Variável (matemática)

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Em matemática , uma variável é um símbolo que funciona como um espaço reservado para expressões ou quantidades que podem variar ou mudar; é freqüentemente usado para representar o argumento de uma função ou um elemento arbitrário de um conjunto . Além dos números , as variáveis ​​são comumente usadas para representar vetores , matrizes e funções . [1]

Fazer cálculos algébricos com variáveis ​​como se fossem números explícitos permite resolver uma série de problemas em um único cálculo. Um exemplo típico é a fórmula quadrática , que permite resolver todas as equações quadráticas - simplesmente substituindo os valores numéricos dos coeficientes da equação dada pelas variáveis ​​que os representam.

Na lógica matemática , uma variável é um símbolo que representa um termo não especificado da teoria (isto é, metavariável ) ou um objeto básico da teoria - que é manipulado sem referência à sua possível interpretação intuitiva.

Etimologia

"Variável" vem de uma palavra latina, variābilis , com " vari (nós) " 'significando "vários" e " -ābilis "' significando "-able", significando "capaz de mudar". [2]

Gênese e evolução do conceito

No século 7, Brahmagupta usava cores diferentes para representar as incógnitas nas equações algébricas do Brāhmasphuṭasiddhānta . Uma seção deste livro é chamada de "Equações de várias cores". [3]

No final do século XVI, François Viète introduziu a ideia de representar números conhecidos e desconhecidos por letras, hoje chamadas de variáveis, e a ideia de computar com eles como se fossem números - para obter o resultado por uma simples substituição. A convenção de Viète era usar consoantes para valores conhecidos e vogais para desconhecidos. [4]

Em 1637, Rene Des "inventou a convenção de representação incógnitas em equações por x , y , e z , e knowns por um , b , e c ". [5] Ao contrário da convenção de Viète, a de Descartes ainda é comumente usada. A história da letra x na matemática foi discutida em um artigo de 1887 da Scientific American . [6]

A partir da década de 1660, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolveram independentemente o cálculo infinitesimal , que consiste essencialmente em estudar como uma variação infinitesimal de uma quantidade variável induz uma variação correspondente de outra quantidade que é uma função da primeira variável. Quase um século depois, Leonhard Euler fixou a terminologia do cálculo infinitesimal e introduziu a notação y = f ( x ) para uma função f , sua variável xe seu valor y. Até o final do século XIX, a palavra variável referia-se quase exclusivamente aos argumentos e valores das funções.

Na segunda metade do século 19, parecia que a fundação do cálculo infinitesimal não foi formalizada o suficiente para lidar com paradoxos aparentes, como uma função contínua diferenciável em nenhum lugar . Para resolver esse problema, Karl Weierstrass introduziu um novo formalismo que consiste em substituir a noção intuitiva de limite por uma definição formal. A noção mais antiga de limite era "quando a variável x varia e tende para a , então f ( x ) tende para L ", sem qualquer definição precisa de "tende". Weierstrass substituiu esta frase pela fórmula

em que nenhuma das cinco variáveis ​​é considerada como variável.

Essa formulação estática levou à noção moderna de variável, que é simplesmente um símbolo que representa um objeto matemático que é desconhecido ou pode ser substituído por qualquer elemento de um determinado conjunto (por exemplo, o conjunto de números reais ).

Tipos específicos de variáveis

É comum que as variáveis ​​desempenhem papéis diferentes na mesma fórmula matemática, e nomes ou qualificadores foram introduzidos para distingui-los. Por exemplo, a equação cúbica geral

é interpretado como tendo cinco variáveis: quatro, a , b , c , d , que são considerados números e a quinta variável, x , é entendida como um número desconhecido . Para distingui-los, a variável x é chamada de desconhecido , e as outras variáveis ​​são chamadas de parâmetros ou coeficientes , ou às vezes constantes , embora esta última terminologia seja incorreta para uma equação e deva ser reservada para a função definida pelo lado esquerdo desta equação.

No contexto de funções, o termo variável se refere comumente aos argumentos das funções. Este é normalmente o caso em frases como " função de uma variável real ", " x é a variável da função f : xf ( x ) ", " f é uma função da variável x " (o que significa que o argumento de a função é referenciada pela variável x ).

No mesmo contexto, variáveis ​​independentes de x definem funções constantes e, portanto, são chamadas de constantes . Por exemplo, uma constante de integração é uma função constante arbitrária que é adicionada a uma determinada antiderivada para obter as outras antiderivadas. Devido à forte relação entre polinômios e função polinomial , o termo "constante" é freqüentemente usado para denotar os coeficientes de um polinômio, que são funções constantes dos indeterminados.

