este o funcțională liniară mărginită pe spațiul Sobolev H ¹ . În mod echivalent δ este un element al spațiului dual continuu H ⁻¹ al lui H ¹ . Mai general, în n dimensiuni, se are δ ∈ H ^{− s} ( R ⁿ ) cu condiția ca s > ⁠n/2.​

În analiza complexă , funcția delta intră prin formula integrală a lui Cauchy , care afirmă că dacă D este un domeniu în plan complex cu graniță netedă, atunci

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},\quad z\in D}$$

pentru toate funcțiile holomorfe f în D care sunt continue la închiderea lui D . Ca rezultat, funcția delta δ _z este reprezentată în această clasă de funcții holomorfe prin integrala Cauchy:

$${\displaystyle \delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.}$$

Mai mult, fie H 2 ⁽ ∂ D ) spațiul Hardy constând din închiderea în L ² (∂ D ) a tuturor funcțiilor holomorfe din D continuu până la limita lui D . Apoi funcțiile din H ² (∂ D ) se extind în mod unic la funcțiile holomorfe din D , iar formula integrală a lui Cauchy continuă să fie valabilă. În special pentru z ∈ D , funcția delta δ _z este o funcțională liniară continuă pe H ² (∂ D ) . Acesta este un caz special al situației în mai multe variabile complexe în care, pentru domeniile netede D , nucleul Szegő joacă rolul integralei Cauchy. ^[67]

O altă reprezentare a funcției delta într-un spațiu de funcții holomorfe este pe spațiul funcțiilor holomorfe integrabile în pătrat într-o mulțime deschisă . Acesta este un subspațiu închis al lui , și, prin urmare, este un spațiu Hilbert. Pe de altă parte, funcționarea care evaluează o funcție holomorfă într- un punct de este o funcțională continuă și, prin urmare, prin teorema reprezentării Riesz, este reprezentată prin integrare față de un nucleu , nucleul Bergman . Acest nucleu este analogul funcției delta din acest spațiu Hilbert. Un spațiu Hilbert având un astfel de nucleu este numit spațiu Hilbert nucleu reproducător . În cazul special al discului unitar, se are ${\displaystyle H(D)\cap L^{2}(D)}$${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle L^{2}(D)}$${\displaystyle H(D)\cap L^{2}(D)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle D}$${\displaystyle K_{z}(\zeta )}$$${\displaystyle \delta _{w}[f]=f(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{|z|<1}{\frac {f(z)\,dx\,dy}{(1-{\bar {z}}w)^{2}}}.}$$

Având în vedere un set ortonormal complet de funcții { φ _n } într-un spațiu Hilbert separabil, de exemplu, vectorii proprii normalizați ai unui operator auto-adjunct compact , orice vector f poate fi exprimat ca. Coeficienții {α _n } se găsesc astfel încât fi reprezentat prin notația: o formă a notației bra–ket a lui Dirac. ^[68] Adoptând această notație, expansiunea lui f ia forma diadică : ^[69]$${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}\varphi _{n}.}$$$${\displaystyle \alpha _{n}=\langle \varphi _{n},f\rangle ,}$$$${\displaystyle \alpha _{n}=\varphi _{n}^{\dagger }f,}$$

$${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\left(\varphi _{n}^{\dagger }f\right).}$$

Lăsând să notez operatorul de identitate pe spațiul Hilbert, expresia

$${\displaystyle I=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },}$$

se numește rezoluție a identității . Când spațiul Hilbert este spațiul L ² ( D ) al funcțiilor pătrat-integrabile pe un domeniu D , cantitatea:

$${\displaystyle \varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },}$$

este un operator integral, iar expresia pentru f poate fi rescrisă

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{D}\,\left(\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi )\right)f(\xi )\,d\xi .}$$

Partea dreaptă converge către f în sensul L ² . Nu trebuie să se mențină într-un sens punctual, chiar și atunci când f este o funcție continuă. Cu toate acestea, este obișnuit să abuzezi de notație și scriere

$${\displaystyle f(x)=\int \,\delta (x-\xi )f(\xi )\,d\xi ,}$$

rezultând reprezentarea funcției delta: ^[70]

$${\displaystyle \delta (x-\xi )=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi ).}$$

