Vértice (geometria)

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Em geometria , um vértice (no plural: vértices ou vértices ), muitas vezes denotado por letras como,,,, é um ponto onde duas ou mais curvas , linhas ou arestas se encontram. Como consequência desta definição, o ponto onde duas linhas se encontram para formar um ângulo e os vértices de polígonos e poliedros são vértices. [1] [2] [3]

Definição

De um ângulo

Um vértice de um ângulo é o ponto final onde duas linhas ou raios se unem.

O vértice de um ângulo é o ponto onde dois raios começam ou se encontram, onde dois segmentos de linha se unem ou se encontram, onde duas linhas se cruzam (cruzam), ou qualquer combinação apropriada de raios, segmentos e linhas que resultem em dois "lados" retos que se encontram em um lugar. [4] [3]

De um politopo

Um vértice é um ponto de canto de um polígono , poliedro ou outro politopo de dimensão superior , formado pela interseção de arestas , faces ou facetas do objeto. [4]

Em um polígono, um vértice é chamado de " convexo " se o ângulo interno do polígono (ou seja, o ângulo formado pelas duas arestas no vértice com o polígono dentro do ângulo) for menor que π radianos (180°, dois ângulos retos ); caso contrário, é chamado de "côncavo" ou "reflexo". [5] Mais geralmente, um vértice de um poliedro ou politopo é convexo, se a interseção do poliedro ou politopo com uma esfera suficientemente pequena centrada no vértice é convexa, e é côncava caso contrário.

Os vértices de politopo estão relacionados com os vértices de grafos , em que o 1-esqueleto de um politopo é um grafo, cujos vértices correspondem aos vértices do politopo, [6] e em que um grafo pode ser visto como um 1-dimensional complexo simplicial cujos vértices são os vértices do grafo.

No entanto, na teoria dos grafos , os vértices podem ter menos de duas arestas incidentes, o que geralmente não é permitido para vértices geométricos. Há também uma conexão entre os vértices geométricos e os vértices de uma curva , seus pontos de extrema curvatura: em certo sentido os vértices de um polígono são pontos de curvatura infinita, e se um polígono é aproximado por uma curva suave, haverá uma ponto de extrema curvatura próximo a cada vértice do polígono. [7] No entanto, uma aproximação de curva suave a um polígono também terá vértices adicionais, nos pontos onde sua curvatura é mínima.

De um ladrilho de avião

Um vértice de um ladrilho plano ou tesselação é um ponto onde três ou mais ladrilhos se encontram; [8] geralmente, mas nem sempre, os ladrilhos de um mosaico são polígonos e os vértices do mosaico também são vértices de seus ladrilhos. Mais geralmente, uma tesselação pode ser vista como um tipo de complexo celular topológico , assim como as faces de um poliedro ou politopo; os vértices de outros tipos de complexos, como complexos simpliciais, são suas faces de dimensão zero.

Vértice principal

O vértice B é uma orelha, porque o segmento de linha aberta entre C e D está inteiramente dentro do polígono. O vértice C é uma boca, porque o segmento de linha aberta entre A e B está inteiramente fora do polígono.

Um vértice de polígono x i de um polígono simples P é um vértice de polígono principal se a diagonal [ x (i − 1) , x (i + 1) ] intercepta o limite de P somente em x (i − 1) e x (i + 1) . Existem dois tipos de vértices principais: orelhas e bocas . [9]

Orelhas

Um vértice principal x i de um polígono simples P é chamado de orelha se a diagonal [ x (i − 1) , x (i + 1) ] que liga x i estiver inteiramente em P . (ver também polígono convexo ) De acordo com o teorema das duas orelhas , todo polígono simples tem pelo menos duas orelhas. [10]

Bocas

Um vértice principal x i de um polígono simples P é chamado de boca se a diagonal [ x (i − 1) , x (i + 1) ] estiver fora do limite de P .

Número de vértices de um poliedro

A superfície de qualquer poliedro convexo tem característica de Euler

onde V é o número de vértices, E é o número de arestas , e F é o número de faces . Esta equação é conhecida como fórmula do poliedro de Euler . Assim, o número de vértices é 2 a mais que o excesso do número de arestas sobre o número de faces. Por exemplo, como um cubo tem 12 arestas e 6 faces, a fórmula implica que ele tenha 8 vértices.

Vértices em computação gráfica

Em computação gráfica , os objetos são frequentemente representados como poliedros triangulados nos quais os vértices do objeto estão associados não apenas a três coordenadas espaciais, mas também a outras informações gráficas necessárias para renderizar o objeto corretamente, como cores, propriedades de refletância , texturas e superfície normal ; [11] essas propriedades são usadas na renderização por um vertex shader , parte do vertex pipeline .

Veja também

Referências

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Vertex" . MathWorld .
  2. ^ "Vértices, arestas e faces" . www.mathsisfun.com . Recuperado 2020-08-16 .
  3. ^ a b "O que são vértices em matemática?" . Ciência . Recuperado 2020-08-16 .
  4. ^ a b Heath, Thomas L. (1956). Os Treze Livros dos Elementos de Euclides (2ª ed. [Fax. Publicação original: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nova York: Dover Publications.
    (3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).   
  5. ^ Jing, Lanru; Stephansson, Ove (2007). Fundamentos de Métodos de Elementos Discretos para Engenharia de Rochas: Teoria e Aplicações . Ciência Elsevier.
  6. Peter McMullen , Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Página 29) 
  7. ^ Bobenko, Alexandre I.; Schröder, Peter; Sullivan, John M. ; Ziegler, Günter M. (2008). Geometria diferencial discreta . Birkhäuser Verlag AG. ISBN 978-3-7643-8620-7.
  8. ^ MV Jaric, ed, Introdução à Matemática dos Quasicristais (Aperiodicidade e Ordem, Vol 2) ISBN 0-12-040602-0 , Academic Press, 1989. 
  9. ^ Devadoss, Satyan ; O'Rourke, Joseph (2011). Geometria Discreta e Computacional . Imprensa da Universidade de Princeton . ISBN 978-0-691-14553-2.
  10. Meisters, GH (1975), "Polígonos têm ouvidos", The American Mathematical Monthly , 82 (6): 648–651, doi : 10.2307/2319703 , JSTOR 2319703 , MR 0367792  .
  11. ^ Christen, Martin. "Tutoriais de codificadores de relógio: atributos de vértice" . Grupo Khronos . Recuperado em 26 de janeiro de 2009 .

Links externos