Ponto de fuga

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Um ponto de fuga pode ser visto na extremidade desta ferrovia.

Um ponto de fuga é um ponto no plano da imagem de um desenho em perspectiva onde as projeções bidimensionais em perspectiva de linhas mutuamente paralelas no espaço tridimensional parecem convergir. Quando o conjunto de linhas paralelas é perpendicular a um plano de imagem , a construção é conhecida como perspectiva de um ponto, e seu ponto de fuga corresponde ao óculo , ou "ponto do olho", a partir do qual a imagem deve ser vista para a geometria da perspectiva correta. [1] Desenhos lineares tradicionais usam objetos com um a três conjuntos de paralelos, definindo de um a três pontos de fuga.

O polímata e arquiteto humanista italiano Leon Battista Alberti introduziu o conceito pela primeira vez em seu tratado sobre perspectiva na arte, De pictura , escrito em 1435. [2]

Notação vetorial

Uma construção 2D de visão em perspectiva, mostrando a formação de um ponto de fuga

O ponto de fuga também pode ser referido como o "ponto de direção", pois linhas com o mesmo vetor direcional, digamos D , terão o mesmo ponto de fuga. Matematicamente, seja q ≡ ( x , y , f ) um ponto situado no plano da imagem, onde f é a distância focal (da câmera associada à imagem), e seja v q ≡ (x/h,y/h,f/h) seja o vetor unitário associado a q , onde h = x 2 + y 2 + f 2 . Se considerarmos uma linha reta no espaço S com o vetor unitário n s ≡ ( n x , n y , n z ) e seu ponto de fuga v s , o vetor unitário associado a v s é igual a n s , assumindo que ambos apontam para o plano da imagem. [3]

Quando o plano de imagem é paralelo a dois eixos de coordenadas mundiais, as linhas paralelas ao eixo que é cortado por este plano de imagem terão imagens que se encontram em um único ponto de fuga. As linhas paralelas aos outros dois eixos não formarão pontos de fuga, pois são paralelas ao plano da imagem. Esta é a perspectiva de um ponto. Da mesma forma, quando o plano da imagem cruza dois eixos de coordenadas mundiais, as linhas paralelas a esses planos se encontrarão formando dois pontos de fuga no plano da imagem. Isso é chamado de perspectiva de dois pontos. Na perspectiva de três pontos, o plano da imagem cruza os eixos x , y e z e, portanto, as linhas paralelas a esses eixos se cruzam, resultando em três pontos de fuga diferentes.

Teorema

O teorema do ponto de fuga é o principal teorema na ciência da perspectiva. Ela diz que a imagem em um plano de imagem π de uma linha L no espaço, não paralela à imagem, é determinada por sua interseção com π e seu ponto de fuga. Alguns autores usaram a frase, "a imagem de uma linha inclui seu ponto de fuga". Guidobaldo del Monte deu várias verificações, e Humphry Ditton chamou o resultado de "principal e Grande Proposição". [4] Brook Taylorescreveu o primeiro livro em inglês sobre perspectiva em 1714, que introduziu o termo "ponto de fuga" e foi o primeiro a explicar completamente a geometria da perspectiva multiponto, e a historiadora Kirsti Andersen compilou essas observações. [1] : 244–6  Ela observa, em termos de geometria projetiva , o ponto de fuga é a imagem do ponto no infinito associado a L , pois a linha de visão de O até o ponto de fuga é paralela a L .

Linha de fuga

Assim como um ponto de fuga se origina em uma linha, uma linha de fuga se origina em um plano α que não é paralelo à figura π . Dado o ponto do olho O , e β o plano paralelo a α e situado em O , então a linha de fuga de α é βπ . Por exemplo, quando α é o plano do solo e β é o plano do horizonte, então a linha de fuga de α é a linha do horizonte βπ . Anderson observa: "Apenas uma linha de fuga em particular ocorre, muitas vezes referida como o "horizonte".[1] : 249, 503-6 

Simplificando, a linha de fuga de algum plano, digamos α , é obtida pela interseção do plano da imagem com outro plano, digamos β , paralelo ao plano de interesse ( α ), passando pelo centro da câmera. Para diferentes conjuntos de linhas paralelas a este plano α , seus respectivos pontos de fuga estarão nesta linha de fuga. A linha do horizonte é uma linha teórica que representa o nível dos olhos do observador. Se o objeto estiver abaixo da linha do horizonte, suas linhas de fuga se inclinam em direção à linha do horizonte. Se o objeto estiver acima, eles se inclinam para baixo. Todas as linhas de fuga terminam na linha do horizonte.