Cu un spațiu Hilbert manipulat adecvat (Φ, L ² ( D ), Φ*) unde Φ ⊂ L ² ( D ) conține toate funcțiile netede suportate compact, această însumare poate converge în Φ* , în funcție de proprietățile bazei φ _n . În majoritatea cazurilor de interes practic, baza ortonormală provine de la un operator integral sau diferenţial, caz în care seria converge în sensul distribuţiei . ^[71]

Cauchy a folosit un infinitezimal α pentru a scrie un impuls unitar, infinit de înaltă și îngustă funcție delta de tip Dirac δ _α care satisface într-un număr de articole în 1827. ^[72] Cauchy a definit un infinitezimal în Cours d'Analyse (1827) în termeni de o succesiune care tinde spre zero. Și anume, o astfel de secvență nulă devine infinitezimală în terminologia lui Cauchy și Lazare Carnot .${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$

Analiza non-standard permite tratarea riguroasă a infinitezimale. Articolul lui Yamashita (2007) conține o bibliografie despre funcțiile moderne ale deltei Dirac în contextul unui continuum îmbogățit infinitezimal oferit de hiperreale . Aici delta lui Dirac poate fi dată de o funcție reală, având proprietatea pe care pentru fiecare funcție reală F o are, așa cum a anticipat Fourier și Cauchy. ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$

Un așa-numit „tren de puls” uniform de măsurători delta Dirac, care este cunoscut sub numele de pieptene Dirac , sau ca distribuție Sha , creează o funcție de eșantionare , adesea folosită în procesarea semnalului digital (DSP) și analiza semnalului de timp discret. Pieptene de Dirac este dat ca sumă infinită , a cărei limită este înțeleasă în sensul distribuției,

$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n),}$$

care este o succesiune de mase de puncte la fiecare dintre numerele întregi.

Până la o constantă generală de normalizare, pieptene Dirac este egal cu propria sa transformată Fourier. Acest lucru este semnificativ deoarece dacă f este orice funcție Schwartz , atunci periodizarea lui f este dată de convoluția În special, este tocmai formula de însumare a lui Poisson . ^{[73] [74]} În general, această formulă rămâne adevărată dacă f este o distribuție temperată de coborâre rapidă sau, echivalent, dacă este o funcție obișnuită cu creștere lentă în spațiul distribuțiilor temperate. $${\displaystyle (f*\operatorname {\text{Ш}} )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-n).}$$$${\displaystyle (f*\operatorname {\text{Ш}} )^{\wedge }={\widehat {f}}{\widehat {\operatorname {\text{Ш}} }}={\widehat {f}}\operatorname {\text{Ш}} }$$${\displaystyle {\widehat {f}}}$

Teorema Sokhotski–Plemelj , importantă în mecanica cuantică, leagă funcția delta de distribuția pv ⁠1/x⁠ , valoarea principală Cauchy a funcției ⁠1/x, definit de

$${\displaystyle \left\langle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx.}$$

Formula lui Sokhotsky afirmă că ^[75]

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$$

Aici limita este înțeleasă în sensul distribuției, că pentru toate funcțiile netede suportate compact f ,

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,dx.}$$

Delta Kronecker δ _ij este mărimea definită de

$${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j\end{cases}}}$$

pentru toate numerele întregi i , j . Această funcție satisface apoi următorul analog al proprietății de cernere: dacă a _i (pentru i în mulțimea tuturor numerelor întregi) este orice succesiune dublu infinită , atunci

$${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.}$$

În mod similar, pentru orice funcție continuă cu valoare reală sau complexă f pe R , delta lui Dirac satisface proprietatea de cernere

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).}$$

Aceasta prezintă funcția delta Kronecker ca un analog discret al funcției delta Dirac. ^[76]