Este uso de "constante" como uma abreviatura de "função constante" deve ser distinguido do significado normal da palavra em matemática. Uma constante , ou constante matemática, é um número bem definido de forma inequívoca ou outro objeto matemático, como, por exemplo, os números 0, 1, π e o elemento de identidade de um grupo .

Outros nomes específicos para variáveis ​​são:

Todas essas denominações de variáveis ​​são de natureza semântica , e a forma de computar com elas ( sintaxe ) é a mesma para todas.

Variáveis dependentes e independentes

No cálculo e em sua aplicação à física e outras ciências, é bastante comum considerar uma variável, digamos y , cujos valores possíveis dependem do valor de outra variável, digamos x . Em termos matemáticos, a variável dependente y representa o valor de uma função de x . Para simplificar as fórmulas, geralmente é útil usar o mesmo símbolo para a variável dependente y e a função que mapeia x em y . Por exemplo, o estado de um sistema físico depende de quantidades mensuráveis, como a pressão , a temperatura, a posição espacial, ..., e todas essas quantidades variam quando o sistema evolui, ou seja, são função do tempo. Nas fórmulas que descrevem o sistema, essas quantidades são representadas por variáveis ​​dependentes do tempo e, portanto, consideradas implicitamente como funções do tempo.

Portanto, em uma fórmula, uma variável dependente é uma variável que é implicitamente uma função de outra (ou várias outras) variáveis. Uma variável independente é uma variável que não é dependente. [7]

A propriedade de uma variável de ser dependente ou independente depende freqüentemente do ponto de vista e não é intrínseca. Por exemplo, na notação f ( x , y , z ) , as três variáveis ​​podem ser todas independentes e a notação representa uma função de três variáveis. Por outro lado, se y e z dependem de x (são variáveis ​​dependentes ), então a notação representa uma função da única variável independente x . [8]

Exemplos

Se alguém define uma função f dos números reais para os números reais por

então x é uma variável que representa o argumento da função sendo definida, que pode ser qualquer número real.

Na identidade

a variável i é uma variável de soma que designa por sua vez cada um dos inteiros 1, 2, ..., n (também é chamada de índice porque sua variação é sobre um conjunto discreto de valores) enquanto n é um parâmetro (não variam dentro da fórmula).

Na teoria dos polinômios , um polinômio de grau 2 é geralmente denotado como ax 2 + bx + c , onde a , b e c são chamados de coeficientes (presume-se que sejam fixos, ou seja, parâmetros do problema considerado) enquanto x é chamada de variável. Ao estudar este polinômio por sua função polinomial, este x representa o argumento da função. Ao estudar o polinômio como um objeto em si mesmo, x é considerado indeterminado e, em vez disso, seria escrito com uma letra maiúscula para indicar esse status.

Notação

Em matemática, as variáveis ​​geralmente são denotadas por uma única letra. No entanto, esta letra é frequentemente seguida por um subscrito, como em x 2 , e este subscrito pode ser um número, outra variável ( x i ), uma palavra ou a abreviatura de uma palavra ( x dentro e x fora ), e até mesmo um expressão matemática . Sob a influência da ciência da computação , pode-se encontrar na matemática pura alguns nomes de variáveis ​​que consistem em várias letras e dígitos.

Seguindo o filósofo e matemático francês do século 17, René Descartes , as letras no início do alfabeto, por exemplo, a , b , c são comumente usadas para valores e parâmetros conhecidos, e as letras no final do alfabeto, por exemplo , x , y , z e t são comumente usados ​​para incógnitas e variáveis ​​de funções. [9] Na matemática impressa , a norma é definir variáveis ​​e constantes em uma fonte em itálico . [10]

Por exemplo, uma função quadrática geral é convencionalmente escrita como:

onde um , b e c são parâmetros (também chamados constantes, porque eles são funções constantes ), enquanto que x é a variável da função. Uma maneira mais explícita de denotar essa função é

que faz com que o estado da função de-argumento x clara, e, assim, implicitamente o estado constante de um , b e c . Como c ocorre em um termo que é uma função constante de x , ele é chamado de termo constante . [11] : 18 

Ramificações e aplicações específicas da matemática geralmente têm convenções de nomenclatura específicas para variáveis. Variáveis ​​com funções ou significados semelhantes geralmente recebem letras consecutivas. Por exemplo, os três eixos no espaço de coordenadas 3D são convencionalmente chamados de x , y e z . Na física, os nomes das variáveis ​​são amplamente determinados pela quantidade física que descrevem, mas existem várias convenções de nomenclatura. Uma convenção frequentemente seguida em probabilidade e estatística é usar X , Y , Z para os nomes de variáveis ​​aleatórias , mantendox , y , z para variáveis ​​que representam os valores reais correspondentes.

