Vértice (geometria)

Em geometria , um vértice ( pl.: vértices ou vértices ) é um ponto onde duas ou mais curvas , linhas ou arestas se encontram ou se cruzam . Como consequência desta definição, o ponto onde duas linhas se encontram para formar um ângulo e os cantos de polígonos e poliedros são vértices. [1] [2] [3]
Definição
De um ângulo
O vértice de um ângulo é o ponto onde dois raios começam ou se encontram, onde dois segmentos de reta se juntam ou se encontram, onde duas retas se cruzam ou qualquer combinação apropriada de raios, segmentos e retas que resultem em dois "lados" retos se encontrando em um lugar. [3] [4]
De um politopo
Um vértice é um ponto de canto de um polígono , poliedro ou outro politopo de dimensão superior , formado pela intersecção de arestas , faces ou facetas do objeto. [4]
Em um polígono, um vértice é chamado de " convexo " se o ângulo interno do polígono (ou seja, o ângulo formado pelas duas arestas no vértice com o polígono dentro do ângulo) for menor que π radianos (180°, dois ângulos retos ); caso contrário, é chamado de "côncavo" ou "reflexo". [5] Mais geralmente, um vértice de um poliedro ou politopo é convexo se a intersecção do poliedro ou politopo com uma esfera suficientemente pequena centrada no vértice for convexa e côncava caso contrário.
Os vértices do politopo estão relacionados aos vértices dos grafos , pois o esqueleto 1 de um politopo é um grafo, cujos vértices correspondem aos vértices do politopo, [6] e que um grafo pode ser visto como um complexo simplicial unidimensional cujos vértices são os vértices do grafo.
Entretanto, na teoria dos grafos , os vértices podem ter menos de duas arestas incidentes, o que geralmente não é permitido para vértices geométricos. Há também uma conexão entre os vértices geométricos e os vértices de uma curva , seus pontos de curvatura extrema: em certo sentido, os vértices de um polígono são pontos de curvatura infinita, e se um polígono é aproximado por uma curva suave, haverá um ponto de curvatura extrema perto de cada vértice do polígono. [7]
De um plano de ladrilho
Um vértice de um plano de ladrilho ou tesselação é um ponto onde três ou mais ladrilhos se encontram; [8] geralmente, mas nem sempre, os ladrilhos de uma tesselação são polígonos e os vértices da tesselação também são vértices de seus ladrilhos. Mais geralmente, uma tesselação pode ser vista como um tipo de complexo de células topológicas , assim como as faces de um poliedro ou politopo; os vértices de outros tipos de complexos, como complexos simpliciais, são suas faces de dimensão zero.
Vértice principal

Um vértice poligonal x i de um polígono simples P é um vértice poligonal principal se a diagonal [ x (i − 1) , x (i + 1) ] intercepta o limite de P somente em x (i − 1) e x (i + 1) . Existem dois tipos de vértices principais: orelhas e bocas . [9]
Ouvidos
Um vértice principal x i de um polígono simples P é chamado de orelha se a diagonal [ x (i − 1) , x (i + 1) ] que faz a ponte x i estiver inteiramente em P . (veja também polígono convexo ) De acordo com o teorema das duas orelhas , todo polígono simples tem pelo menos duas orelhas. [10]
Bocas
Um vértice principal x i de um polígono simples P é chamado de boca se a diagonal [ x (i − 1) , x (i + 1) ] estiver fora do limite de P .
Número de vértices de um poliedro
A superfície de qualquer poliedro convexo tem característica de Euler
onde V é o número de vértices, E é o número de arestas e F é o número de faces . Esta equação é conhecida como fórmula do poliedro de Euler . Assim, o número de vértices é 2 a mais que o excesso do número de arestas sobre o número de faces. Por exemplo, como um cubo tem 12 arestas e 6 faces, a fórmula implica que ele tem oito vértices.
Vértices em computação gráfica
Em computação gráfica , os objetos são frequentemente representados como poliedros triangulados nos quais os vértices do objeto são associados não apenas a três coordenadas espaciais, mas também a outras informações gráficas necessárias para renderizar o objeto corretamente, como cores, propriedades de refletância , texturas e normal de superfície . [11] Essas propriedades são usadas na renderização por um shader de vértice , parte do pipeline de vértice .
Veja também
Referências
- ^ Weisstein, Eric W. "Vértice". MathWorld .
- ^ "Vértices, Arestas e Faces". www.mathsisfun.com . Recuperado em 2020-08-16 .
- ^ ab "O que são vértices em matemática?". Sciencing . Recuperado em 2020-08-16 .
- ^ ab Heath, Thomas L. (1956). Os Treze Livros dos Elementos de Euclides (2ª ed. [Fac-símile. Publicação original: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nova York: Dover Publications.
- (3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).
- ^ Jing, Lanru; Stephansson, Ove (2007). Fundamentos de Métodos de Elementos Discretos para Engenharia de Rochas: Teoria e Aplicações . Elsevier Science.
- ^ Peter McMullen , Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Página 29)
- ^ Bobenko, Alexandre I.; Schroder, Peter; Sullivan, John M .; Ziegler, Günter M. (2008). Geometria diferencial discreta . Birkhäuser Verlag AG. ISBN 978-3-7643-8620-7.
- ^ MV Jaric, ed, Introdução à Matemática dos Quasicristais (Aperiodicidade e Ordem, Vol 2) ISBN 0-12-040602-0 , Academic Press, 1989.
- ^ Devadoss, Satyan ; O'Rourke, Joseph (2011). Geometria discreta e computacional. Princeton University Press . ISBN 978-0-691-14553-2.
- ^ Meisters, GH (1975), "Polígonos têm ouvidos", The American Mathematical Monthly , 82 (6): 648–651, doi :10.2307/2319703, JSTOR 2319703, MR 0367792.
- ^ Christen, Martin. "Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes". Khronos Group . Arquivado do original em 12 de abril de 2019 . Recuperado em 26 de janeiro de 2009 .
Links externos
- Weisstein, Eric W. "Vértice de polígono". MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Vértice do poliedro". MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Vértice Principal". Mundo Matemático .