În teoria și statistică probabilităților , funcția delta Dirac este adesea folosită pentru a reprezenta o distribuție discretă sau o distribuție parțial discretă, parțial continuă , folosind o funcție de densitate a probabilității (care este în mod normal folosită pentru a reprezenta distribuții absolut continue). De exemplu, funcția de densitate de probabilitate f ( x ) a unei distribuții discrete constând din puncte x = { x ₁ , ..., x _n } , cu probabilitățile corespunzătoare p ₁ , ..., p _n , poate fi scrisă ca

$${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).}$$

Ca un alt exemplu, luați în considerare o distribuție în care 6/10 din timp returnează o distribuție normală standard , iar 4/10 din timp returnează exact valoarea 3,5 (adică o distribuție de amestec parțial continuă, parțial discretă ). Funcția de densitate a acestei distribuții poate fi scrisă ca

$${\displaystyle f(x)=0.6\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+0.4\,\delta (x-3.5).}$$

Funcția delta este, de asemenea, utilizată pentru a reprezenta funcția de densitate de probabilitate rezultată a unei variabile aleatoare care este transformată de o funcție diferențiabilă continuu. Dacă Y = g( X ) este o funcție diferențiabilă continuă, atunci densitatea lui Y poate fi scrisă ca

$${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)\delta (y-g(x))\,dx.}$$

Funcția delta este, de asemenea, utilizată într-un mod complet diferit pentru a reprezenta ora locală a unui proces de difuzie (cum ar fi mișcarea browniană ). Timpul local al unui proces stocastic B ( t ) este dat de și reprezintă cantitatea de timp pe care procesul o petrece în punctul x din intervalul procesului. Mai precis, într-o dimensiune această integrală poate fi scrisă unde este funcția indicator a intervalului$${\displaystyle \ell (x,t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B(s))\,ds}$$$${\displaystyle \ell (x,t)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}(B(s))\,ds}$$${\displaystyle \mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}}$${\displaystyle [x-\varepsilon ,x+\varepsilon ].}$

Funcția delta este utilă în mecanica cuantică . Funcția de undă a unei particule oferă amplitudinea probabilității de a găsi o particule într-o anumită regiune a spațiului. Se presupune că funcțiile de undă sunt elemente ale spațiului Hilbert L ² al funcțiilor integrabile în pătrat , iar probabilitatea totală de a găsi o particulă într-un interval dat este integrala mărimii funcției de undă la pătrat pe interval. Un set { | φ _n ⟩ } funcțiilor de undă este ortonormal dacă

$${\displaystyle \langle \varphi _{n}\mid \varphi _{m}\rangle =\delta _{nm},}$$

unde δ _nm este delta Kronecker. Un set de funcții de undă ortonormale este complet în spațiul funcțiilor pătrat-integrabile dacă orice funcție de undă |ψ⟩ poate fi exprimată ca o combinație liniară a { | φ _n ⟩ } cu coeficienți complexi:

$${\displaystyle \psi =\sum c_{n}\varphi _{n},}$$

unde c _n = ⟨ φ _n | ψ ⟩ . Sistemele ortonormale complete de funcții de undă apar în mod natural ca funcții proprii ale Hamiltonianului (ale unui sistem legat ) în mecanica cuantică care măsoară nivelurile de energie, care sunt numite valori proprii. Setul de valori proprii, în acest caz, este cunoscut ca spectrul hamiltonianului. În notația bra–ket această egalitate implică rezoluția identității :

$${\displaystyle I=\sum |\varphi _{n}\rangle \langle \varphi _{n}|.}$$

Aici se presupune că valorile proprii sunt discrete, dar setul de valori proprii ale unui observabil poate fi, de asemenea, continuă. Un exemplu este operatorul de poziție , Qψ ( x ) = x ψ( x ) . Spectrul poziției (într-o dimensiune) este întreaga linie reală și se numește spectru continuu . Totuși, spre deosebire de Hamiltonian, operatorului de poziție îi lipsesc funcțiile proprii adecvate. Modul convențional de a depăși acest neajuns este de a lărgi clasa de funcții disponibile permițând și distribuțiile, adică înlocuirea spațiului Hilbert cu un spațiu Hilbert manipulat . ^[77] În acest context, operatorul de poziție are un set complet de „funcții proprii generalizate”, etichetate prin punctele y ale dreptei reale, date de

$${\displaystyle \varphi _{y}(x)=\delta (x-y).}$$

Funcțiile proprii generalizate ale operatorului de poziție se numesc eigenkets și sunt notate cu φ _y = | y ⟩ . ^[78]