Existem muitos outros usos de notação. Normalmente, as variáveis ​​que desempenham um papel semelhante são representadas por letras consecutivas ou pela mesma letra com subscritos diferentes . Abaixo estão alguns dos usos mais comuns.

  • a , b , c e d (às vezes estendidos a e e f ) geralmente representam parâmetros ou coeficientes .
  • a 0 , a 1 , a 2 , ... desempenham um papel semelhante, quando, de outra forma, muitas letras diferentes seriam necessárias.
  • a i ou u i é freqüentemente usado para denotar o i -ésimo termo de uma sequência ou o i- ésimo coeficiente de uma série .
  • f e g (às vezes h ) comumente denotam funções .
  • i , j e k (às vezes l ou h ) são freqüentemente usados ​​para denotar números inteiros ou índices variáveis em uma família indexada . Eles também podem ser usados ​​para denotar vetores unitários .
  • l e w são freqüentemente usados ​​para representar o comprimento e a largura de uma figura.
  • l também é usado para denotar uma linha. Na teoria dos números, l geralmente denota um número primo diferente de p .
  • n geralmente denota um número inteiro fixo, como uma contagem de objetos ou o grau de uma equação .
    • Quando dois inteiros são necessários, por exemplo para as dimensões de uma matriz , geralmente se usa m e n .
  • p frequentemente denota um número primo ou uma probabilidade .
  • q geralmente denota uma potência primária ou um quociente
  • r geralmente denota um raio , um resto ou um coeficiente de correlação .
  • t muitas vezes denota tempo .
  • x , y e z geralmente denotam as três coordenadas cartesianas de um ponto na geometria euclidiana . Por extensão, eles são usados ​​para nomear os eixos correspondentes .
  • z normalmente denota um número complexo ou, em estatísticas, uma variável aleatória normal .
  • α , β , γ , θ e φ comumente denotam medidas de ângulo .
  • ε geralmente representa um número positivo arbitrariamente pequeno.
    • ε e δ comumente denotam dois pequenos positivos.
  • λ é usado para autovalores .
  • σ frequentemente denota uma soma ou, nas estatísticas, o desvio padrão .
  • μ frequentemente denota uma média .
  • π é usado para pi .

Veja também

Bibliografia

  • J. Edwards (1892). Cálculo diferencial . Londres: MacMillan and Co. pp.  1 e segs.
  • Karl Menger, "On Variables in Mathematics and in Natural Science", The British Journal for the Philosophy of Science 5 : 18: 134-142 (agosto de 1954) JSTOR  685170
  • Jaroslav Peregrin, " Variables in Natural Language: Where do they come from? ", Em M. Boettner, W. Thümmel, eds., Variable-Free Semantics , 2000, pp. 46-65.
  • WV Quine , " Variables Explained Away ", Proceedings of the American Philosophical Society 104 : 343–347 (1960).

Referências

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Variable" . mathworld.wolfram.com . Obtido em 2020-08-09 .
  2. ^ " " Variável "Origem" . dictionary.com . Arquivado do original em 20 de maio de 2015 . Retirado em 18 de maio de 2015 .
  3. ^ Tabak, John (2014). Álgebra: conjuntos, símbolos e a linguagem do pensamento . Publicação da Infobase. p. 40. ISBN 978-0-8160-6875-3.
  4. ^ Fraleigh, John B. (1989). A First Course in Abstract Algebra (4 ed.). Estados Unidos: Addison-Wesley . p. 276. ISBN 0-201-52821-5.
  5. ^ Tom Sorell, Descartes: A Very Short Introduction , (2000). Nova York: Oxford University Press. p. 19
  6. ^ Scientific American . Munn & Company. 1887-09-03. p. 148
  7. ^ Edwards Art. 5
  8. ^ Edwards Art. 6
  9. ^ Edwards Art. 4
  10. ^ William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry , Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1-61530-219-0 , 978-1-61530-219-2 , p. 71 
  11. ^ Foerster, Paul A. (2006). Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition (Classics ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall . ISBN 0-13-165711-9.