Propriedades dos pontos de fuga

1. Projeções de dois conjuntos de linhas paralelas situadas em algum plano π A parecem convergir, ou seja, o ponto de fuga associado a esse par, em uma linha do horizonte, ou linha de fuga H formada pela interseção do plano da imagem com o plano paralelo a π A e passando pelo orifício. Demonstração: Considere o plano do solo π , como y = c que é, por simplicidade, ortogonal ao plano da imagem. Além disso, considere uma linha L que está no plano π , que é definido pela equação ax + bz = d. Usando projeções de pinhole em perspectiva, um ponto em L projetado no plano da imagem terá coordenadas definidas como,

x′ = f ·x/z= f ·d - bz/az
y′ = f ·y/z= f ·c/z

Esta é a representação paramétrica da imagem L′ da linha L com z como parâmetro. Quando z → −∞ ele para no ponto ( x′ , y′ ) = (−fb/uma,0) no eixo x′ do plano da imagem. Este é o ponto de fuga correspondente a todas as linhas paralelas com inclinação -b/umano plano π . Todos os pontos de fuga associados a diferentes linhas com diferentes inclinações pertencentes ao plano π estarão no eixo x′ , que neste caso é a linha do horizonte.

2. Sejam A , B e C três linhas retas mutuamente ortogonais no espaço e v A ≡ ( x A , y A , f ) , v B ≡ ( x B , y B , f ) , v C ≡ ( x C , y C , f ) sejam os três pontos de fuga correspondentes, respectivamente. Se conhecemos as coordenadas de um desses pontos, digamos v A, e a direção de uma linha reta no plano da imagem, que passa por um segundo ponto, digamos v B , podemos calcular as coordenadas de v B e v C [3]

3. Sejam A , B e C três linhas retas mutuamente ortogonais no espaço e v A ≡ ( x A , y A , f ) , v B ≡ ( x B , y B , f ) , v C ≡ ( x C , y C , f )sejam os três pontos de fuga correspondentes, respectivamente. O ortocentro do triângulo com vértices nos três pontos de fuga é a interseção do eixo óptico e do plano da imagem. [3]

Perspectiva curvilínea e reversa

Uma perspectiva curvilínea é um desenho com 4 ou 5 pontos de fuga. Na perspectiva de 5 pontos, os pontos de fuga são mapeados em um círculo com 4 pontos de fuga nos pontos cardeais N, W, S, E e um na origem do círculo.

Uma perspectiva inversa é um desenho com pontos de fuga que são colocados fora da pintura com a ilusão de que estão "na frente" da pintura.

Detecção de pontos de fuga

Vários métodos para detecção de pontos de fuga fazem uso dos segmentos de linha detectados nas imagens. Outras técnicas envolvem considerar diretamente os gradientes de intensidade dos pixels da imagem.

Há um número significativamente grande de pontos de fuga presentes em uma imagem. Portanto, o objetivo é detectar os pontos de fuga que correspondem às direções principais de uma cena. Isso geralmente é alcançado em duas etapas. A primeira etapa, chamada de etapa de acumulação, como o nome sugere, agrupa os segmentos de linha com a suposição de que um cluster terá um ponto de fuga comum. A próxima etapa encontra os principais clusters presentes na cena e, portanto, é chamada de etapa de busca.