Considerații similare se aplică oricărui alt operator auto-adjunct (nemărginit) cu spectru continuu și fără valori proprii degenerate, cum ar fi operatorul de impuls P . În acest caz, există o mulțime Ω de numere reale (spectrul) și o colecție de distribuții φ _y cu y ∈ Ω astfel încât

$${\displaystyle P\varphi _{y}=y\varphi _{y}.}$$

Adică, φ _y sunt vectorii proprii generalizați ai lui P . Dacă formează o „bază ortonormală” în sensul distribuției, adică:

$${\displaystyle \langle \varphi _{y},\varphi _{y'}\rangle =\delta (y-y'),}$$

atunci pentru orice funcție de testare ψ ,

$${\displaystyle \psi (x)=\int _{\Omega }c(y)\varphi _{y}(x)\,dy}$$

unde c ( y ) = ⟨ ψ , φ _y ⟩ . Adică există o rezoluție a identității

$${\displaystyle I=\int _{\Omega }|\varphi _{y}\rangle \,\langle \varphi _{y}|\,dy}$$

unde integrala valorificată de operator este din nou înțeleasă în sens slab. Dacă spectrul lui P are atât părți continue, cât și părți discrete, atunci rezoluția identității implică o însumare pe spectrul discret și o integrală pe spectrul continuu.

Funcția delta are, de asemenea, multe mai multe aplicații specializate în mecanica cuantică, cum ar fi modelele de potențial delta pentru un puț cu potențial simplu și dublu.

Funcția delta poate fi utilizată în mecanica structurală pentru a descrie sarcini tranzitorii sau sarcini punctuale care acționează asupra structurilor. Ecuația guvernantă a unui sistem simplu masă-arc excitat de un impuls brusc de forță I la momentul t = 0 poate fi scrisă

$${\displaystyle m{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+k\xi =I\delta (t),}$$

unde m este masa, ξ este deformarea și k este constanta elastică .

Ca un alt exemplu, ecuația care guvernează deviația statică a unui fascicul subțire este, conform teoriei Euler-Bernoulli ,

$${\displaystyle EI{\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}=q(x),}$$

unde EI este rigiditatea la încovoiere a grinzii, w este deformarea , x este coordonata spațială și q ( x ) este distribuția sarcinii. Dacă o grindă este încărcată de o forță punctuală F la x = x ₀ , se scrie distribuția sarcinii

$${\displaystyle q(x)=F\delta (x-x_{0}).}$$

Deoarece integrarea funcției delta are ca rezultat funcția de treaptă Heaviside , rezultă că deformarea statică a unui fascicul subțire supus sarcinilor punctiforme multiple este descrisă de un set de polinoame pe bucăți .

De asemenea, un moment punctual care acționează asupra unui fascicul poate fi descris prin funcții delta. Luați în considerare două forțe punctuale opuse F aflate la distanță d . Ele produc apoi un moment M = Fd care acționează asupra fasciculului. Acum, să se apropie distanța d de limita zero, în timp ce M este menținut constant. Distribuția sarcinii, presupunând un moment în sensul acelor de ceasornic care acționează la x = 0 , se scrie

$${\displaystyle {\begin{aligned}q(x)&=\lim _{d\to 0}{\Big (}F\delta (x)-F\delta (x-d){\Big )}\\[4pt]&=\lim _{d\to 0}\left({\frac {M}{d}}\delta (x)-{\frac {M}{d}}\delta (x-d)\right)\\[4pt]&=M\lim _{d\to 0}{\frac {\delta (x)-\delta (x-d)}{d}}\\[4pt]&=M\delta '(x).\end{aligned}}}$$

Momentele punctuale pot fi astfel reprezentate prin derivata funcției delta. Integrarea ecuației fasciculului are ca rezultat din nou o deformare polinomială pe bucăți .

• Atom (teoria măsurării)
• Laplacian al indicatorului

• Aratyn, Henrik; Rasinariu, Constantin (2006), Un scurt curs de metode matematice cu Maple, World Scientific, ISBN 978-981-256-461-0.
• Arfken, GB ; Weber, HJ (2000), Metode matematice pentru fizicieni (ed. a 5-a), Boston, Massachusetts: Academic Press , ISBN 978-0-12-059825-0.
• atis (2013), Glosar ATIS Telecom, arhivat din original pe 2013-03-13
• Bracewell, RN (1986), Transformarea Fourier și aplicațiile sale (ed. a doua), McGraw-Hill.
• Bracewell, RN (2000), Transformarea Fourier și aplicațiile sale (ed. a treia), McGraw-Hill.
• Córdoba, A. (1988), „La formule sommatoire de Poisson”, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 306 : 373–376.
• Courant, Richard ; Hilbert, David (1962), Metode de fizică matematică, volumul II , Wiley-Interscience.
• Davis, Howard Ted; Thomson, Kendall T (2000), Algebră liniară și operatori liniari în inginerie cu aplicații în Mathematica, Academic Press, ISBN 978-0-12-206349-7
• Dieudonné, Jean (1976), Tratat de analiză. Vol. II , New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-215502-4, MR  0530406.
• Dieudonné, Jean (1972), Tratat de analiză. Vol. III , Boston, Massachusetts: Academic Press, MR  0350769
• Dirac, Paul (1930), Principiile mecanicii cuantice (ed. I), Oxford University Press.
• Driggers, Ronald G. (2003), Encyclopedia of Optical Engineering, CRC Press, Bibcode :2003eoe..book.....D, ISBN 978-0-8247-0940-2.
• Duistermaat, Hans ; Kolk (2010), Distribuții: Teorie și aplicații , Springer.
• Federer, Herbert (1969), Teoria măsurării geometrice, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, voi. 153, New York: Springer-Verlag, pp. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR  0257325.
• Gannon, Terry (2008), „Algebrele operatorului de vârf”, Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, ISBN 978-1400830398.
• Gelfand, IM ; Shilov, GE (1966–1968), Funcţii generalizate, voi. 1–5, Academic Press, ISBN 9781483262246.
• Hartmann, William M. (1997), Semnale, sunet și senzație, Springer, ISBN 978-1-56396-283-7.
• Hazewinkel, Michiel (1995). Enciclopedia de matematică (set). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Hazewinkel, Michael (2011). Enciclopedie de matematică. Vol. 10. Springer. ISBN 978-90-481-4896-7. OCLC  751862625.
• Hewitt, E ; Stromberg, K (1963), Analiza reală și abstractă , Springer-Verlag.
• Hörmander, L. (1983), Analiza operatorilor diferenţiali parţiali liniari I, Grundl. Matematică. Wissenschaft., voi. 256, Springer, doi :10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 978-3-540-12104-6, MR  0717035.
• Isham, CJ (1995), Prelegeri despre teoria cuantică: fundamente matematice și structurale, Imperial College Press, ISBN 978-81-7764-190-5.
• John, Fritz (1955), Unde plane și mijloace sferice aplicate ecuațiilor cu diferențe parțiale, Interscience Publishers, New York-Londra, ISBN 9780486438047, MR  0075429.
• Lang, Serge (1997), Analiză de licență , Texte de licență în matematică (ed. a doua), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4757-2698-5, ISBN 978-0-387-94841-6, MR  1476913.
• Lange, Rutger-Jan (2012), „Potential theory, path integrals and the Laplacian of the indicator”, Journal of High Energy Physics , 2012 (11): 29–30, arXiv : 1302.0864 , Bibcode :2012JHEP...11. .032L, doi :10.1007/JHEP11(2012)032, S2CID  56188533.