Na etapa de acumulação , a imagem é mapeada em um espaço limitado chamado de espaço acumulador. O espaço do acumulador é dividido em unidades chamadas células. Barnard [5] assumiu este espaço como sendo uma esfera gaussiana centrada no centro óptico da câmera como um espaço acumulador. Um segmento de linha na imagem corresponde a um grande círculo nesta esfera, e o ponto de fuga na imagem é mapeado para um ponto. A esfera gaussiana possui células acumuladoras que aumentam quando um grande círculo passa por elas, ou seja, na imagem um segmento de linha intercepta o ponto de fuga. Várias modificações foram feitas desde então, mas uma das técnicas mais eficientes foi usando a Transformada de Hough, mapeando os parâmetros do segmento de linha para o espaço limitado. As Transformações de Hough em Cascata foram aplicadas para vários pontos de fuga.

O processo de mapeamento da imagem para os espaços delimitados causa a perda das distâncias reais entre segmentos de linha e pontos.

Na etapa de busca , a célula do acumulador com o número máximo de segmentos de linha passando por ela é encontrada. Isso é seguido pela remoção desses segmentos de linha e a etapa de pesquisa é repetida até que essa contagem fique abaixo de um determinado limite. À medida que mais poder de computação está disponível, pontos correspondentes a duas ou três direções ortogonais entre si podem ser encontrados.

Aplicações de pontos de fuga

Uso de razões cruzadas em geometria projetiva para medir dimensões do mundo real de recursos descritos em uma projeção em perspectiva . A, B, C, D e V são pontos na imagem, cuja separação é dada em pixels; A', B', C' e D' estão no mundo real, sua separação em metros.
  • Em (1), a largura da rua lateral, W, é calculada a partir das larguras conhecidas das lojas adjacentes.
  • Em (2), a largura de apenas uma loja é necessária porque um ponto de fuga V é visível.
  1. Calibração da câmera: Os pontos de fuga de uma imagem contêm informações importantes para a calibração da câmera. Várias técnicas de calibração foram introduzidas usando as propriedades de pontos de fuga para encontrar parâmetros de calibração intrínsecos e extrínsecos. [6]
  2. Reconstrução 3D : Um ambiente feito pelo homem tem duas características principais – várias linhas na cena são paralelas e várias arestas presentes são ortogonais. Os pontos de fuga ajudam na compreensão do ambiente. Usando conjuntos de linhas paralelas no plano, a orientação do plano pode ser calculada usando pontos de fuga. Torre [7] e Coelho [8]realizou extensa investigação no uso de pontos de fuga para implementar um sistema completo. Partindo do pressuposto de que o ambiente é composto por objetos com apenas lados paralelos ou perpendiculares, também chamados de Lego-land, utilizando pontos de fuga construídos em uma única imagem da cena eles recuperaram a geometria 3D da cena. Idéias semelhantes também são usadas no campo da robótica, principalmente em navegação e veículos autônomos, e em áreas relacionadas à detecção de objetos .

Veja também

Referências

  1. ^ a b c Kirsti Andersen (2007) Geometria de uma arte , p. xxx, Springer, ISBN  0-387-25961-9
  2. ^ Wright, DR Edward (1984). "De Pictura de Alberti: sua estrutura literária e propósito". Jornal dos Institutos Warburg e Courtauld . 47 : 52-71. JSTOR 751438 . 
  3. ^ a b c B. Caprile, V. Torre [1] "Usando pontos de fuga para calibração de câmera", International Journal of Computer Vision, Volume 4, Issue 2, pp. 127-139, março de 1990
  4. ^ H. Ditton (1712) Tratado de Perspectiva , p 45
  5. ^ ST Barnard 'Interpretando imagens de perspectiva", Inteligência Artificial 21, 1983, pp. 435 - 462
  6. ^ D. Liebowitz e A. Zisserman "retificação métrica para imagens em perspectiva de planos", IEEE Conf. Visão por computador e reconhecimento de padrões, junho de 1998, Santa Barbara, CA, pp. 482-488
  7. RT Collins e R. Weiss "Cálculo do ponto de fuga como uma inferência estatística na esfera da unidade" Anais do ICCV3, dezembro de 1990
  8. ^ C. Coelho, M. Straforani, M. Campani "Usando regras geométricas e conhecimento a priori para a compreensão de cenas internas" Proceedings BMVC90, p.229-234 Oxford, setembro de 1990.

Links externos