• Laugwitz, D. (1989), „Valori definite ale sumelor infinite: aspecte ale fundamentelor analizei infinitezimale în jurul anului 1820”, Arh. Hist. Exact Sci. , 39 (3): 195–245, doi :10.1007/BF00329867, S2CID  120890300.
• Levin, Frank S. (2002), „Coordinate-space wave functions and completeness”, O introducere în teoria cuantică , Cambridge University Press, pp. 109 și urm. , ISBN 978-0-521-59841-5
• Li, YT; Wong, R. (2008), „Reprezentări integrale și în serie ale funcției deltei Dirac”, Comun. Pure Appl. Anal. , 7 (2): 229–247, arXiv : 1303.1943 , doi :10.3934/cpaa.2008.7.229, MR  2373214, S2CID  119319140.
• de la Madrid Modino, R. (2001). Mecanica cuantică în limbajul spațial Hilbert trucat (teză de doctorat). Universitatea de Valladolid.
• de la Madrid, R.; Bohm, A.; Gadella, M. (2002), „Rigged Hilbert Space Treatment of Continuous Spectrum”, Fortschr. Fiz. , 50 (2): 185–216, arXiv : quant-ph/0109154 , Bibcode :2002ForPh..50..185D, doi :10.1002/1521-3978(200203)50:2<185::AID-PRO. .CO;2-S, S2CID  9407651.
• McMahon, D. (2005-11-22), „An Introduction to State Space” (PDF) , Quantum Mechanics Demystified, A Self-Teaching Guide , Demystified Series, New York: McGraw-Hill, p. 108, ISBN 978-0-07-145546-6, preluat 2008-03-17.
• van der Pol, Balth.; Bremmer, H. (1987), Calcul operațional (ed. a treia), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0327-6, MR  0904873.
• Rudin, Walter (1966). Devine, Peter R. (ed.). Analiză reală și complexă (ed. a III-a). New York: McGraw-Hill (publicat în 1987). ISBN 0-07-100276-6.
• Rudin, Walter (1991), Analiza funcțională (ed. a doua), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054236-5.
• Vallée, Olivier; Soares, Manuel (2004), Airy functions and applications to physics, Londra: Imperial College Press, ISBN 9781911299486.
• Saichev, AI; Woyczyński, Wojbor Andrzej (1997), „Capitolul 1: Definiții și operații de bază”, Distribuții în științe fizice și inginerie: calcul distribuțional și fractal, transformări integrale și wavelets , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3924-2
• Schwartz, L. (1950), Théorie des distributions , voi. 1, Hermann.
• Schwartz, L. (1951), Théorie des distributions , voi. 2, Hermann.
• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
• Strichartz, R. (1994), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8273-4.
• Vladimirov, VS (1971), Ecuații ale fizicii matematice , Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-1713-1.
• Weisstein, Eric W. „Funcția Delta”. MathWorld .
• Yamashita, H. (2006), „Pointwise analysis of scalar fields: A nonstandard approach”, Journal of Mathematical Physics , 47 (9): 092301, Bibcode :2006JMP....47i2301Y, doi :10.1063/1.2339017
• Yamashita, H. (2007), „Comentariu la „Analiza punctuală a câmpurilor scalare: O abordare nonstandard” [J. Math. Phys. 47, 092301 (2006)]”, Journal of Mathematical Physics , 48 ​​(8): 084101, Cod biblic :2007JMP....48h4101Y, doi : 10.1063/1.2771422

• Mass-media legate de distribuția Dirac la Wikimedia Commons
• „Funcția Delta”, Enciclopedia Matematicii , EMS Press , 2001 [1994]
• Lecție video KhanAcademy.org
• Funcția Dirac Delta, un tutorial despre funcția Dirac delta.
• Prelegeri video – Lectura 23, o prelegere de Arthur Mattuck .
• Măsura deltei Dirac este o hiperfuncție
• Arătăm existența unei soluții unice și analizăm o aproximare cu elemente finite atunci când termenul sursă este o măsură delta Dirac
• Măsuri non-Lebesgue privind măsura R. Lebesgue-Stieltjes, măsura deltei Dirac. Arhivat 2008-03-07 la Wayback Machine